第一部分 层级三 专题1 第2讲 高考数学(文科)二轮总复习 层级3 压轴专题1 圆锥曲线中的综合题

课时跟踪检测(十七) 圆锥曲线中的最值、范围问题
1．已知动圆E经过点F(1,0)，且和直线l：x＝－1相切．
(1)求该动圆圆心E的轨迹G的方程；
(2)已知点A(3,0)，若斜率为1的直线l与线段OA相交(不经过坐标原点O
和点A)，且与曲线G交于B，C两点，求△ABC面积的最大值．
解：(1)由题意，可知点E到点F的距离等于点E到直线l的距离，所以动
点E的轨迹是以F(1,0)为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，所以曲线G的方
程是y2＝4x.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，其中－3

联立方程组 y＝x＋m，y2＝4x，消去y，得x2＋(2m－4)x＋m2＝0，
Δ＝(2m－4)
2－4m2
＝16(1－m)>0恒成立．

设C(x1，y1)，B(x2，y2)，由韦达定理得
x1＋x2＝4－2m，x1x2＝m2，∴|BC|＝421－m，

点A到直线l的距离为d＝3＋m2，

∴S△ABC＝12·421－m·3＋m2＝21－m(3＋m)．
令1－m＝t∈(1,2)，则m＝1－t2，∴S△ABC＝2t(4－t2)＝8t－2t3，
令f(t)＝8t－2t3，∴f′(t)＝8－6t2.

则y＝f(t)在1，23上单调递增，在23，2上单调递减．
y＝f(t)在t＝23时，即m＝－13时取得最大值．
故△ABC面积的最大值为3239.
2．(2019·合肥模拟)已知椭圆的中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个
顶点，直线y＝kx(k＞0)与直线AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．
(1)若ED→＝6DF→，求k的值；
(2)求四边形AEBF的面积的最大值．

解：(1)由题设条件可得，椭圆的方程为x24＋y2＝1，直线AB的方程为x＋2y
－2＝0.
设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1＜x2，

由 y＝kx，x24＋y2＝1，得(1＋4k2)x2＝4，
解得x2＝－x1＝21＋4k2.①
由ED→＝6DF→，得x0－x1＝6(x2－x0)，
∴x0＝17(6x2＋x1)＝57x2＝1071＋4k2 .
由点D在直线AB上，得x0＋2kx0－2＝0，
∴x0＝21＋2k.
∴21＋2k＝1071＋4k2，化简，得24k2－25k＋6＝0，
解得k＝23或k＝38.
(2)根据点到直线的距离公式和①式可知，点E，F到AB的距离分别为
d1＝|x1＋2kx1－2|5＝21＋2k＋1＋4k251＋4k2，
d2＝|x2＋2kx2－2|5＝21＋2k－1＋4k251＋4k2，
又|AB|＝22＋12＝5，
∴四边形AEBF的面积为

S＝12|AB|(d1＋d2)＝12×5×41＋2k51＋4k2

＝21＋2k1＋4k2＝21＋4k2＋4k1＋4k2＝21＋4k1＋4k2
＝21＋44k＋1k≤21＋424k·1k＝22，

当且仅当4k＝1k(k＞0)，即k＝12时，等号成立．
故四边形AEBF的面积的最大值为22.
3．(2019·石家庄模拟)已知椭圆E的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，离

心率等于223，P是椭圆E上的点．以线段PF1为直径的圆经过F2，且9PF1→·PF
2

→

＝1.
(1)求椭圆E的方程；
(2)作直线l与椭圆E交于两个不同的点M，N.如果线段MN被直线2x＋1＝
0平分，求直线l的倾斜角的取值范围．

解：(1)依题意，设椭圆E的方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)，
半焦距为c.
∵椭圆E的离心率等于223，
∴c＝223a，b2＝a2－c2＝a29.
∵以线段PF1为直径的圆经过F2，
∴PF2⊥F1F2.∴|PF2|＝b2a.
∵9PF1→·PF2→＝1，∴9|PF2→|2＝9b4a2＝1.

由 b2＝a29，9b4a2＝1，解得 a2＝9，b2＝1，∴椭圆E的方程为 y29＋x2＝1.
(2)∵直线x＝－12与x轴垂直，且由已知得直线l与直线x＝－12相交，
∴直线l不可能与x轴垂直，
∴设直线l的方程为y＝kx＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)，

由 y＝kx＋m，9x2＋y2＝9，得(k2＋9)x2＋2kmx＋(m2－9)＝0.
∵直线l与椭圆E交于两个不同的点M，N，
∴Δ＝4k2m2－4(k2＋9)(m2－9)＞0，

即m2－k2－9＜0.且x1＋x2＝－2kmk2＋9.
∵线段MN被直线2x＋1＝0平分，
∴2×x1＋x22＋1＝0，即－2kmk2＋9＋1＝0.
由 m2－k2－9＜0，－2kmk2＋9＋1＝0，得k2＋92k2－(k2＋9)＜0.
∵k2＋9＞0，∴k2＋94k2－1＜0，
∴k2＞3，解得k＞3或k＜－3.
∴直线l的倾斜角的取值范围为π3，π2∪π2，2π3.
4．(2019·福州模拟)已知点F为椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点，且两
焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x4＋y2＝1与椭圆E有且仅有一
个交点M.
(1)求椭圆E的方程；

(2)设直线x4＋y2＝1与y轴交于点P，过点P的直线l与椭圆E交于不同的两
点A，B，若λ|PM|2＝|PA|·|PB|求实数λ的取值范围．
解：(1)由题意，得a＝2c，b＝3c，
则椭圆E的方程为x24c2＋y23c2＝1.

由 x24＋y23＝c2，x4＋y2＝1，得x2－2x＋4－3c2＝0.
∵直线x4＋y2＝1与椭圆E有且仅有一个交点M，
∴Δ＝4－4(4－3c2)＝0，解得c2＝1，∴a＝2，b＝3.
∴椭圆E的方程为x24＋y23＝1.
(2)由(1)得M1，32，
∵直线x4＋y2＝1与y轴交于P(0,2)，
∴|PM|2＝54.
当直线l与x轴垂直时，
|PA|·|PB|＝(2＋3)×(2－3)＝1，
∴λ|PM|2＝|PA|·|PB|⇒λ＝45.
当直线l与x轴不垂直时，
设直线l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由 y＝kx＋2，3x2＋4y2－12＝0，消去y，得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0，
则x1x2＝43＋4k2，且Δ＝48(4k2－1)＞0，即k2>14，
∴|PA|·|PB|＝(1＋k2)x1x2
＝(1＋k2)·43＋4k2

＝1＋13＋4k2＝
5
4
λ，

∴λ＝451＋13＋4k2，
∵k2＞14，∴45＜λ＜1.
综上可知，实数λ的取值范围是45，1.