2.1数列的极限

高等数学第七版教材下册目录

一、导言

1.1 数学的起源和发展

1.2 高等数学的地位和作用

1.3 数学的基本概念

二、极限与连续

2.1 数列的极限

2.1.1 数列极限的定义

2.1.2 数列极限的性质

2.2 函数的极限

2.2.1 函数极限的定义

2.2.2 函数极限的运算法则

2.3 极限存在定理

2.3.1 夹逼定理

2.3.2 单调有界定理

2.4 无穷大与无穷小

2.4.1 无穷大的定义与性质 2.4.2 无穷小的定义与性质

2.5 连续与间断

2.5.1 连续的定义与性质

2.5.2 间断点的分类与性质

三、导数与微分

3.1 导数的定义与性质

3.1.1 导数的定义

3.1.2 导数的基本性质

3.2 基本初等函数的导数

3.2.1 幂函数的导数

3.2.2 指数函数与对数函数的导数

3.2.3 三角函数与反三角函数的导数

3.3 高阶导数与高阶微分

3.4 隐函数与参数方程的导数

3.5 微分中值定理

3.5.1 罗尔中值定理

3.5.2 拉格朗日中值定理 3.5.3 柯西中值定理

四、微分中值定理与舍误

4.1 函数的单调性与极值

4.1.1 单调性的判定

4.1.2 极值的判定

4.2 函数图形的描绘

4.2.1 函数的对称性

4.2.2 渐近线与拐点

4.3 泰勒公式与泰勒展开

河南省高一数学知识点总结

一、集合与函数

1. 集合

1.1 集合的概念和表示方法

1.2 集合的运算：并、交、差、补集

1.3 集合的关系与判定

1.4 集合的应用：概率、统计等

2. 函数与映射

2.1 函数的定义与性质

2.2 基本初等函数与其图像

2.3 一次函数与二次函数

2.4 函数的运算与复合函数

2.5 函数的应用：模型建立与求解

二、数列与数列的极限

1. 数列的概念与性质 1.1 数列的定义与表示方法

1.2 等差数列与等比数列

1.3 数列的通项公式与倒数公式

1.4 递推数列与递推关系

2. 数列极限

2.1 数列极限的定义与性质

2.2 数列极限的判定方法

2.3 应用题与数列极限

2.4 无穷数列的性质与运算

三、概率与统计

1. 概率

1.1 事件与概率的基本概念

1.2 概率的性质与计算方法

1.3 条件概率与独立事件

1.4 事件的并、交与差

2. 统计

2.1 数据的收集与整理

2.2 频数与频率分布表

2.3 条形图、折线图与饼状图

2.4 平均数与离散程度的度量

2.5 统计误差与抽样调查

四、平面几何与立体几何

1. 平面几何

1.1 相交线与平行线

1.2 三角形的性质及判定

1.3 相似三角形与勾股定理

1.4 圆的性质与判定

1.5 平面几何的应用

2. 立体几何 2.1 空间图形的投影与展开

2.2 空间几何的基本性质

2.3 空间图形的计算

2.4 空间几何的应用：容积、表面积等

五、解三角形

1. 三角函数

1.1 正弦定理与余弦定理

1.2 三角函数的定义与性质

1.3 三角函数的图像与变换

1.4 三角函数的应用：角的解与值的计算

§2.1 数列极限的概念

教学目标：使学生建立起数列极限的准确概念；会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题.

教学要求：使学生逐步建立起数列极限的N定义的清晰概念.会应用数列极限的N定义证明数列的有关命题，并能运用N语言正确表述数列不以某实数为极限等相应陈述.

教学重点：数列极限的概念.

教学难点：数列极限的N定义及其应用.

教学方法：讲授为主.

教学过程：

一、组织教学

二、复习引入新课

三、新课讲授

数列极限

对于这个问题，先看两个个例子：

1.割圆术：求圆面积

“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”

-----------刘徽

2.古代哲学家庄周所著的《庄子. 天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日 A

取其半，万世不竭”.把每天截下的部分的长度列出如下（单位为尺）:

第1天截下12，

第2天截下2111222，

第3天截下23111222，



第n天截下1111222nn，



得到一个数列： 231111,,,,,2222n

不难看出，数列12n的通项12n随着n的无限增大而无限地接近于零.

普通定义：一般地说，对于数列na，若当n无限增大时，na能无限地接近某一个常数a，则称此数列为收敛数列，常数a称为它的极限.不具有这种特性的数列就不是收敛的数列，或称为发散数列.

据此可以说，数列12n是收敛数列，0是它的极限.

数列21,1(1)nn都是发散的数列.

需要提出的是，上面关于“收敛数列”的说法，并不是严格的定义，而仅是一种“描述性”的说法，如何用数学语言把它精确地定义下来.还有待进一步分析.

以11n为例，可观察出该数列具以下特性：

.

Word 资料 第二章 极限与连续

§2.1 数列极限

1. 写出下列数列的通项，考察n时通项的变化趋势，用极限的形式表示其结果：

（1） sin,sin2,,sin,nKK； （2） 1111,,,,242nKK

2. 求下列数列极限：

（1）23421lim1nnnnnn；

（2）3322limln(21)2lnln3nnnnn；

（3）设0,1aa，,1,2,;nnxanK 求nnxlim；

（4）设101,,1,2,nknkqxqnK，求nnxlim；

（5）3233,1,2,;nxnnnnK 求nnxlim；

（6）11,1,2,;nxnnnnK 求nnxlim；

（7）223sin,1,2,;2cosnnnxnnnK 求nnxlim.

3. 设0,1,2,,,iaikK求112lim;nnnnknaaaK

4. 设2221212nnxnnnnL，求lim;nnx

5. 设22211112nxnnnnL，求lim;nnx

§2.2 函数极限

1. 由函数xye的图形考察极限lim;lim;lim;xxxxxxeee

2. 由函数arctanyx的图形考察极限limarctan;limarctan;xxxx

limarctan;xx

3. 求下列函数极限：

（1）22lim242;xxxx （2）232037lim;235xxxxxx

（3）222lim;232xxxx （4）31363lim;1xxx

（5）7815(34)lim;51xxxx （6）3113lim.11xxx