3第一章数列极限

专题十 数列极限与函数极限

专题十 数列极限与函数极限

一、选择题

1．（2008年高考·湖北卷）已知m∈N*, a、b∈R，若0nlimbxax)(1m，则a·b=（ ）

A．-m B．m C．-1 D．1

2．nlim)2n8641864164141(的值为（ ）

A．1 B．411 C．1811 D．2411

3．若函数1)(x13x15a1)(xa2xxf(x)23在点x=1处连续，则实数a=（ ）

A．4 B．-41 C．4或-41 D．41或-4

4．下列命题：①发果f(x)=x1，那么xlimf(x)=0；②如果f(x)=1x，那么f(x)=0；③如果f(x)=2x2xx2，那么2xlimf(x)不存在；④如果0x1,x0x,xf(x)，那么0limxf(x)=0，其中真命题是（ ）

A．①② B．①②③ C．③④ D．①②④

5．设abc≠0，xlim31baxacx，xlim43cbxbxax22，则xlimacxbxcbxcx233的值等于（ ）

A．4 B．94 C．41 D．49

6．设正数a, b满足2xlim(x2+ax-b)=4，则n1n1n1nn2baabalim等于（ ）

A．0 B．41 C．21 D．1

7．把1+(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n展开成关于x的多项式，其各项系数和为an，则1a12alimnnn等于（ ）

A．41 B．21 C．1 D．2

二、填空题

8．已知数列的通项an=-5n+2，其前n项和为Sn，则2nnnSlim=________．

第一讲 数列极限

一、上、下确界

1、定义：

1）设SR，若:,MRxSxM，则称M是数集S的一个上界，这时称S上有界；若:,LRxSxL，则称L是数集S的一个下界，这时称S下有界；当S既有上界又有下界时就称S为有界数集。

2）设SR，若:,MRxSxM，且0,:xSxM，则称M是数集S的上确界，记supMS；若:,LRxSxL，且0,:xSxL，则称L是数集S的下确界，记infLS。

2、性质：

1）（确界原理）设SR，S，若S有上界，则S有上确界；若S有下界，则S有下确界。

2）当S无上界时，记supS；当S无下界时，记infS。

3）sup()max{sup,sup};inf()min{inf,inf}ABABABAB。

4）supinf();infsup()SSSS。

5）sup()supsup;inf()infinfABABABAB。

6）sup()supinfABAB。（武大93）

7）设(),()fxgx是D上的有界函数，则

inf()inf()inf{()()}sup()inf()sup{()()}sup()sup()xDxDfDgDfxgxfDgDfxgxfDgD

3、应用研究

1）设{}nx为一个正无穷大数列，E为{}nx的一切项组成的数集，试证必存在自然数p，使得infpxE。（武大94）

二、数列极限

1、定义：

1）lim0,():,||nnnaaNNnNaa，称{}na为收敛数列；

2）lim0,:,nnnaMNnNaM，称{}na为数列；

3）lim0,:,nnnaMNnNaM，称{}na为数列； 4）lim0,:,||nnnaMNnNaM，称{}na为数列；

§3-1 無窮數列的極限

(甲)數列的收斂與發散：

(1)收斂的定義：

無窮數列{an}收斂到α

(a)直觀的看法：

不論我們要使a與α接近到何種程度，即不論我們要使naan−的值如何的小，只要把n的

值取到足夠大，必可辦到。

(b)理論上的定義：

∀ε>0，∃n0=n0(ε)，使得當n≥n0時，|an−α|

符號：=α

討論：請問一個無窮數列若收斂，其極限值會唯一嗎？

若一個無窮數列不收斂，我們稱該無窮數列發散。

nna

∞→lim

[例題1] 請利用理論上的定義證明：1

n2+1∞→nlim =0 。

[例題2] (1) 證明a>11lim=

∞→n

na。(2)01<

→∞=1。

(練習1) (1)lim

nn

→∞3=？ (2)lim

nn→∞1

100=？

(練習2) 請利用理論上的定義證明：2n2+3

n2+2∞→nlim =2。

(2)幾個基本數列收斂的型態：

(1)an=1

n2 (2)an=(−1)n

n (3)an=c (為常數) c

~3-1-1~

基本數列發散的型態：

(1)bn=n2 (2)bn=(−3)n (3)bn=1+(−1)n2

(乙)極限的求法

(1)極限的四則運算：

若設{an}，{bn}均為收斂的數列，且lim,lim

nnnnaab

→∞→∞b==，

則(a) (b)lim()nnnabab

→∞±=±acacnn⋅=⋅

∞→lim

(c) (d)babannn⋅=⋅

∞→)(lim0,lim≠=

∞→bba

ba

nn

n

[說明]：

(c)|anbn−ab|=|bn(an−a)+a(bn−b)|≤|bn||an−a|+|a||bn−b|

當n夠大時，|bn|≤M，|an−a|、|bn−b|會夠小，

因此|bn||an−a|+|a||bn−b|≤M|an−a|+|a||bn−b|也會夠小。

所以無論|anbn−ab|要多小，只要當n夠大時就可辦到，故babannn⋅=⋅

∞→)(lim。

(d)|anbn − a

高职专科高等数学教材

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目录

导言 1

第一章 数列和极限 2

1.1 数列的概念 2

1.2 数列的极限 3

1.2.1 数列极限的定义 3

1.2.2 数列极限的性质 4

1.3 极限的运算性质 5

第二章 函数与解析几何 7

2.1 函数的概念 7

2.1.1 函数的定义 7

2.1.2 函数的性质 9

2.2 解析几何基础 10 2.2.1 点、直线、平面 10

2.2.2 坐标系与坐标 11

2.2.3 曲线的方程 12

第三章 导数与微分 13

3.1 导数的引入 13

3.2 导数的计算 14

3.2.1 基本求导公式 14

3.2.2 复合函数的导数公式 15

3.3 微分的概念 16

3.3.1 微分的定义 16

3.3.2 微分的应用 17

第四章 不定积分 19

4.1 不定积分的定义 19

4.2 基本积分公式 20

4.3 分部积分法 22

4.4 定积分与不定积分的关系 23

第五章 二元函数与偏导数 25 5.1 二元函数的概念 25

5.2 偏导数的定义 26

5.2.1 偏导数的计算 26

5.2.2 高阶偏导数 27

5.3 多元函数的极值与条件极值 28

5.3.1 多元函数的极值 28

5.3.2 条件极值与拉格朗日乘数法 29

第六章 无穷级数与幂级数 31

6.1 无穷级数的收敛性 31

6.1.1 无穷级数的概念 31

6.1.2 收敛级数与发散级数 32

6.2 幂级数的性质 33

6.2.1 幂级数的收敛半径和收敛域 33

6.2.2 幂级数的求和 34

附录 36

A.1 常用数学符号表 36

A.2 比例关系与近似计算 37 A.3 常用函数表 39

导言

本教材是为高职专科数学专业学生编写的高等数学教材，以帮助学生建立扎实的数学基础，为其日后的学习和实践打下坚实的基础。本教材内容涵盖了数列和极限、函数与解析几何、导数与微分、不定积分、二元函数与偏导数、无穷级数与幂级数等重要内容。在编写过程中，我们注重理论与实践的结合，力求将抽象的数学概念与实际问题联系起来，提供具有实用性和应用性的教材。