2019高考数学三轮冲刺 专题 随机事件练习(含解析)

(高考冲刺押题)2019高考数学三轮基础技能闯关夺分必备数列的应用（含解析）【考点导读】1、能在具体的问题情景中发现数列的等差、等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。

2、注意基本数学思想方法的运用，构造思想：数列构造新数列，转化思想：将非等差、等比数列转化为等差、等比数列。

【基础练习】1、将正偶数按下表排成5列： 第1列第2列第3列第4列第5列 第1行2468 第2行16141210 第3行18202224 第4行32302826 ……………那么2017在第251行，第5列。

2、图1，2，3，4分别包含1，5，13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，那么第n 个图包含2221n n -+个互不重叠的单位正方形.0>n b )1(2112>+=∴+-n b b b n n n }{n b ∴是等差数列〔2〕由〔1〕知,822121=+=a a b ,21=∴bn b n b b b b a n =∴+=∴=∴=12212,1,3,∴)1)(1(1>+==-n n n b b a n n n又21=a 也符合该式，)1(+=∴n n a n〔3〕n n n s 2124232232+++++=① 13221242321+++++=n n n s ② ①—②得14322121212121121++-+++++=n n n n s 1121211)211(411++----+=n n n 1121)211(211+----+=n n n n n n s 233+-=∴.点评：此题考查了等差、等比数列的性质，数列的构造，数列的转化思想，乘公比错项相减法求和等。

例3、设数列{}{}n n b a ,满足3,4,6332211======b a b a b a ，且数列{}()++∈-N n a a n n 1是等差数列，数列{}()+∈-Nn b n 2是等比数列。

〔I 〕求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； 〔II 〕是否存在*N k ∈，使⎪⎭⎫⎝⎛∈-21,0k k b a ，假设存在，求出k ，假设不存在，说明理由。

集合与函数（6）4、设奇函数f（x）在（0，+∞）上为单调递减函数，且f（2）=0，则不等式的解集为（）7、函数单调递增区间是（）10、定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且在[﹣3，﹣2]上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，则下列结论正确的是（）13、已知函数是奇函数，则=（）15、如图，函数y=f（x）的图象为折线ABC，设g （x）=f[f（x）]，则函数y=g（x）的图象为（）24、已知函数.若，且，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．25、设集合，集合.若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是（ ）A ． B ． C ． D ．26、已知函数（a ∈R ）．（1）试判断f （x ）的单调性，并证明你的结论；（2）若f （x ）为定义域上的奇函数，①求函数f （x ）的值域；②求满足f （ax ）＜f （2a ﹣x 2）的x 的取值范围．27、已知函数，函数。

（Ⅰ）判断函数的奇偶性；（Ⅱ）若当时，恒成立，求实数的最大值。

29、 已知二次函数，若对任意，恒有成立，不等式的解集为，(Ⅰ)求集合；(Ⅱ)设集合，若集合是集合的子集，求的取值范围。

31、已知定理：“若a ，b 为常数，g （x ）满足g （a+x ）+g （a ﹣x ）=2b ，则函数y=g （x ）的图象关于点（a ，b ）中心对称”．设函数，定义域为A ．（1）试证明y=f （x ）的图象关于点（a ，﹣1）成中心对称；（2）当x∈[a﹣2，a﹣1]时，求证：；（3）对于给定的x1∈A，设计构造过程：x2=f（x1），x3=f（x2），…，x n+1=f（x n）．如果x i∈A（i=2，3，4…），构造过程将继续下去；如果x i∉A，构造过程将停止．若对任意x1∈A，构造过程都可以无限进行下去，求a的值．34、函数f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数．设函数f（x）为定义在[0，1]上的非减函数，且满足以下三个条件：①f（0）=0；②f（1﹣x）+f（x）=1x∈[0，1]；③当时，恒成立．则= ．35、已知函数f（x）=在区间（﹣2，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是．38、已知集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，B=，则集合A∩B= ．39、|x+2|+|x﹣3|的取值范围是．40、函数的单调递减区间是4、解：∵函数f（x）在（0，+∞）上为单调递减函数，且f（2）=0∴函数f（x）在（0，2）的函数值为正，在（2，+∞）上的函数值为负当x＞0时，不等式等价于3f（﹣x）﹣2f（x）≤0又奇函数f（x），所以有f（x）≥0所以有0＜x≤2同理当x＜0时，可解得﹣2≤x＜0综上，不等式的解集为[﹣2，0）∪（0，2]故选D7、解：令故答案为C．10、解：∵α，β是钝角三角形的两个锐角可得0°＜α+β＜90°即0°＜α＜90°﹣β∴0＜sinα＜sin（90°﹣β）=cosβ＜1∵f（x）满足f（2﹣x）=f（x），∴函数关于x=1对称∵函数为偶函数即f（﹣x）=f（x）∴f（2﹣x）=f（x），即函数的周期为2∴函数在在[﹣3，﹣2]上是减函数，则根据偶函数的性质可得在[2，3]单调递增，根据周期性可知在0，1]单调递增∴f（sinα）＜f（cosβ）故选D13、解：∵函数是奇函数，∴f（0）=0，即，=0，解得，a=2∴，=f（1）==故选A15、解：如图：函数y=f（x）的图象为折线ABC，函数f（x）为偶函数，我们可以研究x≥0的情况即可，若x≥0，可得B（0，1），C（1，﹣1），这直线BC的方程为：l BC：y=﹣2x+1，x∈[0，1]，其中﹣1≤f（x）≤1；若x＜0，可得lAB：y=2x+1，∴f（x）=，我们讨论x≥0的情况：如果0≤x≤，解得0≤f（x）≤1，此时g（x）=f[f（x）]=﹣2（﹣2x+1）=4x﹣2；若＜x ≤1，解得﹣1≤f（x）＜0，此时g（x）=f[f（x）]=2（﹣2x+1）﹣4x+2；∴x∈[0，1]时，g（x）=；故选A；24、C 25、B 26、解：（1）函数f（x）为定义域（﹣∞，+∞），且，任取x1，x2∈（﹣∞，+∞），且x1＜x2则∵y=2x在R上单调递增，且x1＜x2∴，，，，∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），∴f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调增函数．…（5分）（2）∵f（x）是定义域上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即对任意实数x 恒成立，化简得，∴2a﹣2=0，即a=1，…（8分）（注：直接由f（0）=0得a=1而不检验扣2分）①由a=1得，∵2x+1＞1，∴，…（10分）∴，∴故函数f（x）的值域为（﹣1，1）．…（12分）②由a=1，得f（x）＜f（2﹣x2），∵f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，∴x＜2﹣x2，…（14分）解得﹣2＜x＜1，故x的取值范围为（﹣2，1）．…（16分）27、法2：由得，，（）当时，，,（）式化为，（）设，，则（）式化为，再设，则恒成立等价于，，，解得，故实数的最大值为1229、答案】(Ⅰ)对任意，有要使上式恒成立，所以由是二次函数知故由所以不等式的解集为(Ⅱ)解得，解得31、（1）∵，∴．由已知定理，得y=f（x）的图象关于点（a，﹣1）成中心对称．（3分）（2）先证明f（x）在[a﹣2，a﹣1]上是增函数，只要证明f（x）在（﹣∞，a）上是增函数．设﹣∞＜x1＜x2＜a，则，∴f（x）在（﹣∞，a）上是增函数．再由f（x）在[a﹣2，a﹣1]上是增函数，得当x∈[a﹣2，a﹣1]时，f（x）∈[f（a﹣2），f（a﹣1）]，即．（7分）（3）∵构造过程可以无限进行下去，∴对任意x∈A恒成立．∴方程无解，即方程（a+1）x=a2+a﹣1无解或有唯一解x=a．∴或由此得到a=﹣1（13分）34、解：∵函数f（x）满足：f（1﹣x）+f（x）=1，x∈[0，1]，则f（）=，且当时，恒成立，则f（）≥，又∵函数f（x）为定义在[0，1]上的非减函数，∴当x∈[，]时，f（x）=，恒成立，故f（）=，f（）=，则f（）=，则=1故答案为1．35、解：函数f（x）==a+，由复合函数的增减性可知，若g（x）=在（﹣2，+∞）为增函数，∴1﹣2a＜0，a＞，故答案为 a＞．38、解：集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，所以A={x|﹣4≤x≤5}；集合，所以B={x|x≥﹣2}所以A∩B={x|﹣5﹣4≤x≤5}∩{x|x≥﹣2}={x|﹣2≤x≤5}故答案为：{x|﹣2≤x≤5}39、解：令f（x）=|x+2|+|x﹣3|=∵x≥3，2x﹣1≥5；x≤﹣2时，﹣2x+1≥5根据分段函数的性质可知，f（x）的取值范围f（x）≥5故答案为：[5，+∞）40、。

平面向量课时提升训练（1）1、已知是圆：上的两个点，是线段上的动点，当的面积最大时，则的最大值是（）A.-1B. 0C.D.2、在△ABC中，已知，P为线段AB上的点，且的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．63、已知内一点满足关系式，则的面积与的面积之比为（A）（B）（C）（D）4、已知平面向量、、两两所成角相等，且，则等于（）A．2 B．5 C．2或5 D．或5、已知向量都是单位向量，且，则的值为（）A、-1B、C、D、16、设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则A． B．4 C． D．27、已知所在的平面内一点满足，则（）8、下列命题中正确的个数是（）⑴若为单位向量，且，=1，则=；⑵若=0，则=0⑶若，则；⑷若，则必有；⑸若，则A. 0B. 1C. 2D. 39、平面上点P与不共线的三点A、B、C满足关系：＋＋＝，则下列结论正确的是( )(A)P在CA上，且＝2 (B)P在AB上，且＝2(C)P在BC上，且＝2 (D)P点为△ABC的重心10、已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A、B、C三点共线的充要条件为( )(A)λ＋μ＝2 (B)λ－μ＝1(C)λμ＝－1 (D)λμ＝111、若O为△ABC所在平面内一点，且满足(－)²(＋－2)＝0，则△ABC 的形状为( )(A)正三角形 (B)直角三角形 (C)等腰三角形 (D)斜三角形12、已知平面内不共线的四点O，A，B，C满足＝＋，则||∶||＝( )(A)1∶3 (B)3∶1 (C)1∶2 (D)2∶113、a，b为非零向量，“函数f(x)＝(ax＋b)2为偶函数”是“a⊥b”的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件14、已知O为所在平面内一点，满足，则点O 是的（）A.外心B.内心C.垂心D.重心15、函数为定义在上的减函数，函数的图像关于点（1,0）对称，满足不等式，，为坐标原点，则当时，的取值范围为（）A． B． C． D．16、过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若，则双曲线的离心率为（A）（B）（C）（D）17、若等边的边长为，平面内一点满足，则（）A． B． C． D．18、在△ABC中，△ABC的面积夹角的取值范围是（）A． B． C． D．19、下列四个结论：①若，且，则或；②若，则或；③若不平行的两个非零向量，满足，则；④若平行，则.其中正确的个数是A． B．1 C. 2 D. 320、已知M是△ABC内的一点，且=2，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为，x，y，则+的最小值是（）21、设，是两个非零向量（）+|=|||，则若⊥|+|=||+|=|||，使得，使得||=|||22、下列命题正确的个数（）（1）命题“”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；（2）函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件；（3）“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”⇔“（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立”（4）“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“”A． 1 B． 2 C． 3 D． 423、已知,点在内, ,若,则A． B． C． D．24、、在中，有命题①；②；③若，则为等腰三角形；④若，则为锐角三角形.上述命题正确的是（）A、①②B、①④C、②③D、②③④25、已知△ABC为等边三角形，AB=2．设点P，Q满足，，λ∈R．若=﹣，则λ=（）26、如图在矩形ABCD中，AB=，BC=4，点E为BC的中点，点F在CD上，若，则的值是（）27、若，，均为单位向量，且，，则的最大值为（）28、在边长为1的正六边形A1A2A3A4A5A6中，的值为（）﹣29、在中，M 是BC 的中点，AM=4，点P 在AM 上且满足等于A.6B.C.D.30、 已知与的夹有为，与的夹角为，若，则＝（ ）A. B. C. D.2 31、已知点点是线段的等分点，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．32、如图，在中，，，，则等于（ ▲ ）A. B. C. D.33、已知是所在平面内一点，且，则与的面积之比为（ ）Ａ． B ． Ｃ． Ｄ．34、设正六边形的中心为点,为平面内任意一点，则( )Ａ． B．Ｃ．3Ｄ．635、对任意两个非零的平面向量和，定义；若平面向量满足，与的夹角，且，都在集合中，则A． B． C． D．36、若两个非零向量满足，则向量与的夹角为（）A． B． C． D．37、如图正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设（α、β∈R），则的取值范围是A. B. C. D.38、已知点是的中位线上任意一点，且. 设，，，的面积分别为，，，，记，，，定义．当取最大值时，则等于（A）（B）（C）（D）39、设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：①给定向量，总存在向量，使；②给定向量和，总存在实数和，使；③给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；④给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使；上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A．1 B．2 C．3 D．440、已知a,b是单位向量，a²b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为A. B. C. D.1、C2、A3、A4、C5、D ，而都是单位向量，，所以6、D7、B 8、A9、A.＋＋＝⇒＋＝－⇒＋＝⇒＝2⇒∥⇒P在CA上.10、D.由题意得必存在m(m≠0)使＝m²，即λ a＋b＝m(a＋μb)，得λ＝m,1＝mμ，∴λμ＝1.11、C.∵(－)²(＋－2)＝0，∴²(－＋－)＝0，即²(＋)＝0，设D为BC的中点，∴²2＝0，∴△ABC为等腰三角形.12、D.因为＝＋，所以－＝－，得＝，又－＝－＋，得＝，所以||∶||＝∶＝2∶1，故选D.13、C.f(x)＝a2x2＋2a²bx＋b2，∵a、b为非零向量，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)恒成立，∴a2x2－2a²bx＋b2＝a2x2＋2a²bx＋b2，∴4a²bx＝0，又x∈R，∴a²b＝0，∴a⊥b；若a⊥b，则a²b＝0，∴f(x)＝a2x2＋b2，∴f(x)为偶函数.综上，选C.14、C 15、D试题分析：因为函数的图像关于点（1,0）对称，所以的图象关于原点对称，即函数为奇函数，由得，所以，所以，即，画出可行域如图，可得=x+2y∈[0，12]．故选D．16、A17、C 18、B 19、D20、解：由已知得=bccos∠BAC=2⇒bc=4，故S△ABC=x+y+=bcsinA=1⇒x+y=，而+=2（+）³（x+y）=2（5++）≥2（5+2）=18，故选B．21、解答：解：对于A，，，显然|+|=||﹣||，但是与不垂直，而是共线，所以A不正确；对于B，若⊥，则|+|=|﹣|，矩形的对角线长度相等，所以|+|=||﹣||不正确；对于C，若|+|=||﹣||，则存在实数λ，使得=λ，例如，，显然=，所以正确．对于D，若存在实数λ，使得=λ，则|+|=||﹣||，例如，显然=，但是|+|=||﹣||，不正确．故选C．22、解答：解：（1）根据特称命题的否定是全称命题，∴（1）正确；（2）f（x）=﹣=cos2ax，最小正周期是=π⇒a=±1，∴（2）正确；（3）例a=2时，x2+2x≥2x在x∈[1，2]上恒成立，而（x2+2x）min=3＜2x max=4，∴（3）不正确；（4）∵•=||||cos，∵=π时＜0，∴（4）错误．故选B 23、D 24、C 25、解：∵，，λ∈R∴，∵△ABC为等边三角形，AB=2∴=+λ+（1﹣λ）=2³2³cos60°+λ³2³2³cos180°+（1﹣λ）³2³2³cos180°+λ（1﹣λ）³2³2³cos60°=﹣2λ2+2λ+2∵=﹣∴4λ2﹣4λ+1=0∴（2λ﹣1）2=0∴故选A26、解：选基向量和，由题意得，=，=4，∴，∴==+=，即cos0=，解得=1，∵点E为BC的中点，=1，∴，，∴=（）•（）==5+，故选B．27、解：∵，，均为单位向量，且，，则﹣﹣+≤0，∴•（）≥1．而=+++2﹣2﹣2=3﹣2•（）≤3﹣2=1，故的最大值为 1，故选B．28、解：连接A1A5，∵A1A2A3A4A5A6是正六边形，∴△A1A2A3中，∠A1A2A3=120°又∵A1A2=A2A3=1，∴A1A3==同理可得A1A3=A3A5=∴△A1A3A5是边长为的等边三角形，由向量数量积的定义，得=•cos120°=﹣故选B29、B 30、 D 应用向量加法, 三角形法则知.31、C32、【答案】B.33、C34、D 35、【答案】B【解析】因为，，且和都在集合中，所以，，所以，因为，所以，故有．故选B．36、【答案】C【解析】因为，所以以OA、OB为邻边做的平行四边形为矩形，所以，，所以向量与的夹角为。

随机事件一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 若某群体中的成员只用现金支付的概率为，既用现金支付也用非现金支付的概率为，则不用现金支付的概率为A. B. C. D.（正确答案）B解：某群体中的成员只用现金支付，既用现金支付也用非现金支付，不用现金支付，是互斥事件，所以不用现金支付的概率为：．故选：B．直接利用互斥事件的概率的加法公式求解即可．本题考查互斥事件的概率的求法，判断事件是互斥事件是解题的关键，是基本知识的考查．2. 从装有3个红球和3个白球的口袋里任取3个球，那么互斥而不对立的两个事件是A. 至少2个白球，都是红球B. 至少1个白球，至少1个红球C. 至少2个白球，至多1个白球D. 恰好1个白球，恰好2个红球（正确答案）A解：从装有3个红球和3个白球的口袋内任取3个球，取球情况有：3个球都是红球；3个球中1个红球2个白球；3个球中2个红球1个白球；3个球都是白球．选项A中“至少2个白球“，与”都是红球“互斥而不对立，选项B中“至少有一个白球”与“至少有一个红球”的交事件是“有1白球2个红球”或“有2白球1个红球”；选项C中“至少有2个白球”与“至多1个白球”是对立事件；选项D中“恰有一个白球”和“恰有两个红球”既不互斥也不对立．故选：A．分析出从装有3个红球和3个白球的口袋内任取3个球的所有不同情况，然后利用互斥事件和对立事件的概念逐一核对四个选项即可得到答案．本题考查了互斥事件和对立事件的概念，对于两个事件而言，互斥不一定对立，对立必互斥，是基础的概念题．3. 有四个游戏盒，将它们水平放稳后，在上面仍一粒玻璃珠，若玻璃珠落在阴影部分，则可中奖，则中奖机会大的游戏盘是A. B. C. D.（正确答案）D解：在A中，中奖概率为，在B中，中奖概率为，在C中，中奖概率为，在D中，中奖概率为．中奖机会大的游戏盘是D．故选：D．利用几何概型分别求出A，B，C，D四个游戏盘中奖的概率，由此能求出结果．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意几何概型的合理运用．4. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件“取到的2个数之和为偶数”，事件“取到的2个数均为偶数”，则A. B. C. D.（正确答案）B解：，．由条件概率公式得．故选：B．利用互斥事件的概率及古典概型概率计算公式求出事件A的概率，同样利用古典概型概率计算公式求出事件AB的概率，然后直接利用条件概率公式求解．本题考查了条件概率与互斥事件的概率，考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键在于对条件概率的理解与公式的运用，属中档题．5. 从甲口袋内摸出1个白球的概率是，从乙口袋内摸出1个白球的概率是，如果从两个口袋内摸出一个球，那么是A. 2个球不都是白球的概率B. 2个球都不是白球的概率C. 2个球都是白球的概率D. 2个球恰好有一个球是白球的概率（正确答案）A解：两个球不都是白球的对立事件是两个球都是白球，两者是相互独立的，两个球都是白球的概率，两个球不都是白球的概率是，故选A两个球不都是白球的对立事件是两个球都是白球，从甲口袋内摸出1个白球和从乙口袋内摸出1个白球是相互独立事件，根据对立事件和相互独立事件的公式得到结果．这种题目从条件不好考虑，可以借助于本题是选择题的特点从选项入手来做，把选项检验，看是否符合条件选择题的特殊做法也是应该掌握的，要学会做选择题．6. 设随机变量，，若，则的值为A. B. C. D.（正确答案）C解：变量，且，，，，故选：C．先根据变量，且，求出p的值，然后根据求出所求．本题主要考查了二项分布与n次独立重复试验的模型，解题的关键就是求p的值，属于中档题．7. 在区间上任选两个数x和y，则的概率为A. B. C. D.（正确答案）A解：如图，在区间上任选两个数x和y，则，平面区域是边长为2的正方形，的平面区间是圆外侧且正方形内侧的阴影部分，由几何概型概率计算公式得：的概率为：．故选：A．，平面区域是边长为2的正方形，的平面区间是圆外侧且正方形内侧的阴影部分，由几何概型概率计算公式能求出的概率．本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8. 市场调查发现，大约的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器经工商局抽样调查发现网上购买的家用小电器合格率约为，而实体店里的家用小电器的合格率约为现工商局12315电话接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是A. B. C. D.（正确答案）A解：大约的人喜欢在网上购买家用小电器，网上购买的家用小电器合格率约为，故网上购买的家用小电器被投诉的概率为，又实体店里的家用小电器的合格率约为．实体店里购买的家用小电器被投诉的概率为，故工商局12315电话接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性，故选：A．由已知可得网上购买的家用小电器被投诉的概率为，实体店里购买的家用小电器被投诉的概率为，进而得到答案．本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，几何概型，难度中档．9. 袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是A. 至少有一个白球；都是白球B. 至少有一个白球；至少有一个红球C. 至少有一个白球；红、黑球各一个D. 恰有一个白球；一个白球一个黑球（正确答案）C解：袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，在B中，至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故B不成立；在C中，至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C成立；在D中，恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故D不成立；在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立．故选：C．利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．本题考查互斥而不对立事件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件、对立事件的定义的合理运用．10. 某班级为了进行户外拓展游戏，组成红、蓝、黄3个小队甲、乙两位同学各自等可能地选择其中一个小队，则他们选到同一小队的概率为A. B. C. D.（正确答案）A解：甲，乙两位同学各自等可能地选择其中一个小队，情况有种甲，乙两位同学选到同一小队的情况有3种故概率为．故选：A．由古典概型概率公式求解．本题考查等可能事件的概率，考查利用排列组合解决实际问题，考查学生的计算能力，属于基础题．11. 在投篮测试中，每人投3次，其中至少有两次投中才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学能通过测试的概率为A. B. C. D.（正确答案）D解：该同学通过测试的概率为，故选D．利用n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，计算求得结果．本题考查相互独立事件的概率乘法公式及n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，解答本题关键是判断出所研究的事件是那一种概率模型，属于基础题．12. 已知函数，集合1，2，3，4，5，6，7，，现从M中任取两个不同元素m，n，则的概率为A. B. C. D.（正确答案）A解：函数，集合1，2，3，4，5，6，7，，现从M中任取两个不同元素m，n，使；当或6时，，满足的个数为：时8个，时8个；时8个，时8个；重复2个，共有30个；又从A中任取两个不同的元素m，n，则的值有个，函数从集合M中任取两个不同的元素m，n，则的概率为．故选：A．对于m值，求出函数的值，然后用排列组合求出满足的个数，再求所有的基本事件数，计算时的概率．本题考查概率的应用以及排列组合的应用问题，解题时应注意不重不漏，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 从分别写有1，2，3，4，5的五张卡片中任取两张，求这两张卡片上的数字和为偶数的概率为______．（正确答案）解：从五张卡片中任取两张的所有基本事件共有：，，，，，，，，，共10种情况，其中两张卡片上的数字和为偶数的基本事件有：，，，共4种情况，故两张卡片上的数字和为偶数的概率故答案为：本题考查的知识点是古典概型的概率公式，我们可以求出从五张卡片中任取两张的所有基本事件个数，再求出两张卡片上的数字和为偶数的基本事件个数，代入古典概型公式，即可求解．古典概型要求所有结果出现的可能性都相等，强调所有结果中每一结果出现的概率都相同弄清一次试验的意义以及每个基本事件的含义是解决问题的前提，正确把握各个事件的相互关系是解决问题的关键解决问题的步骤是：计算满足条件的基本事件个数，及基本事件的总个数，然后代入古典概型计算公式进行求解．14. 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为______．（正确答案）解：甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，甲不输的概率为．故答案为：．利用互斥事件概率加法公式能求出甲不输的概率．本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15. 从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为______．（正确答案）解：从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，共有种情况，取到字母a，共有种情况，所求概率为．故答案为：．求得从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母、取到字母a的情况，利用古典概型概率公式求解即可．本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．16. 某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每件一等品都能通过检测，每件二等品通过检测的概率均为，现有5件产品，其中2件一等品件二等品记该5件产品通过检测的产品个数为，则随机变量的数学期望______．（正确答案）4解：由题意知，3，4，5，，，，，．故答案为：4．由题意知，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的数学期望．本题考查数学期望的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．三、解答题（本大题共3小题，共40分）17. 某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元不足1小时的部分按1小时计算现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时．Ⅰ若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车付费多于14元的概率为，求甲停车付费恰为6元的概率；Ⅱ若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率．（正确答案）解：Ⅰ设“甲临时停车付费恰为6元”为事件A，则．所以甲临时停车付费恰为6元的概率是．Ⅱ设甲停车付费a元，乙停车付费b元，其中a，，14，22，则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：，，，，，，，，，，，，，，，，共16种情形．其中，，，，这4种情形符合题意．故“甲、乙二人停车付费之和为36元”的概率为．Ⅰ根据题意，由全部基本事件的概率之和为1求解即可．Ⅱ先列出甲、乙二人停车付费之和为36元的所有情况，再利用古典概型及其概率计算公式求概率即可．本题考查古典概型及其概率计算公式、独立事件和互斥事件的概率，考查利用所学知识解决问题的能力．18. 现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望．（正确答案）解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件1，2，3，，这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为；设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则，的所有可能取值为0，2，4，由于与互斥，与互斥，故，数学期望依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件1，2，3，，故这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为；设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则，利用互斥事件的概率公式可求；的所有可能取值为0，2，4，由于与互斥，与互斥，求出相应的概率，可得的分布列与数学期望．本题考查概率知识的求解，考查互斥事件的概率公式，考查离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．19. 盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得分现从盒内任取3个球Ⅰ求取出的3个球中至少有一个红球的概率；Ⅱ求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；Ⅲ设为取出的3个球中白色球的个数，求的分布列和数学期望．（正确答案）解：Ⅰ取出的3个球中至少有一个红球的概率：分Ⅱ记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，则分Ⅲ可能的取值为0，1，2，分，，，分的分布列为：的数学期望分；Ⅰ可以求其反面，一个红球都没有，求出其概率，然后求取出的3个球中至少有一个红球的概率，从而求解；Ⅱ可以记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，求出事件B和C的概率，从而求出3个球得分之和恰为1分的概率；Ⅲ可能的取值为0，1，2，3，分别求出其概率，然后再根据期望的公式进行求解；此题主要考查离散型随机变量的期望与方差，互斥事件与对立事件的定义，计算的时候要仔细，是一道基础题；。

大题精做4 统计概率：统计与统计案例[2019·开封一模]大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未;的职业生涯做好准备.某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程．（1）这两年学校共培养出优等生150人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？人进行测试，求这3人中至少有1名参加了大学先修课程学习的概率．参考数据：【答案】（1）列联表见解析，有关系；（2）．【解析】（1）列联表如下：因此在犯错误的概率不超过的前提下认为学习先修课程与优等生有关系．（2）在这5名优等生中，记参加了大学先修课程的学习的2名学生为，，记没有参加大学先修课程学习的3名学生为，，．则所有的抽样情况如下：，，，，，，，，，，共10种，其中没有学生参加大学先修课程学习的情况有1种，为．记事件为至少有1名学生参加了大学先修课程的学习，则．1．[2019·驻马店期末]某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本，并称出它们的重量（单位：克），重量值落在内的产品为合格品，否则为不合格品．注：表1是甲流水线样本的频数分布表，图1是乙流水线样本的频率分布直方图．（1）根据上面表1中的数据在图2中作出甲流水线样本的频率分布直方图；（2）若以频率作为概率，试估计从两条流水线上分别任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率分别是多少；（3）由以上统计数据完成下面列联表，并回答有多大的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关．2．[2019·肇庆统测]下图是某市年至年环境基础设施投资额(单位：亿元)的条形图．（1）若从年到年的五年中，任意选取两年，则这两年的投资额的平均数不少于亿元的概率；（2）为了预测该市年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据年至年的数据(时间变量的值依次为1，2，，17)建立模型①：；根据年至年的数据(时间变量的值依次为1，2，，7)建立模型②：．（i）分别利用这两个模型，求该地区年的环境基础设施投资额的预测值;（ii）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．3．[2019·衡水中学]为提高玉米产量，某种植基地对单位面积播种数与每棵作物的产量之间的关系进行了研究，收集了块试验田的数据，得到下表：技术人员选择模型作为与的回归方程类型，令，相关统计量的值如下表：（1）根据残差图发现一个可疑数据，请写出可疑数据的编号（给出判断即可，不必说明理由）；（2）剔除可疑数据后，由最小二乘法得到关于的线性回归方程中的，求关于的回归方程；（3）利用（2）得出的结果，计算当单位面积播种数为何值时，单位面积的总产量的预报值最大？（计算结果精确到）附：对于一组数据，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，．1．【答案】（1）见解析；（2）从甲流水线上任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率为，从乙流水线上任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率为；（3）见解析．【解析】（1）甲流水线样本的频率分布直方图如下：（2）由表1知甲流水线样本中合格品数为，故甲流水线样本中合格品的频率为，由图1知乙流水线样本中合格品的频率为，据此可估计从甲流水线上任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率为；从乙流水线上任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率为．（3）由（2）知甲流水线样本中合格品数为30，乙流水线样本中合格品数为．列联表如下：∵，∴有的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关．2．【答案】（1）；（2）（i）利用模型①，预测值为亿元，利用模型②，预测值为亿元；（ii）见解析．【解析】（1）从条形图中可知，2011年到2015年这五年的投资额分别为122亿、129亿、148亿、171亿、184亿，设2011年到2015年这五年的年份分别用，，，，表示，则从中任意选取两年的所有基本事件有：，，，，，，，，，，共10种，其中满足两年的投资额的平均数不少于140亿元的所有基本事件有：，，，，，，，共7种，∴从2011年到2015年的五年中，任意选取两年，则这两年的投资额的平均数不少于140亿元的概率为．（2）（i）利用模型①，该地区2019年的环境基础设施投资额的预测值为(亿元)．利用模型②，该地区2019年的环境基础设施投资额的预测值为(亿元)．（ii）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：画出2001年至2017年环境基础设施投资额(单位：亿元)的散点图（i）从散点图可以看出,2001年至2017年的数据对应的点没有随机散布在直线上下．这说明利用2001年至2017年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2011年相对2010年的环境基础设施投资额有明显增加，2011年至2017年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2011年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2011年至2017年的数据建立的线性模型可以较好地描述2011年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理．说明利用模型②得到的预测值更可靠．3．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）可疑数据为第组．（2）剔除数据后，在剩余的组数据中，，∴，∴关于的线性回归方程为，则关于的回归方程为．（3）根据（2）的结果并结合条件，单位面积的总产量的预报值，，当且仅当时，等号成立，此时，即当时，单位面积的总产量的预报值最大，最大值是．。

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随机事件一、选择题(本大题共12小题，共60分）1。

若某群体中的成员只用现金支付的概率为，既用现金支付也用非现金支付的概率为，则不用现金支付的概率为A. B。

C. D.（正确答案）B解:某群体中的成员只用现金支付，既用现金支付也用非现金支付，不用现金支付，是互斥事件，所以不用现金支付的概率为：．故选：B．直接利用互斥事件的概率的加法公式求解即可．本题考查互斥事件的概率的求法，判断事件是互斥事件是解题的关键，是基本知识的考查．2。

从装有3个红球和3个白球的口袋里任取3个球,那么互斥而不对立的两个事件是A. 至少2个白球,都是红球B. 至少1个白球，至少1个红球C。

至少2个白球，至多1个白球 D。

恰好1个白球,恰好2个红球（正确答案）A解：从装有3个红球和3个白球的口袋内任取3个球,取球情况有：3个球都是红球；3个球中1个红球2个白球；3个球中2个红球1个白球;3个球都是白球．选项A中“至少2个白球“，与"都是红球“互斥而不对立,选项B中“至少有一个白球"与“至少有一个红球"的交事件是“有1白球2个红球”或“有2白球1个红球”；选项C中“至少有2个白球”与“至多1个白球”是对立事件；选项D中“恰有一个白球"和“恰有两个红球”既不互斥也不对立．故选:A．分析出从装有3个红球和3个白球的口袋内任取3个球的所有不同情况，然后利用互斥事件和对立事件的概念逐一核对四个选项即可得到答案．本题考查了互斥事件和对立事件的概念,对于两个事件而言，互斥不一定对立，对立必互斥，是基础的概念题．3。

高考数学三轮复习冲刺模拟试题13解析几何02三、解答题1．已知中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆过点P ,且它的离心率21=e . (Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)与圆22(1)1x y -+=相切的直线t kx y l +=：交椭圆于N M ，两点,若椭圆上一点C 满足OC ON OM λ=+,求实数λ的取值范围.2．椭圆E:22a x +22by =1(a>b>0)离心率为23,且过P(6,22).(1)求椭圆E 的方程; (2)已知直线l 过点M(-21,0),且与开口朝上,顶点在原点的抛物线C 切于第二象限的一点N,直线l 与椭圆E 交于A,B 两点,与y 轴交与D 点,若→AD =λ→AN ,→BD =μ→BN ,且λ+μ=25,求抛物线C 的标准方程.3．已知一条曲线C 在y 轴右边,C 上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y 轴的距离的差都是1.(Ⅰ)求曲线C 的方程;(Ⅱ)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C 有两个交点A,B 的任一直线,都有FA FB ⋅﹤0?若存在,求出m 的取值范围;若不存在,请说明理由.4．设点P 是曲线C:)0(22>=p py x上的动点,点P 到点(0,1)的距离和它到焦点F 的距离之和的最小值为45 (1)求曲线C 的方程(2)若点P 的横坐标为1,过P 作斜率为)0(≠k k 的直线交C 与另一点Q,交x 轴于点M,过点Q 且与PQ 垂直的直线与C 交于另一点N,问是否存在实数k,使得直线MN 与曲线C 相切?若存在,求出k 的值,若不存在,说明理由.5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，直线l 过点(4,0)A ，(0,2)B ，且与椭圆C 相切于点P .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在过点(4,0)A 的直线m 与椭圆C 相交于不同的两点M 、N ，使得23635AP AM AN =⋅?若存在，试求出直线m 的方程；若不存在,请说明理由.6．设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别为12,F F ,上顶点为A ,在x 轴负半轴上有一点B ,满足112BF F F =,且2AF AB ⊥. (Ⅰ)求椭圆C 的离心率;(Ⅱ)D 是过2F B A 、、三点的圆上的点,D 到直线033:=--y x l 的最大距离等于 椭圆长轴的长,求椭圆C 的方程;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过右焦点2F 作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于N M 、两点,线段MN 的中垂线 与x 轴相交于点)0,(m P ,求实数m 的取值范围.7．已知双曲线的中心在原点,对称轴为坐标轴,一条渐近线方程为x y 34=,右焦点)0,5(F ,双曲线的实轴为21A A ,P 为双曲线上一点(不同于21,A A ),直线P A 1,P A 2分别与直线59:=x l 交于N M ,两点 (1)求双曲线的方程;(2)FN FM ⋅是否为定值,若为定值,求出该值;若不为定值,说明理由.8．（本小题满分13分）如图F 1、F 2为椭圆1:2222=+by a x C 的左、右焦点，D 、E 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率23=e ，2312-=∆DEF S .若点),(00y x M 在椭圆C 上，则点),(0by a x N 称为点M 的一个“椭点”，直线l 与椭圆交于A 、B 两点，A 、B 两点的“椭点”分别为P 、Q.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）问是否存在过左焦点F 1的直线l ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.参考答案三、解答题1.解:(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x由已知得:2222243112a b c a c a b ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩解得 2286a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆的标准方程为: 22186x y += (Ⅱ) 因为直线l :y kx t =+与圆22(1)1x y -+=相切所以2112(0)t k t t -=⇒=≠把t kx y +=代入22186x y +=并整理得: 222(34)8(424)0k x ktx t +++-=┈7分 设),(,),(2211y x N y x M ,则有 221438k ktx x +-=+ 22121214362)(k tt x x k t kx t kx y y +=++=+++=+因为,),(2121y y x x OC ++=λ, 所以,⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-λλ)43(6,)43(822k t k ktC 又因为点C 在椭圆上, 所以,222222222861(34)(34)k t t k k λλ+=++ 222222221134()()1t k t tλ⇒==+++因为 02>t 所以 11)1()1(222>++tt 所以 202λ<<,所以 λ的取值范围为(0)(0,2)2. 【解析】解.(1)3122b e a b a ===∴=，，，222214x y b b+=代入椭圆方程得：，222440x y b +-=化为 点)在椭圆E 上222624028b b a +-=∴==，，22182x y ∴+=椭圆E 方程为，(2)设抛物线C 的方程为20y ax a =>（），直线与抛物线C 切点为 200(,)x ax ,200002,2,2()y ax l ax l ax ax x x '=∴=-直线的斜率为的方程为y- 0000002211(,0),2(),(,)022l ax ax x N x ax x -∴-=--∴<直线过在第二象限,解得01x =-,(1,)N a ∴-,l 直线的方程为:2y ax a =--代入椭圆方程并整理得:2222(116)16480(1)a x a x a +++-=1122(,)(,)A x y B x y 设、则12x x 、是方程(1)的两个根,221212224816116116a a x x x x a a --=+=++则，由λ=,BN BD μ=,111x x +=λ,221x x +=μ 21212122121212281611174x x x x x x a x x x x x x a λμ++++===+++++-+ 52λμ+=∴，228165742a a +=-,解得0,a a a =>∴=22,y x x ∴==抛物线C 的方程为其标准方程为3.本题主要考查直线与抛物线的位置关系,抛物线的性质等基础知识,同时考查推理运算的能力.解:(I)设P ),(y x 是直线C 上任意一点,那么点P(y x ,)满足:)0(1)1(22>=-+-x x y x化简得)0(42>=x x y(II)设过点M(m,0))0(>m 的直线l 与曲线C 的交点为A(11,y x ),B(22,y x ) 设l 的方程为m ty x +=,由⎩⎨⎧=+=x42y mty x 得0442=--m ty y ,0)(162>+=∆m t .于是⎩⎨⎧-==+m y y t y y 442121 ①又),1(),,1(2211y x y x -=-=01)()1)(1(021********<+++-=+--⇔<⋅y y x x x x y y x x②又42y x =,于是不等式②等价于⋅421y 01)44(422212122<++-+y y y y y 01]2)[(4116)(2122121221<+-+-+⇔y y y y y y y y ③由①式,不等式③等价于22416t m m <+- ④对任意实数t,24t 的最小值为0,所以不等式④对于一切t 成立等价于0162<+-m m ,即223223+<<-m由此可知,存在正数m,对于过点M(m ,0)且与曲线C 有A,B 两个交点的任一直线,都有0<⋅FB FA ,且m 的取值范围是)223,223(+-4.解:(1)依题意知4521=+p ,解得21=p ,所以曲线C 的方程为2x y = (2)由题意设直线PQ 的方程为:1)1(+-=x k y ,则点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,11k M 由⎩⎨⎧=+-=21)1(xy x k y ,012=-+-k kx x ,得()2)1(,1--k k Q , 所以直线QN 的方程为)1(1)1(2+--=--k x kk y 由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=--22)1(1)1(x y k x kk y ,0)1(11122=--+-+k k x k x得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛----211,11k k k k N所以直线MN 的斜率为k k k k k k k k k MN2211111111⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--= 过点N 的切线的斜率为⎪⎭⎫ ⎝⎛--k k 112 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--k k k k k 112112,解得251±-=k 故存在实数k=251±-使命题成立. 5. （Ⅰ）由题得过两点(4,0)A ，(0,2)B 直线l 的方程为240x y +-=.因为12c a =，所以2a c =，b =. 设椭圆方程为2222143x y c c+=,………2分由2222240,1,43x y x y c c+-=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得，224121230y y c -+-=.又因为直线l 与椭圆C 相切,所以………4分………6分………8分又直线:240l x y +-=与椭圆22:143x y C +=相切，由22240,1,43x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得31,2x y ==，所以3(1,)2P …………10分则2454AP =. 所以3645813547AM AN ⋅=⨯=.又AM AN ⋅==212(1)(4)(4)k x x =+--21212(1)(4()16)k x x x x =+-++22222641232(1)(416)3434k k k k k -=+-⨯+++2236(1).34k k =++ 所以223681(1)347k k +=+，解得4k =±.经检验成立. 所以直线m的方程为4)4y x =±-.………14分 6. 【解】(Ⅰ)连接1AF ,因为2AF AB ⊥,211F F BF =,所以112AF F F =,即2a c =,故椭圆的离心率21=e (其他方法参考给分) (Ⅱ)由(1)知,21=a c 得a c 21=于是21(,0)2F a , 3(,0)2a B -,Rt ABC ∆的外接圆圆心为11(,0)2F a -),半径21||2r F B a ==D 到直线033:=--y x l 的最大距离等于2a ,所以圆心到直线的距离为a ,所以a a =--2|321|,解得2,1,a c b =∴==所求椭圆方程为13422=+y x . (Ⅲ)由(Ⅱ)知)0,1(2F , l :)1(-=x k y⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 代入消y 得 01248)43(2222=-+-+k x k x k 因为l 过点2F ,所以0∆>恒成立设),(11y x M ,),(22y x N 则2221438k k x x +=+,121226(2)34ky y k x x k -+=+-=+ MN 中点22243(,)3434k kk k-++ 当0k =时,MN 为长轴,中点为原点,则0m =当0k ≠时MN 中垂线方程222314()3434k k y x k k k +=--++. 令0y =,43143222+=+=∴k k k m 230k >,2144k +>, 可得410<<∴m 综上可知实数m 的取值范围是1[0,)47. (1)221916x y -= (2)1209(3,0),(3,0),(5,0)(,),(,)5A A F P x y M y -设11024(3,),(,)5A P x y A M y ∴=+ 因为1,,A P M 三点共线002424(3)05515y x y y y x ∴+-=∴=+ 924(,)5515y M x ∴+,同理96(,)5515yN x --1624166(,),(,)55155515y yFM FN x x ∴=-=--+-2225614425259y FM FN x ⋅=-⋅-221699y x =- 0FM FN ∴⋅=8.解：（1）由题意得23==a c e ，故ab ac 21,23==，231)231(412)23(21)(2122-=-⨯=⨯-=⨯-⨯=∆a a a a b c a S DEF ， 故42=a ，即a=2，所以b=1，c=3，故椭圆C 的标准方程为1422=+y x .（2）①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为3-=x 联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=14322y x x 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=213y x 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-=213y x ，不妨令)21,3(),21,3(---B A ， 所以对应的“椭点”坐标)21,23(),21,23(---Q P .而021≠=⋅. 所以此时以PQ 为直径的圆不过坐标原点.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为)3(+=x k y 联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=14)3(22y x x k y ，消去y 得：041238)14(2222=-+++k x k x k 设),(),,(2211y x B y x A ，则这两点的“椭点”坐标分别为),2(),,2(2211y x Q y x P ，由根与系数的关系可得：14382221+-=+k k x x ，144122221+-=k k x x 若使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点，则OP ⊥OQ ， 而),2(),,2(2211y x y x ==，因此0=⋅， 即042221212121=+=+⨯y y x x y y x x 即141222+-k k =0，解得22±=k 所以直线方程为2622+=x y 或2622--=x y。

(高考冲刺押题)2019高考数学三轮基础技能闯关夺分必备集合的概念及运算（含解析）【考点导读】1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用、2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义、3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用、4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想、【基础练习】1.集合{(,)02,02,,}x y x y x y Z ≤≤≤<∈用列举法表示{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)}、2.设集合{21,}A x x k k Z ==-∈，{2,}B x x k k Z ==∈，那么A B ⋂=∅、3.集合{0,1,2}M =，{2,}Nx x a a M ==∈，那么集合M N ⋂=____________、 4.设全集{1,3,5,7,9}I =，集合{1,5,9}A a =-，{5,7}I C A =，那么实数a 的值为____8或2___、 5.集合[1,4)A =,(,)B a =-∞，假设A B A ⋂=，那么实数a 的取值范围____________、6.集合{|10}M x x =+<,1{|0}1N x x =>-，那么图中【范例解析】例1.设,a b R ∈，集合{1,,}{0,,}b a b a b a+=，求b a -的值. 分析：利用集合中元素互异性和集合相等性质，得到集合中对应元素的关系. 解：由题知，0a ≠，0a b +=，那么1b a =-，所以1b a a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩，所以2b a -=. 点评：此题以集合中元素的性质为载体，考察学生对条件的把握分析能力，以寻找解题的突破口. 例2.集合{026}A x ax =<+≤，{124}B x x =-<≤.（1） 假设A B A ⋂=，求实数a 的取值范围；（2） 集合A ，B 能否相等？假设能，求出a 的值；假设不能，请说明理由. 分析：〔1〕对a 进行分类讨论，利用数轴求a 的取值范围.第6题{0,2} 11}x ≤< [4,)+∞解：{124}B x x =-<≤1{2}2x x =-<≤，{026}A x ax =<+≤{24}x ax =-<≤. ①当0a =时，A R =，所以A B ⊆不可能；②当0a >时，24{}A x x a a =-<≤，假设A B ⊆，那么21,24 2.a a⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩解得4a ≥. ③当0a <时，42{}A x x a a =≤<-，假设A B ⊆，那么41,22 2.a a⎧>-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩解得8a <-. 综上所得，a 的取值范围为(,8)[4,)-∞-⋃+∞.(2)分析一：求出满足B A ⊆时a 的取值范围，再与〔1〕取交集.解法一：①当0a =时，A R =，所以B A ⊆成立；②当0a >时，24{}A x x a a =-<≤，假设B A ⊆，那么21,24 2.a a⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩解得02a <≤. ③当0a <时，42{}A x x a a =≤<-，假设B A ⊆，那么41,22 2.a a⎧≤-⎪⎪⎨⎪->⎪⎩解得10a -<<. 综上，B A ⊆时，12a -<≤.A B A B =⇔⊆且B A ⊆，∴假设A B =，那么(1,2]a ∈-且(,8)[4,)a ∈-∞-⋃+∞，矛盾.所以，集合A 与B 不可能相等.分析二：利用两个相等集合中元素的对应关系，建立等量关系.解法二：①当0a =时，A R =，所以B A ≠；②当0a >时，24{}A x x a a =-<≤，假设B A =，那么21,24 2.a a⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩无解. ③当0a <时，42{}A x x a a=≤<-，假设B A =，显然不成立. 综上，集合A 与B 不可能相等.点评：在解决两个数集关系问题时，应合理运用数轴帮助分析与求解.另外，在解含参数的不等式〔方程〕时，要对参数进行分类讨论，分类时要遵循不重不漏的分类原那么，然后对每一类情况都要给出问题的解答.例3.〔1〕R 为实数集，集合2{320}A x x x =-+≤.假设R B C A R ⋃=，{01R B C A x x ⋂=<<或23}x <<，求集合B ；〔2〕集合{,0}M a =，2{30,}N x x x x Z =-<∈，且{1}M N ⋂=，记P M N =⋃，写出集合P 的所有子集.分析：〔1〕先化简集合A ，由R B C A R ⋃=可以得出A 与B 的关系；最后，由数形结合，利用数轴直观地解决问题.〔2〕求出N ，由{1}M N ⋂=，可知1M ∈，解得a ，进而求出P .解：〔1〕{12}A x x =≤≤，{1R C A x x ∴=<或2}x >.又R B C A R ⋃=，R A C A R ⋃=，可得A B ⊆.而{01R B C A x x ⋂=<<或23}x <<，∴{01x x <<或23}x <<.B ⊆借助数轴可得B A =⋃{01x x <<或23}x <<{03}x x =<<. 〔2〕由230x x -<，得03x <<；又x Z ∈，故{1,2}N =.由{,0}M a =且{1}M N ⋂=，可得1a=.{1,0}M ∴=， 故P 的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}.点评：〔1〕研究数集的相互关系时，可通过数轴示意，借助直观性探求，易于理解.〔2〕含有n 个元素的集合，共有2n 个子集，21n -个真子集.另注意空集的情况. 例4.函数2()f x x px q =++，集合{()}A x f x x ==，集合{[()]}B x f f x x ==. 〔1〕求证：A B ⊆；〔2〕假设{1,3}A =-，求集合B .分析：〔1〕要证明A B ⊆，根据定义，只要证A 中任一元素都是B 中的元素即可； 〔2〕由{1,3}A =-，可以求出p ，q 的值，从而求出B .解：〔1〕设0x 是集合A 中的任一元素，即0x A ∈.{()}A x f x x ==，∴00()x f x =， 即有000[()]()f f x f x x ==.∴0x B ∈.故A B ⊆. 〔2〕{1,3}A =-2{}x x px q x =++=，1∴-，3是方程2(1)0x p x q +-+=的两个根，∴1(1)(1)0,9(1)30,p q p q +-⋅-+=⎧⎨+-⋅+=⎩1,3.p q =-⎧∴⎨=-⎩2() 3.f x x x ∴=-- 因为集合B 中的元素是方程[()]f f x x =的根，也就是222(3)(3)3xx x x x ------=的根. 方程整理得22(23)(3)0x x x ---=，解得x =-{B =-. 点评：此题考查集合语言与集合思想在解决方程问题时的运用，在解答过程中，应脱去集合符号和抽象函数符号的“外衣”，显出本质的数量关系，要不断实施各种数学语言间的相互转换.【反馈演练】1、设集合{}2,1=A ，{}3,2,1=B ，{}4,3,2=C ，那么()C B A U ⋂=_________、2、设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P +Q =},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，那么P +Q 中元素的个数是____8___个、3、集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，2m }、假设B ⊆A ，那么实数m ＝1、4、假设集合M ＝{0，l ，2}，N ＝{(x ，y )|x －2y ＋1≥0且x －2y －1≤0，x ，y ∈M }，那么N 中元素的个数为 ______4____个、5、设f(n)＝2n ＋1(n ∈N )，P ＝{1，2，3，4，5}，Q ＝{3，4，5，6，7}，记P ∧＝{n ∈N |f(n)∈P}，Q ∧＝{n ∈N |f(n)∈Q}，那么(P ∧∩N C Q ∧)∪(Q ∧∩N C P ∧)＝___________. 6、假设集合131,11,2,01A y y x x B y y x x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪==-≤≤==-<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭，那么A ∩B 等于[]1,1-、 7、集合{}1≤-=a x x A ，{}0452≥+-=x x x B ，假设φ=B A ，那么实数a 的取值范围是. 8、A ，B ，C 为三个集合，假设C B B A ⋂=⋃，给出以下结论：①C A ⊆；②A C ⊆；③C A ≠；④φ=A 、其中正确结论的有_______①______、[来源:]提示：由A B B C =知，,A B B A B C A B C ⊆⊆∴⊆⊆、9、集合2{20}A x x x =+-≤，{214}B x x =<+≤，2{0}C x x bx c =++>，假设集合A ，B ，C 满足()A B C ⋃⋂=∅，()A B C R ⋃⋃=，求b ，c 的值.解：由题知：{(1)(2)0}A x x x =-+≤{21}x x =-≤≤，{13}B x x =<≤.{23}A B x x ∴⋃=-≤≤.()A B C ⋃⋂=∅，()A B C R ⋃⋃=，()R C A B ∴=⋃ð.{2C x x ∴=<-或3}x >.{0,3}(2,3)又2{0}C x x bx c =++>，∴20x bx c ++=的两根为2-和3， 即有420,930.b c b c -+=⎧⎨++=⎩解得1b =-，6c =-、10、设集合2{60}P x x x =--<，{23}Q x a x a =≤≤+.〔1〕假设P Q P ⋃=，求实数a 的取值范围；〔2〕假设P Q ⋂=∅，求实数a 的取值范围；〔3〕假设{03}P Q x x ⋂=≤<，求实数a 的值.解：〔1〕由题意知：{23}P xx =-<<，P Q P ⋃=，Q P ∴⊆.①当Q =∅时，得23a a >+，解得3a >、②当Q ≠∅时，得2233a a -<≤+<，解得10a -<<、综上，(1,0)(3,)a ∈-⋃+∞、〔2〕①当Q =∅时，得23a a >+，解得3a >；②当Q ≠∅时，得23,3223a a a a ≤+⎧⎨+≤-≥⎩或，解得3532a a ≤-≤≤或、 综上，3(,5][,)2a ∈-∞-⋃+∞、〔3〕由{03}P Q x x ⋂=≤<，那么0a =、11、设集合2{40}A x x x =+=，22{2(1)10}B x x a x a =+++-=、〔1〕假设A B B ⋂=，求a 的值；〔2〕假设A B B ⋃=，求a 的值、解：由题知：{0,4}A =-、〔1〕A B B ⋂=，B A ∴⊆、①当B =∅时，224(1)4(1)0a a ∆=+--<，解得1a <-；②当{0}B =或{4}-时，224(1)4(1)0a a ∆=+--=，解得1a =-，此时，{0}B =，满足B A ∴⊆；③当{0,4}B =-时，22224(1)4(1)0,10,168(1)10.a a a a a ⎧∆=+-->⎪-=⎨⎪-++-=⎩综上所述，实数a 的取值范围是1a =或1a ≤-、〔2〕A B B ⋃=，A B ∴⊆，故{0,4}B =-、即22224(1)4(1)0,10,168(1)10.a a a a a ⎧∆=+-->⎪-=⎨⎪-++-=⎩，解得1a =、[来源:]。

大题精做3 统计概率：概率[2019·朝阳期末]某日，，三个城市18个销售点的小麦价格如下表：（1）求市5个销售点小麦价格的中位数；（2）甲从市的销售点中随机挑选一个购买1吨小麦，乙从市的销售点中随机挑选一个购买1吨小麦，求甲花费的费用比乙高的概率；（3）如果一个城市的销售点小麦价格方差越大，则称其价格差异性越大．请你对，，三个城市按照小麦价格差异性从大到小进行排序（只写出结果）．【答案】（1）2500；（2）；（3），，．【解析】（1）市一共有5个销售点，价格分别为2500，2500，2500，2450，2460，按照价格从低到高排列为2450，2460，2500，2500，2500，市5个销售点小麦价格的中位数为2500．（2）记事件“甲的费用比乙高”为，市5个销售点按照价格从低到高排列为2450，2460，2500，2500，2500，市一共有4个销售点，价格分别为2580，2470，2540，2400，按照价格从低到高排列为2400，2470，2540，2580，甲乙两个购买小麦分别花费的可能费用有如下组合：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，一共有20组．其中满足甲的费用高于乙的有如下组合：，，，，，，，一共有8组．∴甲的费用比乙高的概率为．（3）三个城市按照价格差异性从大到小排列为，，．1．[2019·大兴期末]自由购是一种通过自助结算购物的形式．某大型超市为调查顾客自由购的使用情况，随机抽取了100人，调查结果整理如下：（1）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率；（2）从被抽取的年龄在使用的自由购顾客中，随机抽取2人进一步了解情况，求这2人年龄都在的概率；（3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋？2．[2019·揭阳毕业]某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试；方式二：周六一天培训4小时，周日测试．公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训；甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如下表：（1）用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间（精确到），并据此判断哪种培训方式效率更高？（2）在甲乙两组中，从第三周．．．培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率．3．[2019·海淀期末]迎接年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核．记表示学生的考核成绩，并规定为考核优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：（1）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核成绩为优秀的概率；（2）从图中考核成绩满足的学生中任取人，求至少有一人考核优秀的概率；（3）记表示学生的考核成绩在区间内的概率，根据以往培训数据，规定当时培训有效．请你根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由．1．【答案】（1）；（2）；（3）2200．【解析】（1）随机抽取的100名顾客中，年龄在且未使用自由购的有人，∴随机抽取一名顾客，该顾客年龄在且未参加自由购的概率估计为．（2）设事件为“这2人年龄都在”．被抽取的年龄在的4人分别记为，，，，被抽取的年龄在的2人分别记为，，从被抽取的年龄在的自由购顾客中随机抽取2人共包含15个基本事件，分别为，，，，，，，，，，，，，，，事件包含6个基本事件，分别为，，，，，，则．（3）随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有人，∴该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为．2．【答案】（1）方式一；（2）．【解析】（1）设甲乙两组员工受训的平均时间分别为、，则（小时），（小时），据此可估计用方式一与方式二培训，员工受训的平均时间分别为10小时和小时，因，据此可判断培训方式一比方式二效率更高；（2）从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人,则这6人中来自甲组的人数为：，来自乙组的人数为：，记来自甲组的2人为：、；来自乙组的4人为：、、、，则从这6人中随机抽取2人的不同方法数有：，，，，，，，，，，，，，，，共15种，其中至少有1人来自甲组的有：，，，，，，，，，共9种，故所求的概率．3．【答案】（1）；（2）；（3）见解析．【解析】（1）设这名学生考核优秀为事件，由茎叶图中的数据可以知道，名同学中，有名同学考核优秀∴所求概率约为．（2）设从图中考核成绩满足的学生中任取人，至少有一人考核成绩优秀为事件，∵表中成绩在的人中有个人考核为优∴基本事件空间包含个基本事件，事件包含个基本事件∴．（3）根据表格中的数据，满足的成绩有个，∴．∴可以认为此次冰雪培训活动有效．。

倒数第6天 立体几何[保温特训]1．一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为43π，则该正方体的表面积为________．解析 设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，则依题意有4πR33＝43π，解得R ＝ 3.因为3a ＝2R ＝23，所以a ＝2.故该正方体的面积为6a 2＝24. 答案 242．一块边长为10 cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P 为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器．当x ＝6 cm 时，该容器的容积为________cm 3.解析 由题意可知道，这个正四棱锥形容器的底面是以6 cm 为边长的正方形，侧高为5 cm ，高为4 cm ，所以所求容积为48 cm 3. 答案 483．如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE 、△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为________．解析 如图，分别过点A 、B 作EF 的垂线，垂足分别为G 、H ，连接DG 、CH ，容易求得EG ＝HF ＝12，AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32，所以S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝24，所以V ＝V E ­ADG ＋V F ­BHC ＋V AGD ­BHC ＝13×24×12＋13×24×12＋24×1＝23.答案234．已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列 ①若l ⊂α，m ⊂α，l ∥β，m ∥β，则α∥β； ②若l ⊂α，l ∥β，α∩β＝m ，则l ∥m ； ③若α∥β，l ∥α则l ∥β；④若l ⊥α，m ∥l ，α∥β，则m ⊥β. 其中真解析 ①：只有当l 与m 相交时，才可证明α∥β；③：l 可能在平面β内． 答案 ②④5．设α，β为两个不重合的平面，m ，n 为两条不重合的直线，给出下列四个 ①若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊄α则n ∥α；②若α⊥β，则α∩β＝m ，n ⊂α，n ⊥m ，则n ⊥β； ③若m ⊥n ，m ∥α，n ∥β，则α⊥β；④若n ⊂α，m ⊂β，α与β相交且不垂直，则n 与m 不垂直． 其中，所有真解析 ③错误，α，β相交或平行；④错误，n 与m 可以垂直，不妨令n ＝α∩β，则在β内存在m ⊥n. 答案 ①②6．已知α，β是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线a ，a ⊥α，a ⊥β； ②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α； ④存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α.其中是平面α∥平面β的充分条件的为________(填上所有符号要求的序号)．解析 ①正确，此时必有α∥β；②错误，因为此时两平面平行或相交均可；③错误，当两直线a ，b 在两平面内分别与两平面的交线平行即可；④正确，由于α∥β，经过直线α的平面与平面β交于a′，则a ∥a′，即a′∥α，又b ∥α，因为a ，b 为异面直线，故a′，b 为相交直线，由面面平行的判定定理可知α∥β，综上可知①④是平面α∥平面β的充分条件． 答案 ①④7．设a ，b 为空间的两条直线，α，β为空间的两个平面，给出下列 ①若a ∥α，a ∥β，则α∥β；②若a ⊥α，α⊥β，则α⊥β； ③若a ∥α，b ∥α，则a ∥b; ④若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b. 上述解析 若a ∥α，a ∥β，则α∥β或α与β相交，即 答案 ④8．已知棱长为2的正方体，则以该正方体各个面的中心为顶点的多面体的体积为________．解析 以正方体各个面的中心为顶点的多面体是两个全等的正四棱锥的组合体，如图，一个正四棱锥的高是正方体的高的一半，故所求的多面体的体积为2×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2×12×2＝23.答案2 39．已知平面α，β，γ，直线l，m满足：α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m，那么①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上)．解析画图可知①m⊥β、③β⊥γ不一定成立．答案②④10．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确解析α∥β⇒直线l⊥平面β，由于直线m⊂平面β，∴l⊥m故①正确；由l∥m，直线l⊥平面α可推出直线m⊥平面α，而直线m⊂平面β，∴α⊥β故③正确．答案①③11．在三棱柱ABC ­A1B1C1中，AA1⊥BC，∠A1AC＝60°，AA1＝AC＝BC＝1，A1B＝2.(1)求证：平面A1BC⊥平面ACC1A1；(2)如果D为AB的中点，求证：BC1∥平面A1CD.证明(1)在△A1AC中，∠A1AC＝60°，AA1＝AC＝1，∴A1C＝1，△A1BC中，BC＝1，A1C＝1，A1B＝2，∴BC⊥A1C，又AA1⊥BC，∴BC⊥平面ACC1A1，∵BC⊂平面A1BC，∴平面A1BC⊥平面ACC1A1.(2)连接AC1，交A1C于O，连接DO，则由D为AB中点，O为A1C中点得，OD∥BC1，OD⊂平面A1DC，BC1⊄平面A1DC，∴BC1∥平面A1DC.12．如图，在三棱锥S ­ABC中，平面EFGH分别与BC，CA，AS，SB交于点E，F，G，H，且SA⊥平面EFGH，SA⊥AB，EF⊥FG.求证：(1)AB∥平面EFGH；(2)GH∥EF；(3)GH⊥平面SAC.证明(1)因为SA⊥平面EFGH，GH⊂平面EFGH，所以SA⊥GH.又因为SA⊥AB，SA，AB，GH都在平面SAB内，所以AB∥GH.因为AB⊄平面EFGH，GH⊂平面EFGH，所以AB∥平面EFGH.(2)因为AB∥平面EFGH，AB⊂平面ABC，平面ABC∩平面EFGH＝EF，所以AB∥EF.又因为AB∥GH，所以GH∥EF.(3)因为SA ⊥平面EFGH ，SA ⊂平面SAC ， 所以平面EFGH ⊥平面SAC ，交线为FG. 因为GH ∥EF ，EF ⊥FG ，所以GH ⊥FG. 又因为GH ⊂平面EFGH ， 所以GH ⊥平面SAC.13．如图a ，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，F 为AD 的中点，E 在BC 上，且EF ∥AB.已知AB ＝AD ＝CE ＝2，沿线EF 把四边形CDFE 折起如图b ，使平面CDFE ⊥平面ABEF.(1)求证：AB ⊥平面BCE ； (2)求三棱锥C ­ADE 体积．(1)证明 在题图a 中，EF ∥AB ，AB ⊥AD ，∴EF ⊥AD ，在题图b 中，CE ⊥EF ，又平面CDFE ⊥平面ABEF ，且平面CDFE∩平面ABEF ＝EF ， CE ⊥平面ABEF ，AB ⊂平面ABEF ，∴CE ⊥AB ，又∵AB ⊥BE ，BE∩CE＝E ，∴AB ⊥平面BCE ；(2)解 ∵平面CDFE ⊥平面ABEF ，且平面CDFE∩平面ABEF ＝EF ，AF ⊥FE ，AF ⊂平面ABEF ，∴AF ⊥平面CDEF ，∴AF 为三棱锥A ­CDE 的高，且AF ＝1，又∵AB ＝CE ＝2，∴S △CDE ＝12×2×2＝2，∴V C ­ADE ＝13·S △CDE ·AF ＝13×2×1＝23.[知识排查]1．弄清楚球的简单组合体中几何体度量之间的关系，如棱长为a 的正方体的外接球的半径为32a. 2．搞清几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所在底面面积之和，不能漏掉几何体的底面积．3．立体几何中，平行、垂直关系可以进行以下转化：线∥线⇔线∥面⇔面∥面，线⊥线⇔线⊥面⇔面⊥面，这些转化各自的依据是什么？4. 平面图形的翻折，立体图形的展开等一类问题，要注意翻折，展开前后有关几何元素的“不变量”与“不变性”．5．立几问题的求解分为“作”，“证”，“算”三个环节，不能只“作”，“算”，而忽视了“证”这一重要环节．。