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高考数学如何利用复数解决几何问题高考数学对于许多学生来说是一项具有挑战性的考试，尤其是在解决几何问题时。
然而，令人鼓舞的是，我们可以利用复数来解决一些困难的几何问题。
本文将介绍如何使用复数来解决高考数学中的几何问题，并探讨复数在解决几何问题中的应用。
1. 复数与平面复数可以看作是二维空间中的点。
一个复数可以由实部和虚部组成，实部表示复数在x轴上的投影，虚部表示复数在y轴上的投影。
通过这种理解，我们可以将复数与平面上的点进行对应。
2. 复数与向量复数也可以看作是一个有方向和大小的向量。
在复数运算中，我们可以利用向量的性质来进行计算。
例如，两个复数的和可以通过将它们的实部相加、虚部相加来得到。
这种对应关系使得我们可以使用复数来进行向量运算，从而解决几何问题。
3. 复数在平面几何中的应用使用复数解决几何问题的一个常见的应用是求解平面图形的定点问题。
例如，给定一个三角形的顶点坐标，我们可以使用复数来表示这些点，并利用复数运算求解三角形的重心、垂心、外心等特殊点的坐标。
这为我们在解决高考数学中的几何问题时提供了一种简便的方法。
4. 复数在解决方程问题中的应用除了在求解定点问题时的应用，复数还可以在解决方程问题中发挥重要作用。
对于某些几何问题，我们可能需要求解方程来得到所需结果。
使用复数可以将复杂的几何问题转化为简单的代数问题，从而方便我们求解方程。
这不仅有助于提高解题速度，还可以减少错误的可能性。
5. 复数的几何意义复数具有许多独特的几何意义。
例如，两个复数的乘积表示它们在平面上的相对缩放和旋转关系。
这种几何意义帮助我们更好地理解复数运算的性质，并在解决高考数学中的几何问题时提供直观的洞察力。
综上所述，利用复数解决几何问题是一项有趣且实用的技巧，可以在高考数学中发挥重要作用。
通过理解复数与平面的对应关系、复数与向量的运算性质，我们可以有效地解决定点问题和方程问题。
同时，复数的几何意义也帮助我们更好地理解和应用复数运算。
复数几何意义的应用
复数在几何中有着广泛的应用，主要体现在以下几个方面：
1. 平面向量
在平面向量的表示中，我们通常使用一个带有方向的箭头来表示向量的大小和方向。
然而，我们也可以用复数来表示平面向量。
具体而言，我们可以将一个平面向量表示成一个复数，其中向量的模长为复数的模，向量的方向与复数的幅角相同。
2. 旋转与平移
在平面几何中，我们常常需要进行旋转和平移操作。
而复数可以很方便地描述这些操作。
具体而言，我们可以用一个复数表示平面上的一个点，然后再用另一个复数表示旋转或平移操作，将两个复数相乘，得到的结果就是旋转或平移后的新点的坐标。
3. 解析几何
解析几何是一种将几何问题转化为代数问题进行求解的方法。
而复数可以很方便地应用到解析几何中。
具体而言，我们可以将平面上的点用复数表示，然后用复数的运算，如加、减、乘、除等，来表示平面几何中的各种操作，如两点之间的距离、直线的方程等。
总之，复数在几何中的应用是非常广泛且有力的，掌握复数的几何意义和运用方法对于几何学习和实际应用都是非常重要的。
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复数在解析几何中的应用随着数学研究的发展，解析几何作为一个关键的分支，几乎覆盖了欧几里德数学的所有领域，并且取得了巨大的成功。
解析几何的概念有着多种可能的应用，尤其是在复数的表述和研究中。
在本文中，我们将讨论复数在解析几何中的应用以及如何利用它来解决复杂的数学问题。
首先，复数可以用来表示几何中的点、线和平面。
例如，如果在直角坐标系中，点 P坐标是 (x, y)，那么 P可以表示为复数 z = x + yi，其中 i虚数单位。
此外，复数还可以用来表示椭圆、圆形和其他的图形。
其次，复数可以用来解决解析几何中的大量数学问题。
例如，复数可以用来解决方程的跟踪问题，即求出一个方程组在解析几何上的解，从而计算出其他几何量，如定点、直线、圆和其他曲线。
另外，复数也可以用来解决几何图形的协调问题，即求出各曲线在给定范围内的协调关系。
此外，复数还可以用来解决具有复杂几何结构的问题，如给定点集的几何构造，以及找出多个几何图形的交互关系。
最后，复数也可以用来推导解析几何的证明，因为它们可以用来转换不可能的几何问题为可能的问题。
例如，当我们知道两个直线将一个平面分为两部分时，如果我们能够通过复数来表示这两条直线，就可以很容易地证明这两个直线是平行的，或者两个点之间的距离是恒定的，或者其他的更复杂的证明。
从上面的讨论中可以清楚地看出，复数在解析几何中有着重要的应用。
它们可以用来表示几何图形，以及用于解决种种复杂的几何问题。
这些复杂的几何问题可以通过复数的推导得到解决，而这些解决方案也是解析几何研究中不可或缺的一部分。
因此，复数在解析几何中起着重要的作用，并且是解析几何研究必不可少的一部分，也是解决复杂数学问题的强大工具。
复数的几何应用与解析几何的结合复数是数学中一种重要的概念，在几何学和解析几何中有着广泛的应用。
本文将介绍复数的几何应用，并探讨复数与解析几何之间的关联。
一、复数的几何应用复数可以用于表示平面上的点或向量，通过复数的坐标或模长和幅角可以得到详细的几何信息。
首先，复数的坐标表示。
对于复数a+bi，其中a和b分别代表实部和虚部，可以将其看作是平面上的一个点(x, y)，其中x=a，y=b。
通过复数的坐标表示，可以得到平面上点的几何信息，比如坐标表示的距离、位置等。
其次，复数的模长和幅角表示。
对于复数a+bi，其模长等于√(a²+b²)，表示了复数到原点的距离；幅角θ=arctan(b/a)，表示了复数与实轴的夹角。
通过模长和幅角的表示，可以得到复数的极坐标形式。
在几何学中，可以利用模长和幅角的概念，进行复数的运算和变换。
复数的几何应用不仅限于表示点和向量，还可以应用于解决几何问题，比如求解平面几何中的相交、垂直、平行等关系。
通过复数的运算和变换，可以将几何问题转化为代数问题，从而简化求解过程。
二、复数与解析几何的结合复数与解析几何之间有着密切的关联，解析几何可以通过复数的表达和计算来进行推导和论证。
首先，复平面与坐标系。
复数可以通过在平面上表示，与坐标系形成对应关系。
在解析几何中，复数可以用于表示平面上的几何对象，比如点、直线、曲线等。
通过复数的运算和变换，可以进行几何图形的平移、旋转、缩放等操作。
其次，复数的运算。
复数的加法、减法、乘法和除法等运算，与解析几何中的向量运算和坐标变换有着一一对应的关系。
通过复数的运算，可以方便地进行几何对象的计算和推导，从而解决几何问题。
最后，解析几何中的方程和曲线。
复数可以通过方程和曲线的表示，提供了解析几何中求解相关问题的新方法。
比如，通过复数的根与方程的解的关系，可以求解解析几何中的交点、切点等问题；通过复数的极坐标表示，可以求解曲线的参数方程。
复数在中学数学解题中的应用举例
复数是数学中的一种重要概念，它不仅仅能够在高等数学中发挥重要作用，在中学数学中也有不少应用。
下面就举几个例子来说明。
1、求解方程
在中学数学中，我们经常会遇到形如$x^2+1=0$的方程，这种方程在实数范围内是无解的。
但如果我们引入虚数单位$i$，则可以得出解$x=pm i$。
这就是复数的一种应用，可以解决实数范围内无解的方程。
2、几何意义
在平面直角坐标系中，复数$a+bi$可以用向量$(a,b)$来表示。
这样，我们就可以把复数看作是一个有方向和长度的向量。
这种视角下，复数的加、减、乘、除等运算就相当于向量的平移、旋转、缩放等运算。
这种几何意义不仅可以帮助我们更好地理解复数，还可以应用于解决一些几何问题。
3、三角函数
三角函数在中学数学中也很重要，而复数可以帮助我们更好地理解三角函数。
例如，欧拉公式$e^{itheta}=costheta+isintheta$就是一个很好的例子。
这个公式把三角函数和复数联系了起来，使得我们可以用复数的方法来处理三角函数。
这种方法不仅简单，而且可以解决一些实际问题，比如电路中的交流电信号。
综上所述，复数在中学数学中有着广泛的应用，它不仅可以解决方程、有助于理解几何问题，还可以帮助我们更好地处理三角函数。
因此，在中学数学学习中，我们应该充分理解复数的概念和应用。
复数的几何意义与运算规则复数起源于解方程中无实数解的情况，它扩展了实数域，使得原本不可能的运算变得有解。
复数的几何意义和运算规则是理解和应用复数的基础。
本文将从几何角度解释复数，介绍复数的四则运算规则，并提供一些实例来进一步说明。
一、复数的几何意义复数可以表示为一个实数和一个虚数的和，其中实数部分代表复数在实轴上的位置，虚数部分代表复数在虚轴上的位置。
我们可以将复数表示为z=a+bi，其中a为实部，b为虚部。
从几何意义上看，复数可以在平面上表示为一个有序数对(a, b)，其中a为复数的实部，b为复数的虚部，平面上的每个点都表示一个复数。
实部和虚部决定了复数在平面上的位置。
二、复数的运算规则1. 加法复数的加法满足交换律和结合律。
当两个复数相加时，实部与实部相加，虚部与虚部相加，得到新的复数。
2. 减法复数的减法可以通过加法和乘法来计算。
减去一个复数相当于加上这个复数的相反数。
3. 乘法复数的乘法满足交换律和结合律。
两个复数相乘时，实部和虚部分别相乘后相加，得到新的复数。
4. 除法复数的除法可以通过乘法和共轭复数来计算。
除以一个复数相当于乘以这个复数的倒数。
三、实例说明例子1：假设有两个复数z1=2+3i和z2=1-2i，求它们的和、差、积和商。
解：两个复数的和：z1+z2=2+3i+1-2i=3+i两个复数的差：z1-z2=2+3i-(1-2i)=1+5i两个复数的积：z1*z2=(2+3i)*(1-2i)=8-1i两个复数的商：z1/z2=(2+3i)/(1-2i)=0.8+1.6i例子2：在复平面上，给定两个复数z1=2+3i和z2=4-2i，求它们的距离和中点。
解：两个复数的距离可以计算为：|z1-z2|=|2+3i-(4-2i)|=|-2+5i|=√((-2)^2+(5^2))=√29两个复数的中点可以计算为：(z1+z2)/2=((2+3i)+(4-2i))/2=(6+1i)/2=3+0.5i以上例子说明了复数的几何意义和运算规则在实际问题中的应用。
复数的几何意义及其应用
复数的几何意义是什么
1、复数z=a+bi 与复平面内的点(a,b)一一对应
2、复数z=a+bi 与向量OZ一一对应,其中Z点坐标为(a,b)
1、复数的运算：复数的加法法则：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数。
两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。
两个复数的和依然是复数。
复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i2=-1，把实部与虚部分别合并。
两个复数的积仍然是一个复数。
复数除法定义：满足的复数叫复数a+bi除以复数c+di的商。
运算方法：将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再用乘法法则运算。
2、我们把形如z=a+bi(a,b均为实数)的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。
当z的虚部等于零时，常称z 为实数;当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。
复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。
复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。
复数的几何意义在数学中，我们经常会遇到复数的概念和使用。
虽然复数在代数学中有着重要的作用，但它们在几何学中也具有深远的意义。
本文将探讨复数在几何学中的意义，并展示它们在平面几何中的应用。
1. 复数的定义复数是由一个实数和一个虚数组成的数，通常表示为"a+bi"的形式，其中a是实部，bi是虚部，而i是虚数单位，满足i^2 = -1。
复数可以用平面上的点来表示，实部对应点的x坐标，虚部对应点的y坐标。
2. 复数的模和参数复数的模表示复数到原点的距离，可以使用勾股定理来计算，即模=√(a^2 + b^2)。
复数的参数表示复数与正实轴之间的夹角，可以使用反三角函数来计算，即参数=arctan(b/a)。
3. 复数的几何表示复数可以用向量来表示，向量的起点为原点，终点为该复数对应的点。
因此，复数的几何表示就是平面上的一个向量。
通过调整实部和虚部的数值，可以得到不同的向量。
4. 复数的加法和减法复数的加法可以看作是向量的相加，即将两个复数的向量相加，得到一个新的向量。
减法可以看作是向量的相减，即将两个复数的向量相减，得到一个新的向量。
这两个操作在平面几何中对应着向量的平移。
5. 复数的乘法和除法复数的乘法可以看作是向量的旋转和缩放，即将一个复数的向量旋转一定角度，并将向量的长度乘以一个因子，得到一个新的向量。
除法可以看作是向量的反向旋转和缩放，即将一个复数的向量旋转一定角度，并将向量的长度除以一个因子，得到一个新的向量。
6. 复数的共轭复数的共轭表示将复数的虚部取相反数，保持实部不变。
共轭的几何意义是将复数表示的向量关于实轴反射得到的新向量。
7. 复数在平面几何中的应用复数在平面几何中有广泛的应用。
例如，可以使用复数来表示平移、旋转和缩放等变换。
复数的乘法和除法可以用来进行向量的旋转和缩放操作。
此外，复数还可以表示平面上的点，通过复数的运算可以得到点之间的距离和夹角等信息。
总结：复数在几何学中有着重要的意义，可以用来表示平面上的向量和点。
高中数学知识点归纳复数的应用在高中数学中，我们经常会遇到复数的应用。
复数是由实部和虚部组成的数，可以表达实际问题中的某些特性。
接下来，我将归纳总结一些高中数学中涉及到复数的应用知识点。
一、复数与平面几何在平面几何中，复数可以与向量相互转化。
假设复数 z = a + bi，其中 a 和 b 分别代表实部和虚部，那么可以将 z 视为平面上的一个点 P(x, y)，其中x = a，y = b。
这样，复数的加减乘除运算就对应了点的平移、旋转和缩放等几何变换。
1. 复数的加法和减法设 z1 = a1 + b1i 和 z2 = a2 + b2i 是两个复数，它们的加法和减法运算如下：- 加法：z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i- 减法：z1 - z2 = (a1 - a2) + (b1 - b2)i2. 复数的乘法和除法设 z1 = a1 + b1i 和 z2 = a2 + b2i 是两个复数，它们的乘法和除法运算如下：- 乘法：z1 * z2 = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + a2b1)i- 除法：z1 / z2 = [(a1a2 + b1b2) / (a2^2 + b2^2)] + [(a2b1 - a1b2) /(a2^2 + b2^2)]i二、复数与方程复数的引入，使得一些原本无解的方程也可以得到解决。
在高中数学中，我们常常会遇到二次方程和高次方程的求解问题。
1. 二次方程的根对于二次方程 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 均为实数且a ≠ 0，如果其判别式Δ = b^2 - 4ac 小于 0，那么方程没有实数根，但可以用复数根来表示。
复数根的计算如下：- 当Δ < 0 时，方程的两个根为 x1 = [-b + √(-Δ)] / (2a) 和 x2 = [-b -√(-Δ)] / (2a)2. 高次方程的根在解高次方程时，复数的引入可以帮助我们找到一些特殊的根。
复数思想在平面几何中的应用一、基本思想用复数解几何问题的重要依据是复数的向量表示。
凡是能用平面向量运算能解的题目，也一定可以用复数运算来求解，而且由于复数乘法用来实现向量的旋转，比向量解法显得更简便，使一些问题几乎只留下直截了当的计算，而不必多费脑筋。
解题的关键在于熟练掌握复数运算的几何意义。
二、复数的表示及常用结论（1）复数z x yi =+与复平面上的点(,)x y 建立一一对应。
||z 表示点z 到原点的距离，给定复数z ，以原点为起点，以z 为终点作向量oz ，在复平面上，复数z 也可与向量oz 建立一一对应。
因此，我们在应用中记号z 同时可表示复数z 、点z ，以及向量oz 而不加以区别。
（2）(cos sin )i z r i re θθθ=+=是复数表示的三角形式及指数形式。
||r z =，θ是实轴正向到向量oz 的旋转角，有无穷多个值，规定02θπ≤<时，称为辐角主值，记为arg z 。
（3）复数加减法与平面向量加减法的平行四边形法则一致。
12||z z -表示1z 与2z 间的距离，且有不等式121212z z z z z z -≤+≤+。
前（后）一个不等式成立的充要条件是1z 与2z 反（同）向。
（4）复数乘法的几何意义是向量的旋转和伸缩，具体地为 ①i z e θ⋅表示将向量oz 旋转θ角。
②()z R ρρ+⋅∈表示将z 伸缩到原来的ρ倍。
（5）定比分点公式设1z 、2z 是直线l 上的两个定点，R λ∈，z 是l 上任一点，且112z zz z λ=，则 12(1)z z z λλ=-+，特别地，线段12z z 的中点122z z z +=。
又ABC ∆重心3A B CG ++=，且由此得 123,,z z z 共线⇔存在不全为零的实数123,,λλλ使1230λλλ++=且1122330z z z λλλ++=.若123,,z z z 不共线，且存在实数123,,λλλ同时满足1230λλλ++=且1122330z z z λλλ++=，则123λλλ==.（6）三角形的面积公式设123z z z ∆是复平面上一个正向三角形（123,,z z z 按逆时针方向绕行），则1231223311Im()2z z z S z z z z z z ∆=++ 证明：如图 因为3121argz z z z θ-=-，所以2131313121213121||()||()i z z z z z z z z e z z z z z z z z θ----==---- 2131213111||||sin ||||Im()22i S z z z z z z z z e θθ∆=-⋅-⋅=-⋅-⋅ 213121313121||()1||||Im 2||()z z z z z z z z z z z z --=-⋅-⋅-- 22312121()1Im ||(||)2()z z z z z zz z z ⎡⎤-=-=⎢⎥-⎣⎦ 21311Im[()()]2z z z z =-- 1223311Im()2z z z z z z =++ 由该结论，又有123,,z z z 共线⇔122331z z z z z z R ++∈.（7）n 个n 次单位根将原点为圆心的单位圆n 等分，即1nz =的根为22(1)0111,,,n i innn e eππεεε--===是以原点为圆心的单位圆的内接正n 边形的顶点，且有231121311,,,n n εεεεεε--===.（8）123z z z ∆为正向正三角形的充要条件是：21230z z z ωω++=，其中23ieπω=是一个3次单位根。
（210ωω++=）或21230u z uz z -+=，其中3iu e π=. （231,1u u u =-=-）证明：若123z z z ∆为正向正三角形，则，且12z z 到13z z 扫过的有向角为3π，即 3312121()()iz z z z ez z u π-=-=-，由此可得 123(1)0u z uz z --+=，又21u u -= 故上式写为 21230u z uz z -+=.另外，由此式反推回去可证明123z z z ∆为正向正三角形。
（9）复平面上任意三点不共线的四点A 、B 、C 、D 形成平行四边形⇔A ＋C ＝B ＋D （即对角线互相平分）.三、例题分析例1 延长△ABC 的三边BC 、CA 、AB 到A '、B '、C '，使:::CA BC AB CA BC AB '''==. 证明：ABC ∆与A B C '''∆有相同的重心。
证明：设:::CA BC AB CA BC AB λ'''===由定比分点公式有(1)A C B λλ'=+-，(1)B A C λλ'=+-，(1)C B A λλ'=+-，故A B C A B C '''++=++，从而重心坐标相同。
■例2 凸四边形对边中点的连线叫做此四边形的中位线。
若某凸四边形两中位线长度之和等于周长之半，求 ：此四边形为平行四边形。
(1980年苏联列宁格勒数学竞赛试题)证明：设此四边形的四顶点的复数表示为A 、B 、C 、D ，利用中点公式，则题目的条件是1(||||||||)22222A B C D B C D A A B B C C D D A ++++-+-=-+-+-+- 于是()()()()||||||||A D B C B A C D A B B C C D D A -+-+-+-=-+-+-+-由此可见，在下列不等式()()A D B C A D B C -+-≤-+-，()()B A C D B A C D -+-≤-+-，中均应成立等号，这必须且只须()A D B C λ-=-，()B A C D μ-=-，其中0,0λμ>>由此得 ()A D B C λ=+-，()A B D C μ=+-， 我们得出等式()()D B C B D C λμ+-=+-即(1)()(1)0B C D λμλμ-+-+-=又(1)()(1)0λμλμ-+-+-=，且B 、C 、D 不共线，从而1λμ==，故DA CB =， 故ABCD 为平行四边形。
例3 P 为正方形ABCD 内一点，BMNP 、APEF 都是与ABCD 有相同转向的正方形。
求证：//AM FC 且AM FC =.证明：设P 为复平面的原点，由,,BM i BP AP i AF BC i BA ⋅=⋅=⋅=知(1),(1),(1)M i B F i A C i B iA =+=-=+-故(1)AM M A B i A =-=+-，(1)(1)(1)FC C F i B iA i A i B A =-=+---=+- 即AM FC =，故//AM FC 且AM FC =. ■例4 以四边形ABCD 的各边为斜边向外作等腰直角三角形ABP 、BCQ 、CDR 、DAS. 求证：RP ⊥QS 且RP ＝QS.证明：由 PB i PA ⋅= 知 22A B A BP i +-=+ 同理可得 22C D C D R i +-=+，22B C B C Q i +-=+，22D A D AS i +-=+，计算22A B C D A B C DRP P R i +----+=-=+22D A B C D A B CQS S Q i +----+=-=+∴QS i RP ⋅=，故RP ⊥QS 且RP ＝QS. ■例5（87年全国MO ） 如图，ABC ∆和ADE ∆是两个不全等的等腰直角三角形，90B D ∠=∠=，现固定ABC ∆，而将ADE ∆绕A 点在平面上旋转。
试证：不论ADE ∆旋转到什么位置，线段EC 上必存在点M ，使得BMD ∆为等腰直角三角形。
分析：在Rt ADB ∆中，222BD AB AD =+，在Rt BDM ∆ 中，222BD BM =，在BMC ∆中，45C ∠＝，用余弦定理求出BM ，从而定出2()2CM AB AD -＝。
证明：以A 为复平面中心，由BA i BC ⋅=知(1)C i B =-。
不论ADE ∆转到何处，始终有DE i DA ⋅=，2E CM +=，即(1)E i D =+， (1)(1)2i B i D M -++=，(1)(1)2i B i DMB B M +++=-=， (1)(1)2i B i DMD D M -+-=-=，MD i MB ⋅=，即MD MB ⊥， MBD ∴∆为等腰直角三角形。
例6 如果圆内接六边形ABCDEF 满足AB ＝CD ＝EF ＝R ，其中R 为圆的半径。
求证：BC 、DE 、FA 的中点P 、Q 、R 联成一个正三角形。
证明：设圆心为原点，3iu e π=，则,,B Au D Cu F Eu ===， 由中点公式 11()()22P B C Au C =+=+ 11()()22Q D E Cu E =+=+， 11()()22R F A Eu A =+=+由于31u =-，所以222()()()()0Pu Qu R Au C u u Cu E Eu A -+=+-+++=故PQR ∆为正三角形。
■例7（拿破仑定理）以ABC ∆的三边为底，分别向外作顶角为120的等腰三角形PAB ∆、QBC ∆、RCA ∆。
求证：PQR ∆是正三角形。
证明：记23i eπω=，由()A R C R ω-=-知 1A CR ωω-=-，同理可得： 1B A P ωω-=-，1C BQ ωω-=-， 从而20P Q R ωω++=，故PQR ∆是正三角形。
例8 四边形ABCD 中，AD 、BC 交于F ，AB 、DC 交于E ，M 、N 、L 分别是AC 、BD 、EF 的中点。
证明：M 、N 、L 共线。
分析：若用综合法，共线的条件不好找，而用复数求解，剩下的只有计算而已。
证明：因为 4()M N NL LM ⋅++()()()()()()A C B D B D E F E F A C =++++++++()()()()AB BE EA AD DF F A CB BF FC CD DE EC =+++++++++++又A 、B 、E 和A 、D 、F 和B 、C 、F 和D 、C 、E 分别共线，故4()0M N NL LM ⋅++=从而M 、N 、L 共线。
■例9 在四边形ABCD 中，AC BD AB CD AD BC ⋅≤⋅+⋅，等式成立当且仅当A 、B 、C 、D 共圆。
