数列概念和等差数列(教师版)

第1篇第一单元：数列第一章：数列的概念1.1 数列的定义1.2 数列的通项公式1.3 数列的递推公式习题与思考第二章：等差数列2.1 等差数列的定义和性质2.2 等差数列的通项公式2.3 等差数列的前n项和习题与思考第三章：等比数列3.1 等比数列的定义和性质3.2 等比数列的通项公式3.3 等比数列的前n项和习题与思考第四章：数列的应用4.1 数列在经济学中的应用4.2 数列在生物学中的应用4.3 数列在工程学中的应用习题与思考第二单元：三角函数第五章：三角函数的概念5.1 角的概念及度量5.2 正弦、余弦、正切函数的定义5.3 三角函数的性质习题与思考第六章：三角函数的图像和性质6.1 正弦函数的图像和性质6.2 余弦函数的图像和性质6.3 正切函数的图像和性质习题与思考第七章：三角恒等变换7.1 和差公式7.2 积化和差公式7.3 二倍角公式7.4 和差化积公式习题与思考第八章：三角函数的应用8.1 三角函数在物理中的应用8.2 三角函数在几何中的应用8.3 三角函数在其他学科中的应用习题与思考第三单元：平面向量第九章：平面向量的概念9.1 向量的定义和表示9.2 向量的运算9.3 向量的几何表示习题与思考第十章：平面向量的应用10.1 平面向量在几何中的应用10.2 平面向量在物理中的应用10.3 平面向量在其他学科中的应用习题与思考第四单元：立体几何第十一章：空间几何体的概念11.1 空间几何体的定义和性质11.2 空间几何体的分类习题与思考第十二章：空间几何体的计算12.1 空间几何体的体积12.2 空间几何体的表面积12.3 空间几何体的性质习题与思考第十三章：空间几何体的应用13.1 空间几何体在建筑学中的应用13.2 空间几何体在工程学中的应用13.3 空间几何体在其他学科中的应用习题与思考第五单元：解析几何第十四章：直线的方程14.1 直线的斜截式方程14.2 直线的点斜式方程14.3 直线的两点式方程习题与思考第十五章：圆的方程15.1 圆的标准方程15.2 圆的一般方程15.3 圆的性质习题与思考第十六章：解析几何的应用16.1 解析几何在几何证明中的应用16.2 解析几何在工程学中的应用16.3 解析几何在其他学科中的应用习题与思考第六单元：概率统计第十七章：概率初步17.1 随机事件17.2 事件的概率17.3 概率的基本性质习题与思考第十八章：统计初步18.1 统计数据的收集与整理18.2 统计数据的描述18.3 统计数据的分析习题与思考第七单元：数学文化第十九章：数学家的故事19.1 欧几里得的生平与成就19.2 祖冲之的生平与成就19.3 莱布尼茨的生平与成就习题与思考第二十章：数学在生活中的应用20.1 数学在购物中的应用20.2 数学在交通中的应用20.3 数学在健康中的应用习题与思考总结本册教材旨在通过系统地讲解数学基础知识，帮助学生建立扎实的数学基础，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

数列与等差数列的概念与性质数列是数学中的一个重要概念，它是由一串按照特定规律排列的数所组成的序列。

而等差数列则是数列中的一种特殊形式，它的相邻两项之差都相等。

本文将介绍数列与等差数列的概念以及它们的性质。

一、数列的概念数列是指按照一定的顺序排列的一列数，用字母a、b、c和整数n来表示。

其中，n表示数列的位置，也称为项数。

例如，a1表示数列的第一项，a2表示数列的第二项，以此类推。

数列可以是有限的，也可以是无限的。

有限数列是指数列只有有限个项的情况，例如数列{1，2，3，4，5}就是一个有限数列。

而无限数列是指数列的项数是无穷的，例如数列{1，2，3，4，...}就是一个无限数列。

二、等差数列的概念等差数列是指数列中的相邻两项之差都相等的特殊数列。

设数列的第一项为a1，公差为d，则等差数列的一般形式可以表示为{a1，a1+d，a1+2d，a1+3d，...}。

在等差数列中，公差d的值决定了相邻两项之间的差额。

如果d大于0，则数列是递增的；如果d小于0，则数列是递减的。

当公差d等于0时，数列中的所有项都相等。

三、等差数列的性质1. 通项公式等差数列可以通过通项公式来表示第n项的表达式。

通项公式通常用字母an表示，其表示形式为an = a1 + (n-1)d。

其中，an表示等差数列的第n项，a1表示等差数列的首项，d表示等差数列的公差。

通过通项公式，我们可以方便地计算等差数列中任意一项的值。

2. 求和公式等差数列的前n项和可以通过求和公式来表示。

求和公式通常用字母Sn表示，其表示形式为Sn = (n/2)(a1 + an)。

其中，Sn表示等差数列的前n项和，a1表示等差数列的首项，an表示等差数列的第n项。

求和公式的使用，可以快速计算等差数列的前n项和，方便了数列求和运算。

3. 通项和数列之间的关系等差数列的通项和数列之间有着紧密的关系。

通过分析等差数列的特点，可以发现通项和数列的公差是常数项1，首项是等差数列的首项，首项和末项之间的序列是等差数列。

一、数列概念1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．⑵在数列中同一个数可以重复出现．⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念．⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =.3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n n a a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式.4.数列的前n 项和与通项的公式①n na a a S +++= 21； ②⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n nn .5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1. ③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 课堂练习 1、已知*2()156n n a n N n =∈+，则在数列{}na 的最大项为__（答：125）； 2、数列}{n a 的通项为1+=bn an a n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___（答：n a <1+n a ）；3、已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）； 课后练习 一、选择题1．下列有关数列的说法正确的是( ) ①同一数列的任意两项均不可能相同；②数列－1,0,1与数列1,0，－1是同一个数列； ③数列中的每一项都与它的序号有关． A ．①② B ．①③ C ．②③D ．③2．下面四个结论：①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3…，n })上的函数．②数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点． ③数列的项数是无限的． ④数列通项的表示式是唯一的． 其中正确的是( ) A ．①② B ．①②③ C ．②③D ．①②③④ 3．已知a n ＝n (n ＋1)，以下四个数中，哪个是数列{a n }中的一项( ) A ．18 B ．21 C ．25D ．304．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n －1n ＋1，那么这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列5．数列1，－3,5，－7,9，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝2n －1 B ．a n ＝(－1)n(1－2n ) C ．a n ＝(－1)n(2n －1)D ．a n ＝(－1)n(2n ＋1)6．已知数列2，5，22，11，…，则25可能是这个数列的( ) A ．第6项 B ．第7项 C ．第10项D ．第11项7．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n －1(n ∈N *)，则a 1000＝( ) A ．1 B ．1999 C ．1000D ．－18．对任意的a 1∈(0,1)，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列满足a n ＋1>a n (n ∈N *)，则函数y ＝f (x )的图象是( )9．若数列的前4项分别为2,0,2,0，则这个数列的通项公式不能是( )A ．a n ＝1＋(－1)n ＋1B ．a n ＝1－cos n πC ．a n ＝2sin2n π2D ．a n ＝1＋(－1)n －1＋(n －1)(n －2)10．函数f (x )满足f (1)＝1，f (n ＋1)＝f (n )＋3 (n ∈N *)，则f (n )是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．不能确定二、填空题1/.23，415，635，863，1099，…的一个通项公式是________．2．已知数列3，7，11，15，19，…，那么311是这个数列的第________项．3．已知数列{a n }满足a 1＝－2，a n ＋1＝2＋2a n1－a n ，则a 6＝__________.4．已知数列{a n }的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1n 为奇数2n －2n 为偶数，则a 2·a 3＝__________. 三、解答题1．写出下列数列的一个通项公式． (1)－11＋1，14＋1，－19＋1，116＋1，…；(2)2,3,5,9,17,33，…； (3)12，25，310，417，526，…；(4)1，43，2，165，…；(5)－13，18，－115，124，…；(6)2,6,12,20,30，…. 2．已知数列{a n }中，a n ＝nn ＋1，判断数列{a n }的增减性．3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4. (1)求数列{a n }中有多少项是负数？(2)当n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．二、 等差数列1、等差数列的定义：如果数列{}a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。

五年级奥数等差数列的认识与公式运用教师版一、等差数列的定义⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法定义：从第二项起,每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数),这样的数列我们称它为等差数列．譬如：2、5、8、11、14、17、20、 从第二项起,每一项比前一项大3 ,递增数列100、95、90、85、80、 从第二项起,每一项比前一项小5 ,递减数列⑵ 首项：一个数列的第一项,通常用1a 表示末项：一个数列的最后一项,通常用n a 表示,它也可表示数列的第n 项。

项数：一个数列全部项的个数,通常用n 来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差,通常用d 来表示；和 ：一个数列的前n 项的和,常用n S 来表示 ．二、等差数列的相关公式(1)三个重要的公式① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差,11n a a n d =+-⨯（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差,11n a a n d =--⨯（）回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想,让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数,或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（）,n m >（） ② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)．找项数还有一种配组的方法,其中运用的思想我们是常常用到的．譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ,分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48),注意等差是3 ,那么每组有3个数,我们数列中的数都在每组的第1位,所以46应在最后一组第1位,4到48有484145-+=项,每组3个数,所以共45315÷=组,原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法．③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2对于这个公式的得到可以从两个方面入手：(思路1) 1239899100++++++11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=⨯= 知识点拨教学目标五年级奥数等差数列的认识与公式运用教师版(思路2)这道题目,还可以这样理解：23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即,和 (1001)1002101505050=+⨯÷=⨯=(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列,中间一项的值等于所有项的平均数,也等于首项与末项和的一半；或者换句话说,各项和等于中间项乘以项数．譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（）,题中的等差数列有9项,中间一项即第5项的值是20,而和恰等于209⨯；② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（）,题中的等差数列有33项,中间一项即第17项的值是33,而和恰等于3333⨯．模块一、等差数列基本概念及公式的简单应用等差数列的基本认识【例 1】下面的数列中,哪些是等差数列？若是,请指明公差,若不是,则说明理由。

小学四年级第六讲数列1、数列：按一定顺序排成的一列数叫做数列。

数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。

数列中共有的项的个数叫做项数。

2、等差数列与公差：一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。

3、常用公式等差数列的总和=（首项+末项）⨯项数÷2项数=（末项-首项）÷公差+1末项=首项+公差⨯（项数-1）首项=末项-公差⨯（项数-1）公差=（末项-首项）÷（项数-1）等差数列（奇数个数）的总和=中间项⨯项数1、重点是对数列常用公式的理解掌握2、难点是对题目的把握以及对公式的灵活运用例1、在数列3、6、9……，201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？答案：共有67个数，第201个数是603解析：（1）因为在这个等差数列中，首项=3，末项=201，公差=3，所以根据公式：项数=（末项-首项）÷公差+1,便可求出。

（2）根据公式：末项=首项+公差⨯（项数-1）解：项数=（201-3）÷3+1=67末项=3+3⨯（201-1）=603答：共有67个数，第201个数是603例2、全部三位数的和是多少？答案：全部三位数的和是494550解析：所有的三位数就是从100~999共900个数，观察100、101、102、……、998、999这一数列，发现这是一个公差为1的等差数列。

要求和可以利用等差数列求和公式来解答。

解：（100+999）⨯900÷2=1099⨯900÷2=49455答：全部三位数的和是494550。

例3、求自然数中被10除余1的所有两位数的和。

答案：459解析：在两位数中，被10除余1最小的是11，最大的是91。

从题意可知，本题是求等差数列11、21、31、……、91的和。

它的项数是9，我们可以根据求和公式来计算。

解：11+21+31+……+91=（11+91）⨯9÷2=459例4、求下列方阵中所有各数的和：1、2、3、4、……49、50；2、3、4、5、……50、51；3、4、5、6、……51、52；……49、50、51、52、……97、98；50、51、52、53、……98、99。

要求层次重难点数列的概念 数列的概念和表示法A 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 根据数列的递推公式写出数列的前几项 等差数列等差数列的概念B 等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用 灵活应用求和公式解决问题等差数列的通项公式与前n 项和公式C（一） 知识内容1．数列：按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，它可以有限，也可以无限．2．数列的项及通项：数列中的每个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（首项），第2项，…，第n 项． 数列的一般形式可以写成：123,,,,,n a a a a 或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项，又称为数列的通项．3．数列的通项公式如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个函数式()n a f n =来表示，则称这个公式为这个数列的通项公式． 4．数列的分类数列的分类方式一般有三种：⑴项数有限的数列称为有穷数列，项数无限的数列称为无穷数列； ⑵从第2项起每一项都比它的前一项大的数列称为递增数列；从第2项起，每一项都比它的前一项小的数列称为递减数列；这两种数列统称为单调数列．各项都相等的数列称为常数列；既不是单调数列，又不是常数列的，称为摆动数列，即有些项小于它的前一项，有些项大于它的前一项； ⑶如果数列的任一项的绝对值都小于某个正数，则称此数列为有界数列，否则称为无界数列． 5．数列的表示方法数列是定义域为正整数集（或它的一个有限子集{1,2,3,,}n ）的一类特殊的函数()f n ，数列的通项公式也就是函数的解析式． 例题精讲高考要求板块一：数列概念与基础知识数列及等差数列⑵图象法（无限多个或有限多个孤立的点，取决于是无穷数列，还是有穷数列）； ⑶列表法． 6．数列的递推公式如果已知数列的第一项，且从第二项开始的任一项n a 与它的前一项1n a -间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫这个数列的递推公式．例如，111,2(2)n n a a a n -==-≥．给出递推公式和初始值的数列是一个确定的数列，所以递推公式也是给出数列的一种方法，即递推法．7．数列的前n 项和数列{}n a 的前n 项和定义为：123n n S a a a a =++++．数列的前n 项和构成了一个新的数列{}n S ，且11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥．例如：数列{}n a ：2,4,6,8,10,，是一个递增数列，且是无穷数列，无界数列，它的首项12a =，2n a n =是它的一个通项公式； 其中112,2(2)n n a a a n -==+≥是它的一个递推公式； 它的前n 项和2422(12)(1)n S n n n n =+++=+++=+．<教师备案>1．提醒学生注意{}n a 和n a 的区别，前者表示一个数列，后者表示数列中的一项：第n 项，也称为数列的通项．2．数列是一种特殊的函数，它的定义域为一个离散的集合，是自然数集或自然数集的有限子集{1,2,3,,}n ，用图象法表示数列时，图象是一组离散的点，其横坐标分别为正整数：1,2,3,．3．⑴并不是所有的数列都有通项公式，就像并不是所有的函数都能有解析式一样， 例如：π的不足近似值精确到1,0.1,0.01,0.001,所构成的数列：3,3.1,3.14,3.141,3.1415,，该数列就没有通项公式．⑵数列的通项公式存在时，在形式上也不一定是唯一的，例如，数列1,1,1,1,1,---的通项公式可以写成(1)n n a =-，也可以写成11n n a n ⎧-=⎨⎩为奇数 为偶数，还可以写成cos n a n π=．⑶对于只写出前几项的数列，不仅可以有形式上不同的解析式，也可以有表示的数列 就不相同的通项公式，因为仅仅知道几个点不能完全确定一个函数，即后面的项可以 不对应相等．例如，给定数列{}n a 的前四项：1,3,5,7，我们得到21n a n =-是它的一 个通项公式，同时21(1)(2)(3)(4)n b n n n n n =-+----也是它的一个通项公式，但我们 有55933a b =≠=．所以通常只要求写出一个满足条件的通项公式即可．4．递推公式的可以推广为：如果已知数列的前n 项，且从第1n +项开始的任一项与它前几项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 例如，12211,1,(3)n n n b b b b b n --===+≥．由这些条件我们可以求出{}n b 的任意一项来：34562,3,5,8,b b b b ====，这个数列就是著名的斐波那契数列．（二）主要方法：求数列的通项公式有四种办法，首先是观察法，第二是累加法，第三是迭乘法，第四是构造已知数列的方法;关于第四种方法也就是根据递推公式求数列的通项公式的方法,在本讲和下一讲会分别续两项之间的关系给出的,可见其重要作用.求数列的通项公式一共三种题型，⑴已知数列的前几项，求通项公式,⑵已知数列的前n 项和与na 的关系, 求通项公式;⑶已知递推公式求通项公式（三）典例分析：1.数列的基础概念，观察法求数列规律【例1】 请写出下面数列的一个通项公式．⑴2，0，2，0，2，…⑵12-，16，112-，120，…【变式】 ⑴ 已知数列{}n a 满足1a a =，()1112n n a n a -=+≥，若40a =，则a =_____． ⑵ 请写出下面数列的一个通项公式：0.9,0.99,0.999,0.9999,【变式】 ⑴ 请写出下面数列的一个通项公式：12，2，92，8，252…， ⑵ 请写出下面数列的一个通项公式：1，2，3，4，5，8，7，16，9…，⑶ (2008-2009学年度山东省费县第一学期考试数学试卷) 已知数列{}n a 的前n 项和231n S n n =++，求通项n a ．【变式】 观察下列等式：2111,22n i i n n ==+∑ 2321111,326n i i n n n ==++∑ 34321111,424n i i n n n ==++∑ 454311111,52330n i i n n n n ==++-∑ 5654211151,621212n i i n n n n ==++-∑ 67653111111,722642n i i n n n n n ==++-+∑ ……………………………………212112101,nk k k k k k k k k i i a n a n a n a n a n a +--+--==++++⋅⋅⋅++∑ 可以推测，当2n ≥时，1111,,12k k k a a a k +-===+ 2k a -= .【例2】 已知数列{}n a 满足：431n a -=，410n a -=，2n n a a =，*n ∈N ，则2009a = ；2014a = ．【例3】 ⑴根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式.⑵将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10． ． ． ． ． ． ．按照以上排列的规律，第n 行(3)n ≥从左向右的第3个数为 ．（1） （4）（7）（ ） （ ）【变式】 如下图，第⑴个多边形是由正三角形“扩展“而来，第⑵个多边形是由正方形“扩展”而来，……，如此类推.设由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数为n a ， 则6a =【变式】 观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10条直线相交，交点的个数最多是（ ），其通项公式为 .A ．40个B ．45个C ．50个D ．55个【例4】 将正ABC ∆分割成2n （2≥n ，n *∈N ）个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了2n =，3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于ABC ∆的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列．若顶点A ，B ，C 处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为()f n ，则有(2)2f =，(3)f =_________，，()f n =_____________．图3图22.应用11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥，求通项2条直线相交，最多有1个交点3条直线相交，最多有3个交点4条直线相交，最多有6个交点【例5】 已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，则3a =_______．【变式】 数列{}n a 的前n 项和n S 满足：32n n S =-，试求{}n a 的通项公式．【变式】 数列{}n a 的前n 项和2(1)n S n n =≥，求它的通项公式．【变式】 一个数列的通项公式是2813n a n n =-+，写出此数列的前五项，并求此数列的最小项的值？【例6】 已知数列{}n a 的前n 项和291,n S n n =-+则其通项n a = ；若它的第k 项满足58k a <<，k = .【变式】 已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k =（ ）A ．9B ．8C ．7D ．63.数列递推公式【例7】 已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于( )A ．165-B ．33-C ．30-D ．21-【例8】 数列{}n a 的通项公式是n a =n 项和为10，则项数n 为 .【变式】 ⑵已知数列{}n a 的前n 项和为1(51)2n S n n =-，n +∈N ，现从前m 项：1a ，2a ，…，m a 中抽出一项（不是1a ，也不是m a ），余下各项的算术平均数为37，则抽出的是第____项．【例9】 ⑴（广东省惠阳高级中学2008-2009学年期中考试）数列{}n a 的通项公式是()()*11n a n n n =∈+N ，若前n 项的和为1011，则项数为（ ） A ．12 B ．11 C ．10 D ．9⑵ 数列{}n a 中，11a =，对所有的2n ≥，都有2123n a a a a n ⋅⋅⋅⋅=，求数列{}n a 的通项公式n a ．【例10】 已知数列{}n a ，11a =，前n 项和n S满足n n S S -==则n a =【例11】 ⑴数列{}n a 满足1120212112n n n n n a a a a a +⎧<⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，≤，≤，若135a =，则数列的第2007项为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45⑵已知11(2)(1)n n a a n n n -=+-≥，11a =，求出此数列的一个通项公式；⑵数列{}n a 中，112,3n n a a a +==+，求{}n a 的一个通项公式；4.数列的前n 项和【例12】 已知{}n a 的前n 项之和241n S n n =-+，则12n a a a ++⋅⋅⋅+=_______．【变式】 数列{}n a 的前n 项和24n S n n =-，则1210||||||a a a +++=_______.【变式】 数列{}n a 的前n 项和24n S n n =-，n n b a =，则数列{}n b 的前n 项和n T =_______.【例13】 已知数列1(1)(2)n a n n n =++，求它的前n 项和n S ．【点评】 常见的裂项相消的方法有：分式：1111()()n n p p n n p=-++；1111(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦；1p=； 对数式：lglg()lg n pn p n n +=+-； 指数式：1()1n n n aaq q q q+=--.【变式】 ⑴已知n a ，求它的前n 项和n S ．⑵已知21(1)1n a n =+-，求它的前n 项和n S ．5.数列的单调性【例14】 设{}n a 为首项14a =的单调递增数列，且满足22111168()2n n n n n n a a a a a a +++++=++，则n a =【例15】 已知n a n ={}n a 的单调性．【例16】 已知函数22()1x f x x=+，设()()n a f n n +=∈N ， ⑴ 判断0.98是否是数列{}n a 的项；⑵ 求证：1n a <；⑶ 判断并证明数列{}n a 的单调性．【例17】 已知{}n a 是递增数列，且对任意*n ∈N 都有2n a n n λ=+恒成立，则实数λ的取值范围是______【变式】 已知各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，且2211(1)0n n n n n a na a a +++-+=（1,2,3,n =），求数列{}n a 的通项公式，判断数列的单调性.【例18】 已知数列{}n a 的通项)n a n +=∈N ，求数列{}n a 的前30项中的最大项与最小项．【变式】 已知一个数列的通项公式是230n a n n =+-.⑴ 问60-是否是这个数列中的项？⑵ 当n 分别为何值时，000n n n a a a =><，，？ ⑶ 当n 为何值时，n a 有最大值？并求出最大值.【变式】 设函数2()log log 4(01)x f x x x =-<<，数列{}n a 的通项n a 满足(2)2()n a f n n +=∈N ．⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵判定数列{}n a 的单调性．1．等差数列基本概念（1）等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d 表示． 即等差数列有递推公式：1(1)n n a a d n +-=≥． （2）等差数列的通项公式为：1(1)n a a n d =+-．（3）等差中项：如果三个数,,x A y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，即2x yA +=． （4）等差数列的前n 项和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+． <教师备案>1．等差数列通项公式的推导：2132121n n n n a a da a da a d a a d----=-=-=-=，将这1n -个式子的等号两边分别相加得：1(1)n a a n d -=-，即1(1)n a a n d =+-．由等差数列的通项公式易知：()n m a a n m d -=-． 2．等差数列前n 项和公式的推导：1111()(2)[(1)]n S a a d a d a n d =+++++++-， 把项的顺序反过来，可将n S 写成： ()(2)[(1)]n n n n n S a a d a d a n d =+-+-++--，将这两式相加得：11112()()()()n n n n n S a a a a a a n a a =++++++=+，从而得到等差数列的前n 项和公式1()2n n n a a S +=，又1(1)n a a n d =+-， 得11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+． 2．等差数列的性质 （1）(),m nm n a a a a m n d d m n-=+-=- （2）在等差数列中，若p q m n +=+，则p q m n a a a a +=+，若2m p q =+，则2m p q a a a =+（3）若{}{},n n a b 均为等差数列，且公差分别为12,d d ，则数列{}{}{},,n n n n pa a q a b +±也为等差数列，且公差分别为1112,,pd d d d ±。