北京市2018年中考数学试卷
考生须知
1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．下列几何体中，是圆柱的为
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】A 选项为圆柱，B 选项为圆锥，C 选项为四棱柱，D 选项为四棱锥． 【考点】立体图形的认识
2．实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是
c b a 10
3
2 1
4
2
3
4
A ．||4a >
B ．0c b ->
C ．0ac >
D ．0a c +>
【答案】B
【解析】∵43a -<<-，∴34a <<，故A 选项错误；
数轴上表示b 的点在表示c 的点的左侧，故B 选项正确； ∵0a <，0c >，∴0ac <，故Ｃ选项错误；
∵0a <，0c >，a c >，∴0a c +<，故D 选项错误．
【考点】实数与数轴
3．方程组3
3814x y x y -=??-=?
的解为
A ．1
2x y =-??=?
B ．1
2x y =??=-?
C ．2
1x y =-??=?
D ．2
1x y =??=-?
【答案】D
【解析】将4组解分别代入原方程组，只有D 选项同时满足两个方程，故选D ． 【考点】二元一次方程组的解
4．被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST 的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为27140m ，则FAST 的反射面
积总面积约为
A．32
7.1410m
?B．42
7.1410m
?C．52
2.510m
?D．62
2.510m
?【答案】C
【解析】5
714035249900 2.510
?=≈?（2m），故选C．
【考点】科学记数法
5．若正多边形的一个外角是60?，则该正多边形的内角和为
A．360?B．540?C．720?D．900?
【答案】C
【解析】由题意，正多边形的边数为
360
6
60
n
?
==
?
，其内角和为()2180720
n-??=?．
【考点】正多边形，多边形的内外角和．
6．如果23
a b
-=，那么代数式
22
()
2
a b a
b
a a b
+
-?
-
的值为
A．3B．23C．33D．43【答案】A
【解析】原式
()2
222
222
a b
a b ab a a a b
a a
b a a b
-
+--
=?=?=
--
，∵23
a b
-=，∴原式
3
=．
【考点】分式化简求值，整体代入．
7．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系2
y ax bx c
=++（0
a≠）．下图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为
A．10m B．15m C．20m D．22.5m
【答案】B
【解析】设对称轴为x h
=，
由（0，54.0）和（40，46.2）可知，
040
20
2
h
+
<=，
由（0，54.0）和（20，57.9）可知，
020
10
2
h
+
>=，
∴1020
h
<<，故选B．
【考点】抛物线的对称轴．
8．右图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：
①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示
广安门的点的坐标为（6
-，3
-）时，表示
左安门的点的坐标为（5，6
-）；
②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示
广安门的点的坐标为（12
-，6
-）时，表
示左安门的点的坐标为（10，12
-）；
③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示
广安门的点的坐标为（11
-，5
-）时，表
示左安门的点的坐标为（11，11
-）；
④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），
表示广安门的点的坐标为（16.5
-，7.5
-）
时，表示左安门的点的坐标为（16.5，16.5
-）．
上述结论中，所有正确结论的序号是
A．①②③B．②③④C．①④D．①②③④
【答案】D
【解析】显然①②正确；
③是在②的基础上，将所有点向右平移个单位，再向上平移个单位得到，故③
正确；
④是在“当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（18
-，9-）时，表示左安门的点的坐标为（15，18
-）”的基础上，将所有点向右平移1.5个单位，再向上平移1.5个单位得到，故④正确．
【考点】平面直角坐标系，点坐标的确定，点的平移
E
D C
B
A
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．右图所示的网格是正方形网格，BAC ∠________DAE ∠．（填“>”，“=”或“<”） 【答案】>
【解析】如下图所示，
AFG △是等腰直角三角形，∴45FAG BAC ∠=∠=?，∴BAC DAE ∠>∠． 另：此题也可直接测量得到结果．
【考点】等腰直角三角形
10．若x 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是_______．
【答案】0x ≥
【解析】被开方数为非负数，故0x ≥． 【考点】二次根式有意义的条件．
11．用一组a ，b ，c 的值说明命题“若a b <，则ac bc <”是错误的，这组值可以是a =_____，
b =______，
c =_______．
【答案】答案不唯一，满足a b <，0c ≤即可，例如：，2，1- 【解析】不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【考点】不等式的基本性质
12．如图，点A ，B ，C ，D 在O e 上，??CB
CD =，30CAD ∠=?，50ACD ∠=?，则ADB ∠=________．
【答案】70
【解析】∵??CB
CD =，∴30CAB CAD ∠=∠=?，∴60BAD ∠=?， ∵50ABD ACD ∠=∠=?，∴18070ADB BAD ABD ∠=?-∠-∠=?．
【考点】圆周角定理，三角形内角和定理
13．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若4
AB=，3
AD=，则CF的长为________．
【答案】
10
3
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴4
AB CD
==，AB CD
∥，90
ADC
∠=?，在Rt ADC
△中，90
ADC
∠=?，∴225
AC AD CD
=+=，
∵E是AB中点，∴
11
22
AE AB CD
==，
∵AB CD
∥，∴
1
2
AF AE
CF CD
==，∴
210
33
CF AC
==．
【考点】矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质及判定
14．从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：
公交车用时
公交车用时的频数
线路
3035
t
≤≤
3540
t<≤4045
t<≤4550
t<≤合计
A 59 151 166 124 500
B 50 50 122 278 500
C 45 265 167 23 500
用时不超过45分钟”的可能性最大．
【答案】C
【解析】样本容量相同，C线路上的公交车用时超过45分钟的频数最小，所以其频率也最小，故选C．
【考点】用频率估计概率
15．某公园划船项目收费标准如下：
船型
两人船
（限乘两人）
四人船
（限乘四人）
六人船
（限乘六人）
八人船
（限乘八人）每船租金
（元/小时）
90 100 130 150
某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为________元．
【答案】380
【解析】租用四人船、六人船、八人船各1艘，租船的总费用为100130150380
++=（元）【考点】统筹规划
16．2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第________．
【答案】
【解析】从左图可知，创新综合排名全球第22，对应创新产出排名全球第11；从右图可知，创新产出排名全球第11，对应创新效率排名全球第3．
【考点】函数图象获取信息
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，
28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线及直线外一点P．
求作：PQ，使得PQ l
∥．
作法：如图，
①在直线上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长
线于点B；
②在直线上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画
弧，交BC的延长线于点Q；
③作直线PQ．
所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵AB=_______，CB=_______，
∴PQ l
∥（____________）（填推理的依据）．
【解析】（1）尺规作图如下图所示：
（2）PA，CQ，三角形中位线平行于三角形的第三边．
【考点】尺规作图，三角形中位线定理
18．计算：0
4sin45(π2)18|1|
?+---．
【解析】解：原式
2
4132122
=+-+=
【考点】实数的运算
19．解不等式组：
3(1)1
9
2
2
x x
x
x
+>-
?
?
?+
>
??
．
【解析】解：由①得，2
x>-，
由②得，3
x<，
∴不等式的解集为23
x
-<<．
【考点】一元一次不等式组的解法
20．关于x的一元二次方程210
ax bx
++=．
（1）当2
b a
=+时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．
【解析】（1）解：由题意：0a ≠．
∵()2
2242440b a a a a ?=-=+-=+>， ∴原方程有两个不相等的实数根．
（2）答案不唯一，满足240b a -=（0a ≠）即可，例如：
解：令1a =，2b =-，则原方程为2210x x -+=， 解得：121x x ==．
【考点】一元二次方程
21．如图，在四边形ABCD 中，AB DC ∥，AB AD =，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平
分BAD ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ． （1）求证：四边形ABCD 是菱形； （2）若5AB =，2BD =，求OE 的长．
【解析】（1）证明：∵AB CD ∥
∴CAB ACD ∠=∠ ∵AC 平分BAD ∠ ∴CAB CAD ∠=∠ ∴CAD ACD ∠=∠ ∴AD CD = 又∵AD AB = ∴AB CD = 又∵AB CD ∥
∴四边形ABCD 是平行四边形 又∵AB AD = ∴ABCD Y 是菱形
（2）解：∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC 、BD 交于点O ．
∴AC BD ⊥．12OA OC AC ==，1
2
OB OD BD ==， ∴1
12
OB BD =
=． 在Rt AOB △中，90AOB ∠=?． ∴222OA AB OB =-=． ∵CE AB ⊥，
∴90
AEC
∠=?．
在Rt AEC
△中，90
AEC
∠=?．O为AC中点．
∴
1
2
2
OE AC OA
===．
【考点】菱形的性质和判定，勾股定理，直角三角形斜边中线
22．如图，AB是O
e的直径，过O
e外一点P作O
e的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．
（1）求证：OP CD
⊥；
（2）连接AD，BC，若50
DAB
∠=?，70
CBA
∠=?，2
OA=，求OP的长．【解析】（1）证明：∵PC、PD与O
⊙相切于C、D．
∴PC PD
=，OP平分CPD
∠．
在等腰PCD
△中，PC PD
=，PQ平分CPD
∠．
∴PQ CD
⊥于Q，即OP CD
⊥．
（2）解：连接OC、OD．
∵OA OD
=
∴50
OAD ODA
∠=∠=?
∴18080
AOD OAD ODA
∠=?-∠-∠=?
同理：40
BOC
∠=?
∴18060
COD AOD BOC
∠=?-∠-∠=?．
在等腰COD
△中，OC OD
=．OQ CD
⊥
∴
1
30
2
DOQ COD
∠=∠=?．
∵PD与O
⊙相切于D．
∴OD DP
⊥．
∴90
ODP
∠=?．
在Rt ODP
△中，90
ODP
∠=?，30
POD
∠=?
∴
4
3
cos cos303
3
OD OA
OP
POD
====
∠?
【考点】切线的性质，切线长定理，锐角三角函数
Q
P
D
C
O
B
A
23．在平面直角坐标系xOy 中，函数k
y x
=
（0x >）的图象G 经过点A （4，1），直线1
4
l y x b =
+∶与图象G 交于点B ，与y 轴交于点C ． （1）求k 的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G 在点A ，B 之间的部分与线段OA ，
OC ，BC 围成的区域（不含边界）为W ．
①当1b =-时，直接写出区域W 内的整点个数；
②若区域W 内恰有4个整点，结合函数图象，求b 的取值范围． 【解析】（1）解：∵点A （4，1）在k
y x
=
（0x >）的图象上． ∴14
k
=， ∴4k =．
（2）① 3个．（1，0），（2，0），（3，0）．
② a ．当直线过（4，0）时：1
404
b ?+=，解得1b =-
b ．当直线过（5，0）时：1504b ?+=，解得5
4
b =-
c ．当直线过（1，2）时：1124b ?+=，解得7
4b =
d ．当直线过（1，3）时：1134b ?+=，解得11
4
b =
∴综上所述：514b -<-≤或711
44
b <≤．
【考点】一次函数与反比例函数综合，区域内整点个数问题
24．如图，Q 是?AB 与弦AB 所围成的图形的内部的一定点，P 是弦AB 上一动点，连接PQ
并延长交?AB 于点C ，连接AC ．已知6cm AB =，设A ，P 两点间的距离为x cm ，P ，C 两点间的距离为1cm y ，A ，C 两点间的距离为2cm y ．
小腾根据学习函数的经验，分别对函数1y ，2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几组
对应值；
/cm x
0 1 2 3 4 5 6 1/cm y 5.62 4.67 3.76 2.65 3.18 4.37 2/cm y
5.62
5.59
5.53
5.42
5.19
4.73
4.11
（x ，1y ），
（x ，2y ），并画出函数1y ，2y 的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当APC △为等腰三角形时，AP 的长度约为____cm ． 【解析】（1）3.00
（2）如下图所示：
（3）3.00或4.83或5.88．
如下图所示，个函数图象的交点的横坐标即为所求．
【考点】动点产生的函数图象问题，函数探究
25．某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：4050
x<
x<
≤，
≤，5060
x<
≤，90100
x
≤≤）；
≤，8090
x<
x<
6070
≤，7080
≤这一组是：
b．A课程成绩在7080
x<
70 71 71 71 76 76 77 78 78.578.579 79 79 79.5
c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：
课程平均数中位数众数
A 75.8m84.5
B 72.270 83
（1）写出表中m的值；
（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是________（填“A”或“B”），理由是_______；
（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过75.8分的人数．
【解析】（1）78.75
（2）B．该学生A课程分数低于中位数，排名在中间位置之后，而B课程分数高于中位数，排名在中间位置之前．
（3）解：抽取的60名学生中．A课程成绩超过75.8的人数为36人．
∴36
300180
60
?=（人）
答：该年级学生都参加测试．估计A课程分数超过75.8的人数为180人．【考点】频数分布直方图，中位数，用样本估计总体
26．在平面直角坐标系xOy中，直线44
y x
=+与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线23
y ax bx a
=+-经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
【解析】（1）解：∵直线44
y x
=+与x轴、y轴交于A、B．
∴A（1
-，0），B（0，4）
∴C（5，4）
（2）解：抛物线23
y ax bx a
=+-过A（1-，0）
∴30
a b a
--=．
2
b a
=-
∴223
y ax ax a
=--
∴对称轴为
2
1
2
a
x
a
-
=-=．
（3）解：①当抛物线过点C时．
251034
a a a
--=，解得
1
3
a=．
②当抛物线过点B时．
34
a
-=，解得
4
3
a=-．
③当抛物线顶点在BC上时．
此时顶点为（1，4）
∴234
a a a
--=，解得1
a=-．
∴综上所述
4
3
a<-或
1
3
a≥或1
a=-．
【考点】一次函数与坐标轴的交点，点的平移，抛物线对称轴，抛物线与线段交点问题
27．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH DE
⊥交DG的延长线于点H，连接BH．
（1）求证：GF GC
=；
（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．
【解析】（1）证明：连接DF．
∵A ，F 关于DE 对称． ∴AD FD =．AE FE =． 在ADE △和FDE △中． AD FD AE FE DE DE =??
=??=?
∴ADE FDE △≌△ ∴DAE DFE ∠=∠． ∵四边形ABCD 是正方形 ∴90A C ∠=∠=?．AD CD = ∴90DFE A ∠=∠=?
∴18090DFG DFE ∠=?-∠=? ∴DFG C ∠=∠ ∵AD DF =．AD CD = ∴DF CD =
在Rt DCG △和Rt DFG △． DC DF
DG DG =??
=?
∴Rt DCG △≌Rt DFG △ ∴CG FG =． （2
）BH =．
证明：在AD 上取点M 使得AM AE =，连接ME ． ∵四这形ABCD 是正方形．
∴AD AB =．90A ADC ∠=∠=?． ∵DAE △≌DFE △ ∴ADE FDE ∠=∠
同理：CDG FDG ∠=∠ ∴EDG EDF GDF ∠=∠+∠ 11
22ADF CDF =∠+∠ 1
452
ADC =
∠=? ∵DE EH ⊥ ∴90DEH ∠=?
∴18045EHD DEH EDH ∠=?-∠-∠=? ∴EHD EDH ∠=∠ ∴DE EH =． ∵90A ∠=?
∴90ADE AED ∠+∠=? ∵90DEH ∠=?
∴90AED BEH ∠+∠=?
A
B
C
D
E
F
H
G
∴ADE BEH ∠=∠
∵AD AB =．AM AE = ∴DM EB =
在DME △和EBH △中 DM EB MDE BEH DE EH =??
∠=∠??=∠?
∴DME △≌EBH △ ∴ME BH =
在Rt AME △中，90A ∠=?，AE AM =． ∴222ME AE AM AE =+= ∴2BH AE =．
【考点】正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的
性质与判定
28．对于平面直角坐标系xOy 中的图形M ，N ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，
Q 为图形N 上任意一点，如果P ，Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图
形M ，N 间的“闭距离”，记作d （M ，N ）． 已知点A （2-，6），B （2-，2-），C （6，2-）． （1）求d （点O ，ABC △）；
（2）记函数y kx =（11x -≤≤，0k ≠）的图象为图形G ，若d （G ，ABC △）1=，
直接写出k 的取值范围；
（3）T e 的圆心为T （，0），半径为1．若d （T e ，ABC △）1=，直接写出的取值
范围．
【解析】（1）如下图所示：
∵B （2-，2-），C （6，2-）
∴D （0，2-）
∴d （O ，ABC △）2OD == （2）10k -<≤或01k <≤
（3）4t =-或0422t -≤≤或422t =+．
【考点】点到直线的距离，圆的切线
