【配套K12】2018年秋高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.3函数的最大

3.3.1 利用导数判断函数的单调性课堂探究探究一函数图象的升降与导数的关系要解决函数图象的升降与导数的关系问题，主要从两方面入手：一是观察原函数的图象，重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；二是观察导函数的图象，重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负．【典型例题1】设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为( )思路分析：根据给出的函数图象分析函数图象的升降情况，确定导数的正负，得出导数图象的情况．解析：观察原函数图象可知，在y轴左侧，函数f(x)图象是上升的，因此对应导数为正，图象在x轴上方，在y轴右侧，函数f(x)的图象是先升、再降、最后上升，故对应导数应为先正、再负、最后为正，图象自左向右依次在x轴上方、下方、再上方，故选D.答案：D探究二求函数的单调区间利用导数求函数的单调区间，实质上是转化为解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0，不等式的解集就是函数的单调区间，但要特别注意的是，不能忽视函数的定义域，应首先求出函数的定义域，在定义域内解不等式．利用导数求函数单调区间的步骤：(1)求函数定义域；(2)对函数求导；(3)令导函数大于零，解不等式得递增区间；令导函数小于零，解不等式得递减区间．【典型例题2】求下列函数的单调区间．(1)y＝x3－9x2＋24x；(2)f(x)＝x2－ln x.思路分析：利用函数单调性的判定法则，转化为关于导数的不等式求解．解：(1)y ′＝(x 3－9x 2＋24x )′＝3x 2－18x ＋24＝3(x －2)(x －4)，令3(x －2)(x －4)＞0，解得x ＞4或x ＜2.所以y ＝x 3－9x 2＋24x 的递增区间是(4，＋∞)和(－∞，2)．令3(x －2)(x －4)＜0，解得2＜x ＜4.所以y ＝x 3－9x 2＋24x 的递减区间是(2,4)．(2)函数f (x )的定义域为{x |x ＞0}，因为f ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x， 所以令f ′(x )＞0，则x ＞22， 令f ′(x )＜0，则0＜x ＜22， 所以函数f (x )＝x 2－ln x 的递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22， 递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞. 探究三 利用函数的单调性求参数的取值范围已知函数的单调性，求参数的取值范围问题往往转化为不等式恒成立问题，其常用方法有两种：一是f (x )在(a ，b )上单调，则f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(a ，b )内恒成立，要注意验证等号是否成立；二是利用集合的包含关系处理，f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．【典型例题3】 已知函数f (x )＝23x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2－3ax －92(a ∈R )，若函数f (x )在(1,2)内是增函数，求a 的取值范围．思路分析：本题先求导，转化为f ′(x )≥0在(1,2)上的恒成立问题．解：因为函数f (x )在(1,2)内是增函数，所以f ′(x )＝2x 2－4ax －3≥0对于一切x ∈(1,2)恒成立，所以a ≤x 2－34x，x ∈(1,2)． 令g (x )＝x 2－34x ，x ∈(1,2)，g ′(x )＝12＋34x2＞0恒成立， 所以g (x )＝x 2－34x 在(1,2)上是增函数，当x ＝1时，g (x )＝－14，所以a ≤－14. 探究四 易错辨析易错点 恒成立问题漏掉等号【典型例题4】 已知f (x )＝x ＋a x 在[1，＋∞)上是增函数，求a 的取值范围． 错解：f ′(x )＝1－a x 2.由题意得1－a x 2＞0在[1，＋∞)上恒成立，即a ＜x 2在[1，＋∞)上恒成立．因为x 2在[1，＋∞)上的最小值为1，所以a ＜1，即a 的取值范围为(－∞，1)．错因分析：f (x )在[1，＋∞)上是增函数时，导函数f ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立；而错解用了f (x )在[1，＋∞)上是增函数时，f ′(x )＞0在[1，＋∞)上恒成立．正解：f ′(x )＝1－a x 2.由题意，得1－a x 2≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≤x 2在[1，＋∞)上恒成立．因为x 2在[1，＋∞)上的最小值为1，所以a ≤1，即a 的取值范围为(－∞，1]．。

3.3.3 函数的最大(小)值与导数1.能够区分极值与最值两个不同的概念.(易混点)2.掌握在闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)的求法.(重点)3.能根据函数的最值求参数的值.(难点)[基础·初探]教材整理 函数的最大(小)值与导数阅读教材P 96函数最大(小)值与导数～P 98第一段，完成下列问题. 1.函数f (x )在区间[a ，b ]上的最值如果在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a ，b ]上一定能够取得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点取得.2.求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最值的步骤 (1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值.(2)将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的最大值一定是函数的极大值.( ) (2)开区间上的单调连续函数无最值.( )(3)函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得.( ) (4)函数f (x )＝1x在区间[－1,1]上有最值.( )【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)×[小组合作型](1)f (x )＝2x 3－6x 2＋3，x ∈[－2,4]；(2)f (x )＝e x (3－x 2)，x ∈[2,5]. 【精彩点拨】 求导→列表→下结论.【自主解答】 (1)f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2). 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当x ＝－2时，f (x )取最小值－37. (2)∵f (x )＝3e x －e x x 2， ∴f ′(x )＝3e x －(e x x 2＋2e xx ) ＝－e x (x 2＋2x －3) ＝－e x(x ＋3)(x －1).∵在区间[2,5]上，f ′(x )＝－e x(x ＋3)(x －1)＜0， 即函数f (x )在区间[2,5]上单调递减， ∴x ＝2时，函数f (x )取得最大值f (2)＝－e 2；x ＝5时，函数f (x )取得最小值f (5)＝－22e 5.1.求函数最值时，若函数f (x )的定义域是闭区间，则需比较极值点处函数值与端点处函数值的大小，才能确定函数的最值.2.若f (x )的定义域是开区间且只有一个极值点，则该极值点就是最值点.[再练一题]1.(1)函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是( )A.π－1B.π2－1 C.πD.π＋1【解析】 y ′＝1－cos x ＞0，∴y ＝x －sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递增，∴y max ＝π－sin π＝π. 【答案】 C(2)求下列各函数的最值.①f (x )＝－x 3＋3x ，x ∈[－3，3]； ②f (x )＝x 2－54x(x ＜0).【导学号：97792048】【解】 ①f ′(x )＝3－3x 2＝3(1－x )(1＋x ). 令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：＝－2. 又因为f (x )在区间端点处的取值为f (－3)＝0，f (3)＝－18， 所以f (x )max ＝2，f (x )min ＝－18. ②f ′(x )＝2x ＋54x2.令f ′(x )＝0，得x ＝－3.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以x 故f (x )的最小值为f (－3)＝27，无最大值.【精彩点拨】 求导→讨论a 的正负→判断[0,2]上的单调性→得最值. 【自主解答】 f ′(x )＝3x 2－2ax ，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a 3.当2a3≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,2]上单调递增，从而f (x )max ＝f (2)＝8－4a .当2a3≥2，即a ≥3时，f (x )在[0,2]上单调递减， 从而f (x )max ＝f (0)＝0. 当0＜2a3＜2，即0＜a ＜3时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2a 3上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 3，2上单调递增，从而f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a ，＜a ，0，＜a ＜， 综上所述，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a ，a，0，a ＞由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化.所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解.[再练一题]2.已知函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x ∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a ，b 的值.【解】 由题设知a ≠0，否则f (x )＝b 为常函数，与题设矛盾.求导得f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4(舍去).(1)当a >0时，且x 变化时f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：f (0)＝b ＝3.又f (－1)＝－7a ＋3，f (2)＝－16a ＋3<f (－1)， ∴f (2)＝－16a ＋3＝－29，解得a ＝2.(2)当a <0时，同理可得，当x ＝0时，f (x )取得极小值b ，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f (0)＝b ＝－29.又f (－1)＝－7a －29，f (2)＝－16a －29>f (－1)， ∴f (2)＝－16a －29＝3，解得a ＝－2.综上可得，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29.[探究共研型]【提示】 解决“恒成立”问题，可将问题转化为函数的最值问题.如f (x )＞0恒成立，只要f (x )的最小值大于0即可.对含参不等式的恒成立问题，求参数范围时，可先分离参数.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值.(1)求a 、b 的值及函数f (x )的单调区间；(2)若对x ∈[－1,2]，不等式f (x )＜c 2恒成立，求c 的取值范围. 【精彩点拨】【自主解答】 (1)f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝129－43a ＋b ＝0，f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，得a ＝－12，b ＝－2，经检验，满足题意，f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，当x 变化时，f ′(x )及f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )的递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3，(1，＋∞)， 递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1.(2)f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，当x ＝－23时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝2227＋c 为极大值，而f (2)＝2＋c ，则f (2)＝2＋c 为最大值.要使f (x )＜c 2，x ∈[－1,2]恒成立，则只需要c 2＞f (2)＝2＋c ，得c ＜－1或c ＞2. 所以c 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).不等式恒成立问题常用的解题方法[再练一题]3.已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1.若xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1恒成立，求a 的取值范围.【导学号：97792049】【解】 f ′(x )＝x ＋1x＋ln x －1 ＝ln x ＋1x，xf ′(x )＝x ln x ＋1，而xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1(x ＞0)等价于ln x －x ≤a . 令g (x )＝ln x －x ，则g ′(x )＝1x－1.当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0；当x ≥1时，g ′(x )≤0，x ＝1是g (x )的最大值点，所以g (x )≤g (1)＝－1.综上可知，a 的取值范围是[－1，＋∞).1.函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)( ) A.有最大值，但无最小值 B.有最大值，也有最小值 C.无最大值，但有最小值 D.既无最大值，也无最小值【解析】 f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1，1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.【答案】 D2.连续函数f (x )在(a ，b )上有最大值是有极大值的( ) A.充分条件 B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】 连续函数f (x )在(a ，b )上有最大值，能推出其有极大值，但有极大值不一定有最大值，故选A.【答案】 A3.函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________. 【解析】 y ′＝12x －1＝1－2x2x .令y ′＝0，得x ＝14.当0<x <14时，y ′>0；当x >14时，y ′<0.∴x ＝14时，y max ＝14－14＝14. 【答案】 144.如果函数f (x )＝x 3－32x 2＋a 在[－1,1]上的最大值是2，那么f (x )在[－1,1]上的最小值是________.【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2－3x ，令f ′(x )＝0， ∴x ＝0或x ＝1.∴在[－1,1]上有：当x ∈[－1,0)时，f ′(x )＞0，当x ∈(0,1]时，f ′(x )＜0，∴x ＝0是f (x )的极大值点，也是最大值点.∴f (x )max ＝f (0)＝a ＝2， ∴f (x )＝x 3－32x 2＋2，∴f (－1)＝－12，f (1)＝52，∴f (x )在[－1,1]上的最小值为－12.【答案】 －125.已知函数f (x )＝1－x x ＋ln x ，求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值和最小值.【导学号：97792050】【解】 f ′(x )＝－x －－xx2＋1x ＝x －1x2.由f ′(x )＝0，得x ＝1.∴在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f (2)＝2－2ln 2＝2(ln e 3－ln 16)，而e 3＞16，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＞f (2)＞0.∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－ln 2，最小值为0.。

a＝－3， 故f(x)在R上单调递增，不可能在x＝1处取得极值，所以 b＝3 a＝4， b＝－11
(2)函数的极大值一定大于极小值．(
(3)若f′(x0)＝0，则x0一定是函数f(x)的极值点．(
【解析】
1 (1)×.f(x)＝x 在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，故无极值．
(2)×.反例，如图所示的函数的极大值小于其极小值．
(3)×.反例，f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，且f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．
[思路探究]
可导函数的极值点一定是使导函数值为零的点，因此f′(1)＝
0，f′(－1)＝0，再由f(1)＝－1，得到三个关于a，b，c的方程，联立可求得a， b，c的值．
【自主解答】
(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由x＝± 1是极值点， 又f(1)＝－1，
3a－2b＋c＝0，① 得 3a＋2b＋c＝0，②
【解】 f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
f1＝10， 依题意得 f′1＝0， a＝4， 解得 b＝－11
2 1＋a＋b＋a ＝10， 即 3＋2a＋b＝0，
a＝－3， 或 b＝3，
但由于当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3≥0，
[规律方法]
已知函数极值，求参数的值时，应注意两点：
1常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求 解. 2因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法 求解后必须验证根的合理性.
[跟踪训练] 2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，求常数a、b的值. 【导学号：95902227】
令y′＝4x2(x－3)＝0，得x1＝0，x2＝3. 当x变化时，y′，y的变化情况如下表： x (－∞，0) y′ y － ↘ 0 0 不是极值 (0,3) － ↘ 3 0 极小值－22 (3，＋∞) ＋ ↗

3.3.2 利用导数研究函数的极值
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1．极值点与极值的概念
表示法
提示：极值点不是点，是函数f′(x)的变号零点，是函数取得极值的点的横坐标，是一个实数．
思考2同一函数的极大值一定大于它的极小值吗？
提示：不一定．极值是一个局部概念，在函数的定义区间内可能有多个极大值点或极小值点，极大值不一定比极小值大．
2．求可导函数y＝f(x)极值的步骤
(1)求导数f′(x)．
(2)求方程f′(x)＝0的所有实数根．
(3)对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数f′(x)的符号如何变化．如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值；如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左右侧符号不变，则f(x0)不是极值．
思考3若f′(x0)＝0，则x0一定是函数f(x)的极值点吗？
提示：不一定．例如函数y＝x3在x＝0处的导数为0，但它不是极值点．因为f′(x)在x＝0的左右两侧的符号相同．对可导函数来说，导数为0是函数在这一点取得极值的必要不充分条件．
3．函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最值
思考4函数的极大值一定是最大值吗？
提示：不一定．首先函数的极大值可能不唯一，有多个，其次，极大值还要与端点的函数值比较大小，才能确定哪个是最大值．。