4.2.2微积分的基本公式

高等数学微积分公式大全一、基本导数公式⑴()0c '= ⑵1x xμμμ-= ⑶()sin cos x x '=⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅⑼()xxee'= ⑽()ln xxaaa '= ⑾()1ln x x'=⑿()1log ln xax a'= ⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=+ ⒃()21arccot 1x x '=-+⒄()1x '=⒅'=二、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭三、高阶导数的运算法则 （1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()()!n nxn = （2）()()n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()()ln n x x n a a a =(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (5) ()()cos cos 2n nax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭(6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7) ()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+五、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1d xxdx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅ ⑼()xx d ee dx = ⑽()ln x x d a a adx = ⑾()1ln d x dx x=⑿()1logln xad dx x a =⒀()arcsin d x =⒁()arccos d x = ⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arccot 1d x dx x=-+ 六、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11x x dx c μμμ+=++⎰ ⑶ln dxx c x=+⎰ ⑷ln xxa a dx c a=+⎰ ⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰ ⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰⑽21arctan 1dx x c x =++⎰ ⑾arcsin x c =+八、补充积分公式tan ln cos xdx x c =-+⎰ cot ln sin xdx x c =+⎰ sec ln sec tan xdx x x c =++⎰ csc ln csc cot xdx x x c =-+⎰2211arctan xdx c a x a a=++⎰ 2211ln 2x adx c x a a x a-=+-+⎰arcsinxc a=+ ln x c =+十、分部积分法公式⑴形如n ax x e dx ⎰，令nu x =，axdv e dx =形如sin n x xdx ⎰令nu x =，sin dv xdx =形如cos n x xdx ⎰令nu x =，cos dv xdx =⑵形如arctan nx xdx ⎰，令arctan u x =，ndv x dx =形如ln nx xdx ⎰，令ln u x =，ndv x dx =⑶形如sin axe xdx ⎰，cos ax e xdx ⎰令,sin ,cos axu e x x =均可。

微积分基本定理
微积分基本定理：
(1)微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．
(2)根据定积分的定义求定积分往往比较困难，而利用微积分基本定理求定积分比较方便．
微积分常用公式：
微积分定理：
若函数f(x)在[a,b]上连续，且存在原函数F(x)，则f(x)在[a,b]上可积，且
b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F(b)-F(a)
这即为牛顿-莱布尼茨公式。

牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。

高等院校非数学类本科数学课程大学数学（一）——一元微积分学第二十三讲微积分的基本公式第五章一元函数的积分本章学习要求：▪熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式.▪熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法.了解利用建立递推关系式求积分的方法.▪理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系. ▪熟悉牛顿—莱布尼兹公式.▪理解广义积分的概念.掌握判别广义积分收敛的比较判别法. 能熟练运用牛顿—莱布尼兹公式计算广义积分。

▪掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。

能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。

▪能利用定积分定义式计算一些极限。

第五章一元函数积分学第二节微积分的基本公式一. 积分上限函数二. 微积分基本公式请点击一. 积分上限函数 (变上限的定积分), , , )( 就有值每给定一对而言对可积函数b a x f . d )(I 与之对应确定的定积分值⎰=ba x x f 与它的上下限的定积分这意味着 d )( )( ⎰ba x x f x f. 之间存在一种函数关系 , ,则得到积让积分上限变化固定积分下限不变:分上限函数 . ],[ d )(d )()( b a x t t f x x f x F xa x a ∈==⎰⎰O xya b x x )(x f yO xy a b x x )(x f y =⎰x axx f d )(曲边梯形的面积的代数和随 x 的位置而变化。

,d )(d )( 有由积分的性质：⎰⎰-=ab b a x x f x x f ,d )(d )( ⎰⎰-=x b b x t t f t t f 所以，我们只需讨论积分上限函数.. d )( 称为积分下限函数⎰bx t t f定理 1 证 . ]),([d )()( ]),,([)( b a C t t f x F b a R x f xa ∈=∈⎰则若, ],[ , ],[ 则且b a x x b a x ∈∆+∈∀)()()(x F x x F x F -∆+=∆⎰⎰⎰∆+∆+=-=x x x x a xx a tt f t t f t t f d )(d )(d )( .|)(| ],[ )( ]),,([)( M x f b a x f b a R x f ≤∈上有界：在故又xM t t f t t f x F x x x xx x ∆≤≤=∆≤⎰⎰∆+∆+ d |)(| |d )(| |)(|0 于是. ]),([)( , b a C x F x ∈即可得的任意性由夹逼定理及点. ],[ : 1 积分上限函数是连续的上的定义在区间说明定理b a?积分上限函数是否可导,d )()()( ⎰∆+=-∆+xx x t t f x F x x F 由, ]),,([)( 得则由积分中值定理如果b a C x f ∈, )(d )()()( x f t t f x F x x F xx x ∆==-∆+⎰∆+ξ)(之间与在x x x ∆+ξxx f x x F x x F x x ∆∆=∆-∆+→∆→∆)(lim )()(lim 00ξ故)()(lim 0x f f x ==→∆ξ这说明了什么 ？ 条件定理 2 ],[ d )()( ]),,([)( b a t t f x F b a C x f xa在则若⎰=∈,且上可导 . )( )(d )(d d )( b x a x f t t f x x F xa≤≤=='⎰ , )( 0处连续在点如果会不会有这样的结论：x x f? )()( , d )()( 000 x f x F x t t f x F xa ='=⎰且处可导在点则, )(0即有处连续在点x x f.|)()(| , ),U( 0, ,0 00εδδε<-∈>∃>∀x f x f x x 时当),()( 00即要要x f x F =').(d )(lim )()(lim 0000000x f x x tt f x x x F x F xx x x x x =-=--⎰→→d )(d )( )(d )(00x x tx f t t f x f x x t t f xx xxxx --=--⎰⎰⎰ε<--≤⎰ d |)()(| ||100t x f t f x x x x就是说，我们猜想的结论成立.⎰=-baxa b d定理 3, ],[ ]),,([)( 0处连续且在点若b a x b a R x f ∈∈. )()( , d )()( 000 x f x F x t t f x F x a='=⎰且处可导在点则(在端点处是指的 左右导数 )例1='⎰) d cos (xa t t d cos d d ⎰xat t x .cos x =?) d cos ( ='⎰xax x 定积分与积分变量的记号无关.)(x F.cos ) d cos ( x x x xa='⎰例 2. )( , d )1sin()( 22x F t t x F x '+=⎰求设解, )()( , d )1sin()( , 2 022x g x F t t u g x u u=+==⎰则令xu u g x F d d )()( ⋅'='故)()d )1sin((20 2'⋅'+=⎰x t t u. )1sin(22)1sin(42x x x u +=⋅+=这是复合函数求导, 你能由此写出它的一般形式吗?, 一般地 , )( , )( 则可导若C x f x ∈ϕ. )())(() d )( ()()( x x f t t f x F x aϕϕϕ'⋅='='⎰例3 解.dlim21cos2xtextx⎰-→计算2cos121cosdlimdlim22xtexte x txxtx⎰⎰-→-→-=2cos(sin)lim2xxe xx-→--=.21e=罗必达法则)())(()d)(()(xxfttfxaϕϕϕ'⋅='⎰下面再看定理 2 .)()( d )()( 你会想到什么？及由x f x F t t f x F xa='=⎰定理 2 ],[ d )()( ]),,([)( b a t t f x F b a C x f xa在则若⎰=∈ ,且上可导 . )( )(d )(d d )( b x a x f t t f x x F xa≤≤=='⎰.)()())((,)(xfxFCxFxF='='+则存在若.,)(则必有无穷多个若存在这样的xF.)()(),()(),()(2121CxFxFxfxFxfxF=-='='则若.d)(,)(⎰b a xxfxF就可以计算定积分若能找到这样的CxxfxF xa=-⎰d)()()()(d)(aFbFxxf ba-=⎰定积分的计算问题转化为已知函数的导函数,求原来函数的问题 .二. 微积分基本公式1. 原函数的定义2. 微积分基本公式请点击1. 原函数的定义定义'xFfF=若在某区间xx上有,)()()则称I为(x在区间f.(上的一个原函数I)一个函数要有原函数由前面的讨论可知,:则必有无穷多个原函数:,他们构成一个函数族xF+(C).CF+fx是否包含了)()(的所有原函数？我们要问：xI )( )( ),( 上的任意两个在区间是设x f x G x F,则有原函数. I ,)()( ),()(∈='='x x f x G x f x F . ) ( I )()( 为常数即C x C x F x G ∈≡-. I ,)()( ∈+=x C x F x G 故. :差一个常数任意两个原函数之间相就是说. )( )(的所有原函数包含了x f C x F + , I , 0)()())()(( ∈='-'='-x x G x F x G x F 于是例4, 2sin cos sin 2)(sin 2x x x x ==', 2sin )sin (cos 2)cos (2x x x x =--='-cos )( , sin )( 22x x G x x F -==故 . 2sin )( 的原函数都是x x f =:)()( C x G x F =-验证1cos sin )cos (sin 2222=+=--x x x x. 1 =C 即定理, I )( 则它上的原函数存在在区间若x f 则它的所的一个原函数为若 , )( )( x f x F. )( 的形式有原函数可表示为C x F) . ,(为任意常数其中C 定积分的计算归结为求相应的原函数的计算..仅相差一个常数的任意两个原函数之间什么样的函数的原函数一定存在？问题定理 ],[ ,d )()( ]),,([)( b a x t t f x F b a C x f xa ∈=∈⎰则若. ],[ )( 上的一个原函数在为b a x f . I )( , ) I ()( 上原函数存在在则若x f C x f ∈ 推论 1 推论2.域内原函数存在基本初等函数在其定义 推论3.区间内原函数存在初等函数在其有定义的几个问题?是否一定有原函数存在初等函数在其定义域内., 1cos )( ,.成它的定义域由孤立点构例如不一定-=x x f., I 存在的函数的原函数一定不每个具有第一类间断点上在区间. ] 1 ,1[ sgn ,上在区间符号函数例如-=x y 下面来推证该结论 .? I,, I )( 上是否有原函数存在区间则函数在且只有一类间断点上有界在区间如果x f. )( ) ,( , ] ,[ )( 0的第一类间断点为上有定义在设x f b a x b a x f ∈, )( ] ,[ )( 则有上有一个原函数在如果x F b a x f . )( , )(lim , )1(000x f I I x f x x x ≠=→但存在为可去间断点时当, 得由拉格朗日中值定理 , )(lim )(lim )()(lim )(000000I f F x x x F x F x F x x x x x x =='=--='→→→ξξ. )()( , )( 000x f x F x f I ≠'≠故由于 . ] ,[ )( , 0上的原函数不存在在为可去间断点时即当b a x f x =')(x F ,)(0b x x x f ≤<00 )(x x x f =.)(0x x a x f <≤, )2(0为跳跃间断点时当x, 得由拉格朗日中值定理 .)(lim )(lim )()(lim )( 000000000I f F x x x F x F x F x x x x x x =='=--='+++→→→+ξξ .)(lim )(lim )()(lim )( 111000000I f F x x x F x F x F x x x x x x =='=--='---→→→-ξξ. ; ,0100x x x x <<<<ξξ其中 . , )(lim , )(lim 101000I I I x f I x f x x x x ≠==-+→→但存在. )( )( , 10的原函数不是故由于x f x F I I ≠. 数的原函数一定不存在上具有一类间断点的函在区间I, 综上所述上可积是否等价于函数在],[ba],[上有原函数存在？函数在ba不一定！.在原函数的充分条件函数可积不是该函数存上可积，在例如，]1,1[,111)(-⎩⎨⎧≤≤<≤-=xxxf.]1,1[上原函数不存在但在-从微积分基本定理来看:d )()( , ] ,[ )( ⎰=xa t t f x Fb a x f 函数上可积时在当. ] ,[ 上连续在b a , , 可导的必要条件函数的连续性只是函数但是. , 连续函数不一定可导就是说. ] ,[ , ) ] ,[ ()(上不一定存在原函数它在时b a b a R x f ∈.函数的可积充分条件函数存在原函数不是该⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0 0 0 1sin )(22x x xx x F ⎪⎩⎪⎨⎧=≠-∈-=0 0 0 ]1 ,1[ 1cos 21sin 2 )(22x x x x x x x x f 且 函数是函数. ]1 ,1[ )( , ]1 ,1[ 上不可积在但上的一个原函数在区间--x f. )0U( )( : )( 0 内无界在的奇点是因为x f x f x =函数的连续性是函数既有原函数又可积的充分条件.?仍为初等函数初等函数的原函数是否.),0(sin)(!)12)(12()1()(,.12上的一个原函数在区间是初等函数例如不一定∞+=++-=∑∞+=+xxfnnxxFnnn.)(.含有无穷多项这里想想初等函数的定义xF不是初等的上在为则如果 ],[ )( d )( ]),,([)( b a x f t t f b a C x f xa ⎰∈.的一个原函数, )( )( 则有的原函数为若已知x f x F.)(d )(0 C x F t t f x a +=⎰. )( ,)(d )(0 , 00 a F C C a F t t f a x a a -=+===⎰故则令, 则得到取b x =. )()(d )(d )( a F b F x x f t t f b a b a -==⎰⎰2. 微积分基本公式基本公式定理) (莱布尼茨公式—牛顿 ],[ )( )( ]),,([)( 上的在为若b a x f x F b a C x f ∈,则一个原函数 ).()( )(d )( a F b F x F x x f b ab a -==⎰. 函数的计算联系起来了将定积分的计算与求原莱布尼茨公式—牛顿例5,cos )(sin x x ='.10sin 2sin sin d cos 2020 =-==⎰πππx x x 问题的关键是如何求一个 函数的原函数.例6.2)1arctan(1arctan arctan d 111 111 2π=--==+--⎰x x x .21)0sin 42(sin 21 2sin 21d 2cos 40 4 0 =-⋅==⎰πππx xx例7. d 2cos 1 0⎰+πx x 计算解⎰⎰=+ππ2d cos 2 d 2cos 1 xx x x ⎰=π0 d |cos | 2xx ⎰⎰-+=πππ22d )cos ( 2d cos 2xx x x. 22 sin2 sin 2220=-=πππx x 去绝对值符号(如果是分段函数，则利用积分的性质将积分分成几个部分的和的形式.)莱布尼茨公式—牛顿).()( )(d )( a F b F x F x x f b aba-==⎰))(()()(a b f a F b F -=-ξ拉格朗日中值定理函数的可微性d )()( ⎰=xax x f x F 不定积分、定积分微积分基本公式d )( ))(( =∈⎰bax f C x f ξ积分中值定理。

微积分定理和公式 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT一、函数【定义】 设在某一变化过程中有两个变量x 和y ,若对非空集合D 中的每一点x ,都按照某一对应规则f ,有惟一确定的实数y 与之相对应,则称y 是x 的函数,记作x 称为自变量,y 称为因变量,D 称为函数的定义域,y 的取值范围即集合{}D x x f y y ∈=),(|称为函数的值域.xoy 平面上点的集合{}D x x f y y x ∈=),(|),(称为函数)(x f y =的图形.定义域D (或记f D )与对应法则f 是确定函数的两个要素.因此称两个函数相同是指它们的定义域与对应法则都相同.（二）函数的几何特性 1．单调性（1）【定义】 设函数)(x f 在实数集D 上有定义,对于D 内任意两点21,x x ,当 1x ＜2x 时,若总有)(1x f ≤)(2x f 成立,则称D x f 在)(内单调递增（或单增）；若总有 )(1x f ＜)(2x f 成立,则称)(x f 在D 内严格单增,严格单增也是单增.当)(x f 在D 内单调递增时,又称D x f 是)(内的单调递增函数.单调递增或单调递减函数统称为单调函数.2．有界性【定义】 设函数内有定义在集合D x f )(,若存在实数M ＞0,使得对任意D x ∈,都有|)(|x f ≤M ,则称)(x f 在D 内有界,或称)(x f 为D 内的有界函数.【定义】 设函数内有定义在集合D x f )(,若对任意的实数M ＞0,总可以找到一D x ∈,使得|)(|x f ＞M ,则称)(x f 在D 内无界,或称)(x f 为D 内的无界函数.【定义】 设函数)(x f 在一个关于原点对称的集合内有定义,若对任意D x ∈,都有))()()(()(x f x f x f x f =--=-或,则称)(x f 为D 内的奇（偶）函数.奇函数的图形关于原点对称,当)(x f 为连续的函数时,)(x f =0,即)(x f 的图形过原点.偶函数的图形关于y 轴对称.关于奇偶函数有如下的运算规律： 设)()(21x f x f ±为奇函数,)(),(21y g x g 为偶函数,则)()(21x f x f ±为奇函数；)()(21x g x g ±为偶函数； )()(11x g x f ±非奇偶函数；)()(11x g x f ⋅为奇函数；)()(),()(2121x g x g x f x f ⋅⋅均为偶函数. 常数C 是偶函数,因此,奇函数加非零常数后不再是奇函数了.利用函数奇偶性可以简化定积分的计算.对研究函数的单调性、函数作图都有很大帮助. 4．周期性【定义】 设函数内有定义在集合D d x f )(,如果存在非零常数T,使得对任意D x ∈,恒有)()(x f T x f =+成立,则称)(x f 为周期函数.满足上式的最小正数T,称为)(x f 的基本周期,简称周期.我们熟知的三角函数为周期函数(考纲不要求),除此以外知之甚少.][x x y -=是以1为周期的周期函数.][x y =与][x x y -=的图形分别如图1-1(a)和图1-1(b)所示.（三）初等函数 1．基本初等函数（1）常数函数 C y =,定义域为(-∞,+∞),图形为平行于x 轴的直线.在y 轴上的截距为c .（2）幂函数 αx y =,其定义域随着α的不同而变化.但不论α取何值,总在（1,+∞）内有定义,且图形过点（1,1）.当α＞0时,函数图形过原点（图1-2）（a ） (b )图1-2（3）指数函数 )1,0(≠=ααα x y ,其定义域为（-∞,+∞）.当0＜α＜1时,函数严格单调递减.当α＞1时,函数严格单调递增.子数图形过点（0,1）.微积分中经常用到以e 为底的指数函数,即x e y =（图1-3）（4）对数函数 )1,0(log ≠=ααα x y ,其定义域为（1,+∞）,它与x y α=互为反函数.微积分中常用到以e 为底的对数,记作nx y 1=,称为自然对数.对数函数的图形过点（1,0）（图1-4）(图1-3) (图1-4)另有两类基本初等函数：三角函数与反三角函数,不在考纲之内.对基本初等函数的特性和图形要熟练地掌握,这充分条件判断、导数和定积分应用中都很重要.例如,设f b a x b a x f ),,(,),()(∈对任意区间内二阶可导在″)(x ＜0.则 (1)f ′)(x 在),(b a 内严格单调减少；（2）)(x f 在),1(b 上为凸弧,均不充分.此题可以用举例的方法来说明（1）、（2）均不充分.由初等函数的图形可知,4x y -=为凸弧.y ′=34x -在（－∞,∞＋）上严格单调递减,但y ″=-122x ≤0,因此（1）,（2）均不充分,故选E.此题若把题干改成f ″)(x ≤0,则（1）,（2）均充分,差别就在等于零与不等于零.可见用初等函数图形来判断非常便捷.2．反函数【定义】 设函数)(x f y =的定义域为D ,值域为R ,如果对于每一个R y ∈,都有惟一确定的D x ∈与之对应,且满足)(x f y =x 是一个定义在R 以y 为自变量的函数,记作并称其为)(x f y =反函数.习惯上用x 作自变量,y 作因变量,因此)(x f y =反函数常记为R x x f y ∈=-),(1. 函数)(x f y =与反函数)(1x f y -=的图形关于直线x y =对称.严格单调函数必有反函数,且函数与其反函数有相同的单调性.x y a y a x log ==与互为反函.∈=x x y ,2[0,+∞]的反函数为x y =,而∈=x x y ,2（－∞,0）的反函数为x y -=（图1-2（b ））.3．复合函数【定义】 已知函数f f R y D u u f y ∈∈=,),(.又D x x u ∈=),(ϕϕ,u ≤R ϕ,若f f R D 非空,则称函数为函数)()(x u u f y ϕ==与的复合函数.其中y 称为因变量,x 称为自变量,u 称为中间变量.4．初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算而得到的一切函数统称为初等函数,初等函数在其定义域内有统一的表达式.（四）隐函数若函数的因变量y 明显地表示成)(x f y =的形式,则称其为显然函数.1),13(1,222-=-==x y x n y x y 等.设自变量x 与因变量y 之间的对应法则用一个方程式0),(=y x F 表示,如果存在函数)(x f y =（不论这个函数是否能表示成显函数）,将其代入所设方程,使方程变为恒等式： 其中f D 为非空实数集.则称函数)(x f y =由方程0),(=y x F 所确定的一个隐函数.如方程1=+y x 可以确定一个定义在[0,1]上的隐函数.此隐函数也可以表示成显函数的形式,即但并不是所有隐函数都可以用x 的显函数形式来表示,如0=++y x e xy 因为y 我法用初等函数表达,故它不是初等函数.另外还需注意,并不是任何一个方程都能确定隐函数,如0122=++y x .（五）分段函数有些函数,对于其定义域内的自变量x 的不同值,不能用一个统一的解析式表示,而是要用两个或两个以上的式子表示,这类函数称为分段函数,如 都是定义在（－∞,＋∞）上的分段函数.分段函数不是初等函数,它不符合初等函数的定义.二、极限（不在考试大纲内,只需了解即可）极限是微积分的基础. （一）数列极限按照一定顺序排成一串的数叫做数列,如n n a a a a ⋅ 21,称为通项. 1．极限定义【定义】 设数列{}n a ,当项数n 无限增大时,若通项n a 无限接近某个常数A ,则称数列{}n a 收敛于A ,或称A 为数列{}n a 的极限,记作否则称数列{}n a 发散或n n a ∞→lim 不存在.2．数列极限性质（1）四则极限性质 设b y a x n n n n ==∞→∞→lim ,lim ,则（2）a x a x k n n n n =⇔=+∞→∞→lim lim （k 为任意正整数）.（3）若a x n n =∞→lim ,则数列{}n x 是有界数列.（4）夹逼定理 设存在正整数0N ,使得0N n ≥时,数列{}{}{}n n n z y x ,,满足不等式n n n y x z ≤≤. 若a z y n n n n ==∞→∞→lim lim ,则a x n n =∞→lim . 利用此定理可以证明重要极限e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim （=,是一个无理数）. （5）单调有界数列必有极限 设数列{}n x 有界,且存在正整数0N ,使得对任意0N n ≥都有n n x x ≤+1（或n n x x ≥+1）,则数列{}n x 的极限一定存在.利用此定理可以证明重要极限e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim （=,是一个无理数）. （二）函数的极限1．∞→x 时的极限【定义】 设函数)(x f 在)0(||>≥a a x 上有定义,当∞→x 时,函数)(x f 无限接近常数A ,则称)(x f 当∞→x 时以A 为极限,记作当+∞→x 或-∞→x 时的极限当x 沿数轴正（负）方向趋于无穷大,简记+∞→x （-∞→x ）时,)(x f 无限接近常数A ,则称)(x f 当+∞→x （-∞→x ）时以A 为极限,记作 3．0x x →时的极限【定义】 设函数)(x f 在0x 附近（可以不包括0x 点）有定义,当x 无限接近)(00x x x ≠时,函数)(x f 无限接近常数A ,则称当0x x →时,)(x f 以A 为极限,记作 4．左、右极限若当x 从0x 的左侧（0x x <）趋于0x 时,)(x f 无限接近一个常数A ,则称A 为0x x →时)(x f 的左极限,记作.)(lim 0A x f x x =-→ 或 A x f =-)0(0若当x 从0x 的左侧（0x x >）趋于0x 时,)(x f 无限接近一个常数A ,则称A 为0x x →时)(x f 的右极限,记作.)(lim 0A x f x x =+→ 或 A x f =+)0(0（三）函数极限的性质 1．惟一性若,B x f A x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 00则A=B . 2．局部有界性若A x f x x =→)(lim 0.则在0x 的某邻域内（点0x 可以除外）,)(x f 是有界的. 3．局部保号性若A x f x x =→)(lim 0.且A ＞0（或A ＜0＝,则存在0x 的某邻域（点0x 可以除外）,在该邻域内有)(x f ＞0（或)(x f ＜0＝。

微分积分公式
微分积分公式是微积分中最基础的公式，也是应用最广泛的公式之一。

微分积分公式可以帮助我们求解各种函数的导数和积分，为我们解决各种实际问题提供了很大的帮助。

下面列举一些常见的微分积分公式：
1.导数公式：
（1）常数函数的导数为0；
（2）幂函数的导数为其指数减1乘以常数系数；
（3）基本初等函数的导数公式；
（4）和、积、商的求导法则；
（5）复合函数的求导法则。

2.积分公式：
（1）不定积分的基本公式；
（2）定积分的求解公式；
（3）分部积分法、换元积分法等积分法则；
（4）常见的反三角函数积分公式。

以上仅是微分积分公式中的一部分，还有很多其他的公式，应用也十分广泛。

在学习计算机科学、物理学、工程学等领域时，微分积分公式都是不可或缺的工具。

- 1 -。

高等数学微积分公式一、导数公式1.1 基本导数公式基本导数公式是微积分中最常用的公式之一。

导数表示函数在某一点的变化率，是微积分中研究函数的一项重要内容。

以下是一些基本导数公式：1.常数规则：若C为常数，则(C)′=0；2.幂函数规则：若f(x)=x n，其中n为实数，则$f'(x)=n \\cdot x^{n-1}$；3.指数函数规则：若f(x)=e x，则f′(x)=e x；4.对数函数规则：若$f(x)=\\ln{x}$，则$f'(x)=\\frac{1}{x}$；5.常数倍规则：若$f(x)=k \\cdot g(x)$，其中k为常数，则$f'(x)=k\\cdot g'(x)$；6.和差规则：若$f(x)=g(x) \\pm h(x)$，则$f'(x)=g'(x) \\pm h'(x)$。

1.2 导函数的求法导函数是求取函数导数的一种方法。

利用导函数，可以得到函数在每一点的导数值。

导函数的求法主要有以下方法：1.基本函数求导法：对于常见的基本函数，可以根据基本导数公式直接求导；2.求导法则：根据不同函数的性质和运算法则，可以利用对数导数法则、链式法则、隐函数求导法则等求导法则来求导；3.极限定义求导法：对于无法使用基本函数和求导法则求导的函数，可以利用导数的极限定义来求导。

二、积分公式2.1 基本积分公式基本积分公式是微积分中求取函数积分的基本方法之一。

积分表示函数在一定区间上的累积变化量。

以下是一些基本积分公式：1.常数积分规则：若C为常数，则$\\int C \\cdot dx = C \\cdot x + C_1$；2.幂函数积分规则：若f(x)=x n，其中n eq−1，则$\\int f(x) \\cdotdx = \\frac{1}{n+1} \\cdot x^{n+1} + C_1$；3.指数函数积分规则：若f(x)=e x，则$\\int f(x) \\cdot dx = e^x +C_1$；4.对数函数积分规则：若$f(x)=\\ln{x}$，则$\\int f(x) \\cdot dx = x\\cdot \\ln{x} - x + C_1$；5.分部积分法：若$f(x) \\cdot g(x)$可导，则$\\int f(x) \\cdot g'(x)\\cdot dx = f(x) \\cdot g(x) - \\int f'(x) \\cdot g(x) \\cdot dx$。