专题02 函数的图像与性质(高考押题)-2016年高考理数二轮复习精品资料(解析版)

1．下列函数既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是( )
A ．f (x )＝sin x
B ．f (x )＝ln 2－x 2＋x
C ．f (x )＝－|x ＋1|
D ．f (x )＝12
(e x －e －x ) 答案：B
2．下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( )
A ．f (x )＝x 12
B ．f (x )＝x 3
C ．f (x )＝⎝⎛⎭
⎫12x D ．f (x )＝3x 答案：D
解析：根据各选项知，选项C ，D 中的指数函数满足
f (x ＋y )＝f (x )f (y )．又f (x )＝3x 是增函数，所以D 正确．
3．函数f (x )＝x x 2＋a
的图象不可能是( )
答案：D
解析：当a ＝0时，f (x )＝x x 2＋a ＝1x
，C 选项有可能．
当a ≠0时，f (0)＝x x 2＋a
＝0，所以D 选项不可能，故选D. 4．设f (x )是定义在实数集R 上的函数，满足条件y ＝f (x ＋1)是偶函数，且当x ≥1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1，则
f ⎝⎛⎭⎫23，f ⎝⎛⎭⎫32，f ⎝⎛⎭⎫13的大小关系是( )
A ．f ⎝⎛⎭⎫23>f ⎝⎛⎭⎫32>f ⎝⎛⎭⎫13
B ．f ⎝⎛⎭⎫23>f ⎝⎛⎭⎫13>f ⎝⎛⎭⎫32
C ．f ⎝⎛⎭⎫32>f ⎝⎛⎭⎫23>f ⎝⎛⎭⎫13
D ．f ⎝⎛⎭⎫13>f ⎝⎛⎭⎫32>f ⎝⎛⎭⎫23
答案：A
5．若定义在[－2 015，2 015]上的函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈[－2 015,2 015]有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)－2 014，且x >0时，f (x )>2 014，记f (x )在[－2 015,2 015]上的最大值和最小值为M ，N ，则M ＋N 的值为( )
A ．2 015
B ．2 016
C ．4 027
D ．4 028
答案：D
解析：令x 1＝x 2＝0，得f (0)＝2 014.
设－2 015<x 1<x 2<2 015，且x 2＝x 1＋h (h >0)，
则f (h )>2 014.
所以f (x 2)＝f (x 1＋h )＝f (x 1)＋f (h )－2 014>f (x 1)．
可知f (x )在[－2 015,2 015]上是增函数．
故M ＋N ＝f (2 015)＋f (－2 015)＝f (2 015－2 015)＋2 014＝f (0)＋2 014＝4 028.
6．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫32－x ＝f (x )，f (－2)＝－3，数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝
－1，S n ＝2a n ＋n (n ∈N *)，则f (a 5)＋f (a 6)＝________.
答案：3
解析：∵奇函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫32－x ＝f (x )，
∴f ⎝⎛⎭⎫32－x ＝－f (x )，
∴f (x )＝－f ⎝⎛⎭
⎫x ＋32＝f (x ＋3)， ∴f (x )是以3为周期的周期函数，
∵S n ＝2a n ＋n ，①
∴S n ＋1＝2a n ＋1＋n ＋1，②
②－①可得a n ＋1＝2a n －1，
结合a 1＝－1，可得a 5＝－31，a 6＝－63，
∴f (a 5)＝f (－31)＝f (2)＝－f (－2)＝3，
f (a 6)＝f (－63)＝f (0)＝0，
∴f (a 5)＋f (a 6)＝3.
7．已知奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x ，则f ⎝⎛⎭⎫72＝________. 答案：－ 2
解析：由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f (x )，
所以f (x )是周期为4的周期函数．
所以f ⎝⎛⎭⎫72－f ⎝⎛⎭⎫72－4＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭
⎫12， 又当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x ，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝212＝2，
所以f ⎝⎛⎭⎫72＝－ 2.
8．已知定义在R 上的偶函数满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题：
①f (2)＝0；
②x ＝－4为函数y ＝f (x )图象上的一条对称轴；
③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；
④若方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8.
则所有正确命题的序号为________．
答案：①②④
9．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数，a ≠0，x ∈R)．
(1)若函数f (x )的图象过点(－2,1)，且方程f (x )＝0有且只有一个根，求f (x )的表达式；
(2)在(1)的条件下，当x ∈[－1,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围．
解：(1)因为f (－2)＝1，即4a －2b ＋1＝1，所以b ＝2a .
因为方程f (x )＝0有且只有一个根，
所以Δ＝b 2－4a ＝0.
所以4a 2－4a ＝0，所以a ＝1，所以b ＝2.
所以f (x )＝(x ＋1)2.
(2)g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2－(k －2)x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －k －222＋1－k －24.
由g (x )的图象知，要满足题意，则k －22≥2或k －22
≤－1，即k ≥6或k ≤0， ∴所求实数k 的取值范围为(－∞，0]∪[6，＋∞)．
10.已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x
. (1)求f ⎝⎛⎭⎫12 015＋f ⎝⎛⎭⎫－12 015的值；
(2)当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0,1)，a 是常数，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由．
解：(1)由1－x 1＋x
>0，得(x ＋1)(x －1)<0， 解得－1<x <1.
所以函数f (x )的定义域为(－1,1)．
又因为f (－x )＝x ＋log 21＋x 1－x ＝x －log 21－x 1＋x
＝－f (x )， 所以函数f (x )为奇函数，即f (－x )＋f (x )＝0，
所以f ⎝⎛⎭⎫12 015＋f ⎝⎛⎭⎫－12 015＝0.
11．设f (x )＝a x ＋b 同时满足条件f (0)＝2和对任意x ∈R 都有f (x ＋1)＝2f (x )－1成立．
(1)求f (x )的解析式；
(2)设函数g (x )的定义域为[－2,2]，且在定义域内g (x )＝f (x )，且函数h (x )的图象与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，求h (x )的解析式，并标注出定义域；
(3)求函数y ＝g (x )＋h (x )的值域．
解：(1)由f (0)＝2，得b ＝1，
由f (x ＋1)＝2f (x )－1，得a x (a －2)＝0，
由a x >0，得a ＝2，
所以f (x )＝2x ＋1.
(2)由题意知，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )＝2x ＋1.
设点P (x ，y )是函数h (x )的图象上任意一点，它关于直线y ＝x 对称的点为P ′(y ，x )，依题意点P ′(y ，x )在函数g (x )的图象上，
即x ＝2y ＋1，
所以y ＝log 2(x －1)，
即h (x )＝log 2(x －1)⎝⎛⎭
⎫x ∈⎣⎡⎦⎤54，5.
：。