OyxzFEGHIJOyxzA'C'BB'CD'A立体几何解答题的建系设点问题
在如今的立体几何解答题中，有些题目可以使用空间向量解决问题，与其说是向量运算，不如说是点的坐标运算，所以第一个阶段：建系设点就显得更为重要，建立合适的直角坐标系的原则有哪些？如何正确快速写出点的坐标？这是本文要介绍的内容。
一、基础知识：
（一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴
1、z轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即z轴要与坐标平面xOy垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为z轴与底面的交点
2、,xy轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考：
（1）尽可能的让底面上更多的点位于,xy轴上
（2）找角：,xy轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件
（3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点
3、常用的空间直角坐标系满足,,xyz轴成右手系，所以在标,xy轴时要注意。
4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。
5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直底面两条线垂直），这个过程不能省略。
6、与垂直相关的定理与结论：
（1）线面垂直：
① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直
② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直
③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直
④ 直棱柱：侧棱与底面垂直
（2）线线垂直（相交垂直）：
① 正方形，矩形，直角梯形
② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一）
③ 菱形的对角线相互垂直
④ 勾股定理逆定理：若222ABACBC，则ABAC
（二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类
2.3直线的交点坐标与距离公式14题型分类
一、两条直线的交点
1．两直线的交点
已知直线
l
1：A
1x＋B
1y＋C
1＝0；l
2：A
2x＋B
2y＋C
2＝0.点A(a，b)．
(1)若点
A在直线
l
1：A
1x＋B
1y＋C
1＝0上，则有
A
1a＋B
1b＋C
1＝0.
(2)若点
A是直线
l
1与
l
2的交点，则有{A
1a＋B
1b＋C
1＝0，
A
2a＋B
2b＋C
2＝0.
2．两直线的位置关系
方程组{A
1x＋B
1y＋C
1＝0，
A
2x＋B
2y＋C
2＝0
的解一组无数组无解
直线
l
1与
l
2的公共点的个数一个无数个零个
直线
l
1
与
l
2的位置关系相交重合平行
二、两点间的距离公式
1．两点间的距离公式：点
P
1(x
1，y
1)，P
2(x
2，y
2)间的距离公式
|P
1P
2|＝x
2－x
12＋y
2－y
12.特别提醒：此公式与两点的先后顺序无关．
2．原点
O(0,0)与任一点
P(x，y)的距离
|OP|
＝x2＋y2.
三、点到直线的距离、两条平行线间的距离
点到直线的距离两条平行直线间的距离
定义点到直线的垂线段的长度夹在平行直线间公垂线段的长
图示
公式
点
P
(
x0，y
0)到直线
l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝|Ax
0＋
By
0＋
C|
A2＋
B2平行直线l
1：Ax＋By＋C
1＝0与
l
2：Ax＋By＋C
2＝0之间的距离
d＝|C
1－
C
2|
A2＋
B2
（一）
求相交直线的交点坐标
1、两直线的交点：已知直线
l
1：A
1x＋B
1y＋C
1＝0；l
2：A
2x＋B
2y＋C
2＝0，联立方程即可求解.
2、求两相交直线的交点坐标．
(1)求两相交直线的交点坐标，关键是解方程组．
(2)解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法．
题型1：求相交直线的交点
1-1．（24-25高二上·全国·课后作业）直线32180xy+-=
和2570xy-+-=
的交点坐标为（
）
A．
4,3--
B．
4,3
C．
4,3-
D．
3,4
1-2．（2024高二·江苏·假期作业）直线240xy+-=
与直线220xy-+=
第28练 空间向量解决立体几何问题的两大策略
——“选基底”与“建系”
[题型分析·高考展望] 向量作为一个工具，其用途是非常广泛的，可以解决现高中阶段立体几何中的大部分问题，不管是证明位置关系还是求解问题.而向量中最主要的两个手段就是选基底与建立空间直角坐标系.在高考中，用向量解决立体几何解答题，几乎成了必然的选择.
体验高考
1.(2018·北京)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝5.
(1)求证：PD⊥平面PAB；
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由.
(1)证明 ∵平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD.
又AB⊥AD，AB⊂平面ABCD.
∴AB⊥平面PAD.
∵PD⊂平面PAD.∴AB⊥PD.
又PA⊥PD，PA∩AB＝A.
∴PD⊥平面PAB.
(2)解 取AD中点O，连接CO，PO.
∵PA＝PD，∴PO⊥AD.
又∵PO⊂平面PAD，
平面PAD⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD，
∵CO⊂平面ABCD，∴PO⊥CO，
∵AC＝CD，∴CO⊥AD.
以O为原点建立如图所示空间直角坐标系.易知P(0，0，1)，A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(2，0，0)，D(0，－1，0).
则PB→＝(1，1，－1)，PD→＝(0，－1，－1)，PC→＝(2，0，－1).
CD→＝(－2，－1，0).
设n＝(x0，y0，1)为平面PCD的一个法向量.
由 n·PD→＝0，n·PC→＝0得 －y0－1＝0，2x0－1＝0，
解得 y0＝－1，x0＝12.即n＝12，－1，1.
设PB与平面PCD的夹角为θ.
则sin θ＝|cos〈n，PB→〉|＝n·PB→|n||PB→|
数学
篇解题宝典
立体几何问题侧重于考查同学们的空间想象能力和逻辑推理能力.在解答立体几何问题时，我们一般只有借助立体几何图形来进行分析，才能快速明确题目中点、线、面的位置关系，找到解题的突破口.建系法是解答立体几何问题的一种重要方法，而运用建系法解答立体几何问题的关键是建立合适的空间直角坐标系，通过空间直角坐标运算求得问题的答案.那么如何选取坐标轴和原点，建立合适的直角坐标系呢？主要有以下两种方法.一、根据几何体的性质和特点建系我们知道，空间直角坐标系中的三个坐标轴相互垂直，并相交于一点.因此，在解答立体几何问题时，可以根据简单几何体的特点和性质，尤其是长方体、直棱柱、直棱锥、圆柱的性质和特点来寻找垂直关系.当图形中出现三条直线两两互相垂直且交于一点时，可以将这三条直线看作坐标轴，将该交点视为坐标原点来建系.例1.（2019年全国卷Ⅱ理科·第17题）如图1，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.若AE=A1E，求二面角B-EC-C1的正弦值.
图1图2分析:本题主要考查了二面角的求法.我们根据长方体的特点和性质可知长方体的所有侧棱都与底面垂直，且底面上由顶点出发的两条棱相互垂直，于是可将底面的其中一个顶点视为原点，以由顶点出发的三条棱为x、y、z轴建立空间直角坐标系.然后根据题目给出的条件，找出相关点的坐标，求出两个平面、BEC、ECC1的法向量，再根据公式求出两个平面法向量的夹角余弦值，便可得出夹角的正弦值.解：以点D为坐标原点，DA的方向为x轴的正方向，建立如图2所示的空间直角坐标系D-xyz.设正方形ABCD的边长为1，||AA1=2a，则||A1E=||AE=a，所以||EB1=||EB=a2+1，因为ABCD-A1B1C1D1为长方体，所以B1C1⊥平面ABB1A1，且BE在平面ABB1A1内，因此C1B1⊥BE.由题知BE⊥EC1,所以BE⊥平面EB1C１.且EB1在平面EB1C1内，则BE⊥EB1.在RtΔB1EB中，EB12+EB2=B1B2，即a2+1+a2+1=4a2，所以a=1，所以B(1,1,0)，C(0,1,0)，E(1,0,1)，C1(0,1,2)，所以CE=(1,-1,1)，CB=(1,0,0)，CC1=(0,0,2)设平面BCE的法向量为n1=(x1,y1,z1)，则ìíîn1·CE=x1-y1+z1=0,n1·CB=x1=0,，解得{x1=0,z1=y1,取n1=(0,1,1)，设平面CEC1的法向量为n2=(x2,y2,z2)，则ìíîn2·CE=x2-y2+z2=0,n2·CC1=2z2=0,解得{z2=0,y2=x2,取n2=(1,1,0)，所以cosn1,n2=n1·n2||n1·||n2=12.于是sinn1,n2=32,故二面角B-EC-C1的正弦值为32.例2.如图3，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB、BB1的中点，AA1=AC=CB=22AB.求二巧建系，妙解立体几何题傅灵欣廖小莲
