数列极限第一节
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-1 课题：数列的极限
时间：2011年9月13日 授课班级：高二（8）（5）班
一、教学内容分析
极限概念是数学中最重要和最基本的概念之一，因为高等数学中其它重要的基本概念（如导数、微分、积分等）都是用极限概念来表述的，而且它们的运算和性质也要用极限的运算和性质来推导，所以，极限概念的掌握至关重要.
二、教学目标设计
1．理解数列极限的概念，能初步根据数列极限的定义确定一些简单数列的极限.
2．观察运动和变化的过程，初步认识有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证关系，提高的数学概括能力、抽象思维能力和审美能力.
三、教学重点及难点
重点：数列极限的概念以及简单数列的极限的求解.
难点：数列极限的定义的理解.
四、教学流程设计
五、教学过程设计
一、引入
1、创设情境，引出课题１．数列的定义：
简单的说，数列就是“一列数”，是有一定的规律，有一定次序性的“一列数”。
若函数f的定义域为全体正整数集合N，则称:fNR或Nnnf),(为数列。 实例引入
概念
符号 数列的极限 几何
理解
运用与深化(例题解析、巩固练习)
课堂小结并布置作业 百度文库 - 好好学习，天天向上
-2 若记()nfna，则数列nnnf,2,1),(就可写作为：12,,,,naaa，简记为na，其中na称为该数列的通项。
２．数列的例子：
（1）(1)111:1,,,,234nn； （2）11111:2,1,1,1,435n
（3）2:1,4,9,16,25,n； （4）11(1):2,0,2,0,2,n
二、数列极限的概念：
１．引言：对于这个问题，先看一个例子：古代哲学家庄周所著的《庄子. 天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。把每天截下的部分的长度列出如下（单位为尺）：
第１天截下12，第２天截下2111222，第３天截下23111222，…，第n天截下1111222nn，…
得到一个数列：n21： 231111,,,,,2222n
不难看出，数列12n的通项12n随着n的无限增大而无限地接近于零。
1. 观察 举例： 极限的思想在我国古代早有出现，公元前四世纪，我国古代重要的哲学家和思想家庄子就指出了“一尺之棰，日取某半，万世不竭”，我们把每天取去一半后所余的尺数用现代熟悉的表达方式可以得到一个数列：
[A] 战国时代哲学家庄周著的《庄子·天下篇》引用过一句话：一尺之棰 日取其半 万世不竭.
[B] 三国时的刘徽提出的“割圆求周” 的方法。他把圆周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分······ 这样继续分割下去，所得多边形的周长就无限接近于圆的周长。
割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。
二、学习新课
2、观察归纳，形成概念
（1）直观认识
请同学们考察下列几个数列的变化趋势
A.,101,,101,101,10132n )"(",......;21,......,81,41,21万世不竭这是一个无穷数列n百度文库 - 好好学习，天天向上
-3 ①“项”随n的增大而减小②但都大于0③当n无限增大时，相应的项n101可以“无限趋近于”常数0
B.,1,,43,32,21nn
①“项”随n的增大而增大 ②但都小于1
③当n无限增大时，相应的项1nn可以“无限趋近于”常数1
C.,)1(,,31,21,1nn
①“项”的正负交错地排列，并且随n的增大其绝对值减小
②当n无限增大时，相应的项nn)1(可以“无限趋近于”常数0
概念辨析归纳数列极限的描述性定义：
一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列}{na的项na无限趋近于．．．．．某个常数a（即naa无限趋近于0），那么就说数列}{na以a为极限，或者说a是数列}{na的极限．记作limnnaa，读作“当n趋向于无穷大时，na的极限等于a”
“n∞”表示“n趋向于无穷大”，即n无限增大的意思limnnaa有时也记作：当n∞时，naa．
数列1的极限为0，数列2的极限为1，数列3的极限为0 注意：首先考察数列是递增、递减还是摆动数列；再看这个数列当n无限增大时是否可以“无限趋近于”某一个数。
有些数列为必存在极限，例如：naannn或22)1(都没有极限。
例二 下列数列中哪些有极限？哪些没有？如果有，极限是几？ 1．2)1(1nna
2．2)1(1nna 3．)(Raaann4．nann3)1(1
5．nna355
解：1．na：0,1,0,1,0,1,…… 不存在极限2．na：,0,52,0,32,0,2 极限为百度文库 - 好好学习，天天向上
-4 0
3．na：,,,32aaa 不存在极限4．na：,431,23,3 极限为0
5．na：先考察n35：,8125,2755,95,35 无限趋近于0 ∴ 数列na的极限为5
一、 关于“极限”的感性认识，只有无穷数列才有极限
把上述数列的前几项分别在数轴上表示出来：
①
0
从图形容易看出，不论项数n怎样大， 永不为0，只是0
的近似值，但当n无限增大时，数列
的项就无限趋近于0。即当n→∞时， →0。
再看无穷数列②：,,,……， ，……
0 1
当项数无限增大时②中的项无限趋近于1，即n→∞时 →1。
“无限增大”、“无限趋近”怎样利用数量来刻划呢？
让学生读定义，对定义中的字母和记号逐字逐句体会：
① 定义中的数列 {an} 是什么数列？
②“存在一个常数A”是什么意思？
③“无论预先指定多么小的正数ε”，这个ε具有什么特征？
④找出一项aN，这个项数N是否存在，有多少个？
⑤ |an-A|
极限定义中一些字母和记号的特性如下表：
{an} A ε N an
无穷数列 唯一常数 (1)任意性
(2)给定性 存在而不唯一 存在而不唯一
然后指出数列{an}的极限是A，是数列{an}无限变化趋近于A的过程，这种过程在有限的时间内无法完成，只能近似地趋近于A，只有当项数n趋于无穷时，量变到质变，引起质的飞跃，得到了极限A。
（2）量化认识 问题拓展
给出数列极限的N定义： 一般地，设数列na是一个无穷数列，a是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数ε，总存在正整数N，使得只要正整数Nn，就有aan，那么就说数列na以a为极限，记作aannlim，或者n时aan.
三、巩固练习讲授例题
【例1】.已知数列 1146512,,,,,.....,1(1),...2356nn 321161814121n21n21n21n1011n1011n21百度文库 - 好好学习，天天向上
-5 1)写出这个数列的各项与1的差的绝对值;
2)第几项后面的所有项与1的差的绝对值都小于?都小于? 都小于?
3)第几项后面的所有项与1的差的绝对值都小于任何预先指定的正数ε?
4)1是不是这个数列的极限?
【例2】考察下面的数列，写出它们的极限：
1) 31111,,,,,827n
2) 56.5,6.95,6.995,,7,,10n
3) 1111,,,,,248(2)n
【例3】求常数数列-1，-1，-1，···，-1，···的极限．
【例4】当a满足什么条件时，0limnna？试举例验证。
【例5】试判断下列数列是否存在极限，并解答相应问题。
数列 是否存在极限a 若存在极限
limnna naa limnnaa
41 nnan
(1)nna
2 na
1
(n100)nan
0.99 nna
1 5()3nna
(1)3nnan
nan
1nan
1.如何理解极限定义中的“无限趋近”2.如何由定义来判断数列有无极限
三、讲解范例： 百度文库 - 好好学习，天天向上
-6 例1判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由
（1）1，21，31，…，n1，… ；
（2）21，32，43，…，1nn，…；
（3）－2，－2，－2，…，－2，…；
（4）－，，－，…，n)1.0(，…；
（5）－1,1，－1，…，n)1(，…；
解：（1）1，21，31，…，n1，… 的项随n的增大而减小，且当n无限增大时，n1无限地趋近于0.因此，数列｛n1｝的极限是0，即limnn1＝0.
（2）21，32，43，…，1nn，…的项随n的增大而增大，且当n无限增大时，1nn无限地趋近于1.因此，数列｛1nn｝的极限是1，即limn1nn＝1.
（3）－2，－2，－2，…，－2，…的项随n的增大都不变，且当n无限增大时，无限地趋近于－2.因此，数列｛-2｝的极限是-2，即limn(-2)＝-2.
（4）－，，－，…，n)1.0(，…的项随n的增大而绝对值在减小，且当n无限增大时，n)1.0(无限地趋近于0.因此，数列｛n)1.0(｝的极限是0，即limnn)1.0(＝0.
（5）－1,1，－1，…，n)1(，…的项随n的增大而在两个值－1与1上变化，且当n无限增大时，n)1(不能无限地趋近于同一个定值.因此，数列｛n)1(｝无极限
四、课堂练习：
1．下列命题正确的是（ ）
①数列31n没有极限 ②数列nn21的极限为0
③数列n233的极限为3 ④ 数列nn32没有极限
A ①② B ②③④ C ①②③ D ①②③④ 答案：D
2. 判断下列数列是否有极限，若有，写出极限
（1）1，41，91，…，21n，… ； （2）7，7，7，…，7，…；
