(红对勾)2020届高考一轮数学(理数)课时作业本：20 含答案解析

课时作业2 命题及其关系、充分条件与必要条件1.命题“若a ＞b ,则a ＋c ＞b ＋c ”的否命题是( A ) A.若a ≤b ,则a ＋c ≤b ＋c B.若a ＋c ≤b ＋c ,则a ≤b C.若a ＋c ＞b ＋c ,则a ＞b D.若a ＞b ,则a ＋c ≤b ＋c【解析】:将条件、结论都否定.命题的否命题是“若a ≤b ,则a ＋c ≤b ＋c ”.2.(2019·江西九江十校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥－1，ln (－x )，x ＜－1，则“x ＝0”是“f (x )＝1”的( B )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】:若x ＝0,则f (0)＝e 0＝1；若f (x )＝1,则e x ＝1或ln(－x )＝1,解得x ＝0或x ＝－e.故“x ＝0”是“f (x )＝1”的充分不必要条件.3.在命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下,则{x |ax 2＋bx ＋c ＜0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( D )A.都真B.都假C.否命题真D.逆否命题真【解析】:对于原命题：“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下,则{x |ax 2＋bx ＋c ＜0}≠∅”,这是一个真命题,所以其逆否命题也为真命题；但其逆命题：“若{x |ax 2＋bx ＋c ＜0}≠∅,则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下”是一个假命题,因为当不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集非空时,可以有a ＞0,即抛物线的开口可以向上,因此否命题也是假命题,故选D.4.(2019·河南郑州一模)下列说法正确的是( D ) A.“若a ＞1,则a 2＞1”的否命题是“若a ＞1,则a 2≤1” B.“若am 2＜bm 2,则a ＜b ”的逆命题为真命题 C.存在x 0∈(0,＋∞),使3x 0＞4x 0成立D.“若sin α≠12,则α≠π6”是真命题【解析】:对于选项A,“若a ＞1,则a 2＞1”的否命题是“若a ≤1,则a 2≤1”,故选项A 错误；对于选项B,“若am 2＜bm 2,则a ＜b ”的逆命题为“若a ＜b ,则am 2＜bm 2”,因为当m ＝0时,am 2＝bm 2,所以逆命题为假命题,故选项B 错误；对于选项C,由指数函数的图象知,对任意的x ∈(0,＋∞),都有4x＞3x,故选项C 错误；对于选项D,“若sin α≠12,则α≠π6”的逆否命题为“若α＝π6,则sin α＝12”,该逆否命题为真命题,所以原命题为真命题,故选D.5.(2019·江西鹰谭中学月考)设f (x )＝x 2－4x (x ∈R ),则f (x )＞0的一个必要不充分条件是( C )A.x ＜0B.x ＜0或x ＞4C.|x －1|＞1D.|x －2|＞3【解析】:依题意,f (x )＞0⇔x 2－4x ＞0⇔x ＜0或x ＞4.又|x －1|＞1⇔x －1＜－1或x －1＞1,即x ＜0或x ＞2,而{x |x ＜0或x ＞x |x ＜0或x ＞2},因此选C.6.(2019·山东日照联考)“m ＜0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的( A )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】:当m ＜0时,由图象的平移变换可知,函数f (x )必有零点；当函数f (x )有零点时,m ≤0,所以“m ＜0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的充分不必要条件,故选A.7.(2019·安徽两校阶段性测试)设a ∈R ,则“a ＝4”是“直线l 1：ax ＋8y －8＝0与直线l 2：2x ＋ay －a ＝0平行”的( D )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】:∵当a ≠0时,a 2＝8a ＝－8－a⇒直线l 1与直线l 2重合,∴无论a 取何值,直线l 1与直线l 2均不可能平行,当a ＝4时,l 1与l 2重合.故选D.8.(2019·山西太原模拟)已知a ,b 都是实数,那么“2a ＞2b ”是“a 2＞b 2”的( D )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】:充分性：若2a ＞2b , 则2a －b ＞1,∴a －b ＞0,∴a ＞b . 当a ＝－1,b ＝－2时,满足2a ＞2b , 但a 2＜b 2,故由2a ＞2b 不能得出a 2＞b 2, 因此充分性不成立. 必要性：若a 2＞b 2,则|a |＞|b |.当a ＝－2,b ＝1时,满足a 2＞b 2,但2－2＜21, 即2a ＜2b ,故必要性不成立.综上,“2a ＞2b ”是“a 2＞b 2”的既不充分也不必要条件,故选D. 9.(2017·天津卷)设θ∈R ,则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的( A )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【解析】:∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12⇔－π12＜θ－π12＜π12⇔0＜θ＜π6,sin θ＜12⇔θ∈⎝⎛⎭⎪⎫2k π－7π6，2k π＋π6,k ∈Z , ⎝⎛⎭⎪⎫0，π6⎝⎛⎭⎪⎫2k π－7π6，2k π＋π6,k ∈Z ,∴“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的充分而不必要条件. 10.(2019·江西红色七校模拟)在△ABC 中,角A ,B 均为锐角,则“cos A ＞sin B ”是“△ABC 为钝角三角形”的( C )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】:因为cos A ＞sin B ,所以cos A ＞cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B , 因为角A ,B 均为锐角,所以π2－B 为锐角, 又因为余弦函数y ＝cos x 在(0,π)上单调递减, 所以A ＜π2－B ,所以A ＋B ＜π2, 在△ABC 中,A ＋B ＋C ＝π,所以C ＞π2, 所以△ABC 为钝角三角形；若△ABC 为钝角三角形,角A ,B 均为锐角, 则C ＞π2,所以A ＋B ＜π2,所以A ＜π2－B ,所以cos A ＞cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ,即cos A ＞sin B . 故“cos A ＞sin B ”是“△ABC 为钝角三角形”的充要条件. 11.设向量a ＝(sin2θ,cos θ),b ＝(cos θ,1),则“a ∥b ”是“tan θ＝12成立”的必要不充分__条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)【解析】:a ∥b ⇔sin2θ＝cos 2θ⇔cos θ＝0或2sin θ＝cos θ⇔cos θ＝0或tan θ＝12,所以“a ∥b ”是“tan θ＝12成立”的必要不充分条件.12.已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0,条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 . 【解析】:方法一 命题p 为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1,命题q 为{x |a ≤x ≤a ＋1}.綈p 对应的集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＞1或x ＜12.綈q 对应的集合B ＝{x |x ＞a ＋1或x ＜a }.∵綈p 是綈q 的必要不充分条件,∴⎩⎨⎧ a ＋1＞1，a ≤12或⎩⎨⎧ a ＋1≥1，a ＜12，∴0≤a ≤12.方法二 命题p ：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1,命题q ：B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}. ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件, ∴p 是q 的充分不必要条件,即A B ,∴⎩⎨⎧a ＋1≥1，a ＜12或⎩⎨⎧a ＋1＞1，a ≤12，∴0≤a ≤12.13.已知p ：函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞,－1)上是单调函数,q ：函数g (x )＝log a (x ＋1)(a ＞0,且a ≠1)在(－1,＋∞)上是增函数,则綈p 是q 的( C )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】:易知p 成立⇔a ≤1,q 成立⇔a ＞1,所以綈p 成立⇔a ＞1,则綈p 是q 的充要条件,故选C.14.(2019·昆明诊断)下列选项中,说法正确的是( D ) A.若a ＞b ＞0,则ln a ＜ln bB.向量a ＝(1,m ),b ＝(m,2m －1)(m ∈R )垂直的充要条件是m ＝1C.命题“∀n ∈N *,3n ＞(n ＋2)·2n －1”的否定是“∀n ∈N *,3n ≥(n ＋2)·2n －1”D.已知函数f (x )在区间[a ,b ]上的图象是连续不断的,则命题“若f (a )·f (b )＜0,则f (x )在区间(a ,b )内至少有一个零点”的逆命题为假命题【解析】:∵函数y ＝ln x (x ＞0)是增函数,∴若a ＞b ＞0,则ln a ＞ln b ,故A 错误；若a ⊥b ,则m ＋m (2m －1)＝0,解得m ＝0,故B 错误；命题“∀n ∈N *,3n ＞(n ＋2)·2n －1”的否定是“∃n ∈N *,3n ≤(n ＋2)·2n －1”,故C 错误；命题“若f (a )·f (b )＜0,则f (x )在区间(a ,b )内至少有一个零点”的逆命题“若f (x )在区间(a ,b )内至少有一个零点,则f (a )·f (b )＜0”是假命题,如函数f (x )＝x 2－2x －3在区间[－2,4]上的图象连续不断,且在区间(－2,4)内有两个零点,但f (－2)·f (4)＞0,D 正确.15.已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12＜2x＜8，x ∈R ,B ＝{x |－1＜x ＜m ＋1,x ∈R },若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ,则实数m 的取值范围是(2,＋∞)__.【解析】:A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12＜2x ＜8，x ∈R ＝{x |－1＜x ＜3}, ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A , ∴AB ,∴m ＋1＞3,即m ＞2.16.(2019·石家庄模拟)已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2,q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0),且綈p 是綈q 的必要不充分条件,则实数m 的取值范围是[9,＋∞)__.【解析】:法一：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2,得－2≤x ≤10, ∴綈p 对应的集合为{x |x ＞10或x ＜－2}, 设A ＝{x |x ＞10或x ＜－2}. 由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0), 得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0),∴綈q 对应的集合为{x |x ＞1＋m 或x ＜1－m ,m ＞0}, 设B ＝{x |x ＞1＋m 或x ＜1－m ,m ＞0}. ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件,∴B A ,∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1－m ＜－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1－m ≤－2，1＋m ＞10，解得m ≥9,∴实数m 的取值范围为[9,＋∞). 法二：∵綈p 是綈q 的必要不充分条件, ∴q 是p 的必要不充分条件. 即p 是q 的充分不必要条件, 由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0), 得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0).∴q 对应的集合为{x |1－m ≤x ≤1＋m ,m ＞0}, 设M ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ,m ＞0},又由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2,得－2≤x ≤10, ∴p 对应的集合为{x |－2≤x ≤10}, 设N ＝{x |－2≤x ≤10}. 由p 是q 的充分不必要条件知,N M ,∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1－m ＜－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1－m ≤－2，1＋m ＞10，解得m ≥9.∴实数m 的取值范围为[9,＋∞).。

课时作业48 利用向量求空间角1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( B )A.12B.23C.33D.22解析：以A 为原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，设棱长为1，则A 1(0,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12，D (0,1,0)，∴A 1D →＝(0,1，－1)，A 1E →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，－12，设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z )．则有⎩⎨⎧A 1D →·n 1＝0，A 1E →·n 1＝0，即⎩⎨⎧y －z ＝0，1－12z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，z ＝2， ∴n 1＝(1,2,2)．∵平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)，∴cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝23，即所成的锐二面角的余弦值为23.2．(2019·大同模拟)设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则点D 1到平面A 1BD的距离是( D )A.32B.22C.223D.233解析：如图，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y轴，z 轴，建立坐标系，则D (0,0,0)，D 1(0,0,2)，A 1(2,0,2)，B (2,2,0)，D 1A 1→＝(2,0,0)，DB →＝(2,2,0)，DA 1→＝(2,0,2)，设平面A 1BD 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·DA 1→＝0，n ·DB →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2z ＝0，2x ＋2y ＝0， 令z ＝1，得n ＝(－1,1,1)．∴D 1到平面A 1BD 的距离d ＝|D 1A 1→·n ||n |＝23＝233.3．(2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( A )A.334 B.233 C.324 D.32解析：由正方体的性质及题意可得，正方体共顶点的三条棱所在直线与平面α所成的角均相等．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，易知棱AB ，AD ，AA 1所在直线与平面A 1BD 所成的角均相等，所以α∥平面A 1BD ，当平面α趋近点A 时，截面图形的面积趋近于0；当平面α经过正方体的中心O 时，截面图形为正六边形，其边长为22，截面图形的面积为6×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝334；当平面α趋近于C 1时，截面图形的面积趋近于0，所以截面图形面积的最大值为334，故选A.4．已知三棱锥P -ABC 的所有顶点都在表面积为16π的球O 的球面上，AC 为球O 的直径．当三棱锥P -ABC 的体积最大时，二面角P -AB -C 的大小为θ，则sin θ等于( C )A.23B.53C.63D.73解析：如图，设球O 的半径为R ，由4πR 2＝16π，得R ＝2，设点P 到平面ABC 的距离为d ， 则0＜d ≤2，因为AC 为球的直径， 所以AB 2＋BC 2＝AC 2＝16，则V 三棱锥P -ABC ＝16AB ·BC ·d ≤16·AB 2＋BC 22·2＝83，当且仅当AB ＝BC ＝22，d ＝2时，V 三棱锥P -ABC 取得最大值， 此时平面P AC ⊥平面ABC ，连接PO ，因为PO ⊥AC ，平面P AC ∩平面ABC ＝AC ，PO ⊂平面P AC ， 所以PO ⊥平面ABC ，过点P 作PD ⊥AB 于D ， 连接OD ，因为AB ⊥PO ，AB ⊥PD ，PO ∩PD ＝P ， 所以AB ⊥平面POD ，则AB ⊥OD ， 所以∠PDO 为二面角P -AB -C 的平面角，因为OD ＝12BC ＝2，所以PD ＝PO 2＋OD 2＝6， 则sin θ＝sin ∠PDO ＝PO PD ＝63，故选C.5．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是正方形A 1B 1C 1D 1和正方形ADD 1A 1的中心，则EF 和CD 所成的角的大小是 45° .解析：以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12，EF →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，－12，DC →＝(0,1,0)，∴cos 〈EF →，DC →〉＝EF →·DC →|EF →||DC →|＝－22，∴〈EF →，DC →〉＝135°，∴异面直线EF 和CD 所成的角的大小是45°.6．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E ，F 分别为AB ，BC 的中点．设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cos θ的最大值为 25 .解析：建立空间直角坐标系如图所示．设AB ＝1，则AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，12，0，E ⎝⎛⎭⎪⎫12，0，0. 设M (0，y,1)(0≤y ≤1)，则EM →＝⎝⎛⎭⎪⎫－12，y ，1.∵θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，∴cos θ＝|AF →·EM →||AF →||EM →| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋12y 1＋14·14＋y 2＋1＝2(1－y )5·4y 2＋5. 则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2(1－y )4y 2＋52＝1－8y ＋14y 2＋5. 令8y ＋1＝t ，1≤t ≤9， 则8y ＋14y 2＋5＝16t ＋81t －2≥15， 当且仅当t ＝1时取等号．∴cos θ＝2(1－y )5·4y 2＋5≤15×25＝25，当且仅当y ＝0时取等号． 7．如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设二面角D -AE -C 为60°，AP ＝1，AD ＝3，求三棱锥E -ACD 的体积． 解：(1)证明：连接BD 交AC 于点O ，连接EO . 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点． 又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB .又因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直． 如图，以A 为坐标原点，AB →的方向为x 轴的正方向，|AP →|为单位长，建立空间直角坐标系A -xyz ，则D (0，3，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，12，AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，32，12.设B (m,0,0)(m ＞0)，则C (m ，3，0)，AC →＝(m ，3，0)． 设n 1＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，则⎩⎨⎧n 1·AC →＝0，n 1·AE →＝0，即⎩⎨⎧mx ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，可取n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ，－1，3. 又n 2＝(1,0,0)为平面DAE 的法向量， 由题设得|cos 〈n 1，n 2〉|＝12， 即33＋4m 2＝12，解得m ＝32.因为E 为PD 的中点， 所以三棱锥E -ACD 的高为12.三棱锥E -ACD 的体积V ＝13×12×3×32×12＝38.8．(2019·江西六校联考)在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ABD ＝90°，EB ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，AB ＝2，EB ＝3，EF ＝1，BC ＝13，且M 是BD 的中点．(1)求证：EM ∥平面ADF ；(2)求二面角A -FD -B 的余弦值的大小．解：(1)证法一：取AD 的中点N ，连接MN ，NF .在△DAB 中，M 是BD 的中点，N 是AD 的中点，所以MN ∥AB ，MN ＝12AB ， 又因为EF ∥AB ，EF ＝12AB ， 所以MN ∥EF 且MN ＝EF .所以四边形MNFE 为平行四边形，所以EM ∥FN ， 又因为FN ⊂平面ADF ，EM ⊄平面ADF ，故EM ∥平面ADF .证法二：因为EB ⊥平面ABD ，AB ⊥BD ，故以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B -xyz.由已知可得EM →＝⎝⎛⎭⎪⎫32，0，－3，AD →＝(3，－2,0)，AF →＝(0，－1，3)，设平面ADF 的法向量是n ＝(x ，y ，z )．由⎩⎨⎧n ·AD →＝0，n ·AF →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝0，－y ＋3z ＝0，令y ＝3，则n ＝(2,3，3)． 又因为EM →·n ＝0，所以EM →⊥n ， 又EM ⊄平面ADF ，故EM ∥平面ADF .(2)由(1)中证法二可知平面ADF 的一个法向量是n ＝(2,3，3)． 易得平面BFD 的一个法向量是m ＝(0，－3，1)． 所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝－34， 又二面角A -FD -B 为锐角，故二面角A -FD -B 的余弦值大小为34.9．(2019·河南郑州一模)如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，△DAB ≌△DCB ，E 为线段BD 上的一点，且EB ＝ED ＝EC ＝BC ，连接CE 并延长交AD 于F .(1)若G 为PD 的中点，求证：平面P AD ⊥平面CGF ；(2)若BC ＝2，P A ＝3，求平面BCP 与平面DCP 所成锐二面角的余弦值． 解：(1)证明：在△BCD 中，EB ＝ED ＝EC ＝BC ， 故∠BCD ＝π2，∠CBE ＝∠CEB ＝π3， 连接AE ，∵△DAB ≌△DCB ，∴△EAB ≌△ECB ，从而有∠FED ＝∠BEC ＝∠AEB ＝π3，AE ＝CE ＝DE . ∴∠AEF ＝∠FED ＝π3. 故EF ⊥AD ，AF ＝FD . 又PG ＝GD ，∴FG ∥P A .又P A ⊥平面ABCD ，故GF ⊥平面ABCD ， ∴GF ⊥AD ，又GF ∩EF ＝F ，故AD ⊥平面CFG . 又AD ⊂平面P AD ， ∴平面P AD ⊥平面CGF .(2)以点A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (3，3，0)，D (0，23，0)，P (0,0,3)． 故BC →＝(1，3，0)，CP →＝(－3，－3，3)，CD →＝(－3，3，0)． 设平面BCP 的一个法向量为n 1＝(1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋3y 1＝0，－3－3y 1＋3z 1＝0，解得⎩⎨⎧y 1＝－33，z 1＝23，即n 1＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－33，23.设平面DCP 的一个法向量为n 2＝(1，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧－3＋3y 2＝0，－3－3y 2＋3z 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝3，z 2＝2，即n 2＝(1，3，2)．从而平面BCP 与平面DCP 所成锐二面角的余弦值为|n 1·n 2||n 1||n 2|＝43169×8＝24.10．(2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，E 是PD 的中点．(1)证明：直线CE ∥平面P AB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角M -AB -D 的余弦值．解：(1)取P A 的中点F ，连接EF ，BF . 因为E 是PD 的中点， 所以EF ∥AD ，EF ＝12AD .由∠BAD ＝∠ABC ＝90°得BC ∥AD ， 又BC ＝12AD ，所以EF 綊BC ， 四边形BCEF 是平行四边形，CE ∥BF ，又BF ⊂平面P AB ，CE ⊄平面P AB ，故CE ∥平面P AB .(2)由已知得BA ⊥AD ，以A 为坐标原点，AB →的方向为x 轴正方向，|AB →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，P (0,1，3)，PC →＝(1,0，－3)，AB →＝(1,0,0)．设M (x ，y ，z )(0＜x ＜1)，则BM →＝(x －1，y ，z )，PM →＝(x ，y －1，z －3)．因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°， 而n ＝(0,0,1)是底面ABCD 的法向量， 所以|cos 〈BM →，n 〉|＝sin 45°， |z |(x －1)2＋y 2＋z 2＝22， 即(x －1)2＋y 2－z 2＝0.①又M 在棱PC 上，设PM →＝λPC →， 则x ＝λ，y ＝1，z ＝3－3λ.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22，y ＝1，z ＝－62(舍去)，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22，y ＝1，z ＝62.所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，1，62，从而AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，1，62.设m ＝(x 0，y 0，z 0)是平面ABM 的法向量，则⎩⎨⎧m ·AM →＝0，m ·AB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧(2－2)x 0＋2y 0＋6z 0＝0，x 0＝0，所以可取m ＝(0，－6，2)． 于是cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝105.易知所求二面角为锐角．因此二面角M -AB -D 的余弦值为105.11．如图，在四棱锥P -ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠P AB ＝90°，BC ＝CD＝12AD，E为棱AD的中点，异面直线P A与CD所成的角为90°.(1)在平面P AB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；(2)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线P A与平面PCE所成角的正弦值．解：(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行．如图，延长AB，DC，相交于点M(M∈平面P AB)，点M即为所求的一个点．理由如下：由已知，BC∥ED，且BC＝ED.所以四边形BCDE是平行四边形，从而CM∥EB.又EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE，所以CM∥平面PBE.(说明：延长AP至点N，使得AP＝PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)解法一：由已知，CD⊥P A，CD⊥AD，P A∩AD＝A，所以CD⊥平面P AD.从而CD⊥PD.所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面角．所以∠PDA＝45°.设BC＝1，则在Rt△P AD中，P A＝AD＝2.过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.易知P A ⊥平面ABCD ，又CE ⊂平面ABCD ，从而P A ⊥CE . 于是CE ⊥平面P AH . 所以平面PCE ⊥平面P AH .过A 作AQ ⊥PH 于Q ，则AQ ⊥平面PCE . 所以∠APH 是P A 与平面PCE 所成的角． 在Rt △AEH 中，∠AEH ＝45°，AE ＝1， 所以AH ＝22.在Rt △P AH 中，PH ＝P A 2＋AH 2＝322，所以sin ∠APH ＝AH PH ＝13.解法二：由已知，CD ⊥P A ，CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ， 所以CD ⊥平面P AD . 于是CD ⊥PD .从而∠PDA 是二面角P -CD -A 的平面角． 所以∠PDA ＝45°.由P A ⊥AB ，可得P A ⊥平面ABCD . 设BC ＝1，则在Rt △P AD 中，P A ＝AD ＝2.作Ay ⊥AD ，以A 为原点，以AD →，AP →的方向分别为x 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0,0,0)，P (0,0,2)，C (2,1,0)，E (1,0,0)， 所以PE →＝(1,0，－2)，EC →＝(1,1,0)，AP →＝(0,0,2)．设平面PCE 的法向量n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧n ·PE →＝0，n ·EC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝0，x ＋y ＝0， 设x ＝2，解得n ＝(2，－2,1)． 设直线P A 与平面PCE 所成角为α， 则sin α＝|n ·AP →||n |·|AP →|＝22×22＋(－2)2＋12＝13.所以直线P A 与平面PCE 所成角的正弦值为13.12．(2019·江西南昌二中月考)如图，在等腰梯形ABCD 中，∠ABC ＝60°，CD ＝2，AB ＝4，点E 为AB 的中点，现将该梯形中的三角形EBC 沿线段EC 折起，形成四棱锥B -AECD .(1)在四棱锥B -AECD 中，求证：AD ⊥BD ；(2)若平面BEC 与平面AECD 所成二面角的平面角为120°，求直线AE 与平面ABD 所成角的正弦值．解：(1)证明：由三角形BEC 沿线段EC 折起前，∠ABC ＝60°，CD ＝2，AB ＝4，点E 为AB 的中点，得三角形BEC 沿线段EC 折起后，四边形AECD 为菱形，边长为2，∠DAE ＝60°，如图，取EC 的中点F ，连接DF ，BF ，DE ，∵△BEC 和△DEC 均为正三角形， ∴EC ⊥BF ，EC ⊥DF , 又BF ∩DF ＝F ，∴EC ⊥平面BFD ，∵AD ∥EC ，∴AD ⊥平面BFD ， ∵BD ⊂平面BFD ，∴AD ⊥BD .(2)以F 为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系，由EC ⊥平面BFD ，知z 轴在平面BFD 内， ∵BF ⊥EC ，DF ⊥EC ，∴∠BFD 为平面BEC 与平面AECD 所成二面角的平面角， ∴∠BFD ＝120°，∴∠BFz ＝30°，又∵BF ＝3，∴点B 的横坐标为－32，点B 的竖坐标为32. 因D (3，0,0)，E (0,1,0)，A (3，2,0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫－32，0，32，故AE →＝(－3，－1,0)，BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫332，0，－32，AD →＝(0，－2，0)．设平面ABD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，∴⎩⎪⎨⎪⎧BD →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫332，0，－32·(x ，y ，z )＝0，AD →·n ＝(0，－2，0)·(x ，y ，z )＝0，得⎩⎨⎧332x －32z ＝0，－2y ＝0，令x ＝1，得y ＝0，z ＝3，∴平面ABD 的一个法向量为n ＝(1,0，3)， ∴cos 〈AE →，n 〉＝AE →·n|AE →||n |＝(－3，－1，0)·(1，0，3)2×2＝－34，∵直线AE 与平面ABD 所成角为锐角， ∴直线AE 与平面ABD 所成角的正弦值为34.。

人教版2020版高考数学理科一轮复习课时作业一（共7篇）目录课时作业1集合 (3).................................................................. 错误！未定义书签。

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课时作业2命题及其关系、充分条件与必要条件 (10).................................................................. 错误！未定义书签。

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课时作业3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词. (16).................................................................. 错误！未定义书签。

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课时作业4函数及其表示. (22).................................................................. 错误！未定义书签。

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课时作业5函数的单调性与最值. (28).................................................................. 错误！未定义书签。

课时作业13 变化率与导数、导数的计算1．(2019·湖南株洲模拟)设函数y ＝x sin x ＋cos x 的图象在点(t ，f (t ))处的切线斜率为g (t )，则函数y ＝g (t )图象的一部分可以是( A )解析：由y ＝x sin x ＋cos x 可得y ′＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，则g (t )＝t cos t ，g (t )是奇函数，排除选项B ，D ；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，y ＝g (t )＞0，排除选项C ，故选A.2．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－3t 2＋8t ，那么速度为零的时刻是( D )A ．1秒末B ．1秒末和2秒末C ．4秒末D ．2秒末和4秒末解析：s ′(t )＝t 2－6t ＋8，由导数的定义知v ＝s ′(t )，令s ′(t )＝0，得t ＝2或4， 即2秒末和4秒末的速度为零．3．(2019·河南林州一中调研)函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)－ln x ，则f ′(2)的值为( B )A.74B ．－74C.94D ．－94解析：∵f (x )＝x 2＋3xf ′(2)－ln x ，∴f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)－1x ，令x ＝2，得f ′(2)＝4＋3f ′(2)－12， 解得f ′(2)＝－74，故选B.4．(2019·广西五市联考)已知e 为自然对数的底数，曲线y ＝a e x ＋x 在点(1，a e ＋1)处的切线与直线2e x －y －1＝0平行，则实数a ＝( B )A.e －1eB.2e －1e C.e －12eD.2e －12e解析：∵y ′＝a e x ＋1，∴切线的斜率为y ′|x ＝1＝a e ＋1， 又切线与直线2e x －y －1＝0平行， ∴a e ＋1＝2e ，解得a ＝2e －1e .5．(2019·广州模拟)设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( D )A ．(0,0)B ．(1，－1)C ．(－1,1)D ．(1，－1)或(－1,1) 解析：∵f (x )＝x 3＋ax 2，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ，∵曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，∴3x 20＋2ax 0＝－1，∵x 0＋x 30＋ax 20＝0，解得x 0＝±1， ∴当x 0＝1时，f (x 0)＝－1， 当x 0＝－1时，f (x 0)＝1.故选D.6．(2019·广东深圳模拟)设函数f (x )＝x ＋1x ＋b ，若曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处的切线经过坐标原点，则ab ＝( D )A ．1B ．0C ．－1D ．－2解析：由题意可得，f (a )＝a ＋1a ＋b ，f ′(x )＝1－1x 2，所以f ′(a )＝1－1a 2，故切线方程是y －a －1a －b ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1a 2(x －a )，将(0,0)代入得－a －1a －b ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1a 2(－a )，故b ＝－2a ，故ab ＝－2，故选D.7．(2019·乐山模拟)已知函数f (x )＝e 2x －2e x ＋ax －1，曲线y ＝f (x )上存在两条斜率为3的切线，则实数a 的取值范围为( B )A ．(3，＋∞) B.⎝⎛⎭⎪⎫3，72C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，72 D ．(0,3)解析：f (x )＝e 2x －2e x ＋ax －1的导函数为f ′(x )＝2e 2x －2e x ＋a ，由题意可得2e 2x －2e x ＋a ＝3的解有两个，即有⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －122＝7－2a 4，即为e x ＝12＋7－2a 2或e x ＝12－7－2a 2，即有7－2a ＞0且7－2a ＜1，解得3＜a ＜72.8．(2016·山东卷)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( A )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3解析：设函数y ＝f (x )图象上的两点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，则由题意知只需函数y ＝f (x )满足f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1即可．y ＝f (x )＝sin x 的导函数为f ′(x )＝cos x ，则f ′(0)·f ′(π)＝－1，故函数y ＝sin x 具有T 性质；y ＝f (x )＝ln x 的导函数为f ′(x )＝1x ，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝1x 1x 2＞0，故函数y ＝ln x 不具有T 性质；y＝f (x )＝e x 的导函数为f ′(x )＝e x ，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝e x 1＋x 2＞0，故函数y ＝e x 不具有T 性质；y ＝f (x )＝x 3的导函数为f ′(x )＝3x 2，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝9x 21x 22≥0，故函数y ＝x 3不具有T 性质．故选A.9．(2019·大庆模拟)函数f (x )＝x e x 的图象在点P (1，e)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 e4 .解析：f ′(x )＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)， ∴切线斜率k ＝f ′(1)＝2e ，∴曲线y ＝f (x )在(1，e)处的切线方程为y －e ＝2e(x －1)， 即y ＝2e x －e.∵y ＝2e x －e 与坐标轴交于点(0，－e)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，∴y ＝2e x －e 与坐标轴围成的三角形面积S ＝12×e ×12＝e4.10．(2019·上饶模拟)若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y＝x －2解析：由题意知y ＝x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，当点P 是曲线的切线中与直线y ＝x －2平行的直线的切点时，点P 到直线y ＝x －2的距离最小，如图所示．故令y ′＝2x －1x ＝1，解得x ＝1， 故点P 的坐标为(1,1)．故点P 到直线y ＝x －2的最小值d min ＝|1－1－2|2＝ 2.11．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)＞0， 即4a 2＋4a ＋1＞0，所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.12．(2019·福州质检)设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2， 于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2，知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.13．(2019·达州二诊)已知曲线C 在动点P (a ，a 2＋2a )与动点Q (b ，b 2＋2b )(a ＜b ＜0)处的切线互相垂直，则b －a 的最小值为( A )A ．1B ．2 C. 2D ．－ 2解析：由题意可得曲线y ＝x 2＋2x 上存在两点处的切线互相垂直，由y ＝x 2＋2x 的导数为y ′＝2x ＋2，可得(2a ＋2)(2b ＋2)＝－1，由a ＋1＜b ＋1，可得a ＋1＜0，且b ＝1－4(a ＋1)－1，b －a ＝1－4(a ＋1)＋(－a －1)≥2·(－a －1)·1－4(a ＋1)＝2×12＝1，当且仅当1－4(a ＋1)＝－a －1，即a ＝－32，b ＝－12时等号成立，所以b －a 的最小值为1.14．(2019·安徽江南十校联考)若曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝e xa (a ＞0)存在公共切线，则a 的取值范围为( D )A ．(0,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，e 24 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤e 24，2 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 24，＋∞ 解析：曲线y ＝x 2在点(m ，m 2)的切线斜率为2m ，曲线y ＝e xa (a ＞0)在点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，1a e n 的切线斜率为1a e n ，如果两条曲线存在公共切线，那么2m ＝1a e n.又由直线的斜率公式得到2m ＝m 2－1a enm －n，则有m ＝2n －2，则由题意知4n －4＝1a e n 有解，即y ＝4x－4，y ＝1a e x 的图象有交点．若直线y ＝4x －4与曲线y ＝1a e x相切，设切点为(s ，t )，则1a e s ＝4，且t ＝4s －4＝1a e s ，可得切点为(2,4)，此时1a ＝4e 2，故要使满足题意，需1a ≤4e 2，则a ≥e 24，故a 的取值范围是a ≥e 24.故选D.15．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为 x＋4y －2＝0 .解析：y ′＝－e x(e x ＋1)2＝－1e x ＋1e x ＋2， 因为e x＞0，所以e x＋1e x ≥2e x×1e x ＝2(当且仅当e x＝1e x ，即x ＝0时取等号)，则e x＋1e x ＋2≥4，故y ′＝－1e x ＋1e x ＋2≥－14(当x ＝0时取等号)． 当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.16．(2019·安徽淮南一模)已知函数f (x )＝x 2－ln x . (1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)在函数f (x )＝x 2－ln x 的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上？若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由．解：(1)由题意可得f (1)＝1，且f ′(x )＝2x －1x ，f ′(1)＝2－1＝1，则所求切线方程为y －1＝1×(x －1)，即y ＝x .(2)假设存在两点满足题意，且设切点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，不妨设x 1＜x 2，结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－1x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 2＝－1，又函数f ′(x )＝2x －1x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增，函数的值域为[－1,1]，故－1≤2x 1－1x 1＜2x 2－1x 2≤1，据此有⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－1x 1＝－1，2x 2－1x 2＝1，解得x 1＝12，x 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＝－1，x 2＝－12舍去， 故存在两点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，ln2＋14，(1,1)满足题意．。

课时作业12 函数模型及其应用1．已知正方形ABCD 的边长为4，动点P 从B 点开始沿折线BCDA 向A 点运动．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象是( D )解析：依题意知当0≤x ≤4时，f (x )＝2x ；当4＜x ≤8时，f (x )＝8；当8＜x ≤12时，f (x )＝24－2x ，观察四个选项知D 项符合要求．2．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( B )A.y ＝2x －2B ．y ＝12(x 2－1)C ．y ＝log 2xD ．y ＝log 12x解析：由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y 的变化随x 的增大而增大的越来越快，分析选项可知B 符合，故选B.3．我们定义函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)为“下整函数”；定义y ＝{x }({x }表示不小于x 的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推．若李刚停车时间为x 小时，则李刚应付费为(单位：元)( C )A ．2[x ＋1]B ．2([x ]＋1)C ．2{x }D ．{2x }解析：如x ＝1时，应付费2元，此时2[x ＋1]＝4,2([x ]＋1)＝4，排除A 、B ；当x ＝0.5时，付费为2元，此时{2x }＝1，排除D ，故选C.4．(2019·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( C )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n (n ∈N *)个“半衰期”后的含量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＜11 000得n ≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C.5．(2019·贵州遵义模拟)某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元．该设备每年生产的收入均为21万元．设该设备使用了n (n ∈N *)年后，盈利总额达到最大值(盈利总额等于总收入减去总成本)，则n 等于( B )A ．6B ．7C ．8D ．7或8解析：盈利总额为21n －9－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋12×n (n －1)×3＝－32n 2＋412n －9.因为其对应的函数的图象的对称轴方程为n ＝416.所以当n ＝7时取最大值，即盈利总额达到最大值，故选B.6．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元．某食品加工厂对饼干采用两种包装，包装费用、销售价格如下表所示：①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3小包比卖1大包盈利多；④卖1大包比卖3小包盈利多．A．①③B．①④C．②③D．②④解析：买小包装时每克费用为3100元，买大包装时每克费用为8.4300＝2.8100元，而3100＞2.8100，所以买大包装实惠，卖3小包的利润为3×(3－1.8－0.5)＝2.1(元)，卖1大包的利润是8.4－1.8×3－0.7＝2.3(元)，而2.3＞2.1，所以卖1大包盈利多，故选D.7．如图，矩形ABCD的周长为8，设AB＝x(1≤x≤3)，线段MN 的两端点在矩形的边上滑动，且MN＝1，当N沿A→D→C→B→A在矩形的边上滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G 围成的区域的面积为y，则函数y＝f(x)的图象大致为(D)解析：由题意可知点P 的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为12的扇形．因为矩形ABCD 的周长为8，AB ＝x ，则AD ＝8－2x 2＝4－x ，所以y ＝x (4－x )－π4＝－(x －2)2＋4－π4(1≤x ≤3)，显然该函数的图象是二次函数图象的一部分，且当x ＝2时，y ＝4－π4∈(3,4)，故选D.8．为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地．第一年支出各种费用8万元，以后每年支出的费用比上一年多2万元，每年销售蔬菜的收入为26万元．设f (n )表示前n 年的纯利润(f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总费用支出－投资额)，则从第 5 年开始盈利．解析：由题知f (n )＝26n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤8n ＋n (n －1)2×2－60＝－n 2＋19n －60. 令f (n )＞0，即－n 2＋19n －60＞0，解得4＜n ＜15，所以从第5年开始盈利．9．西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销．在一年内，根据预算得羊皮手套的年利润L 万元与广告费x万元之间的函数解析式为L ＝512－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋8x (x ＞0)．则当年广告费投入 4 万元时，该公司的年利润最大．解析：由题意得L ＝512－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋8x ≤512－2x 2·8x ＝21.5， 当且仅当x 2＝8x ，即x ＝4时等号成立．此时L 取得最大值21.5.故当年广告费投入4万元时，该公司的年利润最大．10．某商品在近30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)之间的函数关系式为P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20，0<t <25，t ∈N ，－t ＋100，25≤t ≤30，t ∈N ，且该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)之间的函数关系式为Q ＝－t ＋40(0<t ≤30，t ∈N )，则这种商品日销售金额最大的一天是30天中的第 25 天．解析：设日销售金额为W (t )元，则W (t )＝P ·Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧(t ＋20)(－t ＋40)，0<t <25，t ∈N ，(－t ＋100)(－t ＋40)，25≤t ≤30，t ∈N . 令f (t )＝(t ＋20)(－t ＋40)＝－t 2＋20t ＋800(0<t <25，t ∈N )，易知f (t )max ＝f (10)＝900，令g (t )＝(－t ＋100)(－t ＋40)＝t 2－140t ＋4 000(25≤t ≤30，t ∈N )，易知g (t )max ＝g (25)＝1 125.综上，当t ＝25，即第25天时，日销售金额W (t )最大．11．某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？解：(1)当x ≤6时，y ＝50x －115，令50x －115＞0，解得x ＞2.3，∵x 为整数，∴3≤x ≤6，x ∈Z .当x ＞6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115.令－3x 2＋68x －115＞0，有3x 2－68x ＋115＜0，结合x 为整数得6＜x ≤20，x ∈Z .∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z )，－3x 2＋68x －115(6＜x ≤20，x ∈Z ). (2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z )，显然当x ＝6时，y max ＝185；对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113(6＜x ≤20，x ∈Z )，当x ＝11时，y max ＝270.∵270＞185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．12．(2019·山东德州模拟)某地自来水苯超标，当地自来水公司对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m 的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y (毫克/升)满足y＝mf (x )，其中f (x )＝⎩⎨⎧x 225＋2，0＜x ≤5，x ＋192x －2，x ＞5.当药剂在水中的浓度不低于5(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中的浓度不低于5(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化．(1)如果投放的药剂的质量为m ＝5，试问自来水达到有效净化总共可持续几天？(2)如果投放的药剂质量为m ，为了使在9天(从投放药剂算起包括9天)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m 的最小值．解：(1)当m ＝5时，y ＝⎩⎨⎧x 25＋10，0＜x ≤5，5x ＋952x －2，x ＞5.当0＜x ≤5时，x 25＋10＞10，显然符合题意；当x ＞5时，由5x ＋952x －2≥5，解得5＜x ≤21. 综上，0＜x ≤21，所以自来水达到有效净化总共可持续21天．(2)y ＝mf (x )＝⎩⎨⎧mx 225＋2m ，0＜x ≤5，m (x ＋19)2x －2，x ＞5.当0＜x ≤5时，y ＝mx 225＋2m 在区间(0,5]上单调递增，所以2m ＜y ≤3m ； 当x ＞5时，y ′＝－40m (2x －2)2＜0， 所以函数y ＝m (x ＋19)2x －2在(5,9]上单调递减， 所以7m 4≤y ＜3m .综上可知7m 4≤y ≤3m .为使5≤y ≤10恒成立，只要⎩⎨⎧ 7m 4≥5，3m ≤10，解得207≤m ≤103， 所以应该投放的药剂质量m 的最小值为207.13．(2019·嘉定模拟)某市环保研究所对市中心每天环境中放射性污染情况进行调查研究后发现，一天中环境综合放射性污染指数f (x )与时刻x (时)的关系为f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x x 2＋1－a ＋2a ＋23，x ∈[0,24]，其中a 是与气象有关的参数，且a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.如果以每天f (x )的最大值为当天的环境综合放射性污染指数，并记为M (a )，若规定当M (a )≤2时为环境综合放射性污染指数不超标，则该市中心的环境综合放射性污染指数不超标时，a 的取值范围为( B )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，49 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，49 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤49，12 解析：设t ＝x x 2＋1，当x ≠0时，可得t ＝1x ＋1x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，当x ＝0时，t ＝0，因而f (x )＝g (t )＝|t －a |＋2a ＋23＝⎩⎪⎨⎪⎧－t ＋3a ＋23，0≤t ≤a ，t ＋a ＋23，a ＜t ≤12，从而有g (0)＝3a ＋23，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝a ＋76，g (0)－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14， 因而M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0≤a ≤14，g (0)，14＜a ≤12， 即M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋76，0≤a ≤14，3a ＋23，14＜a ≤12，当0≤a ≤14时，M (a )＜2，当14＜a ≤49时，M (a )≤2，当49＜a ≤12时，M (a )＞2，所以该市中心的环境综合放射性污染指数不超标时，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，49. 14．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件．当x ≤20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x ＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y (万元)与x (件)的函数关系式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0＜x ≤20，160－x ，x ＞20 (x ∈N *) ，该工厂的年产量为 16 件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)解析：当x ≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100； 当x ＞20时，y ＝260－100－x ＝160－x .故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0＜x ≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N *)． 当0＜x ≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，当x ＝16时，y max ＝156.当x ＞20时，160－x ＜140，故x ＝16时取得最大年利润．15．(2019·潍坊模拟)某地西红柿从2月1日开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/100 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：Q 与上市时间t 的变化关系：Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t .利用你选取的函数，求得：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是 120 ；(2)最低种植成本是 80 (元/100 kg)．解析：根据表中数据可知函数不单调，所以Q ＝at 2＋bt ＋c ，且开口向上，对称轴t ＝－b 2a ＝60＋1802＝120，代入数据⎩⎪⎨⎪⎧ 3 600a ＋60b ＋c ＝116，10 000a ＋100b ＋c ＝84，32 400a ＋180b ＋c ＝116，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－2.4，c ＝224，a ＝0.01.所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120，最低种植成本是14 400a ＋120b ＋c ＝14 400×0.01＋120×(－2.4)＋224＝80(元/100 kg)．16．(2019·西安质检)我国加入WTO 后，根据达成的协议，若干年内某产品的关税与市场供应量P 的关系近似满足：y ＝P (x )＝2(1－kt )(x －b )2(其中t 为关税的税率，且t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12，x 为市场价格，b ，k 为正常数)，当t ＝18时的市场供应量曲线如图：(1)根据图象求b ，k 的值；(2)若市场需求量为Q ，它近似满足Q (x )＝.当P ＝Q 时的市场价格称为市场平衡价格．为使市场平衡价格控制在不低于9元的范围内，求税率t 的最小值．解：(1)由图象知函数图象过(5,1)，(7,2)．解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝6，b ＝5.Earlybird(2)当P ＝Q 时，2(1－6t )(x －5)2＝211－x 2，则(1－6t )(x －5)2＝11－x 2，所以1－6t ＝11－x 2(x －5)2＝12·22－x (x －5)2＝ 12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤17(x －5)2－1x －5. 令m ＝1x －5(x ≥9)，m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14. 设f (m )＝17m 2－m ，m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14， 对称轴为m ＝134，所以f (m )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1316， 所以，当m ＝14，即x ＝9时，1－6t 取得最大值为12×1316， 则1－6t ≤12×1316，解得t ≥19192，所以税率的最小值为19192.。

课时作业60随机抽样1．以下抽样方法是简单随机抽样的是(D)A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见D．用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验解析：选项A、B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；选项C不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；选项D是简单随机抽样．2．(2019·长春一模)完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．宜采用的抽样方法依次是(B)A．①简单随机抽样，②系统抽样B．①分层抽样，②简单随机抽样C．①系统抽样，②分层抽样D．①②都用分层抽样解析：因为社会购买能力的某项指标受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差别明显，所以①用分层抽样法；从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，所以②用简单随机抽样法．3．(2019·长沙一中测试)某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为(A)A．100B．150C．200D．250解析：法一：由题意可得70n －70＝3 5001 500，解得n ＝100. 法二：由题意，抽样比为703 500＝150，总体容量为3 500＋1 500＝5 000，故n＝5 000×150＝100.4．(2019·湖南怀化模拟)某电视台为了调查“爸爸去哪儿”节目的收视率，现用分层抽样的方法从4 300人中抽取一个样本，这4 300人中青年人1 600人，且中年人人数是老年人人数的2倍，现根据年龄采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中青年人有320人，则抽取的样本中老年人的人数为( B )A ．90B ．180C ．270D ．360解析：设老年人有x 人，从中抽取y 人，则1 600＋3x ＝4 300，得x ＝900，即老年人有900人，则9001 600＝y 320，得y ＝180.故选B.5．去年“3·15”，某报社做了一次关于“虚假广告”的调查，在A ，B ，C ，D 四个单位回收的问卷数依次成公差为正数的等差数列，共回收1 000份，因报道需要，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为150的样本，若在B 单位抽取30份问卷，则在D 单位抽取的问卷份数是( C )A ．45B ．50C ．60D ．65解析：由于B 单位抽取的问卷是样本容量的15，所以B 单位回收问卷200份．由等差数列知识可得C 单位回收问卷300份，D 单位回收问卷400份，则D 单位抽取的问卷份数是B 单位的2倍，即为60份．6．(2019·泉州质检)某公司员工对户外运动分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运动，如果选出的人有6人对户外运动持“喜欢”态度，有1人对户外运动持“不喜欢”态度，有3人对户外运动持“一般”态度，那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的有( A )A ．36人B ．30人C ．24人D ．18人解析：设持“喜欢”“不喜欢”“一般”态度的人数分别为6x ，x,3x ，由题意可得3x －x ＝12，x ＝6.∴持“喜欢”态度的有6x ＝36(人)．7．(2019·石家庄模拟)某校为了解1 000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法(按等距的规则)抽取40名同学进行检查，将学生从1～1 000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为( C )A ．16B ．17C ．18D ．19解析：因为从1 000名学生中抽取一个容量为40的样本，所以系统抽样的分段间隔为1 00040＝25，设第一组随机抽取的号码为x ，则抽取的第18组编号为x＋17×25＝443，所以x ＝18.8．采用系统抽样方法从1 000人中抽取50人做问卷调查，将他们随机编号1,2，…，1 000.适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若抽到的50人中，编号落入区间[1,400]的人做问卷A ，编号落入区间[401,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷C 的人数为( A )A ．12B ．13C ．14D ．15解析：根据系统抽样的特点可知，所有做问卷调查的人的编号构成首项为8，公差d ＝1 00050＝20的等差数列{a n }，∴通项公式a n ＝8＋20(n －1)＝20n －12，令751≤20n －12≤1 000，得76320≤n ≤2535，又∵n ∈N *，∴39≤n ≤50，∴做问卷C的共有12人．9．(2019·江苏南京联合体学校调研)为检验某校高一年级学生的身高情况，现采用先分层抽样后简单随机抽样的方法，抽取一个容量为210的样本，已知每个学生被抽到的概率为0.3，且男女生的比是4∶3，则该校高一年级女生的人数是 300 .解析：抽取的高一年级女生的人数为210×37＝90，则该校高一年级女生的人数为90÷0.3＝300，故答案为300.10．(2019·湖北重点中学适应模拟)某校高三年级共有30个班，学校心理咨询室为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到30，现用系统抽样的方法抽取5个班进行调查，若抽到的编号之和为75，则抽到的最小的编号为 3 .解析：系统抽样的抽取间隔为305＝6.设抽到的最小编号为x ，则x ＋(6＋x )＋(12＋x )＋(18＋x )＋(24＋x )＝75，所以x ＝3.11．一个总体中有90个个体，随机编号0,1,2，…，89，依从小到大的编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1,2,3，…，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定：如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m ＋k 的个位数字相同，若m ＝8，则在第8组中抽取的号码是 76 .解析：由题意知m ＝8，k ＝8，则m ＋k ＝16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76.12．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为 50 ；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1 020小时、980小时、1 030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为 1 015 小时．解析：第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为1 020×0.5＋980×0.2＋1 030×0.3＝1 015.13．(2019·安徽安庆一中模拟)某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n 的样本，其中高中生有24人，那么n 等于 ( D )A ．12B ．18C ．24D ．36解析：根据分层抽样方法知n 960＋480＝24960，解得n ＝36. 14．(2019·安徽淮北模拟)某单位员工按年龄分为A ，B ，C 三组，其人数之比为5∶4∶1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，已知C组中甲、乙二人均被抽到的概率是145，则该单位员工总数为( B )A ．110B ．100C ．900D ．800解析：∵员工按年龄分为A ，B ，C 三组，其人数之比为5∶4∶1，∴从中抽取一个容量为20的样本，则抽取的C 组人数为11＋4＋5×20＝110×20＝2，设C 组员工总数为m ，则甲、乙二人均被抽到的概率为C 22C 2m＝2m (m －1)＝145，即m (m －1)＝90，解得m ＝10.设员工总数为x ，则由10x ＝15＋4＋1＝110，可得x ＝100，故选B.15．为了调研雄安新区的空气质量状况，某课题组对雄县、容城、安新三县空气质量进行调查，按地域特点在三县内设置空气质量观测点．已知三县内观测点的个数分别为6，y ，z ，依次构成等差数列，且6，y ，z ＋6成等比数列，若采用分层抽样的方法抽取12个观测点的数据，则应从容城抽取的观测点的数据个数为( C )A ．8B ．6C ．4D ．2解析：∵6，y ，z 依次构成等差数列，且6，y ，z ＋6成等比数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 6＋z ＝2y ，y 2＝6(z ＋6)，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12，z ＝18.若采用分层抽样的方法抽取12个观测点的数据，则应从容城抽取的观测点的数据个数为126＋12＋18×12＝4，故选C. 16．某高中在校学生有2 000人．为了响应“阳光体育运动”的号召，学校开展了跑步和登山的比赛活动．每人都参与而且只能参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表：其中a ∶b ∶c ＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的25.为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为 36 .解析：根据题意可知，样本中参与跑步的人数为200×35＝120，所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为120×32＋3＋5＝36.。

课时作业5 函数的单调性与最值1．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”的是( A ) A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝(x －1)2 C ．f (x )＝e x D ．f (x )＝ln(x ＋1) 解析：依题意可得函数在(0，＋∞)上单调递减，故由选项可得A 正确． 2．(2019·阜阳模拟)给定函数①y ＝x 12，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( B ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 解析：①y ＝x 12在(0,1)上递增； ②∵t ＝x ＋1在(0,1)上递增，且0＜12＜1， 故y ＝log 12(x ＋1)在(0,1)上递减； ③结合图象可知y ＝|x －1|在(0,1)上递减； ④∵u ＝x ＋1在(0,1)上递增，且2＞1，故y ＝2x ＋1在(0,1)上递增． 故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③. 3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (3a －1)x ＋4a ，x ＜1，log a x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，则a 的取值范围是( C ) A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，1解析：由f (x )是减函数，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －1＜0，0＜a ＜1，(3a －1)×1＋4a ≥log a 1， ∴17≤a ＜13，∴a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13. 4．(2019·山西晋城一模)已知函数f (x )＝log a (－x 2－2x ＋3)(a ＞0且a ≠1)，若f (0)＜0，则此函数的单调递增区间是( C ) A ．(－∞，－1] B ．[－1，＋∞) C ．[－1,1) D ．(－3，－1] 解析：令g (x )＝－x 2－2x ＋3， 由题意知g (x )＞0，可得－3＜x ＜1， 故函数的定义域为{x |－3＜x ＜1}． 根据f (0)＝log a 3＜0，可得0＜a ＜1， 则本题即求函数g (x )在(－3,1)内的减区间． 利用二次函数的性质可求得函数g (x )在(－3,1)内的减区间为[－1,1)，故选C. 5．(2019·河南郑州一模)若函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪|x |－1x 2在{x |1≤|x |≤4，x ∈R }上的最大值为M ，最小值为m ，则M －m ＝( A ) A.3116 B ．2 C.94 D.114 解析：可令|x |＝t ，则1≤t ≤4，y ＝t －1t 2， 易知y ＝t －1t 2在[1,4]上递增， ∴其最小值为1－1＝0； 最大值为2－116＝3116，则m ＝0，M ＝3116， 则M －m ＝3116，故选A.6．(2019·山东济宁模拟)已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＜0.设a ＝ln 1π，b ＝(lnπ)2，c ＝ln π，则( C ) A ．f (a )＞f (b )＞f (c ) B ．f (b )＞f (a )＞f (c ) C ．f (c )＞f (a )＞f (b ) D ．f (c )＞f (b )＞f (a ) 解析：由题意易知f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 又∵|a |＝lnπ＞1，b ＝(lnπ)2＞|a |,0＜c ＝lnπ2＜|a |， ∴f (c )＞f (|a |)＞f (b )． 又由题意知f (a )＝f (|a |)，∴f (c )＞f (a )＞f (b )．故选C. 7．(2019·河南安阳一模)已知函数f (x )满足：①对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0；②对定义域内的任意x ，都有f (x )＝f (－x )，则符合上述条件的函数是( A ) A ．f (x )＝x 2＋|x |＋1 B ．f (x )＝1x －x C ．f (x )＝ln|x ＋1| D ．f (x )＝cos x 解析：由题意得：f (x )是偶函数，在(0，＋∞)上递增． 对于A ，f (－x )＝f (x )，是偶函数， 且x ＞0时，f (x )＝x 2＋x ＋1，f ′(x )＝2x ＋1＞0， 故f (x )在(0，＋∞)上递增，符合题意； 对于B ，函数f (x )是奇函数，不符合题意； 对于C ，由x ＋1≠0，解得x ≠－1，定义域不关于原点对称，故函数f (x )不是偶函数，不符合题意； 对于D ，函数f (x )在(0，＋∞)上不单调递增，不符合题意，故选A. 8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x ＞0，不等式f (x ＋a )＞f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是( A ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，0)C ．(0,2)D ．(－2,0) 解析：二次函数y ＝x 2－4x ＋3图象的对称轴是直线x ＝2，∴该函数在(－∞，0]上单调递减，∴x 2－4x ＋3≥3，同样可知函数y ＝－x 2－2x ＋3在(0，＋∞)上单调递减，∴－x 2－2x ＋3＜3，∴f (x )在R 上单调递减，∴由f (x ＋a )＞f (2a －x )得到x ＋a ＜2a －x ，即2x ＜a ，∴2x ＜a 在[a ，a ＋1]上恒成立，∴2(a ＋1)＜a ，∴a ＜－2，∴实数a 的取值范围是(－∞，－2)，故选A. 9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是[0,1)__． 解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ＞1，0，x ＝1，－x 2，x ＜1，该函数图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)． 10．(2019·珠海模拟)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则不等式f (log 19x )＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ 0＜x ＜13或1＜x ＜3 . 解析：由题意知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0， f (x )在(－∞，0)上也单调递增．∴f (log 19x )＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12或f (0)>f (log 19x )＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， ∴log 19x ＞12或－12＜log 19x ＜0， 解得0＜x ＜13或1＜x ＜3. ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ 0＜x ＜13或1＜x ＜3. 11．(2019·西安模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足：①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，②当x ＞0时，f (x )＞－1. (1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是单调增函数． (2)若f (1)＝1，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (1－x )＞4. 解：(1)令x ＝y ＝0得f (0)＝－1. 证明：在R 上任取x 1＞x 2， 则x 1－x 2＞0，f (x 1－x 2)＞－1. 又f (x 1)＝f ((x 1－x 2)＋x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)＋1＞f (x 2)， 所以，函数f (x )在R 上是单调增函数． (2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5. 由f (x 2＋2x )＋f (1－x )＞4得f (x 2＋x ＋1)＞f (3)， 又函数f (x )在R 上是增函数， 故x 2＋x ＋1＞3，解得x ＜－2或x ＞1， 故原不等式的解集为{x |x ＜－2或x ＞1}． 12．已知函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x －2，其中a 是大于0的常数． (1)求函数f (x )的定义域； (2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )＞0，试确定a 的取值范围． 解：(1)由x ＋a x －2＞0，得x 2－2x ＋a x ＞0， 当a ＞1时，x 2－2x ＋a ＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)， 当a ＝1时，定义域为{x |x ＞0且x ≠1}，当0＜a ＜1时，定义域为{x |0＜x ＜1－1－a 或x ＞1＋1－a }． (2)设g (x )＝x ＋a x －2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时， ∴g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－a x 2＞0. 因此g (x )在[2，＋∞)上是增函数， ∴f (x )在[2，＋∞)上是增函数． 则f (x )min ＝f (2)＝lg a 2. (3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )＞0. 即x ＋a x －2＞1对x ∈[2，＋∞)恒成立． ∴a ＞3x －x 2.令h (x )＝3x －x 2，x ∈[2，＋∞)． 由于h (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数， ∴h (x )max ＝h (2)＝2.故a ＞2时，恒有f (x )＞0. 因此实数a 的取值范围为(2，＋∞)．13．如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f (x )x 在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( D ) A ．[1，＋∞) B ．[0，3] C ．[0,1] D ．[1，3] 解析：因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f (x )x ＝12x ＋32x －1，令g (x )＝12x ＋32x －1(x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x 2＝x 2－32x 2，由g ′(x )≤0，得1≤x ≤3，即函数f (x )x ＝12x －1＋32x 在区间[1，3]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1，3]． 14．(2019·海南阶段性测试)已知函数f (x )＝2 017x ＋log 2 017(x 2＋1＋x )－2 017－x ＋3，则关于x 的不等式f (1－2x )＋f (x )＞6的解集为( A ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，2) D ．(2，＋∞) 解析：因为函数y 1＝2 017x －2 017－x 是奇函数，函数y 2＝log 2 017(1＋x 2＋x )为奇函数，所以函数g (x )＝2 017x －2 017－x ＋log 2 017(x 2＋1＋x )为奇函数且在(－∞，＋∞)上单调递增，∴f (1－2x )＋f (x )＞6即g (1－2x )＋3＋g (x )＋3＞6，即g (x )＞g (2x －1)，∴x ＞2x －1，∴x ＜1， ∴不等式f (1－2x )＋f (x )＞6的解集为(－∞，1)．故选A. 15．设函数f (x )＝2 017x ＋1＋2 0162 017x ＋1＋2 016sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2的最大值为M ，最小值为N ，那么M ＋N ＝4_033__. 解析：f (x )＝2 017x ＋1＋2 0162 017x ＋1＋2 016sin x ＝2 017x ＋1＋2 017－12 017x ＋1＋2 016sin x ＝2 017－12 017x ＋1＋2 016sin x . 显然该函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上单调递增， 故最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2， 所以M ＋N ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 017－12 017π2＋1＋2 016＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2 017－12 017－π2＋1－2 016＝4 034－12 017π2＋1－ 2 017π21＋2 017π2 ＝4 034－1＝4 033. 16．(2019·中山模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x ＞1时，f (x )＞0，f (3)＝1. (1)判断f (x )的单调性； (2)解关于x 的不等式f (3x ＋6)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＞2； (3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)设x 1＞x 2＞0，则x 1x 2＞1， ∵当x ＞1时，f (x )＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)， ∴函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数． (2)在f (x 1)－f (x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2中，令x 1＝9，x 2＝3， ∴f (9)－f (3)＝f (3)．又f (3)＝1，∴f (9)＝2. ∴不等式f (3x ＋6)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＞2， 可转化为f (3x ＋6)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＞f (9)， ∴f (3x ＋6)＞f (9)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝f (9x )， 由函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数， 可得3x ＋6＞9x ＞0，∴0＜x ＜1， ∴原不等式的解集为(0,1)． (3)∵函数f (x )在(0,3]上是增函数， ∴f (x )在(0,3]上的最大值为f (3)＝1，∴不等式f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1，1]恒成立转化为1≤m 2－2am ＋1对所有a ∈[－1,1]恒成立，即m 2－2am ≥0对所有a ∈[－1,1]恒成立．设g (a )＝－2ma ＋m 2，∴需满足⎩⎪⎨⎪⎧ g (－1)≥0，g (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋m 2≥0，－2m ＋m 2≥0， 解该不等式组， 得m ≤－2或m ≥2或m ＝0， 即实数m 的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．。

课时作业10 函数的图象1．函数f (x )＝x2ln|x |的图象大致是( D )解析：由f (－x )＝－f (x )可得f (x )是奇函数，图象关于原点对称，排除A ，C ，而x ∈(0,1)时，ln|x |＜0，f (x )＜0，排除B ，故选D.2．现有四个函数：①y ＝x sin x ；②y ＝x cos x ；③y ＝x |cos x |；④y ＝x ·2x .它们的图象(部分)如下，但顺序已被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号排列正确的一组是( D )A ．④①②③B ．①④③②C ．③④②①D ．①④②③解析：函数y ＝x sin x 是偶函数，由图象知，函数①对应第一个图象；函数y ＝x cos x 是奇函数，且当x ＝π时，y ＝－π＜0，故函数②对应第三个图象；函数y ＝x |cos x |为奇函数，且当x ＞0时，y ≥0，故函数③与第四个图象对应；函数y ＝x ·2x 为非奇非偶函数，与第二个图象对应．综上可知，选D.3．(2019·河南信阳模拟)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝8－f (4＋x )，函数g (x )＝4x ＋3x －2，若函数f (x )与g (x )的图象共有168个交点，记作P i (x i ，y i )(i ＝1,2，…，168)，则(x 1＋y 1)＋(x 2＋y 2)＋…＋(x 168＋y 168)的值为( D )A ．2 018B ．2 017C ．2 016D ．1 008解析：函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝8－f (4＋x )，可得f (－x )＋f (4＋x )＝8，即函数f (x )的图象关于点(2,4)对称，由函数g (x )＝4x ＋3x －2＝4(x －2)＋11x －2＝4＋11x －2，可知其图象关于点(2,4)对称，∵函数f (x )与g (x )的图象共有168个交点，∴两图象在点(2,4)两边各有84个交点，且两边的点分别关于点(2,4)对称，故得(x 1＋y 1)＋(x 2＋y 2)＋…＋(x 168＋y 168)＝(4＋8)×84＝1 008.故选D.4．已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可能是( A )A ．f (x )＝12x －1－x 3B ．f (x )＝12x －1＋x 3C ．f (x )＝12x ＋1－x 3D ．f (x )＝12x ＋1＋x 3解析：由图可知，函数图象的渐近线为x ＝12，排除C ，D ，又函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减．而函数y ＝12x －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减，y ＝－x 3在R 上单调递减，则f (x )＝12x －1－x 3在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减，故选A. 5．如图所示，动点P 在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的体对角线BD 1上．过点P 作垂直于平面BB 1D 1D 的直线，与正方体的表面相交于M ，N 两点．设BP ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( B )解析：设正方体的棱长为1，显然，当P 移动到体对角线BD 1的中点E 时，函数y ＝MN ＝AC ＝2取得唯一的最大值，所以排除A 、C ；当P 在BE 上时，分别过M ，N ，P 作底面的垂线，垂足分别为M 1，N 1，P 1，则y ＝MN ＝M 1N 1＝2BP 1＝2x cos ∠D 1BD ＝263x ，是一次函数，所以排除D ，故选B.6．(2019·泰安模拟)已知f (x )＝14x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则y ＝f ′(x )的图象大致是( A )解析：因为f (x )＝14x 2＋cos x ，所以f ′(x )＝12x －sin x ，f ′(x )为奇函数，排除B ，D ；当x ＝π6时，f ′(x )＝π12－12＜0，排除C ，∴A 满足．7．(2019·昆明检测)已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且f (x )在(－∞，0)上是减函数，f (2)＝0，g (x )＝f (x ＋2)，则不等式xg (x )≤0的解集是( C )A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．[－4，－2]∪[0，＋∞)C ．(－∞，－4]∪[－2，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[0，＋∞)解析：依题意，画出函数的大致图象如图所示．实线部分为g (x )的草图，则xg (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，g (x )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，g (x )≥0，由图可得xg (x )≤0的解集为(－∞，－4]∪[－2，＋∞)． 8．已知函数f (x )＝2ln x ，g (x )＝x 2－4x ＋5，则方程f (x )＝g (x )的根的个数为( C )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：在平面直角坐标系内作出f (x )，g (x )的图象如图所示，由已知g (x )＝(x －2)2＋1，得其顶点为(2,1)，又f (2)＝2ln2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f (x )＝2ln x 图象的下方，故函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象有2个交点．9．(2019·江苏扬州模拟)不等式2－x ≤log 2(x ＋1)的解集是{x |x ≥1}__．解析：画出y ＝2－x ，y ＝log 2(x ＋1)的图象如图所示，由图可知，解集为{x |x ≥1}．10．给定min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，b ＜a ，已知函数f (x )＝min{x ，x 2－4x＋4}＋4，若动直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，则实数m 的取值范围为(4,5)__．解析：作出函数f (x )的图象，函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4的图象如图所示，由于直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，数形结合可得m 的取值范围为(4,5)．11．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .(1)当m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式[f (x )]2＋f (x )－m ＞0在R 上恒成立，求m 的取值范围． 解：(1)令f (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出f (x )的图象如图所示.由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数f (x )与G (x )的图象只有一个交点，即原方程有一个解；当0＜m ＜2时，函数f (x )与G (x )的图象有两个交点，即原方程有两个解．(2)令f (x )＝t (t ＞0)，H (t )＝t 2＋t ，因为H (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H (t )＞H (0)＝0.因此要使t 2＋t ＞m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0， 即所求m 的取值范围为(－∞，0]．12．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋ax ，g (x )在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a 的取值范围．解：(1)设f (x )图象上任一点坐标为(x ，y )，∵点(x ，y )关于点A (0,1)的对称点(－x,2－y )在h (x )的图象上， ∴2－y ＝－x ＋1－x＋2，∴y ＝x ＋1x ，即f (x )＝x ＋1x . (2)由题意g (x )＝x ＋a ＋1x ， 且g (x )＝x ＋a ＋1x ≥6，x ∈(0,2]．∵x ∈(0,2]，∴a ＋1≥x (6－x )，即a ≥－x 2＋6x －1. 令q (x )＝－x 2＋6x －1，x ∈(0,2]， q (x )＝－x 2＋6x －1＝－(x －3)2＋8，∴当x ∈(0,2]时，q (x )是增函数，q (x )max ＝q (2)＝7. 故实数a 的取值范围是[7，＋∞)．13．(2019·安徽江南十校联考)若函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可能是( B )A ．f (x )＝e x －1x 2－1B ．f (x )＝e xx 2－1C ．f (x )＝x 3＋x ＋1x 2－1D ．f (x )＝x 4＋x ＋1x 2－1解析：由题中图象可知，函数的定义域为{x |x ≠a 且x ≠b }，f (x )在(－∞，a )上为增函数，在(a,0]上先增后减，在[0，b )上为减函数，在(b ，＋∞)上先减后增．A 项中f (x )的定义域为{x |x ≠－1且x ≠1}， 此时a ＝－1，b ＝1.f ′(x )＝e x (x 2－1)－2x (e x －1)(x 2－1)2，则f ′(－2)＝79e 2－49＜0，与f (x )在(－∞，－1)上递增不符． B 项中f (x )的定义域 为{x |x ≠±1}，f ′(x )＝e x (x 2－2x －1)(x 2－1)2＝e x [(x －1)2－2](x 2－1)2，若f ′(x )＞0，则x ＜－1或－1＜x ＜1－2或x ＞1＋2，此时f (x )在各对应区间上为增函数，符合题意．同理可检验C 、D 不符，故选B.14．(2019·福建厦门双十中学模拟)已知函数f (x )＝x 2＋e x－12(x ＜0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( B )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1e B ．(－∞，e) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞ D ．(e ，＋∞)解析：原命题等价于在x ＜0时，f (x )与g (－x )的图象有交点，即方程e x－12－ln(－x ＋a )＝0在(－∞，0)上有解，令m (x )＝e x－12－ln(－x ＋a )，显然m (x )在(－∞，0)上为增函数．当a ＞0时，只需m (0)＝e 0－12－ln a ＞0，解得0＜a ＜e ；当a ≤0时，x 趋于－∞，m (x )＜0，x 趋于a ，m (x )＞0，即m (x )＝0在(－∞，a )上有解．综上，实数a 的取值范围是(－∞，e)．15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sinπx ，0≤x ≤1，log 2 017x ，x ＞1，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是( D )A ．(1,2 017)B ．(1,2 018)C ．[2,2 018]D ．(2,2 018)解析：设f (a )＝f (b )＝f (c )＝m ，作出函数f (x )的图象与直线y ＝m ，如图所示，不妨设a ＜b ＜c ，当0≤x ≤1时，函数f (x )的图象与直线y ＝m 的交点分别为A ，B ，由正弦曲线的对称性，可得A (a ，m )与B (b ，m )关于直线x ＝12对称，因此a ＋b ＝1，令log 2 017x ＝1，解得x ＝2 017，结合图象可得1＜c ＜2 017， 因此可得2＜a ＋b ＋c ＜2 018， 即a ＋b ＋c ∈(2,2 018)．故选D.16．函数y ＝ln|x －1|的图象与函数y ＝－2cosπx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和为6__.解析：作出函数y ＝ln|x －1|的图象，又y ＝－2cosπx 的最小正周期为T ＝2，如图所示，两图象都关于直线x ＝1对称，且共有6个交点，由中点坐标公式可得所有交点的横坐标之和为6.。

课时作业11 函数与方程1．(2019·烟台模拟)函数f (x )＝ln(x ＋1)－1x 的一个零点所在的区间是( B )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝ln2－1＜0，f (2)＝ln3－12＞0，∴f (x )的零点所在区间为(1,2)，故选B.2．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( B ) A ．y ＝log 12x B ．y ＝2x －1 C ．y ＝x 2－12D ．y ＝－x 3解析：函数y ＝log 12x 在定义域上单调递减，y ＝x 2－12在(－1,1)上不是单调函数，y ＝－x 3在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y ＝2x －1，当x ＝0∈(－1,1)时，y ＝0且y ＝2x －1在R 上单调递增，故选B.3．函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( C )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)解析：因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则由题意得f (1)·f (2)＝(0－a )(3－a )＜0，解得0＜a ＜3，故选C.4．(2019·安庆模拟)函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是( D )A ．(2，＋∞)B ．[2，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103 解析：由题意知方程ax ＝x 2＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有解， 即a ＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有解，设t ＝x ＋1x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，则t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103. ∴实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103.5．(2019·安徽安庆模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ∈[0，1)，2－x 2，x ∈[－1，0)，且f (x ＋1)＝f (x －1)，若g (x )＝3－log 2x ，则函数F (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)内的零点个数为( B )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：由f (x ＋1)＝f (x －1)，知f (x )的周期是2，画出函数f (x )和g (x )的部分图象，如图所示，由图象可知f (x )与g (x )的图象有2个交点，故f (x )有2个零点，故选B.6．(2019·安徽马鞍山一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3|x －1|，x ＞0，－x 2－2x ＋1，x ≤0，若关于x 的方程[f (x )]2＋(a －1)f (x )－a ＝0有7个不等的实数根，则实数a 的取值范围是( C )A ．[1,2]B ．(1,2)C ．(－2，－1)D ．[－2，－1]解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3|x －1|，x ＞0，－x 2－2x ＋1，x ≤0的图象如图：关于x 的方程[f (x )]2＋(a －1)f (x )－a ＝0有7个不等的实数根，即[f (x )＋a ][f (x )－1]＝0有7个不等的实数根，易知f (x )＝1有3个不等的实数根，∴f (x )＝－a 必须有4个不相等的实数根，由函数f (x )的图象可知－a ∈(1,2)，∴a ∈(－2，－1)．故选C.7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1(0≤x ≤1)，f (x －1)＋m (x ＞1)在定义域[0，＋∞)上单调递增，且对于任意a ≥0，方程f (x )＝a 有且只有一个实数解，则函数g (x )＝f (x )－x 在区间[0,2n ](n ∈N *)上的所有零点的和为( B )A.n (n ＋1)2 B ．22n －1＋2n －1 C.(1＋2n )22D ．2n －1解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1(0≤x ≤1)，f (x －1)＋m (x ＞1)在定义域[0，＋∞)上单调递增，且对于任意a ≥0，方程f (x )＝a 有且只有一个实数解，则f (x )是连续函数，可得m ＝1.画出y ＝f (x )与y ＝x 的图象如图，图象交点的横坐标就是函数g (x )＝f (x )－x 的零点．由图知，函数g (x )在区间[0,2n ](n ∈N *)上的所有零点的和为1＋2＋3＋…＋(2n－1)＋2n＝22n－1＋2n－1，故选B.8．(2019·广东茂名一模)定义在R上的奇函数f(x)满足条件f(1＋x)＝f(1－x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，若函数g(x)＝|f(x)|－a e－|x|在区间[－2 018,2 018]上有4 032个零点，则实数a的取值范围是(B)A．(0,1) B．(e，e3)C．(e，e2) D．(1，e3)解析：f(x)满足条件f(1＋x)＝f(1－x)且为奇函数，则f(x)的图象关于x＝1对称，且f(x)＝f(2－x)，f(x)＝－f(－x)，∴－f(－x)＝f(2－x)，即－f(x)＝f(2＋x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)的周期为4.令m(x)＝|f(x)|，n(x)＝a e－|x|，画出m(x)、n(x)的图象如图，可知m(x)与n(x)为偶函数，且要使m(x)与n(x)图象有交点，需a ＞0，由题意知要满足g(x)在区间[－2 018，2 018]上有4 032个零点，只需m (x )与n (x )的图象在[0,4]上有两个交点，则⎩⎪⎨⎪⎧m (1)＜n (1)，m (3)＞n (3)，可得e＜a ＜e 3，故选B.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x ＞a .若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是 (－∞，0)∪(1，＋∞) .解析：令φ(x )＝x 3(x ≤a )，h (x )＝x 2(x ＞a )，函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 有两个交点，结合图象(图略)可得a ＜0或φ(a )＞h (a )，即a ＜0或a 3＞a 2，解得a ＜0或a ＞1，故a ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．10．已知e 是自然对数的底数，函数f (x )＝e x ＋x －2的零点为a ，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为b ，则f (a )，f (1)，f (b )的大小关系为 f (a )＜f (1)＜f (b ) .解析：由题意，知f ′(x )＝e x ＋1＞0恒成立， 所以函数f (x )在R 上是单调递增的， 而f (0)＝e 0＋0－2＝－1＜0， f (1)＝e 1＋1－2＝e －1＞0， 所以函数f (x )的零点a ∈(0,1)； 由题意，知g ′(x )＝1x ＋1＞0，所以函数g (x )在(0，＋∞)上是单调递增的，又g (1)＝ln1＋1－2＝－1＜0，g (2)＝ln2＋2－2＝ln2＞0， 所以函数g (x )的零点b ∈(1,2)． 综上，可得0＜a ＜1＜b ＜2. 因为f (x )在R 上是单调递增的， 所以f (a )＜f (1)＜f (b )．11．已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎨⎧x ＋14x，x ＞0，x ＋1，x ≤0.(1)求g (f (1))的值；(2)若方程g (f (x ))－a ＝0有4个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．解：(1)利用解析式直接求解得 g (f (1))＝g (－3)＝－3＋1＝－2. (2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在(－∞，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t ＜1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t ＜1)的图象如图，由图象可知，当1≤a ＜54时，函数y ＝g (t )(t ＜1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，54.12．已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f (x )x －4ln x 的零点个数．解：(1)∵f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }，∴设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a ＞0. ∵f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，∴a ＝1. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.(2)∵g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x ＝x －3x －4ln x －2(x ＞0)，∴g′(x)＝1＋3x2－4x＝(x－1)(x－3)x2.令g′(x)＝0，得x＝1或x＝3.当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下：当0＜x≤3时，g(x)≤g(1)＝－4＜0.又因为g(x)在(3，＋∞)上单调递增，因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点，故g(x)在(0，＋∞)上仅有1个零点．13．(2019·河南安阳模拟)设函数f(x)＝ln(x＋1)＋a·(x2－x)，若f(x)在区间(0，＋∞)上无零点，则实数a的取值范围是(A) A．[0,1] B．[－1,0]C．[0,2] D．[－1,1]解析：令f(x)＝0，可得ln(x＋1)＝－a(x2－x)，令g(x)＝ln(x＋1)，h(x)＝－a(x2－x)，∵f(x)在区间(0，＋∞)上无零点，∴g(x)＝ln(x＋1)与h(x)＝－a(x2－x)的图象在y轴右侧无交点．显然当a＝0时符合题意；当a＜0时，作出g(x)＝ln(x＋1)与h(x)＝－a(x2－x)的函数图象如图1所示，显然两函数图象在y轴右侧必有一交点，不符合题意；当a＞0时，作出g(x)＝ln(x＋1)与h(x)＝－a(x2－x)的函数图象如图2所示，若两函数图象在y轴右侧无交点，则h′(0)≤g′(0)，即a≤1.综上，0≤a ≤1，故选A.图1图214．(2019·福建宁德一模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧kx ＋3，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ＜0，若方程f (f (x ))－2＝0恰有三个实数根，则实数k 的取值范围是( C )A ．[0，＋∞)B ．[1,3] C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，－13 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13 解析：∵f (f (x ))－2＝0，∴f (f (x ))＝2，∴f (x )＝－1或f (x )＝－1k (k ≠0)．(1)当k ＝0时，作出函数f (x )的图象如图①所示， 由图象可知f (x )＝－1无解， ∴k ＝0不符合题意；(2)当k ＞0时，作出函数f (x )的图象如图②所示， 由图象可知f (x )＝－1无解且f (x )＝－1k 无解， 即f (f (x ))－2＝0无解，不符合题意；(3)当k ＜0时，作出函数f (x )的图象如图③所示， 由图象可知f (x )＝－1有1个实根， ∵f (f (x ))－2＝0有3个实根， ∴f (x )＝－1k 有2个实根， ∴1＜－1k ≤3，解得－1＜k ≤－13.综上，k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，－13，故选C.15．对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b ＜1.设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数g (x )＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同的交点，则k 的取值范围是 [－2,1) .解析：解不等式x 2－1－(4＋x )≥1，得x ≤－2或x ≥3，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ∈(－∞，－2]∪[3，＋∞)，x 2－1，x ∈(－2，3).函数g (x )＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同的交点转化为函数f (x )的图象和直线y ＝－k 恰有三个不同的交点．作出函数f (x )的图象如图所示，所以－1＜－k ≤2，故－2≤k ＜1.16．(2019·郑州模拟)若a ＞1，设函数f (x )＝a x ＋x －4的零点为m ，函数g (x )＝log a x ＋x －4的零点为n ，则1m ＋1n 的最小值为 1 .解析：设F (x )＝a x ，G (x )＝log a x ，h (x )＝4－x ，则h (x )与F (x )，G (x )的交点A ，B 横坐标分别为m ，n (m ＞0，n ＞0)．因为F (x )与G (x )关于直线y ＝x 对称， 所以A ，B 两点关于直线y ＝x 对称．又因为y ＝x 和h (x )＝4－x 交点的横坐标为2， 所以m ＋n ＝4.又m ＞0，n ＞0，所以1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ·m ＋n 4＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≥14⎝⎛⎭⎪⎫2＋2n m ×m n ＝1. 当且仅当n m ＝mn ，即m ＝n ＝2时等号成立． 所以1m ＋1n 的最小值为1.。