1-3数列的极限

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课题： §12.1-3 数列的极限（一）

教学目的要求：

1、明确等差，等比数列的定义，掌握等差等比数列的通项公式，中项公式等。

2、会解决知道ndaan,,,1中的三个，求另外一个的问题。

3、熟练掌握等差，等比数列的前n项的和的两个公式。

教学重点、难点：

重点：掌握数列的通项公式和求和公式。

难点：掌握数列的通项公式和求和公式。

授课方法：

讲练结合

教学参考及教具（含多媒体教学设备）：

《数学》第二册 《数学》编写组 编 苏州大学出版社

授课执行情况及分析：

板书设计或授课提纲

Ⅰ复习巩固

今天我们列一起学习复习数列部分的相关知识，主要是对这部分的等差数列和等比数列的综合应用的复习。

一、数列的定义：

1、 按一定词序排列的一列数叫做数列.数列中的每一个数都叫做这个数列的项,各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项,…,第n项,….

2、数列的一般形式可以写成

.,,,,,321naaaa

na是数列的第n项, 数列简记作na,

3、通项公式：数列na的第n项na与n之间的关系可以用一个公式来表示,这个公式叫做通项公式。

4、)1()2(11nSnSSannn

5、数列的分类：

有穷数列：项数有限的数列。

无穷数列： 项数无限的数列。

二、等差数列、等比数列：

1 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项地差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列地公差，用d表示。

dnaan)1(1，2baA，2)(1nnaanS，dnnnaSn2)1(1

数列的通项公式与极限

数列是数学中的重要概念，指的是一列有序的数。数列中的每个数称为项，项数为无限个或有限个，项之间存在规律。例如，1，2，3，4，5，......就是一个自然数数列。数列中的规律可以通过通项公式来描述，而通项公式的求法需要用到极限的知识。

一、数列的概念及分类

数列是指按照一定规律排列的无穷个数，记作{an}，其中a1，a2，a3......被称为数列的项。数列的数可以是有理数、无理数、复数等。

数列可以分为以下几类：

1.等差数列：如果一个数列中每一项与它的前一项的差相等，那么这个数列被称为等差数列。

2.等比数列：如果一个数列中每一项与它的前一项的比值相等，那么这个数列被称为等比数列。

3.通项数列：如果一个数列中每一项满足一个固定的公式an=f(n)，那么这个数列被称为通项数列。

二、数列的通项公式

通项公式是数列中非常重要的一个概念，它可以用来表示数列中任意一项的值。通项公式的求法根据数列的类型不同而不同。

1.等差数列的通项公式：对于一个等差数列{an}，如果知道它的首项a1和公差d，那么可以得到它的通项公式an=a1+(n-1)d。

例如，对于一个公差为3，首项为1的等差数列，它的通项公式为an=1+3(n-1)，其中n表示数列的第几项。

2.等比数列的通项公式：对于一个等比数列{an}，如果知道它的首项a1和公比q，那么可以得到它的通项公式an=a1q^(n-1)。

例如，对于一个公比为2，首项为1的等比数列，它的通项公式为an=2^(n-1)，其中n表示数列的第几项。

3.通项数列的通项公式：对于一个通项数列{an}，如果知道它的通项公式f(n)，那么可以得到它的通项公式an=f(n)。

例如，对于一个通项公式f(n)=n^2，它的通项公式为an=n^2，其中n表示数列的第几项。

三、数列的极限

极限是数学中的重要概念，它可以表示一个函数在某一点的近似值。在数列中，极限可以描述数列趋向无穷大或无穷小时的性质。

数列的上下极限概念以及之间关系

数列是由一系列有序的数字按照一定的规律排列而成的序列。在数学中，数列的上下极限是对数列的一种特殊性质描述。上下极限可以帮助我们研究数列的趋势，并且可以应用于各种数学问题中。本文将详细介绍数列的上下极限概念及其之间的关系。

首先，我们来定义数列的上极限和下极限。

定义1：数列{an}的上极限是指当n趋向于无穷大时，数列的子数列{an_k}中的最大极限，记作lim sup n→∞ an = sup{lim n→∞

an_k}。

定义2：数列{an}的下极限是指当n趋向于无穷大时，数列的子数列{an_k}中的最小极限，记作lim inf n→∞ an = inf{lim n→∞

an_k}。

上极限和下极限的定义有些抽象，通过几个实例来解释会更容易理解。 例子1：考虑数列{an} = {(-1)^n/n}，我们可以找到它的一些子数列：

子数列1：a1,a3,a5,…，对应的极限是1；

子数列2：a2,a4,a6,…，对应的极限是-1；

子数列3：a1,a2,a3,…，虽然这个子数列并没有收敛，但我们可以找到一个上界和下界（1和-1），所以上、下极限存在，分别是1和-1。

可以看出，这个数列的上极限是1，下极限是-1。

例子2：考虑数列{an} = {sin(n)}，我们发现这个数列并没有收敛，它在[-1,1]范围内不断波动。虽然无穷多的子数列都没有极限，但我们可以找到一个上界和下界（1和-1），所以上、下极限存在，分别是1和-1。

可以看出，这个数列的上极限是1，下极限是-1。

现在我们来研究数列的上极限和下极限之间的关系。

定理1：对于任何数列{an}，下极限小于等于上极限，即lim inf

n→∞ an ≤ lim sup n→∞ an。 证明：设l=lim inf n→∞ an，u=lim sup n→∞ an。根据定义，对于任意的ε>0，存在子数列{a1_k}和{a2_k}，使得lim n→∞ a1_k

1 习题2.3

1. 利用夹逼定理求下列数列的极限：

222111

(1)lim

(1)(2)nnnn

；

222111(2)lim

12nnnnn

；

(21)!!

(3)lim

(2)!!nn

n

；

2222123

(4)lim

123nn

nnnnnnnnn

.

2. 设

12max{,,,},(0,1,2,,}miAaaaaim，证明：

12lim.nnnn

mnaaaA



3. 直三棱锥PABC如图2-13所示，底为三角形ABC，高为

PA，试用柱体体积公式：×V底面积高，构造两个数列

{}

nV，{}nV，使得三棱锥的体积

PABCV满足：

nPABCnVVV，

并用夹逼定理得到直三棱锥PABC的体积公式

1

3PABCABCVSPA.

4. 利用单调有界数列极限存在定理，证明下列数列极限存在：

231111

(1);

31313131nna



2222223521

(2);

1223(1)nnann





222111

(3)1;

23na

n

23111

(4)1

23nna

n.

5. 证明下列递归数列收敛，并求其极限：

(1)

111,1,1,2,

1n

n

na

aan

a

； (2)

1111

0,(1,2,)

2nn

naaan

a



； (3)

1110,6(1,2,)

nnaaan

；

(4)

12a，

12(1,2,)

nnaan



. P

A

B C

图 2-13