18章勾股定理全章导学案

八年级数学下册《18.1.2勾股定理》导学案新人教版18、1、2 勾股定理学习目标:1、能利用勾股定理，根据已知直角三角形的两边长求第三条边长，并在数轴上表示无理数。

2、体会数与形的密切联系，增强应用意识，提高运用勾股定理解决问题的能力。

3、培养学生数形结合的数学思想，并积极参与交流，并积极发表意见。

学习重点：利用勾股定理在数轴上表示无理数。

学习难点：确定以无理数为斜边的直角三角形的两条直角边长。

学习过程：一、预习内容：（阅读教材第67至68页，并完成预习内容。

）探究：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示的点吗？1、分析：如果能画出长为_______的线段，就能在数轴上画出表示的点。

容易知道，长为的线段是两条直角边都为______的直角边的斜边。

长为的线段能是直角边为正整数的直角三角形的斜边吗？利用勾股定理，可以发现，长为的线段是直角边为正整数_____， _____的直角三角形的斜边。

2、作法：在数轴上找到点A，使OA=_____，作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB=_____，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示的点。

3、利用勾股定理，可以作出长为，，，…的线段。

按照同样的方法，可以在数轴上画出表示，，，，…的点。

4、在数轴上画出表示的点？（尺规作图）二、自主学习活动1 预习反馈、概念明确活动2 典型例题课堂训练例1已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。

例2已知：如图，等边△ABC的边长是6cm。

⑴求等边△ABC 的高。

⑵求S△ABC。

练习1、填空题⑴在Rt△ABC，∠C=90，a=8，b=15，则c= 。

⑵在Rt△ABC，∠B=90，a=3，b=4，则c= 。

⑶在Rt△ABC，∠C=90，c=10，a：b=3：4，则a= ，b= 。

⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为。

⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为。

C ABD1、一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则斜边的长为 。

2、一个直角三角形的两边长分别为5cm 和12cm,则第三边的为 。

3、一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ） A ．斜边长为25 B ．三角形周长为25 C ．斜边长为5 D ．三角形面积为204、已知，如图在ΔABC 中，AB=BC=CA=2cm ，AD 是边BC 上的高． 求 ①AD 的长；②ΔABC 的面积．5、如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15，DB ＝9。

(1)求DC 的长。

(2)求AB 的长。

6、已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。

图18.2-3 学习目标：1.进一步掌握勾股定理的逆定理，并会应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形，能够理解勾股定理及其逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围。

2.培养逻辑推理能力，体会“形”与“数”的结合。

重点：勾股定理的逆定理难点：勾股定理的逆定理的应用一、自学导航已知：如图，四边形ABCD ，AD ∥BC ，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。

求：四边形ABCD 的面积。

归纳：求不规则图形的面积时，要把不规则图形 二、互动冲浪 1.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？2．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。

小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°。

三、当堂检测1、若△ABC 的三边a 、b 、c ，满足（a －b ）（a 2＋b 2－c 2）=0，则△ABC 是（ ）A ．等腰三角形；B ．直角三角形；C ．等腰三角形或直角三角形；D ．等腰直角三角形。

18.1勾股定理（1）年级：八年级科目：数学课型：新授执笔：姜艳审核：徐中国，薛柏双备课时间：2010.3.28 上课时间：2010.3.31教学目标1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。

重点：勾股定理的内容及证明。

难点：勾股定理的证明。

课前预习导学过程阅读教材第64页至第67页的部分，完成以下问题在Rt△ABC，∠C=90°⑴已知a=b=5,求c。

⑵已知a=1,c=2, 求b。

⑶已知c=17,b=8, 求a。

⑷已知a：b=1：2,c=5, 求a。

⑸已知b=15，∠A=30°，求a，c课堂活动：活动1、预习反馈多种方法证明勾股定理活动2、例习题分析例1：一个门框的尺寸如图，一块3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过？为什么？CA B例2：如图，一个3m 长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AO ，这时AO 的距离为2.5m ，如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m ，那么梯子底端B 也外移0.5m 吗？课堂练习：1．勾股定理的具体内容是：2．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）⑴两锐角之间的关系： ；⑵若D 为斜边中点，则斜边中线 ；⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ；⑷三边之间的关系： 。

3．⑴在Rt △ABC ，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 。

⑵在Rt △ABC ，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。

⑶在Rt △ABC ，∠C=90°，c=10，a ：b=3：4，则a= ，b= 。

⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 。

⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，，则第三边长为 。

⑹已知等边三角形的边长为2cm ，则它的高为 ，面积为 。

18.1勾股定理【学习目标】了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

【学习重点】勾股定理的内容及证明。

【学习难点】勾股定理的证明。

一、 自学展示：1、直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示）（1）两锐角之间的关系：（2）若D 为斜边中点，则斜边中线是（3）若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边的关系是： 2、（1）、画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用刻度尺量出AB 的长。

（2）、再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长问题：你是否发现23+24与25，25+212和213的关系，即23+2425，25+212213， 3a 、b ，斜边为c ，那么。

二、合作探究：勾股定理的证明：方法1、已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

求证：222a b c +=证明：4S △+S 小正=S 大正=根据的等量关系： 由此我们得出勾股定理的内容是 三、质疑导学：方法2、已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C的对边为a 、b 、c 。

求证：a 2＋b 2=c 2。

分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。

左边S=______________右边S=_______________ 左边和右边面积相等，即化简可得：ABBbbb方法3、根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。

四、学习检测：1、在Rt △ABC ，∠C=90° （1）已知a=b=5,求c 。

（2）已知a=1,c=2, 求b 。

（3）已知c=17,b=8, 求a 。

⑷已知a ：b=1：2,c=5, 求a 。

⑸已知b=15，∠A=30°，求a ，c2、一个直角三角形的两边长分别为3cm 和4cm,则第三边的长为。

3．如图,三个正方形中的两个的面积S 1＝25，S 2＝144，则另一个的面积S 3为________． 4.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。

第十八章勾股定理勾股定理（1）主备人：初审人：终审人：【导学目标】1.能用几何图形的性质和代数的计算方法探索勾股定理.2.知道直角三角形中勾、股、弦的含义，能说出勾股定理，并用式子表示.3.能运用勾股定理理解用关直角三角形的问题.【导学重点】知道直角三角形中勾、股、弦的含义，能说出勾股定理，并用式子表示.【导学难点】用拼图的方法验证勾股定理.【学法指导】探究、发现.【课前准备】查阅有关勾股定理的文化背景资料.【导学流程】一、呈现目标、明确任务1.了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程.2.了解利用拼图验证勾股定理的方法.3.利用勾股定理，已知直角三角形的两边求第三边的长.二、检查预习、自主学习1.动手画画、动手算算、动脑想想.在纸上作出边长分别为:（1）3、4、5（2）6、8、10的直角三角形，且动笔算一下，三条边长的平方有什么样的关系，你能猜想一下吗？2.借图说明(1)观察课本P64页图，思考：等腰直角三角形有什么性质吗？你是怎样得到的？它们满足上面的结论吗？(2)在P65页图中的三个直角三角形中，是否仍满足这样的关系？若能，试说明你是如何求出正方形的面积？3.有什么结论？三、问题导学、展示交流阅读P65页用拼图法证明勾股定理的内容，弄懂面积关系.四、点拨升华、当堂达标1.探究P66页“探究1”.在Rt△ABC中，根据勾股定理AC2 = 2+ 2因为AC=5≈2.236，因此AC木板宽，所以木板从门框内通过.2.讨论《配套练习》P24页选择填空题.五、布置预习预习“探究2”，完成P68页的练习.【教后反思】勾股定理（2）主备人：初审人：终审人：【导学目标】1.能运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题.2.通过例题的分析与解决，感受勾股定理在实际生活中的应用.【导学重点】运用勾股定理解决实际问题.【导学难点】勾股定理的灵活运用.【学法指导】观察、归纳、猜想.【课前准备】数轴的知识【导学流程】一、呈现目标、明确任务1.能运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题.2.通过例题的分析与解决，感受勾股定理在实际生活中的应用.二、检查预习、自主学习1.展示P66页“探究2”，完成填空.2.探究P68页“探究3”.提示：两直角边为1的等腰直角三角形，斜边长为多少？三、问题导学、展示交流1.展示上面的探究成果.2.研究P68页的课文，弄懂无理数在数轴上的表示方法.四、点拨升华、当堂达标1.完成练习题.2.填空题⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c= .⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c= .⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a= ，b= .⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 .⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为 .3.完成《配套练习》P25页选择填空题.六、布置预习预习习题18.1中1—5题.【教后反思】练习课主备人：初审人：终审人：【导学目标】1.继续运用勾股定理的数学模型解决实际问题.2.通过例题的分析与解决，感受勾股定理在实际生活中的应用.【导学重点】运用勾股定理解决实际问题.【导学难点】勾股定理的灵活运用.【学法指导】观察、归纳、猜想.【课前准备】数的开方运算.【导学流程】一、呈现目标、明确任务继续运用勾股定理的数学模型解决实际问题.二、检查预习、自主学习分小组展示预习成果.三、教师引导讲解习题18.1中10题.1.一个剖面图，怎样抽象成一个几何图形？2.直角三角形在什么地方？3.在直角三角形中，已知哪些边长？4.若设芦苇的长为x，还可以表示哪些线段？5.在这个直角三角形中利用勾股定理可以列一个怎样的式子？四、问题导学、展示交流1.展示上面的讨论结果.2.讨论完成7，8题.五、点拨升华、当堂达标讨论9题.六、布置预习预习下一节，阅读例1前面的课文，完成练习1.【教后反思】勾股定理的逆定理（1）主备人：初审人：终审人：【导学目标】1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理.2．探究勾股定理的逆定理的证明方法.3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系.【导学重点】掌握勾股定理的逆定理及证明.【导学难点】勾股定理的逆定理的证明.【学法指导】发现法、练习法、合作法【课前准备】三角形全等.【导学流程】一、呈现目标、明确任务1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理.2．探究勾股定理的逆定理的证明方法.3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系. 二、检查预习、自主学习下面的三组数分别是一个三角形的三边长a ,b ,c .5、12、13 7、24、25 8、15、17 （1）这三组数满足222c b a =+吗？（2）分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？如果三角形的三边长a 、b 、c ，满足222c b a =+，那么这个三角形是 三角形.问题二：命题1： ,命题2： .命题1和命题2的 和 正好相反，把像这样的两个命题叫做 命题，如果把其中一个叫做 ，那么另一个叫做 .三、教师引导1.说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？ ⑴同旁内角互补，两条直线平行.⑵如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等. ⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等. ⑷直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半. 四、问题导学、展示交流 自学P74页例1.五、点拨升华、当堂达标 1．完成习题18.2中1—3题.2．下列三条线段不能组成直角三角形的是（ ）A ． 8， 15， 17B ． 9， 12，15C ．5，3，2D ．a ：b ：c =2：3：43.完成练习2. 六、布置预习1.完成《配套练习》P29页选择填空题.2.预习下一节，弄懂方位角的表示.3.完成练习3. 【教后反思】勾股定理的逆定理（2）主备人： 初审人： 终审人：【导学目标】1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题.2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识.【导学重点】灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题. 【导学难点】灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题. 【学法指导】抽象、迁移. 【课前准备】勾股定理的逆定理. 【导学流程】一、呈现目标、明确任务1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题.2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识. 二、检查预习、自主学习2.边长分别是c b a ,,的△ABC ，下列命题是假命题的是（ ）.A 、在△ABC 中，若∠B =∠C -∠A ，则△ABC 是直角三角形； B 、若()()c b c b a -+=2，则△ABC 是直角三角形；C 、若∠A ︰∠B ︰∠C =5︰4︰3，则△ABC 是直角三角形；D 、若3:4:5::=c b a ，则△ABC 是直角三角形.3.在△ABC 中，∠C =90°，已知4:3:=b a , 15=c ，求b 的值.4.展示练习3. 三、教师引导 例1（P75例2） 分析：⑴了解方位角，及方位名词； ⑵依题意画出图形；⑶依题意可得PR =12×1.5=18，PQ =16×1.5=24，QR =30；⑷因为242+182=302，PQ 2+PR 2=QR 2，根据勾股定理 的逆定理，知∠QPR =90°； ⑸∠PRS =∠QPR -∠QPS =45°. 四、问题导学、展示交流一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状.⑴若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；⑵设未知数列方程，求出三角形的三边长5、12、13；⑶根据勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形为直角三角形. 五、点拨升华、当堂达标1.如图，AB ⊥BC 于点B ，DC ⊥BC 于点C ，点E 是BC 上的点，∠BAE =∠CED =60o，AB =3，CE =4.求：①AE 的长. ②DE 的长. ③AD 的长（提示：先证△____是直角三角形）.2.完成《配套练习》P30页选择填空题. 六、布置预习预习这两节的《配套练习》中大题.A【教后反思】练习课主备人：初审人：终审人：【导学目标】1.掌握勾股定理及其逆定理，并会运用定理解决简单问题，会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；2.了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不一定成立.【导学重点】掌握勾股定理及其逆定理，并会运用定理解决简单问题.【导学难点】了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不一定成立.【学法指导】抽象、迁移.【课前准备】勾股定理的逆定理.【导学流程】一、呈现目标、明确任务1.掌握勾股定理及其逆定理，并会运用定理解决简单问题，会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；2.了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不一定成立.二、检查预习、自主学习分小组展示预习成果.三、教师引导如图，在四边形ABCD中，∠D=90°，AB=12，CD=3，DA=4，BC=13, 求S四边形ABCD.分析：因为∠D=90°，可连接AC构成直角形，由勾股定理求出AC，这样在△ABC中，三边均知道大小，利用勾股定理可以判断三角形的形状，再用两个三角形的面积求出S四边形ABCD.四、问题导学、展示交流讨论上面的问题，再展示交流.五、点拨升华、当堂达标讨论《配套练习》P29页5—7题和P31页6，7题.六、布置预习DB1.讨论《配套练习》剩余题目.2.预习复习题十八，1—3题.【教后反思】小结（1）主备人：初审人：终审人：【导学目标】1.掌握勾股定理及其逆定理，并能解决简单问题，会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；2.了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不一定成立.【导学重点】掌握勾股定理及其逆定理，并会运用定理解决简单问题.【导学难点】了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不一定成立.【学法指导】转化和数形结合.【课前准备】复习本章内容.【导学流程】一、呈现目标、明确任务1.用勾股定理及其逆定理解决简单问题；2.了解逆命题、逆定理的概念.二、检查预习、自主学习展示预习成果.三、教师引导本章知识结构：四、问题导学、展示交流1.直角三角形三边的长有什么关系？2.已知一个三角形的三边，能否判定它是直角三角形？举例说明.3.如果一个命题成立，那么它的逆命题一定成立吗？举例说明.4.如图，已知P是等边三角形ABC内上点，PA=5，PB=4，PC=3，求∠PBC.四、问题导学、展示交流提示：如果三角形的三条边分别是三、四、五，那么这个三角形一定是直角三角形.但本题长为3，4，5的三条线段不在同一个三角形中，联想到等边三角形的性质，可以将△APC绕点C旋转得到△BCP′.五、点拨升华、当堂达标1.讨论完成“复习题18”中4—7题.4题，可先设每份为k，再用勾股定理的逆定理.5题，不成立的需举反例.6题，可以数单位面积的正方形个数.7题，直接用勾股定理.2.讨论8，9题.六、布置预习预习下一章.B CP'。

第十八章勾股定理第1课时——勾股定理(1一、教学目标:1、能用几何图形的性质和代数的计算方法探索勾股定理;2、知道直角三角形中勾、股、弦的含义,能说出勾股定理,并用式子表示;3、能运用勾股定理理解用关直角三角形的问题。

二、教学重点:知道直角三角形中勾、股、弦的含义,能说出勾股定理,并用式子表示。

教学难点:能用几何图形的性质和代数的计算方法探索勾股定理; 三、学习过程:(一导入:勾股定理的探究:1、利用几何图形的性质探索勾股定理: 探索一:剪4个与图1完全相同的直角三角形, 再将它们拼成如图2所示的图形。

大正方形的面积可以表示为: ; 又可以表示为。

∵两种方法都是表示同一个图形的面积∴ = 即 = ∴222=+(用字母表示2、将图2沿中间的正方形的对角线剪开, 得到如图所示的梯形:直角梯形的面积可以表示为: ;三个直角三角形的面积和可以表示为: ;利用“直角梯形的面积”与“三个直角三角形的面积和”的关系,可以得到:= + + ∴ = 即 = ∴222=+(用字母表示3、利用代数的计算方法探索勾股定理:探索一:如图一,观察图中用阴影画出的三个正方形(每一个小方格的边长为1∵21S S += ,3S = ; ∴ = 即:=+(用字母表示A 探索二:利用右图画出一个两条直角边分别为AC=3厘米、BC=4厘米的直角三角形, (1用刻度尺量出斜边的长AB= 厘米, (2计算: 22BC AC += = 2AB = = 即:=+(用字母表示3、勾股定理:如果直角三角形的两直角边长分别为a ,b ,斜边长为c ,那么。

公式变形: c 2= , a2= , b2=(二讲授新课:勾股定理的应用: 例1. 在Rt △ABC 中,∠C =90°.(1 已知a =6, b =8,求c ; (2 已知a =2, c =5, 求b . 解:(1在ABC Rt ∆ 中,根据勾股定理,c2= = =∴c =(2在ABC Rt ∆ 中,根据勾股定理,b2= = =∴b =(三课堂练习:1、在Rt △ABC 中,∠C =90°.(1 已知 a =3,b =4,求c ; (2 已知c =10, a =6,求b. 解:(1在ABC Rt ∆ 中,根据勾股定理, (2在ABC Rt ∆ 中,根据勾股定理, ∴c 2= = = ∴b 2= = = ∴c = ∴ b = 2.求下列图中直角三角形的未知边。

18.1勾股定理（1） 第一课时学习目标1．了解毕达哥拉斯及《勾股定理》的内容，学会用多种拼图方法验证勾股定理，感受解决同一个问题方法的多样性。

2．通过实例进一步了解勾股定理，能应用勾股定理进行简单的计算，感受勾股定理的应用价值经历勾股定理的探索过程，能熟记定理的内容学习重点：勾股定理的探索和应用. 学习难点：勾股定理的探索 学习过程：一、课前学习：①含有一个 的三角形叫做直角三角形. ②已知Rt △ABC 中的两条直角边长分别为a 、b ,则S △ABC ＝ . ③已知梯形上下两底分别为a 和b ，高为（a ＋b ），则该梯形的面积为 .④完全平方公式：（a ±b ）2＝ .⑤在Rt △ABC 中，已知∠A ＝30°，∠C ＝90°，直角边BC ＝1，则斜边AB ＝ . 二、流程一：1．准备四个全等的直角三角形纸片（标出两直角边a 、b 和斜边c ），并专心阅读课本P63—P66 2．利用所准备的三角形纸片进行拼图，从面积相等的角度列出等式，对该等式进行变形得出一个最简结果，尝试对该结果用语言进行表述.3.在我国古代，人们将直角三角形中_____________叫做勾，______________叫做股，_______叫做弦.4.（1）能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？ 结论1： （2）观察下面两幅图：（2）填表：（3）你是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流．3.猜想命题：如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么________________ 三、课堂学习：1.已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

求证： 222a b c += 证明：根据的等量关系：4S △+S 小正=S 大正= 由此我们得出：2.归纳定理：直角三角形两条_______的平方和等于_____的平方.如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么_________________ 四、发现总结：1、右边这个人是 （公元前572—前492 年），他是古希腊著名的 .2、我国古代所讲的“勾、股、弦”分别指的是Rt △的 . 3、2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽形如以下三个图中的 ，它是由四个 的 所围成的正方形图案﹝赵爽弦图．．．．﹞.显然4个 的面积＋中间小正方形的面积＝该图案的面积.即4×21× ＋﹝ ﹞2＝c 2,化简后得到 .这一结果用文字表达为 .利用图2，图3或其它拼图仿上述推导，能否得到相同的结果？和同学一起动手试试看！五、巩固提高：1、 如图，求出斜边AB 的长度＝ ；如图，已知等腰直角三角形斜边AC 的长度＝4； 求出直角边BC 的长度＝ .2、 在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC ＝3k ，BC ＝4 k ，求出AB ＝ .3、 已知：如图，在△ABC 中，∠C=60°，AB=34，AC=4，AD 是BC 边上的高，求BC 的长。

第十八章勾股定理18.1 勾股定理课时安排: 4课时第1课时18.1 .1勾股定理(1)三维目标一、知识与技能让学生通过观察、计算、猜想直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论．二、过程与方法1．在学生充分观察、归纳、猜想、探索直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．2．在探索上述结论的过程中，发展学生归纳、概括和有条理地表达活动的过程和结论．三、情感态度与价值观1．培养学生积极参与、合作交流的意识，2．在探索勾股定理的过程中，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气．教学重点探索直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论。

从而发现勾股定理．教学难点以直角三角形的边为边的正方形面积的计算．教具准备学生准备若干张方格纸。

教学过程一、创设问题情境，引入新课活动1问题1：在我国古代，人们将直角三角形中的短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．根据我国古算书《周髀算经》记载，在约公元前1100年，人们已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦是五，你知道是为什么吗?问题2：某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯，如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米，请问消防队能否进入三楼灭火?问题3：我们再来看章头图，在下角的图案，它有什么童义?为什么选定它作为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽?二．实际操作，探索直角三角形的三边关系活动2问题1：毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家，相传2500年前，一次，毕达哥拉斯去朋友家作客．在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地而发起呆来．原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方．主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他．谁知毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了．同学们，我们也来观察下面图中的地面，看看你能发现什么?是否也和大哲学家有同样的发现呢?问题2：你能发现下图中等腰直角三角形ABC有什么性质吗?问题3：等腰直角三角形都有上述性质吗?观察下图，并回答问题：(1)观察图1正方形A中含有________个小方格，即A的面积是________个单位面积；正方形B中含有________个小方格，即B的面积是________个单位面积；正方形C中含有________个小方格，即C的面积是________个单位面积．(2)在图2、图3中，正方形A、B、C中各含有多少个小方格?它们的面积各是多少?你是如何得到上述结果的?与同伴交流．(3)?活动3问题1：等腰三角形有上述性质，其他的三角形也有这个性质吗?如下图，每个小方格的面积均为1，请分别计算出下图中正方形A、B、C，A'、B'、C'的面积，看看能得出什么结论．(提示：以斜边为边长的正方形的面积，等于虚线标出的正方形的面积减去四个直角三角形的面积．)问题2：给出一个边长为0.5，1.2，1.3，这种含小数的直角三角形，也满足上述结论吗?我们通过对A、B、C，A'、B'、C'几个正方形面积关系的分析可知：一般的以整数为边长的直角三角形两直角边的平方和也等于斜边的平方，一个边长为小数的直角三角形是否也有此结论?我们不妨设小方格的边长为0.1，我们不妨在你准备好的方格纸上画出一个两直角边为0,5，1.2的直角三角形来进行验证．生：也有上述结论．这一结论，在国外就叫做“毕达哥拉斯定理”，而在中国则叫做“勾股定理”．而活动1中的问题1提到的“勾三，股四，弦五”正是直角三角形三边关系的重要体现．勾股定理到底是谁最先发现的呢?我们可以自豪地说：是我们中国人最早发现的．证据就是《周髀算经》，不仅如此，我们汉代的赵爽曾用2002年在北京召开的国际数学家大会的徽标的图案证明了此结论，也正因为为了纪念这一伟大的发现而采用了此图案作徽标．下节课我们将要做更深入的研究．大哲学家毕达哥拉斯发现这一结论后，就已认识到，他的这个发现太重要了．所以，按照当时的传统，他高兴地杀了整整一百头牛来庆贺．三、例题剖析活动4问题：(1)如下图，一根旗杆在离地面9m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前有多高?(2)求斜边长17cm，一条直角边长15cm的直角三角形的面积．解：(1)解：由勾股定理可求得旗杆断裂处到杆顶的长度是：92＋122＝15(m)；15＋9＝24(m)，所以旗杆折断之前高为24m．(2)解：另一直角边的长为172－152＝8(cm)，所以此直角三角形的面积为1 2×8×15＝60(cm2)．师：你能用直角三角形的三边关系解答活动1中的问题2．请同学们在小组内讨论完成．四、课时小结1．掌握勾股定理及其应用；2．会构造直角三角形，利用勾股定理解简单应用题．五.布置作业六．板书设计18．1．1勾股定理（1）第2课时勾股定理（2）三维目标一、知识与技能1．掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法．2．运用勾股定理解决一些实际问题．二、过程与方法1．经历用拼图的方法验证勾股定理，培养学生的创新能力和解决实际问题的能力．2．在拼图的过程中，鼓励学生大胆联想，培养学生数形结合的意识．三、情感态度与价值观1．利用拼图的方法验证勾股定理，是我国古代数学家的一大贡献，借助此过程对学生进行爱国主义的教育．2．经历拼图的过程，并从中获得学习数学的快乐，提高学习数学的兴趣．教学重点经历用不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值．教学难点经历用不同的拼图方法证明勾股定理．教具准备每个学生准备一张硬纸板．教学过程一、创设问题情境，引入新课活动1问题：我们曾学习过整式的运算，其中平方差公式(a＋b(a－b)＝a2－b2，完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2是非常重要的内容．谁还能记得当时这两个公式是如何推出的？生：这两个公式都可以用多项式乘以多项式的乘法法则推导．如下：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2，所以(a＋b)(a－b)＝a2－b2；(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2；所以(a±b)2＝a2±2ab＋b2；生：还可以用拼图的方法说明上面的公式成立．例如：图(1)中，阴影部分的面积为a2－b2，用剪刀将(1)中的长和宽分别为(a－b)和b的长方形剪下来拼接成图(2)的形式便可得图(2)中阴影部分的面积为(a＋b)(a－b)．而这两部分面积是相等的，因此(a＋b)(a－b)＝a2－b2成立．生：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2也可以用拼图的方法，通过计算面积证明，如图(3)我们用两个边长分别a和b的正方形，两个长和宽分别a和b的长方形拼成一个边长为(a＋b)的正方形，因此这个正方形的面积为(a＋b)2，也可以表示为a2＋2ab＋b2，所以可得(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2．师：你能用类似的方法证明上一节猜想出的命题吗?二、探索研究活动2我们已用数格子的方法发现了直角三角形三边关系，拼一拼，完成下列问题：(1)在一张纸上画4个与图(4)全等的直角三角形，并把它们剪下来．(2)用这4个直角三角形拼一拼，摆一摆，看能否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，你能利用拼图的方法，面积之间的关系说明上节课关于直角三角形三边关系的猜想吗?(3)有人利用图(4)这4个直角三角形拼出了图(5)，你能用两种方法表示大正方形的面积吗?大正方形的面积可以表示为：_______________，又可以表示为________________．对比两种衷示方法，你得到直角三角形的三边关系了吗?生：我也拼出了图(5)，而且图(5)用两种方法表示大正方形的面积分别为(a＋b)2或4×ab＋c2．由此可得(a＋b)2＝4×12ab＋c2．化简得a2＋b2＝c2．由于图(4)的直角三角形是任意的，因此a2＋b2＝c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

八年级数学下册 18.1.1 勾股定理导学案新人教版一、课题18、1、1 勾股定理编写备课组二、本课学习目标与任务：1、经历探索发现并验证勾股定理的过程，进一步发展学生的推理能力；2、理解并掌握勾股定理，学会勾股定理的简单应用三、知识链接：人类一直在思考：在浩瀚无边的宇宙中，难道只有地球上才有人吗？如果在别的星球上也有“人”，那么该怎样与外星人互相沟通呢？我国著名数学家华罗庚建议，可以用一幅勾股定理的数形关系图作为与“外星人”的交流语言、毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家，相传2500年前，一次，毕达哥拉斯去朋友家作客、在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地而发起呆来、原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方、主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他、谁知毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了、你知道毕达哥拉斯在地板砖中发现什么了吗？四、自学任务（分层）与方法指导：1、我们也来观察下面左图中的地面，看看你能发现什么?是否也和大哲学家有同样的发现呢? （1）以等腰直角三角形三边长为边长的三个正方形的面积之间有怎样的关系？若把三个正方形的面积分别记为SA、SB、SC，那么SA、SB、SC之间的关系为、（2）等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也有这样的特点呢？你有新的结论吗？观察右图，若小方格的边长为1、①正方形A、B的面积SA＝，SB＝、②如何求正方形C的面积呢？你求得的正方形C的面积为SC＝、③SA、SB、SC之间的关系为、CABaccbabcaabcBCA（3）由此你可归纳出什么结论？你的结论是：、2、观察上图中的正方形C的面积的求法、方法⑴补：SC＝－＝、方法⑵割：SC＝＋＝、3、归纳结论：⑴以Rt△ABC 的三边为边长向外作正方形①、②、③则总有：＋＝⑵若Rt△ABC的三边分别为a、b、c，则a、b、c的关系为：、⑶勾股定理：如果，那么、用文字可叙述为：、五、小组合作探究问题与拓展：1、探索勾股定理的证明由求正方形C的面积的补或割的方法可得如下方法：图1图2图3⑴c2＝⑵c2＝（这就是著名的赵爽弦图）⑶即c2＝a2＋b2（方法１的变式）2、勾股定理的用途：在直角三角形中，已知两边，可求出第三边、求出右图中x的值：3、常用的勾股数有：4、若已知直角三角形的两边长为6和8，求第三边、六、自学与合作学习中产生的问题及记录当堂检测题1、Rt△ABC中，∠C＝90、①如果BC＝9，AC＝12，那么AB＝；②如果BC＝8，AB ＝10，那么AC＝；③如果AC＝20，BC＝25，那么AB＝；④如果AB＝13，AC＝12，那么BC＝、2、判断：⑴如果直角三角形的三边的长分别a、b、c，则a2＋b2＝c2( )⑵直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边长是5、( )、3、已知甲和乙在同一地点，甲往东走了4km，乙往南走了3km，这时甲、乙两人相距 km、4、在Rt△ABC中，∠C＝90（1）若a＝5，b＝12，则c＝、（2）若b＝8，c＝17，则S△ABC＝、5、一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面直径为5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面露出5㎝，问吸管要做多长？。

ACBcab第18章 勾股定理 18.1勾股定理教学目标：1、经历探索勾股定理的过程，掌握勾股定理，并能运用它解简单的计算题和实际问题。

发展合情推理的能力，体会数形结合的思想。

进一步提高分析问题和解决问题的能力。

2、经历多种拼图方法验证勾股定理的过程，增强用数学的眼光观察现实世界和有条理地思考与表达的能力，感受勾股定理的文化价值。

知识点1：勾股定理 一、自主学习1、阅读课本第64页----66页，并完成下列填空：（1）等腰直角三角形的三边之间的特殊关系： 。

（2）一般的直角三角形三边有什么关系： 。

（3）命题1：题设 ；结论 。

（4）了解命题1的古代证法：（5）勾股定理： 。

（6） 被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽。

2、勾股定理的运用--------求边（1）在Rt △ABC 中，90=∠C ，已知a ，b ，求c= 。

（2）在Rt △ABC 中， 90=∠C ，已知a ，c ，求b= 。

（3）在Rt △ABC 中， 90=∠C ，已知b ，c ，求a= 。

3、在Rt △ABC 中，90=∠C （1）已知a=b=5，求c ； （2）已知a=1，c=2，求b ； （3）已知c=17，b=8，求a ； （4）已知a ：b=1：2，c=5，求a ； （5）已知b=15， 30=∠A ，求a ，c 。

A BDCCOAB DBCABA二、教材解读探究1：一个门框的尺寸如图所示，一块长3m ，宽2.2m 的薄木板能否从门框内通过，为什么？探究2：如图，一个3m 长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AO 上，这时AO 的距离为2.5m ，如果梯子的顶端A 沿墙下海0.5m ，那么梯子底端B 也外移0.5m 吗？ 分析：OB OD BD -=，求BD ，可以先求OB ，OD 。

在Rt △ABC 中， =2OB ， =OB 。

Rt △COD 中，=2OD ， =OD ， =BD ， 梯子的顶端沿墙下滑0.5m ，梯子底端外移 。

第18章勾股定理全章教案八年级数学下册一、教学目标1.了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2.培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

3.介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。

二、重点、难点1.重点：勾股定理的内容及证明。

2.难点：勾股定理的证明。

3.难点的突破方法：几何学的产生，源于人们对土地面积的测量需要。

在古埃及，尼罗河每年要泛滥一次;洪水给两岸的田地带来了肥沃的淤积泥土，但也抹掉了田地之间的界限标志。

水退了，人们要重新画出田地的界线，就必须再次丈量、计算田地的面积。

几何学从一开始就与面积结下了不解之缘，面积很早就成为人们认识几何图形性质与争鸣几何定理的工具。

本节课采用拼图的方法，使学生利用面积相等对勾股定理进行证明。

其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。

三、例题的意图分析例1(补充)通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性;通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力;这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。

激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。

例2使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。

进一步让学生确信勾股定理的正确性。

四、课堂引入目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的人，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。

我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是文明人，那么他们一定会识别这种语言的。

这个事实可以说明勾股定理的重大意义。

尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。

让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。

以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。

这句话意思是说一个直角三角形较短直角边(勾)的长是3，长的直角边(股)的长是4，那么斜边(弦)的长是5。

勾股定理一 学习目标用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用． 二 重点与难点教学重点：了结勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。

教学难点：勾股定理的发现 三 知识连接 四 教学过程 （一） 自主学习观察、欣赏 ：2002年世界数学家大会在我国北京召开，会标中央的图案是一个与“勾股定理” 有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理” 的图来作为与“外星人”联系的信号． 今天我们就来一同探索勾股定理．数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名． （在西方称为毕达哥拉斯定理）（二）自主检测如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离 地面10m 处折断倒下，树顶落在离树根24m 处. 大树在折断之前高多少？（三）合作探究1．探究一： 面积角度观察图形：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和 以斜边为边长的正方形的面积．2．探究二： 由结论1我们想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？ （1）观察下面两幅图：（2）填表：A 的面积（单位面积）B 的面积（单位面积）C 的面积（单位面积）左图 右图（3）你是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流．（（4）分析填表的数据，你发现了什么？结论2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以 边长的正方形的面积．AB CC BA3．议一议：（1）你能用直角三角形的边长a 、b 、c 来表示上图中正方形的面积吗？ （2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度．2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么222c b a =+．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．3．探究三：我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形.图2（1）如图1你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？（先独立思考，再4人小组交流）；（2）你能由此得到勾股定理吗？为什么？(a+b)2= +c 2.并得到222c b a=+）从而利用图1验证了勾股定理. 你还能利用图2验证勾股定理吗？弦股勾图1（四） 课堂检测1、列图形中未知正方形的面积或未知边的长度：2、 小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？五．学习反馈通过这节课的学习，你有什么样的收获？共同畅谈收获.附：纠错台出错题目用到的主要知识点出错原因改正结果?225100x1517勾股逆定理一学习目标探索和应用直角三角形的判别条件.经历勾股定理的逆向思维所推出的勾股逆定理的理解过程.二重点与难点教学重点：掌握勾股定理的逆定理.教学难点：应用勾股定理的逆定理来解决问题.三知识连接四教学过程（一）自主学习（1）下面以3、4、5为边长用尺规作三角形，是什么三角形？你是怎么得到的？（2）以6、8、10为边长作三角形？（3）以15、36、39为边长？（4）以10、24、26？问题一：从自学反馈中你会得到什么，用文字试着加以总结。

新人教版初中数学8年级下册18章勾股定理导学案（1课时）自学目标：勾股定理的内容是什么？它成立的条件是什么？ 你会用面积割补法（或拼图法）验证勾股定理吗？已知直角三角形任意两边的长，你能熟练的求出第三边的长度吗？ 活动一：阅读课本64页----65页探究探究结果：A S =＿＿＿, B S =＿＿＿, C S =＿＿＿.则 ＿＿＿＿＿＿＿AS'=＿＿＿, BS'=＿＿＿, CS'=＿＿＿,则＿＿＿＿＿＿＿＿＿勾股定理内容：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

活动二：证明勾股定理赵爽 面积割补法：如图是东汉末年我国数学家赵爽第一次用面积割补法明确给出勾股定理的理论证明。

其证法是：“弦图又可以勾股相乘为朱实二，倍之，为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加实际亦成弦实。

”其中，朱，黄为所涂颜色，实为面积。

证明：222222222442a b S a b S b a S S S c a b b a c a bc=∴=-=∴+==∴+-=+=朱朱黄朱黄又（）弦实（）即其他证明方法:教材72页 思考讨论完成。

活动三：勾股定理应用：例：在Rt △ABC 中，∠C=90,AB=17,BC=8,求AC 的长。

解：由勾股定理，得222A CBC A B +=222222217815A CA B B CA C AB BC ∴=-∴=-=-=自主练习：已知在Rt △ABC 中，∠A=9（1） 若AB=8,BC=10,求AC 的长。

（2） 若AC=12,AB=13,求BC 的长 （3） 若∠C=30,BC=16求AB,AC 的长ACB（4）若∠C=45，BC=16求AB,AC的长勾股定理的逆定理(第一课时)班级＿＿＿姓名＿＿＿＿教学目标：1，让学生理解勾股定理的逆定理的内容。

2，让学生理解命题和逆命题的关系。

3，让学生理解勾股数的含义。

18.1.1勾股定理（1）
18.1.1勾股定理（1）学案
学习目标：1.知道勾股定理的内容，体验定理的探索过程，会利用拼图验证勾股定理. 2.能利用勾股定理，已知直角三角形的两边求第三边的长. 学习重点：探索和验证勾股定理 学习过程： 任务一：（1）观察下面两幅图，完成表格.
（2）通过表格中的数据得到A 、B 、C 面积之间的数量关系是
由此猜想：如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么a 、b 、c 之间的关系是 （3）你能通过拼图，利用面积相等验证你的猜想吗？
提示：用课前准备的4个直角三角形你能拼出一个以斜边c 为边长的正方形，并求出
这个大正形的面积。

（注意：中空部分的面积也算）
一知识梳理： 二.知识运用：
1.在Rt △ABC ，∠C=90°（1）若a=b=5,则c=
（2）若a=1,c=2, 则b= （3）若c=17,b=8, 则a= .
2.(1)若一个直角三角形的两直角边分别为3和4，则第三边的长为多少？
(2）若一个直角三角形的两条边长分别为3和4，则第三边的长为多少？
3、已知：如图，等边△ABC 的边长是6cm.
⑴求等边△ABC 的高。

⑵求S △ABC
D B A。