(全国通用版)2019高考数学二轮复习 专题六 函数与导数 规范答题示例8 函数的单调性、极值与最值问题学案

20211

专题六 函数与导数

第1讲 函数图象与性质

高考定位 1。以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、值域、最值、奇偶性、单调性和周期性;2.利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象与性质解决简单问题；3。函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法。

真 题 感 悟

1。(2020·全国Ⅱ卷）设函数f（x)＝ln｜2x＋1|－ln|2x－1｜，则f(x)( ）

A。是偶函数，且在错误!单调递增

B。是奇函数，且在错误!单调递减

C。是偶函数，且在错误!单调递增

D。是奇函数，且在错误!单调递减

解析 f(x）＝ln｜2x＋1|－ln|2x－1｜的定义域为错误!.

∵f（－x)＝ln|－2x＋1｜－ln｜－2x－1|＝ln|2x－1｜－ln|2x＋1|＝－f（x），

∴f(x）为奇函数,故排除A,C。

又当x∈错误!时，

f(x）＝ln（－2x－1)－ln（1－2x）＝ln 错误!＝ln 错误!＝ln 错误!，

∵y＝1＋错误!在错误!上单调递减，由复合函数的单调性可得f（x）在错误!上单调递减。故选D. 20211

答案 D

2。（2019·全国Ⅰ卷)函数f（x）＝错误!在[－π,π］的图象大致为( )

解析 显然f(－x）＝－f(x），x∈[－π，π],所以f(x)为奇函数，排除A；

又当x＝π时， f（π）＝错误!〉0，排除B，C，只有D适合.

答案 D

3.（2020·新高考山东、海南卷)若定义在R上的奇函数f（x)在（－∞，0）单调递减，且f（2)＝0,则满足xf（x－1）≥0的x的取值范围是( ）

A.［－1，1］∪[3，＋∞） B.[－3,－1]∪［0,1］

C.[－1，0]∪[1,＋∞） D.[－1,0]∪［1，3]

解析 因为函数f(x)为定义在R上的奇函数,则f(0)＝0。又f（x）在（－∞,0）单调递减，且f（2)＝0，画出函数f（x）的大致图象如图（1）所示,则函数f(x－1）的大致图象如图（2）所示。

高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解

第3讲 导数的几何意义及函数的单调性

[考情分析] 1.导数的几何意义和计算是导数应用的基础，是高考的热点，多以选择题、填空题的形

式考查，难度较小.2.应用导数研究函数的单调性，是导数应用的重点内容，也是高考的常见题型，

以选择题、填空题的形式考查，或为导数解答题第一问，难度中等偏上，属综合性问题．

考点一 导数的几何意义与计算 核心提炼

1．导数的几何意义

(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率．

(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同．

(3)切点既在切线上，又在曲线上．

2．复合函数的导数

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x.

例1 (1)(2022·焦作模拟)函数f(x)＝(2ex－x)·cos x的图象在x＝0处的切线方程为( )

A．x－2y＋1＝0 B．x－y＋2＝0

C．x＋2＝0 D．2x－y＋1＝0

答案 B

解析 由题意，函数f(x)＝(2ex－x)·cos x，

可得f′(x)＝(2ex－1)·cos x－(2ex－x)·sin x，

所以f′(0)＝(2e0－1)·cos 0－(2e0－0)·sin 0＝1，

f(0)＝(2e0－0)·cos 0＝2，

所以f(x)在x＝0处的切线方程为y－2＝x－0，即x－y＋2＝0. (2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________．

答案 (－∞，－4)∪(0，＋∞)

解析 因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a)0ex)，O为坐标原点，依题意

得，切线斜率kOA＝

0=|

xxy'＝(x0＋a＋1)0ex＝0

0

0exxa

x

，化简，得x2

0＋ax0－a＝0.因为曲线y＝(x

＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程x2

星期一 (三角) 2019年____月____日

【题目1】 (本小题满分12分)(2018·西安联考)已知函数f(x)＝23sin xcos x＋2cos2x－1(x∈R).

(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间0，π2上的最大值和最小值；

(2)若f(x0)＝65，x0∈π4，π2，求cos 2x0的值.

解 (1)∵f(x)＝3(2sin xcos x)＋(2cos2x－1)

＝3sin 2x＋cos 2x＝2sin2x＋π6.

∴函数f(x)的最小正周期为π.

又x∈0，π2，∴2x＋π6∈π6，7π6，

∴sin2x＋π6∈－12，1，

∴函数f(x)在区间0，π2上的最大值为2，最小值为－1.

(2)∵f(x0)＝2sin2x0＋π6＝65，∴sin2x0＋π6＝35，

又x0∈π4，π2，知2x0＋π6∈2π3，7π6，

∴cos2x0＋π6＝－1－sin22x0＋π6＝－45，

∴cos 2x0＝cos2x0＋π6－π6

＝cos2x0＋π6cosπ6＋sin2x0＋π6sinπ6

＝－45×32＋35×12＝3－4310.

星期二 (数列) 2019年____月____日 【题目2】 (本小题满分12分)(2018·日照模拟)已知等差数列{an}的公差d>0，其前n项和为Sn，且a2＋a4＝8，a3，a5，a8成等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bn＝1an·an＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.

解 (1)因为a2＋a4＝8，所以a3＝4，即a1＋2d＝4，①

因为a3，a5，a8为等比数列，所以a25＝a3a8，

即(a1＋4d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)，化简得a1＝2d，②

高考数学精品复习资料

2019.5

专题05 函数的单调性与最值

【高频考点解读】

1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．

2.会利用函数的图象理解和研究函数的性质.

3.确定函数单调性、单调区间及应用函数单调性求值域、最值，比较或求函数值大小，是高考的热点及重点．

4.常与函数的图象及其他性质交汇命题．

5.题型多以选择题、填空题形式出现，若与导数交汇则以解答题形式出现.

【热点题型】

题型一 考查函数的单调性

例1．探讨函数f(x)＝x＋kx(k>0)的单调性． 【提分秘籍】

1．函数的单调区间是其定义域的子集．

2．由函数单调性的定义可知，若函数f(x)在区间D上是增(减)函数，则当x1f(x2))．

3．一个函数在不同的区间可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．

4．两函数f(x)、g(x)在x∈(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也为增(减)函数，但f(x)·g(x)的单调性与其正负有关，1fx与f(x)是否为0有关，切不可盲目类比．

5.判断或证明函数的单调性的两种方法

(1)利用定义的基本步骤是：

取值⇨作差商变形⇨确定符号⇨得出结论

(2)利用导数的基本步骤是：

求导函数⇨确定符号⇨得出结论

【举一反三】

下列四个函数中，在区间(0,1)上是减函数的是( )

A．y＝log2x B．y＝1x C．y＝－12x

D．y＝x13

【热点题型】

题型二 求函数的单调区间

例2．设函数f(x)＝ 1，x＞0，0，x＝0，－1，x＜0，g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是( )

A．(－∞，0] B．[0,1)

C．[1，＋∞) D．[－1,0]

【举一反三】

设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k，定义函数fk(x)＝ fx，fx≤k，k，fx>k取函数f(x)＝2－|x|.当k＝12时，函数fk(x)的单调递增区间为( )