等差数列讲义(教师版)

等差数列及其前n项和讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1等差数列及其前n 项和一、等差数列的相关概念（一）等差数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的．．．．．．．．．．．．．．．差等于同一个常数．．．．．．．．，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。

利用：“1+n a －n a ＝d (d 为常数)”判断一个数列是否是等差数列。

注意：（1）如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项起或第4项起，那么此数列不是等差数列；（2）等差数列要求这个常数必须相同；（3）公差d ：d ＝1+n a －n a ＝n a －1-n a (n ≥2)；（4）当d ＝0时，数列为常数数列；当d ＞0，数列为递增数列；当d ＜0，数列为递减数列；（5）公差必须为后一项减前一项，不能颠倒。

（二）、等差数列的通项公式如果等差数列{n a }的首项为1a ，公差为d ，那么它的通项公式是n a ＝．1a ＋．(n ．．－．1)．．d ，或者通项公式的变形：n a ＝．m a ＋．(n ．．－．m)．．d 。

（三）、等差中项：（1）由三个数．．．．a ，．A ．，．b ．组成的等差数列，．．．．．．．．A ．叫做．．a 和．b ．的等差中项．．．．．，．则．2A ．．＝．a ＋．b ．；．（2）若在一个等差数列中，除去首项和末项以外，每一项都是它前一项与后一项的等差中项，即2n a ＝1-n a ＋1+n a 。

（3） 特别地：在△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，则B ＝600。

例1：已知数列{n a }为等差数列3a ＝54，7a ＝－74，则15a ＝____________。

【基本量法】【解析】 －314.变式练习1：若等差数列{n a }的公差d ≠0，且1a ，2a 是关于x 的方程x 2－3a x ＋4a ＝0的两根，求数列{n a }的通项公式。

在下面9个方框中各填一个数，使这9个数从左到右构成等差数列，其中4、20已经填好，这个等差数列的公差是几？请你填好这个等差数列。

【答案】公差是2。

【解析】相差：9-1=8(个)公差，公差(d)：(20-4)÷(9-1)=2⑴有一个等差数列，第1项是3，第10项是39，公差是多少？⑵已知一个等差数列第7项等于43，第9项等于57。

请问这个数列的公差是多少？【答案】（1）4；（2）7。

【解析】（1）公差(d)：(39-3)÷(10-1)=4（2）公差(d)：(57-43)÷(9-7)=7等差数列（二）知识纵横等差数列中求公差的公式：公差=(末项-首项)÷(项数-1)字母公式：d=(a n - a1)÷(n -1)等差数列中末项的公式：末项=首项+(项数-1)×公差字母公式：a n= a1+ （n -1）⨯d等差数列中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半。

即中间项=和÷项数=(首项+末项)÷2。

或者换句话说，各项的和等于中间项乘项数，即和=中间项×项数。

例 1试一试 1等差数列：1，3，5，7，9，11，……，第20项是多少？【答案】第20项是39。

【解析】末项=首项+(项数-1)×公差公差d=2第20项：1+(20-1)×2=39在等差数列8、11、14、17、20、……中，第10项是多少？第14项是多少？第31项呢？【答案】第10项是35；第14项是47；第31项是98。

【解析】末项=首项+(项数-1)×公差公差d=3第10项(a 10)：8+(10-1)×3=35第14项(a 14)：8+(14-1)×3=47第31项(a 31)：8+(31-1)×3=98等差数列中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。

学习目标核心素养１．理解等差数列的概念，能在具体问题情境中，发现数列的等差关系．（重点）２．会推导等差数列的通项公式，并能应用该公式解决简单的等差数列问题．（重点）３．等差数列的证明及其应用．（难点）１．通过等差数列的通项公式的应用，提升数学运算素养．２．借助等差数列的判定与证明，培养逻辑推理素养.１．等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．思考１：等差数列定义中，为什么要注明“从第二项起”？[提示] 第１项前面没有项，无法与前一项作差．思考２：等差数列定义中的“同一个”三个字可以去掉吗？[提示] 不可以．如果差是常数，而这些常数不相等，则不是等差数列．２．等差数列的通项公式对于等差数列{a n}的第n项a n，有a n＝a１＋（n—１）d＝a m＋（n—m）d.思考３：已知等差数列{a n}的首项a１和公差d能表示出通项公式a n＝a１＋（n—１）d，如果已知第m项a m和公差d，又如何表示通项公式a n？[提示] 设等差数列的首项为a１，则a m＝a１＋（m—１）d，变形得a１＝a m—（m—１）d，则a n＝a１＋（n—１）d＝a m—（m—１）d＋（n—１）d＝a m＋（n—m）d.１．已知等差数列{a n}的首项a１＝４，公差d＝—２，则通项公式a n＝（）Ａ．４—２nＢ．２n—４Ｃ．6—２nＤ．２n—6C[a n＝a１＋（n—１）d＝４＋（n—１）×（—２）＝４—２n＋２＝6—２n.]２．等差数列—6，—３,0,３，…的公差d＝________.３[（—３）—（—6）＝３，故d＝３．]３．下列数列：１0,0,0,0；２0,１,２,３,４；３１,３,５,7,9；４0,１,２,３，….其中一定是等差数列的有________个．３[１２３是等差数列，４只能说明前４项成等差数列．]４．在△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则B等于________．60°[因为三内角A、B、C成等差数列，所以２B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝１80°，所以３B＝１80°，所以B＝60°.]等差数列的判定与证明【例１】（１）在数列{a n}中，a n＝３n＋２；（２）在数列{a n}中，a n＝n２＋n.思路探究：错误!―→错误!―→错误![解] （１）a n＋１—a n＝３（n＋１）＋２—（３n＋２）＝３（n∈N*）．由n的任意性知，这个数列为等差数列．（２）a n＋１—a n＝（n＋１）２＋（n＋１）—（n２＋n）＝２n＋２，不是常数，所以这个数列不是等差数列．１．定义法是判定（或证明）数列{a n}是等差数列的基本方法，其步骤为：（１）作差a n＋１—a n；（２）对差式进行变形；（３）当a n＋１—a n是一个与n无关的常数时，数列{a n}是等差数列；当a n＋１—a n不是常数，是与n 有关的代数式时，数列{a n}不是等差数列．２．应注意等差数列的公差d是一个定值，它不随n的改变而改变．提醒：当n≥２时，a n＋１—a n＝d（d为常数），无法说明数列{a n}是等差数列，因为a２—a１不一定等于d.１．已知函数f（x）＝错误!，数列{x n}的通项由x n＝f（x n—１）（n≥２且x∈N*）确定．（１）求证：数列错误!是等差数列；（２）当x１＝错误!时，求x２0１9.[解] （１）因为f（x）＝错误!，数列{x n}的通项x n＝f（x n—１），所以x n＝错误!，所以错误!＝错误!＋错误!，所以错误!—错误!＝错误!，所以错误!是等差数列．（２）x１＝错误!时，错误!＝２，所以错误!＝２＋错误!（n—１）＝错误!，所以x n＝错误!，所以x２0１9＝错误!.等差数列的通项公式【例２】已知数列{a n}是等差数列，且a５＝１0，a１２＝３１．（１）求{a n}的通项公式；（２）若a n＝１３，求n的值．思路探究：建立首项a１和d的方程组求a n；由a n＝１３解方程得n.[解] （１）设{a n}的首项为a１，公差为d，则由题意可知错误!解得错误!∴a n＝—２＋（n—１）×３＝３n—５．（２）由a n＝１３，得３n—５＝１３，解得n＝6．１．从方程的观点看等差数列的通项公式，a n＝a１＋（n—１）d中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求得另一个量，即“知三求一”．２．已知数列的其中两项，求公差d，或已知一项、公差和其中一项的序号，求序号的对应项时，通常应用变形a n＝a m＋（n—m）d.２．已知递减等差数列{a n}前三项的和为１8，前三项的积为66．求该数列的通项公式，并判断—３４是该数列的项吗？[解] 依题意得错误!∴错误!解得错误!或错误!∵数列{a n}是递减等差数列，∴d<0．故取a１＝１１，d＝—５．∴a n＝１１＋（n—１）·（—５）＝—５n＋１6，即等差数列{a n}的通项公式为a n＝—５n＋１6．令a n＝—３４，即—５n＋１6＝—３４，得n＝１0．∴—３４是数列{a n}的第１0项．等差数列的应用[探究问题]１．若数列{a n}满足错误!＝错误!＋１且a１＝１，则a５如何求解？[提示] 由错误!＝错误!＋１可知错误!—错误!＝１．∴{错误!}是首项错误!＝１，公差d＝１的等差数列．∴错误!＝１＋（n—１）×１＝n，∴a n＝n２，∴a５＝５２＝２５．２．某剧场有２0排座位，第一排有２0个座位，从第２排起，后一排都比前一排多２个座位，则第１５排有多少个座位？[提示] 设第n排有a n个座位，由题意可知a n—a n—１＝２（n≥２）．又a１＝２0，∴a n＝２0＋（n—１）×２＝２n＋１8．∴a１５＝２×１５＋１8＝４8．即第１５排有４8个座位．【例３】某公司经销一种数码产品，第１年可获利２00万元．从第２年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少２0万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？思路探究：分析题意，明确题中每年获利构成等差数列，把实际问题转化为等差数列问题，利用等差数列的知识解决即可．[解] 由题设可知第１年获利２00万元，第２年获利１80万元，第３年获利１60万元，…，每年获利构成等差数列{a n}，且当a n<0时，该公司会出现亏损．设从第１年起，第n年的利润为a n，则a n—a n—１＝—２0，n≥２，n∈N*.所以每年的利润可构成一个等差数列{a n}，且首项a１＝２00，公差d＝—２0．所以a n＝a１＋（n—１）d＝２２0—２0n.若a n<0，则该公司经销这一产品将亏损，所以由a n＝２２0—２0n<0，得n>１１，即从第起，该公司经销此产品将亏损．１．在实际问题中，若涉及到一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．２．在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题．３．甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：时间t（s）１２３...？ (60)距离s（cm）9．8１9．6２9．４…４9…？（２）利用建立的模型计算，甲虫１min能爬多远？它爬行４9 cm需要多长时间？[解] （１）由题目表中数据可知，该数列从第２项起，每一项与前一项的差都是常数9．8，所以是一个等差数列模型．因为a１＝9．8，d＝9．8，所以甲虫的爬行距离s与时间t的关系是s＝9．8t.（２）当t＝１min＝60 s时，s＝9．8t＝9．8×60＝５88 cm.当s＝４9 cm时，t＝错误!＝错误!＝５s.１．判断一个数列是否为等差数列的常用方法（１）a n＋１—a n＝d（d为常数，n∈N*）⇔{a n}是等差数列；（２）２a n＋１＝a n＋a n＋２（n∈N*）⇔{a n}是等差数列；（３）a n＝kn＋b（k，b为常数，n∈N*）⇔{a n}是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．２．由等差数列的通项公式a n＝a１＋（n—１）d可以看出，只要知道首项a１和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a１，d，n，a n四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．１．判断正误（１）若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．（）（２）等差数列{a n}的单调性与公差d有关．（）（３）若三个数a，b，c满足２b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．（）[答案] （１）×（２）√（３）√[提示] （１）错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．（２）正确．当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；d<0时为递减数列．（３）正确．若a，b，c满足２b＝a＋c，即b—a＝c—b，故a，b，c为等差数列．２．在等差数列{a n}中，若a１＝8４，a２＝80，则使a n≥0，且a n＋１<0的n为（）Ａ．２１Ｂ．２２Ｃ．２３Ｄ．２４B[公差d＝a２—a１＝—４，∴a n＝a１＋（n—１）d＝8４＋（n—１）（—４）＝88—４n，令错误!即错误!⇒２１<n≤２２．又∵n∈N*，∴n＝２２．]３．若数列{a n}满足a１＝１，a n＋１＝a n＋２，则a n＝________.２n—１[由a n＋１＝a n＋２，得a n＋１—a n＝２，∴{a n}是首项a１＝１，d＝２的等差数列，∴a n＝１＋（n—１）×２＝２n—１．]４．已知数列{a n}，a１＝a２＝１，a n＝a n—１＋２（n≥３），判断数列{a n}是否为等差数列？说明理由．[解] 因为a n＝a n—１＋２（n≥３），所以a n—a n—１＝２（常数）．又n≥３，所以从第３项起，每一项减去前一项的差都等于同一个常数２，而a２—a１＝0≠a３—a２，所以数列{a n}不是等差数列．。

“数列”就是一列数，也就是一列数排成一列。

“等差”就是差相等，也就是相邻两数的差相等。

特别要注意的是，类似于1，2，3，2，1，2，3，2，1，...和1，0，1，0，1，0，...的数列，虽然相邻两个数的差都相等，但这样的数列不是等差数列，因为在同一个等差数列中，必须要么每一项都比前一项大，要么每一项都比前一项小，不能出现既有后一项比前一项大，又有后一项比前一项小的情况。

内1、概念及基本公式在等差数列中，称第1个数为第1项，第2个数为第2项，第3个数为第3项，......依此类推。

我们把等差数列第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中所有数的个数称为项数，等差数列知识结构模块一：等差数列初步知识精讲内容分析而相邻两项的差则被称为公差。

在等差数列中，首先要寻找这四个关键量（即首项、末项、项数和公差）之间的关系，请看下图：在上图中，你能看出第3项比第1项大几个公差吗？第5项比第2项大几个公差呢？第7项比第1项大几个公差呢？第17项比第9项大几个公差呢？更重要的是，首项其实就是第一项，末项就是第“项数”项，那么首项和末项之间相隔的公差个数就等于（项数-1）.由此，我们就知道末项减去首项等于（项数-1）个公差的和，因此由此可以得到等差数列的通项公式：同时我们还可以得到以下这些公式：【例1】⑴一个等差数列共有13项。

每一项都比它的前一项大2，并且首项为33，那么末项是多少？⑵一个等差数列共有13项。

每一项都比它的前一项小2，并且首项为33，那么末项是多少？【难度】★【答案】⑴57；⑵9【解析】分析：本题中的首项和末项相差了几个公差？是首项大还是末项大？⑴解：由题目已知，首项=33，公差=2，项数=13由公式可得：末项=首项+（项数-1）×公差=()21-1333⨯+=2433+=57⑵解：由题目已知，首项=33，公差=2，项数=13因为每一项都比它的前一项小2，所以首项最大由公式可得：末项=首项+（项数-1）×公差=()21-13-33⨯=24-33=9【总结】在运用公式时，审题要审清楚，不同的说法要相应的改变公式的加减。

人教版高中数学 等差数列的概念、性质__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________教学重点： 掌握等差数列的概念、通项公式及性质；求等差中项，判断等差数列及与函数的关系； 教学难点： 通项公式的求解及等差数列的判定。

1. 等差数列的概念一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 来表示。

用递推关系系表示为()1n n a a d n N ++-=∈或()12,n n a a d n n N -+-=≥∈ 2. 等差数列的通项公式若{}n a 为等差数列，首项为1a ，公差为d ，则()11n a a n d =+- 3. 等差中项如果三个数,,x A y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项 4. 通项公式的变形对任意的,p q N +∈，在等差数列中，有：()11p a a p d =+-()11q a a q d =+- 两式相减，得()p q a a p q d =+- 其中,p q 的关系可以为,,p q p q p q <>=5. 等差数列与函数的关系由等差数列的通项公式()11n a a n d =+-可得()1n a dn a d =+-，这里1,a d 是常数，n 是自变量，n a 是n 的函数，如果设1,,d a a d b =-=则n a an b =+与函数y ax b =+对比，点(),n n a 在函数y ax b =+的图像上。

6. 等差数列的性质及应用（1）12132...n n n a a a a a a --+=+=+=（2）若2,m n p q w +=+=则2m n p q w a a a a a +=+=（,,,,m n p q w 都是正整数） （3）若,,m p n 成等差数列，则,,m p n a a a 也成等差数列（,,m n p 都是正整数） （4）()n m a a n m d =+-（,m n 都是正整数）（5）若数列{}n a 成等差数列，则(),n a pn q p q R =+∈（6）若数列{}n a 成等差数列，则数列{}n a b λ+（,b λ为常数）仍为等差数列 （7）若{}n a 和{}n b 均为等差数列，则{}n n a b ±也是等差数列类型一： 等差数列的判定、项及公差的求解、通项公式的求解例1.（2015河北唐山月考）数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2015,n a = 则n = A.672 B.673 C.662 D.663 解析：由题意得()()1111334,n a a n d n n =+-=-+-⨯=-令2015n a =，解得673n = 答案：B练习1. 数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2003,n a = 则n = A.669 B.673 C.662 D.663 答案：A练习2. 数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2000,n a = 则n = A.669 B.668 C.662 D.663 答案：B例2.（2015山西太原段考）一个首项为23、公差为整数的等差数列从第7项开始为负数，则其公差d 为（）A.-2B.-3C.-4D.-6 解析：由题意知670,0a a ≥<所以有115235062360a d d a d d +=+≥+=+<解得2323,456d d Z d -≤<-∈∴=- 答案：C练习3. 一个首项为23、公差为整数的等差数列从第6项开始为负数，则其公差d 为（） A.-2 B.-3 C.-4 D.-5 答案：D练习4.等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B例3.（2014浙江绍兴一中期中）已知数列{}n a 满足1111,1,4n na a a +==-其中n N +∈设221n n b a =-（1） 求证：数列{}n b 是等差数列 （2） 求数列{}n a 的通项公式 解析：（1）1144222222121212121n n n n n n n n n a a b b a a a a a ++--=-=-==----- 所以数列{}n b 是等差数列（2）()111121,21221212,212n n n a b b b n d n a n n a a n=∴==∴=+-=-+∴==-答案：（1）略 （2）12n n a n+=练习5.已知数列{}n a 满足()1114,21n n n a a a n a --==≥+令1nnb a = （1） 求证：数列{}n b 是等差数列（2） 求数列{}n b 与{}n a 的通项公式 答案：（1）数列{}n b 是公差为1的等差数列 （2）443n a n =- ，34n b n =- 练习6.在等差数列{}n a 中，已知581,2,a a =-= 求1,a d答案：15,1a d =-=例4.已知数列8,,2,,a b c 是等差数列，则,,a b c 的值分别为____________ 解析：a 为8与2的等差中项，得8252a +== ；2为,ab 的等差中项得1b =-；由b 为2与c 的等差数列，得4c =- 答案：5，-1，-4练习7. 已知数列8,,2,,a b 是等差数列，则,a b 的值分别为____________ 答案：5，-1练习8. 已知数列2,,8,,a b c 是等差数列，则,,a b c 的值分别为____________ 答案：5，11,14类型二：等差数列的性质及与函数的关系例5.等差数列{}n a 中，已知100110142015a a +=，则12014a a +=（）A.2014B.2015C.2013D.2016解析：1001101412014+=+，且{}n a 为等差数列，12014100110142015a a a a ∴+=+=故选B 答案：B练习9.在等差数列{}n a 中，若4681012120,a a a a a ++++=则10122a a -的值为 （） A.24 B.22 C.20 D.18 答案：A练习10.（2015山东青岛检测）已知等差数列{}n a 中，1007100812015,1,a a a +==-则2014a = _____ 答案：2016例6.已知数列{}n a 中，220132013,2a a ==且n a 是n 的一次函数，则 2015a =________ 解析：n a 是 n 的一次函数，所以设()0n a kn b k =+≠代入22013,a a 解得20151,20152015201520150n k b a n a =-=∴=-+∴=-+=答案：0练习11.若,,a b c 成等差数列，则二次函数()22f x ax bx c =-+的零点个数为（）A.0B.1C.2D.1或2 答案：D练习12.已知无穷等差数列{}n a 中，首项13,a = 公差5d =-，依次取出序号被4除余3的项组成数列{}n b（1） 求1b 和2b （2） 求{}n b 的通项公式 （3）{}n b 中的第503项是{}n a 的第几项答案：数列{}n b 是数列{}n a 的一个子集列，其序号构成以3为首项，4为公差的等差数列，由于{}n a 是等差数列，所以{}n b 也是等差数列 （1）()()13,5,31585n a d a n n ==∴=+--=- 数列{}n a 中序号被4除余3的项是{}n a 中的第3项，第7项，第11项，…13277,27b a b a ∴==-==- （2）设{}n a 中的第m 项是{}n b 的第n 项即n mb a =()()413414185411320n m n m n n b a a n n -=+-=-∴===--=- 则1320n b n =-（3）503132*********b =-⨯=- ，设它是{}n a 中的第m 项，则1004785m -=-，则2011m =，即{}n b 中的第503项是{}n a 中的第2011项1. 在等差数列{a n }中，a 1＋a 9＝10，则a 5的值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10 答案：A2. 在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1，则a 101的值为( )A ．49B ．50C ．51D ．52 答案：D3. 如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝( )A ．14B ．21C ．28D ．35 答案：C4. 已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( ) A ．a 1＋a 101>0 B ．a 2＋a 100<0 C ．a 3＋a 100≤0 D ．a 51＝0答案：D5. 等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 3＋a 6＋a 9的值为( ) A ．30 B ．27 C ．24 D ．21 答案：B6. 等差数列{a n}中，a5＝33，a45＝153，则201是该数列的第()项()A．60 B．61 C．62 D．63答案： B_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.在等差数列{a n}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝()A．11 B．12 C．13 D．14答案：C2.若数列{a n}是等差数列，且a1＋a4＝45，a2＋a5＝39，则a3＋a6＝()A．24 B．27 C．30 D．33答案：D3.已知等差数列{a n}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12等于()A．15 B．30 C．31 D．64答案：A4.等差数列中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝420，则a2＋a10等于()A．100 B．120 C．140 D．160 答案：B5.已知a＝13＋2，b＝13－2，则a，b的等差中项为()A.3B.2C.13D.12答案：A6.在等差数列{a n}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________. 答案：747.等差数列{a n}中，公差为12，且a1＋a3＋a5＋…＋a99＝60，则a2＋a4＋a6＋…＋a100＝_______.答案：858. 在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为( )A ．14B ．15C ．16D ．17 答案：C9. 在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6＝________. 答案：4210. 等差数列{a n }的前三项依次为x,2x ＋1,4x ＋2，则它的第5项为__________． 答案：411. 已知等差数列6,3,0，…，试求此数列的第100项． 答案：设此数列为{a n }，则首项a 1＝6，公差d ＝3－6＝－3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝6－3(n －1)＝－3n ＋9. ∴a 100＝－3×100＋9＝－291.能力提升12. 等差数列的首项为125，且从第10项开始为比1大的项，则公差d 的取值范围是( )A ．d >875B ．d <325 C.875<d <325 D.875<d ≤325答案：D13. 设等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 是( )A ．48B ．49C ．50D ．51 答案：C14. 已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，又数列{1a n ＋1}是等差数列，则a 11等于( )A ．0 B.12 C.23 D ．－1答案：B15. 若a ≠b ，两个等差数列a ，x 1，x 2，b 与a ，y 1，y 2，y 3，b 的公差分别为d 1、d 2，则d 1d 2等于( )A.32B.23C.43D.34 答案：C16. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升． 答案：676617. 等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程：x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( ) A ．无实根 B ．有两个相等实根 C ．有两个不等实根 D ．不能确定有无实根答案：A18. 在a 和b 之间插入n 个数构成一个等差数列，则其公差为( ) A.b －a n B.a －b n ＋1 C.b －a n ＋1 D.b －a n －1答案：C19. 在等差数列{a n }中，已知a m ＋n ＝A ，a m －n ＝B ，，则a m ＝__________. 答案：12(A ＋B )20．三个数成等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，则这三个数为__________． 答案：4,6,821. 在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________. 答案：2022. 已知数列{a n }是等差数列，且a 1＝11，a 2＝8.(1)求a 13的值；(2)判断－101是不是数列中的项； (3)从第几项开始出现负数？ (4)在区间(－31,0)中有几项？答案：(1)由题意知a 1＝11，d ＝a 2－a 1＝8－11＝－3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝11＋(n －1)×(－3)＝－3n ＋14. ∴a 13＝－3×13＋14＝－25.(2)设－101＝a n ，则－101＝－3n ＋14， ∴3n ＝115，n ＝1153＝3813∉N ＋.∴－101不是数列{a n }中的项． (3)设从第n 项开始出现负数，即a n <0， ∴－3n ＋14<0，∴n >143＝423.∵n ∈N ＋，∴n ≥5， 即从第5 项开始出现负数． (4)设a n ∈(－31,0)，即－31<a n <0， ∴－31<－3n ＋14<0， ∴423<n <15，∴n ∈N ＋， ∴n ＝5,6,7，…，14，共10项.23. 已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？ 答案：设首项为a 1，公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋(15－1)d ＝33a 1＋(61－1)d ＝217，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－23d ＝4 ，∴a n ＝－23＋(n －1)×4＝4n －27，令a n ＝153，即4n －27＝153，得n ＝45∈N *， ∴153是所给数列的第45项． 24. 已知函数f (x )＝3xx ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2，且n ∈N *)确定． (1)求证：{1x n }是等差数列；(2)当x 1＝12时，求x 100的值．答案：(1)∵x n ＝f (x n －1)＝3x n －1x n －1＋3(n ≥2，n ∈N *)，∴1x n ＝x n －1＋33x n －1＝13＋1x n －1， ∴1x n －1x n －1＝13(n ≥2，n ∈N *)． ∴数列{1x n }是等差数列．(2)由(1)知{1x n }的公差为13，又x 1＝12，∴1x n ＝1x 1＋(n －1)·13＝13n ＋53.∴1x 100＝1003＋53＝35，即x 100＝135.25. 四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．答案：设四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，据题意得，(a －3d )2＋(a －d )2＋(a ＋d )2＋(a ＋3d )2＝94 ⇒2a 2＋10d 2＝47.①又(a －3d )(a ＋3d )＝(a －d )(a ＋d )－18⇒8d 2＝18⇒d ＝±32代入①得a ＝±72，故所求四个数为8,5,2，－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2，1. 26. 已知等差数列{a n }中，a 2＋a 6＋a 10＝1，求a 3＋a 9.答案：解法一：a 2＋a 6＋a 10＝a 1＋d ＋a 1＋5d ＋a 1＋9d ＝3a 1＋15d ＝1，∴a 1＋5d ＝13.∴a 3＋a 9＝a 1＋2d ＋a 1＋8d ＝2a 1＋10d ＝2(a 1＋5d )＝23.解法二：∵{a n }为等差数列，∴2a 6＝a 2＋a 10＝a 3＋a 9，∴a 2＋a 6＋a 10＝3a 6＝1， ∴a 6＝13，∴a 3＋a 9＝2a 6＝23.27. 在△ABC 中，若lgsin A ，lgsin B ，lgsin C 成等差数列，且三个内角A ，B ，C 也成等差数列，试判断三角形的形状．答案：∵A ，B ，C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ，又∵A ＋B ＋C ＝π，∴3B ＝π，B ＝π3.∵lgsin A ，lgsin B ，lgsin C 成等差数列， ∴2lgsin B ＝lgsin A ＋lgsin C ， 即sin 2B ＝sin A ·sin C ， ∴sin A sin C ＝34.又∵cos(A ＋C )＝cos A cos C －sin A sin C ，cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ， ∴sin A sin C ＝cos (A －C )－cos (A ＋C )2，∴34＝12[cos(A －C )－cos 2π3]， ∴34＝12cos(A －C )＋14， ∴cos(A －C )＝1，∵A －C ∈(－π，π)，∴A －C ＝0， 即A ＝C ＝π3，A ＝B ＝C .故△ABC 为等边三角形．。

等差数列知识讲解一、等差数列概念概念:如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d 表示．即等差数列有递推公式：*1()n n a a d n N +-=∈． 二、等差数列的通项公式及推导1.等差数列的通项公式为：*1(1)n a a n d n N =+-∈，． 2。

等差数列的公式的推导：累加法3。

等差数列通项公式的推导：2132121n n n n a a d a a da a d a a d----=-=-=-=，将这1n -个式子的等号两边分别相加得：1(1)n a a n d -=-，即1(1)n a a n d =+-．由等差数列的通项公式易知：()n m a a n m d -=-．三、等差中项定义：如果三个数x A y ，，组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，即2x yA += 四、等差数列的常用性质1.在等差数列中，若p q m n +=+，则p q m n a a a a +=+，该性质推广到三项，即m ，n ,t ,p ，q ，*s N ∈，m n s p q t ++=+++p q s m n t a a a a a a ⇒+=++． 推广到一般形式，只要两边项数一样，且下标和相等即可．2。

若{}{},n n a b 均为等差数列,且公差分别为12,d d ，则数列{}{}{},,n n n n pa a q a b +±也为等差数列，且公差分别为1112,,pd d d d ±．3。

如果等差数列{}n a 的公差为d ，则{}0n d a >⇔是递增数列;{}0n d a <⇔是递减数列；{}=0n d a ⇔ 是常数列．4.在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即2,,n n m n m a a a ++，．．．．,为等差数列，公差为md ．五、等差数列的前n 项和及推导过程1.等差数列前n 项和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+． 2.等差数列前n 项和公式的推导:倒序相加1111()(2)[(1)]n S a a d a d a n d =+++++++-，把项的顺序反过来，可将n S 写成：()(2)[(1)]n n n n n S a a d a d a n d =+-+-++--,将这两式相加得：11112()()()()n n n n n S a a a a a a n a a =++++++=+,从而得到等差数列的前n 项和公式1()2n n n a a S +=，又1(1)n a a n d =+-， 得11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+．六、等差数列前n 项和的性质1.在等差数列的前n 项和也构成一个等差数列,即n S ，232,n n n n S S S S --，．．．为等列，公 差为2n d ． 2。

等差数列知识讲解一、等差数列1.定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．2.通项公式：1(1)()n m a a n d a n m d =+-=+-,(*,*,)n N m N m n ∈∈≤*(,,)n ma a d n m N n m n m-⇒=∈≠-3.前n 项和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+,(*)n N ∈; 4.等差数列{}n a 的性质（其中公差为d ）：1）()m n a a m n d =+-，m na a d m n-=-,(*,*)n N m N ∈∈; 2）若p q m n +=+，则有p q m n a a a a +=+；若2m p q =+，则有2m p q a a a =+（p ，q ，m ，n *∈N ）； 3）在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即n a ，n m a +，2n m a +，为等差数列，公差为md ,(*,*)n N m N ∈∈；4）等差数列的n 项和也构成一个等差数列，即232n n n n n S S S S S --，，，为等差数列，公差为2n d ,(*)n N ∈； 5）{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，则21(21)n n S n a -=-；{}n b 为等差数列，n S '为前n 项和，21(21)n n S n b -'=-；有2121n n n n a Sb S --='．6）等差中项：如果三个数x A y ，，组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，即2x y A +=．7）若{}{},n n a b 均为等差数列，且公差分别为12,d d ，则数列{}{}{},,n n n n pa a q a b +±也为等差数列，且公差分别为1112,,pd d d d ±．8）在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即2,,n n m n m a a a ++，．．．．，为等差数列，公差为md ． 9）若数列{}n a 是等差数列的充要条件是前n 项和公式()n S f n =，是n 的二次函数或一次函数且不含常数项，即2,(,n S An Bn A B=+是常数，220);A B +≠ 10）若数列{}n a 的前n 项和2(,n S An Bn C A B =++是常数，0)C ≠，则数列{}n a 从第二项起是等差数列；11）若数列{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，则{}n S n 也是等差数列，其首项和{}n a 的首项相同，公差是{}n a 公差的12；12）若三个数成等差数列，则通常可设这三个数分别为,,x d x x d -+；若四个数成等差数列，则通常可设这四个数分别为3,,,3x d x d x d x d --++； 13）在等差数列{}n a 中，若公差0d >，则等差数列{}n a 为递增数列；若公差0d <，则等差数列{}n a 为递减数列；若公差0d =，则等差数列{}n a 为常数列；14）有关等差数列{}n a 的前n 项和为nS 的最值问题：何时存在最大值和最小值： 若10,0a d ><，则前n 项和为n S 存在最大值 若10,0a d <>，则前n 项和为nS 存在最小值如何求最值：方法一：（任何数列都通用）通过100n n a a +≥⎧⎨≤⎩解出n 可求前n 项和为n S的最大值；通过100n n a a +≤⎧⎨≥⎩解出n 可求前n 项和为n S 的最小值；方法二：利用等差数列前n 项和nS 的表达式为关于n 的二次函数且常数项为0（若为一次函数，数列为常数列，则前n 项和nS 不存在最值）,利用二次函数求最值的方法进行求解；有以下三种可能：①若对称轴n 正好取得正整数，则此时n 就取对称轴；②若对称轴不是正整数，而是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值，则n 取这两个靠近对称轴的相邻的两个整数；③若对称轴即不是正整数，又不是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值，则n 就取靠近对称轴的那个正整数；15）用方程思想处理等差数列中求相关参数问题，对于1,,,,n n a n S a d这五个量，知任意三个可以求出其它的两个，即“知三求二”5.判断一个数列为等差数列的方法1）定义法：1n n a a d --=（常数）{}n n N n a +∈≥⇔（,2）为等差数列． 2）等差中项法：(){}112,n n n n a a a n N n a -++=+∈≥⇔2为等差数列． 3）通项公式法：(,)n a kn b k b =+是常数⇔数列{}n a 是等差数列；4）前n 项和法：数列{}n a 的前n 项和2,(,n S An Bn A B=+是常数，220);A B +≠⇔数列{}n a 是等差数列；经典例题一．选择题（共16小题）1．（2018•安徽模拟）已知等差数列{a n}中，a2=﹣1，前5项和S5=﹣15，则数列{a n}的公差为（）A．﹣3 B．C．﹣2 D．﹣12．（2018•道里区校级一模）在等差数列{a n}中，若a3+a11=18，S3=﹣3，那么a5等于（）A．4 B．5C．9 D．183．（2018•衡阳一模）在等差数列{a n}中，a1+3a8+a15=120，则a2+a14的值为（）A．.6 B．，12C．.24 D．.484．（2018•城中区校级模拟）已知等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为，则=（）A．B．C．D．5．（2018春•南关区校级期末）在等差数列{a n}中，a2，a10是方程2x2﹣x﹣7=0的两根，则a6等于（）A．B．C．﹣D．﹣6．（2018•渭南一模）在等差数列{a n}中，a1=1，a2+a6=10，则a7=（）A．9 B．10C．11 D．127．（2018•江西模拟）若lg2，lg（2x+1），lg（2x+5）成等差数列，则x的值等于（）A．1 B．0或C．D．log238．（2018•大庆二模）已知等差数列{a n}中，a4=9，S4=24，则a7=（）A．3 B．7C．13 D．159．（2018•茂名一模）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a8=10，则S9=（）C．45 D．9010．（2018•莆田二模）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S13＞0，S14＜0，则S n取最大值时n的值为（）A．6 B．7C．8 D．1311．（2018•朝阳一模）已知数列{a n}的通项公式a n=26﹣2n，要使此数列的前n 项和S n最大，则n的值为（）A．12 B．13C．12或13 D．1412．（2018•宣城二模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S8=36，则数列的前n项和为（）A．B．C．D．13．（2018•齐齐哈尔一模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=3，S4=14．则{a n}的公差为（）C．2 D．﹣214．（2018•广州二模）设{a n}是公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，若a=a，S7=﹣21，则a10=（）A．8 B．9C．10 D．1215．（2017秋•沈阳期末）数列{a n}满足（n∈N+），数列{b n}满足，且b1+b2+…+b9=45，则b4b6（）A．最大值为100 B．最大值为25C．为定值24 D．最大值为5016．（2018•平度市校级模拟）等差数列{a n}的前项和为S n，已知a m+1+a m﹣1﹣a m2=0，S2m﹣1=38，则m=（）A．5 B．6C．8 D．10二．填空题（共4小题）17．（2018•上海）记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=0，a6+a7=14，则S7=．18．（2018•资阳模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=9，a5=1，则使得S n＞0成立的最大的自然数n为．19．（2018•大荔县模拟）设等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若对任意自然数n都由，则的值为.20．（2017•江西模拟）我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成（如图所示），最高一层是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则前9圈的石板总数是．三．解答题（共4小题）21．（2018春•海安县校级月考）设S n为数列{a n}的前n项和，对任意n∈N*，都有S n=（an+b）（a1+a n）+c（a，b，c为常数）．（1）当a=0，b=，c=﹣2时，求S n；（2）当a=，b=0，c=0时．求证：数列{a n}是等差数列．22．（2017•重庆模拟）已知数列{a n}中，a10=17，其前n项和S n满足S n=n2+cn+2．（1）求实数c的值；（2）求数列{a n}的通项公式．23．（2017春•大武口区校级期末）已知等差数列{a n}中，S n为其前n项和．（1）已知a1=2，S3=12，求S10（2）已知d=2，a n=11，S n=35，求a1和n．24．（2017春•集宁区校级期末）在等差数列{a n}中，a10=18，前5项的和S5=﹣15．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和的最小值，并指出何时取最小．。

(1)判断下面的数列中哪些是等差数列？请在序号上打“√”。

① 6、10、14、18、22、26……② 1、2、1、2、3、4、5、……98、99；③2019、2019、2019、2019、2019、2019；(2)等差数列:3、6、9、12、15、18、21、24、27、30。

①首项是几？②末项是几？③公差是几？④项数是几？【答案】（1）①√②✘③√。

（2）①首项a1=3；②末项an=30③公差d=3；④项数n=10【解析】（1）①√公差d=4②✘从第二项开始，后一个数减前一个数的差不为同一个数。

③√公差d=0（2）①首项a1=3；②末项an=30；③公差d=3；④项数n=10。

等差数列（一）知识纵横等差数列：如果一个数列{ a n}，从第 2 项起的每一项a n与它的前一项a n-1的差等于同一个数，这个数列就叫做等差数列，这个相同的差叫做等差数列的公差，公差通常用d 表示。

等差数列的项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1字母公式：n =( a n - a1) ÷ d +1等差数列的求和公式：和=(首项+末项)×项数÷2字母公式：S n= (a1+ a n) ⨯ n ÷ 2例 1试一试 1（1）判断下面的数列中哪些是等差数列？请在序号上打“√”。

① 1、2、4、8、16、32、64；② 1、0、1、0、1、0、1、0、1、0、1、0、1；③ 9、8、7、6、5、4、3、2、1。

（2）完成等差数列填空：18、22、26、( )、34、……、( )、54。

⑴首项是( )；⑵末项是( )；⑶公差是( )。

【答案】（1）①✘②✘③✔（2）填空：30；50 首项18,末项54,公差4【解析】（1）①✘②✘③✔（2）18、22、26、( 30 )、34、……、( 50 )、54首项18,末项54,公差4例 2计算：⑴ 2+4+6+8+10+12⑵ 5+10+15+20+25+30+35⑶ 2+7+12+17+22+27+32+37+42【答案】42,140,198。

等差数列及其前n 项和教学讲义1．等差数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．数学语言表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *)，d 为常数．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ，可推广为a n ＝a m ＋(n －m )d .(2)等差数列的前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d . 3．等差数列的相关性质已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和．(1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和都相等，即a 1＋a n ＝a 2＋a n－1＝a 3＋a n －2＝…＝a k ＋a n －k ＋1＝….(2)等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时， a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)． 特别地，若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)．(4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d .(5)⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }的公差的12.4．等差数列与函数的关系(1)等差数列与一次函数的关系a n＝a1＋(n－1)d可化为a n＝dn＋a1－d的形式．当d≠0时，a n是关于n的一次函数；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列．(2)等差数列前n项和公式可变形为S n＝d2n2＋⎝⎛⎭⎪⎫a1－d2n.当d≠0时，它是关于n的二次函数，数列{a n}是等差数列⇔S n＝An2＋Bn(A，B为常数)．5．等差数列的前n项和的最值在等差数列{a n}中，a1>0，d<0，则S n存在最大值；若a1<0，d>0，则S n存在最小值．1．概念辨析(1)已知数列{a n}的通项公式是a n＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{a n}一定是等差数列．()(2)数列{a n}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．()(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．()(4)数列{a n}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2a n＋1＝a n＋a n＋2.()答案(1)√(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)(2018·日照模拟)由公差为d的等差数列a1，a2，a3，…组成的新数列a1＋a4，a2＋a5，a3＋a6，…是()A．公差为d的等差数列B．公差为2d的等差数列C ．公差为3d 的等差数列D ．非等差数列 答案 B解析 由题意得，新数列{a n ＋a n ＋3}是公差为2d 的等差数列，理由：(a n ＋1＋a n ＋4)－(a n ＋a n ＋3)＝(a n ＋1－a n )＋(a n ＋4－a n ＋3)＝d ＋d ＝2d .(2)在等差数列{a n }中，已知a 2＝2，前7项和S 7＝56，则公差d ＝( ) A ．2 B ．3 C ．－2 D ．－3 答案 B解析由题意可得⎩⎨⎧a 1＋d ＝2，7a 1＋7×62d ＝56，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2，a 1＋3d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝3.(3)(2018·北京高考)设{a n }是等差数列，且a 1＝3，a 2＋a 5＝36，则{a n }的通项公式为________．答案 a n ＝6n －3(n ∈N *)解析 由已知，设{a n }的公差为d ，则a 2＋a 5＝a 1＋d ＋a 1＋4d ＝2a 1＋5d ＝36， 又a 1＝3，所以d ＝6，所以{a n }的通项公式为 a n ＝3＋6(n －1)＝6n －3(n ∈N *)．(4)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________. 答案 180解析 由等差数列的性质可得 a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5，又因为a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，所以5a 5＝450，a 5＝90，所以a 2＋a 8＝2a 5＝180.题型 一 等差数列基本量的运算1．(2018·全国卷Ⅰ)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．12 答案 B解析 设该等差数列的公差为d ，根据题中的条件可得3×⎝ ⎛⎭⎪⎫3×2＋3×22·d ＝2×2＋d ＋4×2＋4×32·d ，整理解得d ＝－3，所以a 5＝a 1＋4d ＝2－12＝－10，故选B.2．(2018·碑林区期末)设{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项a 1＝________.答案 2解析 由题可知3a 2＝12，① (a 2－d )a 2(a 2＋d )＝48，② 将①代入②得(4－d )(4＋d )＝12， 解得d ＝2或d ＝－2(舍)， ∴a 1＝a 2－d ＝4－2＝2.3．(2016·全国卷Ⅱ)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.(1)求b 1，b 11，b 101；(2)求数列{b n }的前1000项和．解 (1)设{a n }的公差为d ，据题意有7＋21d ＝28，解得d ＝1. 所以{a n }的通项公式为a n ＝n .b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2.(2)因为b n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n <10，1，10≤n <100，2，100≤n <1000，3，n ＝1000，所以数列{b n }的前1000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1893.1．等差数列基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．如举例说明1.2．等差数列设项技巧若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d ；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元(注意此时数列的公差为2d )．见举例说明2.1．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8 答案 C解析 设{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎨⎧(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )＝24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4.故选C.2．在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2. (1)求d ，a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.解 (1)由题意得5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2，即d 2－3d －4＝0，故d ＝－1或d ＝4，所以a n ＝－n ＋11，n ∈N *或a n ＝4n ＋6，n ∈N *.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，因为d <0， 由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11，则当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n ， 当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110. 综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧－12n 2＋212n ，n ≤11，12n 2－212n ＋110，n ≥12.题型 二 等差数列的判断与证明已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由． 解 (1)证明：因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1(n ∈N *)， 所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a n －1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1.又b 1＝1a 1－1＝－52.所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列． (2)由(1)知b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n＝1＋22n －7. 设f (x )＝1＋22x －7， 则f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，72和⎝ ⎛⎭⎪⎫72，＋∞上为减函数．所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1， 当n ＝4时，a n 取得最大值3.条件探究1 举例说明中，若将条件变为“a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)”，试求数列{a n }的通项公式．解 由已知可得a n ＋1n ＋1＝a nn ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，又a 1＝35，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)×1＝n －25，∴a n ＝n 2－25n .条件探究2 把举例说明条件改为“a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1”，求数列{a n }的通项公式．解 因为a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1，1－a na n －1＝a n a n ＋1－1， ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1＋1a n －1a n ＝2， a n ＝2a n －1a n ＋1a n ＋1＋a n －1，所以1a n ＝12a n －1＋12a n ＋1，即2a n ＝1a n －1＋1a n ＋1.所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列．其首项1a 1＝12，公差d ＝1a 2－1a 1＝12.所以1a n＝12＋(n －1)·12＝n 2，所以a n ＝2n .判定数列{a n }是等差数列的常用方法(1)定义法：对任意n ∈N *，a n ＋1－a n 是同一个常数．见举例说明． (2)等差中项法：对任意n ≥2，n ∈N *，满足2a n ＝a n ＋1＋a n －1. (3)通项公式法：数列的通项公式a n 是n 的一次函数．(4)前n 项和公式法：数列的前n 项和公式S n 是n 的二次函数，且常数项为0.提醒：判断是否为等差数列，最终一般都要转化为定义法判断．1．正项数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，则a 7＝________.答案19解析 由2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，得数列{a 2n }是等差数列，公差d ＝a 22－a 21＝3，首项a 21＝1，所以a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，∴a n ＝3n －2，∴a 7＝19.2．已知数列{a n }满足a 1＝－23，a n ＋1＝－2a n －33a n ＋4(n ∈N *)．(1)证明：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ＋1是等差数列；(2)求{a n }的通项公式．解 (1)证明：因为1a n ＋1＋1＝1－2a n －33a n ＋4＋1＝3a n ＋4a n ＋1＝3＋1a n ＋1， 所以1a n ＋1＋1－1a n ＋1＝3.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是首项为3，公差为3的等差数列． (2)由(1)知1a n ＋1＝3n .所以a n ＝13n －1.题型 三等差数列的性质及前n项和的最值角度1 等差数列的性质的应用1．(1)在等差数列{a n }中，已知a 4，a 7是函数f (x )＝x 2－4x ＋3的两个零点，则{a n }的前10项和等于( )A ．－18B ．9C ．18D ．20(2)(2019·金版原创)已知函数f (x )＝cos x ，x ∈(0,2π)有两个不同的零点x 1，x 2，且方程f (x )＝m 有两个不同的实根x 3，x 4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m ＝________.答案 (1)D (2)－32解析 (1)因为a 4，a 7是函数f (x )＝x 2－4x ＋3的两个零点， 由韦达定理可知，a 4＋a 7＝4，S 10＝a 1＋a 102×10＝a 4＋a 72×10＝20，故选D.(2)若m >0，则公差d ＝3π2－π2＝π，显然不成立，所以m <0，则公差d ＝3π2－π23＝π3.所以m ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝－32.角度2 等差数列前n 项和的性质的应用2．等差数列{a n }中，前m 项的和为30，前2m 项的和为100，试求前3m 项的和．解 记数列{a n }的前n 项和为S n ，由等差数列前n 项和的性质知S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，则2(S 2m －S m )＝S m ＋(S 3m －S 2m )，又S m ＝30，S 2m ＝100，所以S 2m －S m ＝100－30＝70，所以S 3m －S 2m ＝2(S 2m －S m )－S m ＝110，所以S 3m ＝110＋100＝210.角度3 等差数列前n 项和的最值问题3．(1)(2018·吉林长春一模)等差数列{a n }中，已知a 6＋a 11＝0，且公差d >0，则其前n 项和取最小值时的n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9(2)在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )A ．S 15B ．S 16C ．S 15或S 16D ．S 17 答案 (1)C (2)A解析 (1)解法一：因为a 6＋a 11＝0， 所以a 1＋5d ＋a 1＋10d ＝0，解得a 1＝－152d ， 所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－152d ·n ＋n (n －1)2d ＝d 2(n 2－16n )＝d2[(n －8)2－64]．因为d >0，所以当n ＝8时，其前n 项和取最小值． 解法二：由等差数列的性质可得a 8＋a 9＝a 6＋a 11＝0. 由公差d >0得等差数列{a n }是递增数列，所以a 8<0，a 9>0， 故当1≤n ≤8时，a n <0；n ≥9时，a n >0，所以当n ＝8时，其前n 项和取最小值． (2)∵a 1＝29，S 10＝S 20， ∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2，∴S n ＝29n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225. ∴当n ＝15时，S n 取得最大值．1．应用等差数列的性质解题的两个注意点(1)如果{a n }为等差数列，m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．因此，若出现a m －n ，a m ，a m ＋n 等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a m (或其他项)有关的条件；若求a m 项，可由a m ＝12(a m －n ＋a m ＋n )转化为求a m －n ，a m ＋n 或a m ＋n ＋a m －n 的值．(2)要注意等差数列通项公式及前n 项和公式的灵活应用，如a n ＝a m ＋(n －m )d ，d ＝a n －a m n －m，S 2n －1＝(2n －1)a n ，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 2＋a n －1)2(n ，m ∈N *)等．(3)当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd ；项数为奇数2n －1时，S 奇－S 偶＝a中，S 奇∶S 偶＝n ∶(n －1)．见巩固迁移3.2．求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法(1)函数法：等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋b 2a 2－b 24a ，求“二次函数”最值．如举例说明3(1)解法一．(2)邻项变号法①当a 1＞0，d ＜0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1＜0，d ＞0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .如举例说明3(1)解法二．1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．13 答案 C解析 因为a 1>0，a 6a 7<0，所以a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0，a 1＋a 13＝2a 7<0，所以S 12>0，S 13<0，所以满足S n >0的最大自然数n 的值为12.2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n >6)，则数列{a n }的项数为________．答案 18解析 由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，① a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216， ∴a 1＋a n ＝36，又S n ＝n (a 1＋a n )2＝324，∴18n ＝324，∴n ＝18.3．(2018·太原模拟)一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，求该数列的公差d .解 设等差数列的前12项中奇数项的和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d .由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162. 又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5.。