最新6.2垂直关系的性质_天文地理_自然科学_专业资料.ppt

提示：C 因为 l⊥AB，l⊥AC，AB α，AC α，且 AB∩AC＝A，所 以 l⊥α，同理可证 m⊥α，所以 l∥m.
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提示
3．若 m、n 表示直线，α 表示平面，则下列判断中，正确判断的个数为
()
① mm∥⊥nα⇒n⊥α； ② mn⊥⊥αα⇒m∥n；
(2)如果两个平面垂直，那么与其中一个平面平行的平面
□09 垂直于另一个平面
(3)如果两个平面垂直，那么其中一个平面的垂线
□10 平行于另一个平面或在另一个平面内
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【即时小测】 1．思考下列问题 (1)一般地，如果直线 a⊥α，直线 b⊥α，这时，a 和 b 平行吗？你能给 出证明吗？ 提示：a 和 b 平行．证明如下： 如图，假定 a 和 b 不平行．
平面角，因为平面 α⊥平面 β，所以∠ABC＝90°，即 AB⊥BC，
又已知 AB⊥MN，从而 AB⊥α.
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提示
2．△ABC 所在的平面为 α，直线 l⊥AB，l⊥AC，直线 m⊥BC，m⊥AC， 则直线 l，m 的位置关系是( )
A．相交 B．异面 C．平行 D．不确定
作 DF⊥AC 于点 F，平面 PAC⊥平面 ABC，且交线为 AC，
∴DF⊥平面 PAC.又 PA 平面 PAC，∴DF⊥AP.
作 DG⊥AB 于点 G，
同理可证 DG⊥AP，DG、DF 都在平面 ABC 内且交点为 D，∴PA⊥平
面 ABC.
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●教学流程
演示结束
1.理解直线与平面垂直的性质定理(重点)． 2．理解平面与平面垂直的性质定理(重点)． 课标解读 3．理解并掌握空间“平行”与“垂直”之间的 相互转化(难点).
直线与平面垂直的性质定理
【问题导思】 在大路的两侧有许多树木，这些树木垂直于地面，那 么这些树木所在直线是怎样的位置关系呢？ 【提示】 平行．
平面与平面垂直的性质定理
【问题导思】 黑板所在平面与地面所在平面垂直，能否在黑板上画 一条直线与地面垂直？ 【提示】 画一条直线与黑板面、地面的交线垂直即 可．
线面垂直性质定理的应用
如图1－6－16，在正方体ABCD－A1B1C1D1 中，点E、F分别在A1D、AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求 证：EF∥BD1.
●教学建议 本节知识是在学习了垂直关系的判定后继续对垂直关 系的研究，教学时可以引导学生思考判定定理与性质定理 的相互联系．让学生进一步明确，由直线和平面垂直可以 推出两个平面相互垂直，而由两个平面相互垂直也可以推 出直线和平面垂直，这一方面说明两种垂直之间有密切的 联系，另一方面也说明两者之间可以互相转化．
D．n α
【解析】 ∵l α且l与n异面，∴n α，又∵m⊥α，n⊥
m，∴n∥α.
【答案】 A
2．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点P∈l，给出下面四
个结论：
①过P与l垂直的直线在α内；
②过P与β垂直的直线在α的平面必与l垂直．
其中正确的命题是( )
(12分)如图1－6－20，四棱锥S－ABCD中，SD ⊥平面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝AD＝1，SD＝2， BC⊥BD，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC.
(1)证明：DE⊥平面SBC； (2)证明：SE＝2EB. 【思路点拨】 由平面 EDC⊥平面SBC可考虑 作或找这两个平面交线的垂线．

1．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是 棱DD1的中点，则过M且与直线AB和B1C1 都垂直的直线有( )条
A．1
B．2
C．3
D．无数条
解析：显然DD1是满足条件的一条，如果还有一条l满 足条件，则l⊥B1C1，l⊥AB，又AB∥C1D1，则 l⊥C1D1， B1C1∩C1D1＝C1，∴l⊥平面B1C1D1. 同理DD1⊥平面B1C1D1，则l∥DD1.又l与DD1都过M.这 是不可能的，因此只有DD1一条满足条件． 答案：A
3．(2011·郓城高一模块测试)如图，已知PA⊥平面ABC， 平面APB⊥平面BPC. 求证：AB⊥BC. 证明：平面PAB⊥平面CPB，且PB为交线． 如图，在平面PAB内，过A点作AD⊥PB，D为垂 足，则AD⊥平面CPB，又BC 平面CPB， 所以AD⊥BC. 因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以 PA⊥BC，又PA∩AD＝A，所以BC⊥平面PAB， 又AB 平面PAB，所以AB⊥BC.
[一点通] 线面平行和线面垂直是立体几何中经常 考查的位置关系之一，当已知线面、面面垂直(平行)时 可考虑性质定理，要证明线面、面面垂直(平行)时考虑 判定定理．
5．(2011·南昌第一次模拟)已知α、β是平面，m、n
是直线，给出下列命题：
①若m⊥α，m β，则α⊥β；
②若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β；
(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD. 证明：①当D在平面ABC内时， 因为AC＝BC，AD＝BD， 所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即 AB⊥CD. ②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE. 又因AC＝BC，所以AB⊥CE. 又DE∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE. 又CD 平面CDE，得AB⊥CD. 综上所述，总有AB⊥CD.

个平面，那么这两条直线平行． • (2)符号表示：若a⊥α，b⊥α，则a∥b. • (3)图形表示：
• (4)简记为：线面垂直⇒线线平行．
• 拓展：直线与平面垂直的性质还有：①一条 直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于该 平面内的所有直线；②两条平行线中的一条 垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平 面；③垂直于同一直线的两个平面平行．
本例若改为：α∩β＝l，E 是 α，β 外一点，EA⊥α 于 A， EB⊥β 于点 B，a β，a⊥AB.求证：a∥l.
[证明] ∵EA⊥α，∴EA⊥l， ∵EB⊥β，∴EB⊥l， 又 EA∩EB＝E，∴l⊥面 EAB. 同理可证：a⊥面 EAB. ∴a∥l.
•面面垂直性质定理的应用
如图，正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互相垂直，AF∥BE，AF⊥EF，AF＝EF＝12BE.
求证：EA⊥平面 ABCD.
[思路分析] 解答本题的关键是证明 EA⊥AB，为此应该在 平面四边形 ABEF 中，利用 AF∥BE，AF⊥EF，AF＝EF＝12BE 等条件计算 AB，AE，BE 的长度，利用勾股定理的逆定理证明．
[规范解答] 设 AF＝EF＝a，则 BE＝2a. 过 A 作 AM⊥BE 于 M. ∵AF∥BE，∴AM⊥AF. 又∵AF⊥EF，∴AM∥EF， ∴四边形 AMEF 是正方形． ∴Aห้องสมุดไป่ตู้＝a，EM＝MB＝a，
• [分析] 利用已知三角形中的长度关系求解注 意△ACB，△BCD都是Rt△.
易错疑难辨析
• [错解] ∵SA⊥平面ABC，且平面SAB⊥平 面SBC，∴BC⊥SB，∴BC⊥平面SAB.
• 飞机的垂直安定面的作用是使飞机在偏航方 向上(即飞机左转或右转)具有静稳定性．当 飞机受到气流的扰动，机头偏向左或右时， 此时作用在垂直安定面上的气动力就会产生 一个与偏转方向相反的力矩，使飞机恢复到 原来的飞行姿态．今天我们就来学习这种互 相垂直的平面之间的知识.

D．A1A
B [可证 BD⊥平面 AA1C1C，而 CE 平面 AA1C1C，故 BD⊥CE.]
2．若平面 α⊥β，直线 a∥α，则( )
A．a⊥β
B．a∥β 或 a β
C．a 与 β 相交
D．a β 或 a∥β 或 a 与 β 相交
D [a 与 β 三种位置关系都有可能．]
3．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该
第一章 立体几何初步
§6 垂直关系 6.2 垂直关系的性质
学习目标
核心素养
1.理解直线与平面、平面与平面垂 1.通过学习直线与平面、平面与平
直的性质定理．(重点) 面垂直的性质定理提升数学抽象、
2．理解并掌握空间“平行”与 直观想象素养．
“垂直”之间的相互转化．(难点、 2．通过应用线面与面面垂直的性
()
[解析] (3)×，α∥γ 或 α∩γ＝l. [答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．已知平面 α⊥平面 β，α∩β＝l，点 P∈l，给出下面四个结论：
①过 P 与 l 垂直的直线在 α 内；
②过 P 与 β 垂直的直线在 α 内；
③过 P 与 l 垂直的直线必与 α 垂直；
④过 P 与 β 垂直的平面必与 l 垂直．
立体几何中的垂直关系有三类：线线垂直、线面垂直、面面垂 直．处理垂直问题时，要注意三者之间的内在联系．转化思想是立体 几何中解决垂直问题的重要思想．垂直关系的转化如下：
课堂 小结 提素 养
1．线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系 的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．
[解] (1)证明：设 G 为 AD 的中点，连接 PG，BG，
∵△PAD 为正三角形，∴PG⊥AD. 在菱形 ABCD 中，∠DAB＝60°， G 为 AD 的中点，∴BG⊥AD. 又 BG∩PG＝G，∴AD⊥平面 PGB. ∵PB 平面 PGB，∴AD⊥PB. (2)当 F 为 PC 的中点时，满足平面 DEF⊥平面 ABCD.

BC AB
研一研·问题探究、课堂更高效
小结:一证明线线垂直往往要证线面垂直；二证明线面垂直，
本 除利用定义和判定定理外，另外一种重要的方法是利用面面
课 时
垂直的性质定理证明，应用时应注意：(1)两平面垂直；(2)
栏 目
直线必须在一个平面内；(3)直线垂直于交线．
跟踪训练1 如图，沿直角三角形ABC的中位线DE将平面ADE折起，使
目
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1．直线与平面垂直的性质定理是平行关系与垂直关系的完美结合，
利用垂直关系可判定平行，反过来由平行关系也可判定垂直，即
本
两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于
课 时
这个平面．
栏 目
2．面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理．
作业ห้องสมุดไป่ตู้
• 一默写两个性质定理 • 二跟踪训练1，2
∴PG⊥平面 ABCD，∴PG⊥BG.
又∵四边形 ABCD 是菱形且∠DAB＝60°，
∴△ABD 是正三角形，∴BG⊥AD.
研一研·问题探究、课堂更高效
又 AD∩PG＝G，∴BG⊥平面 PAD.
(2)由(1)可知 BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，
本
课
所以 AD⊥平面 PBG，
时 栏
所以 AD⊥PB.
得平面ADE⊥平面BCDE，得到四棱锥A-BCDE．求证：平 面ABC⊥平面ACD．
证明： 面ADE 面BCDE, AD DE
AD 面BCDE
AD BC 又 BC CD,AD CD D BC 面ACD
又 BC 面ABC 面ACD 面ABC
跟踪训练 2 如图所示，P 是四边形 ABCD 所

β N α
是垂直。因为平面α⊥平面β，所以 M
∠ABC=900，即AB ⊥BC，又AB
β
⊥MN，而MN∩BC=B，且MN⊆α， A N
BC⊆α，所以AB ⊥平面α。
α
平面与平面垂直的性质：
BC M
定理6.4 如果两个平面互相垂直，那么在一个平
面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
即“面面垂直⇒线面垂直”
①l1∥l2 A1B2-A2B1=0 且 B1C2-B2C1≠0
②l1⊥l2 A1A2+B1B2=0
③l1与l2相交 A1B2-A2B1≠0
④l1与l2重合 A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1=0。
到角与夹角：
两条直线l1,l2相交构成四个角，它们是两对对顶角，把l1 依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的 角，l1到l2的角的范围是(0，π)．l1与l2所成的角是指不大
§6.2 垂直关系的性质
一、直线与平面垂直的性质 二、平面与平面垂直的性质
一、直线 与平面垂直的性质
问题1、直线 与平面垂直的定义是什么？
问题2、若直线a⊥平面α，b⊆α，则直线a与b有什
么位置关系？ (a⊥b)
问题3、在平面 内，同垂直于同一直线 的两条直线有 什么位置关系？（平行）
问题4、若两条直线a、b都垂直平面α，那么直线a、
面，那么这两条直线平行。 例1、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，
PA⊥平面ABC，A在PB，PC上的射影分别为E，F。
求分证析：：P（B1⊥）B平C面与A平F面E。PAC垂直吗P？ E
为什么？
（2）直线BC与直线AF有何位置
关系？为什么？
α

1．直线与平面垂直的性质定理
文字语言
图形语言
如果两条直线同 _垂__直__于__一__个__平__面__, 那么这两条直线
平行
符号语言 ________ba__⊥⊥____αα________⇒a∥b
2.平面与平面垂直的性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
如果两个平面互 相垂直，那么在 一个平面内垂直 于它们__交__线____ 的直线垂直于另 一个平面
1．如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M 是 AB 上一 点，N 是 A1C 的中点，MN⊥平面 A1DC.求证：MN∥AD1.
证明：因为 ADD1A1 为正方形， 所以 AD1⊥A1D. 又因为 CD⊥平面பைடு நூலகம்ADD1A1， 所以 CD⊥AD1.因为 A1D∩CD＝D， 所以 AD1⊥平面 A1DC. 又因为 MN⊥平面 A1DC， 所以 MN∥AD1.
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月10日星期五2021/9/102021/9/102021/9/10 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/102021/9/10September 10, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/10 • You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。 •

做一做2 下列说法中错误的是( ) A.如果α⊥β,那么α内的所有直线都垂直β B.如果一条直线垂直于一个平面,那么此直线必垂直于这个平面 内的所有直线 C.如果一个平面通过另一个平面的垂线,那么两个平面互相垂直 D.如果α不垂直于β,那么α内一定不存在垂直于β的直线 解析:根据两平面垂直的性质定理,可知A错误,故选A. 答案:A
答疑解惑
AYIJIEHUO
D当堂检测 ANGTANGJIANC
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)垂直于同一条直线的两条直线平行. ( ) (2)垂直于同一条直线的两条直线垂直. ( ) (3)垂直于同一个平面的两条直线平行. ( ) (4)垂直于同一条直线的直线和平面平行. ( ) (5)如果两个平面垂直,且经过第一个平面内一点作一条直线垂直于 第二个平面,那么该直线一定在第一个平面内. ( )
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答疑解惑
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证明:如下图所示,连接AC,与BD交于点F,连接EF.
∵F为▱ABCD的对角线AC与BD的交点, ∴F为AC的中点. 又E为SA的中点,∴EF为△SAC的中位线, ∴EF∥SC. ∵SC⊥平面ABCD, ∴EF⊥平面ABCD. 又EF⫋平面EBD,∴平面EBD⊥平面ABCD.
答疑解惑
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探究三
易错辨析
探究一
探究二
变式训练1
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②过 P 与 β 垂直的直线在 α 内；
③过 P 与 l 垂直的直线必与 α 垂直；
④过 P 与 β 垂直的平面必与 l 垂直．
其中正确的命题是( )
A．②
B．③ C．①④
D．②③
A [因为 α⊥β，α∩β＝l，P∈l，所以过点 P 作 β 的垂直直线必在平面 α 内且和 l 垂直，①③④的情况则可能成立，也可能不成立．]
∴BC⊥平面 VAB，VA 平面 VAB，∴BC⊥VA， 又 VB⊥平面 VAD，∴VB⊥VA，又 VB∩BC＝B， ∴VA⊥平面 VBC， ∵VA 平面 VAC， ∴平面 VBC⊥平面 VAC.
垂直关系 的综合 应用
[探究问题] 1．如图 1-6-25，四边形 ABCD 是正方形，SA⊥平面 ABCD，BK⊥SC 于 点 K，连接 DK.判断平面 SBC 与平面 KBD 是否垂直，并说明理由．
母题探究：1.本题条件不变，试求 PB 与平面 ABCD 所成二面角的大小．
[解] 如例题解答图， ∵△PAD 为正三角形，G 为 AD 中点， ∴PG⊥AD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD 且交线为 AD， ∴PG⊥平面 ABCD.
∴∠PBG 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角． 连接 BD，则△ABD 为边长为 a 的正三角形，
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一
个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )
A．相交
B．平行Leabharlann C．异面D．相交或平行
B [圆柱的母线垂直于圆柱的底面，由线面垂直的性质知 B 正确．]
3．若平面 α⊥平面 β，且平面 α 内的一条直线 a 垂直于平面 β 内的一条 直线 b，则( )