课时作业58 相似三角形的判定及有关性质1.如图所示，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，DE ∥AC ，EF ⊥BC ，BE EA ＝32，BD ＝6，求FC 的长．解：由DE ∥AC ，BE EA ＝32，BD ＝6，知DC ＝4. 又EF ∥AD ，故6－FD FD ＝32，解得FD ＝125，故FC ＝FD ＋DC ＝325. 2．已知△ABC 中，BF ⊥AC 于点F ，CE ⊥AB 于点E ，BF 和CE 相交于点P ，求证：(1)△BPE ∽△CPF ；(2)△EFP ∽△BCP.证明：(1)∵BF ⊥AC 于点F ，CE ⊥AB 于点E ，∴∠BFC ＝∠CEB.又∵∠CPF ＝∠BPE ，∴△CPF ∽△BPE.(2)由(1)得△CPF ∽△BPE ，∴EP FP ＝BP CP. 又∵∠EPF ＝∠BPC ，∴△EFP ∽△BCP.3.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AB 于E ，求证：(1)AB·AC ＝BC·AD ；(2)AD 3＝BC·CF·BE.证明：(1)在Rt △ABC 中，AD ⊥BC ，∴S △ABC ＝12AB·AC ＝12BC·AD. ∴AB·AC ＝BC·AD.(2)Rt △ADB 中，DE ⊥AB ，由射影定理可得BD 2＝BE·AB ，同理CD 2＝CF·AC ，∴BD 2·CD 2＝BE·AB·CF·AC.又在Rt △BAC 中，AD ⊥BC ，∴AD 2＝BD·DC ，∴AD 4＝BE·AB·CF·AC ，又AB·AC ＝BC·AD.即AD 3＝BC·CF·BE.4．(2016·南阳模拟)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE ＝13AC ，BD ＝13AB ，点F 在BC 上，且CF ＝13BC. 求证：(1)EF ⊥BC ；(2)∠ADE ＝∠EBC.证明：设AB ＝AC ＝3a ，则AE ＝BD ＝a ，CF ＝2a.(1)CE CB ＝2a 32a ＝23，CF CA ＝2a 3a ＝23. 又∠C 为公共角，故△BAC ∽△EFC ，由∠BAC ＝90°，∴∠EFC ＝90°，∴EF ⊥BC.(2)由(1)得EF ＝2a ，故AE EF ＝a 2a ＝22，AD FB ＝2a 22a ＝22， ∴AE EF ＝AD FB，∵∠DAE ＝∠BFE ＝90°， ∴△ADE ∽△FBE ，∴∠ADE ＝∠EBC.5．(2016·银川模拟)如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F.(1)求BF FC的值． (2)若△BEF 的面积为S 1，四边形CDEF 的面积为S 2，求S 1S 2的值．解：(1)过点D 作DG ∥BC ，并交AF 于G 点，因为E 是BD 的中点，所以BE ＝DE.又因为∠EBF ＝∠EDG ，∠BEF ＝∠DEG ，所以△BEF ≌△DEG ，则BF ＝DG ，所以BF FC ＝DG FC.又因为D 是AC 的中点，则DGFC ＝12， 则BF FC ＝12，即BF FC ＝12. (2)若△BEF 以BF 为底，△BDC 以BC 为底，则由(1)知BFBC ＝13， 又由BE BD ＝12可知h 1h 2＝12， 其中h 1，h 2分别为△BEF 和△BDC 的高，则S △BEF S △BDC ＝13×12＝16， 则S 1S 2＝1 5.6．如图，在梯形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 上，EF ∥AD ，假设EF 做上下平行移动．(1)若AE EB ＝12，求证：3EF ＝BC ＋2AD ； (2)请你探究一般结论，即若AE EB ＝m n，那么你可以得到什么结论？解：过点A 作AH ∥CD 分别交EF ，BC 于点G ，H.(1)证明：因为AE EB ＝12， 所以AE AB ＝13. 又EG ∥BH ，所以EG BH ＝AE AB ＝13，即3EG ＝BH.又EG ＋GF ＝EG ＋AD ＝EF ， 从而EF ＝13(BC －HC)＋AD ， 所以EF ＝13BC ＋23AD ，即3EF ＝BC ＋2AD. (2)因为AE EB ＝m n ，所以AE AB ＝m n ＋m. 又EG ∥BH ，所以EG BH ＝AE AB ，即EG ＝m m ＋nBH. 所以EF ＝EG ＋GF ＝EG ＋AD ＝m m ＋n(BC －AD)＋AD ， 所以EF ＝m m ＋n BC ＋n m ＋n AD ，即(m ＋n)EF ＝mBC ＋nAD.。
