3.3 勾股定理的简单应用【学习目标】1．会运用勾股定理解决实际问题；2.在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想，进一步发展有条理的思考和表达能力，体会数学的应用价值。
【预习研问】1．一架梯子的长度为25(1)这个梯子顶端离地面有多高？(2)如果梯子的顶端下滑了4个人或小组的预习未解决问题【课内解问】1．已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160公尺，再向东直走80公尺后，可到神仙百货，则阿虎向西直走多少公尺后，他与神仙百货的距离为340公尺？ （ ）A ． 100B ． 180C ． 220D ． 2602．如图1，在直角三角形中，∠C ＝，AC=3，将其绕B 点顺时针旋转一周，则分别以BA ，BC 为半径的圆形成一环，该圆环的面积为（ ）Ａ、 Ｂ、３ Ｃ、９ Ｄ、６3．已知三角形ABC 中，BC=41，AC=40，AB=9，则此三角形为 三角形， 为最大角，最大角等于 度。
4．如图2，从电线杆离地面3米处向地面拉一条长为5米的拉线，这条拉线在地面的固定点距离电线杆底部有 米。
【课后答问】1.如图1，点E 在正方形ABC D 内，满足，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是 （ ）A ．B ．C ．D ．80 2.小明准备测量一段河水的深度,他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m 远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面o903ππππ90AEB ∠=︒486076刚好相齐,则河水的深度为( )A. 2mB. 2.5mC. 2.25mD. 3m.3.一只蚂蚁从长为4cm、宽为3 cm，高是12 cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是_____________。
第3题图4．在一棵树的10米高处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树20米）的池塘边。
另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高________________米。
第1课时 勾股定理、勾股定理的应用一、知识点：1、勾股定理：2、神秘的数组(勾股定理的逆定理)：二、典型例题：例1：⑴一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度⑵一个直角三角形一条直角边为6，斜边为10，求另一条直角边例2：在△ABC 中，AB=13，AC=15，BC=14，。
求BC 边上的高AD 。
例3：在△ABC 中，AB=15，AC=20，BC 边上的高AD=12，试求BC 的长．(两解)例4：如图，在△ABC 中，AC=AB ，D 是BC 上的一点，AD ⊥AB ，AD=9cm ，BD=15cm ，求AC 的长．例5：一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km ，接着，它又掉头向正东方向航行15千米．⑴ 此时轮船离开出发点多少km? ⑵ 若轮船每航行1km ，需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?例6：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ， BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线折叠，使它落在斜边AB 上，且点C 落到E 点，则CD 的长是多少?DCBAEDCBA DCBA例7：如图，四边形ABCD 中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD 的面积。
例8：有一根70cm 的木棒，要放在50cm ，40cm ，30cm 的木箱中，试问能放进去吗？例9：甲、乙两人在沙漠进行探险，某日早晨8∶00甲先出发，他以6千米/时速度向东南方向行走，1小时后乙出发，他以5千米/时速度向西南方向行走，上午10∶00时，甲、乙两人相距多远？例10：如图，由5个小正方形组成的十字形纸板，现在要把它剪开，使剪成的若干块能够拼成一个大正方形。
（1） 如果剪4刀，应如何剪拼？（2） 少剪几刀，也能拼成一个大正方形吗？ 边的长为多少？BACD第二课时平方根、立方根一、知识点：1、什么叫做平方根？2、平方根的表示方法：3、平方根的性质：4、算术平方根：5、算术平方根的性质：6、什么叫做立方根？7、立方根的性质：二、举例：例1：填空题：⑴16的平方根是 ；25的平方根是 ；4916的平方根是 ； 2.56的平方根是 ；(-2)2的平方根是 ；210-的平方根是 。
课题 3.1勾股定理（2）学段八上
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2014
/10/1
9
拟定学习目标1.经历探索用不同的方法验证勾股定理的过程，发展创新意识
2.体验解决问题方法的多样性，感受勾股定理的文化价值
拟定学习重点用不同的方法验证勾股定理的过程拟定学
习难点
应用勾股定理解
决问题的多样性
第一案：自学交流案
教学过程学情反馈
学习
任务
利用勾股定理解决实际问题
自我研读文本自学步骤与学法指导
1.写出勾股定理内容
2.说一说验证勾股定理的方法
学生
说课
各小组四人互相说课
自我
检测
课本81页探索和课本第82页练习
知者
加速
课本82页 4、5题
第二案：合作探究案
组织程序设计学情反馈会应用勾股定理解决实际问题
硬功
夫展
示
补充习题 47页 1—3题
小组
展示
补充习题48页 4—5题
问题
聚焦
与探
究
伴你学 58-59页 1、2题
形成
测试
知者
伴你学59页迁移应用1—3题
加速
典型
问题
教学反思小组评价表
小组参与度展示形式内容效果评价总分
小组评价
小组评价过程得分合计优秀组
小组评价五维标准（5分）
1、积极参与，态度端正
2、形式新颖，内容相符
3、内容准确，认真规范
4、彬彬有礼，团结协作
5、点评准确，公正合理。
案例赏析２０２３年１２月下半月㊀㊀㊀单元整体教学的一次尝试勾股定理(第１课时) 的课堂实录◉江苏省无锡市连元英和双语实验学校㊀王㊀俊㊀㊀摘要:新课标指出,数学教学需要推进单元整体教学设计,体现数学知识之间的内在逻辑关系,加强学习内容与核心素养表现的关联,促进学生对教学内容的整体理解和把握,逐步培养学生的核心素养．本文中基于一线教师的视角来尝试单元整体教学,以苏科版八年级上册 勾股定理 起始课的课堂教学实录及评析,体现单元整体教学理念．关键词:单元整体教学;章起始课;勾股定理㊀㊀作为单元的起始课,对整章知识起着统领与导向作用．做好单元整体教学,需要教师很好地做到三个理解(理解教材,理解学生,理解教学),然后落实到每个具体的教学活动环节,整体设计,再分步骤实施,在整个过程中培养学生的核心素养．下面结合 勾股定理第一课时 的课堂实录及分析,来探讨一下单元整体教学．１教材分析勾股定理(第１课时) 教学目标主要有两个:(１)经历探索勾股定理的过程,发展合情推理的能力,体会数形结合的思想;(２)能应用勾股定理求直角三角形中未知边的长．前者需要花时间让学生去探索,所以设计了让学生在纸上多次操作验证㊁观看视频等活动,引导学生去发现勾股定理蕴含的数与形的关系,以及学会如何发现与探索,形成学习的能力,这也是本课重点．２设计思路与意图本节课分六个环节来具体实施:(１)导入直角三角形边角的内部关系,让学生建立形与数之间的对应关系．(２)利用面积割补法解决问题,实现直角三角形面积与边边关系的转化,初步感受三边关系;进一步在网格中验证其他直角三角形中相同结论的存在,实现特殊到一般的探索．(３)运用类比思想,技能迁移,验证锐角三角形和钝角三角形中是否有同样的三边关系．这既是对前面勾股定理探索过程的再一次经历,而且是主动经历,也引出大胆猜想(勾股定理的逆定理),为后续学习作铺垫．(４)关于勾股定理的课外知识介绍,在传播数学文化的同时,激发学生的兴趣．(５)利用勾股定理完成练习．(６)师生小结,为下一课时作铺垫．３课堂实录及分析３．１导入直角三角形,建立对应关系师:特殊的图形其边角具备特殊的内部关系,例如,直角三角形,我们已经学过它的内角之间的关系是什么呢?生１:两锐角互余．师:除了角与角之间的关系,我们还能研究直角三角形各元素的什么关系呢生２:边边关系,边角关系．师:很好．关于直角三角形的边角关系我们留待初三去探讨．这一章,我们将探索直角三角形边与边的内部关系．你已经知道直角三角形的边有什么样的关系呢生３:两边之和大于第三边．师:很好．可是这一事实对所有三角形都适用,作为特殊的直角三角形,是否有更特殊的边边关系呢?３．２利用面积割补法实现面积与边边关系的转化在下列网格中,将小方格边长看作１,完成下列问题:图１㊀㊀备用图图１中,四边形A B MN是什么形状?你会计算它的面积吗?有哪些方法?生１和生２上黑板讲解 割 与 补 两种方法．师:刚刚两位同学发现不能直接利用边长的平方８３２０２３年１２月下半月㊀案例赏析㊀㊀㊀㊀求正方形面积后,采用了割补法将面积进行转化,这一转化思想在后续第五章 函数 中也会经常用到．下面请大家利用割补法,完成探索部分的第１,２题．３．３运用类比思想,迁移技能图２师:利用上面预习中的方法,计算图２中正方形A B MN ㊁正方形B C D E ㊁正方形A C F G 的面积,其面积依次是,猜想它们之间有何关系?生１:分别算出三个正方形的面积,得出９＋１６＝２５．教师板书S １＋S ２＝S ３后,追问:线段A B ,B C ,A C 之间有何关系?生２继续转化,直至写出B C ２＋A C ２＝B A ２(板书)．师:大家通过数量关系,利用面积实现了边边关系的转化．这很好地体现了转化思想和数形结合思想(板书)．那么,大家能否用语言组织一下B C ２＋A C ２＝B A ２这一结论呢?生３:直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方．是否所有的直角三角形都具备这样的三边关系呢?如何验证?师:对于所有直角三角形,都能在网格中利用面积法来验证 直角边的平方和等于斜边的平方 这一结论．３．４介绍勾股定理,传播数学文化师:其实,我们不仅可以在网格中探索这一结论,还可以利用现代化实验来验证．下面请同学们观看视频实验(以直角三角形三边为边往外作正多边形探索面积的变化),进一步提出猜想 以直角三角形的两直角边为边长的两个正多边形的面积和等于以斜边为边长的正多边形的面积．３．５利用勾股定理完成练习黑板上出示问题,用勾股定理小试牛刀．学生通过小组合作来回答:在әA B C 中,已知øC ＝９０ʎ及两边的长如下,求第三边:①a ＝３,b ＝４;②a ＝３,c ＝５;③b ＝４０,c ＝４１．(学生合作探究过程略．)如图３,锐角三角形和钝角三角形的三边是否也具备这样的关系呢模仿前面的方法,思考并探索．如果不符合,三边又有怎样的关系?图３师:刚刚我们发现并在网格中验证了勾股定理的正确性,大家有没有想过,勾股定理是否也适用于锐角三角形和钝角三角形呢(教师停留几秒．)生１:不一定,有可能 师:怎么才能确定呢?生２:画一画,验一验,像刚刚那样画图验证．师:请大家在网格纸中加以验证,并组内讨论．学生尝试画图并组内讨论(大部分同学还是可以独立完成的)．师:结论是什么呢?生４:锐角三角形中是B C ２＋A C ２＞B A ２,钝角三角形中是B C ２＋A C ２＜B A ２．师:同学们很厉害!看来勾股定理确实只适用于直角三角形．我们又可以做怎样的大胆猜想呢?生５:反过来,如果三边满足B C ２＋A C ２＝B A ２,可以得到әA B C 是直角三角形．师:确实,这就是勾股定理的逆定理(板书),这也是第三课时我们将要去深入研究的．师:同学们通过在网格中构建图形,或者用实验去演示,发现了勾股定理．其实,早在五百多年前,就有古人研究并发现了勾股定理．老师介绍毕达哥拉斯定理和我国的勾股弦以及勾３股４弦５ 的历史．(展示毕达哥拉斯邮票图片,板书．)师:下面我们就用这个发现,去解决问题吧．利用勾股定理,完成书本第７９页练习１,２．３．６师生小结师:通过上面的练习,我们再次发现,有了勾股定理,就能实现直角三角形图形内部的数量关系,解决三角形边边关系,这正是勾股定理的重要应用(板书),这也为以后用代数方法解决几何问题提供了有效的工具．４对单元整体设计的认识单元整体教学是一种教学理念,目的是让教师从高处俯视教学的每一个触角,将它们用一条无形的线串联起来,形成一个有机整体．在实施 单元整体 教学的过程中,教师要注重对教学内容进行结构化整合,探索㊁铺设适合发展学生核心素养的路径．根据新课程标准的要求,尤其要重视数学结果的探索和形成过程．漫漫教学路,教师唯有不断探索创新,才能与时俱进,与学生共成长．只有教师有整体的的眼光㊁更大的视野,才能引领学生一起走进数学的世界,打开数学之门．Z９３。
