微积分的基本公式PPT

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微积分基本公式PPT课件

xa a
x
( x a) f ( x) f (t)dt
证 F ( x)
a
(x a)2
x
只要证明 ( x a) f ( x) f (t)dt 0 即可. a
令 g( x) ( x a) f ( x)
x
f (t)dt ,
a
则 g( x) f ( x) ( x a) f ( x) f ( x)
原函数.
该定理告诉我们, 连续函数一定有原函数.
6
变限积分函数的求导：
d x f (t)dt f ( x) ，
dx a
d
b
f (t)dt
d
x f (t)dt f ( x) ，
dx x
dx b
设(x) 在[a, b]上可导,则
d
(x)
f (t)dt f [( x)]( x) .
dx a
证设 Φ( x) x f (t)dt ，则 (x) f (t)dt Φ[( x)]，
a
a
所以
d
(x)
f (t)dt Φ[ ( x)] ( x) f [( x)]( x) .
dx a
7
更一般地，设 ( x) ， ( x) 在[a, b] 上可导,则
d (x)
f (t)dt
dx ( x)
§6.3 微积分基本定理
用定义求定积分实际上是行不通的,下面介绍计算定积分的方法
原函数存在定理牛顿-莱布尼茨公式
1
原函数存在定理
定理6.3 设函数f ( x)在[a, b]上连续, 则变上限积分
x
Φ( x) a f (t)dt
在[a, b]上可导, 且
Φ( x) d
x

大学微积分课件(PPT幻灯片版)pptx

高阶导数计算
高阶导数的计算一般采用归纳法或莱布尼茨公式等方法进行求解。需要注意的是，在计算过程中要遵循求导法则和运算顺序。
应用举例
高阶导数在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。例如，在物理学中，加速度是速度的一阶导数，而速度是位移的一阶导数；在工程学中，梁的挠度是荷载的一阶导数等。
03 一元函数积分学
VS
几何意义
函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数 $f'(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$在点 $(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率。
求导法则与技巧总结
基本求导法则
包括常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导数、三角函数的导数、反三角函数的导数等。
求导技巧
连续性与可微性关系
连续性
函数在某一点连续意味着函数在该点有定义，且左右极限相等并等于函数值。连续性是函数的基本性质之一。
可微性
函数在某一点可微意味着函数在该点的切线斜率存在，即函数在该点有导数。可微性反映了函数局部变化的快慢程度。
连续性与可微性关
系
连续不一定可微，但可微一定连续。即函数的连续性是可微性的必要条件，但不是充分条件。
历史发展
微积分起源于17世纪，由牛顿和莱布尼茨独立发展。经过数百年的完善，已成为现代数学的重要基础。
极限思想与运算规则
极限思想
极限是微积分的基本概念，表示函数在某一点或无穷远处的变化趋势。通过极限思想，可以研究函数的局部和全局性质。
运算规则
极限的运算包括极限的四则运算、复合函数的极限、无穷小量与无穷大量的比较等。这些规则为求解复杂函数的极限提供了有效方法。

微积分基本公式优秀课件

牛顿－莱布尼茨公式
例:求 2 x 2 d x 和 2 t 2 d t
1
1
例:求 y2cosx在 x [ 0 , ] 的平均值. 2
例:连续可导函数 f (x) 有 f (a) = 3, f (b) = 5, 求
b f ( x)dx. a
积分上限函数的导数
利用牛顿—莱布尼茨公式反过来理解积分上限函数 (注:此为非正规方式)
x
(x)a f(t)dt
就是 f (x) 在 [a , b] 上的一个原函数.即:
(x)f(x) 或 (x) f(x)dx
例:函数 f (t ) = t 的积分上限函数 (x)
x
tdt
0
(x)f(x)x
原函数存在定理
x
(x )af(t)d t (x )f(x )
证:
xx
x
(xx)(x) f(t)dt f(t)dt
例:已知
f
(x)
x x2
0 x1 ,求 1 x2
2
f ( x)dx.
0
y
f (x)
O
1 2x
例:已知
x2 f (x) ex
1 x2
,求
0 x1
2
f ( x)dx.
0
牛顿－莱布尼茨公式
例:求 cos x dx 0
例:求 sin x dx
2
例:求 1 x dx 0
2
例:求 2x 1 dx 0
F(x)(x)C, x[a,b]
当 x = a 得 F(a) (a)C,
牛顿－莱布尼茨公式
a
(a )af(x )d x0 F (a )C
( x ) F ( x ) C F ( x ) F ( a )

( 人教A版)微积分基本定理课件 (共38张PPT)

2
2
答案：D
3．设 f(x)＝x22－，x0，≤1x<≤x≤1，2，
则2f(x)dx 等于________． 0
解析：2f(x)dx＝1x2dx＋2(2－x)dx
0
0
1
＝x3310 ＋(2x－x22)21
＝13＋[(2×2－222)－(2－12)]＝56.
答案：56
探究一计算简单函数的定积分
[自主梳理]
如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且 F′(x) 内容＝ f(x)，那么bf(x)dx＝ F(b)－F(a)
a
符号
bf(x)dx＝F(x)ba ＝ F(b)－F(a)
a
二、定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，x 轴下方的面积为 S 下，则 1．当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图(1)，则bf(x)dx＝ S 上．
(7)baxdx＝lnaxaba (a>0 且 a≠1)． a
1．计算下列定积分．
(1)1(x3－2x)dx； 0
(2)
2 0
(x＋cos
x)dx；
(3
解析：(1)∵(14x4－x2)′＝x3－2x，
∴1(x3－2x)dx＝(14x4－x2)10 ＝－34. 0
2．(1)若
f(x)＝x2 cos
x≤0 x－1
x>0
2．常见函数的定积分公式： (1)bCdx＝Cxba (C 为常数)．
a
(2)abxndx＝n＋1 1xn＋1ba (n≠－1)． (3)bsin xdx＝－cos xba .
a
(4)bcos xdx＝sin xba . a
(5)b1xdx＝ln xba (b>a>0)． a

《高数》微积分的基本公式PPT共26页

《高数》微积分的基本公式
51、山气日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷，屋舍俨然，有良田美池桑竹之属，阡陌交通过去和未来文化生活的源泉。 ——库法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一次也不善于度过。— —吕凯特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处，只不过是愈来愈发觉自己的无知。 ——笛卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地走到底，决不回头。 ——左

课件：微积分基本公式

二、积分上限函数及其导数
设f ( x)在[a,b]上连续, x [a,b],
记 ( x) ax f (t)dt ----积分上限函数
◆积分上限函数的重要性质：
定理1 若f ( x)在[a,b]上连续,则积分上限函数
( x) ax f (t )dt在[a,b]上可导,且x (a,b)有 :
( x)
其中: I可以为任意形式的区间.
d
x
x
f (t)dt [ f (t)dt] f (x)
dx a
a
例1 已知f ( x) 0x t 2 sin tdt,求f ( x). 解 f ( x) [0x t 2 sin tdt ] x2 sin x.
例2
已知f
(
x)
x2
0
t2
sintdt,求f
证 x (a,b),
y
( x x) axx f (t )dt
( x x) ( x)
axx f (t )dt ax f (t )dt
( x) (x)
o a x x x b x
x
f (t)dt
x x
f (t)dt
x
f (t)dt
x x
f (t)dt,
a
x
a
x
由积分中值定理得:
sin x
arctan x
xf
(t )dt ,
求g( x).
思考题解答
1. 已知f ( x)在[a,b]上连续,问ax f (t )dt与xb f (u)du 是谁的函数? 它们在[a , b]上可导吗? 如可导, 求其导数.
解: 都是x的函数; 可导;
d dx
ax

微积分基本公式与计算PPT共28页

cos x 2
1.
2
0
2
例2. 计算
e2
x ln x dx.
1
buvdxuvb
b
vudx
a
aa
解:
原式=
1 2
e2 1
lnxdx2
1[x2 lnx
e
2
e2 x2 1dx]
2
11x
1 [2e4
1
x2
e2
]
2
21
u ln x v x; u 1
x v 1 x2
2
1(3e4 1) 4
e2
21ln x 2 3 2
1
注：用凑微分法完成的积分，如果没有引入新的变量，则上下限不必变动。即配元不换限
例5 计算 2 cos5 xsinxdx. 0
解 2 cos5 xsinxdx 0 2cos5 xdcosx 0
换元必换限不换元则不换限
cos6 x 2 1 .
6
2) 必须注意换元必换限。但计算定积分值时原函数中的新变量不必代回 .
例2.
4
计算 0
x2 dx. 2x1
解: 令 t 2x1,则 xt21, dxtdt, 且 2当x0时,t 1; x4, t 3.∴ 原式 =
3
t
2 1 2
2 t
dt
1t
1213(t23)dt
1(1t33t) 3 22
x2 d x
[2 5
x
5 2
]
2 1
2(4 21) 5
2）利用定积分的几何意义——曲边梯形面积
若被积函数的图像是规则图形（特别是圆）时，定积分的值就可以用对应的曲边梯形面积得到。

微积分的基本公式PPT幻灯片课件

一个原函数, 则
b a
f
(x)d x

F ( x)
b a

F (b)
于是
0 | F(x) | |
x x
f (t)dt |
xx
| f (t) | dt Mx
x
x
由夹逼定理及点 x 的任意性, 即可得 F (x) C([a,b]) .
7
定理1说明: 定义在区间[a,b] 上的积分上限函数是连续的.
积分上限函数是否可导?
8
由 F(x x) F(x)
xx
f (t)dt,
x
如果 f (x) C([a,b]), 则由积分中值定理, 得
xx
F(x x) F(x) x f (t)dt f ( )x ,
( 在 x 与 x x 之间)
故 lim F (x x) F (x) lim f ( )x
x0
推论2 基本初等函数在其定义域内原函数存在.
推论3 初等函数在其有定义的区间内原函数存在.
17
2. 微积分基本公式
如果 f (x) C([a,b]), 则
x
f (t)dt
为 f (x) 在[a,b] 上
a
的一个原函数.
若已知 F (x) 为 f (x) 的原函数, 则有
x
a f (t)dt F (x) C0.
( x)
F(x) ( a f (t)dt ) f ((x)) (x) .
14
例3
e1 t2 d t
计算 lim x0
cos x
x2
.
解
e1 t2 d t
cos x et2 d t

《高数》微积分的基本公式PPT文档26页

《高数》微积分的基本公式
61、辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏。 62、奇文共欣赞，疑义相与析。
63、暧暧远人村，依依墟里烟，狗吠深巷中，鸡鸣桑树颠。 64、一生复能几，倏如流电惊。 65、少无适俗韵，性本爱丘山。
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
26

微积分基本定理_图文_图文

微积分基本定理_图文_图文.ppt
【课标要求】 1．了解微积分基本定理的内容与含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的定积分．【核心扫描】 1．用微积分基本定理求函数的定积分是本课的重点． 2．对微积分基本定理的考查常以选择、填空题的形式出现．
1．微积分基本定理
自学导引
连续
f(x)
F(b)－F(a)

(1)用微积分基本定理求定积分的步骤： ①求f(x)的一个原函数F(x)； ②计算F(b)－F(a)． (2)注意事项： ①有时需先化简，再求积分； ②f(x)的原函数有无穷多个，如F(x)＋c，计算时，一般只写一个最简单的，不再加任意常数c.
【变式1】求下列定积分：
求较复杂函数的定积分的方法： (1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后求解，具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正、余函数、指数、对数函数与常数的和与差． (2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．
定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考查，解题过程中注意体会转化思想的应用．
【题后反思】 (1)求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表示为几段积分和的形式； (2)带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝对值号，化为分段函数； (3)含有字母参数的绝对值问题要注意分类讨论．
2．被积函数为分段函数或绝对值函数时的正确处理方式分段函数和绝对值函数积分时要分段去积和去掉绝对值符
号去积．处理这类积分一定要弄清分段临界点，同时对于定积分的性质，必须熟记在心．
题型一求简单函数的定积分【例1】计算下列定积分

2-1微积分学基本定理及基本积分公式.ppt

1
0
f ( x )dx ′ = f ( x ) ， ∫
d ∫ f ( x )dx = f ( x )dx
不定积分积分再求导先不定积分再求导 =本身本身
或
20
或
∫ f ′( x )dx = ∫ df ( x ) =
f ( x) + C ，
f ( x) + C ．
运算法则 ② 运算法则
10
20
∫ [ f ( x ) ± g ( x ) ] dx = ∫
∫ kf ( x ) dx = k ∫
f ( x )dx ±
（可加性（可加性） ∫ g ( x )dx ，可加性）
f ( x )dx ，（齐次性）齐次性）
∫∑k
i =1
n
i
f i ( x )dx =
∑k ∫
i =1 i
n
f i ( x )dx ．线性性质）（线性性质（线性性质）
1
1
例2
证：(1)
≤∫
−
2 1 2
e
− x2
dx ≤ 2 ；
π 1 sin x 2 2 (2) < ∫π dx < ． 2 x 2 4
例3
3∫
设 f ( x ) ∈ C[0, 1] , f ( x ) ∈ D(0, 1) ，且
1 2 f ( x )dx = 3
1]
f ( 0 ) ．证： ∃ ξ∈( 0 , 1) ，使 f ′( ξ ) = 0 ．
a
ξ
b
x
推广的积分中值推广的积分中值 Thm
上可积，若函数 f ( x ) ∈ C[ a , b ] ， g ( x ) 在 [a , b] 上可积，

微积分第二版课件第二节微积分基本公式

y
y=f (x)
(x) ax f (t)dt ,
称为变上限的积分.
oa
x
bx
定理（微积分基本定理）
若函数f (x)在区间[a,b]上连续，则变上限函数
Φ(x)
x
f (t)dt
(a
x b)在[a,b]上具有导数，且
a
Φ '(x)
d dx
ax
f
(t
)dt
f (x)
(a x b).
即上限函数Φ(x)是f (x)在[a,b]上的一个原函数.
对应变上限积分函数还有变下限积分函数
(x) xb f (t)dt 对于变上（下）限积分函数也可以进行函数的复合，由变上限积分函数导数与复合函数求导法则有结论：
若函数 (x), (x) 可微，函数 f (x) 连续，则
(1) d dx
a x
f
(t)dt
d dx
x a
f
(t
)dt
f (x)
0
cos
t
2
d
t
x2
lim
x0
2x cos 2x
x4
lim cos
x0
x4
1
1
lim
x0
0xarctan x2
tdt
.
lim
x0
arctan 2x
x
1 2
lim
x0
1
x2
1
1. 2
二、微积分基本公式
变速直线运动的路程问题
设物体作变速直线运动其路程函数为s=s(t) , 速度
函数为v=v(t) .则在时间间隔 [T1,T2 ] 内有
根据导数的定义及函数的连续性，有

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)
d
x
costdt cx o . s
a
dx a
F(x)
( xcoxsdx)? a
定积分与积分变量的记号无关.
x
(acoxdsx)cox.s
.
12
例2
设 F (x )x 2 s1 i t n 2 )d t( ,求 F (x ). 0
解令 u x 2 ,g ( u ) u s1 i t 2 ) d n t ,则 F ( ( x ) g ( x 2 ) , 0
0 4 c2 o x d x s 1 2 s2 i x 4 0 n 1 2 (s 2 4 i s n 0 i ) n 1 2 .
.
22
例7 解
计算 1co 2xd sx. 0
去绝对值符号(如果
是分段函数，
0 1 c2 o x d x s 0 2 c2 o x d x s则的利性用质积将分积
x x
F ( x x ) F ( x ) f( t) d t f() x , x (在 x与 xx之) 间
故 liF m (x x ) F (x ) lifm () x
x 0 x
x 0 x
条件
这说明了什么？
lim f()f(x) x 0
.
9
定理 2 若 f( x ) C ( a ,b [ ]则 )F ( , x ) x f( t ) d t在 [ a ,b ] a 上可,导且 F (x ) dx f( t)d t f(x )( a x b ). d xa
F ( x ) F ( x x ) F ( x )
x x
x
x x
a f( t) d t a f( t) d t x f( t) d t
又 f( x ) R (a ,[ b ]故 )f ,( x )在 [ a ,b ]上|f有 ( x )| M .界
于 0 | F ( 是 x ) | |x x f ( t ) d t | x x |f ( t ) |d t M x
.
14
例3 解
e 1 t2 dt
计算lx im 0 coxsx2 .
1et2dt
coxe st2dt
lx i0m cox x2 s
lim1 x 0
x2
下面再看定理 2 .
罗必达法则
limeco2sx(sinx)
x0
2x
1. 2e
(x )
( f(t)d t) f((x ))(x )
a.
分分成几个
20|coxs|dx
部分的和的形式.)
20 2co xds x2(co x)d sx
2
2sixn0 22sixn 22.
2
.
23
不定积分、定积分
x
F(x)af(x)dx
牛顿—莱布尼茨公式微积分基本公式
a b f(x )d x F (x )b a F (b ) F (a ).
(f(x) C ) f()a bdxF ( b ) F ( a ) f() b ( a )
的一个原函数.
若已 F(x)知为 f(x)的原 ,则函有数
x
af(t)dtF(x)C 0. 令 x a ,则 0 a a f ( t ) d t F ( a ) C 0 ,故 C 0 F ( a ) .
取xb, 则得到基本公式
b
b
a f( t) d t a f( x ) d x F ( b ) F ( a ).
积分中值定理
拉格朗日中值定理
函数的可微性
.
24
.
19
定积分的计算问题转化为已知函数的导函数,求原来函数的问题 .
.
20
例5
(sxi) nco x,s
0 2 cx o d xs sx i0 2 n si2 n s0 i n 1 .
问题的关键是如何求一个函数的原函数.
.
21
例6
1 1 1 1 x 2 d x arx c 1 1 a ta r1 n c atra c 1 ) n t 2 .a
.
10
定理 3 若 f(x ) R (a ,[ b ]且 ), x 0 在 [ a ,b ]处点 , 连
则 F ( x ) a x f( t ) d t在 x 0 处点 ,且 F 可 ( x 0 ) f( x 0 导 ) .
(在端点处是指的左右导数 )
.11例1(xcotsdt
高等数学（文）
—— 一元微积分学
微积分的基本公式
.
1
第六章定积分
第二节微积分的基本公式
一. 积分上限函数二. 微积分基本公式
.
2
一. 积分上限函数 (变上限的定积分)
对可f积 (x)而函 ,每言数给a,定 b值 ,就一有对
确定的I定 bf(积 x)dx分与值之 . 对应 a 这意f(味 x)的着定b积 f(x)d分 x与它的上 a
yf(x)
aO
xx b x
曲边梯形的面积的代数和随 x 的位置而变化。
.
5
由积分bf的 (x)dx性 a质 f(x)dx ： ,有
a
b
b
x
xf(t)dtbf(t)dt,
所以，我们只需讨论积分上限函数.
bf (t)dt 称为积分下限函 . 数 x
.
6
定理 1 若 f ( x ) R ( a , b [ ]则 ) F ( x , ) x f ( t ) d t C ( a , b [ ] .) a 证 x [ a , b ] ,且 x x [ a , b ] ,则
x
x
由夹逼 x的定任 ,即理意 F 可及 (x)性 C 得 (点 a [,b ].)
.
7
定理1说明: 定义在区[a间 ,b]上的积分上限函数是连 . 续的
积分上限函数是否可导?
.
8
由 F (x x ) F (x )x xf( t)d t, x
如果 f(x)C(a [,b])则 , 由积分,中得值定
之间存在一种函数关系.
固定积分 ,让下积限分不 ,上则变限得变到
分上限函数:
x
x
F ( x ) a f( x ) d x a f( t) d tx [ a ,b ] .
.
3
积分上限函数的几何意义 y yf(x)
aO
xx b x
.
4
积分上限函数的几何意义 y
x
a f (x)dx
故F(x)g(u)du(usi1n t2 ()dt)(x2) dx 0
s1 i n u 2 )2 (x 2 x s1 i n x 4 ).(
这是复合函数求导, 你能由此写出它的一般形式吗?
.
13
一般地,
若 (x )可 ,f(x 导 ) C ,则
( x )
F ( x ) ( a f( t ) d t) f(( x )) ( x ) .
.
18
定理 (牛顿—莱布尼茨公) 式
若 f( x ) C (a ,b [ ]F ) ( x ) ,为 f( x ) 在 [ a ,b ] 上一个原函,数则
a b f(x )d x F (x )b a F (b ) F (a ).
牛— 顿莱布尼茨公式将定积分的函计数算的与计求算原.联
推论1 若 f(x)C(I),则 f(x)在 I上原函 . 数推论2 基本初等函数域在内其原定函义数 . 存推论3 初等函数在其区有间定内义原的函 . 数
.
17
2. 微积分基本公式
如 f( x ) C 果 ( a , b [ ]则 )x , f( t ) d t为 f( x ) 在 [ a , b ] 上 a
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定理 2 若 f( x ) C ( a ,b [ ]则 )F ( , x ) x f( t ) d t在 [ a ,b ] a 上可,导且F (x ) dx f( t)d t f(x )( a x b ). d xa
由 F(x)
x
f(t)dt
及F(x)f(x)你会想到
a
.
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定理若 f ( x ) C ( a , b [ ]则 )F ( , x ) x f ( t ) d t ,x [ a , b ] a 为f(x)在[a,b]上的一个原. 函数