高考考前数学测试试卷 (4)
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绝密★启用前 试卷类型A1、复数5(3)zi i i =-+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为（ ）A ．2i -B ．2i +C ．4i -D ．4i +2、若[-1,1]{}2|1x xtx t ⊆-+≤,则实数t 的取值范围是（ ）A ．[-1,0]B ．[222-C ．(,2]-∞-D ．[222-222+]3、已知()2,M m 是抛物线()220y px p =>上一点，则“1p ≥”是“点M 到抛物线焦点的距离不少于3”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4、若是和的等比中项，则圆锥曲线的离心率是（ ）A ．3B 5C 35D 355、在ABC ∆中，若0120,2==A b ，三角形的面积3=S ，则三角形外接圆的半径为（ ）A ．3 B ．2 C ．23D ．46、某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的表面积为（ ）A ．3πB ．π4C ．π2D ．π25 7、定义,max{,},a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，设实数,x y 满足约束条件22x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，则max{4,3}z x y x y =+-的取值范围是（ ）A ．[8,10]-B ．[7,10]-C ．[6,8]-D ．[7,8]-8、函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠且的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中m ，n 均大于0，则nm 21+的最小值为 （ ） A ．2 B ．4C ．8D ．169、已知△ABC 中，内角C B A 、、所对的边分别为c b a ,,且b c C a =+23cos ，若123,1=-=b c a ，则角B 为（ ）A ．4πB ．6πC ．3πD ．12π 10、设定义在D 上的函数)(x h y =在点))(,(00x h x P 处的切线方程为)(:x g y l =，当0x x ≠时，若0)()(0>--x x x g x h 在D 内恒成立，则称P 为函数)(x h y =的“类对称点”，则x x x x f ln 46)(2+-=的“类对称点”的横坐标是（ ）A ．1B ．2C ．eD ．3第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11、已知函数a a x x f +-=|2|)(．若不等式6)(≤x f 的解集为{}32|≤≤-x x ，则实数a 的值为 ． 12、已知点A()2,0抛物线C ：24x y =的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N13、已知函数()11,1x x f x e x -≤≤=>⎪⎩ 则⎰-21d )(x x f = ． 14、把座位编号为1、2、3、4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为： ．（用数字作答）15、已知函数xxe x f =)(，记)()(0x f x f '=，)()(01x f x f '=，…，)()(1x f x f n n -'=且12x x >，对于下列命题：①函数)(x f 存在平行于x 轴的切线；②0)()(2121>--x x x f x f ；③xx e xe x f 2014)(2012+='；④1221)()(x x f x x f +<+．其中正确的命题序号是_______________（写出所有满足题目条件的序号）．三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16、（本小题满分12分）已知函数)3sin(2sin 2)(π-+=x x x f ．（Ⅰ）求f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a,b ，c ．已知b a A f 3,3)(==，证明:B C 3=中国北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮．现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：（Ⅰ）求选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率；（Ⅱ）若完整地选取奥运会吉祥物记10分；若选出的5只中仅差一种记8分；差两种记6分；以此类推．设ξ表示所得的分数，求ξ的分布列及数学期望．在正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，满足AE:EB ＝CF:FA ＝CP:PB ＝1:2（如图1）．将△AEF 沿EF 折起到EF A 1 的位置，使二面角A 1－EF －B 成直二面角，连结A 1B 、A 1P （如图2） （Ⅰ）求证：A 1E ⊥平面BEP ；（Ⅱ）求直线A 1E 与平面A 1BP 所成角的大小； （Ⅲ）求二面角B －A 1P －F 的余弦值．数列}{n a 中，,11=a 当2≥n 时，其前n 项和为n S ，满足).21(2-=n n n S a S（Ⅰ）求n S 的表达式； （Ⅱ）设,12+=n S b n n 数列}{n b 的前n 项和为n T ，不等式21(5)18n T m m ≥-对所有的*n N ∈恒成立,求正整数m 的最大值．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为1(1,0)F -， P 为椭圆G的上顶点，且145PFO ∠=︒． （Ⅰ）求椭圆G 的标准方程； （Ⅱ）已知直线1l ：1ykx m =+与椭圆G 交于A ，B 两点，直线2l ：2y kx m =+（12m m ≠）与椭圆G 交于C ，D 两点，且||||AB CD =，如图所示．（1）证明：120m m +=；（Ⅲ）求四边形ABCD 的面积S 的最大值．已知函数2()ln(1)f x a x ax x =+--．（Ⅰ）若1x =为函数()f x 的极值点，求a 的值； （Ⅱ）讨论()f x 在定义域上的单调性； （Ⅲ）证明：对任意正整数n ，222134232)1ln(n n n +++++<+ ．17、解：（Ⅰ）选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率.283566581312==⋅=C C C P …4分 （Ⅱ）10,8,6,4ξ的取值为;2895618)()6(;5631)()()8(;283)10(5833233312232213582322332312132223581312==⋅+⋅+⋅===+⋅+⋅+⋅===⋅==C C C C C C C C P C C C C C C C C C P C C C P ξξξ.561)4(583322=⋅==C C C P ξ ………8分5.75642854562482830=+++=ξE ………12分18、解析：不妨设正三角形ABC 的边长为 3 ．（1）在图1中，取BE 的中点D ，连结D F ． ∵AE :EB=C F :F A=1:2，∴A F =AD=2，而∠A=600,∴△AD F 是正三角形， 又AE=DE=1，∴E F ⊥AD在图2中，A1E ⊥E F ，BE ⊥E F ，∴∠A1EB 为二面角A1-E F -B 的平面角． 由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E ⊥BE ．...........................．3分 又BE∩E F =E ，∴A1E ⊥平面BE F ，即A1E ⊥平面BEP (4)（2）建立分别以ED 、E F 、EA 为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系，则E （0,0,0）,A （0,0,1）, B （2,0,0）,F （0,,0）, P （1, ,0）,则(0,0,1)AE =-,(2,0,1),(AB BP =-=-．设平面ABP 的法向量1111(,,)n x y z =，由1n ⊥平面ABP 知，11,n AB n BP ⊥⊥，即111120,0.x z x -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令1x 111,23y z ==，1(3,1,2n =．111cos ,||||(AE n AE n AE n ⋅<>===⋅,1,120AE n <>=, 所以直线A1E 与平面A1BP 所成的角为600…………8分（3）(0,3,1),(1,0,0)AF PF =-=-，设平面A F P 的法向量为2222(,,)n x y z =．由2n ⊥平面A F P 知，22,n AF n PF ⊥⊥，即22220,0.x z -=⎧⎪-=令21y =，得220,x z ==2n =． 1211127cos ,8||||(n n n n n n ⋅<>===⋅,所以二面角B-A1P-F 的余弦值是78-………………………………12分19、解：（1）因为)2(),21(12≥-=-=-n S S a S a S n n n n n n ，所以).21)((12--=-n n n n S S S S即n n n n S S S S -=⋅--112 ① 由题意,01≠⋅-n n S S 故①式两边同除以,1n n S S ⋅-得2111=--n n S S ，所以数列}1{n S 是首项为,11111==a S 公差为2的等差数列．故,12)1(211-=-+=n n S n 所以;121-=n S n （2）),121121(21)12)(12(112+--=+-=+=n n n n n S b n n)121121()5131()311((2121+--++-+-=+++=n n b b b T n n )1211(21+-=n ≥13又∵ 不等式≥n T 21(5)18m m -对所有的*n N ∈恒成立∴13≥21(5)18m m -， 化简得：2，解得：16-≤≤m ．∴正整数m 的最大值为6．……新课标第一网系列资料。
