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1.2数列极限

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1.2数列的极限

引入：一个实际问题：如何用渐进法求圆的面积？分别用正四边形、八边形、十六边形近似代替圆面积，分别记为1A、2A、3A。则继续下去，有正124n边形的面积为nA，得一系列内接正多边形的面积1A、2A、3A….. nA……，当n无限增大时，（记为n）边数无限增加，则多边形趋近于圆，nA无限接近于某个数值，即圆的面积，此值可认为是1A、2A、3A….. nA……当n时的极限。

一、 数列的概念

1. 数列的定义：若按照某一法则，使得对任何一个正整数n，有个一个确定的nx，则得到一列有次序的数，......,......,,321nxxxx这一列有序的数就叫做数列，记为}{nx，其中第n项叫做数列的一般项。

2. 数列的例子：......1,.......43,32,21:}1{nnnn

.......2.......8,6,4,2:}2{nn

.......21,........81,41,21:}2{nn

.......)1.......(1,1,1,1:})1{(11nn

.......)1(.......43,34,21,2:})1({1nnnnnn写出他们的一般项

3. 数列的几何意义：数列}{nx可看作数轴上一动点，它依次取数轴上点......,......,,321nxxxx。

4. 函数与数列：数列}{nx可看作自变量为n的函数，ZDnfxn),(。

5. 数列的极限：

A． 通俗定义：对于数列}{nx，若当n无限增大时，数列的一般项nx无限接近某一个确定的数值a，则称常数a是数列}{nx的极限，或}{nx收敛于a，记为：

axnnlim，若数列没有极限，则称数列是发散的。 例如：11limnnn，021limnn，1)1(limnnnn，而}2{n、})1{(1n是发散的。那么对于无限接近的刻画：nx无限接近||axan无限接近于0。

B． 精确定义：若对于,0,0N当Nn时，||axn总成立，则常数a为}{nx的极限，或}{nx收敛于a，记为：axnnlim或)(naxn。

注：axnnlim,0,0N当Nn时，||axn。

解释：1.用于刻画nx与a的接近程度，（关系接近的例子，钱）由任意性才能刻画无限接近，（例子，根号2，任意的大毫无用处，只有任意的小才满足要求，可认为比任何正数都小，仅比0大，）给定后才能验证N的存在性。

2.0N表示nx无限接近a时，n要多大，nnxnn)1(，100,10010011Nnn，n从第101项开始nx无限接近a，

1000,1000100011Nnn，n从第1001项开始nx无限接近a，

10000,100001000011Nnn，n从第10001项开始nx无限接近a，)(NN。

3.||axn必须保持。例如：为偶数为奇数n21nnxn

4.nx不一定越来越接近a。例如：nn)1(1.....31021010，，，，，，，时而等于0，时而不等于0但趋于0。越来越接近a，a也不一定是}{nx的极限。例如：

nn314.....119671，，，越来越接近2，但2却不是极限。因为nnnnn3132312|2314|不能任意的小。

5.没提供求a的方法。

C． 数列极限的几何解释：

将a与......,......,,321nxxxx在数轴上表示出来，作开区间),(aa，由定义，从1nx项开始无穷多点落入其中，Nxxxx,......,,321落在之外。画图 例：证明：1)1(limnnnn

证明：（分析）nnnxnn1|1)1(||1|，,0要使 ||axn总成立，只要n1，即1n。

证：对于,0]1[,0N当Nn时，nnnxnn1|1)1(||1|，

所以1)1(limnnnn。

二、 收敛数列的性质

定理一：（唯一性）数列}{nx不能收敛于2个不同的极限。

证明：设同时有axnnlim，bxnnlim，且ba。由定义,0,0N同时有

||axn，||bxnaxan，bxbn。根据的特性，以上2个邻域无交集，nx不可能在bxan中，否则ba。

定理二：（有界性）若}{nx收敛，则}{nx一定有界。（先给出数列有界的定义）

证明：axnnlim,0,0N当Nn时，||axnaxan，

由Nn时有有限项，则令|}||,||,||,.....||,max{|21aaxxxMN，则有Mxn。

定理三：（保号性）若}{nx收敛于0a（或0a），则当,0N当Nn时，0nx。

证明：axnnlim,0,0NNn，||axnaxan0

推论：若}{nx从某项起有0nx（或0nx）且数列}{nx收敛于a，那么0a。

证明：}{nx从1N项起有0nx，设0a由定理三，,02N当2Nn时，0nx，取},max{21NNN，由条件0nx，由定理三0nx，得矛盾。

子列：在}{nx中任意抽取无限多项并保持原次序排列得到的数列。

例：.......)1.......(1,1,1,1:})1{(11nn子列有：.......1.......1,1,1,1:}1{

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大一高数知识点笔记手写

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1. 数列与数列极限

1.1 定义：数列是由一系列的数字按照一定的顺序排列而成的有序集合。记为{an}或an，其中n表示数列中的第n个数。

1.2 数列极限的定义：对于一个数列{an}，如果存在一个实数A，使得对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，有|an - A|

A。

2. 函数与连续性

2.1 函数的定义：函数是一种将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的元素的规则。通常表示为y = f(x)，其中x为自变量，y为因变量。

2.2 连续函数：如果函数在某一点存在极限，并且该极限等于该点的函数值，则称该函数在该点连续。

3. 导数与微分

3.1 导数的定义：函数f(x)在点x0处的导数定义为lim(h→0)

[f(x0 + h) - f(x0)] / h。如果导数存在，则称函数在该点可导。

3.2 微分的定义：函数f(x)在点x0处的微分定义为df = f'(x0)dx，其中dx为自变量的微小增量，df为因变量的微小增量。 4. 微分中值定理与导数应用

4.1 微分中值定理：如果函数f(x)在闭区间[x1, x2]上连续，并且在开区间(x1, x2)内可导，那么在(x1, x2)内至少存在一点c，使得f'(c) = (f(x2) - f(x1)) / (x2 - x1)。

4.2 导数应用：导数可以用来表示函数的变化率、确定函数的极值点和拐点，并且在求解最优化问题、判断函数在某一点的凹凸性等方面有广泛应用。

5. 不定积分与定积分

5.1 不定积分的定义：函数F(x)的原函数是指在定义域上导数等于该函数的函数。对于函数f(x)，记其原函数为F(x)，则F(x) +

C称为f(x)的不定积分，记为∫f(x)dx = F(x) + C。

5.2 定积分的定义：对于函数f(x)，如果在闭区间[a, b]上有定义且有界，将区间[a, b]等分成n个小区间，其中每个小区间的长度为Δx，取Δx趋近于0，那么极限lim(n→∞)Σf(xi)Δx表示f(x)在区间[a, b]上的定积分，记为∫[a, b]f(x)dx。

高等数学第一章《函数与极限》

高等数学第一章《函数与极限》

第一章 函数与极限

一、内容提要

（一）主要定义

【定义1.1】 函数 设数集,DR如果存在一个法则，使得对D中每个元素x,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称:fDR为定义在D上的函数,记作

(),yfxxD.

x称为自变量,y称为因变量,D称为定义域.

【定义1.2】 数列极限 给定数列xn及常数a,若对任意0,总存在正整数N,使得当nN时,恒有xan成立,则称数列xn收敛于a,记为axnnlim.

【定义1.3】 函数极限

（1）对于任意0,存在0,当00xx时,恒有Axf.则称A为fx当0xx时的极限,记为Axfxx)(lim0.

（2） 对于任意0,存在0X,当xX时,恒有fxA().则称A为fx当x时的极限,记为lim()xfxA.

（3）单侧极限

左（右）极限 任意0,存在0,使得当000(0)xxxx时,恒有Axf.则称当00()xxxx时)(xf有左（右）极限A,记为00lim()(lim())xxxxfxAfxA 或00(0)((0))fxAfxA.

单边无穷极限 任意0,存在0X,使得当xX（xX）时,

恒有fxA(), 则lim()xfxA（lim()xfxA） .

【定义1.4 】 无穷小、无穷大 若函数()fx当0xx(或x)时的极限为零（|()|fx无限增大）,那么称函数()fx为当0xx(或x)时的无穷小（无穷大）.

【定义1.5】 等价无穷小 若lim0,lim0,lim1,则与是等价的无穷小.

【定义1.6】 连续 若)(xfy在点0x附近有定义,且)()(lim00xfxfxx,称()yfx在点0x处连续.否则0x为()fx的间断点.

极限

极限

1.2 极限的概念 1.2.1 数列的极限

一、数列的极限 1、数列的定义

定义:按自然数,3,2,1编号依次排列的一列数 ,,,,21nxxx，称为无穷数列，简称数列。其中的每个数称为数列的项，nx称为通项(一般项)，记为}{nx。

例如： ;,21,,81,41,21n }21{n ;,2,,8,4,2n }2{n

;,)1(,,1,1,11n })1{(1n;,)1(,,34,21,21nnn })1({1nnn

,333,,33,3

2、数列的极限

问题: 当 n 无限增大时，数列是否无限接近于某一确定的数值？如果是，如何确定？

【注意】

三、例题选讲

例1 ,131211n，，，， 0

例2  ,)1(1 , 54 45 32 ,23 0nn，，，，1

例3 1，－1，1，－1，„，(－1)n+1，„

分析：正负交错，n无限增大，数列不趋于任何定数，无极限.

四、课堂练习（1） ,21,212121032n，，，， 分析：021limnn

（2） 1，3，5，„，2n－1，„分析：随n增大数 列的项也无限增大，也不趋于任何定数,无极限.

1.2.2函数的极限

一、当x→∞时，函数f(x)的极限

例1 .21)(时的变化趋势当观察函数xxfx

.0)(,,21)(xfxxfx时当函数

例2 已知函数xxf1)((x < 0)，试由函数的图象，判断x趋向负无穷大时函数y的变化趋势。

因为，x→+∞和x→-∞可以写为x→∞ 01limxx所以

定理1

思考：已知函数y=arctanx,试讨论当x→∞时，y=arctanx否有极限，为什么？

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编写者：XXX

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目录

导言 1

第一章 数列和极限 2

1.1 数列的概念 2

1.2 数列的极限 3

1.2.1 数列极限的定义 3

1.2.2 数列极限的性质 4

1.3 极限的运算性质 5

第二章 函数与解析几何 7

2.1 函数的概念 7

2.1.1 函数的定义 7

2.1.2 函数的性质 9

2.2 解析几何基础 10 2.2.1 点、直线、平面 10

2.2.2 坐标系与坐标 11

2.2.3 曲线的方程 12

第三章 导数与微分 13

3.1 导数的引入 13

3.2 导数的计算 14

3.2.1 基本求导公式 14

3.2.2 复合函数的导数公式 15

3.3 微分的概念 16

3.3.1 微分的定义 16

3.3.2 微分的应用 17

第四章 不定积分 19

4.1 不定积分的定义 19

4.2 基本积分公式 20

4.3 分部积分法 22

4.4 定积分与不定积分的关系 23

第五章 二元函数与偏导数 25 5.1 二元函数的概念 25

5.2 偏导数的定义 26

5.2.1 偏导数的计算 26

5.2.2 高阶偏导数 27

5.3 多元函数的极值与条件极值 28

5.3.1 多元函数的极值 28

5.3.2 条件极值与拉格朗日乘数法 29

第六章 无穷级数与幂级数 31

6.1 无穷级数的收敛性 31

6.1.1 无穷级数的概念 31

6.1.2 收敛级数与发散级数 32

6.2 幂级数的性质 33

6.2.1 幂级数的收敛半径和收敛域 33

6.2.2 幂级数的求和 34

附录 36

A.1 常用数学符号表 36

A.2 比例关系与近似计算 37 A.3 常用函数表 39

导言

本教材是为高职专科数学专业学生编写的高等数学教材，以帮助学生建立扎实的数学基础，为其日后的学习和实践打下坚实的基础。本教材内容涵盖了数列和极限、函数与解析几何、导数与微分、不定积分、二元函数与偏导数、无穷级数与幂级数等重要内容。在编写过程中，我们注重理论与实践的结合，力求将抽象的数学概念与实际问题联系起来，提供具有实用性和应用性的教材。