贝努力大数定律

分布
①k1-k
②
③
二项分布
①
②
③
泊松分布
①
②
③
④泊松定理
超几何分布
其中，n,N,M为正整数，且n≤N,l=min{M,n},则称服从参数为n,M,N的超几何分布，记作X~H(n,M,N).
均匀分布
①
②
③
指数分布
①
②
③
正态分布
①)
②) ③
④
若，则。

协方差的性质
1、
2、
3、
4、
大数定律和中心极限定理
切比雪夫不等式或
切比雪夫大数定律
贝努力大数定律
辛钦大数定律
中心极限定理
抽样分布
Χ2分布
性质1：设,,并且，独立，则有性质2：设,则有.
T分布
性质1：设,则有
性质2：设,是T的概率密度，则
F分布
性质1：,则.
性质2：,则
性质3：.
参数估计
矩估计法：从总体X中抽取样本取样本k阶原点矩作为总体X的K阶原点矩的估计量，即
最大似然估计法：
1、离散型：
2、连续型：
似然方程：
对数似然方程：
无偏性：
有效性：,较更有效
一致性：或。

贝努力近代科学史上，最著名的科学家家族可能要算伯努利家族了。

伯努利家庭是瑞士的一个曾产生过11位科学家的家族。

其中著名的有雅可比·伯努利、雅可比的弟弟约翰·伯努利、约翰的次子丹尼尔·伯努利等。

雅格布·伯努利（Jakob Bernoulli，1654－1705）是伯努利家族中重要的一员，卓越的数学家。

青年时曾学习神学，1676年开始到荷兰、德国、法国旅行，对数学有了深入的研究。

回国后于1687年到1705年在巴塞尔大学任教。

此后在数学方面取得了许多重大研究成果。

雅可比同莱布尼兹共同协作，对于微积分的发展做出了出色的贡献，为常微分方程的积分法奠定了充分的理论基础。

在研究曲线问题时他提出了一系列的概念，如对数螺线、双纽线、悬链线等。

他继承和深入地研究并发展了微积分学，创立了变分法，提出并部分地解决了等同问题及捷线问题。

雅可比还是概率论的早期研究者。

许多概率论方面的术语都是以他的名字命名的。

对于物理学方面的研究，雅可比也有一定贡献。

约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667－1748）青年时曾经商，后研究数学和医学。

曾在巴黎留学，1695年任荷兰格罗宁根大学教授；1705年任巴塞尔大学教授；1699年被选为法国科学院院士；1712年被选为英国皇家学会会员。

他还是彼得堡科学院和柏林科学院的名誉院士。

约翰·伯努利也是变分法的重要创始人之一。

他提出的关于捷线问题对变分学的发展起到了重要的推动作用。

1696年约翰提出捷线问题后开始钻研几何问题，并取得了巨大成功。

约翰在物理学发展中同样做出了出色贡献。

他所发现的虚功原理对物理学的发展产生了重大的推动作用。

这一原理也称虚位移原理，是约翰于1717年发现的。

它的发现对于分析力学的发展具有重要理论价值丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli，1700－1782）由于受到家庭的影响，从小对自然科学的各个领域有着极大兴趣。

伯努利大数定律名词解释嘿，朋友们！今天咱来聊聊伯努利大数定律呀！这可真是个神奇又有趣的东西呢！你说啥是伯努利大数定律呢？就好比你扔硬币，你扔一次，可能是正面，也可能是反面，这可没准儿呀！但是你要是不停地扔，扔个成百上千次，那你就会发现，正面出现的次数和反面出现的次数会越来越接近一半一半哦！这是不是很有意思呀？咱再打个比方，就好像你去抽奖，一次两次可能运气好抽到大奖，也可能啥都没有，但要是你一直抽一直抽，那从总体上来看，你抽到奖和没抽到奖的情况就会变得有规律起来啦！这伯努利大数定律就像是个神奇的魔法，在背后默默地起着作用呢！你想想看呀，生活中好多事情不都是这样嘛！比如说天气，可能今天晴天，明天阴天，后天又下雨，但时间长了，各种天气出现的比例就会慢慢稳定下来呀。

再比如你做一件事情，一次可能成功，一次可能失败，但只要你坚持做下去，成功和失败的比例也会逐渐清晰起来呢。

这伯努利大数定律可不只是在这些小事情上起作用哦，在很多大的方面也很重要呢！比如说在统计学里，它可是个非常关键的概念呀。

有了它，我们才能更好地去分析和理解那些大量的数据，才能从看似杂乱无章的数据中找到规律呀！你说这是不是很神奇？就好像在茫茫的数据海洋中，伯努利大数定律是那盏指引方向的明灯，让我们不至于迷失在数据的迷雾里。

它告诉我们，只要我们有足够的耐心和坚持，就能够看到那隐藏在背后的规律。

那伯努利大数定律对我们普通人又有啥用呢？嘿嘿，用处可大啦！它能让我们更加理性地看待生活中的各种不确定性呀。

当我们遇到一些看似随机的事情时，不要着急，不要慌张，要知道在背后其实是有规律可循的呢。

而且呀，它还能让我们明白坚持的力量。

就像扔硬币，一次两次可能看不到结果，但只要坚持下去，规律就会显现出来。

我们做事情也是一样呀，不要因为一时的失败就放弃，要相信坚持下去就会有收获的！总之呢，伯努利大数定律就像是一个隐藏在生活背后的小秘密，等着我们去发现，去利用。

它让我们的生活变得更加有规律，更加可预测，也让我们在面对不确定性时更加从容不迫。

贝努利大数法则
设一次试验中随机事件A 发生的概率为p ，A n 表示n 次独立重复试验中随机事件A 发生的次数。

则对任意正数ε，有：
1lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-+∞→εp n n P A n
贝努利大数法则可从切比雪夫大数法则来推导。

贝努利大数法则表明：
当随机试验的次数充分多时，随机事件发生的频率与其概率几乎相等。

这一法则是用频率解释概率的数理基础。

在保险经营中常用保险标的的损失频率来估计保险标的的损失概率。

只要保险人观察次数足够多或观察时间足够长，就可以得到与保险标的实际损失概率十分接近的损失频率。

《概率论与数理统计》第五章大数定律及中心极限定理大数定律：切比雪夫大数定理：设随机变量X 1,X 2,…,X n 相互独立，分别具有数学期望与方差，且方差一致有上界，则对任意给定正数ε，恒有lim n →∝P{|1n –1n|<ε}=1。

伯努利大数定理：设n A 是在n 次独立重复试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则对任意给定正数ε，恒有lim n →∝P{|n A n -p|<ε}=1(或limn →∝P{|μn n -p|≥ε}=0)辛钦大数定理：设随机变量X 1,X 2,…,X n ,…相互独立，服从同一分布，且具有数学期望EX k =μ，则对任意给定正数ε，恒有lim n →∝P{|1n –μ|<ε}=1中心极限定理：棣莫弗(Demoiver)-拉普拉斯(Laplace)定理：设随机变量Y n (n=1,2,3,…)服从参数为n,p 的二项分布，即Y n ~B(n,p)，则对任意实数x，恒有lim n →∝P{Y n -np npq ≤x}=Φ(x)=⎰-∞x 12πe -t 22dt →⎰a b 12πe -t 22dt这一定理说明，服从二项分布B(n,p)的随机变量Y n 作标准化后的随机变量Y n -np npq的极限分布是标准正态分布N(0,1)。

中心极限定理(林德贝格-勒维)：设随机变量X 1,X 2,…,X n ,…相互独立，服从同一分布，且具有数学期望EX k =μ，和方差D(X k )=σ2≠0，随机变量Y n =(错误!-n μ)/n σ的分布函数为F n (x)，则对任意实数x，恒有lim n →∝F n (x)=lim n →∝P{Y n≤x}=Φ(x)=⎰-∞x12πe -t 22dt 中心极限定理的应用：将一枚均匀硬币连掷100次，则利用中心极限定理可知，正面出现的次数大于60的概率近似为____0.0228_______.（附：Φ（2）=0.9772）设随机变量X~B(100,0.2),应用中心极限定理可得P{X ≥30}=________0.0062__.(已知Φ(2.5)=0.9938)例1：某计算机系统由120个终端，每个终端在1小时内平均有3分钟使用打印机，假定各终端使用打印机与否是相互独立的，求至少由10个终端同时使用打印机的概率。

伯努利大数定律现在我们来介绍伯努利《推测术》中最重要的部分——包含了如今被称之为“伯努利大数定律”的第4部分。

回到前面的缶中抽球模型：缶中有大小、质地一样的球b a +个，其中白球a 个，黑球b 个，“抽出之球为白球”的概率为p ，则有)/(b a a p +=。

假设有放回地从缶中抽球N 次，记N X 为抽到白球的次数，以N X N /估计p 。

这种估计法现今仍是数理统计学中最基本的方法之一。

此处的条件是，每次抽取时都要保证缶中b a +个球的每一个有同等机会被抽出，但这一点在实践中并不见得容易保证。

例如，产生中奖号码时可能要用复杂的装置。

在实际工作中，统计学家有时用一种叫做“随机数表”的工具。

这是一本很厚的书，各页按行、列排列着数字9,,2,1,0 ，它们是用据信是“充分随机”的方法产生的。

在使用时，“随机地”翻到一页并随机地点到一个位置，以此处的数字确定抽出的对象。

伯努利企图证明的是：用N X N /估计p 可以达到事实上的确定性——他称为道德确定性。

其确切含义是：任意给定两个数0>ε和0>η，总可以取足够大的抽样次数N ，使事件{}ε>-|)/(|p N X N 的概率不超过η。

这意思就很显然：ε>-|)/(|p N X N 表明估计误差未达到指定的接近程度ε，但这种情况发生的可能性可以“随心所欲地小”(代价是加大N )。

为忠实于伯努利的表达形式，应指出两点：一是伯努利把ε限定于1)(-+b a ，虽然其证明对一般ε也有效。

但他做这一模型限定与所用缶子模型的特殊性有关：必要时把缶中的白、黑球分别改为ra 和rb 个，则p 不变，1)(-+b a 改为1)(-+rb ra ，只须取r 足够大，便可使1)(-+rb ra 任意小。

其次，伯努利欲证明的是：对任给的0>c ，只要抽取次数足够大，就可使⎭⎬⎫⎩⎨⎧>->⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-εεp N X cP p N X P N N . （5）这与前面所说是一回事。

三个大数定律的区别与联系（最新版）目录1.大数定律的定义与含义2.三个大数定律的联系3.三个大数定律的区别4.大数定律在实际应用中的意义正文大数定律是概率论中的一个重要概念，它指出在一定条件下，随机事件的频率会逐渐稳定于它的概率。

根据不同的条件和随机变量，大数定律可以分为三种类型：伯努利大数定律、马尔科夫大数定律和切比雪夫大数定律。

虽然它们在形式和适用范围上有所不同，但它们都体现了大数定律的基本思想和原理。

首先，我们来了解一下大数定律的定义与含义。

大数定律是指，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。

简单来说，大数定律告诉我们，当我们进行大量的独立重复试验时，某个事件发生的频率会逐渐稳定于它发生的概率。

接下来，我们来探讨三大数定律的联系。

从定义上看，三大数定律都是对大数定律的进一步拓展和具体化。

伯努利大数定律是概率论历史上第一个极限定理，它告诉我们，在独立重复试验中，随机变量的平均值会收敛于它的数学期望。

马尔科夫大数定律则针对的是具有马尔科夫性质的随机过程，它指出在足够长的时间后，随机过程的任何一段区间内的概率分布都会趋于稳定。

切比雪夫大数定律则是对马尔科夫大数定律的改进和完善，它给出了随机变量序列的更加精确的估计。

然后，我们来看看三大数定律的区别。

伯努利大数定律关注的是独立重复试验中随机变量的平均值；马尔科夫大数定律适用于具有马尔科夫性质的随机过程；切比雪夫大数定律则对马尔科夫大数定律进行了改进和完善，提供了更加精确的估计。

最后，我们来探讨一下大数定律在实际应用中的意义。

大数定律为我们提供了一种理论依据，告诉我们在面对大量随机现象时，可以通过观察和分析它们的频率分布来估计它们的概率。

在保险、金融、统计等领域，大数定律都发挥着重要的作用，为我们提供了对未来事件发生概率的科学预测。

总之，三大数定律虽然在形式和适用范围上有所不同，但它们都体现了大数定律的基本思想和原理。

第36讲大数定律2问题的提出：上一讲中，提到的“频率的稳定值记为概率”, 意味着这个结论可以用“大数定律”来描述.lim 0A n n P p n ε→∞⎧⎫-≥=⎨⎬⎩⎭()(),01.0,0,: 1A A n n n A A pp n lim P p n εε→+∞<<∀>⎧⎫-≥=⎨⎬⎩⎭记为重贝努里试验中事件发生的次数并记事件在每次试验中发定理贝努里大数定律：生的概率为则对于有,.An P p n n −−→→+∞即当3(,),A n B n p ~(),()(1),A A E n np D n np p ==-{}A A n P p P n np n n εε⎧⎫-≥=-≥⎨⎬⎩⎭222(1)(1)np p p p n n εε--≤=0,→.n →+∞当0≤0.A n n lim P p n ε→+∞⎧⎫-≥=⎨⎬⎩⎭从而An n A 由于为重贝努里试验中事件发生的次数，证明： 故那么0,ε∀>根据切比雪夫不等式，则对于有4贝努里大数定律的重要意义：提供了用大量重复独立试验中事件出现频率的极限值来确定概率的理论依据, 使得概率的概念才有严格的意义.5提供了通过试验来确定事件概率的方法——可以通过做试验确定某事件发生的频率并把它作为相应的概率估计. 例如：想估计某产品的不合格品率p , 可以随机抽取n （n 较大）件, 将n件产品的不合格品的比例作为p 的估计.大数定律(Laws of Large Numbers)121,,,,,,,.n n n X X X X X Y n n μ++=→∞ 内容：设是一列随机变量则在一定条件下随机变量序列,收敛到当,()i i X E X μ=当期望相同时()()() 123n Y μμ问题：随机变量序列收敛到的含义？是什么？一定条件是什么？依概率收敛6定理2(切比雪夫大数定律的推论)：1221,,,,,1 ,. n n P i i X X X X n n μσμ=−−→→+∞∑ 为相互独立的随机变量且具有相同的期望，相同的方差，那么当 22111111,()(),()(). n n nn i n i n i i i i Y X E Y E X D Y D X n n nn σμ========∑∑∑记则,n Y 对应用切比雪夫不等式得0,. n →→+∞当0≤2(){|()|}n n n D Y P Y E Y εε-≥≤22n σε=证明：712,,,,,11{}{},{0}1,1,2,.2 1n i i i X X X P X i P X i P X i i i ===-===-= 设随机变量相互独立且它例们的分布律为：1,()0,i i E X ≥=由于对任意的有 {,1},, i X i ≥所以相互独立期望、方差相同由定理2知22211()()0()()1,22i i D X E X i i i i ==+⋅+-⋅=11,.nP i i X n n μ=−−→→+∞∑当 解：11.n i i X n =∑请讨论的收敛性8存在前面的定理要求随机变量的方差存在但当随机提供了求随机变量X 的数学期望E (X )的近似值的方法:若目的是寻求X的期望，则这样做可以不必考虑X的分布！如可用浙大300个学生的平均身高作为整个浙大学生的平均身高的近似值！辛钦大数定律的意义将随机变量X 独立重复地观察n 次, 记第k次观测值为,k X 则相互独立, 且与X 具有同样的分布.12,,, n X X X 那么, 当E (X )存在时, 由辛钦大数定律, 可知当n 充分大时, 可将n 次的平均作为E (X )的近似.11n i i X n =∑101212111,,,,,,~(1,1).111(1),(2),(3), 2 n nnni i i i i k X X X X U X X X n n n n ===-→+∞∑∑∑ 设随机变量相互独立同分布则分别依概率收敛吗？如果依概率收敛分别收敛于什么？(当 例：时)12112122221212111,,,,,,,(),,,,,,(),,,,,,()111,, n n n n n n i i i i i i X X X E X X X X E X X X X E X X X X n n n ===∑∑∑ 由辛钦大数定律相互独立同分布存在;相互独立同分布存在;相互独立同分布存在;故 均依概率收敛.解：11大数定律的Excel模拟可以看实验9.1()0,E X =那么 11111(),22E X x dx -==⎰同理，12211(),E X x d x -==⎰11231~(1,1) X U -注意到，110,nPi i X n =−−→∑故111||,2nP i i X n =⇒−−→∑2111.3nP i i X n =⇒−−→∑1212112,,,,,~(0,1),,3n n n X X X X U X X X 设随机变量独立同分布则依概率收敛吗？如果依概率收敛例：收敛于什么？,(),()(), Pn P n X a f x a f X f a n −−→−−→→∞若在点连续则当时.,. 不能直接使用大数定律因为不是算术分析平均的形式：, 回想关于依概率收敛还有一个很：好的性质13111,ln (ln ln ).nn n n n n Y X X Z Y X X n=⋯==+⋯+记令1110ln ,,ln ,,(ln )ln 1,n X X E X xdx ==-⎰则相互独立同分布又,1,.Pn Z n −−→-→+∞那么由辛钦大数定律知故当 1,.nZ Pn Y e e n -=−−→→+∞利用依概率收敛的性质，得当 解：14。

2010.No34 4摘 要 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性，是随机现象统计规律性的具体表现，本文介绍了几种常用的大数定律，并给出一些简单应用。

关键词 大数定律 随机变量 数学期望 概率1 引言“大数定律”本来是一个数学概念，又叫做“平均法则”。

在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律，通俗地说，这个定理就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。

比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们向上抛硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万次之后，我们就会发现，硬币向上的次数约占总次数的二分之一。

偶然中包含着必然。

从概率的统计定义中可以看出：一个事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近．人们在实践中观察其他一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性。

这就是说，无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个体的特征无关，且不再是随机的深入考虑后，人们会提出这样的问题：稳定性的确切含义是什么?在什么条件下具有稳定性?这就是大数要研究的问题。

2 几个大数定律在介绍大数定律之前，先介绍几个相关定义。

定义1[1]设ξn (n=1,2,……)为概率空间(Ω,F,P)上定义的随机变量序列（简称随机序列），若存在随机变数ξ，使对任意ε>0，恒有： 则称随机序列 依概率收敛于随机变量ξ（ξ也可以是一个常数），并用下面的符号表示：定义2[2]设 为一随机序列，数学期望E（ξn ）存在，令 ，若 ，则称随机序列 服从大数定律，或者说大数法则成立。

切比雪夫不等式设随机变量X的数学期望E（X）与方差D（X）存在，则对于任意正数ε，不等式都成立。

不等式(1)和(2)称为切比雪夫不等式。

切比雪夫不等式给出了在随机变量X的分布未知的情况下，只利用J的数学期望和方差即可对J的概率分布进行估值的方法，这就是切比雪夫不等式的重要性所在。

伯努利大数定律的直观演示伯努利大数定律是概率论中的一条重要定律，它描述了当独立重复试验的次数增加时，事件发生的频率趋于事件概率的稳定性。

为了更好地理解伯努利大数定律，我们可以通过一个直观的演示来说明。

假设有一个有大量红色和蓝色小球的袋子，我们不知道其中红色和蓝色小球的比例。

为了估计这个比例，我们可以进行重复的抽样实验。

每次实验中，我们从袋子中随机抽取一个小球，并记录其颜色，然后将小球放回袋子中。

重复这个实验多次，我们可以得到一系列小球的颜色记录。

假设我们进行了100次实验，并将每次实验中抽到的红色小球的次数记录下来。

我们可以计算出这100次实验中抽到红色小球的频率，即红色小球出现的次数除以总实验次数。

这个频率是一个统计量，用来估计红色小球的概率。

根据伯努利大数定律，当实验次数足够大时，这个频率会趋近于红色小球的概率。

也就是说，如果我们进行了足够多的实验，那么抽到红色小球的频率将会接近红色小球的真实概率。

为了演示这个定律，我们可以进行一个模拟实验。

假设我们有一个虚拟的袋子，其中有70%的红色小球和30%的蓝色小球。

我们设定实验次数为100次，然后编写一个程序来模拟实验过程。

在每次实验中，程序会随机生成一个介于0和1之间的随机数。

如果这个随机数小于等于0.7，我们就认为是抽到了红色小球，否则是抽到了蓝色小球。

通过统计100次实验中红色小球出现的次数，我们可以计算出抽到红色小球的频率。

我们进行了多次模拟实验，每次实验都进行100次独立的抽样。

结果显示，在实验次数足够多的情况下，抽到红色小球的频率逐渐接近70%。

这个结果符合伯努利大数定律的预期。

即当实验次数增加时，抽到红色小球的频率会趋近于红色小球的概率70%。

这就是伯努利大数定律的直观演示。

通过这个直观演示，我们可以更好地理解伯努利大数定律。

它告诉我们，无论事件概率如何，只要我们进行足够多次的独立重复实验，事件发生的频率就会趋于事件概率的稳定性。

这个定律在概率论和统计学中有着广泛的应用，帮助我们理解和分析各种随机事件。

伯恩斯坦大数定律
伯恩斯坦大数定律是概率论中一个重要的定理，也是大数定律的一种。

该定理指出，如果独立随机事件多次重复进行，每次事件成功的概率相同，那么随着重复次数的增加，成功事件出现的频率趋近于其概率，即事件出现的概率极限等于该事件的概率。

这个定理在许多领域都有广泛的应用。

例如，在投资领域，我们常常说短期内市场波动很大，但长期趋势往往能反映真实价值。

伯恩斯坦大数定律的意义在于，如果我们投资一个有潜力的企业，可能会遇到一些短期的波动，但长期来看，我们的收益率很可能接近于这个企业的内在价值。

此外，在数据分析和机器学习中，该定理也有广泛的应用。

我们可以利用该定理来检验数据或训练模型的准确性。

例如，通过随机抽样的方法来检验一个数据集的准确性，或者通过反复运用一些机器学习算法来提高预测准确率。

总之，伯恩斯坦大数定律为我们提供了一个非常重要的工具，帮助我们评估事件的发生概率，并在不同的领域中做出更加准确和可靠的决策。