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初二数学圆的知识点归纳总结在初中数学中，圆是一个重要的几何概念，它是指平面上所有到定点的距离都相等的点的集合。
在学习圆的知识时，我们需要掌握圆的基本性质、公式和相关定理。
本文将对初二数学圆的知识点进行归纳总结，帮助大家更好地理解和掌握这一内容。
一、圆的基本性质1. 圆的定义：圆是指平面上到定点O的距离等于r的点的集合，O 为圆心，r为半径。
2. 圆的元素：圆心、半径、直径、弦、弧、切线等。
3. 圆的稳定性：圆心和半径确定一个圆，改变圆心或半径会得到不同的圆。
二、圆的公式1. 圆的周长公式：圆的周长C等于2πr，其中r为半径。
2. 圆的面积公式：圆的面积A等于πr²，其中r为半径。
3. 圆心角的弧度制：圆心角的弧度等于弧长与半径的比值。
三、圆的相关定理1. 同一个圆或等圆的弧长的度数是相等的。
2. 在同一个圆或等圆中，以圆心为顶点的角都是直角，其对应的弧都是半圆。
3. 圆内接四边形的两个对角和为180°。
4. 在一个圆中，半径垂直于弦，且七分弦等分圆的弧。
四、圆的常见问题类型1. 求圆的面积和周长：根据给定的半径或直径，应用相应的公式计算出圆的面积和周长。
2. 求圆的弧长：根据给定的半径或角度，利用弧长公式计算出圆的弧长。
3. 利用圆的性质解决几何问题：如证明两个三角形相似或全等、证明线段平行或垂直等等。
五、例题解析1. 已知圆的直径长为10cm，求其周长和面积。
解答：半径r = 直径/2 = 10/2 = 5cm，根据周长公式C = 2πr，将r = 5代入得到C = 2π * 5 = 10π cm，所以周长为10π cm。
根据面积公式A = πr²，将r = 5代入得到A = π * 5² = 25π cm²，所以面积为25π cm²。
2. 圆O的半径r = 8cm，弧AB所对的圆心角θ为60°，求弧AB的弧长。
解答：由弧长公式L = θ/360° * 2πr，将θ = 60°，r = 8代入，得到L = 60/360° * 2π * 8 = 4π cm，所以弧AB的弧长为4π cm。
初中数学知识点归纳圆初中数学中与圆相关的知识点有很多，包括圆的定义、圆的性质、弦、切线、弧长、扇形、面积等。
下面将详细介绍这些知识点。
一、圆的定义和性质1.圆的定义：圆是平面上距离其中一定点（圆心）距离相等的所有点的集合。
2.圆的性质：（1）圆心到圆上任意一点的距离都相等。
（2）具有相同半径的两个圆互为同心圆。
（3）同心圆的内圆的半径小于外圆的半径。
二、弦和切线1.弦：弦是圆上的两个点之间的线段。
弦的长度可以通过通过勾股定理计算。
2.弦的性质：（1）圆心角相等的弦相等。
（2）等长的弦对应的圆心角相等。
（3）等长的弦与半径相等的圆心角相等。
3.切线：切线是圆与圆心的一条直线，它只与圆相交于一个点，这个点称为切点。
4.切线的性质：（1）切线与半径的夹角是直角（垂直）。
（2）切点到圆心的距离与切线的长度相等。
三、弧、弧长和扇形1.弧：弧是圆上两个点之间的一段弧线。
2.弧的性质：（1）相等弧所对的圆心角相等。
（2）圆的一条弧上的任意两个点与圆心和其他点构成的圆心角相等。
3.弧长：弧长是弧上的一段弧线的长度，可以通过圆的周长与圆心角的比例来计算。
4.扇形：扇形是由圆心、圆上两个点和相应的弧所构成的图形。
5.扇形的性质：扇形的面积可以通过扇形的圆心角与整个圆所对应的圆心角的比例来计算。
四、圆的面积1.圆的面积公式：圆的面积可以通过半径或直径来计算，公式如下：圆的面积=π*半径²=π*(直径/2)²2.π的近似值：π是一个无理数，通常取近似值3.14或22/7以上就是初中数学中与圆相关的知识点的归纳，涵盖了圆的定义和性质、弦和切线、弧、弧长和扇形、圆的面积等内容。
通过学习和掌握这些知识点，可以更好地理解和解决与圆相关的数学问题。
了解这些知识，不仅有助于学生提高数学水平，还能够培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
九年级数学圆的基本性质九年级数学：圆的基本性质及其应用圆的性质是九年级数学中的一个重要内容，它在实际生活和后续数学知识中都具有重要的地位。
本文将详细介绍圆的基本性质，并通过实例阐述其应用。
一、圆的基本定义圆是一种几何图形，由一条固定长度的线段（称为半径）围绕一个定点（称为圆心）旋转一周所形成的封闭曲线。
圆具有如下基本元素：1、圆心：定义圆的中心点，用符号“O”表示。
2、半径：连接圆心与圆上任意一点的线段，用符号“r”表示。
3、直径：通过圆心的线段，其长度为半径的两倍，用符号“d”表示。
4、周长：圆的所有边界点组成的封闭曲线长度，用符号“C”表示。
5、面积：圆所占平面的大小，用符号“S”表示。
二、圆的基本性质1、圆的确定：到一个定点距离等于定长的所有点组成的图形是一个圆。
2、圆心与半径的关系：在同圆或等圆中，半径等于直径的一半。
3、圆的基本性质：圆是轴对称图形，其对称轴有无数条，任何一条直径所在的直线都是其对称轴。
4、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
5、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
6、圆周角定理：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等。
7、弦切角定理：在圆中，与圆相交的直线被圆截得的线段相等。
三、圆的性质的应用1、日食和月食：当月球绕地球运动时，太阳、地球和月球在同一直线上，太阳照射在月球的背面，地球上的观察者会看到月偏食或月全食。
这是由于太阳照射在月球的背面，使得月球背面的影子投射在地球上，形成了月食。
2、汽车轮胎：汽车轮胎的设计考虑了圆的性质。
因为车轮是由一个圆柱体和两个半圆形组成的，所以当车轮转动时，可以平稳地行驶。
3、计算圆的周长和面积：圆的周长和面积是圆的两个基本量，可以用于计算圆的周长和面积，也可以用于计算球体、圆柱、圆锥等几何形体的体积和表面积。
4、工程设计：在工程设计中，经常需要用到圆的性质。
例如，在设计桥梁时，需要考虑桥墩之间的距离以及桥墩的形状；在设计房屋时，需要考虑窗户和门的形状和大小。
初中数学知识归纳圆的性质与运算圆是初中数学中常见的几何图形，具有独特的性质和运算规则。
了解圆的性质与运算对于学习数学和解决相关问题非常重要。
本文将对初中数学中与圆相关的知识进行归纳总结。
一、圆的性质1. 定义：圆是平面上所有到圆心距离相等的点组成的图形。
2. 圆的要素：(1) 圆心：圆的中心点，通常用大写字母O表示。
(2) 半径：以圆心为中心，连接圆心和圆上任意一点的线段，称为半径，通常用小写字母r表示。
圆的半径相等。
(3) 直径：通过圆心的两个点，称为直径，通常用大写字母D表示。
直径等于半径的两倍。
3. 圆的常见关系：(1) 切线与半径的关系：切线与半径的交点处的切线垂直于该半径。
(2) 弦：连接圆上任意两点的线段称为弦。
半径是弦的中垂线。
(3) 弧：圆上两点间的弧。
圆上所有弧的长度都是360度。
(4) 圆周角：以圆心为顶点的角，所对的弧的弧度数称为圆周角。
(5) 正切线：与切点处的切线相交，且不在圆内的直线。
二、圆的运算1. 圆的周长：圆的周长等于圆周上的弧长。
圆的周长公式为C=2πr，其中π≈3.14，r为半径。
2. 圆的面积：圆的面积是圆内所有点到圆心的距离之和。
圆的面积公式为A=πr²。
3. 圆的扇形面积：扇形是以圆心为基准的一部分圆，扇形的面积可以通过圆的面积公式和圆周角计算得出。
扇形面积公式为S=(θ/360)πr²，其中θ为圆心角的度数。
4. 圆柱体的体积：圆柱体是由圆形底面和侧面围成的立体图形。
圆柱体体积公式为V=πr²h，其中r为底面半径，h为高。
5. 图形的相似：如果两个图形具有相同的形状但大小不同，我们称它们为相似图形。
对于圆来说，它们的半径比例相等，面积比例是半径比例的平方。
三、圆的应用1. 圆的运动：圆在平面上可以进行旋转、平移等运动。
这些运动可以通过圆的几何性质进行分析和求解。
2. 圆的测量：利用圆的性质和运算规则，可以进行圆的周长、面积等测量问题的求解。
初中数学圆的知识点归纳及题型在初中数学的学习中，圆是一个非常重要的知识点，它不仅在几何中有着广泛的应用，还与其他数学知识有着紧密的联系。
下面我们就来对初中数学圆的知识点进行归纳，并对常见的题型进行分析。
一、圆的基本概念1、圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
定点称为圆心，定长称为半径。
2、圆的表示方法以点 O 为圆心，以 r 为半径的圆，记作“⊙O，半径为r”。
3、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦。
4、弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。
5、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。
6、圆周角顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
二、圆的基本性质1、圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线；圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
2、垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
3、弧、弦、圆心角的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
4、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
三、圆的位置关系1、点与圆的位置关系设圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则有：当 d ＞ r 时，点在圆外；当 d ＝ r 时，点在圆上；当 d ＜ r 时，点在圆内。
2、直线与圆的位置关系设圆的半径为 r，圆心到直线的距离为 d，则有：当 d ＞ r 时，直线与圆相离；当 d ＝ r 时，直线与圆相切；当 d ＜ r 时，直线与圆相交。
3、圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为 R 和 r（R ＞ r），圆心距为 d，则有：当 d ＞ R ＋ r 时，两圆外离；当 d ＝ R ＋ r 时，两圆外切；当 R r ＜ d ＜ R ＋ r 时，两圆相交；当 d ＝ R r 时，两圆内切；当 d ＜ R r 时，两圆内含。
初中数学知识归纳圆的概念和性质圆是初中数学中的一个重要概念，它有许多独特的性质。
下面将对圆的概念和性质进行归纳。
一、圆的概念圆是由平面上所有到一个固定点的距离都相等的点的集合。
固定点叫做圆心，等距离叫做半径。
圆可以用圆心和半径表示，通常表示为∠O(r)，其中O表示圆心，r表示半径。
二、圆的性质1. 圆上任意两点的距离都相等。
即圆上的任意两点A和B，都有AB = r，其中r为圆的半径。
2. 圆的直径是圆上任意两点间的最大距离。
直径d等于半径的两倍，即d = 2r。
3. 相交弧：圆上的两条弧如果有一个公共点，则称它们为相交弧。
4. 弧度：圆心角对应的弧长与圆的半径的比值叫做弧度。
常用弧度符号表示为θ。
5. 弧长：圆周上任意两点间的弧长等于该圆心角的弧度数乘以圆的半径。
即L = θr。
三、圆的相关公式1. 圆的面积公式：S = π * r²，其中S表示圆的面积，r表示半径。
π是一个常数，约等于3.14。
2. 圆的周长公式：C = 2π * r，其中C表示圆的周长，r表示半径。
3. 弓形的面积公式：A = 1/2 * θ * r²，其中A表示弓形的面积，θ表示圆心角的弧度数，r表示半径。
4. 弦与弦的关系公式：如果两条弦相交，且其中一条被另一条平分，则两条弦的乘积等于交叉部分之间的弦的乘积。
即AB * CD = BC * AD。
四、圆的常见问题类型1. 判断关系：判断两个图形是否为圆，判断是否为同心圆等。
2. 计算问题：根据已知条件计算圆的面积、周长等。
3. 推理问题：利用圆的性质进行推理，解决几何问题。
4. 证明问题：根据已知条件进行推导，证明一个几何命题。
5. 应用问题：将圆的概念和性质应用于生活实际，解决实际问题。
五、常见解题思路1. 利用定义：根据圆的定义进行判断或运用相关公式进行计算。
2. 运用性质：根据圆的性质推导出结论，解决几何问题。
3. 运用变换：将圆的问题转化为其他图形的问题，通过转换求解。
初中数学圆的知识点总结圆是初中数学学习中的重要内容，它被广泛应用于物理、化学、生物等科学领域中，也是一种美学符号。
本文将对初中数学圆的基本定义、性质以及常用的定理进行总结。
基本定义1.圆心和半径：定义一个点为圆心，一条从圆心到圆上每一个点的距离均相等的线段为半径。
2.圆周和弧度：以圆心为中心，半径为一条边的形成的角度，称为弧度。
一条圆的周长称为圆周，用字母C表示。
这里我们需要知道圆周长C的计算公式：C=2πr，其中π为圆周率，r为半径。
常用定理1.圆的切定理：在圆的任意一点，作与该点处切线垂直的直线，则该直线与圆的切点构成的线段等于该点到圆心所在的半径。
推理过程可以用勾股定理证明。
2.圆的相交定理：两个圆相交时，它们相交于两个交点。
连接两个交点和两个圆心，则三角形两个内角以圆心为顶点，另一个内角为锐角，形成的三角形成为“等腰三角形”。
因此，两个相交圆的半径是相等的。
3.圆的积分定理：对于一条弧，它所对的圆心角度数是θ，半径为r，则该弧的长度是$l=r\\theta$。
4.圆的弦线定理：弦是连接圆的两个点的线段。
圆的弦分别平分圆周，则弦所对的圆心角度相等。
5.圆的正切定理：如果一个直线通过圆上一点并且与圆的切线垂直，则该直线是这个点的圆切线。
性质1.圆的面积：圆的面积公式为S=πr2，其中r为半径。
2.圆的周长：圆的周长公式为C=2πr，其中r为半径。
3.圆的面积性质：对同一大小的圆，其中心角度数相等，则圆上对应的弧长相等。
总结初中数学中，圆是一个重要的知识点。
知道圆的基本定义以及常用定理，即可解决许多与圆有关的问题。
在考试中，对于圆的计算题，需要熟练掌握圆的面积、周长计算公式，并且掌握扇形、弓形等概念的定义。
对于初学者，建议多多练习圆的定理与性质，熟悉了它们之后，对于自己也有巨大的提升作用。
初中数学圆的基本性质与应用知识点说起初中数学里的圆，那可真是让我又爱又恨。
圆这玩意儿，看起来简单，其实里面的门道可多着呢！先来说说圆的定义吧。
圆就是在一个平面内，围绕一个点并以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线。
这定义听起来是不是有点抽象？别急，让我给您细细道来。
比如说，您拿根绳子，一头拴在一个固定的点上，另一头绑上一支笔，然后让笔绕着那个点转一圈，这画出来的图形就是个圆啦！想象一下，您就是那个拿着笔的小画家，随心所欲地画出一个个完美的圆。
是不是有点意思？圆有好多好多的性质，其中最重要的就是半径、直径和圆心。
半径就是从圆心到圆上任意一点的距离，直径呢，就是通过圆心并且两端都在圆上的线段，而且直径是半径的两倍哟！这就好像一个圆是个大家庭，圆心是家长，半径和直径就是家里的成员，关系紧密得很呢！还记得有一次上数学课，老师在黑板上画了一个大大的圆，然后问我们：“同学们，这个圆的半径是 5 厘米，那直径是多少呀？”大家都争着回答，我心里也默默算着，“直径是半径的两倍，那就是 10 厘米呗！”我自信地举起了手，老师点了我回答，我大声说：“老师，直径是 10 厘米！”老师笑着点了点头，那一刻，我心里别提多得意了。
再来说说圆的周长和面积。
圆的周长就是绕圆一周的长度，可以用公式 C ＝2πr 或者 C ＝πd 来计算，这里的π可是个神奇的数字，约等于 314。
面积呢，就是圆所占平面的大小，公式是 S ＝πr²。
有一回，我和小伙伴一起做数学作业，遇到了一道求圆面积的题。
题目里说一个圆的半径是 3 厘米，让我们算出它的面积。
我拿起笔，按照公式 S ＝πr²开始算，314×3×3 ＝ 2826 平方厘米。
小伙伴在旁边看着我算，眼睛一眨不眨的，等我算出答案，他一拍大腿：“哎呀，原来是这样算的，我刚才都算错啦！”圆还有很多有趣的定理和性质，比如垂径定理。
垂径定理说的是垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧。
初中知识点圆总结一、圆的基本概念圆是由平面上的一点到另一点的距离恒定且等于半径的所有点的集合。
这个距离通常称为半径。
通常情况下，我们所说的圆指的是圆的内部和边界。
二、圆的性质1. 圆的半径相等性质：圆上的任何一条半径的长度都相等。
2. 圆周角性质：圆周角的度数是圆心角的一半。
3. 圆的弦性质：圆上的任何一条弦都将圆分成两个小圆，这两个小圆的半径相等。
4. 圆的切线性质：过圆外一点，可以有且只有一条直线与圆相切，且与圆的切点处的切线垂直于半径。
三、圆的周长和面积1. 圆的周长：圆的周长等于圆的直径乘以π，即C=πd，或者等于2倍半径乘以π，即C=2πr。
2. 圆的面积：圆的面积等于半径的平方乘以π，即A=πr²。
四、圆的相关角度1. 对圆心角的概念，记住在同一个圆的圆心角相等。
2. 对于圆周角和弦的关系，圆周角等于其所对的弦的圆心角。
五、圆的应用1. 圆的平移：圆平移后仍然是圆。
2. 圆的旋转：圆绕定点旋转后仍然是圆。
3. 圆的相似与全等：圆的相似和全等的概念及判定条件。
六、常见的圆相关问题1. 直角三角形内切圆和外接圆的性质。
2. 圆心角的性质和应用。
3. 关于弦的问题，比如等于半径的弦和垂直于半径的弦的关系。
七、圆的相关定理1. 相交弦定理：如果两条弦相交，那么这两条弦的乘积相等。
2. 弧长定理：在同一个圆上，两个圆周角所对的弧长比等于它们所在圆周的弧长比。
3. 正切定理：切线与半径的关系。
以上就是初中知识点圆的总结。
圆是数学中一个非常基础，又非常重要的知识点，掌握圆的性质和相关定理对后续数学学习和生活中的问题解决都有极大的帮助。
希望同学们能够认真学习和理解圆的相关内容，加深对圆的理解和运用。
九年级数学《圆的基本性质》知识点复习一、圆1、圆的定义在一个个平面内，线段oA绕它固定的一个端点o旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点o叫做圆心，线段oA叫做半径。
2、圆的几何表示以点o为圆心的圆记作“⊙o”，读作“圆o”二、圆形的旋转1.图形的旋转定义：在平面内，将一个圆形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角称为旋转角。
生活中的旋转现象大致有两大类：一类是物体的旋转运动，如时钟的时针、分针、秒针的转动，风车的转动等;另一类则是由某一基本图形通过旋转而形成的图案，如香港特别行政区区旗上的紫荆花图案。
图形的旋转不改变图形的大小和形状，旋转是由旋转中心和旋转角所决定，旋转中心可以在图形上也可以在图形外。
会找对应点，对应线段和对应角。
三、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论1：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
四、圆心角把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角.因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧.圆心角的度数和它们对的弧的度数相等.五、圆周角有关计算公式①L=n/180Xπr；②S=n/360Xπr²③扇形圆心角n=/。
④k=2Rsink=弦长；n=弦所对的圆心角，以度计。
六、圆内接四边形四边形的四个顶点均在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形。
性质1、圆内接四边形的对角互补。
2、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。
3、圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
七、正多边形重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、•边长之间的关系.难点：使学生理解四者：正多边形半径、中心角、•弦心距、边长之间的关系.[:学,科,网]正多边形的中心：所有对称轴的交点;正多边形的半径：正多边形外接圆的半径。
中考知识点圆的性质圆的性质在中考中是一个重要的数学知识点。
了解和掌握圆的性质对于解题和理解几何原理都有很大的帮助。
本文将介绍圆的定义，以及与它相关的性质和定理。
圆是一个平面上所有到一点的距离都相等的点的集合。
这个点叫做圆心，到圆心的距离叫做半径。
圆内的所有点到圆心的距离都小于半径，圆外的所有点到圆心的距离都大于半径。
根据圆的定义，我们可以得出以下性质：性质一：圆的直径等于两倍的半径。
直径是通过圆心的一条线段，它的两个端点在圆上。
性质二：圆的任意两条半径相等。
性质三：圆的任意两点与圆心的距离相等。
性质四：圆的周长等于2π乘以半径。
周长是圆上的一段弧对应的线段长度。
性质五：圆的面积等于π乘以半径的平方。
面积是圆内部的所有点组成的区域的大小。
除了这些基本性质之外，我们还需要了解一些与圆相关的定理。
定理一：两个相交圆的交点到两个圆心的距离相等。
这个定理通常用于证明两个相交圆的性质。
定理二：一个直线和一个圆最多有两个交点。
这个定理常常被用于计算直线和圆的交点个数。
定理三：切线和半径垂直。
如果一条直线与圆切线相切，那么切线和半径的夹角是90度。
定理四：圆的内接四边形的对角线相等。
内接四边形是一个四边形，它的四个顶点都在圆上。
在中考中，我们需要根据这些性质和定理解决与圆相关的各种问题。
比如，求圆的面积、周长，确定圆心和半径，计算圆与直线的交点等等。
熟练掌握这些知识点可以帮助我们更好地理解几何概念，提高解题的能力。
在学习中考数学过程中，我们可以通过练习题和习题课来巩固圆的性质和定理。
掌握了这些知识点后，我们可以更轻松地解答几何题目，提高数学成绩。
总之，圆的性质是中考数学中的一个重要知识点。
通过了解和掌握圆的定义、性质和定理，我们可以更好地理解几何问题，提高解题的能力。
希望本文能帮助大家更好地掌握圆的性质和应用。
初中数学竞赛辅导讲义---圆的基本性质到定点(圆心)等于定长(半径)的点的集合叫圆，圆常被人们看成是最完美的事物，圆的图形在人类进程中打下深深的烙印．圆的基本性质有：一是与圆相关的基本概念与关系，如弦、弧、弦心距、圆心角、圆周角等；二是圆的对称性，圆既是一个轴对称图形，又是一中心对称图形．用圆的基本性质解题应注意：1．熟练运用垂径定理及推论进行计算和证明；2．了解弧的特性及中介作用；3．善于促成同圆或等圆中不同名称等量关系的转化．熟悉如下基本图形、基本结论：【例题求解】【例1】在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 的长分别为3和2，则∠BAC 度数为 ．作出辅助线，解直角三角形，注意AB 与AC 有不同的位置关系．注： 由圆的对称性可引出许多重要定理，垂径定理是其中比较重要的一个，它沟通了线段、角与圆弧的关系，应用的一般方法是构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形知识结 合起来．圆是一个对称图形，注意圆的对称性，可提高解与圆相关问题周密性．【例2】 如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为( )A ．2B ．25C ．45D ．16175思路点拨 所作最小圆圆心应在对称轴上，且最小圆应尽可能通过圆形的某些顶点，通过设未知数求解．【例3】 如图，已知点A 、B 、C 、D 顺次在⊙O 上，AB=BD ，BM ⊥AC 于M ，求证：AM=DC+CM ．思路点拨 用截长(截AM)或补短(延长DC)证明，将问题转化为线段相等的证明，证题的关键是促使不同量的相互转换并突破它．【例4】 如图甲，⊙O 的直径为AB ，过半径OA 的中点G 作弦C E ⊥AB ，在CB 上取一点D ，分别作直线CD 、ED ，交直线AB 于点F ，M ．(1)求∠COA 和∠FDM 的度数；(2)求证：△FDM ∽△COM ； (3)如图乙，若将垂足G 改取为半径OB 上任意一点，点D 改取在EB 上，仍作直线CD 、ED ，分别交直线AB 于点F 、M ，试判断：此时是否有△FDM ∽△COM? 证明你的结论．思路点拨 (1)在Rt △COG 中，利用OG=21OA=21OC ；(2)证明∠COM=∠FDM ，∠CMO= ∠FMD ；(3)利用图甲的启示思考．注：善于促成同圆或等圆中不同名称的相互转化是解决圆的问题的重要技巧，此处，要努力把圆与直线形相合起来，认识到圆可为解与直线形问题提供新的解题思路，而在解与圆相关问题时常用到直线形的知识与方法(主要是指全等与相似)．【例5】 已知：在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，以C 为圆心，CD 为半径的半圆交BC 的延长线于点E ，交AD 于点F ，交AE 于点M ，且∠B=∠CAE ，EF ：FD ＝4：3．(1)求证：AF ＝DF ；(2)求∠AED 的余弦值；(3)如果BD ＝10，求△ABC 的面积．思路点拨 (1)证明∠ADE ＝∠DAE ；(2)作AN ⊥BE 于N ，cos ∠AED ＝AEEN ，设FE=4x ，FD ＝3x ，利用有关知识把相关线段用x 的代数式表示；(3)寻找相似三角形，运用比例线段求出x 的值．⌒ ⌒ ⌒ ⌒注：本例的解答，需运用相似三角形、等腰三角形的判定、面积方法、代数化等知识方法思想，综合运用直线形相关知识方法思想是解与圆相关问题的关键．学历训练1．D是半径为5cm的⊙O内一点，且OD＝3cm，则过点D的所有弦中，最小弦AB= ．2．阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖．对于平面图形A，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖．例如：图甲中的三角形被一个圆所覆盖，图乙中的四边形被两个圆所覆盖．回答下列问题：(1)边长为lcm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是cm；(2)边长为lcm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是cm；(3)长为2cm，宽为lcm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，r的最小值是cm．(2003年南京市中考题)3．世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图形中都有圆：它们看上去多么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称和中心对称性．(1)请问以下三个图形中是轴对称图形的有，是中心对称图形的有(分别用下面三个图的代号a，b，c填空)．(2)请你在下面的两个圆中，按要求分别画出与上面图案不重复的图案(草图) (用尺规画或徒手画均可，但要尽可能准确些，美观些)．a ．是轴对称图形但不是中心对称图形．b ．既是轴对称图形又是中心对称图形．4．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，若AB=10cm ，CD ＝8cm ，那么A 、B 两点到直线CD 的距离之和为( )A ．12cmB ．10cmC ． 8cmD ．6cm5．一种花边是由如图的弓形组成的，ACB 的半径为5，弦AB ＝8，则弓形的高CD 为( )A ．2B ．25C ．3D ．316 6．如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB 、CD 、EF ，如果AB+CD=EF ，那么AB+CD 与E 的大小关系是（ ）A ．AB+CD ＝EFB ．AB+CD=FC ． AB+CD<EFD ．不能确定7．电脑CPU 芯片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄形圆片，叫“晶圆片”．现为了生产某种CPU 芯片，需要长、宽都是1cm 的正方形小硅片若干．如果晶圆片的直径为10．05cm ，问：一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张?请说明你的方法和理由(不计切割损耗)．8．如图，已知⊙O 的两条半径OA 与OB 互相垂直，C 为AmB 上的一点，且AB 2+OB 2=BC 2，求∠OAC 的度数．9．不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥l ，垂足为E ，BF ⊥l ，垂足为F ．(1)在下面三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒10．以AB 为直径作一个半圆，圆心为O ，C 是半圆上一点，且OC 2＝AC ×BC ， 则∠CAB=．11．如图，把正三角形ABC 的外接圆对折，使点A 落在BC 的中点A ′上，若BC=5，则折痕在△ABC 内的部分DE 长为 ．12．如图，已知AB 为⊙O 的弦，直径MN 与AB 相交于⊙O 内，MC ⊥AB 于C ，ND ⊥AB 于D ，若MN=20，AB=68，则MC —ND= ．13．如图，已知⊙O 的半径为R ，C 、D 是直径AB 同侧圆周上的两点，AC 的度数为96°，BD 的度数为36°，动点P 在AB 上，则CP+PD 的最小值为 ．14．如图1，在平面上，给定了半径为r 的圆O ，对于任意点P ，在射线OP 上取一点P ′，使得OP ×OP ′=r 2，这种把点P 变为点P ′的变换叫作反演变换，点P 与点P ′叫做互为反演点．(1)如图2，⊙O 内外各有一点A 和B ，它们的反演点分别为A ′和B ′，求证：∠A ′=∠B ；(2)如果一个图形上各点经过反演变换得到的反演点组成另一个图形，那么这两个图形叫做互为反演图形．①选择：如果不经过点O 的直线与⊙O 相交，那么它关于⊙O 的反演图形是( )A ．一个圆B ．一条直线C ．一条线段D ．两条射线②填空：如果直线l 与⊙O 相切，那么它关于⊙O 的反演图形是 ，该图形与圆O 的位置关系是 ．15．如图，已知四边形ABCD 内接于直径为3的圆O ，对角线AC 是直径，对角线AC 和BD 的交点为P ，AB=BD ，且PC=0．6，求四边形ABCD 的周长．16．如图，已知圆内接△ABC 中，AB>AC ，D 为BAC 的中点，DE ⊥AB 于E ，求证：BD 2-AD 2=AB×AC ．⌒ ⌒ ⌒17．将三块边长均为l0cm 的正方形煎饼不重叠地平放在圆碟内，则圆碟的直径至少是多少?(不考虑其他因素，精确到0．1cm)18．如图，直径为13的⊙O ′，经过原点O ，并且与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，线段OA 、OB(OA>OB)的长分别是方程0602=++kx x 的两根．(1)求线段OA 、OB 的长； (2)已知点C 在劣弧OA 上，连结BC 交OA 于D ，当OC 2=CD ×CB 时，求C 点坐标；(3)在⊙O ，上是否存在点P ，使S △POD =S △ABD ?若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．⌒参考答案。
圆的基本性质知识定位圆在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，它的有关知识如圆与正多边形的关系，圆心角、三角形外接圆、弧、弦、弦心距间的关系，垂径定理是今后我们学习综合题目的重要基础。
圆的基本性质以及应用，必须熟练掌握。
本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中圆相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理1、圆的定义：（1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A 随之转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．（2）集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．⊙”，（3）圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作“O读作“圆O”。
（4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．注意：同圆或等圆的半径相等．2、弦和弧：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．、为端点的圆弧记作AB，读作（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B弧AB．（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．（6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．3、垂径定理：（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．4、圆心角和圆周角：（1）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．（2）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．（3）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（4）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．5、正多边形：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。
6、正多边形的外接圆：一个正多边形的各个顶点都在圆上，我们就说这个圆是这个正多边形的外接圆。
把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做这个正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
注意：正n边形每一个内角的度数为：()2180 nn-⨯︒正n边形的一个中心角的度数为：360 n︒正多边形的中心角与外角的大小相等。
7、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角和相等，都是180°。
8、圆内接正n边形的性质（n≥3，且为自然数）：(1) 当n为奇数时，圆内接正n边形是轴对称图形，有n条对称轴；但不是中心对称图形。
(2) 当n为偶数时，圆内接正n边形即是轴对称图形又是中心对称图形，对称中心是正多边形的中心，即外接圆的圆心。
9、常见圆内接正多边形半径与边心距的关系：设圆内接正多边形的半径为r，边心距为d（1）圆内接正三角形：1 d2r =（2）圆内接正四边形：2 d2 =（3）圆内接正六边形：3d 2r = 10、常见圆内接正多边形半径r 与边长x 的关系：（1）圆内接正三角形：3x r =（2）圆内接正四边形：x 2r =（3）圆内接正六边形：x=r11、正多边形的画法：画正多边形一般与等分圆正多边形周有关，要做半径为R 的正n 边形，只要把半径为R 的圆n 等分，然后顺次连接各点即可。
（1）用量角器等分圆周。
（2）用尺规等分圆（适用于特殊的正n 边形）。
12、定理1：把圆分成n(n ≥3)等份：(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形；(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形。
注意：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：①依次连结圆的n(n ≥3)等分点，所得的多边形是正多迫形；②经过圆的n(n ≥3)等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多边。
．(2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件。
(3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形。
定理2： 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。
例题精讲【试题来源】江苏省竞赛题【题目】P 是圆O 内一点，圆O 的半径为15，P 点到圆心O 的距离为9，通过P 点，长度是整数的弦的条数是【答案】12【解析】 解：在⊙O 中,半径是15,点P 到圆心的距离为9,则过点P 最长的弦是过点P 的直径,长度为30．过点P 最短的弦是垂直于OP 的弦,这条弦长为24．最长的弦有一条,最短的弦有一条,而弦长分别是25,26,27,28,29的弦有两条,所以过P 点,长度是整数的弦一共有1+2×5+1=12条【知识点】圆的基本性质【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】江苏省竞赛题【题目】如图，已知点D C B A ,,,顺次在圆O 上，弧AB =弧BD ,AC BM ⊥于M ，求证CM DC AM +=【答案】如下解析【解析】 解：过B 做CD 垂线交DC 延长线于P则：∠BCP=∠ABD因为：弧AB=弧CD圆周角：∠BAD=∠BDA=∠ACB所以：∠BCP=∠ACB因为：BM 垂直AC,BP 垂直DC,BC 公用所以：△BCP ≌△BCM所以：CP=CM,CP+DC=CM+CDBC 弧上圆周角：∠BDC=∠BAM,AB=BD所以：RT △ABM ≌RT △BPD所以：AM=DP=CD+CP=CD+CM所以：AM ＝DC ＋CM【知识点】圆的基本性质【适用场合】当堂练习【难度系数】3【试题来源】黑龙江省竞赛题【题目】如图，半径为2的o Θ中，弦AB 与弦CD 垂直相交于点P ，连接OP ，若1=OP ，求22CD AB +的值。
【答案】28【解析】 解：作OF ⊥AB 于F,OE ⊥CD 于E,连接OB,OD,在Rt ⊿OFB 和Rt ⊿OED 中,由勾股定理得,FB ²＝OB ²;－OF ² …………………①ED ²＝OD ²－OE ²;…………………②①+②得FB ²;+ED ²;=OB ²;+OD ²;－(OF ²;+OE ²;) ……③∵OE=FP∴OF ²;+OE ²;=OF ²;+FP ²;=OP ²＝1;由垂径定理得,FB=1／2·AB,ED=1／2·CD代入③得(1／2·AB﹚²;+(1／2·CD﹚²;=R²;+R²;－1,即AB²;+CD²;=8R²;－4;＝8×2²－4=28【知识点】圆的基本性质【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】《时代学习报》数学文化节试题【题目】如图 ，已知多边形ABDEC是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成，Θ的半径Θ过点A、D、E三点，求oo【答案】2【解析】解：如图，将正方形BDEC上的等边△ABC向下平移得等边△ODE，其底边与DE重合，∵A、B、C的对应点是O、D、E，∴OD=AB，OE=AC，AO=BD，∵等边△ABC和正方形BDEC的边长都是2，∴AB=BD=AC=2，∴OD =OA=OE=2，∵A、D、E三点不在同一直线上，∴A、D、E三点确定一圆，∵O到A、D、E三点的距离相等，∴O 点为圆心，OA 为半径，∴该圆的半径长为2。
【知识点】圆的基本性质【适用场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】【题目】圆O 的直径为cm 5，弦∥AB 弦CD ，cm AB 3=，cm CD 4=，则梯形ABCD 的面积【答案】【解析】 解：分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O 一侧时，如图1所示，过O 作OE ⊥AB ，交AB 于点E ，交CD 于点F ，连接OA ，OC ，∵AB ∥CD ，∴OE ⊥CD ，∴E 、F 分别为AB 、CD 的中点，∴AE=BE=1/2AB=3/2cm ，CF=DF=1/2CD=2cm ，在Rt △COF 中，OC=5/2cm ，CF=2cm ，根据勾股定理得：OF=3/2cm ，在Rt △AOE 中，OA=5/2cm ，AE=3/2cm ，根据勾股定理得：OE=2cm ，则EF=OE-OF=2-3/2=0.5cm；∴S梯形ABDC=1/2（AB+CD）×EF=1/2×（3+4）×1/2=7/4（cm2）；当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理可得EF=2+3/2=7/2cm，∴S梯形ABDC=1/2（AB+CD）×EF=1/2×（3+4）×7/2=49/4（cm2）；综上所述：梯形ABCD的面积为：7/2cm2或49/4cm2．【知识点】圆的基本性质【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】天津市选拔赛试题【题目】如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径【答案】5/16【解析】解：OA=OB=OC=OD=R，AE=EB=1，CF=FD=0.5，EF=2又设OE=x，则OF=2-x由勾股定理得：AE2+OE2=OA2，CF2+OF2=OC2，12+x2=R2，0.52+（2-x）2=R2，x=13/16，r=5/16，即能盖住“品”字的最小圆纸片半径为5/16【知识点】圆的基本性质【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】黑龙江省竞赛题【题目】如图，点P 为弦AB 上的一点，连接OP ，过点P 作OP PC ⊥，PC 交圆O 于C ，若8=AP ，2=PB ，则PC 的长为【答案】【解析】 解：延长CP 交⊙O 于点D ，∵PC ⊥OP ，∴PC=PD ，∵PC•PD=PB•PA，∴PC2=PB•PA，∵AP=4，PB=2， ∴PC2=8，∴PC 的长为：【知识点】圆的基本性质【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图，正方形ABCD的顶点A、D和正方形JKLM的顶点K、L在一个以5为半径的圆O上，点J、M在线段BC上，若正方形ABCD的边长为6，求正方形JKLM的边长【答案】14/5【解析】解：由题意：半径AO=OK=5有垂径定理可知,AE=AD/2=3所以在三角形AOE中,用勾股定理得OE=4所以OF=AB-OE=6-4=2设正方形JKLM的边长为x同样由垂径定理知KG=x/2在三角形OKG中由勾股定理：(x/2)²+(x+2)²=5²5x²+16x-84=0解得x=14/5（另一根为-6,不合舍去）.【知识点】圆的基本性质【适用场合】当堂练习题【难度系数】3习题演练【试题来源】第21届全俄九年级奥林匹克试题【题目】如图，已知弦CD垂直于圆O的直径AB于L，弦AE平分半径OC于H，求证：弦DE平分线BC于M【答案】如下解析【解析】解：连结BD因为AB是圆O的直径,CD⊥AB所以,弧BC=弧BD,弧AC=弧AD所以,BC=BD∠ABC=∠ABD因为∠DBM=∠ABC+∠ABD所以,∠DBM=2∠ABC因为OC=OB所以,∠ABC=∠OCB 且∠AOH=∠ABC+∠OCB所以,∠AOH=2∠ABC ，∠AOH=∠DBM因为∠HAO=∠MDB所以,△AOH ∽△DBM所以,HO ÷MB=AO ÷DB所以,MB ÷DB=HO ÷AO因为H 是OC 的中点所以,HO=0.5CO因为CO=AO所以,HO=0.5AO 即HO ÷AO=0.5所以,MB ÷DB=0.5所以,MB=0.5BD因为BC=BD所以,MB=0.5BC所以,M 是BC 的中点所以,弦DE 平分弦BC 于M【知识点】圆的基本性质【适用场合】随堂课后练习【难度系数】5【试题来源】荆门市竞赛题【题目】如图，在ABC ∆中，D 为AC 边上一点，且CB DC AD +=，过D 作AC 的垂线交ABC ∆的外接圆于M ，过M 作AB 的垂线MN ，交圆于N ，求证：MN 为ABC ∆外接圆的直径【答案】如下解析【解析】解：延长AC至E，使CE=BC，连接MA、MB、ME、BE，如图，∵AD=DC+BC，∴AD=DC+CE=DE，∵MD⊥AE，∴MA=ME，∠MAE=∠MEA，又∵∠MAE=∠MBC，∴∠MEC=∠MBC，又∵CE=BC，∴∠CEB=∠CBE，∴∠MEA+∠CEB=∠MBC+∠CBE，即∠MEB=∠MBE，∴ME=MB，又∵ME=MA，∴MA=MB，又∵MN⊥AB，∴MN垂直平分AB，∴MN是圆的直径．【知识点】圆的基本性质【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】【题目】（1）如图①，已知PB PA 、为圆O 的弦，C 是劣弧AB 的中点，直线PA CD ⊥于点E ，求证：PB PE AE +=（1）如图②，已知PB PA 、为圆O 的弦，C 是优弧AB 的中点，直线PA CD ⊥于点E ，问：PE AE 、于PB 之间存在怎样的数量关系？写出并证明你的结论【答案】如下解析【解析】 解：设直线CE 与圆相交于另一点D,连DA,DB.延长DB,AP 相交于点F.因为 弧AC=弧BC,所以 角ADC=角BDC 即 角ADE=角FDE因为 CD 垂直PA所以 角AED ＝角FED又因为 DE=DE所以 三角形AED 全等于三角形FED所以 角EAD=角EFD AE=EF因为 四边形ADBP 是圆的内接四边形所以 角EAD ＝角PBF所以 角EFD ＝角PBF 即 角PFB ＝角PBF所以 PB=PF所以 AE=EF=EP+PF=EP+PB（2）猜想：EA=EP+PB连DA,DB,CB.延长BD,AP相交于F.弧BC的度数=弧BD的度数+弧DC的度数弧BD的度数＝角BCD 弧DC的度数=角DBC因为角EDF=角BCD+角DBC所以弧BC的度数=角EDF因为弧AC的度数=角ADE 且弧AC=弧BC所以角ADE=角EDF因为 CD垂直AP所以角AED=角FED又因为 DE=DE所以三角形AED全等于三角形FED所以 AE=EF 角DAP=角PFD因为角DAP=角DBP所以角DBP=角PFD所以 PB=PF所以 EA=EF=EP+PF=EP+PB【知识点】圆的基本性质【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4。
