工程结构可靠度计算方法—中心点法和验算点法讲解

结构可靠度设计验算点法介绍摘要：工程结构应要求具有一定的可靠性，才能保证结构在规定的使用期内能够满足设计要求的各项使用功能。

本文对设计验算点法进行了分类与总结, 同时分析了此计算方法的缺点。

关键字：结构可靠度计算方法缺点1 引言工程可靠度是结构在规定的时间内，在规定的条件下，完成预定功能的概率。

是结构可靠性的概率度量[1]。

“规定时间”一般是指结构设计基准期，目前世界上大多数国家普通结构设计基准期均为50年。

设计基准期和设计使用年限是有区别的。

设计基准期是为确定可变作用及与时间有关的材料性能取值而选用的时间参数[2]。

所谓设计使用年限，是设计规定的结构或构件不需进行大修即可按其预定目的使用的时期。

是借鉴了国际标准ISO2394：1998提出的，又称为服役期、服务期等。

“预定的功能”指结构在设计基准期内，经济合理的满足下列要求：1、在正常的施工和正常使用时，能承受可能出现的各种作用；2、在正常使用时具有良好的工作性能；3、在正常维护下具有足够的耐久性能；4、在设计规定的偶然时间发生时及发生后，人能保持必须的稳定性。

上述要求的第1、4项关系到人身安全问题，属于结构的安全性，第2项关系到结构的适用性；第3项关系到结构的耐久性。

安全性、适用性和耐久性总称为可靠性。

要注意安全性与可靠性的区别，可靠性的范围更大[3]。

我国结构可靠度理论的研究相对起步较晚。

1954年，大连工学院提出用数理统计学中的误差公式，计算各种荷载组合的总超载系数及构件的总匀质系数，代替各分项系数。

1960年又提出用数理统计法计算的安全系数与经验系数相结合，设计混凝土结构构件。

1978年，借鉴了JCSS编制的《结构统一标准规范的国际体系》，采用了水准Ⅱ的概率极限状态设计法，进行《建筑结构统一设计标准》的编制和研究。

1992年正式颁布了适用于全国的《工程结构可靠度设计统一标准》（GB50216—94）等6个统一标准。

在“统一标准”的指导下，对建筑、水利等各专业结构设计规范进行了大规模的修订或编制。

一次二阶矩法当基本状态变量Xi(i=1,2, ••；n)的概率密度未知，或者在概率密度函数复杂不 易求其分布参数的积分时，可利用泰勒级数展开后忽略二次以上的项，只考虑它 们的一阶原 点矩和 二阶中心 矩这两个特征参 数，近 似地计算 状态函数的均值 和方 差，求得可靠指标和破坏概率，故称作一次二阶矩法(First order seco nd mome nt method)，包括中心点法和验 算点法。

中心点法中心点法［56］是早期结构可靠度研究所提出的分析方法，只考虑随机变量的平 均值和标准差，作为一种简单的计算方法，对于结构功能函数为的可靠度问题，可靠度指标为当随机变 量R 和S 服从正态分 布时，式可变为住 »R 一讥上式表示的是两个随机变量的情形，对于多个随机变量的一般形式的结构功 能函数Z =g x (X ! ,X 2, ,X n )其中：X 1,X 2, “;X n 为结构中的n 个相互独立的随 机变量，其平均值为 眾』X 2,X 「 标准差为61,62,…，二X n 。

将功能函数 在随机变量的平 均值处 展开泰勒 级数展 开，取一次项近似Z 、Z L 二 g X (「i 』2,…• 7 ^^(X i 「二xj i£ cX i函数的均值和方差分别为由中心点法 的可靠度指标的 定义，从而有氏 A Z g X (匕1，比2,…’i n )P = 从式和的推 导可以看出，中 心点法 使用了结 构功能函数的的一次泰勒级数展 开式和随机变量的的前两阶矩(均值和方差)，故称为一次二阶矩方法，早期也称J Z 」Z 二EZ 二g x 宀；S ；n )上 .2匚 Z ；「Z L=E(Z L _ "Z n )2八 i ± x (") ° X i ：=X i i'2C X i£g x (4) ＜欣iJ Z为二阶矩模式。

中心点法的优点是显而易见的，即计算简便，不需要进行迭代求 解。

一次二阶矩法当基本状态变量X i (i =1,2,···,n )的概率密度未知，或者在概率密度函数复杂不易求其分布参数的积分时，可利用泰勒级数展开后忽略二次以上的项，只考虑它们的一阶原点矩和二阶中心矩这两个特征参数，近似地计算状态函数的均值和方差，求得可靠指标和破坏概率，故称作一次二阶矩法(First order second moment method)，包括中心点法和验算点法。

中心点法中心点法[56]是早期结构可靠度研究所提出的分析方法，只考虑随机变量的平均值和标准差，作为一种简单的计算方法，对于结构功能函数为S R Z -=的可靠度问题，可靠度指标为ZZσμβ=当随机变量R 和S 服从正态分布时，式可变为22SRS R σσμμβ+-=上式表示的是两个随机变量的情形，对于多个随机变量的一般形式的结构功能函数),,,(21n X X X X g Z =其中：X 1,X 2,···,X n 为结构中的n 个相互独立的随机变量，其平均值为n X X X μμμ,,,21 ，标准差为n X X X σσσ,,,21 。

将功能函数在随机变量的平均值处展开泰勒级数展开，取一次项近似)()(),,,(121i X i ni in X L X X g g Z Z μμμμμ-∂∂+=≈∑= 函数的均值和方差分别为),,,(21n X Z Z g EZ μμμμμ ==≈∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-=≈ni X i X Z L ZZ i L LXg Z E 122)()(σμμσσ 由中心点法的可靠度指标的定义，从而有∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂≈=n i X iX X X X X Z Z inX g g 12)(),,,(21σμμμμσμβ 从式和的推导可以看出，中心点法使用了结构功能函数的的一次泰勒级数展开式和随机变量的的前两阶矩(均值和方差)，故称为一次二阶矩方法，早期也称为二阶矩模式。

工程结构可靠度的分析原理及方法摘要：针对工程结构的可靠度问题，分析了实际工程结构中引入可靠度概念的必要性以及结构可靠度的基本原理。

阐述了计算结构可靠度指标及失效概率的几种方法，并以JC法为例，验证了可靠度指标的计算。

关键词：工程结构，可靠度分析，失效概率Abstract:Based upon reliability of engineering strctures,the necessaries of the introduction and the basic principles of reliability are introduced,and elaborate the methods of consideration of reliability index and probality of failure according to the basic principles of reliability.Then with the example of JC method,calculate reliability index in detail.Key words:engineering structures,reliability analysis,probality of failure土木工程结构设计的基本目标，是在一定的经济条件下，赋予结构足够的可靠度，使结构建成后在规定的设计使用年限内能满足设计所预定的各种功能要求。

工程结构可靠度分析原理结构可靠度是结构可靠性的定量指标。

在按极限状态设计时，要涉及到各种荷载（如自重、风载、雪载等）及外界作用（如温度变化、地震作用等），材料强度、几何尺寸、计算模型等因素，而这些因素都是具有不确定性的，或者说它们具有随机性，作为变量便称为随机变量。

因此，采用概率作为量度可靠性的大小是比较合理的。

工程结构可靠度的设计方法结构的可靠性是安全性、适用性、和耐久性的统称，它定义为：结构在规定的时间内，在规定的条件下，完成预定功能的能力。

关于可靠度分析的若干方法1.一次二阶矩法 （1）中心点法中心点法的基本思路就是将非线性功能函数在其随机变量均值(中心点)处Taylor 级数展开并取至一阶项，然后近似计算功能函数的平均值和标准差，而结构可靠度可用功能函数的均值和标准差来表示。

假设n x x x ,...,,21为结构中互不相关的n 个基本随机变量，其均值为),...,2,1(n i ix =μ标准差为),...,2,1(n i i x =σ，将功能函数Z=G(n x x x ,...,,21)在均值处Taylor 级数展开并取至一阶项：)(),...,,(121i n x i ni i x x x x x G G Z μμμμμ-⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+=∑= 由此可计算出功能函数的均值和标准差为：),...,,(21nx x x Z G μμμμ=∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=ni x i Z i x G 122σσμ从而结构的可靠度可表示为：∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂==ni x i x x x Z Z inx G G 122),...,,(21σμμμσμβμ由以上论述可知，中心点法的最大的优势在于计算简便，不需要进行过多的数值计算，但其缺陷也是非常明显的：①不考虑随机变量的分布类型；②将非线性功能函数在基本随机变量均值处展开不合理，这是因为均值不一定在结构的极限状态面上，因此展开后的功能函数可能会较大地偏离原来的极限状态面；③对有相同力学含义但数学表达式不同的极限状态方程，求得的结构可靠指标值不同。

（2）验算点法（JC 法）验算点法的特点是能够考虑非正态的随机变量，在计算工作量增加不多的条件下，可对可靠指标β进行精度较高的计算。

对于极限状态方程中包含非正态分布的随机变量的情形，在进行其可靠度分析时，一般要把非正态随机变量当量化为正态随机变量。

当量正态化方法即为JC 法。

它的基本思想就是：①在设计验算点*x 处，当量正态随机变量*X (其均值*IX μ ,标准差为*IX σ)的分布函数值*I X F 与原随机变量(其均值*i x μ ，标准差为*I x σ)的分布函数值*I x F 相等；②在设计验算点*x 处，当量正态随机变量*X (其均值*IX μ ,标准差为*IX σ)的概率密度函数值*IX f 与原随机变量(其均值*ix μ ，标准差为*Ix σ)的概率密度函数值*Ix f 相等。

验算点法在工程结构可靠度编程中的运用（北京航空航天大学 交通科学与工程学院，北京，100191）摘 要：用验算点法对可靠度编程中的关键问题进行了探讨并给出了解决方法。

这些问题主要包括随机变量服从正态分布的情形且功能函数为非线性和随机变量不服从正态分布时的当量正态化方法。

针对这两种情况运用了两个编程算例来说明验算点法在可靠度分析中的运用。

关键字：验算点法、可靠指标、正态分布函数、非正态随机变量、当量正态化1. 前 言结构可靠度为结构在规定的时间内和规定的条件下完成预定功能的概率。

结构可靠性理论的研究，起源于对结构设计、施工和使用过程中存在的不确定性的认识，以及结构设计风险决策理论中计算结构失效概率的需要。

结构可靠度计算方法有一次二阶矩方法、二次二阶矩方法、蒙特卡洛方法及其他方法。

一次二阶矩方法又分为中心点法和验算点法，其中验算点法是目前可靠度分析中最常用的方法。

由于这两种方法都是将非线性功能函数作为一次泰勒级数展开，并使用了随机变量的平均值（一阶矩）和方差（二阶矩），故称为一次二阶矩方法。

利用验算点法计算结构的可靠指标时，需要预先知道验算点的坐标值，而对于非线性结构功能函数和非正态随机变量的情形，验算点坐标值是不能预先求得的，因此一般需要迭代求解。

2. 随机变量服从正态分布的情形2.1 功能函数为线性函数功能函数随机变量Z 是一个正态随机变量，其概率密度函数和U 的密度曲线如图1示图1 一个随机变量时的可靠指标（左图为正态随机变量，右图为标准正态随机变量） 假定存在n 个相互独立的随机变量，12,,...,n X X X ，其均值为12,,...,n X X X μμμ，标准差为12,,...,nX X X σσσ结构功能函数为：()∑=+==ni i i x X a a g Z 10n 321...X X ,X ,X （1）其中()n i a i ...3,2,1=为常数将随机变量()n i X i ...3,2,1=变换为标准正态随机变量()n i Y i ...3,2,1=()n i X Y iiXX i i ...3,2,1=-=σμ （2）则由（1）表示的功能函数表示成()()123n 00111Y ,Y ,Y ...Y i i i i nn nY i X X i i X i X i i i Z g a a Y a a a Y μσμσ=====++=++∑∑∑从而功能函数的平均值和标准差表示为∑=+=ni Xi Z ia a 10μμ ∑==ni X iZ ia122σσ按照严格的可靠度指标定义∑∑==+==ni Xini X i ZZ iiaa a 12210σμσμβ （3）可靠度指标和结构失效概率存在精确的对应关系()β-Φ=f P对极限状态方程 0110=++=∑∑==ni X i n i X i Y a a a Zi i σμ两端同时除以∑=-ni X iia122σ得到：0122101221=+--∑∑∑∑====ni Xini X i ni Xini X i iiiiaa a aY a σμσσ（4）与公式（3）比较，有01221=--∑∑==βσσni Xini X iiiaYa （5）令()n i aa ni XiX i Y Y iii i ,...3,2,1cos 122=-==∑=σσθα公式（5）可以写成：0cos 11=-=-∑∑==βθβαni i Y ni Y Y Y i i（6）公式（6）表示的是一法线式的直线方程，i Y θcos 为法线与坐标轴夹角余弦1cos 1=∑=ni Y iθ图2 可靠度指标的几何意义及验算点验算点在Y 空间（标准正态空间）表示为：()**3*2*1*...,,n y y y y =y 在X 空间表示为：()**3*2*1*...,,n x x x x =x两者之间的关系为：()n i y x iX X i i i ,...3,2,1**=+=σμ 根据几何关系有：()n i y ii Y Y i ,...3,2,1cos *===θββα在X 空间，验算点坐标值：()n i x i i i i i i Y X X Y X X i ,...3,2,1cos *=+=+=θβσμβασμ通常表示为：()n i x ii i i i i X X X X X X i ,...3,2,1cos *=+=+=θβσμβασμ2.2 功能函数为线性函数1Y假定随机变量12,,...,n X X X 服从正态分布，但结构功能函数不再是线性函数，显然，这时精确求解Z 的平均值和标准差是非常困然的。

工程结构可靠度指标的计算方法陈海彬;郑玉;佟晓君;王力【摘要】Because of the intercoordination and restriction between designing checking point and reliability index ,it brings some difficulties to the reliability index for solution with checking point method (JC meth-od) .In the paper ,the maximum likelihood method of determining the reliability index and the checking point is proposed with maximum likelihood theory under the condition of meeting limit state equation .This method is relatively simple and rapidly solution ,it can meet the present engineering requirements .The method of solving reliability index is put forward by using the weighted least require method .Seen from the example in the paper ,this method is feasible to solve reliability index and it’s corresponding check ing point .The solving process is simplified ;the tedious iteration of traditional method is avoided .The reliabili-ty index of this paper is more precise and secure than the traditional method .%利用验算点法（即JC法）求解可靠指标时，由于设计验算点与可靠指标之间的相互耦合、制约，给求解带来一定的难度。

中心点法和设计验算点法的基本思路及其优缺点文摘：在采用结构的可靠指标来度量结构的可靠度时,采用一次二矩法,其中包括中心点法和验算点法。

中心点法不考虑基本变量的实际分布,导出结构可靠指标的公式。

但是荷载一般服从极值Ⅰ型分布，结构抗力服从正态分布，，而当量正态模式，并把极限状态函数推到多于两个变量的非线性的跟一般的情况，就是验算点法。

中心点法的优点是计算简便，β值是近似的，存在误差。

验算点法可对可靠度指标进行精度较高的计算，但较复杂。

关键词：可靠指标、失效概率、中心点法、验算点法、迭代法。

《建筑结构可靠度统一标准》将结构在规定的时间呢，在规定的条件下，完成预定功能的能力成为可靠性。

可靠度是对可靠性的概率量度，在可靠性度分析中，首先应建立结构的功能函数，进而确定结构构件或体系的极限状态方程。

结构的功能函数可以用一下变量表示：Z=g(X1,X2,…Xn),适中的变量表示基本变量。

若另R 表示结构抗力，S 表示荷载效应，则Z 为随机变量，Z 可能出现三种情况：①Z=R-S ＞0,结构处于可靠状态。

②Z=R-S=0，结构处于极限状态。

③Z=R-S ＜0，结构处于失效状态。

已知随机变量Z=R-S 的概率密度函数如图所示，失效概率Pf为密度函数与OZ 负轴所围成的面积，可靠概率Ps 为剩余面积。

又Z Zμβσ=，可以看出β与Pf 值一一对应，β越大，Pf 越小。

运用中心点法时，导出结构的可靠指标的计算公式，在分析是采用泰勒公式不考虑基本变量的实际分布，直接按其服从的正态分布或对数正态分布，在分析时采用泰勒级数在中心点展开。

在使用中心点法时，主要思想是把荷载和抗力所服从的函数根据β的定义把二者的函数标准化后求出β.当抗力R 和荷载效应S当抗力R 和荷载效应S 相互独立且均服从对数正态分布时，可靠度指标为：β=lnR μβ=当多个随机变量服从正态分布时，在实际工程中，状态函数的基本变量往往不止一两个，也不一定服从正态分布或对数正态分布。