红对勾高三一轮复习数学 (45)

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选修4-5·第一节
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a a (2016· 江苏卷)设 a>0， |x－1|< ， |y－2|< ， 求证： |2x＋y－4|<a. 3 3
a a 证明：因为|x－1|<3，|y－2|<3 ，所以|2 x＋y－4|＝|2(x－1)＋(y a a －2)|≤2|x－1|＋|y－2|<2×3＋3＝a.即|2x＋y－4|<a.
)
解析：|x－1|－|x－5|表示数轴上对应的点 x 到 1 和 5 的距离之 差．而数轴上满足|x－1|－|x－5|＝2 的点的数是 4，结合数轴可知， 满足|x－1|－|x－5|<2 的解集是(－∞，4)．
答案：A
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热点命题· 突破 02
2.|ax＋b |≤c(c>0)和 |ax＋b |≥c(c>0)型不等式的解法 (1)|ax＋b |≤ c⇔______________； (2)|ax＋b |≥ c⇔________________________.
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3．|x－a |＋|x－b |≥c(c>0)和 |x－a |＋|x－b |≤c(c>0)型不等式的 解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合 的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与 方程的思想．
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第三章不等式§4嗇融融j4.2嗇鞍程融限时：45分钟①总分：100分1. 了解线性规划的背景及意义.2・掌握线性约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.3.会利用线性规划求最优解问题.作业设计一、选择题（每小题6分，共36分）y W1,1.若变量X, y满足约束条件卜+y±o,则z=x_2yx—y—2W0,的最大值为（）A. 4B. 3C・2 D・1解析：线性约束条件对应的平面区域如图所示，由z 取得最大值.由图知，当直线通过点A 时，在y 轴上的 截距最小，所以 ^max — 1—2X(—1) = 3.答案：Bx+y=O, x —y —2 = 0, 解得 A(l, —1).2. （2012-辽宁高考）设变量2x+3y的最大值为（）A・20 B・35C・45 D・55x—yW 10,X, y 满足＜0Wx+yW20,则、0WyW15,解析:根据不等式组确定平面区域，再平移目标函数求最大值•作2出不等式组对应的平面区域(如图所示)，平移直线§尢易 知直线经过可行域上的点4(5,15)时，2x+3y 取得最大值55,故 选择D.答案：D3・某公司招收男职员x 名,5x~ 1—22, 2x+3y$9, 则 z ：ZW11,80 B ・ 85 C ・90 D ・95束条件＜「女职员y名，x和y需满足约=10x+ 10y的最大值是（）解析：先画出满足约束条件的可行域，如图阴影部分所示.\5x一lly=一22,〔2兀=11，解得］无=5・5,1=45但y GN+,结合图知当x=5, y=4 时，Zmax = 90・但y GN+,结合图知当x=5, y=4 时，Zmax = 90・答案：C4.若实数x、y满足vA. (0,1)C・(1, +s)B ・(0,1]D・[1, +®)|%—y+1 WO, [x>0, 则三的取值范围是（ 丿L解析:y实数兀、y满足jx—y+l WO,|x>0分所示.的相关区域如图中的阴影部三表示阴影部分内的任意一点与坐标原点(0,0)连线的斜率, 由图可知，三的取值范围为(1, +<-).答案：c5・在如下图所示的可行域内（阴影部分且包括边界），目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数个，则a的一个可能值是（A. —3C. — 1 D・1C(4,2). | 7解析：由题意知，y=—方无+：・当a>0时，此时z 最大时有最优解无数个；当a<0时，y 17 与AC 重合时，z 取最小值，有无数个最优解，答案：A6・线性目标函数z =22x—y+1 ±0，<兀一2歹一1 WO,HyWl下，取得最大值的可行解为(A. (0，1)B. (—1,-C. (1,0)D. (£, |)x — y在线性约束条件-1)解析：根据不等式组画出可行域，目标函数在(1，0)点取得最大值，所以在线性约束条件下，取得最大值的可行解为(1,0).答案：c二、填空题（每小题6分，共18分）则2x+3y的7.若实数x, y满足不等式组＜2x—yW4,x—y^O,最小值是_______ ■x-y=O 2x-y=^设z=2x+3y,贝ljy=-|x+|,结合平面区域可得，当直线2 7尸+呂过点4时，z 取最小值.•••Zmin = 2X2 + 0 = 4・ 答案：4x+y=2,2x_y=4,得 A(2,0),%—y—2C0y满足<x+2y—420,贝出的最大值是8.设实数x,2y-3<0解析：不等式组表示的平面区域如下图所示, 令丫="‘即y=也.yx-y-2=0 7” （上 jX o 、兀 x+2y-0/ ■■ ■y=kx /•••所求三的最大值即为过原点的斜率的最大值, 即三的最大值为|.3 答案：I9.已知变量x, y满足约束条件x—yW2, 若目标函数Z —必仅在点(5,3)处取得最小值，则实数a的取值范围为解析：画岀可行域，如图所示.由z=y~ax,得y=ax-\~z^则z为直线y=ax~\~z在y轴上的截距，由于函数ox仅在点(5,3)处取得最小值，如图所示，直线y=ax+z过点P(5,3),且直线y=ax~\~z的斜率a大于直线x—y=2的斜率，所以°>1・答案：(1，+°°)三、解答题（共46分，写出必要的文字说明' 计算过程或演算步骤.）10.（本小题15 分）已知一4Wa—bW— 1，一1W4Q—bW5, 求9a~b的取值范围.解：令a=x, b=y, z = 9a — b,即已知一4Wx—yW — 1，—lW4x—yW5,求z=9x~y的取值范围，闻岀不等式组表示的可行域如.图所示由z=9x —y,得y=9x~Zj 当直线过A 点时z 取最大值, 当直线过点B 时z 取最小值.即 Zmax = 9X3—7 = 20，Zmin= —1，所以9a-b 的取值范围是[-1,20].4x_y=5, x —y=—A, 得A(3,7)・由 得B(O,1)x—y+220,11.（本小题15分）已知兀，y满足420, 2x—y—5 W0.⑴求z—x2+y2+2x—2^+2的最小值；⑵求z=Lx+2y—41的最大值.解：作岀可行域，如下图所示.⑴•・• Z =(7(x+1)2 + ®—1)2)2,・・・z可看作是可行域内任一点(X,刃到点M(—1,1)的距离的平方.由图可知Zmin等于点M到直线x+y~4 = 0的距离的平方.•I — 41 2•：Zmin = (羽)=&•••z 可看作是可行域内任一点(x, y)到直线x+2y —4=0的距离的书倍.由图可知，点C 到直线x+2y-4 = 0的距离最大.x —y+2 = 0, 2x —y —5 = 0,得点C ⑺9)・17+2X9-41 (2)・.・z=Lx+2y —41=审・lx+2y —41◎o,12-（本小题16分）在约束条件卄yWs,下，当3WsW5 时，求目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围解：由f+j;，如图得交点为A(2,0), 3(4—必2$—4), C(0, s), C f(0,4).令z=0，得仏：3x+2y=0,当Zo向上平移时z值逐渐增大.⑴当3WsV4时可行域为四边形OABC, 此时Zo平移到B点时z取最大值，Zmax = 3 X (4 —s) + 2(2s —4) = s + 4・V3<5<4,• • 7 WZmaxV8・⑵当4Wsv5时，可行域是△On© ,此时/o过C 点时Z取最大值，Zmax = 3X0 + 2X4 = 8. 综上所述，乐日7母。

课时作业4 函数及其表示一、选择题(每小题5分，共40分)1．(2022·江西理，2)下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin x B ．y ＝ln xx C ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx解析：本题考查函数的定义域，由于y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，满足条件的函数只有D ，故选D.答案：D2．(2022·北京海淀)假如f (1x )＝x1－x ，则当x ≠0且x ≠1时，f (x )＝________.( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x －1解析：令1x ＝t ，得x ＝1t . ∴f (t )＝1t1－1t ＝1t －1∴f (x )＝1x －1.答案：B3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0x 2，x >0，若f (α)＝4，则实数α＝( )A. －4或－2B. －4或2 C ．－2或4D ．－2或2解析：本题主要考查分段函数求函数值等基础学问． 当α≤0时，f (α)＝－α＝4，∴α＝－4； 当α>0时，f (α)＝α2＝4，∴α＝2. 综之：α＝－4或2，选B. 答案：B4．下列对应法则f 为A 上的函数的个数是( ) ①A ＝Z ，B ＝N ＋，f ：x →y ＝x 2 ②A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x ③A ＝[－1,1]，B ＝{0}，f ：x →y ＝0 A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：对于①，当0∈A 时，y ＝0∉B ，故①所给的对应法则不是A 到B 的映射，当然它不是A 上的函数关系；对于②，当2∈A 时，y ＝2∉B ，故②所给的对应法则不是A 到B 的映射，当然它不是A 上的函数关系；对于③，对于A 中的任一个数，依据对应法则，在B 中都有唯一元素0和它对应，故③所给的对应法则是A 到B 的映射，这两个数集之间的关系是集合A 上的函数关系．答案：B5．(2022·福建厦门3月模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈(2，5]，则方程f (x )。

圆锥曲线最值问题的解题策略[典例] 如图，椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，直线x ＝±a和y ＝±b 所围成的矩形ABCD 的面积为8.(1)求椭圆M 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝x ＋m (m ∈R)与椭圆M 有两个不同的交点P ，Q ，l 与矩形ABCD 有两个不同的交点S ，T ，求|PQ ||ST |的最大值及取得最大值时m 的值．[审题视角] 解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法．若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．[解析] (1)设椭圆M 的半焦距为c ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝32，4ab ＝8，所以a ＝2，b ＝1.因此椭圆M 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝x ＋m整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0.由Δ＝64m 2－80(m 2－1)＝80－16m 2>0， 得－5<m < 5.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8m 5，x 1x 2＝4m 2－15，所以|PQ |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝4525－m 2(－5<m <5)．线段CD 的方程为y ＝1(－2≤x ≤2)，线段AD 的方程为x ＝－2(－1≤y ≤1)．①不妨设点S 在AD 边上，T 在CD 边上，可知1≤m ≤5，S (－2，m －2)，D (－2,1)，所以|ST |＝2|SD |＝2[1－(m －2)]＝2(3－m )，因此|PQ||ST|＝455－m23－m2.令t＝3－m(1≤m≤5)，则m＝3－t，t∈(3－5，2]，所以|PQ||ST|＝455－3－t2t2＝45－4t2＋6t－1＝45－41t－342＋54.由于t∈(3－5，2]，所以1t∈[12，3＋54)，因此当1t＝34，即t＝43时，|PQ||ST|取得最大值255，此时m＝53.在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：(1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用基本不等式求出参数的取值范围；(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．1．(2013·辽宁理，20)如图，抛物线C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p>0)．点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)．当x0＝1－2时，切线MA的斜率为－12 .(1)求p的值；(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O 时，中点为O)．解：(1)因为抛物线C1：x2＝4y上任意一点(x，y)的切线斜率为y′＝x 2，且切线MA的斜率为－12，所以A点坐标为(－1，14)，故切线MA的方程为y＝－12(x＋1)＋14.因为点M(1－2，y0)在切线MA及抛物线C2上，于是y0＝－12(2－2)＋14＝－3－224.①y0＝－1－222p＝－3－222p.②由①②得p＝2.(2)设N(x，y)，A(x1，x214)，B(x2，x224)，x1≠x2，由N 为线段AB 中点知x ＝x 1＋x 22.③y ＝x 21＋x 228.④切线MA ，MB 的方程为y ＝x 12(x －x 1)＋x 214，⑤y ＝x 22(x －x 2)＋x 224.⑥由⑤⑥得MA ，MB 的交点M (x 0，y 0)的坐标为x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 1x 24.因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 20＝－4y 0，所以x 1x 2＝－x 21＋x 226.⑦由③④⑦得x 2＝43y ，x ≠0.当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ，AB 中点N 为O ，坐标满足x 2＝43y .因此AB 中点N 的轨迹方程为x 2＝43y .。