2-7 函数的微分 (PPTminimizer)

2.5 函数的微分
一、案例 二、知识要点 三、应用
在实际问题中，当我们分析运动过程时，常常要通 过微小的局部的运动来寻找运动的规律，因此需要考虑 量的微小改变量．一般说来，计算函数 y f (x) 的改变量 y 的精确值是较繁琐的．所以，往往需要计算它的近 似值，找出简便的计算方法．
一、案例 [热胀冷缩]
dy f [ (x)] (x)dx f (u)du ．
【例题 3】 求下列函数的微分：
（1） y e x sin x ；
（2） y arctan x2 ；
解 （1） dy (ex sin x)' dx (ex sin x ex cos x)dx
3x2dx 2 cos x sin xdx 3x2dx sin 2xdx
如果函数 y f (x) 在 x 处的微分存在，我们称函数 f (x) 在 x 处可微．由定义知，函数 y f (x) 在 x 处可导与可微是 等价的．
【例题 2】 求 y x2 在 x 1, x 0.1 时的改变量及微分．
解 y (x x)2 x2 1.12 12 0.21 ．
即 dy f (x)x 或 df (x) f (x)x ．
【例题 1】 求 y x 的微分
解 dy dx x x x ，
注：所以，自变量 x 的微分 dx 就是自变量 x 的改变量
x ，因此，函数的微分记作：dy
f
(
x)dx
，则有
dy dx
f (x) ．
以上是表明函数 y f (x) 的导数是函数的微分 dy 与自 变量的微分 dx 之商，因此导数又称为微商．
（9） d tan x sec2 xdx ； （10） d cot x csc2 xdx ；

x x 9 解得 ＝1 或 ＝ 。 y y 4 x 9 x ∵x>0，y>0,2x－3y>0，∴ ＝ ，∴log3 ＝2。 y 4 2 y
赢在微点 无微不至
[规律方法] 对数运算的一般思路
高考复习顶层设计 数学· 理
(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使 幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并。 (2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性 质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算。
高考复习顶层设计 数学· 理
|lgx|，0<x≤10， 【微练 2】 已知函数 f(x)＝ 1 若 a、 b、 c 互不相等， 且 f(a) －2x＋6，x>10。
＝f(b)＝f(c)，则 abc 的取值范围是( A．(1,10) C．(10,12) B．(5,6) D．(20,24) )
2 A.0， 2 2 B. ，1 2
C．(1， 2)
D．( 2，2)
赢在微点 无微不至
解析：(1)∵lga＋lgb＝0，∴ab＝1。
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∵g(x)＝－logbx 的定义域是(0，＋∞)，故排除 A。 若 a＞1，则 0＜b＜1， 此时 f(x)＝ax 是增函数，g(x)＝－logbx 是增函数， 结合图象知选 B。
2 2 2 2 2
所以 x＞y＞1，故选 D。 答案：D
赢在微点 无微不至
高考复习顶层设计 数学· 理
4．函数 y＝ log0.54x－3的定义域为( 3 A．{x|x＞ } 4 3 C．{x| ＜x≤1} 4 3 B．{x| ＜x＜1} 4 3 D．{x| ≤x≤1} 4
)

dx
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注： 由导数的“微商”及一阶微分形式不变性,
(3) 通常把自变量x的增量x 称为自变量的 微分,记作 dx, 即 dx x. 什么意思？
例如： 已知 y x , 求 d y.
解 d y (x)x 1 x x, 由于 y x, 故得 d y d x x.
11
上例表明:
自变量的增量就是自变量的微分：x d x
y A x o(x),
lim y x0 x
lim A o(x)
x0
x

A.
即函数 f ( x)在点 x0可导,且A f ( x0 ).
7
定理 函数 f ( x)在点x0可微 函数 f ( x)
在点 x0处可导,且 A f ( x0 ),即有 dy f ( x0 )x.
(2) 充分性 函数f ( x)在点x0可导,
y lim
x0 x

f ( x0 ),
即 y x

f ( x0 ) , ( x 0,
0)
从而 y f ( x0 ) x (x),
f ( x0 ) x o(x),
函数 f ( x)在点 x0可微, 且 f ( x0 ) A.
d(u v) du dv
d(uv) vdu udv
d
u v


vdu udv v2
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例 设 y ln( x e x2 ), 求dy.
解

y

1
x
2
xe ex
x
2
2
,

dy

1
x

例2 求函数 y x3 当 x 2, x 0.02时的y以及微分. 解: y (x x)3 x3 (2 0.02 )3 23 0.242408
dy ( x3 )x 3x2x.
dy x2 3 x 2x x2 0.24.
x 0.02
x 0.02
y dy o(x), 可见y, dy虽然近似但是还是有差 异
即 y f (x) ,
x
从而 y f (x) x (x), 0 (x 0),
f (x) x o(x),
函数 f (x)在点 x可微, 且 f (x) A.
可微 可导. A f (x).
函数 y f ( x)在任意点x的微分, 称为函数的 微分, 记作 dy或 df ( x), 即 dy f ( x)x.
PQ
MQ tanx
f
'(x0 )dx
从图可见y是函数的纵坐标增量,
dy.
dy就是切线纵坐标对应的增量.
2.3.3 微分的基本公式
一阶微分形式的不变性 dy f ( x)dx 基本求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.
1.基本初等函数的微分公式
d(C) 0
d( x ) x1dx
d(sin x) cos xdx
当x x0 x,则有： f (x) f (x0 ) f '(x0 )(x x0 ).
该公式可以用于近似计算。
例7 求 9.09的近似值. 解 设函数f (x) x , x0 9, x 9.09,则
f (x0 ) 3，f '(x0 ) 1/6，x x0 0.09 f (x) f (x0 ) f '(x0 )( x x0 )
可导性是等价的，所以有人说“微分就是导 数，导数就是微分”，这说法对吗？

微分PPT课件
目录
微分的定义与性质导数的概念与性质导数在研究函数中的应用微分中值定理微分的应用
01
CHAPTER
微分的定义与性质
总结词
微分是一种数学运算，表示函数在某一点的局部变化率。
详细描述
微分是微积分的基本概念之一，它表示函数在某一点的切线的斜率。具体来说，如果函数在某一点的导数存在，那么这个导数就是函数在该点的微分。微分可以看作是函数值的增量与自变量增量的比的极限。
极值点是函数的重要特征点，利用导数研究函数的极值有助于找到这些关键点。
1
2
3
4
通过求二阶导数，可以找到函数的拐点。
二阶导数为0的点可能是拐点，需要进一步判断三阶导数的符号来确定是向上凸还是向下凸。
对于函数$f(x) = x^4$，其二阶导数$f''(x) = 12x^2$，令其为0得到拐点$x=0$，进一步求三阶导数$f'''(x) = 24x$，在$x=0$处为非正值，因此$x=0$为向下凸的拐点。
举例
单调性是函数的一个重要性质，利用导数研究函数的单调性有助于理解函数的述
举例
应用
通过求导数，可以找到函数的极值点。
一阶导数为0的点可能是极值点，需要进一步判断二阶导数的符号来确定是极大值还是极小值。
对于函数$f(x) = x^3$，其一阶导数$f'(x) = 3x^2$，令其为0得到极值点$x=0$，进一步求二阶导数$f''(x) = 6x$，在$x=0$处为非负值，因此$x=0$为极小值点。
罗尔定理是数学分析中的一个基本定理，由法国数学家罗尔发现。该定理在微分学、积分学等领域有着广泛的应用。它提供了一个判断函数是否存在导数为零的点的方法，对于研究函数的极值和拐点等问题具有重要的意义。

2020/1/16
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内容小结
1. 微分概念 • 微分的定义及几何意义
• 可导
可微
2. 微分运算法则
微分形式不变性: df(u )f(u )d u
( u 是自变量或中间变量 )
近似计算 3. 微分的应用 估计误差
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思考与练习
1. 设函数 yf(x)的图形如下,试在图中标出的点
第二章
一、微分的概念 二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 四、微分在估计误差中的应用
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恩格斯在《自然辩证法》中，对微分作了一个 形象的解释：
硫磺在一定温度下被蒸发为硫磺气，取一块正方 形硫磺薄板，放入容器，立刻降低容器内的温度，则 硫磺气凝固为硫磺，一部分附着于薄板，设薄板的一 对相邻的两边和两面均被某种不能附着硫磺的物质遮 盖，再设另一对相邻两边的那一层硫磺分子，而误差 就是附着在角点的一个硫磺分子。因为两条直线上的 分子很多，误差的这一个分子和它们相比，是微不足 道的。
令 xx0x f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x ( x 0 )
使用原则: 1) f(x0), f(x0)好;算 2) x与x0 靠近 .
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特别当 x00, x很小时, f(x ) f(0 ) f(0 )x
基本初等函数的微分公式
d yf(x)dx
d(C)0
d(x)x1dx
先计算函数的
d(sixn)coxsdx d(coxs)sinxdx 导数, 再 乘以自 d(taxn)se2cxdx d(coxt)cs2cxdx 变量的微分.

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四、微分在估计误差中的应用
某量的精确值为 A , 其近似值为 a ,
Aa 称为a 的绝对误差
Aa a
称为a 的相对误差
若 AaA
A 称为测量 A 的绝对误差限
A a
称为测量 A 的相对误差限
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误差传递公式 :
若直接测量某量得 x , 已知测量误差限为 x ,
1 limy 1 f(x0)x0x
所以 x 0时 y 与 d y 是等价无穷小,
故当 x 很小时,有近似公式
ydy
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微分的几何意义
切线纵坐标的增量
dyf(x0) xtanx
dy
当 x 很小时, ydy 当y x 时，
令 xx0x f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x ( x 0 )
使用原则: 1) f(x0), f(x0)好;算 2) x与x0 靠近 .
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特别当 x00, x很小时, f(x ) f(0 ) f(0 )x
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可 可 . 导 A 微 f ( x 0 ).
注1：函数 yf(x)在任x意 的点 微 , 称 分为函数 微,分 记作 d或 yd(fx),即 dyf(x)d.x
注 2：函数的 d与 y微 自 分 变量 d之 的 x 商 微等 分
该函数.的 导导 数数 "也 微叫 "商 .
1d 2
x
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二 元 函 数 对 二 元 函 数 对 y y的 x和 和 对 的 偏 微 分 对 偏 改 变 量x
全改变量的概念
z f(x ,y )在 (x , y)的 如 果 函 数 点 某 邻 域 内 (x P x , y y)为 有 定 义 ， 并 设 这 邻 域 内 的 任 意 一 点 ， 则 称 这 两 点 的 函 数 值 之 差 f(x x , y y) f(x , y) x , y的 为 函 数 在 点 P对 应 于 自 变 量 改 变 量 全 z 改 变 量 （ 全 增 量 ） ， 记 为
0 0

0 , x 0 , y 0 . 即 lim z lim f ( x x , y y ) f ( x , y ) 0 , 0 0 0 0 0 x 0
x 0 y 0
y 0 lim f( x x ,y y )f(x ,y ) 0 0 0 0
( x , y ) z f ( x , y ) 故 函 数 在 点 处 连 续 . 0 0
定理 2 ：如果函数 z f (x , y)在点（ x ）可微 0, y 0 (x 则函数 z f (x , y) 的两个偏导数 fx 0, y 0), (x fy 存在，且 0, y 0) dz f ( x , y ) x f (x y x 0 0 y 0, y 0) (x , y )
0 0
即可微分定义中 z A x B y o ( ） A f ( x ,y ) ， B f ( x ,y ) x 0 0 y 0 0
P ( x , y ) 证： 如 0 0 z f ( x , y ) 果 函 数 在 点 可 微 分 ,

dyf(x0) x
当 f(x0)0时，
y
y
1
y
l i m lim
lim 1
x 0 d y x0 f (x0)x f (x0)x0 x
即 当 x0时， y 与d y 是等价无穷小
当 x0时，ydy 是 x 的高阶无穷小
4/8/2020
第三章 导数与微分
若令 y x ，则 d y d x 1 • x x 即 dxx, 于是函数的微分可写成
4/8/2020
第三章 导数与微分
例3 求函数 y eaxbx2 的微分 解 dyeaxbx2d(axbx2)
eaxbx的微分 解 d y c o s ( 2 x 3 ) d ( 2 x 3 )
2 c o s(2 x 3 )d x
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第三章 导数与微分
（五）微分的应用 本节只介绍微分在近似计算中的应用 若函数 y f(x) 在点 x 处可微，则 当 x0时， ydyo( x)
f ( x x ) f ( x ) d y o ( x )
忽略高阶无穷小有 f(x x ) f(x ) d y 即 f ( x x ) f ( x ) f ( x ) x
例2 求函数 ylnx的微分 解 dy(lnx)dx 1 d x
x
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第三章 导数与微分
（二）微分的几何意义
由导数的几何意义知
f(x)tan
而 dyf(x)x
x ta n
在 M NT中，
N T x t a n d y
y
y f(x)
M
M T dy y
N
O
x xx x
即函数 y f(x) 的微分d y 是过点M(x, y)的

√
4.已知函数 则函数 的零点为 ( )
A. ， B. ， C. D.
解：当 时，令 ，解得 ；当 时，令 ，解得 （舍去）.综上，函数 的零点只有0.故选D.
√
考点一 判断函数零点所在区间
例1 （1） 函数 的零点所在的区间是 ( )
（2）给定精确度 ，用二分法求函数 零点 的近似值的一般步骤如下： ①确定零点 的初始区间 ，验证_____________.
②求区间 的中点 . ③计算 ，并进一步确定零点所在的区间： 若 （此时 ），则 就是函数的零点； 若 （此时 ），则令 ； 若 （此时 ），则令 . ④判断是否达到精确度 若___________，则得到零点近似值 （或 ）；否则重复步骤②～④.
√
解：利用二分法求函数图象与 轴交点的横坐标,该函数的零点必须是变号零点，所以根据这个条件可知，不宜用二分法求交点横坐标的是选项C的图象.故选C.
3.函数 的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
解：函数 是连续递增函数， ， ，可得 ，所以函数的零点所在区间为 .故选B.
（2）对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，有时还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题.
（3）若函数 在 上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又 ，则 在区间 内有唯一零点.
1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
解： 的零点可以看成 与 的图象的交点的横坐标. 的零点可以看成 与 的图象的交点的横坐标. 的零点可以看成 与 的图象的交点的横坐标.在同一坐标系中分别画出函数 ， ， ， 的图象，如图所示,可知 .故选C.
√
（2） 已知 , , ，且 , , ,则 , , 的大小关系为__________.