2.1 数列的极限

培养孩子终生学习力 1

教师姓名 学生姓名 年 级 高三 上课日期 2016/6/4

学 科 数学 课题名称 专题--------求极限 计划时长 2h

教学目标 数列求极限

教学重难点 教学重点：数列求极限

教学难点：数列求极限

教学过程

一、知识点梳理

几个重要的极限

1、01limnn

2、CCnlim

3、CADCnBAnnlim)0(AC，

4、)0212122221121limAAAACnBnACnBnAn（其中

5、)1(0lim0)1qnqnqnq，即：的极限是（无穷等比数列

6、qanSSn11nlimn，则项和记为等比数列前

二、知识点巩固

例1：若1limanann，则常数a .

例2：计算limn2123nn＝ ．

练习：若数列na为等差数列，且12341,21aaaa，则122limnnaaan .

例3：已知无穷等比数列{}na中，122318,9,aaaa其前n项和为,limnnnSS_____

培养孩子终生学习力 2

例4：已知na为无穷等比数列，且41)(lim21nnaaa，则1a的取值范围是____________

练习1：若数列na满足311a，且对任意正整数nm,有nmnmaaa，则)(lim21nnaaa（

）

A．21 B．32 C．23 D．2

练习2：设无穷等比数列na(*)nN的公比12q,11a，则2462lim()nnaaaa ．

练习3：设无穷等比数列}{na的公比为q．若1242)(limaaaann，则q________．

1 习题2.3

1. 利用夹逼定理求下列数列的极限：

222111

(1)lim

(1)(2)nnnn

；

222111(2)lim

12nnnnn

；

(21)!!

(3)lim

(2)!!nn

n

；

2222123

(4)lim

123nn

nnnnnnnnn

.

2. 设

12max{,,,},(0,1,2,,}miAaaaaim，证明：

12lim.nnnn

mnaaaA



3. 直三棱锥PABC如图2-13所示，底为三角形ABC，高为

PA，试用柱体体积公式：×V底面积高，构造两个数列

{}

nV，{}nV，使得三棱锥的体积

PABCV满足：

nPABCnVVV，

并用夹逼定理得到直三棱锥PABC的体积公式

1

3PABCABCVSPA.

4. 利用单调有界数列极限存在定理，证明下列数列极限存在：

231111

(1);

31313131nna



2222223521

(2);

1223(1)nnann





222111

(3)1;

23na

n

23111

(4)1

23nna

n.

5. 证明下列递归数列收敛，并求其极限：

(1)

111,1,1,2,

1n

n

na

aan

a

； (2)

1111

0,(1,2,)

2nn

naaan

a



； (3)

1110,6(1,2,)

nnaaan

；

(4)

12a，

12(1,2,)

nnaan



. P

A

B C

图 2-13

1 第２章 极限与连续

２.１ 数列的极限

1. 数列及其极限

一、数列极限的描述性定义

1.依照某种规律排列的一串数叫做数列。

数列中的每一个数叫做数列的项。

数列中的一般项称为通项,用xn表示。

2.看几个数列的实例：

1,4,9,16,25,…,n2,…

1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,…

3.数列可以看成为自变量取正整数值n的函数

即:xn＝f(n)

4.数列的极限

对于数列x1,x2,x3,…,xn,…，当项数n无限增大时，它的通项xn无限趋近于某一个常数a，则称a为数列{xn}的极限。记作

axnnlim 或xn→a(n→+∞)

5.具有极限的数列称为收敛数列，没有极限的数列称为发散数列

例如：

⑴ ,21,,41,21,11n

⑵ ,1)1(,,45,34,23,2nnn

⑶ ,1,,43,32,21nn

⑷ 1,-4,9,-16,25,-36,…,(-1)n+1n2,…

其中，⑴⑶是收敛数列，⑵⑷是发散数列。

[几点说明]

1.数列的收敛与否与这个数列的增减性无关

例如上面的收敛数列中，⑴是递减数列，⑶是递增数列。

常数列一定是收敛数列。

2.收敛的数列一定有界，但有界的数列不一定收敛。

3.收敛数列的极限有的可以达到，有的不能达到。

例如，常数列可以达到它的极限，但上面的例子都不能达到它们的极限。

二、数列极限的精确定义

1.无限趋近于a的意义是指：

⑴随着n的增大，数列的项xn与a之间的距离越来越小 2 ⑵只要n足够大，数列的项xn与a之间的距离可以小于给定的任何正数

⑶无论你给定一个多小的正数，都一定可以在数列中找到一项xN，使这一项后面所有的项与a之间的距离小于你给定的那个正数。

定义2.1

对于给定的无论怎样小的正数ε，总存在一个自然数N，使得当n＞N时，不等式|xn－a|＜ε成立，那么，就称a是数列{xn}的极限。

1 习题2.1

1. 用观察法指出下列数列的极限，并按定义验证之： (1) (1)(1,2,3,)2n

nnan；

(2) 120.9,0.99,,0.99(9,naaan个）.

2. 用数列极限的N定义, 证明下列极限： (1) 2lim0

nn； (2) 323lim212nn

n； (3) 2

349lim078nnn

n； (4) 若limnnxa

，则33limnnxa

； (5) !lim0nnn

n； (6) lim(sin1sin)0

nnn

.

3. 设{na}为一正项数列，且1lim0n

nna

a

，证明数列{na}当n充分大后为单调减数列.

4. 若数列{}na满足1nnaqa，其中0na，0

.

5. 设limnnaa

，证明lim||nnaa

，并举例说明：如果数列||na收敛，数列na未必收敛.

6. 设lim,0nnaaa

若，试用定义证明 1lim1n

nna

a

；又若0a，问 1limn

nna

a

存在否？

7. 设有数列{na}和{nb}，如果limn

nnaab(0a)且lim0nna

，证明 lim0nnb

.

8. 根据定义证明下列数列为无穷小： (1)10

!nan； (2)1πsin2nnan； (3)2(1)

1n

nnan.

9. 根据定义证明下列数列为正无穷大：

(1)lnnxn； (2)21

31nnxn.

10. 举出满足下列要求的数列的例子：

(1) 有界数列但无极限； (2) 无界数列但不是无穷大.

11. 证明定理2.3. 即若0nx，则

(1) limnnx

  1lim0

nnx； (2) lim0nnx

  1lim

nnx.