17.1.1勾股定理导学案
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17.1.1 《勾股定理》第一课时导学案学习目标:知识:了解勾股定理的发现过程,掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理。
勤奋学习。
学习重点:勾股定理的内容及证明学习难点:勾股定理的证明学习过程:活动一情境导入古韵今风1、图中两个小正方形分别为A、B2直角三角形三边长度之间的关系:活动二追溯历史解密真相观察下面两幅图:(每个小正方形的面积为单位1)(1)你是怎样得到正方形C的面积的?与同伴交流一下。
(2)猜想命题:如果直角三角形的两条直角边分别为a、b,斜边为c,那么活动三推陈出新借古鼎新已知:如图,在边长为c的正方形中,有四个两直角边分别为a、b,斜边为c全等的直角三角形,求证:222a b c+=(提示:大正小正=SSSRt+∆4)证明:A B举一反三:勾股定理:直角三角形两条_______的平方和等于_____的平方如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ,斜边为c ,那么_________________ 活动五 取其精华 古为今用 1、如右图,在直角三角形中, x =______,y =______2、下列各图中所示的正方形的面积为多少。
(注:下列各图中的三角形均为直角三角形)3、在Rt △A B C 中,∠C = 90°,(1)若a = 2,b = 3, 则c = (2)若a = 1,c = 2, 则b = (3)若c = 5,b = 4, 则a = (4)若a =16,c = 20, 则b = 4、在一个直角三角形中, 两边长分别为3、4,则第三边的长为______________ 5、在Rt △ABC 中,∠C = 90°∠A = 30°AB = 4,则BC = _______AC = _______ 6、已知:如图,等边△ A B C 的边长是6 cm ,(1)求等边△ A B C 的高C D (2)求△ A B Cx 86135yDBA。
17.1勾股定理(1)一、教学目标:1.体验勾股定理的探索过程,了解利用拼图验证勾股定理的方法,掌握勾股定理并会用它解决身边与实际生活相关的数学问题。
2.在学生经历观察、归纳、猜想、探索勾股定理过程中,发展合情推理能力,体会数形结合思想,并在探索过程中,发展学生的归纳、概括能力。
3.通过探索直角三角形的三边之间关系,培养学生积极参与、合作交流的意识,体验获得成功的喜悦,通过介绍勾股定理在中国古代的研究情况,提高学生民族自豪感,激发学生热爱祖国、奋发学习的热情。
二、教学重点、难点:重点:探索和验证勾股定理过程; 难点:通过面积计算探索勾股定理。
三、教学方法及教学手段:采用探究发现式的教学方法,通过计算面积为学生设计一个数学实验的平台,结合多媒体课件的演示,培养学生动手实践能力和合作交流的意识。
四、教学过程:1.创设情境,导入课题多媒体演示勾股树图片,激发学生求知欲,成功导入本节课题。
2.自主探索,合作交流 活动一:动脑想一想小明用一边长为cm 1的正方形纸片,沿对角线折叠,你知道折痕有多长吗?①这个问题你是怎样想的?请说出你的想法。
②若把折叠后的直角三角形纸片放在如图所示的格点图中(每个小正方形边长为cm 1),你能知道斜边的长吗?③观察图形,并填空:⑴正方形P 的面积为2cm , 正方形Q 的面积为2cm , 正方形R 的面积为2cm 。
⑵你能发现图中正方形P 、Q 、R 的面积之间有什么关系?从中你发现了什么?活动二:动手做一做其它一般的直角三角形,是否也有类似的性质呢?(你打算用什么方法来研究?共同讨论方法后再确立研究方向) (图中每一小方格表示21cm )⑴正方形P 的面积为2cm ,正方形Q 的面积为2cm , 正方形R 的面积为2cm 。
⑵正方形P 、Q 、R 的面积之间的关系 是什么?⑶你会用直角三角形的边长表示正方形P 、Q 、R 的面积吗?你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗?与你的同伴进行交流。
人教版八年级下册数学第17章勾股定理17.1 勾股定理课时1 勾股定理教案【教学目标】1.经历探索及验证勾股定理的过程,体会数形结合的思想;2.掌握勾股定理,并运用它解决简单的计算题;3.了解利用拼图验证勾股定理的方法..【教学重点】1.经历探索及验证勾股定理的过程,体会数形结合的思想;2.掌握勾股定理,并运用它解决简单的计算题.【教学难点】了解利用拼图验证勾股定理的方法.【教学过程设计】一、情境导入如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树,这就是著名的毕达哥拉斯树,它由若干个图形组成,而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形.各组图形大小不一,但形状一致,结构奇巧.你能说说其中的奥秘吗?二、合作探究知识点一:勾股定理【类型一】直接运用勾股定理例1如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=13cm,BC=5cm,CD⊥AB于D,求:(1)AC的长;(2)S△ABC;(3)CD的长.解析:(1)由于在△ABC中,∠ACB=90°,AB=13cm,BC=5cm,根据勾股定理即可求出AC的长;(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S△ABC;(3)根据面积公式得到CD·AB=BC·AC即可求出CD.解:(1)∵在△ABC中,∠ACB=90°,AB=13cm,BC=5cm,∴AC=AB2-BC2=12cm;(2)S△ABC=12CB·AC=12×5×12=30(cm2);(3)∵S△ABC=12AC·BC=12CD·AB,∴CD=AC·BCAB=6013cm.方法总结:解答此类问题,一般是先利用勾股定理求出第三边,然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积,然后根据面积相等得出一个方程,再解这个方程即可.【类型二】分类讨论思想在勾股定理中的应用例2在△ABC中,AB=15,AC=13,BC边上的高AD=12,试求△ABC 的周长.解析:本题应分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论.解:此题应分两种情况说明:(1)当△ABC为锐角三角形时,如图①所示.在Rt△ABD中,BD=AB2-AD2=152-122=9.在Rt△ACD中,CD=AC2-AD2=132-122=5,∴BC=5+9=14,∴△ABC的周长为15+13+14=42;(2)当△ABC为钝角三角形时,如图②所示.在Rt△ABD中,BD=AB2-AD2=152-122=9.在Rt△ACD中,CD=AC2-AD2=132-122=5,∴BC=9-5=4,∴△ABC的周长为15+13+4=32.∴当△ABC为锐角三角形时,△ABC 的周长为42;当△ABC为钝角三角形时,△ABC的周长为32.方法总结:解题时要考虑全面,对于存在的可能情况,可作出相应的图形,判断是否符合题意.【类型三】勾股定理的证明例3探索与研究:方法1:如图:对任意的符合条件的直角三角形ABC 绕其顶点A 旋转90°得直角三角形AED ,所以∠BAE =90°,且四边形ACFD 是一个正方形,它的面积和四边形ABFE的面积相等,而四边形ABFE 的面积等于Rt △BAE 和Rt △BFE 的面积之和.根据图示写出证明勾股定理的过程;方法2:如图:该图形是由任意的符合条件的两个全等的Rt △BEA 和Rt △ACD 拼成的,你能根据图示再写出一种证明勾股定理的方法吗?解析:方法1:根据四边形ABFE 面积等于Rt △BAE 和Rt △BFE 的面积之和进行解答;方法2:根据△ABC 和Rt △ACD 的面积之和等于Rt △ABD 和△BCD的面积之和解答.解:方法1:S 正方形ACFD =S 四边形ABFE =S △BAE +S △BFE ,即b 2=12c 2+12(b +a )(b -a ),整理得2b 2=c 2+b 2-a 2,∴a 2+b 2=c 2;方法2:此图也可以看成Rt △BEA 绕其直角顶点E 顺时针旋转90°,再向下平移得到.∵S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD ,S 四边形ABCD =S △ABD +S △BCD ,∴S △ABC +S △ACD=S △ABD +S △BCD ,即12b 2+12ab =12c 2+12a (b -a ),整理得b 2+ab =c 2+a (b -a ),b 2+ab =c 2+ab -a 2,∴a 2+b 2=c 2.方法总结:证明勾股定理时,用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形,然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理.知识点二:勾股定理与图形的面积例4 如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A 、B 、C 、D 的面积分别为2,5,1,2.则最大的正方形E 的面积是________.解析:根据勾股定理的几何意义,可得正方形A、B的面积和为S1,正方形C、D的面积和为S2,S1+S2=S3,即S3=2+5+1+2=10.故答案为10.方法总结:能够发现正方形A、B、C、D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边,根据勾股定理最终能够证明正方形A、B、C、D的面积和即是最大正方形的面积.【板书设计】17.1 勾股定理课时1 勾股定理1.勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.2.勾股定理的证明“赵爽弦图”、“刘徽青朱出入图”、“詹姆斯·加菲尔德拼图”、“毕达哥拉斯图”.【教学反思】在课堂教学中应注意调动学生学习数学的积极性.让学生满怀激情地投入到数学学习中,提高数学课堂教学效率.勾股定理的验证既是本节课的重点,也是本节课的难点,为了突破这一难点,设计一些拼图活动,并自制精巧的课件让学生从形上感知,再层层设问,从面积(数)入手,师生共同探究突破本节课的难点.人教版八年级下册数学第17章勾股定理17.1 勾股定理课时1 勾股定理学案【学习目标】1.经历勾股定理的探究过程,了解关于勾股定理的一些文化历史背景,会用面积法来证明勾股定理,体会数形结合的思想;2.会用勾股定理进行简单的计算.【学习重点】掌握用面积法来证明勾股定理,体会数形结合的思想.【学习难点】能够运用勾股定理进行有关的运算.【自主学习】一、知识回顾网格中每个小正方形的面积为单位1,你能数出图中的正方形A、B 的面积吗?你又能想到什么方法算出正方形C的面积呢?AB CCBA方法1:补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形):左图:S c=__________________________;右图:S c=__________________________.方法2:分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形):左图:S c=__________________________;右图:S c=__________________________.二、合作探究考点1:勾股定理的认识及验证想一想 1.2500年前,毕达哥拉斯去老朋友家做客,看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面,联想到了正方形A,B和C面积之间的关系,你能想到是什么关系吗?2.右图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系?3.在网格中一般的直角三角形,以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系?(每个小正方形的面积为单位1)4.正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系?思考你发现了直角三角形三条边之间的什么规律?你能结合字母表示出来吗?猜测:如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么________.活动2 接下来让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明活动1的猜想.证法利用我国汉代数学家赵爽的“赵爽弦图”=________,证明:∵S大正方形S小正方形=________,S大正方形=___·S三角形+S小正方形,∴________=________+__________.要点归纳:勾股定理:如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2. 公式变形:222222, ,=+--.a cb bc a c a b知识点2:利用勾股定理进行计算【典例探究】例1如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.(1)若a=b=5,求c;(2)若a=1,c=2,求b.变式题1 在Rt△ABC中,∠C=90°.(1)若a:b=1:2 ,c=5,求a;(2)若b=15,∠A=30°,求a,c.方法总结:已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时,要运用方程思想设未知数,根据勾股定理列方程求解.变式题2在Rt△ABC中,AB=4,AC=3,求BC的长.方法总结:当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时,其中一较长边可能是直角边,也可能是斜边,这种情况下一定要进行分类讨论,否则容易丢解.例2已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长.方法总结:由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积,它常与勾股定理联合使用.【跟踪训练】求下列图中未知数x、y的值:三、知识梳理内容勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.注意1.在直角三角形中2.看清哪个角是直角3.已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论四、学习中我产生的疑惑【学习检测】1.下列说法中,正确的是()A.已知a,b,c是三角形的三边,则a2+b2=c2B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C.在Rt△ABC中,∠C=90°,所以a2+b2=c2D.在Rt△ABC中,∠B=90°,所以a2+b2=c22. 如图,Rt△ABC(∠C=90°)的主要性质:(用几何语言表示)(1)两锐角之间的关系:____________________.(2)若∠B=30°,则∠B的对边和斜边:_________.3.如果直角三角形的两直角边分别为a、b,斜边为c,那么_________.4. 右图中阴影部分是一个正方形,则此正方形的面积为_____________.5.在△ABC中,∠C=90°.(1)若a=15,b=8,则c=_______.(2)若c=13,b=12,则a=_______.6.若直角三角形中,有两边长是5和7,则第三边长的平方为_________.7.如图所示,所有的四边形都是正方形,三角形是直角三角形,其中最大的正方形的边长为6,则正方形A,B的面积的和为_______.8.求斜边长17cm、一条直角边长15cm的直角三角形的面积.9.如图,在△ABC中,AD⊥BC,∠B=45°,∠C=30°,AD=1,求△ABC的周长.10.如图,将长为10米的梯子AC斜靠在墙上,BC长为6米,求梯子上端A到墙的底端B的距离AB。
17.1 勾股定理(1)
学习目标:
1.了解勾股定理的发现过程,掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理。
2.培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3.介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就,激发爱国热情,勤奋学习。
重点:勾股定理的内容及证明。
难点:勾股定理的证明。
学习过程:
一.预习新知(阅读教材第64至66页,并完成预习内容。
)
1正方形A、B 、C的面积有什么数量关系?
2以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的大正方形的面积之间有什么关系?
归纳:等腰直角三角形三边之间的特殊关系。
A B
C
(1)那么一般的直角三角形是否也有这样的特点呢?
(2)组织学生小组学习,在方格纸上画出一个直角边分别为3和4的直角三角形,并以其三边为边长向外作三个正方形,并分别计算其面积。
(3)通过三个正方形的面积关系,你能说明直角三角形是否具有上述结论吗?
(4)对于更一般的情形将如何验证呢?
二.课堂展示 方法一; 如图,让学生剪4个全等的直角三角形,拼成如图图形,利用面积证明。
S 正方形=_______________=____________________
方法二;
已知:在△ABC 中,∠C=90°,∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证:a 2+b 2=c 2。
分析:左右两边的正方形边长相等,则两个正方形
的面积相等。
左边S=______________
右边S=_______________ 左边和右边面积相等,
即
化简可得。
方法三:
以a 、b 为直角边,以c 为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于ab. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC.
∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,
∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.
∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形, 它的面积等于
c 2. 又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD ∥BC.
∴ ABCD 是一个直角梯形,它的面积等于_________________
归纳:勾股定理的具体内容是 。
2
12
1
b
b b
三.随堂练习
1.如图,直角△ABC的主要性质是:∠C=90°,(用几何语言表示)
⑴两锐角之间的关系:;
(2)若∠B=30°,则∠B的对边和斜边:;
(3)三边之间的关系:
2.完成书上P69习题1、2
四.课堂检测
1.在Rt△ABC中,∠C=90°
①若a=5,b=12,则c=___________;
②若a=15,c=25,则b=___________;
③若c=61,b=60,则a=__________;
④若a∶b=3∶4,c=10则S Rt△ABC=________。
2.已知在Rt△ABC中,∠B=90°,a、b、c是△ABC的三边,则
⑴c= 。
(已知a、b,求c)
⑵a= 。
(已知b、c,求a)
⑶b= 。
(已知a、c,求b)
3.直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为__________。
4.已知一个Rt△的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是()
A、25
B、14
C、7
D、7或25
5.等腰三角形底边上的高为8,周长为32,则三角形的面积为()
A、56
B、48
C、40
D、32
五.小结与反思。