第十八章勾股定理全章导学案

第十八章 勾股定理第一课时 勾股定理的内容、应用1.我国古人把非等腰的直角三角形称为勾股形，他们把较短的直角边称为“勾”，把较长的直角边称为 。

斜边称为： 。

2.我们现在学习的勾股定理在西方数学中称为： 定理，因为他们以为这个定理是由古西腊数学家 先发现在，但我国古人先于西方两百多年前在<<周髀算经>>中就发现了直角三角形的一种特殊的三边关系：称其为：“勾3股4弦5”3.真正对直角形三边关系有所正明的是我国汉代数学家 他在对<<周髀算经>>进行注解时，对这个关系进行了证明，他的这种对定理的证明方法被世界公认为400多种证明方法中最巧妙的方法之一。

4.赵爽弦图充分的体现了我们古人在对勾股定理的证明上做出的不可磨灭的贡献，当然它也是我们数学的标志，在2002年 数学家大会上，作为会徽出现，我们的每本中学数学课本的封面也是以它为体材，因此可见它在我们国人心中的位置是不可才替代的。

5.勾股定理：直角三角形 等于 。

几何语言表述：如图，在Rt ΔABC 中，∠C ＝ 90°。

则：___________2+___________2=___________2若BC=a ，AC=b ，AB=c ，则上面的定理可以表示为：___________________。

练习：如图，已知在Rt △ABC 中，∠C=90°， ①若a=3，b=4，则c=________ ②若a=5，c=13，则b=________③若b =1，c =4，则c=________ ④若4:3:=b a ，10=c ，则=a ，=b .5.同学们在学习的时候需注意：三角形的角和边的标记方法，在Rt △ABC 中，∠B=900，；则b 应该为斜边，而a 和c 应该为直角边。

一、选择题(每小题5分，共25分)1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝12，b ＝16，则c 的长为（ ）.A ．26B ．18C ．20D ．212．在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为（ ）.A ．3B ．4C ．5D ．73在△ABC 中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是（ ）A ．BC 2=AB 2+AC 2; B ．AB 2=AC 2+BC 2; C ．AB 2=BC 2-AC 2;D ．AC 2=BC 2-AB 24．一直角三角形的斜边长比一条直角边大2，另一条直角边长为6，则斜边长为（• ）A ．4B ．8C ．10D ．12a b c BC A5．下面四组数中是勾股数的有（ ）（1）1.5，2.5，2 （2）2，2，2（3）12，16，20 （4）0.5，1.2，1.3A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组6．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，•小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为（• ）A ．0.7米B ．0.8米C ．0.9米D ．1.0米7．若一直角三角形两边的长为12和5，则第三边的长为（ ）A ．13B ．13或119C ．13或15D ．158．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）A ．2，3，4B ．3，4，6C ．5，12，13D ．4，6，79．如图18-8所示，要在离地面5•米处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若要考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L 1=5.2米，L 2=6.2米，L 3=7.8米，L 4=10米四种备用拉线材料中，拉线AC 最好选用（ ）A ．L 1B ．L 2C ．L 3D ．L 45mBCA D10、如图，一只蚂蚁沿边长为a 的正方体表面从顶点A 爬到顶点B ，则它走过的路程最短为（ ）（A ）a 3 （B ）a )21(+ （C ）a 3 （D ）a 5二．填空题11、等腰Rt △ABC 中，底边长为２，则腰长为 ，面积为 。

C ABD1、一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则斜边的长为 。

2、一个直角三角形的两边长分别为5cm 和12cm,则第三边的为 。

3、一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ） A ．斜边长为25 B ．三角形周长为25 C ．斜边长为5 D ．三角形面积为204、已知，如图在ΔABC 中，AB=BC=CA=2cm ，AD 是边BC 上的高． 求 ①AD 的长；②ΔABC 的面积．5、如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15，DB ＝9。

(1)求DC 的长。

(2)求AB 的长。

6、已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。

图18.2-3 学习目标：1.进一步掌握勾股定理的逆定理，并会应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形，能够理解勾股定理及其逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围。

2.培养逻辑推理能力，体会“形”与“数”的结合。

重点：勾股定理的逆定理难点：勾股定理的逆定理的应用一、自学导航已知：如图，四边形ABCD ，AD ∥BC ，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。

求：四边形ABCD 的面积。

归纳：求不规则图形的面积时，要把不规则图形 二、互动冲浪 1.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？2．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。

小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°。

三、当堂检测1、若△ABC 的三边a 、b 、c ，满足（a －b ）（a 2＋b 2－c 2）=0，则△ABC 是（ ）A ．等腰三角形；B ．直角三角形；C ．等腰三角形或直角三角形；D ．等腰直角三角形。

第十八章勾股定理第1课时——勾股定理(1一、教学目标:1、能用几何图形的性质和代数的计算方法探索勾股定理;2、知道直角三角形中勾、股、弦的含义,能说出勾股定理,并用式子表示;3、能运用勾股定理理解用关直角三角形的问题。

二、教学重点:知道直角三角形中勾、股、弦的含义,能说出勾股定理,并用式子表示。

教学难点:能用几何图形的性质和代数的计算方法探索勾股定理; 三、学习过程:(一导入:勾股定理的探究:1、利用几何图形的性质探索勾股定理: 探索一:剪4个与图1完全相同的直角三角形, 再将它们拼成如图2所示的图形。

大正方形的面积可以表示为: ; 又可以表示为。

∵两种方法都是表示同一个图形的面积∴ = 即 = ∴222=+(用字母表示2、将图2沿中间的正方形的对角线剪开, 得到如图所示的梯形:直角梯形的面积可以表示为: ;三个直角三角形的面积和可以表示为: ;利用“直角梯形的面积”与“三个直角三角形的面积和”的关系,可以得到:= + + ∴ = 即 = ∴222=+(用字母表示3、利用代数的计算方法探索勾股定理:探索一:如图一,观察图中用阴影画出的三个正方形(每一个小方格的边长为1∵21S S += ,3S = ; ∴ = 即:=+(用字母表示A 探索二:利用右图画出一个两条直角边分别为AC=3厘米、BC=4厘米的直角三角形, (1用刻度尺量出斜边的长AB= 厘米, (2计算: 22BC AC += = 2AB = = 即:=+(用字母表示3、勾股定理:如果直角三角形的两直角边长分别为a ,b ,斜边长为c ,那么。

公式变形: c 2= , a2= , b2=(二讲授新课:勾股定理的应用: 例1. 在Rt △ABC 中,∠C =90°.(1 已知a =6, b =8,求c ; (2 已知a =2, c =5, 求b . 解:(1在ABC Rt ∆ 中,根据勾股定理,c2= = =∴c =(2在ABC Rt ∆ 中,根据勾股定理,b2= = =∴b =(三课堂练习:1、在Rt △ABC 中,∠C =90°.(1 已知 a =3,b =4,求c ; (2 已知c =10, a =6,求b. 解:(1在ABC Rt ∆ 中,根据勾股定理, (2在ABC Rt ∆ 中,根据勾股定理, ∴c 2= = = ∴b 2= = = ∴c = ∴ b = 2.求下列图中直角三角形的未知边。

新世纪教育网精选资料版权全部@新世纪教育网第十八章勾股定理勾股定理（ 1）主备人：初审人：终审人：【导学目标】1. 能用几何图形的性质和代数的计算方法研究勾股定理.2. 知道直角三角形中勾、股、弦的含义，能说出勾股定理，并用式子表示.3. 能运用勾股定理理解用关直角三角形的问题.【导学要点】知道直角三角形中勾、股、弦的含义，能说出勾股定理，并用式子表示.【导学难点】用拼图的方法考证勾股定理.【学法指导】研究、发现 .【课前准备】查阅相关勾股定理的文化背景资料.【导学流程】一、体现目标、明确任务1. 认识勾股定理的文化背景，体验勾股定理的研究过程.2. 认识利用拼图考证勾股定理的方法.3. 利用勾股定理，已知直角三角形的两边求第三边的长.二、检查预习、自主学习1. 着手画画、着手算算、动脑想一想.在纸上作出边长分别为:（1） 3、 4、5（2） 6、 8、10的直角三角形，且动笔算一下，三条边长的平方有什么样的关系，你能猜想一下吗？2.借图说明(1)察看课本 P64 页图，思虑：等腰直角三角形有什么性质吗？你是如何获得的？它们(2)在 P65 页图中的三个直角三角形中，能否仍知足这样的关系？若能，试说明你是如何求出正方形的面积？3.有什么结论？三、问题导学、展现沟通阅读 P65 页用拼图法证明勾股定理的内容，弄懂面积关系.四、点拨升华、当堂达标1.研究 P66 页“研究 1”.在 Rt△ ABC中，依据勾股定理AC2 = 2 + 2 因为AC=5 ≈2.236，所以AC木板宽，所以木板从门框内经过 .2.议论《配套练习》 P24 页选择填空题 .五、部署预习预习“研究2”，达成 P68页的练习 .【教后反省】勾股定理（ 2）主备人：初审人：终审人：【导学目标】1. 能运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实质问题.2. 经过例题的剖析与解决，感觉勾股定理在实质生活中的应用.【导学要点】运用勾股定理解决实质问题.【导学难点】勾股定理的灵巧运用.【学法指导】察看、概括、猜想.【课前准备】数轴的知识【导学流程】一、体现目标、明确任务1. 能运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实质问题.2. 经过例题的剖析与解决，感觉勾股定理在实质生活中的应用.二、检查预习、自主学习1.展现 P66 页“研究 2”，达成填空 .2.研究 P68 页“研究 3”.提示：两直角边为 1 的等腰直角三角形，斜边长为多少？斜边为 5 的等腰直角三角形，直角边能够为多少？三、问题导学、展现沟通1.展现上边的研究成就 .2. 研究 P68 页的课文，弄懂无理数在数轴上的表示方法.四、点拨升华、当堂达标1. 达成练习题 .2. 填空题⑴在 Rt△ABC，∠C=90°，a =8，b =15，则c =.⑵在 Rt△，∠ =90°， a =3，b =4，则c =.ABC B⑶在 Rt△ABC，∠C=90°，c =10，a： b=3：4，则a = ， b = .⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为.⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和 5cm，，则第三边长为.3.达成《配套练习》 P25 页选择填空题 .六、部署预习预习习题 18.1 中 1— 5 题.【教后反省】练习课主备人：初审人：终审人：【导学目标】1. 持续运用勾股定理的数学模型解决实质问题.2. 经过例题的剖析与解决，感觉勾股定理在实质生活中的应用.【导学要点】运用勾股定理解决实质问题.【导学难点】勾股定理的灵巧运用.【学法指导】察看、概括、猜想.【课前准备】数的开方运算.【导学流程】一、体现目标、明确任务持续运用勾股定理的数学模型解决实质问题.二、检查预习、自主学习分小组展现预习成就.三、教师指引解说习题 18.1 中 10 题 .1.一个剖面图，如何抽象成一个几何图形？2.直角三角形在什么地方？3.在直角三角形中，已知哪些边长？4.若设芦苇的长为 x ，还能够表示哪些线段？5.在这个直角三角形中利用勾股定理能够列一个如何的式子？四、问题导学、展现沟通1.展现上边的议论结果 .2.议论达成 7，8 题 .五、点拨升华、当堂达标议论 9题.六、部署预习预习下一节，阅读例 1 前面的课文，达成练习 1.【教后反省】勾股定理的逆定理（ 1）主备人：初审人：终审人：【导学目标】1．领会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理.2．研究勾股定理的逆定理的证明方法.3．理解原命题、抗命题、逆定理的观点及关系.【导学要点】掌握勾股定理的逆定理及证明.【导学难点】勾股定理的逆定理的证明.【学法指导】发现法、练习法、合作法【课前准备】三角形全等 .【导学流程】一、体现目标、明确任务1．领会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理.2．研究勾股定理的逆定理的证明方法.3．理解原命题、抗命题、逆定理的观点及关系.二、检查预习、自主学习下边的三组数分别是一个三角形的三边长 a ,b, c .5、12、13 7、24、258、15、17（ 1）这三组数知足a2 b 2 c2吗？（ 2）分别以每组数为三边长作出三角形，用量角度量一量，它们都是直角三角形吗？假如三角形的三边长 a 、b、 c ，知足a2 b 2 c2 ，那么这个三角形是三角形 . 问题二：命题1：, 命题 2：.命题 1 和命题 2 的和正好相反，把像这样的两个命题叫做命题，假如把此中一个叫做，那么另一个叫做.三、教师指引1.说出以下命题的抗命题，这些命题的抗命题建立吗？⑴同旁内角互补，两条直线平行 .⑵假如两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等.⑶线段垂直均分线上的点到线段两头点的距离相等.⑷直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半.四、问题导学、展现沟通自学 P74 页例 1.五、点拨升华、当堂达标1．达成习题 18.2 中 1—3 题 .2．以下三条线段不可以构成直角三角形的是（）A．8，15，17 B ．9， 12，15C5，3，2 D．a： b ：c =2 3 4．：：3.达成练习 2.六、部署预习1.达成《配套练习》 P29 页选择填空题 .2.预习下一节，弄懂方向角的表示.3.达成练习 3.【教后反省】勾股定理的逆定理（ 2）主备人：初审人：终审人：【导学目标】1．灵巧应用勾股定理及逆定理解决实质问题.2．进一步加深性质定理与判断定理之间关系的认识.【导学要点】灵巧应用勾股定理及逆定理解决实质问题. 【导学难点】灵巧应用勾股定理及逆定理解决实质问题.【学法指导】抽象、迁徙 . 【课前准备】勾股定理的逆定理 . 【导学流程】一、体现目标、明确任务1．灵巧应用勾股定理及逆定理解决实质问题 .2．进一步加深性质定理与判断定理之间关系的认识.二、检查预习、自主学习2. 边长分别是 a, b, c 的△ ABC ，以下命题是假命题的是（ ） .A 、在△ ABC 中，若∠B =∠C - ∠ A ，则△ ABC 是直角三角形；B 、若 a 2b c b c ，则△ ABC 是直角三角形；C 、若∠ A ︰∠ B ︰∠ C =5︰ 4︰ 3，则△ ABC 是直角三角形；D 、若 a : b : c 5 : 4 : 3 ，则△ ABC 是直角三角形 .3. 在△ ABC 中，∠ C =90°，已知 a : b 3 : 4 , c 15 ，求 b 的值 .4. 展现练习 3. 三、教师指引 例 1（P75 例 2） 剖析：⑴认识方向角，及方向名词；⑵依题意画出图形；⑶依题意可得 PR =12× 1.5=18 ， PQ =16× 1.5=24 ， QR =30；⑷由于 24 22 2 2 2 2的逆定理，知∠ QPR =90°； +18 =30 ，PQ +PR =QR ，依据勾股定理 ⑸∠ PRS =∠ QPR -∠ QPS =45° .四、问题导学、展现沟通一根 30 米长的细绳折成 3 段，围成一个三角形，此中一条边的长度比较短边长 7 米，比较长边短 1 米，请你试判断这个三角形的形状.⑴若判断三角形的形状，先求三角形的三边长； ⑵设未知数列方程，求出三角形的三边长5、12、 13；⑶依据勾股定理的逆定理，由 52+122=132，知三角形为直角三角形 .五、点拨升华、当堂达标o，AB =3，1. 如图， AB ⊥ BC 于点 B ，DC ⊥ BC 于点 C ，点 E 是 BC 上的点，∠ BAE =∠ CED =60 CE =4. A 求：① AE 的长 . ② DE 的长 . ③ AD 的长（提示：先证△____是直 角三角形） .2. 达成《配套练习》 P30 页选择填空题 .六、部署预习BDC【教后反省】练习课主备人： 初审人：终审人：【导学目标】1. 掌握勾股定理及其逆定理， 并会运用定理解决简单问题， 会运用勾股定理的逆定理判断直角三角形；2. 认识抗命题、逆定理的观点，知道原命题建立其抗命题不必定建立.【导学要点】掌握勾股定理及其逆定理，并会运用定理解决简单问题.【导学难点】认识抗命题、逆定理的观点，知道原命题建立其抗命题不必定建立 .【学法指导】抽象、迁徙 . 【课前准备】勾股定理的逆定理 . 【导学流程】一、体现目标、明确任务1. 掌握勾股定理及其逆定理， 并会运用定理解决简单问题，会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；2. 认识抗命题、逆定理的观点，知道原命题建立其抗命题不必定建立二、检查预习、自主学习 分小组展现预习成就 .三、教师指引如图，在四边形 ABCD 中，∠ D =90°，AB =12，CD =3，DA =4，=13, 求 S 四边形 ABCD .BC剖析：D由于∠ =90°，可连结AC 构成直角形，由勾股定理求D出 AC ，这样在△ ABC 中，三边均知道大小，利用勾股定理可 以判断三角形的形状， 再用两个三角形的面积求出 S.四边形 ABCD四、问题导学、展现沟通 议论上边的问题，再展现沟通 .五、点拨升华、当堂达标议论《配套练习》 P29 页 5— 7 题和 P31 页 6， 7 题 . 六、部署预习.CBA1. 议论《配套练习》节余题目.2.预习复习题十八， 1—3 题 .【教后反省】小结（ 1）主备人：初审人：终审人：【导学目标】1.掌握勾股定理及其逆定理，并能解决简单问题，会运用勾股定理的逆定理判断直角三角形；2. 认识抗命题、逆定理的观点，知道原命题建立其抗命题不必定建立.【导学要点】掌握勾股定理及其逆定理，并会运用定理解决简单问题.【导学难点】认识抗命题、逆定理的观点，知道原命题建立其抗命题不必定建立.【学法指导】转变和数形联合.【课前准备】复习本章内容.【导学流程】一、体现目标、明确任务1. 用勾股定理及其逆定理解决简单问题；2. 认识抗命题、逆定理的观点.二、检查预习、自主学习展现预习成就.三、教师指引本章知识构造：实质问题勾股定理（直角三角形连长计算）互逆定理实质问题勾股定理的逆定理（判断直角三角形）四、问题导学、展现沟通1.直角三角形三边的长有什么关系？2. 已知一个三角形的三边，可否判断它是直角三角形？举例说明.3. 假如一个命题建立，那么它的抗命题必定建立吗？举例说明.4.如图，已知 P 是等边三角形 ABC内上点， PA=5，PB=4， PC=3，求∠ PBC. A四、问题导学、展现沟通提示：假如三角形的三条边分别是三、四、五，那么这个三角形必定是直角三角形. 但此题长为3，4，5 的三条线P段不在同一个三角形中，联想到等边三角形的性质，可以将△ APC绕点 C旋转获得△ BCP′.B C五、点拨升华、当堂达标1. 议论达成“复习题18”中 4—7题 .P'4 题，可先设每份为k ，再用勾股定理的逆定理.5 题，不建立的需举反例 .6 题，能够数单位面积的正方形个数.7 题，直接用勾股定理 .2.议论 8，9 题.六、部署预习预习下一章 .。

人 教 版 八 年 级（下）数 学 导 学 案学校：凤凰一中 授课教师：班 组 学生姓名课题：§18.1 勾股定理（1）1、 了解毕达哥拉斯及《勾股定理》的内容，学会用多种拼图方法验证勾股定理，感受解决同一个问题方法的多样性。

2、 通过实例进一步了解勾股定理，能应用勾股定理进行简单的计算，感受勾股定理的应用价值。

1、 准备四个全等的直角三角形纸片（标出两直角边a 、b 和斜边c ），并专心阅读课本P62——P66内容.2、 利用所准备的三角形纸片进行拼图，从面积相等的角度列出等式，对该等式进行变形得出一个最简结果，尝试对该结果用语言进行表述.3、 看看自已的同伴有哪些拼图？有哪些可以借鉴的地方？三、知识导航与回顾：（用学过的知识完成下列填空）①含有一个 的三角形叫做直角三角形. ②已知R t △ABC 中的两条直角边长分别为a 、b ,则S △ABC ＝ . ③已知梯形上下两底分别为a 和b ，高为（a ＋b ），则该梯形的面积为 . ④完全平方公式：（a ±b ）2＝ .⑤在R t △ABC 中，已知∠A ＝30°，∠C ＝90°，直角边BC ＝1，则斜边AB ＝ . 四、体验学习、课本导学（请认真阅读课本P 62～P 66的内容，围绕学案中的问题互学、群学，讨论、 探究吧！记住：知识不会施舍给懒汉哦！）★思考与探究1、右边这个人是 （公元前572—前492年），他是古希腊著名的 .2、我国古代所讲的“勾、股、弦”分别指的是 R t △的. 3、2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽形如以下三个图中的 ，它是由四个 的 所围成的正方形图案﹝赵爽弦图．．．．﹞.显然4个 的面积＋中间小正方形的面积＝该图案的面积. 即4×21× ＋﹝ ﹞2＝c 2,化简后得到 . 这一结果用文字表达为 . 二、怎样学习？一、今天学什么？ 1B 30° □A C4、利用图2，图3或其它拼图仿上述推导，能否得到相同的结果？和同学一起动手试试看！★回顾与归纳1、勾股定理的内容是： .2、勾股定理的作用是： .3、证明勾股定理的主要方法是： . ★尝试与练习1、 如图一，求出斜边AB 的长度＝ ；如图二，求出斜边AB 的长度＝ ；直角边B C 的长度＝ .2、 在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，A C ＝3k ，B C ＝4 k ，求出A B ＝ .3、 已知：如图，在△ABC 中，∠C=60°，AB=34，AC=4，AD 是BC 边上的高，求BC 的长。

第十八章“勾股定理”教材分析：本章主要内容是勾股定理及其逆定理。

首先让学生通过观察得出直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论并加以证明，从而得到勾股定理，然后运用勾股定理解决问题。

在此基础上，引入勾股定理的逆定理，并结合此项内容介绍逆命题、逆定理的概念。

本章教学时间约需8课时，具体安排如下：18．1勾股定理 4 课时18．2勾股定理的逆定理3课时数学活动小结1课时（一）、教科书内容和课程学习目标本章知识结构框图：直角三角形是一种特殊的三角形，它有许多重要的性质，如两个锐角互余，30°的角所对的直角边等于斜边的一半。

本章所研究的勾股定理，也是直角三角形的性质，而且是一条非常重要的性质。

勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大。

它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用。

目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。

据说我国著名数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种“语言”的。

这个事实可以说明勾股定理的重大意义，发现勾股定理，尤其在2000多年前，是非常了不起的成就。

在第一节中，教科书让学生通过观察计算一些直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系，发现两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积，从而发现勾股定理。

勾股定理的证明方法很多，教科书正文中介绍的是一种面积证法。

其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。

在教科书中，图－3（1）中的图形经过割补拼接后得到图－3（3）中的图形。

由此就证明了勾股定理。

通过推理证实命题1的正确性后，教科书顺势指出什么是定理。

勾股定理二
应用勾股定理：数形结合 设计者： 审查者： 日期：2016 年 3 月 7 日
八 年级__数学 课题： 《
科第 十八 单元（章）导学案 勾股定理三 》
二、合作交流 解读探究 例 1（教材 P74 页探究 1）明确如何将实际问题转化为 数学问题， 注意条件的转化； 学会如何利用数学知识、 思想、 方法解决实际问题。 个性设计
1、知识与技能：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
教 学 目 标
2、数学思考：进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识
⑷因为 242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理 的逆定理，知∠QPR=90°； ⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°。
3、解决问题:判断一个三角形是否为直角三角形
四、小结
假命题是（
）
A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC 是直角三角形。 B．如果 c2= b2—a2，则△ABC 是直角三角形，且∠C=90°。 C．如果（c＋a） （c－a）=b2，则△ABC 是直角三角形。 D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC 是直角三角形。
板书设计：
勾股定理的逆定理
教学 重点 难点 课时安排 教学过程：
1、重点：勾股定理的简单计算 例 2、已知直角三角形的两边长分别为 5 和 12，求第三边。 2、难点：勾股定理的灵活运用 分析：已知两边中较大边 12 可能是直角边，也可能是斜边， 个性设计 因此应分两种情况分别进形计算。 让学生知道考虑问题要全 面，体会分类讨论思想
1、知识与技能：会用勾股定理解决简单的实际问题
教 学 目 标
2、数学思考：实际问题与勾股定理的联系
A
3、解决问题：树立数形结合的思想

振兴初中八年级数学（下）导学案课题：勾股定理课型：新课课时：主备人：李英审核人：编号：SH-8【学习目标】1．了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程。

2．了解利用拼图验证勾股定理的方法。

3．利用勾股定理，已知直角三角形的两边求第三边的长。

【重点难点】重点：探索和体验勾股定理。

难点：用拼图的方法验证勾股定理。

【导学指导】毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家，相传2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的某种特性。

是什么呢？我们来研究一下吧。

阅读教材P64-P66内容，思考、讨论、合作交流后完成下列问题。

1．请同学们观察一下，教材P64图18.1-1中的等腰直角三角形有什么特点？请用语言描述你发现的特点。

2．等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也满足这种特点？你能解决教材P65的探究吗？由此你得出什么结论？3．我们如何证明你得出的结论呢？你看懂我国古人赵爽的证法了吗？动手摆一摆，想一想，画一画，证一证吧。

【课堂练习】1．教材P69习题18.1第1题。

2．求下图字母A，B所代表的正方形的面积。

3．在直角三角形ABC中，∠C=90°，若a=4,c=8,则b= .【要点归纳】本节课你学到了什么知识？还存在什么困惑？与同伴交流一下。

【拓展训练】1．直角三角形的两边长分别是3cm,5cm,试求第三边的长度。

2.你能用下面这个图形证明勾股定理吗？振兴初中八年级数学（下）导学案课题：勾股定理的应用（1） 课型：新课 课时： 主备人：李英 审核人： 编号：SH-8【学习目标】1． 能熟练的叙述勾股定理的内容，能用勾股定理进行简单的计算。

2． 运用勾股定理解决生活中的问题。

【重点难点】重点：运用勾股定理进行简单的计算。

难点：应用勾股定理解决简单的实际问题。

【导学指导】 复习旧知：1． 什么是勾股定理？它描述了直角三角形中的什么的关系？2． 求出下列直角三角形的未知边。

第十八章勾股定理课题 18.1 勾股定理课时：4课时第一课时勾股定理【学习目标】1．了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程。

2．了解利用拼图验证勾股定理的方法。

3．利用勾股定理，已知直角三角形的两边求第三边的长。

【重点难点】重点：探索和体验勾股定理。

难点：用拼图的方法验证勾股定理。

【导学指导】毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家，相传2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的某种特性。

是什么呢？我们来研究一下吧。

阅读教材P64-P66内容，思考、讨论、合作交流后完成下列问题。

1．请同学们观察一下，教材P64图18.1-1中的等腰直角三角形有什么特点？请用语言描述你发现的特点。

2．等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也满足这种特点？你能解决教材P65的探究吗？由此你得出什么结论？3．我们如何证明你得出的结论呢？你看懂我国古人赵爽的证法了吗？动手摆一摆，想一想，画一画，证一证吧。

【课堂练习】1．教材P69习题18.1第1题。

2．求下图字母A，B所代表的正方形的面积。

3．在直角三角形ABC中，∠C=90°，若a=4,c=8,则b= . 【要点归纳】本节课你学到了什么知识？还存在什么困惑？与同伴交流一下。

【拓展训练】1．直角三角形的两边长分别是3cm,5cm,试求第三边的长度。

2.你能用下面这个图形证明勾股定理吗？第二课时勾股定理的应用（1）【学习目标】1．能熟练的叙述勾股定理的内容，能用勾股定理进行简单的计算。

2．运用勾股定理解决生活中的问题。

【重点难点】重点：运用勾股定理进行简单的计算。

难点：应用勾股定理解决简单的实际问题。

【导学指导】复习旧知：1．什么是勾股定理？它描述了直角三角形中的什么的关系？2．求出下列直角三角形的未知边。

3．在Rt△ABC中，∠C=90°。

（1）已知a:b=1:2,c=5,求a.（2）已知b=6,∠A=30°，求a,c.4．如下图，长方形ABCD中，长AB是4cm，宽BC是3cm，求AC的长。

课题：勾股定理（一）1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

学习重点：勾股定理的内容及证明。

学习难点：勾股定理的证明。

学习过程：（一）、课前预习 1、直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示）（1）两锐角之间的关系：（2）若D 为斜边中点，则斜边中线（3）若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： 2、（1）、同学们画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用 刻度尺量出AB 的长。

（2）、再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长 问题：你是否发现23+24与25，25+212和213的关系，即23+24 25，25+212 213，3、完成65页的探究，补充下表，你能发现正方形A 、B 、C 的关系吗？ 由此我们可以得出什么结论？可猜想：命题1：如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么 。

（二）、勾股定理的证明 1、已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

求证： 222a b c +=证明：4S △+S 小正=S 大正=根据的等量关系： 由此我们得出：勾股定理的内容是： 。

（三）随堂练习1、在Rt △ABC 中，90C ∠=︒ ， （1）如果a=3，b=4，则c=________； （2）如果a=6，b=8，则c=________；（3）如果a=5，b=12，则c=________； (4) 如果a=15，b=20，则c=________. 2、下列说法正确的是（ ）A.若a 、b 、c 是△ABC 的三边，则222a b c +=B.若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则222a b c +=C.若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，90A ∠=︒， 则22a b +D.若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，90C ∠=︒ ，则222a b c += 3、一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ） A ．斜边长为25 B ．三角形周长为25 C ．斜边长为5 D ．三角形面积为20 4、如图,三个正方形中的两个的面积S1＝25，S2＝144，则另一个的面积S3为________．5、一个直角三角形的两边长分别为5cm 和12cm,则第三边的长为 。

18.1勾股定理（1）第一课时学习目标1．了解毕达哥拉斯及《勾股定理》的内容，学会用多种拼图方法验证勾股定理，感受解决同一个问题方法的多样性。

2．通过实例进一步了解勾股定理，能应用勾股定理进行简单的计算，感受勾股定理的应用价值经历勾股定理的探索过程，能熟记定理的内容学习重点：勾股定理的探索和应用.学习难点：勾股定理的探索学习过程：一、课前学习：①含有一个的三角形叫做直角三角形.②已知Rt△ABC中的两条直角边长分别为a、b ,则S△ABC＝ .③已知梯形上下两底分别为a和b，高为（a＋b），则该梯形的面积为 .④完全平方公式：（a±b）2＝ .⑤在Rt△ABC中，已知∠A＝30°，∠C＝90°，直角边BC＝1，则斜边AB＝ .二、流程一：1．准备四个全等的直角三角形纸片（标出两直角边a、b和斜边c），并专心阅读课本P63—P66 2．利用所准备的三角形纸片进行拼图，从面积相等的角度列出等式，对该等式进行变形得出一个最简结果，尝试对该结果用语言进行表述.3.在我国古代，人们将直角三角形中_____________叫做勾，______________叫做股，_______叫做弦.4.（1）能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？结论1：（2）观察下面两幅图：（2）填表：（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流．3.猜想命题：如果直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么________________三、课堂学习：1.已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证：222 a b c+=证明：根据的等量关系：4S△+S小正=S大正= 由此我们得出：2.归纳定理：直角三角形两条_______的平方和等于_____的平方.如果直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么_________________四、发现总结：1、右边这个人是（公元前572—前492年），他是古希腊著名的.2、我国古代所讲的“勾、股、弦”分别指的是Rt△的 .3、2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽形如以下三个图中的，它是由四个的所围成的正方形图案﹝赵爽弦图．．．．﹞.显然4个的面积＋中间小正方形的面积＝该图案的面积.即4×21×＋﹝﹞2＝c2,化简后得到 .这一结果用文字表达为 .利用图2，图3或其它拼图仿上述推导，能否得到相同的结果？和同学一起动手试试看！五、巩固提高：1、如图，求出斜边AB的长度＝；如图，已知等腰直角三角形斜边AC的长度＝4；求出直角边BC的长度＝ .2、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＝3k，BC＝4 k，求出AB＝ .3、已知：如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=34，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长。

18.1 勾股定理（1）学教目标：1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发爱国热情，勤奋学习。

学教重点：勾股定理的内容及证明。

学教难点：勾股定理的证明。

学生预习疑问（教师学情分析）：学教过程：一、预习新知（阅读教材第64至66页，并完成预习内容。

） 1、正方形A 、B 、C 的面积有什么数量关系？2、以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的大正方形的面积之间有什么关系？归纳：等腰直角三角形三边之间的特殊关系。

(1)那么一般的直角三角形是否也有这样的特点呢？(2)组织学生小组学习，在方格纸上画出一个直角边分别为3和4的直角三角形，并以其三边为边长向外作三个正方形，并分别计算其面积。

(3)通过三个正方形的面积关系，你能说明直角三角形是否具有上述结论吗？(4)对于更一般的情形将如何验证呢？ 二、课堂展示 方法一；如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形，利用面积证明。

S 正方形＝_______________＝____________________方法二；已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

求证：a 2＋b 2=c 2。

分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。

左边S=______________ 右边S=_______________左边和右边面积相等， 即 化简可得。

方法三：以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于21ab.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于21c 2.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴. ∠DAE=∠EBC ∴ AD ∥BC.∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于_________________归纳：勾股定理的内容是 。

课题：18.1 勾股定理（第1课时）【学习目标】：1．体验探究直角三角形三边关系的过程，学会观察生活；2．会计算格点三角形中的各正方形的面积，会用面积法验证勾股定理；3．能用勾股定理解决一些简单的问题．【教学准备】：每个小组准备4个全等的直角三角形纸片.【活动过程】：活动一探索直角三角形的三边关系阅读课本P64－P65的探究，自主完成下列问题（完成后，小组合作交流，推选代表将成果展示）．1．在等腰直角三角形中，以两条直角边为边长的正方形面积之和，与以斜边为边长的正方形面积之间有什么关系？2．利用图18.1-2的方格纸求出正方形A，B，C和A′，B′，C′的面积，并说明求面积的方法．S A= ，S B = ，S C = ，则＋＝；S A′ = ，S B′ = ，S C′ = ，则＋＝．3．由1、2中的面积关系，猜想：如果直角三角形中两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么．活动二验证直角三角形的三边关系每个小组利用发给的四个全等的直角三角形，借鉴上面计算以斜边为边长的正方形面积的方法进行拼图，来验证你的猜想，并把小组拼图的结果以及验证的过程展示在小组的小黑板上（小组合作完成）．活动三运用勾股定理求解(自主完成后小组交流展示)1．在Rt△ABC中，∠C=90°．（1）a=3，b=4，则c= ；（2）a=6，c=7，则b= ；（3）b=40，c=41，则a= ．思考：○1求解时有什么注意点？○2计算有何技巧？2．如图，由于受台风“莫拉克”影响，一棵树在离地面4m处断裂，树的顶部倒在离根底部3m处，这棵4m树被折断前有多高？（提示：在图中标出适当的字母，写出解题过程）谈谈你的学习收获课堂练习：1．在Rt△ABC 中，∠C =90°．（1）已知a=b =5，则c = ；（2）已知a =1，c =2，则b = ；（3）已知c =17，b =8，则a = ．2．如图，在Rt△ABC 中，∠C =60°，AC =4，求边BC 和边AB 的长．课题：18.2 勾股定理（第2课时） 第2题图 CB A【学习目标】：会运用勾股定理解决一些简单的实际问题【活动过程】活动过程：活动一运用勾股定理解决生活中的问题1. 阅读课本P66－P67的探究1结束，思考并回答下列问题：○1木板横着放或者竖着放，是否能从门框内通过？如果不能的话，请想一个办法设法把木板通过门框.○2在你想的办法中就是要比较门框的与木板的作比较，你怎样求的？（在组内交流个人想法和求法）（写出你的基本步骤）2. 自主完成下列问题（完成后，小组合作交流，推选代表把成果展示到小黑板上）．有一个边长为50dm的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长（结果保留整数）？活动二运用勾股定理解决生活中的问题1.阅读课本P66－P67的探究2结束，思考并完成下列问题：○1在梯子下滑过程中，梯子长度改变吗？○2在运算过程中，会次用到勾股定理，可以分别求出和，在用减去就可以求出BD的长.③通过本题的学习，你在解题方法方面有什么收获.（在组内说一说）2.自主完成下列问题（完成后，小组合作交流，把解题过程展示到小黑板上）．如下图○1，一个梯子AB长为2.5m,顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5m.如图○2，梯子滑动后停在DE位置上，测得BD长为0.5m,求梯子顶端A下滑了多少米？谈谈你的学习收获课堂练习： 有一个10m 长的梯子AB 如图放置，已知BH=8m ，在B 下方1m 的C 处有一个钉子.现在梯子突然下滑，幸好被钉子挡住.在HA 的延长线上的D 处有一个花盆，已知AD=1.1m ，问：这次梯子下滑会碰到花盆吗？为什么？A BH E CD课题：18.1勾股定理（第3课时）【学习目标】：1．利用勾股定理在数轴上描出表示无理数的点2．会用勾股定理解决其它非直角三角形中的简单问题【活动过程】：活动一利用勾股定理在数轴上描出表示无理数的点阅读课本P68－P69的探究3结束，自主完成下列问题（完成后，小组合作交流，推选代表把成果展示到小黑板上）．1.5可以写成哪两个正整数的平方和？以5为斜边的直角三角形，其直角边长度为正整数，则直角边长可以是；在数轴上画出表示5的点.2.在数轴上作出表示17的点17 的点在哪里吗？3. 在上面2中，你知道表示—17和2活动二用勾股定理解决其它非直角三角形中的问题(自主完成后小组交流展示解题过程)1.完成书本69页练习22．已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，且AB=6，AD=3，求BC的长.课堂练习：1. 在数轴上作出表示20的点2．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积.（画出图形，标上字母，写出解题过程）3在△ABC 中，AB ＝15,AC ＝20,BC 边上的高AD ＝12,试求BC 的长（画出图形，标上字母，写出解题过程）课题：18.2勾股定理的逆定理（第1课时） A C DB【学习目标】：1．经历根据三角形的三边的数量关系判断直角三角形的探究过程；2．能用勾股定理的逆定理解决一些简单的问题．【活动过程】：活动一 经历根据三角形的三边的数量关系判断直角三角形的探究过程阅读课本P73－P74的探究结束，自主完成下列问题（完成后，小组合作交流，推选代表展示成果）．1.由古埃及人画直角的方法猜想：如果一个三角形的三边为3、4、5，有这个关系“222543=+”，那么这个三角形是 三角形.2.因为2221086=+，所以实践画一个三角形.三边分别为6cm,8cm,10cm ，看看它是什么形状的三角形？3．由1、2中动手发现，猜想：如果三角形的三边长a ，b ， c 满足222c b a =+，那么这个三角形是 三角形.活动二 验证活动一的探究过程(写出验证的过程展示在小组的小黑板上,小组合作完成）．阅读课本74页探究，回答以下问题：1． 在△A′B′C′中，你能求出A′B′与AB 的关系吗？怎样求的？从而得出△ABC 与 △A′B′C′有什么关系？得出∠C′与∠C 的大小关系是什么？2. 证实活动一中的猜想成立：如果三角形的三边长a ，b ， c 满足222c b a =+，那么这个三角形是 三角形.（注意：哪个角是直角）活动三 运用勾股定理的逆定理求解(自主完成后小组交流展示)1. 判断由线段a ，b ，c 组成的三角形是不是直角三角形（说说你的判断方法，比一比哪个小组方法好！）（1） a ＝15, b ＝8, c ＝17;（2） a ＝13, b ＝14, c ＝15.（3） a =15， b=20， c=25.2. 在△ABC 中，AB=13cm, AC=24cm, 中线BD=5cm,求证△ABC 是等腰三角形（画出图形，写出解题过程）谈谈你的学习收获课堂练习：1.根据下列条件，分别判断a,b,c 为边的三角形是不是直角三角形（1）a =7,b=24,c=25; (2) a =32,b=1,c=322.书本76页习题18.2第4题和第5题.课外练习：若△ABC的三边a，b，c满足条件a 2+b2+c2+338=10 a +24b+26c，试判定△ABC的形状．课题：18.2勾股定理的逆定理（第2课时）【学习目标】：1．知道原命题与逆命题的关系，会写一个命题的逆命题2．会用勾股定理的逆定理解决一些简单的问题．【活动过程】：活动一知道原命题与逆命题的关系，会写一个命题的逆命题阅读课本P73－P74，关于原命题与逆命题的知识，自主完成下列问题1.在原命题与逆命题上画出关键字，找出原命题与逆命题的关系；2.说出下列命题的逆命题.这些命题的逆命题成立吗？（1）两条直线平行，内错角相等；（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；（3）全等三角形的对应角相等；（4）到角两边距离相等的点在角的平分线上.活动二用勾股定理的逆定理解决一些简单的问题1. 一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状.2.某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？（写出解题过程,展示在黑板上）谈谈你的学习收获课堂练习：1.写出下列命题的逆命题.判断命题的逆命题是否成立.（1）同旁内角互补，两直线平行；（2）如果两个角是直角，那么它们相等；（3）全等三角形的对应边相等；（4）如果两个实数相等，那么它们的平方相等.2. 如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截.已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向？NCEA B课题：18.2勾股定理的逆定理（第3课时）【学习目标】：综合应用勾股定理及逆定理解题.【活动过程】：活动一会灵活应用勾股定理及逆定理解题（完成后，小组交流）1.⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a =8，b=15，则c= .⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a =3，b=4，则c= . ⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a ：b=3：4，则a= ，b= .(4)已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，，则第三边长为 （把这题的解题过程展示到黑板上）2.（1）已知01086=-+-+-z y x ，则由此z y x ,,为三边的三角形是 三角形.（2）三角形的三边长为3、4、5，则其面积为 .（3）△ABC 中，AB=13cm, BC=10cm, BC 边上的中线AD=12cm,求AC （画出图形，把这题解题过程展示在黑板上）活动二 加深勾股定理与逆定理之间的关系如图，在四边形ABCD 中，∠B=90°,AB=1, BC=1, DC=3, AD=5, 试求∠DCB 的大小.(自主完成后小组交流，把过程展示在黑板上)谈谈你的学习收获课堂练习：1.在Rt△ABC，∠C=90°，⑴如果a =7，c=25，则b= .⑵如果∠A=30°，a =4，则b= .⑶如果∠A=45°，a =3，则c= .（4）如果b=8，a：c=3：5，则c=2．若△ABC的三边a、b、c，满足a：b：c=1：1：2，试判断△ABC的形状.3．若△ABC的三边a、b、c满足a 2+b2+c2+50=6 a +8b+10c，求△ABC的面积.【此题选做】课题：第十八章勾股定理复习【学习目标】：1.会勾股定理的简单计算；2.灵活运用勾股定理解决简单实际问题.【活动过程】：活动一会勾股定理的简单计算（自主完成后小组交流）1.下图阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 cm2．2．下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（）．A．6，7，8 B．5，6，7 C．4，5，6 D．3，4，53．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是＿＿＿cm2．4．若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为（）．A．3cm2 B．2 cm2 C．3 cm2D．4cm25．直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高为（）A ．6cmB ．8．5cmC ．1330cm D ．1360cm 6.已知一个Rt△ABC 的两边长分别为3和4，则第三边长是 ；7.在Rt△ABC 中， a ，b ，c 分别是三条边，∠B =90°，已知a =6，b =10，求边长c ．活动二 会运用勾股定理解决简单问题（写出解题过程，小组交流后展示）1. 有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺．求竹竿高与门高．2. 如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8m 处，已知旗杆原长16m ，你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗？请你试一试．3.如图所示，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2m ，梯子的顶端B 到地面的距离为7m ．现将梯子的底端A 向外移动到A ′,使梯子的底端A ′到墙根O 的距离为3m ，同时梯子的顶端B 下降到B ′，那么BB ′也等于1m 吗?8mO B ′ B A A ′4. 在△A BC 中，三条边的长分别为a ，b ，c ，a ＝n 2－1，b ＝2n ，c ＝n 2+1(n ＞1，且n 为整数)，这个三角形是直角三角形吗？若是，哪个角是直角？【此题选做】勾股定理自测题一、填空题(每题3分，共24分)1. 在△ABC 中，∠B=90°，a=3,c=4,则b= .2. 在Rt△ABC，∠C=90°，如果b=8，a ：c=3：5，则c= .3. 已知等边三角形的边长为2cm ，则它的高为 ，面积为 .4. △ABC 中，AB=AC=25cm ，高AD=20cm,则BC= ，S △ABC =5. △ABC 中，若∠A=2∠B=3∠C，AC=32cm ，则∠A= 度，∠B= 度,∠C= 度，BC= ，S △ABC = .6. 已知0435=-+-+-Z y x ,则由此x,y,z 为边的三角形是 三角形.7. 直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长为 .8. 一个圆柱状的杯子，由内部测得其底面直径为4cm,高10cm ，现有一支12cm 的吸管任意斜放于杯中，则吸管 露出杯口（填“能”或“不能”）.二、选择题（每题3分，共18分）9.下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ ）．A . 6,7,8 B. 5,6,7 C. 4,5,6 D. 3,4,510.下列各命题的逆命题成立的是（ ）A. 全等三角形的对应角相等B. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等C ．两直线平行，同位角相等 D.如果两个角都是45°，那么这两个角相等.11．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm ，则它的面积是 （ ）A. 60 B . 80 C. 120 D. 24012.直角三角形的两直角边分别为5cm ，12cm ，其中斜边上的高为（ ）A ．6cmB ．8．5cmC ．1330cm D ．1360cm13.一直角三角形的斜边长比直角边大2，另一直角边长为6，则斜边长为（ ）A. 4B. 8 C .10 D .1214. 两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm ，另一只朝左挖，每分钟挖6cm ，10分钟之后两只小鼹鼠相距（ ）A ．50cmB ．100cmC ．140cmD ．80cm三、解答题（共58分）15. 在数轴上找出表示13的点（不要写作图步骤，只要保留作图痕迹）（6分）16. △ABC 的三边分别为AB=12+a ，BC=12-a ，AC=a 2（8分）（1）探究这个三角形是不是直角三角形（2）如果是直角三角形，分析哪个是直角.17.甲、乙两艘轮船于上午8时同时从A 码头分别向北偏东23°和北偏西67°的方向出发，甲轮船的速度为每小时24海里，乙轮船的速度为每小时32海里，则下午1时两船相距多少海里？（8分）18.如图，在平面直角坐标系中，P点在第二象限，OP与y轴的正半轴的夹角为30°，OP=2.求P点的坐标.（8分）19.过直线l外的点A、B作l的垂线，垂足分别为M、N，已知AM+BN=12,MN=5.若一只蚂蚁从A点出发，爬到直线l上的某点迅速向终点B爬行.求蚂蚁爬行的最短距离 .（8分）20.如图，已知正方形ABCD的边长为1，以AE为折痕使点D落在AC上F处，求DE的长.（10分）21.在等边△ABC内有一点P，已知PA=3，PB=4，PC=5.现将△APB绕A点逆时针旋转60°，使P点到达Q点，连PQ，猜想△PQC的形状，并论证你的猜想(10分).。

勾股定理一 学习目标用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用． 二 重点与难点教学重点：了结勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。

教学难点：勾股定理的发现 三 知识连接 四 教学过程 （一） 自主学习观察、欣赏 ：2002年世界数学家大会在我国北京召开，会标中央的图案是一个与“勾股定理” 有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理” 的图来作为与“外星人”联系的信号． 今天我们就来一同探索勾股定理．数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名． （在西方称为毕达哥拉斯定理）（二）自主检测如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离 地面10m 处折断倒下，树顶落在离树根24m 处. 大树在折断之前高多少？（三）合作探究1．探究一： 面积角度观察图形：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和 以斜边为边长的正方形的面积．2．探究二： 由结论1我们想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？ （1）观察下面两幅图：（2）填表：A 的面积（单位面积）B 的面积（单位面积）C 的面积（单位面积）左图 右图（3）你是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流．（（4）分析填表的数据，你发现了什么？结论2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以 边长的正方形的面积．AB CC BA3．议一议：（1）你能用直角三角形的边长a 、b 、c 来表示上图中正方形的面积吗？ （2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度．2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么222c b a =+．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．3．探究三：我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形.图2（1）如图1你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？（先独立思考，再4人小组交流）；（2）你能由此得到勾股定理吗？为什么？(a+b)2= +c 2.并得到222c b a=+）从而利用图1验证了勾股定理. 你还能利用图2验证勾股定理吗？弦股勾图1（四） 课堂检测1、列图形中未知正方形的面积或未知边的长度：2、 小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？五．学习反馈通过这节课的学习，你有什么样的收获？共同畅谈收获.附：纠错台出错题目用到的主要知识点出错原因改正结果?225100x1517勾股逆定理一学习目标探索和应用直角三角形的判别条件.经历勾股定理的逆向思维所推出的勾股逆定理的理解过程.二重点与难点教学重点：掌握勾股定理的逆定理.教学难点：应用勾股定理的逆定理来解决问题.三知识连接四教学过程（一）自主学习（1）下面以3、4、5为边长用尺规作三角形，是什么三角形？你是怎么得到的？（2）以6、8、10为边长作三角形？（3）以15、36、39为边长？（4）以10、24、26？问题一：从自学反馈中你会得到什么，用文字试着加以总结。

新人教版初中数学8年级下册18章勾股定理导学案（1课时）自学目标：勾股定理的内容是什么？它成立的条件是什么？ 你会用面积割补法（或拼图法）验证勾股定理吗？已知直角三角形任意两边的长，你能熟练的求出第三边的长度吗？ 活动一：阅读课本64页----65页探究探究结果：A S =＿＿＿, B S =＿＿＿, C S =＿＿＿.则 ＿＿＿＿＿＿＿AS'=＿＿＿, BS'=＿＿＿, CS'=＿＿＿,则＿＿＿＿＿＿＿＿＿勾股定理内容：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

活动二：证明勾股定理赵爽 面积割补法：如图是东汉末年我国数学家赵爽第一次用面积割补法明确给出勾股定理的理论证明。

其证法是：“弦图又可以勾股相乘为朱实二，倍之，为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加实际亦成弦实。

”其中，朱，黄为所涂颜色，实为面积。

证明：222222222442a b S a b S b a S S S c a b b a c a bc=∴=-=∴+==∴+-=+=朱朱黄朱黄又（）弦实（）即其他证明方法:教材72页 思考讨论完成。

活动三：勾股定理应用：例：在Rt △ABC 中，∠C=90,AB=17,BC=8,求AC 的长。

解：由勾股定理，得222A CBC A B +=222222217815A CA B B CA C AB BC ∴=-∴=-=-=自主练习：已知在Rt △ABC 中，∠A=9（1） 若AB=8,BC=10,求AC 的长。

（2） 若AC=12,AB=13,求BC 的长 （3） 若∠C=30,BC=16求AB,AC 的长ACB（4）若∠C=45，BC=16求AB,AC的长勾股定理的逆定理(第一课时)班级＿＿＿姓名＿＿＿＿教学目标：1，让学生理解勾股定理的逆定理的内容。

2，让学生理解命题和逆命题的关系。

3，让学生理解勾股数的含义。