【红对勾】人教A版高中数学选修2

【红对勾】人教A版高中数学选修2-1单元综合测试一篇一：2019版【名师一号】高中数学(人教版)选修2-1全册综合测试题(含详解)本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网本册综合测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1．已知：2－30：?∈，2＋2＋1≤0，则綈：?∈，2＋2．0．．2解析綈：?∈，2＋2＋1>0∴①不正确，②正确，③不正确．答案6．设α，β，γ是互不重合的平面，，是互不重合的直线，给出下列命题：①若⊥α，⊥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若⊥α，∥β，则α⊥β；④若∥α，⊥α，则⊥其中真命题的个数是()本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网．1．2．3．4解析①正确，②不正确，③正确，④正确．答案7．已知＝(＋1,0,2)，＝(6,2－1,2)，若∥，则与的值分别为()1152．5,2115，－2．－5，－2解析∵∥，∴＝λ，??∴?0??2∴答案82＝2的准线上，则的值为()．2．3．4．422解析设双曲线的焦距为2，由双曲线方程知2＝3＋16，则其左焦点为(316，0)．本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网由抛物线方程2＝2知其准线方程为＝－2，由双曲线的左焦点在抛物线的准线上知，223＋16＝4>0，解得＝4答案229．已知双曲线－1的左、右焦点分别为1、2，点在双曲线上，且|1|＝4|2|，则此双曲线的离心率的最大值为()433253．2解析，又|又|∴答案10．如图所示，在直三棱柱－111中，＝＝1，本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网∠＝90°，点分别是棱，1的中点，则直线和1所成的角是()．45°．90°．60°．120°解析建立空间直角坐标如图所示．1故与1所成的角为60°答案11．给出下列曲线，其中与直线＝－2－3有交点的所有曲线是()22①4＋2－1＝0；②2＋2＝3；③2＋2＝12－2＝1．①③．②④篇二：新人教版高中数学选修2-2综合测试题【1】及答案高中新课标数学选修（2-2）综合测试题一、选择题1．在数学归纳法证明“1???的左边为（）Ａ．1答案：ＣＢ．1?Ｃ．1?Ｄ．1?221??1??(?1，??)”时，验证当?1时，等式1?1?∞)上是增函数，2．已知三次函数()?3?(4?1)2?(152?2?7)?2在?(?∞，则3的取值范围为（）Ａ．?2或?4Ｂ．?4???2Ｃ．2??4Ｄ．以上皆不正确答案：Ｃ3．设()?(?)?(?)，若?()?，则，，，的值分别为（）Ａ．1，1，0，0答案：ＤＢ．1，0，1，0Ｃ．0，1，0，1Ｄ．1，0，0，1，，且在点(2，?1)处的切线平行于直线??3，4．已知抛物线?2??通过点(11)则抛物线方程为（）Ａ．?32?11?9Ｃ．?32?11?9答案：Ａ5．数列??满足?11?2，0≤≤，?6?2??若1?，则2019的值为（）17?2?1≤?1，??2Ｂ．?32?11?9Ｄ．??32?11?9Ａ．67Ｂ．57Ｃ．37Ｄ．17答案：Ｃ6．已知，是不相等的正数，?，?，则，的关系是（）Ａ．?答案：ＢＢ．?Ｃ．?Ｄ．不确定?2(?)不可能在（）1?2Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限答案：Ａ，?的运算分别对应下图中的8．定义?，?，?7．复数?Ｄ．第四象限（1），（2），（3），（4），那么，图中（Ａ），（Ｂ）可能是下列（）的运算的结果（）Ａ．?，?Ｂ．?，?Ｃ．?，?Ｄ．?，?答案：Ｂ9．用反证法证明命题“，?，如果可被5整除，那么，至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（）Ａ．，都能被5整除Ｂ．，都不能被5整除Ｃ．不能被5整除Ｄ．，有1个不能被5整除答案：Ｂ10．下列说法正确的是（）Ａ．函数?有极大值，但无极小值Ｂ．函数?有极小值，但无极大值Ｃ．函数?既有极大值又有极小值Ｄ．函数?无极值答案：Ｂ11．对于两个复数????11?，???，有下列四个结论：①???1；②?1；③?1；?22?④?3??3?1．其中正确的个数为（）Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．4答案：Ｂ12．设()在[，]上连续，则()在[，]上的平均值是（）Ａ．()?()2Ｂ．?()Ｃ．1()?2Ｄ．1()??答案：Ｄ二、填空题13．若复数?2(2?3?3)?2(?3)为实数，则的值为答案：414．一同学在电脑中打出如下图形（○表示空心圆，●表示实心圆）○●○○●○○○●○○○○●若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2019年圆中有实心圆的个数为．答案：61，2]上的最大值为3，最小值为?29，则，的15．函数()?3?62?(?0)在区间[?1值分别为．答案：2，316．由2?4与直线?2?4所围成图形的面积为答案：9三、解答题17．设??且???1，求?，2，3，4时的值，归纳猜测的值．（先观察?1?的值．）解：当?1时，???1；当?2时，有2?2?1；当?3时，有3?3?(?)(2?2?)，而???1，∴1?2?1，?0．∴3?3??1．当?4时，有4?4?(2?2)2?222?1．由以上可以猜测，当??时，可能有??(?1)成立．18．设关于的方程2?(??)?(2?)?0，（1）若方程有实数根，求锐角?和实数根；π（2）证明：对任意??π?(?)，方程无纯虚数根．2解：（1）设实数根为，则2?(??)?(2?)?0，即(2???2)?(?1)?0．，?2???2?0，???1由于，??，那么?????1．?1?1??又0???π，2，???1?得?π??．??4（2）若有纯虚数根?(??)，使(?)2?(??)(?)?(2?)?0，即(??2???2)?(???1)?0，???2???2?0，由?，??，那么????1?0，?由于??2???2?0无实数解．π故对任意??π?(?)，方程无纯虚数根．20)是函数()?3?与()?2?的图象的一个公共点，两函数的19．设?0，点(，图象在点处有相同的切线．（1）用表示，，；，3)上单调递减，求的取值范围．（2）若函数?()?()在(?10)，所以()?0，即3??0．解：（1）因为函数()，()的图象都过点(，因为?0，所以??2．()?0，即2??0，所以?．0)处有相同的切线，又因为()，()在点(，所以?()??()，而?()?32?，?()?2，所以32??2．将??2代入上式得?．因此???3．故??2，?，??3．（2）?()?()?3?2?2?3，??32?2?2?(3?)(?)．当??(3?)(?)?0时，函数?()?()单调递减．由??0，若?0，则???；3若?0，则???．3????，3)???，?或(?1，3)??，??．，3)上单调递减，则(?1由题意，函数?()?()在(?13??3??所以≤?9或≥3．，3)上不是单调递减的．又当?9??3时，函数?()?()在(?1?9?所以的取值范围为??∞，?∞?．?3，20．下列命题是真命题，还是假命题，用分析法证明你的结论．命题：若??，且???0?解：此命题是真命题．∵???0，??，∴?0，?0．?，即证2??32，也就是证(?)2??32，篇三：【红对勾】2019-2019学年高中数学必修二(人教版)：模块综合测试模块综合试题时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．下列命题正确的是()．四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形．一条直线和两条平行直线都相交，则三条直线共面．两两平行的三条直线一定确定三个平面．和两条异面直线都相交的直线一定是异面直线解析：此题主要考查三个公理及推论的应用，两条平行线确定一个平面，第三条直线与其相交，由公理1可知，这三条直线共面，故正确．答案：2．已知直线(－2)＋－1＝0与直线2＋3＋5＝0平行，则的值为()．－64．－5．645－22解析：由题意可知两直线的斜率存在，且－＝－3＝6答案：3．圆台侧面的母线长为2，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的面积之和是()．3π2．5π2．4π2．6π2解析：设圆台上底面半径为，则下底面半径为2，如图所示，∠＝30°，在△′′中，＝30°，′∴′＝22在△中，30°，∴＝4∴－′＝′，即4－2＝2，＝∴＝1＋2＝π2＋π(2)2＝5π2＝5π2答案：4．若直线过点(3,4)，且点(－3,2)到直线的距离最远，则直线的方程为()．3－－5＝0．3＋＋13＝0．3－＋5＝0．3＋－13＝0解析：当⊥时，符合要求．4－21∵＝，∴的斜率为－3，3＋33∴直线的方程为－4＝－3(－3)，即3＋－13＝0答案：5．过原点且倾斜角为60°的直线被圆2＋2－4＝0所截得的弦长为()36．2．23解析：直线方程为3，圆的标准方程为2＋(－2)2＝4，圆心(0,2)到直线3的距离22－1＝3答案：6．如图，在三棱锥－中，1，2分别是△和△的重心，则直线12与的位置关系是()．相交．异面．平行．以上都有可能|3×0－2|?3?＋?－1?22＝1故所求弦长＝题图答图解析：连接1，2并延长分别交于点，交于点∵＝，∴12∥12∵，分别为，的中点，∴∥故12∥答案：7．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应的截面面积分别为1，2，3，则()．14，则圆的位置满足()．截两坐标轴所得弦的长度相等．与两坐标轴都相切．与两坐标轴相离．上述情况都有可能解析：在圆的方程中令＝0得2＋＋＝0∴圆被轴截得的弦长为|1－2|＝－4同理得圆被轴截得的弦长为－4＝－4故选答案：9．在如图所示的空间直角坐标系－中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()．①和②．③和①．④和③．④和②解析：由三视图可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形(三个顶点坐标分别是(0,0,2)，(0,2,0)，(0,2,2))且内有一虚线(一直角顶点与另一直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图在底面射影是一个斜三角形，三个顶点坐标分别是(0,0,0)，(2,2,0)，(1,2,0)，故俯视图是②故选答案：10．在正方体－1111中，，分别是正方形11和正方形的中心，是1的中点，设，1与所成的角分别为α，β，则α＋β等于()．120°．90°．75°．60°解析：根据异面直线所成角的定义知α＋β＝90°答案：11．已知点(，)是直线＋＋4＝0(>0)上一动点，，。

课时作业12 椭圆几何性质的应用时刻：45分钟 分值：100分一、选择题(每题6分，共36分)1．线段|AB|＝4，N 为AB 的中点，动点P 知足条件|PA|＋|PB|＝6，当P 点在同一平面内运动时，|PN|的最大值M ，最小值m 别离是( )A ．M ＝4，m ＝ 3B ．M ＝3，m ＝5C ．M ＝5，m ＝ 5D ．M ＝3，m ＝3解析：由|PA|＋|PB|＝6>|AB|＝4，∴P 的轨迹是以A 、B 为核心，N 为中心的椭圆．那么M ＝|PN|max ＝a ＝3，m ＝|PN|min ＝b ＝a 2－c 2＝9－4＝ 5.答案：B2．已知点(m ，n)在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，那么2m ＋4的取值范围是( ) A ．[4－23，4＋23] B ．[4－3，4＋3]C ．[4－22，4＋22]D ．[4－2，4＋2]解析：由8x 2＋3y 2＝24，得x 23＋y 28＝1.∴－3≤m≤3.∴4－23≤2m＋4≤4＋2 3.答案：A3．已知椭圆x 24＋y 2＝1的核心为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，那么点M 到y 轴的距离为( ) A .233 B .263C .33D .3 解析：由题意知，F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设M(x 0，y 0)，由MF 1→·MF 2→＝0，可得x 0＝±263.应选B . 答案：B4．假设AB 为过椭圆x 225＋y 216＝1中心的线段，F 1为椭圆的核心，那么△F 1AB 面积的最大值为( ) A ．6 B ．12C ．24D ．48图1解析：如图1，S△ABF 1＝S△AOF 1＋S△BOF 1＝2S△AOF 1.又∵OF 1＝c ＝3为定值，∴点A 与(0,4)重合时，OF 1边上的高最大，现在S△AOF 1的面积最大为12×4×3＝6. ∴S△ABF 1的最大值为12.答案：B5．椭圆x 216＋y 24＝1上的点到直线x ＋2y －2＝0的最大距离是( )A ．3B .11C ．2 2D .10图2解析：设与直线x ＋2y －2＝0平行的直线为x ＋2y ＋m ＝0与椭圆联立得，(－2y －m)2＋4y 2－16＝0，即4y 2＋4my ＋4y 2－16＋m 2＝0得2y 2＋my －4＋m 24＝0. Δ＝m 2－8(m 24－4)＝0，即－m 2＋32＝0，∴m＝±4 2.∴两直线间距离最大是当m ＝42时，d max ＝|2＋42|5＝10.答案：D 6．过点M(－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，那么k 1k 2的值为( )A ．2B ．－2C .12D ．－12图3解析：设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P(x 0，y 0)则x 212＋y 21＝1 ① x 222＋y 22＝1 ② ①－②得x 1＋x 2x 1－x 22＝－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22y 1＋y 2＝－x 02y 0. ∵k 1＝y 1－y 2x 1－x 2，k 2＝y 0x 0， ∴k 1＝－12k 2.∴k 1·k 2＝－12. 答案：D二、填空题(每题8分，共24分)7．过椭圆x 25＋y 24＝1的右核心作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB 的面积为________．解析：由已知可得直线方程为y ＝2x －2，联立方程得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得A(0，－2)，B(53，43)． ∴S △AOB ＝12|OF||y A －y B |＝53. 答案：538．假设F 1，F 2是椭圆C ：x 28＋y 24＝1的核心，那么在C 上知足PF 1⊥PF 2的点P 的个数为________． 解析：∵椭圆C ：x 28＋y 24＝1，∴c ＝2. ∴F 1(－2,0)，F 2(2,0)，其短轴的端点为B(0,2)，A(0，－2)，∴∠F 1BF 2＝∠F 1AF 2＝90°.又短轴端点与F 1，F 2连线所成的角是椭圆上动点P 与F 1，F 2连线所成角中的最大角，∴在C 上知足PF 1⊥PF 2的点有2个．答案：29．假设直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，那么过点P(m ，n)的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为________．解析：∵直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点 ∴|－4|m 2＋n 2>2∴m 2＋n 2<4即点P(m ，n)在以原点为圆心，以2为半径的圆内，故直线mx ＋ny ＝4与椭圆x 29＋y 24＝1也有两个交点． 答案：2三、解答题(共40分)10．(10分)已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m ，(1)当直线和椭圆有公共点，求实数m 的取值范围．(2)求被椭圆截得的最长线段所在的直线方程．解：(1)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，消去y ，整理得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0(*)．假设直线和椭圆有公共点，那么Δ＝(2m)2－20(m 2－1)≥0，即m 2≤54，解得－52≤m≤52. (2)设直线y ＝x ＋m 与椭圆4x 2＋y 2＝1交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，对方程(*)，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝m 2－15.|AB|＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2] ＝2[－2m 52－4m 2－15]＝2510－8m 2. 当m ＝0时，线段|AB|取最大值2105，现在直线方程为y ＝x.11．(15分)已知中心在原点的椭圆C 的两个核心和椭圆C 1：4x 2＋9y 2＝36的两个核心是一个正方形的四个极点，且椭圆C 通过点A(2，－3)．(1)求椭圆C 的方程；(2)假设PQ 是椭圆C 的所截线段，O 是坐标原点，OP ⊥OQ 且P 点的坐标为(2，23)，求点Q 的坐标． 解：(1)由已知C 1：x 29＋y 24＝1得核心F 1′(－5，0)，F 2′(5，0)． 又椭圆C 与C 1的核心F 1，F 2，F 1′，F 2′是一个正方形的四个极点，椭圆的中心在原点， ∴F 1，F 2关于原点对称．∴F 1(0，－5)，F 2(0，5)．故设C ：x 2b 2＋y 2a2＝1(a>b>0)， ∵椭圆C 过点A(2，－3)，∴4b 2＋9a 2＝1且a 2－b 2＝5. 解出a 2＝15，b 2＝10.∴椭圆C 的方程为x 210＋y 215＝1. (2)设Q(x 0，y 0)，那么由OP ⊥OQ 得k OP ·k OQ ＝232·y 0x 0＝－1， 即y 0＝－16x 0.又∵x 2010＋y 2015＝1， 3x 20＋2(－16x 0)2＝30，∴x 0＝±3，点Q 的坐标为(3，－62)或(－3，62)． 12．(15分)(2020·北京高考)已知椭圆G ：x 24＋y 2＝1.过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点．(1)求椭圆G 的核心坐标和离心率；(2)将|AB|表示为m 的函数，并求|AB|的最大值．解：(1)由已知得a ＝2，b ＝1，因此c ＝a 2－b 2＝ 3.因此椭圆G 的核心坐标为(－3，0)，(3，0)，离心率为e ＝c a ＝32. (2)由题意知，|m|≥1.当m ＝1时，切线l 的方程为x ＝1，点A ，B 的坐标别离为(1，32)，(1，－32)． 现在|AB|＝ 3.当m ＝－1时，同理可得|AB|＝3. 当|m|>1时，设切线l 的方程为y ＝k(x －m)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －m ，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－4＝0.设A ，B 两点的坐标别离为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，那么x 1＋x 2＝8k 2m 1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2m 2－41＋4k 2. 又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|km|k 2＋1＝1，即m 2k 2＝k 2＋1. 因此|AB|＝x 2－x 12＋y 2－y 12 ＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2] ＝1＋k 2[64k 4m 21＋4k 22－44k 2m 2－41＋4k 2] ＝43|m|m 2＋3. 由于当m ＝±1时，|AB|＝3，因此|AB|＝43|m|m 2＋3，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)． 因为|AB|＝43|m|m 2＋3＝43|m|＋3|m|≤2， 且当m ＝±3时，|AB|＝2，因此|AB|的最大值为2.。

课时作业23 空间向量与平行关系时刻：45分钟 分值：100分一、选择题(每题6分，共36分)1．假设直线l 1、l 2的方向向量别离为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2,3,2)，那么( )A ．l 1∥l 2B ．l 1⊥l 2C ．l 1、l 2相交但不垂直D ．不能确信解析：a ·b ＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0，∴a ⊥b .∴l 1⊥l 2.答案：B2．已知平面α的一个法向量是n ＝(1,1,1)，A (2,3,1)，B (1,3,2)，那么直线AB 与平面α的关系是() A ．AB ∥α B ．AB ⊥αC ．AB ⊄αD ．AB ∥α或AB ⊂α解析：由已知AB →＝(－1,0,1)，AB →·n ＝－1×1＋1×0＋1×1＝0.∴AB →⊥n .∴AB ∥α或AB ⊂α.答案：D3．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，假设α∥β，那么λ的值是()A ．－ 103B ．6C ．－6 D.103解析：∵α∥β，∴α的法向量与β的法向量也相互平行．∴24＝3λ＝－1－2.∴λ＝6.答案：B4．已知平面α上的两个向量a ＝(2,3,1)，b ＝(5,6,4)，那么平面α的一个法向量为( )A ．(1，－1,1)B ．(2，－1,1)C ．(－2,1,1)D ．(－1,1，－1)解析：显然a 与b 不平行，设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )，那么⎩⎪⎨⎪⎧a ·n ＝0，b ·n ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋z ＝0，5x ＋6y ＋4z ＝0.令z ＝1，得x ＝－2，y ＝1， ∴n ＝(－2,1,1)．答案：C5．假设空间中A (1,2,3)，B (－1,0,5)，C (3,0,4)，D (4,1,3)，那么直线AB 与CD 的关系为( )A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．无法确信解析：AB →＝(－2，－2,2)，CD →＝(1,1，－1)，∴AB →＝－2CD →.∴AB →∥CD →.∴AB ∥CD .答案：A图16．如图1，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 别离为棱AB ，CD ，BC 的中点，假设平行六面体的各棱长均相等，那么①A 1M ∥D 1P ；②A 1M ∥B 1Q ；③A 1M ∥平面DCC 1D 1；④A 1M ∥平面D 1PQB 1.以上正确的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：A 1M →＝A 1A →＋AM →＝A 1A →＋12AB →， D 1P →＝D 1D →＋DP →＝A 1A →＋12AB →，∴A 1M →∥D 1P →，从而A 1M ∥D 1P .∴①③④正确．答案：C二、填空题(每题8分，共24分)7．已知直线l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为(1，12，2)，且l ∥α，那么m ＝________. 解析：∵l ∥α，∴l 的方向向量与α的法向量垂直．∴(2，m,1)·(1，12，2)＝2＋12m ＋2＝0. 解得m ＝－8.答案：－88．假设直线l 的一个方向向量为a ＝(1,1,1)，向量m ＝(1，－1,0)及向量n ＝(0,1，－1)都与平面α平行，那么l 与α的关系为________．解析：a ·m ＝1×1＋1×(－1)＋1×0＝0，∴a ⊥m .a ·n ＝1×0＋1×1＋1×(－1)＝0，∴a ⊥n .显然m 与n 不平行，∴l ⊥α.答案：l ⊥α9．已知直线l 与平面α垂直，直线的一个方向向量为u ＝(1,3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，那么z ＝________.解析：由已知平面α的法向量为u ＝(1,3，z )．而又∵v 与面α平行，∴u ·v ＝1×3＋3×(－2)＋z ×1＝0.解得z ＝3.答案：3三、解答题(共40分)10．(10分)已知向量a ＝(1,3,5)，b ＝(2,4,6)，是不是存在向量n ，使得n 与x 轴垂直，且知足n ·a ＝12，n ·b ＝14?解：设存在n ＝(x ，y ，z )知足条件，x 轴的一个方向向量为(1,0,0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，x ＋3y ＋5z ＝12，2x ＋4y ＋6z ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－1，z ＝3.故所求向量为n ＝(0，－1,3)．11．(15分)已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、M 、N 别离是BC 、AE 、CD 1的中点，AD ＝AA 1＝a ，AB ＝2a .求证：MN ∥平面ADD 1A 1.证明：以D 为原点，别离以DA 、DC 、DD 1为x 轴、y 轴、z 轴成立空间直角坐标系，那么A (a,0,0)，B (a,2a,0)，C (0,2a,0)，D 1(0,0，a )，E (12a,2a,0)， 图2∵M 、N 别离为AE 、CD 1的中点，∴M (34a ，a,0)，N (0，a ，a 2)． ∴MN →＝(－34a,0，a 2)．取n ＝(0,1,0)，显然n ⊥平面A 1D 1DA ，且MN →·n ＝0， ∴MN →⊥n .又MN ⊄平面ADD 1A 1.∴MN ∥平面ADD 1A 1.图312．(15分)如图3，四棱锥P －ABCD 中，PA⊥平面ABCD ，PB 与底面成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA ＝BC ＝12AD ＝1，问在棱PD 上是不是存在一点E ，使CE∥平面PAB ？假设存在，求出E 点的位置；假设不存在，说明理由．解：别离以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴成立空间直角坐标系，∴P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)．图4设E(0，y ，z)，则PE →＝(0，y ，z －1)，PD →＝(0,2，－1)．∵PE →∥PD →，∴y(－1)－2(z －1)＝0.①∵AD →＝(0,2,0)是平面PAB 的法向量，假设CE∥面PAB ，那么AD →·CE →＝0，而CE →＝(－1，y －1，z)，∴0×(－1)＋2(y －1)＋0×z＝0.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1，z ＝12，∴E 的坐标为(0,1，12)， 即存在点E 为PD 的中点时，使CE∥面PAB.。

1．下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是()解析：画两个相交平面时，被遮住的部分用虚线表示．答案：D2．若点Q在直线b上，b在平面β内，则Q，b，β之间的关系可记作()A．Q∈b∈β B．Q∈bβC．Q bβ D．Q b∈β解析：∵点Q(元素)在直线b(集合)上，∴Q∈b.又∵直线b(集合)在平面β(集合)内，∴b β，∴Q∈bβ.答案：B3．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________.解析：∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.答案：C4．(1)空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定________个平面．(2)空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定________个平面．解析：(1)可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面．(2)可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面．答案：(1)4(2)75．如下图，已知D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点．(1)作直线AB与平面α的交点P；(2)求证：D，E，P三点共线．解：(1)延长AB交平面α于点P，如下图所示．题图答图(2)证明：∵平面ABC∩平面α＝DE，P∈AB，AB平面ABC，∴P∈平面ABC.又∵P∈α，∴P在平面α与平面ABC的交线DE上，即P∈DE，∴D，E，P三点共线．课堂小结——本课须掌握的两大问题1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚．2．在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时要体会三个公理的作用，体会先部分再整体的思想.。

新2023人教A版高中数学选修二课本答案第一章空间解析几何1.1 点、向量和坐标1.1.1 点、向量及其坐标的概念•点是空间中最基本的概念，表示为大写字母，如A、B、C。

•向量是由两个点确定的有向线段，表示为小写字母加箭头，如$\\vec{AB}$、$\\vec{BC}$。

•坐标是用有序数对表示的点的位置，一般用小写字母表示，如A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)。

1.1.2 向量的线性运算•向量的加法：$\\vec{AB} + \\vec{BC} = \\vec{AC}$•向量的减法：$\\vec{AB} - \\vec{AC} = \\vec{CB}$•向量的数乘：$k\\vec{AB} = \\vec{BA}$1.1.3 向量的数量积和向量积•向量的数量积：$\\vec{AB} \\cdot \\vec{AC} = AB \\cdot AC \\cdot \\cos{\\theta}$•向量的向量积：$\\vec{AB} \\times \\vec{AC} = \\begin{vmatrix} \\vec{i} & \\vec{j} & \\vec{k} \\\\a_1 & a_2 & a_3 \\\\ b_1 & b_2 & b_3\\end{vmatrix}$1.2 空间中的位置关系和距离1.2.1 点到平面的距离•点A到平面 $\\pi$ 的距离d的公式为：$d = \\frac{{\\left| Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D \\right|}}{{\\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}}$1.2.2 直线与平面的位置关系•直线与平面相交：直线与平面有一个交点。

•直线与平面平行：直线的方向向量与平面的法向量垂直。

•直线在平面内：直线上的任意一点均在平面内。

•直线垂直于平面：直线的方向向量与平面的法向量平行。

课时作业1 命题时刻：45分钟 分值：100分一、选择题(每题6分，共36分)1．以下语句是命题的是( )A ．偶函数的和是偶函数吗？B ．sin 45°＝ 3.C ．求证：两条相交直线必交于一点．D ．x 2－4x －3＝0.答案：B2．已知直线m ，n 及平面α，β，那么以下命题正确的选项是( )A . ⎭⎪⎬⎪⎫m∥αn∥β⇒α∥βB . ⎭⎪⎬⎪⎫m∥αm∥n ⇒n∥α C . ⎭⎪⎬⎪⎫m⊥αα⊥β⇒m∥β D . ⎭⎪⎬⎪⎫m⊥αn∥α⇒m⊥n 解析：假设m ⊆β，n ⊆α，有可能α与β相交，应选项A 错；选项B 中，n 有可能在平面α内；选项C 中，m 有可能在平面β内．应选D .答案：D3．假设A 、B 是两个集合，那么以下命题中是真命题的是( )A ．若是A ⊆B ，那么A∩B＝AB ．若是A∩B＝A ，那么(∁U A)∩B＝ØC ．若是A ⊆B ，那么A∪B＝AD ．若是A∪B＝A ，那么A ⊆B图1解析：用集合的Venn 图处置此题，从图1可知，选项A 正确；选项B ，(∁U A)∩B≠Ø；选项C 中，A∪B ＝B.而选项D 应该是A ⊇B.答案：A4．以下命题是真命题的是( )A ．假设1x ＝1y，那么x ＝y B ．假设x 2＝1，那么x ＝1 C ．假设x ＝y ，那么x ＝y D ．假设x<y ，那么x 2<y 2解析：选项A ，由1x ＝1y，得x ＝y ；选项B ，由x 2＝1，得x ＝±1；选项C ，当x ＝y ＝－1时，x ，y 没成心义；选项D ，当x ＝－3，y ＝1时，x<y ，但x 2＝9>1＝y 2.应选A .答案：A5．给出以下三个命题：①四个非零实数a ，b ，c ，d 知足ad ＝bc ，那么a ，b ，c ，d 成等比数列；②假设整数a 能被2整除，那么a 是偶数；③△ABC 中，假设A>30°，那么sin A>12. 其中为假命题的序号是( ) A ．② B ．①②C ．②③D ．①③解析：①中，假设a ＝－1，b ＝52，c ＝2，d ＝－5知足ad ＝bc ，但a ，b ，c ，d 不成等比数列，故是假命题；③中，假设150°<A<180°时，sin A<12，故是假命题． 答案：D6．下面的命题中是真命题的是( )A ．y ＝sin 2x 的最小正周期为2πB ．假设方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的两根同号，那么c a >0C ．若是M ⊆N ，那么M∪N＝MD ．在△ABC 中，假设AB →·BC →>0，那么B 为锐角解析：y ＝sin 2x ＝1－cos 2x 2，T ＝2π2＝π，故A 为假命题； 当M ⊆N 时，M∪N＝N ，故C 为假命题；当AB →·BC →>0时，向量AB →与BC →的夹角为锐角，B 为钝角，故D 为假命题．答案：B二、填空题(每题8分，共24分)7．命题“末位数字是4的整数必然能被2整除”，写成“假设p ，那么q”的形式为__________________________________________．答案：假设一个整数的末位数字是4，那么它必然能被2整除8．有以下四个命题：①22340能被3或5整除；②不存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0；③对任何的实数x ，均有x ＋1>x ；④方程x 2－2x ＋3＝0有两个不等的实根．其中假命题有________．(只填序号)解析：可易知①②③为真命题；④中Δ＝4－12<0，方程x 2－2x ＋3＝0无实根，因此④为假命题． 答案：④9．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：假设函数f (x )＝3＋log 2x 的图象与g (x )的图象关于________对称，那么函数g (x )＝________.(注：填上你以为能够成为真命题的一种情形即可，没必要考虑所有可能的情形)答案：①关于x 轴对称时，g (x )＝－3－log 2x ；②关于y 轴对称时，g (x )＝3＋log 2(－x )；③关于(0,0)对称时，g (x )＝－3－log 2(－x )．三、解答题(共40分)10．(10分)将以下命题改写成“假设p ，那么q ”的形式，并判定其真假．(1)末位数字是0或5的整数，能被5整除；(2)方程x 2－x ＋1＝0有两个实数根．解：(1)假设一个整数的末位数字是0或5，那么那个数能被5整除．真命题．(2)假设一个方程是x 2－x ＋1＝0，那么它有两个实数根．假命题．11．(15分)命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，求实数a 的取值范围． 解：因为ax 2－2ax －3>0不成立， 因此ax 2－2ax －3≤0恒成立．(1)当a ＝0时，－3≤0成立；(2)当a ≠0时，应知足：⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，Δ≤0， 解之得－3≤a <0.由(1)(2)得a 的取值范围为[－3,0]．12．(15分)已知集合A ＝{x|x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x|x<0}．假设A∩B＝Ø是假命题，求实数m 的取值范围．解：设全集U ＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m ＋6)≥0}＝{m|m≤－1或m≥32}． 假设设方程x 2－4mx ＋(2m ＋6)＝0的两根别离为x 1、x 2，当两根均为非负实根时，有 ⎩⎪⎨⎪⎧ m∈U，x 1＋x 2≥0，x 1x 2≥0，解得m≥32. 而{m|m≥32}关于U 的补集是{m|m≤－1}． ∴实数m 的取值范围是{m|m≤－1}．。

【红对勾】人教A版高中数学选修2-1单元综合测试一篇一：【红对勾】人教版高中数学选修2-1单元综合测试二单元综合测试二时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．椭圆2＋42＝1的离心率为()33242223133解析：∵＝1，＝＝－＝，∴＝＝，故选222答案：2．(2019·新课标全国卷)已知双曲线的中心为原点，(3,0)是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为(－12，－15)，则的方程为()2222＝1＝136452222＝1＝16354解析：∵(3,0)，的中点(－12，－15)，－15－0∴＝1－12－322又∵(3,0)，可设双曲线的方程为＝1，易知2＋2＝9①再设(1，1)，(2，2)，则有22－1②22－1③22221－21－2由②－③可得＝?1－2??1＋2??1＋2??1－2?即＝1－221＋2∴＝＝11－21＋21＋21＋2又∵12＝－15，22∴2－12式可化为(＝1，－1525∴＝④4由①和④可知2＝5，2＝4，22∴双曲线的方程为－＝1，故选择45答案：223．双曲线1的离心率∈(1,2)，则的取值范围是()4．(－∞，0)．(－12,0)．(－3,0)．(－60，－12)24－解析：∵＝4，＝－，∴＝4－∵∈(1,2)，∴∈4222(1,4)，∈(－12,0)．答案：4．若点到直线＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点的轨迹为()．圆．椭圆．双曲线．抛物线解析：设(2,0)，由题设可知，把直线＝－1向左平移一个单位即为直线＝－2，则点到直线＝－2的距离等于||，所以动点的轨迹为抛物线，故选答案：15．已知两定点1(－1,0)，2(1,0)，且|12|是|1|与|2|的等2差中项，则动点的轨迹是()．椭圆．双曲线．抛物线．线段解析：依题意知|1|＋|2|＝|12|＝2，作图可知点的轨迹为线段，故选答案：6．(2019·课标全国高考)设直线过双曲线的一个焦点，且与的一条对称轴垂直，与交于，两点，||为的实轴长的2倍，则的离心率为()23．2．322解析：不妨设双曲线为－＝1(>0，>0)，并设过2(,0)2222且垂直于轴，则易求得||＝，∴＝2×2，2＝22，∴离心率＝答案：1＋＝3，故选7．过抛物线2＝4的焦点作一条直线与抛物线相交于、两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()．有且仅有一条．有且仅有两条．有无穷多条．不存在解析：由定义||＝5＋2＝7，∵||＝4，∴这样的直线有且仅有两条．答案：228．已知(4,2)是直线被椭圆1所截得的线段的中点，则369的方程是()．－2＝0．＋2－4＝0．2＋3＋4＝0．＋2－8＝0221－2解析：设与椭圆的两交点分别为(1，1)、(2，2)，则得21－221－291，所以＝－3621－21故方程为－2＝－(－4)，即＋2－8＝02答案：229．过椭圆＝1的右焦点作轴的垂线交椭圆于、两点，42已知双曲线的焦点在轴上，对称中心在坐标原点且两条渐近线分别过、两点，则双曲线的离心率为()1222632222解析：2，1)，(2，－1)，设双曲线为＝1(>0，>0)，2渐近线方程为＝，因为、在渐近线上，所以1＝2＝2，＝＋＝621＋?＝2答案：2210．双曲线＝1(≠0)有一个焦点与抛物线2＝4的焦点重合，则＋的值为()．3．2．1．以上都不对22解析：抛物线＝4的焦点为(1,0)，故双曲线－＝1中>0，2>0，且＋＝2＝1答案：2211．设1，2是双曲线－1(>0，<0)的左、右焦点，点→·→＝0，且|→|·→|＝2(＝＋)，则双在双曲线上，若|1212曲线的离心率为()1＋51＋3221＋2．22→·→解析：由则由勾股定理，12＝0可知△12为直角三角形，→|2＋|→|2＝42，①得|12→|－|→|)2＝42，②由双曲线的定义，得(|12→|·→又|1|2|＝2，③由①②③得2－－2＝0，即2－－1＝0，篇二：【红对勾】人教版高中数学选修2-1单元综合测试三单元综合测试三时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)→＝，→＝，→＝，则→1．直三棱柱－111，若11＝()．＋－．－＋．－＋＋．－＋－→→→→解析：结合图形，得1＝1＋＋＝－－＋＝－＋－，故选答案：2．已知＝(－5,6,1)，＝(6,5,0)，则与()．垂直．不垂直也不平行．平行且同向．平行且反向答案：3．已知＝(2，－1,3)，＝(－4,2，)，＝(1，－,2)，若(＋)⊥，则等于()．4．－41．－62解析：＋＝(－2,1,3＋)，由(＋)⊥，∴(＋)·＝0∴－2－＋2(3＋)＝0，得＝－4答案：4．若＝(1，λ，2)，＝(2，－1,2)，且，的夹角的余弦值为8λ等于()9．2．－222．－2或．2或－555582解析：·＝2－λ＋4＝6－λ＝5＋λ×3×解得λ＝－2或955答案：5．已知空间四边形每条边和对角线长都等于，点、、分别是、、的中点，则2是下列哪个选项的计算结果()→·→．2→·→．2→·→．2→·→．2→·→＝－2，错；2→·→＝－2，错；2→·→＝解析：212－，错；只有对．2答案：→|取最小值时，6．若(,5－,2－1)，(1，＋2,2－)，当|的值等于()8．19．－7819714→＝(1－,2－3，－3＋3)，则|→|＝解析：?1－?＋?2－3?＋?－3＋3?＝14－32＋19＝858→|取最小值，故选14?－2＋，故当＝|777答案：7．已知，是边长为1的正方形，⊥平面，则异面直线与所成的角为()．30°．45°．60°．90°解析：如图1，由于∥且∠＝45°，所以异面直线与所成的角为45°，故选答案：图1图28．如图2所示，正方体－′′′′中，是→→〉的值为()的中点，则〈′，1210215211315解析：以，，′所在的直线分别为，，轴建立直角坐标系－，设正方体棱长为1，则(0,0,0)，′(1,1,1)，(0,1,0)，?1??1?→→→→〉???120，则′＝(1,1,1)，＝1，－2，0?，〈′，????15→→〉＝210〈′，1515答案：图39．如图3，＝＝＝1，?面，⊥面，⊥，与面成30°角，则、间的距离为()．1．223→|2＝|→＋→＋→|2＝|→|2＋|→|2＋|→|2＋2→·→＋解析：|→·→＋2→·→＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×120°→|2＝2∴|2答案：10．在以下命题中，不正确的个数为()①||－||＝|＋|是、共线的充要条件；②若∥，则存在唯一的实数λ，使＝λ；→＝2→－③对空间任意一点和不共线的三点、、，若→－→，则、、、四点共面；2④若{，，}为空间的一个基底，则{＋，＋，＋}构成空间的另一个基底；⑤|(·)·|＝||·||·||．2．3．4．5解析：①错，应为充分不必要条件．②错，应强调≠0③错，∵2－2－1≠1⑤错，由数量积的运算性质判别．答案：11．在三棱锥－中，△为等边三角形，⊥平面，且＝，则二面角－－的平面角的正切值为()636662解析：设＝＝2，建立空间直角坐标系，平面的一个法向量是＝(1,0,0)，平面的一个法向量是＝(3，1,1)．33333·7则〈，＝＝∴正切值〈，||||||||2171×3〉＝6答案：图412．(2019·辽宁高考)如图4，四棱锥－的底面为正方形，⊥底面，则下列结论中不正确的是()．．．．⊥篇三：新人教版高中数学选修2-2综合测试题【1】及答案高中新课标数学选修（2-2）综合测试题一、选择题1．在数学归纳法证明“1???的左边为（）Ａ．1答案：ＣＢ．1?Ｃ．1?Ｄ．1?221??1??(?1，??)”时，验证当?1时，等式1?1?∞)上是增函数，2．已知三次函数()?3?(4?1)2?(152?2?7)?2在?(?∞，则3的取值范围为（）Ａ．?2或?4Ｂ．?4???2Ｃ．2??4Ｄ．以上皆不正确答案：Ｃ3．设()?(?)?(?)，若?()?，则，，，的值分别为（）Ａ．1，1，0，0答案：ＤＢ．1，0，1，0Ｃ．0，1，0，1Ｄ．1，0，0，1，，且在点(2，?1)处的切线平行于直线??3，4．已知抛物线?2??通过点(11)则抛物线方程为（）Ａ．?32?11?9Ｃ．?32?11?9答案：Ａ5．数列??满足?11?2，0≤≤，?6?2??若1?，则2019的值为（）17?2?1≤?1，??2Ｂ．?32?11?9Ｄ．??32?11?9Ａ．67Ｂ．57Ｃ．37Ｄ．17答案：Ｃ6．已知，是不相等的正数，?，?，则，的关系是（）Ａ．?答案：ＢＢ．?Ｃ．?Ｄ．不确定?2(?)不可能在（）1?2Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限答案：Ａ，?的运算分别对应下图中的8．定义?，?，?7．复数?Ｄ．第四象限（1），（2），（3），（4），那么，图中（Ａ），（Ｂ）可能是下列（）的运算的结果（）Ａ．?，?Ｂ．?，?Ｃ．?，?Ｄ．?，?答案：Ｂ9．用反证法证明命题“，?，如果可被5整除，那么，至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（）Ａ．，都能被5整除Ｂ．，都不能被5整除Ｃ．不能被5整除Ｄ．，有1个不能被5整除答案：Ｂ10．下列说法正确的是（）Ａ．函数?有极大值，但无极小值Ｂ．函数?有极小值，但无极大值Ｃ．函数?既有极大值又有极小值Ｄ．函数?无极值答案：Ｂ11．对于两个复数????11?，???，有下列四个结论：①???1；②?1；③?1；?22?④?3??3?1．其中正确的个数为（）Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．4答案：Ｂ12．设()在[，]上连续，则()在[，]上的平均值是（）Ａ．()?()2Ｂ．?()Ｃ．1()?2Ｄ．1()??答案：Ｄ二、填空题13．若复数?2(2?3?3)?2(?3)为实数，则的值为答案：414．一同学在电脑中打出如下图形（○表示空心圆，●表示实心圆）○●○○●○○○●○○○○●若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2019年圆中有实心圆的个数为．答案：61，2]上的最大值为3，最小值为?29，则，的15．函数()?3?62?(?0)在区间[?1值分别为．答案：2，316．由2?4与直线?2?4所围成图形的面积为答案：9三、解答题17．设??且???1，求?，2，3，4时的值，归纳猜测的值．（先观察?1?的值．）解：当?1时，???1；当?2时，有2?2?1；当?3时，有3?3?(?)(2?2?)，而???1，∴1?2?1，?0．∴3?3??1．当?4时，有4?4?(2?2)2?222?1．由以上可以猜测，当??时，可能有??(?1)成立．18．设关于的方程2?(??)?(2?)?0，（1）若方程有实数根，求锐角?和实数根；π（2）证明：对任意??π?(?)，方程无纯虚数根．2解：（1）设实数根为，则2?(??)?(2?)?0，即(2???2)?(?1)?0．，?2???2?0，???1由于，??，那么?????1．?1?1??又0???π，2，???1?得?π??．??4（2）若有纯虚数根?(??)，使(?)2?(??)(?)?(2?)?0，即(??2???2)?(???1)?0，???2???2?0，由?，??，那么????1?0，?由于??2???2?0无实数解．π故对任意??π?(?)，方程无纯虚数根．20)是函数()?3?与()?2?的图象的一个公共点，两函数的19．设?0，点(，图象在点处有相同的切线．（1）用表示，，；，3)上单调递减，求的取值范围．（2）若函数?()?()在(?10)，所以()?0，即3??0．解：（1）因为函数()，()的图象都过点(，因为?0，所以??2．()?0，即2??0，所以?．0)处有相同的切线，又因为()，()在点(，所以?()??()，而?()?32?，?()?2，所以32??2．将??2代入上式得?．因此???3．故??2，?，??3．（2）?()?()?3?2?2?3，??32?2?2?(3?)(?)．当??(3?)(?)?0时，函数?()?()单调递减．由??0，若?0，则???；3若?0，则???．3????，3)???，?或(?1，3)??，??．，3)上单调递减，则(?1由题意，函数?()?()在(?13??3??所以≤?9或≥3．，3)上不是单调递减的．又当?9??3时，函数?()?()在(?1?9?所以的取值范围为??∞，?∞?．?3，20．下列命题是真命题，还是假命题，用分析法证明你的结论．命题：若??，且???0?解：此命题是真命题．∵???0，??，∴?0，?0．?，即证2??32，也就是证(?)2??32，。

单元综合测试一时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)题号123456789101112 答案一、选择题(每小题5分，共60分)1．下列语句不是命题的有()①x2－3＝0；②与一条直线相交的两直线平行吗？；③3＋1＝5；④5x－3>6.A．①③④B．①②③C．①②④D．②③④答案：C2．命题“若A⊆B，则A＝B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是() A．0 B．2C．3 D．4解析：可设A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，满足A⊆B，但A≠B，故原命题为假命题，从而逆否命题为假命题．易知否命题、逆命题为真．答案：B3．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件解析：直线l与平面α内两相交直线垂直⇔直线l与平面α垂直，故选C.答案：C4．已知p：若a∈A，则b∈B，那么命题綈p是()A．若a∈A，则b∉B B．若a∉A，则b∉BC．若b∉B，则a∉A D．若b∈B，则a∈A解析：命题“若p，则q”的否定形式是“若p，则綈q”．答案：A5．命题“p且q”与命题“p或q”都是假命题，则下列判断正确的是()A．命题“非p”与“非q”真假不同B．命题“非p”与“非q”至多有一个是假命题C．命题“非p”与“q”真假相同D．命题“非p且非q”是真命题解析：p且q是假命题⇒p和q中至少有一个为假，则非p和非q至少有一个是真命题．p或q是假命题⇒p和q都是假命题，则非p和非q都是真命题．答案：D6．已知a，b为任意非零向量，有下列命题：①|a|＝|b|；②(a)2＝(b)2；③(a)2＝a·b，其中可以作为a＝b的必要非充分条件的命题是()A．①B．①②C．②③D．①②③解析：由向量的运算即可判断．答案：D7．已知A和B两个命题，如果A是B的充分不必要条件，那么“綈A”是“綈B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由于“A⇒B，A⇐/ B”等价于“綈A⇐綈B，綈A⇒/ 綈B”，故“綈A”是“綈B”的必要不充分条件．答案：B8．若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由“x＝4”，得a＝(4,3)，故|a|＝5；反之，由|a|＝5，得x＝±4.所以“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要条件．答案：A9．下列全称命题中，正确的是()A．∀x，y∈{锐角}，sin(x＋y)>sin x＋sin yB．∀x，y∈{锐角}，sin(x＋y)>cos x＋cos yC．∀x，y∈{锐角}，cos(x＋y)<sin x＋cos yD．∀x，y∈{锐角}，cos(x－y)<cos x＋sin y解析：由于cos(x－y)＝cos x cos y＋sin x sin y，而当x，y∈{锐角}时，0<cos y<1,0<sin x<1，所以cos(x－y)＝cos x cos y＋sin x sin y<cos x＋sin y，故选项D正确．答案：D10．以下判断正确的是()A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B．命题“∀x∈Z，x3>x2”的否定是“∃x∈Z，x3<x2”C．“φ＝π2”是“函数y＝sin(x＋φ)为偶函数”的充要条件D．“b＝0”是“关于x的二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件解析：A为全称命题；B中否定应为∃x0∈Z，x30≤x20；C中应为充分不必要条件．答案：D11．已知命题p：函数f(x)＝log0.5(3－x)的定义域为(－∞，3)；命题q：若k<0，则函数h(x)＝kx在(0，＋∞)上是减函数，对以上两个命题，下列结论中正确的是() A．命题“p且q”为真B．命题“p或綈q”为假C．命题“p或q”为假D．命题“綈p”且“綈q”为假解析：由题意知p 真，q 假．再进行判断． 答案：D12．已知向量a ＝(x ，y )，b ＝(cos α，sin α)，其中x ，y ，α∈R ，若|a |＝4|b |，则a ·b <λ2成立的一个必要不充分条件是( )A ．λ>3或λ<－3B ．λ>1或λ<－1C ．－3<λ<3D ．－1<λ<1解析：由已知|b |＝1，∴|a |＝4|b |＝4.又∵a ·b ＝x cos α＋y sin α＝x 2＋y 2sin(α＋φ)＝4sin(α＋φ)≤4，由于a ·b <λ2成立，则λ2>4，解得λ>2或λ<－2，这是a ·b <λ2成立的充要条件，因此a ·b <λ2成立的一个必要不充分的条件是λ>1或λ<－1.故选B.答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．“对顶角相等”的否定为________，否命题为________．解析：“对顶角相等”的否定为“对顶角不相等”，否命题为“若两个角不是对顶角，则它们不相等”． 答案：对顶角不相等 若两个角不是对顶角，则它们不相等14．令p (x )：ax 2＋2x ＋1>0，如果对∀x ∈R ，p (x )是真命题，则a 的取值范围是________． 解析：由已知∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋1>0恒成立．显然a ＝0不合题意，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝4－4a <0⇒a >1.答案：a >115．试写出一个能成为(a －2)2(a －1)>0的必要不充分条件________．解析：(a －2)2(a －1)>0的解集记为B ＝{a |a >1且a ≠2}，所找的记为集合A ，则B A . 答案：a >1(不惟一) 16．给定下列结论：①已知命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p ∧綈q ”是假命题； ②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab＝－3；③若sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan α＝5tan β；④圆x 2＋y 2＋4x －2y ＋1＝0与直线y ＝12x ，所得弦长为2.其中正确命题的序号为________(把你认为正确的命题序号都填上)．解析：对于①易知p 真，q 真，故命题p ∧綈q 假，①正确；对于②l 1与l 2垂直的充要条件应为a ＋3b ＝0；对于③利用两角和与差的正弦公式展示整理即得；对于④可求得弦长为455，④错． 答案：①③三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知命题p ：∀非零向量a 、b 、c ，若a ·(b －c )＝0，则b ＝c .写出其否定和否命题，并说明真假．解：綈p ：∃非零向量a 、b 、c ，若a ·(b －c )＝0，使b ≠c .綈p 为真命题．否命题：∀非零向量a 、b 、c ，若a ·(b －c )≠0，则b ≠c .否命题为真命题．18．(12分)给定两个命题P ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立；Q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根．如果P ∧Q 为假命题，P ∨Q 为真命题，求实数a 的取值范围．解：命题P ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立，则“a ＝0”，或“a >0且a 2－4a <0”．解得0≤a <4. 命题Q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根，则Δ＝1－4a ≥0，得a ≤14.因为P ∧Q 为假命题，P ∨Q 为真命题，则P ，Q 有且仅有一个为真命题，故綈P ∧Q 为真命题，或P ∧綈Q 为真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧a <0或a ≥4a ≤14或⎩⎨⎧0≤a <4a >14.解得a <0或14<a <4.所以实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(14，4)．19．(12分)求证：一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是a <－1.证明：一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是：Δ＝4－4a >0⇔a <1，并且a <0，从而a <0.有一个正根和一个负根的充分不必要条件应该是{a |a <0}的真子集，a <－1符合题意．所以结论得证． 20．(12分)已知p ：2x 2－9x ＋a <0，q ：⎩⎨⎧x 2－4x ＋3<0，x 2－6x ＋8<0，且綈p 是綈q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解：由⎩⎨⎧x 2－4x ＋3<0，x 2－6x ＋8<0，得⎩⎨⎧1<x <3，2<x <4，即2<x <3.∴q ：2<x <3.设A ＝{x |2x 2－9x ＋a <0}，B ＝{x |2<x <3}，∵綈p ⇒綈q ，∴q ⇒p .∴B ⊆A .∴2<x <3包含于集合A ，即2<x <3满足不等式2x 2－9x ＋a <0.∴2<x <3满足不等式a <9x －2x 2.∵当2<x <3时，9x －2x 2＝－2(x 2－92x ＋8116－8116)＝－2(x －94)2＋818∈(9，818]，即9<9x －2x 2≤818，∴a ≤9. 21．(12分)给出命题p ：“在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (2cos x ＋1,2cos2x ＋2)和Q (cos x ，－1)，∀x ∈[0，π]，向量OP →与OQ →不垂直．”试判断该命题的真假，并证明．解：命题p 是假命题，证明如下：由OP →和OQ →不垂直，得cos x (2cos x ＋1)－(2cos2x ＋2)≠0，变形得：2cos 2x －cos x ≠0，所以cos x ≠0或cos x ≠12.而当x ∈[0，π]时，cos π2＝0，cos π3＝12，故存在x ＝π2或x ＝π3，使向量OP →⊥OQ →成立，因而p 是假命题．22．(12分)已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.证明：必要性：∵a＋b＝1，∴b＝1－a，∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0，又ab≠0，即a≠0且b≠0，∴a2－ab＋b2＝(a－b2)2＋3b24≠0，只有a＋b＝1.综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.。

课时作业19 空间向量的数乘运算时刻：45分钟 分值：100分一、选择题(每题6分，共36分)1．关于空间的任意三个向量a ，b,2a －b ，它们必然是( )A ．共面向量B ．共线向量C ．不共面向量D ．既不共线也不共面的向量解析：∵2a －b ＝2·a ＋(－1)·b ，∴2a －b 与a ，b 共面．答案：A2．已知空间四边形ABCD ，E 、F 别离是AB 与AD 边上的点，M 、N 别离是BC 与CD 边上的点，假设AE→＝λAB →，AF →＝λAD →，CM →＝μCB →，CN →＝μCD →，那么向量EF →与MN →知足的关系为( )A.EF →＝MN →B.EF →∥MN →C ．|EF →|＝|MN →|D ．|EF →|≠|MN →|解析：AE →－AF →＝λAB →－λAD →＝λDB →，即FE →＝λDB →.同理NM →＝μDB →.因为μDB →∥λDB →，因此FE →∥NM →，即EF →∥MN →.又λ与μ不必然相等，故|MN →|不必然等于|EF →|.答案：B3．设M 是△ABC 的重心，记BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，且a ＋b ＋c ＝0，那么AM →＝( )A.b －c 2B.c －b 2C.b －c 3D.c －b 3解析：设D 是BC 边中点，∵M 是△ABC 的重心，∴AM →＝23AD →.而AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(c －b )， ∴AM →＝13(c －b )． 答案：D4．已知两非零向量e 1，e 2，且e 1与e 2不共线，设a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R ，且λ2＋μ2≠0)，那么( )A ．a ∥e 1B ．a ∥e 2C ．a 与e 1、e 2共面D ．以上三种情形均有可能解析：a 与e 1共线，那么设a ＝ke 1，因此a ＝λe 1＋μe 2可变成(k －λ)e 1＝μe 2，因此e 1与e 2共线，这与e 1与e 2不共线相矛盾，故假设不成立，即A 不正确，同理B 不正确，那么D 也错误，应选C.答案：C5．关于空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，且有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x 、y 、z ∈R)，那么x ＋y＋z ＝1是四点P 、A 、B 、C 共面的( )A ．必要不充分条件B ．充分没必要要条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件解析：若x ＋y ＋z ＝1，那么原式可变形为OP →＝(1－y －z )OA →＋yOB →＋zOC →，OP →－OA →＝y (OB →－OA →)＋z (OC →－OA →)，∴AP →＝yAB →＋zAC →，∴P 、A 、B 、C 四点共面．反之，假设P 、A 、B 、C 四点共面，由共面向量定理的推论知对空间任一点O ，有OP →＝OM →＋sMA →＋tMB →(其中s 、t 是唯一的一对有序实数)．∵MA →＝OA →－OM →，MB →＝OB →－OM →，那么OP →＝(1－s －t )OM →＋sOA →＋tOB →.令x ＝1－s －t ，y ＝s ，z ＝t ，那么有x ＋y ＋z ＝1.答案：C6．以下条件中使M 与A 、B 、C 必然共面的是( )A.OM →＝2OA →－OB →－OC →B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →C.MA →＋MB →＋MC →＝0D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0解析：C 选项中MA →＝－MB →－MC →，∴点M 、A 、B 、C 共面，应选C.答案：C二、填空题(每题8分，共24分)图17．如图1，在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 边上，且OM →＝2MA →，N 为BC 的中点，那么MN →＝________(用a ，b ，c 表示)．解析：MN →＝MO →＋ON →＝23AO →＋12(OB →＋OC →)＝－23OA →＋12OB →＋12OC →＝－23a ＋12b ＋12c . 答案：－23a ＋12b ＋12c 8．已知两个非零向量e 1，e 2不共线，若是AB →＝e 1＋e 2，AC →＝2e 1＋8e 2，AD →＝3e 1－3e 2，那么点A 、B 、C 、D 四点________(共面、不共面)．解析：显然AB →、AD →不共线，不然，存在λ∈R ，使AB →＝λAD →(λ≠0)，那么e 1＋e 2＝λ(3e 1－3e 2)＝3λe 1－3λe 2.∵e 1，e 2是不共线的非零向量，∴3λ＝1与－3λ＝1矛盾，故AB →、AD →不共线．设AC →＝xAB →＋yAD →⇔2e 1＋8e 2＝x (e 1＋e 2)＋y (3e 1－3e 2)⇔2e 1＋8e 2＝(x ＋3y )e 1＋(x －3y )e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝2，x －3y ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－1， ∴AC →＝5AB →＋(－1)·AD →，∴A 、B 、C 、D 四点共面．答案：共面9．已知O 是空间任一点，A 、B 、C 、D 四点知足任三点均不共线，但四点共面，且OA →＝2x ·BO →＋3y ·CO →＋4z ·DO →，那么2x ＋3y ＋4z ＝________.解析：OA →＝－2x ·OB →＋(－3y )·OC →＋(－4z )·OD →，由A 、B 、C 、D 四点共面，那么有－2x －3y －4z ＝1，即2x ＋3y ＋4z ＝－1.答案：－1三、解答题(共40分)图210．(10分)如图2，在四边形ABCD 中，E 、F 别离为AD 、BC 的中点，试证：EF →＝12(AB →＋DC →)． 证明：EF →＝EA →＋AB →＋BF →，①EF →＝ED →＋DC →＋CF →，②①＋②，得2EF →＝(EA →＋AB →＋BF →)＋(ED →＋DC →＋CF →)＝AB →＋DC →.∴EF →＝12(AB →＋DC →)． 11．(15分)如图3，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是B 1D 1的中点．求证：B 1C ∥平面ODC 1.图3证明：设C 1B 1→＝a ，C 1D 1→＝b ，C 1C →＝c ，∵四边形B 1BCC 1为平行四边形，∴B 1C →＝c －a .又O 是B 1D 1的中点，∴C 1O →＝12(a ＋b )， OD 1→＝C 1D 1→－C 1O →＝b －12(a ＋b )＝12(b －a )， ∴OD →＝OD 1→＋D 1D →＝12(b －a )＋c . 假设存在实数x 、y ，使B 1C →＝xOD →＋yOC 1→(x 、y ∈R)成立，那么c －a ＝x [12(b －a )＋c ]＋y [－12(a ＋b )] ＝－12(x ＋y )a ＋12(x －y )b ＋xc .∵a 、b 、c 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋y ＝1，12x －y ＝0，x ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴B 1C →＝OD →＋OC 1→， ∴B 1C →、OD →、OC 1→是共面向量．又B 1C ⊄平面ODC 1，∴B 1C ∥平面ODC 1.图412．(15分)如图4，已知O 、A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 为空间的9个点，且OE →＝kOA →，OF →＝kOB →，OH→＝kOD →，AC →＝AD →＋mAB →，EG →＝EH →＋mEF →.求证：(1)A 、B 、C 、D 四点共面，E 、F 、G 、H 四点共面；(2)AC →∥EG →；(3)OG →＝kOC →.证明：(1)∵AC →＝AD →＋mAB →，∴A、B 、C 、D 四点共面．∵EG →＝EH →＋mEF →，∴E、F 、G 、H 四点共面．(2)EG →＝EH →＋mEF →＝OH →－OE →＋m(OF →－OE →)＝k(OD →－OA →)＋km(OB →－OA →)＝kAD →＋kmAB →＝k(AD →＋mAB →)＝kAC →，∴AC →∥EG →.(3)OG →＝OE →＋EG →＝kOA →＋kAC →＝k(OA →＋AC →)＝kOC →.。