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14.2乘法公式

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14.2.2 第2课时 乘法公式的综合运用

14.2.2 第2课时 乘法公式的综合运用
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.2.2 第2课时 乘法公式的综合运用
学习指 知 南识 管 归 理类 探 当 究堂 测 分 评层 作
业
教学目标 1．掌握添括号法则；
学习指 南
Байду номын сангаас
2．综合运用乘法公式进行计算．
情景问题引入
图书阅览室里有 a 人正在看书， b 人看完后出去了，又有 c 人回教室上课
了，此时阅览室中还有多少人？小刚得出的答案是 a－(b＋c)，小芳得出的答案是
里；
(2)把后三项括到带有“－”号的括号里；
(3)把四次项括到带有“＋”号的括号里，把二次项括到带有“－”号的括号
里．
解：(1)5a3b－2ab＋3ab3－2b2＝(5a3b－2ab)－(－3ab3＋2b2)． (2)5a3b－2ab＋3ab3－2b2＝5a3b－(2ab－3ab3＋2b2)． (3)5a3b－2ab＋3ab3－2b2＝(5a3b＋3ab3)－(2ab＋2b2)．
6．[2018·邵阳]先化简，再求值：(a－2b)(a＋2b)－(a－2b)2＋8b2，其中 a＝－2， b＝12.
解：原式＝a2－4b2－(a2－4ab＋4b2)＋8b2 ＝a2－4b2－a2＋4ab－4b2＋8b2 ＝4ab. 当 a＝－2，b＝12时， 原式＝4×(－2)×12＝－4.
7．[2018 春·延庆区期末]先化简，再求值：(x－1)2－(x＋2)(x－2)＋(x－4)(x＋ 5)，其中 x2－x－5＝0.
(2)(x－3y－1)(x＋3y－1) ＝[(x－1)－3y][(x－1)＋3y] ＝(x－1)2－(3y)2 ＝x2－2x＋1－9y2.
(3)3x－2y＋142 ＝3x－2y＋142 ＝(3x－2y)2＋2×(3x－2y)×14＋142 ＝(3x)2－2×3x×2y＋(2y)2＋12(3x－2y)＋116 ＝9x2－12xy＋4y2＋32x－y＋116.

人教八年级数学上册乘法公式

人教八年级数学上册乘法公式

特征 结构
(2) 公式右边是这两个数的平方差； 即右边是左边括号内的第一项的平方 减去第二项的平方.
(3) 公式中的 a和b 可以代表数， 也可以是代表数式．
《高效课时通》
例1 利用平方差公式计算： (1) (5+6x)(5−6x)；(2) (x+2y)(x−2y); (3) (−m+n)(−m−n).
《高效课时通》
教学课件
数学 八年级上册 RJ版
《高效课时通》
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.2 乘法公式
《高效课时通》
《高效课时通》
知识复习: 多项式与多项式相乘的法则:多项式与多项式 相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式 的每一项,再把所得的积相加. 计算下列各题: (1) (a+b)(a-b )=? (2) (a+2)(a-2)=?
a-b a 甲 b
b
乙
《高效课时通》
例1运用平方差公式计算: (3x+5y)(3x-5y) 例2用平方差公式计算:
( 1 1 b a )( b a) 2 2
(1) 103×97
(2)59.8×60.2
课内练习: P127
《高效课时通》
小结:
1.平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2
注意
最后的结果 又要去掉括号。
《高效课时通》
纠 错 练 习
本题对公式的直接运用，以加深对公式本质特征的理解．
指出下列计算中的错误：
(1) (1+2x)(1−2x)=1−2x2
第二数被平方时，未添括号。
(2) (2a2+b2)(2a2−b2)=2a4−b4
(3) (3m+2n)(3m−2n)=3m2−2n2

整式乘法

整式乘法

整式的乘法与因式分解“整式的乘法与因式分解”，本章主要包括整式的乘法、乘法公式以及因式分解等知识。

整式的乘法运算和因式分解是基本而重要的代数初步知识，这些知识是以后进一步学习分式和根式运算、函数等知识的基础，在后续的数学学习中具有重要意义。

同时，这些知识也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学基础知识.本章共安排了3个小节，教学时间约需14课时（供参考）：14.1 整式的乘法 6课时14.2 乘法公式 3课时14.3 因式分解 3课时数学活动小结 2课时1．本章知识结构本章知识结构如下图所示：2．教科书内容本章共包括4节14.1 整式的乘法整式的乘法是整式四则运算的重要组成部分。

本节分为四个小节，主要内容是整式的乘法，这些内容是在学生掌握了有理数运算、整式加减运算等知识的基础上学习的。

其中，幂的运算性质，即同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方是整式乘法的基础，教科书把它们依次安排在前三个小节中，教学中应适当复习幂、指数、底数等概念，特别要弄清正整数指数幂的意义。

在讲完整式乘法后，从逆运算角度介绍同底数幂的除法、单项式除以单项式，多项式除以单项式等必须内容。

对于同底数幂除法，这里只先讨论所得商仍是整式的情形，对于所得商是分式的情形将在后续内容引入负整数指数幂的概念以后再讨论。

单项式除以单项式是进行多项式除以单项式等一般的整式除法的前提，教科书根据乘、除互为逆运算的关系，并以分配律、同底数幂的除法为依据，由计算具体的实例得到单项式除以单项式的除法法则。

同样地，对于单项式除以单项式的除法，讨论的问题也都在被除式中字母的指数大于或等于除式中字母的指数的限制条件范围内。

对于多项式除以单项式，教科书是从计算来导出运算法则的，根据是乘除法互为逆运算以及分配律。

可以看出，法则的基本点是把多项式除以单项式转化为单项式的除法，而单项式除法是已经学习并掌握了的。

14.2乘法公式本节分为两个小节，分别介绍平方差公式与完全平方公式。

14.2.2 完全平方公式2去括号

14.2.2 完全平方公式2去括号

八年级数学上（RJ） 教学课件
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.2 乘法公式
14.2.2 完全平方公式2
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
知识要点 完全平方公式
（a+b)2= a2+2ab+b2 . （a-b)2= a2-2ab+b2 . 也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们 的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个 公式叫做（乘法的）完全平方公式. 简记为： “首平方，尾平方，积的2倍放中央”
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.
方法总结：第1小题选用平方差公式进行计算，需 要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相 反的为另一组”.第2小题要把其中两项看成一个 整体，再按照完全平方公式进行计算.
针对训练 计算：(1)(a－b＋c)2； (2)(1－2x＋y)(1＋2x－y)．
＝(3a)2－(b－2)2 ＝9a2－b2＋4b－4. (2)原式＝[(x－y)－(m－n)][(x－y)＋(m－n)] ＝(x－y)2－(m－n)2 ＝x2－2xy＋y2－m2＋2mn－n2.
6.若a+b=5,ab=-6, 求a2+b2,a2-ab+b2. 解：a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37；
课堂小结
法则
完全平方 注 意 公式
常用 结论
(a±b)2= a2 ±2ab+b2
1.项数、符号、字母及其指数
2.不能直接应用公式进行计算的 式子，可能需要先添括号变形成 符合公式的要求才行 3.弄清完全平方公式和平方差公 式不同（从公式结构特点及结果 两方面）

14.2乘法公式

14.2乘法公式
继续
例 4 计算(-x+3y)(-x-3y)
解: (-x+3y)(-x-3y)
= (-x) - (3y)
= x -9y
练一练
2 2
2
2
完全平方公式、平方差公式通常叫做乘 法公式，在计算中可以直接使用。
1.用平方差公式计算：
(1) (1+x)(1-x); (2) (a+3b)(a-3b)
2.用乘法公式计算:
继续
a2+2ab+b2
由此可以得 到什么结论 呢?
2 2 2 （a+b） = a +2ab+b
继续
一般地,对于任意的a、b，由多项式乘法 法则可以得到：
2
(a+b) = (a+b)(a+b) 2 2 = a +ab+ba+b 2 2 = a +2ab+b 即
这个公式称 为完全平方 公式
(a+b)
平方差公式
学习目标

1、经历探索平方差公式的过程。 2、会用平方差公式进行计算。 3.了解平方差公式的几何背景。
想一想
边长为b的小正方 形纸片放置在边长为a的大 正方形纸片上(如图9-6),你 能通过计算未盖住部分的面 积得到下面的公式吗?
a
a b b
(a+b) (a-b) = a - b
2
2
(a-b) = a-2ab+b
2 2 2 2 2
(a+b) = a +2ab+b
2
你能说出这2个 公式的特点吗？
继续
例2
用完全平方公式计算：
2
(1) (5+3p)

平方差公式.2乘法公式——平方差公式

平方差公式.2乘法公式——平方差公式

布置作业
必做题：教科书习题14.2第1题． 选做题： 1.计算： 2009×2007－20082 2.化简：(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)
你能将发现的规律用式子表示出来吗？
（a+b） （a-b） =a 2 -b 2
探究平方差公式
你能对发现的规律进行推导吗？
（a+b） （a-b） =a 2 -ab+ab-b 2 =a 2 -b 2
理解平方差公式
（a-b） =a 2 -b 2 为乘法 前面探究所得的式子（a+b） 的平方差公式，你能用文字语言表述平方差公式吗？
探究平方差公式
在14.1节中，我们学习了整式的乘法，知道了多 项式与多项式相乘的法则．根据所学知识，计算下列 多项式的积，你能发现什么规律？ 2 x -1 （x+1） （x-1）= （ 1） ； 2 m -4 （m+ 2） （m- 2） （ 2） = ； 4 x 2 -1 ． （2 x+1） （2 x-1） （ 3） = 相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有 什么关系？
探究平方差公式
在14.1节中，我们学习了整式的乘法，知道了多 项式与多项式相乘的法则．根据所学知识，计算下列 多项式的积，你能发现什么规律？ 2 x -1 （x+1） （x-1）= （ 1） ； 2 m -4 （m+ 2） （m- 2） （ 2） = ； 4 x 2 -1 ． （2 x+1） （2 x-1） （ 3） =
（a+b ）（a -b ）
2
2
= 9 x - 4； 2Biblioteka a -b 22
理解平方差公式
例1 运用平方差公式计算：

14.2.乘法公式导学案

第八课时 14.2.1 平方差公式【学习目标】1．能说出平方差公式的特点，并会用式子表示.2．能正确地利用平方差公式进行多项式的乘法运算. 3．通过平方差公式得出的过程，体会数形结合的思想. 【学习重点】掌握两数和乘以它们的差的结构特征. 【学习难点】正确理解平方差公式的意义. 一、学前准备1、多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘， 用字母表示为： .2、计算 (1)(x ＋3)(x －3)； (2) (m ＋5n )(m －5n )； (3) (4＋y )(4－y ) .二、探索思考探索（一）1、请你观察思考:以上几个多项式与多项式相乘的式子有什么特点?积有什么特点?你能用字母表示吗？观察发现：两数和乘以这两数的 等于这两数的用一个数学等式表示为:（a ＋b ）（a －b ）＝ ……平方差公式. 2、这个等式正确吗?你怎样验证其正确性呢? ⑴利用多项式乘以多项式计算:⑵ 你能再用以下的图形验证平方差公式吗？试一试.图13.3.1先观察图13.3.1，再用等式表示下图中图形面积的运算：＝ － ．【练习】1. 填一填:①（2x +21）（2x －21）=（ ）2－（ ）2=②(3x+6y )(3x-6y )=( )2－（ ）2= ③(m 3+5)(m 3-5)=( )2－（ ）2=2. 辨一辨:① (2x ＋3)(2x －3) =2x 2－9 ②(x ＋y 2)(x －y 2) = x 2－y 2 ③(a ＋b )(a －2b ) = a 2－b 23.下列各式都能用平方差公式计算吗?①(2a －3b)(3b －2a) ②(－2a+3b) (2a+3b) ③(－2a －3b)(2a －3b)④(2a －3b)(2a+3b) ⑤(2a+3b)(－2a －3b) ⑥(2a －3b)(－3b+2a)4．计算（1）(a ＋3)( a －3) （2）(2a ＋3b )( 2a －3b ) （3）(1＋2c )( 1－2c )三、典例分析 【例1】简便计算：（1）1998×2002 （2）4.2×3.8【例2】计算：（2a-b ）（2a+b ）（4a 2+b 2）四、当堂反馈1．下列运算中，正确的是（ ）A ．（a+3）（a-3）=a 2-3B ．（3b+2）（3b-2）=3b 2-4C ．（3m-2n ）（-2n-3m ）=4n 2-9m 2D ．（x+2）（x-3）=x 2-62．在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）A ．（x+1）（1+x ）B ．（12a+b ）（b ﹣12a ） C ．（－a+b ）（a －b ） D ．（x 2－y ）（x+y 2）3．对于任意的正整数n ，能整除代数式（3n+1）（3n-1）－（3－n ）（3+n ）的整数是（ ） A ．3B ．6C ．10D ．94、填空（1）9.8×10.2=________; （2） （2x +21）（2x -21）= （3）(2x+y)(2x －y)= （4） (3a ＋2b)(3a －2b) = （5）(200＋1)(200－1) =5．如果 a 2－b 2=10，（a ＋b ）=2，则a - b= 6、计算:（1）(x+6)(6-x) （2） 11()()22x x -+-- （3）)212)(212(22--+-x x（4）)31)(31(a b b a --- （5）（－4x ＋y ）（ 4x ＋y ）五、学习反思1、学习目标完成情况反思：2、错题原因分析：第九课时 14.2.2 完全平方公式【学习目标】1.理解两数和的平方的公式，掌握公式的结构特征，并熟练地应用公式进行计算.2.经历探索两数和的平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力.3.体会数形结合的思想.【学习重点】对两数和的平方公式的理解，熟练完全平方公式运用进行简单的计算【学习难点】对公式的理解， 包括它的推导过程，结构特点，语言表述及其几何解释. 一、学前准备1、平方差公式： ，文字语言：两数和乘以这两数的 等于这两数的2、多项式乘以多项式法则：3、计算 （1）（2x －1）（3x －4） （2）（5x ＋3）（5x －3）二、探索思考探索（一）1计算；（1）（p +1）2=（p +1）（p +1）= = ；（2）（m +2）2 = = = ； （3）（p -1）2=（p -1）（p -1）= = ； （4）（m -2）2 = = = ； （5）（a+b ）2 = = = ； （6）（a-b ）2 = = = ； 2、观察以上六个式子有什么特点？它们计算的结果有什么特点？归纳：两数和（或差）的平方，等于 公式：=+2)(b a ；=-2)(b a探索（二）你能根据图（1）和图（2）中的面积说明完全平方公式吗？【练习】1、判断正误：（1）（b-4a ）2=b 2-16a 2．（ ） （2）（12a+b ）2=14a 2+ab+b 2．（ ）（3）（4m-n ）2=16m 2-4mn+n 2．（ ） （4）（-a-b ）2=a 2-2ab+b 2．（ ）【例1】计算：⑴（2a ＋3b ）2； （2）2)22(b a +⑶ 2)2(y x +-（4）2)52(b a -- （5）1992【例2】（1）已知4)(,7)(22=-=+b a b a ，求22b a +和ab 的值。

八年级数学上册同步精品讲义(人教版)：乘法公式(教师版)

【分析】（1）根据两个图形的面积相等，即可写出公式； （2）根据面积相等可得（a+b）（a-b）=a2-b2； （3）从左到右依次利用平方差公式即可求解． （1） 解：s1= a2 b2 ，
s2= a ba b ， 故答案为： a2 b2 ，； a ba b
（2）
解：由题意，得 a ba b a2 b2 ，
专题 14.2 乘法公式 目标导航
1、掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义； 2、学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算；了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算； 3、能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算。
知识精讲
知识点 01 平方差公式
知识点 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 平方差公式：两个式子的和与两个式子的差的乘积，等于这两个数的平方差。 注：①字母 a、b 仅是一个表达式，即可以表示一个数字、一个字母，也可以表示单项式、多项式。 ②在套用平方差公式时，要依据公式的形式，将原式变形成符合公式的形式，在利用公式。特别需要注意“-” 的处理。 【知识拓展 1】平方差公式的几何背景 例 1．（2022·山东·昌乐七年级期末）下列选项中，能利用图形的面积关系不能解释平方差公式的是（ ）
【即学即练】 3．（2022·辽宁·朝阳市第八中学七年级期中）利用乘法公式计算： 20222 2021 2023 ____________． 【答案】1 【分析】根据平方差公式计算即可． 【详解】解： 20222 2021 2023 = 20222 (2022 1) (2022 1) = 20222 (20222 1) = 20222 20222 1 =1 故答案为：1 【点睛】本题主要考查了平方差公式，掌握 (a b)(a b) a2 b2 是解题的关键．
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1
14．2．1平方差公式练习题
一、选择题
1、计算(x-y)(-y-x)的结果是（ ）A.-x2+y2 B. -x2-y2 C. x2-y2 D. x2+y
2、若m，n是整数，那么22)()(nmnm值一定是（ ）A. 正数 B. 负数 C. 非负数 D. 4的倍数
3、若x2-y2=100， x+y= -25，则x-y的值是（ ）A.5 B. 4 C. -4 D. 以上都不对
4、化简(m2+1)(m+1)(m-1) -(m4+1)的值是（ ） A. -2m2 B. 0 C.-2 D.-1
5、若|x+y-5|+(x-y-3)2=0，则x2-y2的结果是（ ）A.2 B.8 C.15 D.无法确定
6、下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是( )
A.(x+y)(－x－y) B.(2x+3y)(2x－3z) C.(－a－b)(a－b) D.(m－n)(n－m)
7、下列计算正确的是( )
A.(2x+3)(2x－3)=2x2－9 B.(x+4)(x－4)=x2－4 C.(5+x)(x－6)=x2－30 D.(－1+4b)(－1－4b)=1－16b
2

8、在下列各式中，运算结果是2236yx的是（ ）
A. )6)(6(xyxy B. )6)(6(xyxy C. )9)(4(yxyx D.
)6)(6(xyxy
9、用平方差公式计算))((dcbadcba，结果是（ ）
A. 22)()(dcba B. 22)()(dbca C. 22)()(dcda D. 22)()(dabc
二、填空题（每小题5分，共30分）
1、计算(3m+4)(4-3m)的结果是______2、若x-y=2，x2-y2=6，则x+y=________.
3、 )(23(ba 2294)ab；)(37(22yx 449)x ；（x-y+z）（x+y+z）=____ ____
4、用简便方法计算：503×497=_______；1.02×0.98=____ __
5、若(9+x2)(x+3)·M=81-x4，则M=______.
6、观察下列各式：1×3=22-1，3×5=42-1，5×7=62-1，……请你把发现的规律用含n（n为正整数）的等式表示为_________.
三、解答题（每题10分，共40分）
1、计算：⑴(3a-2b)(9a+6b)； ⑵)52)(52(22xx （3） )14)(14(aa

(4) ))((cbacba （5）3(2a+1)(-2a+1)-(32a-3)(3+32a)
2、解方程： 5x+6(3x+2)(-2+3x)-54(x-13)(x+13)=2.
2

3、用简便方法计算：
⑴18908999 （2） 9982－4 （3）99×101×10001

（4）2481511111(1)(1)(1)(1)22222 （5）(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)+1

4、解答题：
（1）两个两位数的十位上的数字相同，其中一个两位数的个位上的数字是6，另一个两位数的个位上的数字是4，它
们的平方差是220，求这两位数.

（2）已知9621可以被在60至70之间的两个整数整除,则这两个整数是多少?

（3）观察下列各式的规律．
12+（1×2）2+22=（1×2+1）2；
22+（2×3）2+32=（2×3+1）2；
32+（3×4）2+42=（3×4+1）2； … …
（1）写出第2015行的式子；（2）写出第n行的式子，并说明你的结论是正确的．
3

14．2．2完全平方公式练习题
一、选择题：
1．下列式子能成立的是（ ）A．(a−b)2 = a2−ab+b2 B．(a+3b)2 = a2+9b2
C．(a+b)2 = a2+2ab+b2 D．(x+3)(x−3) = x
2
−x−9

2．.将面积为a2的正方形边长增加2，则正方形的面积增加了（ ）A.4 B.2a+4 C.4a+4 D.4a
3．下列计算正确的是（ ）A．( 2a+b)( 2a−b) = 2a2−b2 B．(0.3x+0.2)(0.3x−0.2) = 0.9x
2
−0.4

C．(13x－y)2＝16x2－23xy+y2 D．( 3a−bc)(−bc− 3a) = − 9a2+b 2c2
4．计算(−2y−x)2的结果是（ ）A．x2−4xy+4y2 B．−x2−4xy−4y 2 C．x2+4xy+4y2 D．−x2+4xy−4y2
5．若x2-kxy+9y2是一个完全平方式，则k值为（ ） A．3 B．6 C．±6 D．±81
6．已知a2+b2=25，且ab=12，则a+b的值是（ ）A．37 B．±37 C．7 D．±7
7．设（3m+2n）2=（3m-2n）2+P，则P的值是（ ）
A．12mn B．24mn C．6mn D．48mn

8．如果多项式224ykxyx能写成两数和的平方，那么k的值为（ ） A．2 B．±2 C．4 D．±4

9．要使式子41x2＋91y2成为一个完全平方式，则加上( )A．31xy B．61xy C．±31xy D．±91xy
二、填空题：
10．计算：（-x-y）2=__________；（-2a+5b）2=_________．
11．a+b-c=a+（_______）；a-b+c-d=（a-d）-（_______）．12．24x( 2)32(9)x．
13．x2+y2=（x+y）2-__________=（x-y）2+________．
14．多项式4x2+1加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，•请你写出符合条件的这个单项式是
___________．
三、解答题：
1．计算：(1) （-xy+5）2 (2) （－4x－3y）2 (3) (a+2b−c)(a−2b+c)

(4)（a+b+c）2 (5)(m+3n)2(m−3n)2；
(6)( 2a+3b)2−2( 2a+3b)(a−2b)+(−a+2b)2．
4

2．利用乘法公式进行简便运算：
①20042； ②999.82； ③22293

3．若△ABC三边a、b、c满足a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca．判断△ABC的形状
4．已知x+y＝6，xy＝4，求①x2+y2，②(x－y)2，③x2+xy+y2的值.

5．先化简，再求值：2(2)(2)()2(3)(4)abababaa，其中133ab，．
6．观察1+3=4=22 1+3+5=9=32 1+3+5+7=16=42 1+3+5+7+9=25=52 ……
（1）根据以上规律，猜测1+3+5+7+…+（2n-1）=__________．
（2）用文字语言叙述你所发现的规律：____ ______．

7．观察下列式子：⑴32－12＝(3＋1)(3－1)＝8；⑵52－32＝(5＋3)(5－3)＝16；⑶72－52＝(7＋5)(7－
5)＝24；⑷92－72＝(9＋7)(9－7)＝32；
猜想：任意两个连续奇数的平方差一定是 ，并对一般情况给予证明。