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微积分基本公式与计算微积分是数学中的一个分支，研究的是函数的变化、变化率和积分运算。
微积分的基本公式是指在微积分的基础知识中常用的、基础性的公式和计算方法。
下面将介绍微积分中的基本公式与计算方法。
1.导数公式导数是函数在其中一点上的变化率，描述了函数沿着自变量的变化速率。
常用的导数公式如下：（1）常数函数的导数为0：d(c)/dx = 0，其中c为常数。
（2）幂函数的导数为幂次与系数的乘积：d(x^n)/dx = nx^(n-1)，其中n为实数。
（3）指数函数的导数为函数自身与底数的乘积：d(a^x)/dx = ln(a) * a^x，其中a为底数。
（4）对数函数的导数为导数值与函数自身的倒数的乘积：d(log_a(x))/dx = 1/(x * ln(a))，其中a为对数的底数。
2.求导法则求导法则是指求导数时常用的一些运算规则。
常用求导法则如下：（1）和差法则：d(u ± v)/dx = du/dx ± dv/dx，其中u和v是两个函数。
（2）乘积法则：d(uv)/dx = u * dv/dx + v * du/dx，其中u和v是两个函数。
（3）商法则：d(u/v)/dx = (v * du/dx - u * dv/dx) / v^2 ，其中u和v是两个函数，v≠0。
（4）链式法则：如果函数y = f(u)和u = g(x)有关系，那么y对x 的导数可以表示为：dy/dx = dy/du * du/dx。
3.积分公式积分是导数的逆运算，是计算函数在一个区间上面积的方法。
常用的积分公式如下：（1）不定积分的基本公式：∫f(x)dx = F(x) + C，其中F'(x) = f(x)，C为常数。
（2）定积分的基本公式：∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)，其中F'(x) = f(x)。
（3）换元积分法：根据函数的复合结构，选择适当的变量替换，使得被积函数简化，然后再进行积分。
1．设函数0cos xy tdt =⎰，求'(0)y ，'()4y π。
【解】由题设得'()cos y x x =，于是得 '(0)cos01y ==，'()cos442y ππ==。
2．计算下列各导数：⑴20x d dx⎰；【解】20x d dx⎰2)x =2= ⑵1td dt dx ；【解】1td dt dx 1()t ddt dx =-=-=。
⑶cos 2sin cos()x x d t dt dxπ⎰； 【解】cos 2sin cos()x x d t dt dx π⎰0cos 22sin 0[cos()cos()]x xd t dt t dt dx ππ=+⎰⎰ 》0cos 22sin 0cos()cos()x x d d t dt t dt dx dx ππ=+⎰⎰sin cos 2200[cos()]cos()x xd d t dt t dt dx dx ππ=-+⎰⎰ 22cos(sin )(sin )cos(cos )(cos )d dx x x x dx dx ππ=-+22cos(sin )cos cos[(1sin )](sin )x x x x ππ=-+--22cos(sin )cos cos(sin )sin x x x x πππ=---22cos(sin )cos cos(sin )sin x x x x ππ=-+2cos(sin )(sin cos )x x x π=-。
⑷2ln 1x x d dt dx t⎰。
【解】2ln 1x x d dt dx t ⎰21ln 111[]x x d dt dt dx tt =+⎰⎰ 21ln 111x x d d dt dt dx t dx t=+⎰⎰ …2ln 1111[]x x d d dt dt dx t dx t =-+⎰⎰2211(ln )()ln d d x x x dx x dx =-+21112ln x x x x =-⋅+⋅12ln x x x =-+11(2)ln x x=-。
3．设函数()y y x =由方程0cos 0yxt e dt tdt +=⎰⎰所确定，求dydx。
【解法一】方程0cos 0yxt e dt tdt +=⎰⎰中完成积分即为 0sin 0ty x e t+=，亦即为 (1)sin 0ye x -+=，得知1sin ye x =-，解出y ，得ln(1sin )y x =-， 于是得1cos (1sin )1sin 1sin dy d x x dx x dx x -=-=--cos sin 1x x =-。
【解法二】在方程cos 0yxt e dt tdt +=⎰⎰两边对x 求导，注意到()y y x =，得—00[cos ](0)y x t d de dt tdt dx dx+=⎰⎰即得 ()cos 0y d e y x dx+=， 亦即cos 0y dy ex dx +=，解出dy dx ，得cos y dy x dx e=-， 方程0cos 0yxte dt tdt +=⎰⎰中完成积分即为 0sin 0tyx e t+=，亦即为 (1)sin 0ye x -+=，得知1sin ye x =-，再将1sin ye x =-代入cos y dy xdx e=-中， 得cos cos 1sin sin 1dy x x dx x x =-=--。
4．设0sin t x udu =⎰，0cos t y udu =⎰，求dydx。
【解】问题是由参数方程求导【解法一】dy dy dt dx dx dt =0cos sin ttd udu dt d udu dt =⎰⎰cos cot sin t t t ==。
~【解法二】dy dx 00cos sin ttd udud udu =⎰⎰cos sin tdt tdt =cos cot sin tt t==。
5．求下列极限： ⑴20cos limxx t dt x→⎰；【解】这是“”未定型极限，应用洛必达法则，得 200cos limxx t dt x→⎰20cos lim 1x x →=2cos 01==。
⑵02arctan limxx tdt x →⎰；【解】这是“”未定型极限，应用洛必达法则，得 02arctan limxx tdt x →⎰0arctan lim2x xx→= ---- 应用洛必达法则2011lim 2x x →+= ---- 再次应用洛必达法则 $21112102=⋅=+。
⑶22limx x x→⎰；【解】这是“”未定型极限，应用洛必达法则，得22limx x x →⎰0x →= ---- 应用洛必达法则0x →= ---- 完成求导2()'xx →= ---- 整理1=。
⑷2220020()limxt xx t e dt te dt→⎰⎰。
【解】这是“”未定型极限，应用洛必达法则，得 2220020()limxt xx t e dt te dt→⎰⎰2220202limxx t t xx d e dt e dt dx xe →⋅=⎰⎰ ---- 应用洛必达法则；222202limxt xxx e dt e xe →⋅=⎰ ---- 完成求导20x t d e dt dx⎰ 222limxt xx e dtxe →=⎰ ---- 分子分母同消去2x e222202lim2x xx x ee x e→=+ ---- 再次应用洛必达法则202lim 12x x →=+ ---- 分子分母同消去2x e 222120==+⨯。
6．当x 为何值时，函数2()xt I x te dt -=⎰有极值。
【解】由给定的函数2()xt I x te dt -=⎰可见，其定义域为(,)-∞+∞，由于2'()x I x xe -=，可得()I x 有唯一驻点0x =，无不可导点， 显见，当0x <时，'()0I x <，当0x >时，'()0I x >， 可知，函数()I x 在点0x =处取得极小值。
,7．计算下列定积分：⑴22411()x dx x +⎰； 【解】22411()x dx x +⎰321311()33x x=-33111(21)(1)332=---218=。
⑵4dx +⎰；【解】4dx +⎰1924()x x dx =+⎰3292421()32x x =+33222221(94)(94)32=-+- 21(278)(8116)32=-+-2716=。
⑶211dx x +；【解】211dx x +arctan==36ππ=-6π=。
⑷2201dx a x +；【解】2201dx a x +22111()dx x a a =+02111()xd x a a a=+ (1a=1arctan 0)a =-1a=13a π=⋅3a π=。
⑸420213311x x dx x -+++⎰； 【解】420213311x x dx x -+++⎰02211(3)1x dx x -=++⎰31(arctan )x x -=+30(1)arctan 0arctan(1)=--+--10arctan1=++14π=+。
⑹1011e dx x -+⎰；【解】1011e dx x-+⎰101(1)1e d x x -=++⎰1ln(1)e x -=+ln ln1e =-1=。
⑺240tan xdx π⎰；【解】240tan xdx π⎰240(sec 1)x dx π=-⎰40(tan )x x π=-tan44ππ=-14π=-。
—⑻240cos ()2xdx π⎰；【解】240cos ()2x dx π⎰401cos 2x dx π+=⎰41(sin )2x x π=+1(sin )244ππ=+84π=+。
⑼212x dx -⎰；【解】212x dx -⎰021022x dx x dx -=+⎰⎰0210(2)2x dx xdx -=-+⎰⎰2221x x -=-+22[0(1)](20)=---+-5=。
⑽20sin x dx π⎰；【解】20sin x dx π⎰20sin sin x dx x dx πππ=+⎰⎰20sin (sin )xdx x dx πππ=+-⎰⎰20cos cos xxπππ=-+(cos cos0)(cos 2cos )πππ=--+-(11)[1(1)]=---+--4=。
⑾；<【解】=340cos x dx π=3242cos cos ]x dx x dx πππ=+⎰⎰3242cos cos )xdx xdx πππ=-⎰⎰32402sin )xxπππ=-3sin 0)(sinsin )]242πππ=---0)(1)]2=---1=。
⑿2()f x dx ⎰，其中21, 1()1, 12x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩。
【解】2()f x dx ⎰121()()f x dx f x dx =+⎰⎰122011(1)2x dx x dx =++⎰⎰2132111()26x x x =++11(1)(81)26=++-83=。
8．设2, [0,1)(), [1,2]x x f x x x ⎧∈=⎨∈⎩，求0()()x x f t dt Φ=⎰在[0,2]上的表达式，并讨论()x Φ在(0,2)内的连续性。
【解】当0x =时，0()()0x f t dt Φ==⎰3013x x ==；当(0,1)x ∈时，0()()xx f t dt Φ=⎰20xt dt =⎰313x t =313x =； [当1x =时，1(1)()f t dt Φ=⎰120t dt =⎰311133t ==3113x x ==2111()26x x ==-；当(1,2)x ∈时，0()()xx f t dt Φ=⎰11()()xf t dt f t dt =+⎰⎰1201x t dt tdt =+⎰⎰312011132x t t =+211(1)32x =+-21126x =-， 当2x =时，2(2)()f t dt Φ=⎰121()()f t dt f t dt =+⎰⎰12201t dt tdt =+⎰⎰3122011132t t =+211(21)32=+-116=2211()26x x ==-，于是，321, [0,1)3()11, [1,2]26x x x x x ⎧∈⎪⎪Φ=⎨⎪-∈⎪⎩，由于初等函数313x 在[0,1)内连续，初等函数21126x -在(1,2]内连续，故要讨论()x Φ在(0,2)内的连续性，仅须讨论()x Φ在1x =处的连续性，由于31111lim ()lim 33x x x x --→→Φ==，211111lim ()lim()263x x x x ++→→Φ=-=， 且(1)Φ2111()26x x ==-13=，可知()x Φ在1x =处连续，、从而，()x Φ在(0,2)内连续。
