高中数学 第一章 立体几何初步 6.2 垂直关系的性质学

1 6．2 垂直关系的性质 学习目标 1.掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理.2.能运用性质定理解决一些简单问题.3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系．

知识点一 直线与平面垂直的性质定理 思考 在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆．一排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直，这些电线杆之间的位置关系是什么？ 答案 平行． 梳理 性质定理 文字语言 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行

符号语言 

a⊥α

b⊥α⇒a∥b

图形语言

知识点二 平面与平面垂直的性质 思考 黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？ 答案 容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直． 梳理 性质定理

文字语言 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 符号语言 α⊥β，α∩β＝l，aα，a⊥l⇒a⊥β

图形语言

1．若平面α⊥平面β，任取直线lα，则必有l⊥β.( × ) 2

2．已知两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．( × )

类型一 线面垂直的性质及应用 例1 如图所示，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1.

考点 直线与平面垂直的性质 题点 应用线面垂直的性质定理判定线线平行 证明 如图，连接AB1，B1C，BD，B1D1.

∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD， ∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D， ∴AC⊥平面BDD1B1， 又BD1平面BDD1B1， ∴AC⊥BD1. 同理BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1C. ∵EF⊥A1D，且A1D∥B1C，∴EF⊥B1C. 又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C， ∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1. 反思与感悟 证明线线平行的常用方法 (1)利用线线平行定义：证共面且无公共点． (2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线． (3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行． (4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直. (5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行． 3

跟踪训练1 如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B，aα，a⊥AB.求证：a∥l. 考点 直线与平面垂直的性质 题点 应用线面垂直的性质定理判定线线平行 证明 ∵PA⊥α，lα，∴PA⊥l. 同理PB⊥l.∵PA∩PB＝P，∴l⊥平面PAB. 又∵PA⊥α，aα，∴PA⊥a. ∵a⊥AB，PA∩AB＝A，∴a⊥平面PAB.∴a∥l. 类型二 面面垂直的性质及应用 例2 如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.

求证：BC⊥AB. 考点 平面与平面垂直的性质 题点 应用面面垂直的性质定理判定线线垂直 证明 如图，在平面PAB内，

作AD⊥PB于点D. ∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB， AD平面PAB.

∴AD⊥平面PBC. 又BC平面PBC，∴AD⊥BC. 又∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC， 又∵PA∩AD＝A，PA，AD平面PAB， ∴BC⊥平面PAB. 4

又AB平面PAB，∴BC⊥AB. 反思与感悟 证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理．本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线． 跟踪训练2 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为边AD的中点．

求证：(1)BG⊥平面PAD； (2)AD⊥PB. 考点 平面与平面垂直的性质 题点 应用面面垂直的性质定理判定线面垂直 证明 (1)∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°， ∴△ABD是正三角形，又G为AD的中点， ∴BG⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG平面ABCD， ∴BG⊥平面PAD. (2)由(1)可知BG⊥AD，由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.又BG∩PG＝G， ∴AD⊥平面PBG，又PB平面PBG， ∴AD⊥PB. 类型三 垂直关系的综合应用 命题角度1 线线、线面、面面垂直的转化 例3 如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点，求证：

(1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； 5

(3)平面BEF⊥平面PCD. 考点 垂直问题的综合应用 题点 线线、线面、面面垂直的相互转化 证明 (1)∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD. (2)∵AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BE∥AD. 又AD平面PAD，BE⊈平面PAD，∴BE∥平面PAD. (3)在平行四边形ABED中， ∵AB⊥AD，∴四边形ABED为矩形， ∴BE⊥CD. ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB， 又AB⊥AD，PA∩AD＝A， ∴AB⊥平面PAD， ∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD. 又E，F分别为CD和PC的中点， ∴EF∥PD，∴CD⊥EF. ∵EF∩BE＝E，EF，BE平面BEF， ∴CD⊥平面BEF. 又∵CD平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD. 反思与感悟 在空间垂直关系中，线面垂直是核心，已知线面垂直，既可为证明线线垂直提供依据，又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫．应用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而可转化为线线垂直问题． 跟踪训练3 如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，AB⊥AC，DC⊥BC.求证：平面ABD⊥平面ACD.

考点 垂直问题的综合应用 题点 线线、线面、面面垂直的相互转化 证明 ∵平面ABC⊥平面BCD， 6

平面ABC∩平面BCD＝BC，在平面ABC内，作AE⊥BC于点E， 如图，则AE⊥平面BCD.

又CD平面BCD， ∴AE⊥CD. 又BC⊥CD，AE∩BC＝E， AE，BC平面ABC，

∴CD⊥平面ABC， 又AB平面ABC，∴AB⊥CD. 又AB⊥AC，AC∩CD＝C， AC，CD平面ACD.

∴AB⊥平面ACD.又AB平面ABD， ∴平面ABD⊥平面ACD. 命题角度2 垂直中的探索性问题 例4 已知在三棱锥A－BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，

F分别是AC，AD上的动点，且AEAC＝AFAD＝λ(0＜λ＜1)．

(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC； (2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD? 考点 线、面平行、垂直的综合应用 题点 平行与垂直的计算与探索性问题 (1)证明 ∵∠BCD＝90°，∴BC⊥CD. ∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD. 又∵AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.

∵AEAC＝AFAD，∴EF∥CD，∴EF⊥平面ABC. 7

又∵EF平面BEF， ∴平面BEF⊥平面ABC. 故不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC. (2)解 由(1)得EF⊥平面ABC，BE平面ABC， ∴EF⊥BE. 要使平面BEF⊥平面ACD，只需BE⊥AC. ∵∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，∴BD＝2. 又∵AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°， ∴AB＝6，AC＝7，

∴BE＝AB·BCAC＝427，∴AE＝677， ∴λ＝AEAC＝67. 故当λ＝67时，平面BEF⊥平面ACD. 反思与感悟 解决开放性问题一般先从结论入手，分析得到该结论所需的条件或与其等价的条件，此类型题考查空间想象能力、推理论证能力、分析问题和解决问题的能力． 跟踪训练4 如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC.

(1)求证：D1C⊥AC1； (2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由． 考点 线、面平行、垂直的综合应用 题点 平行与垂直的计算与探索性问题 (1)证明 在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，连接C1D， ∵DC＝DD1，∴四边形DCC1D1是正方形， ∴DC1⊥D1C. 又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1＝D， ∴AD⊥平面DCC1D1，∴AD⊥D1C. ∵AD，DC1平面ADC1，且AD∩DC1＝D， ∴D1C⊥平面ADC1.