人教版八年级下册数学第十七章勾股定理导学案(最新整理)

八年级数学下册 17.1.3 勾股定理导学案 (新版)新人教版17、1、3勾股定理预习案一、学习目标1、利用勾股定理证明：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等、2、利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点、3、进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题、二、预习内容1、阅读课本第26-27页2、勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么：（或）变形：（或）（或）3、对应练习：(1)、①在Rt△ABC，∠C=90，a=3，b=4，则c= 。

②在Rt△ABC，∠C=90，a=5，c=13，则b= 。

(2)、如图，已知正方形ABCD的边长为1，则它的对角线AC= 。

三、预习检测1、已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为。

2、已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为，面积为。

3、已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，这个等腰三角形的面积为____________。

4、将面积为8π的半圆与两个正方形拼接如图所示，这两个正方形面积的和为（）A、16B、32C、8πD、64 探究案一、合作探究（9分钟），要求各小组组长组织成员进行先自主学习再合作探究、讨论。

【探究一】XXXXX：运用勾股定理证明全等判定方法：斜边直角边（HL）已知：如图，在中和中，，求证：≌、【探究二】XXXXX：如何在数轴上画出表示的点？点拨：①：由于在数轴上表示的点到原点的距离为，所以只需画出长为的线段即可、②长为的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢?设c ＝，两直角边为a，b，根据勾股定理a2＋b2＝c2即a2＋b2＝13、若a，b为正整数，则13必须分解为两个正整数的平方和，即13＝2＋2、所以长为的线段是直角边为、的直角三角形的斜边、请在数轴上完成作图、二、合作、交流、1、例1：已知：如图，△ABC中，AB=4，∠C=45，∠B=60，根据题设可求出什么？【点拨】如何添加辅助线将一般三角形的问题转化为直角三角形的计算问题呢？2、例2：已知：如图，∠B=∠D=90，∠A=60，AB=4，CD=2、求：四边形ABCD的面积、【点拨】如何将四边形的问题转化为三角形问题求解，如何添加辅助线？3、问题：根据勾股定理，你能做出哪些长为无理数的线段呢?欣赏下图，你会得到什么启示?每小组口头或利用投影仪展示,一个小组展示时，其他组要积极思考，勇于挑错，谁挑出错误或提出有价值的疑问，给谁的小组加分（或奖星）交流内容展示小组（随机）点评小组（随机）____________第______组第______组____________第______组第______组三、归纳总结这节课我们学习了（1）勾股定理的应用；（2）分类、转化、方程思想、你能说说具体内容吗?四、课堂达标检测1、△ABC中，AB=AC=25cm，高AD=20cm,则BC= ，S△ABC= 。

八年级数学下册第十七章勾股定理导学案（新版）新人教版班别姓名课题17、1勾股定理(一)课型：预习+展示课学习目标掌握勾股定理，会用面积法证明勾股定理。

学习重点：勾股定理的内容及证明。

学习难点：勾股定理的证明。

导学过程一、知识链接1、直角△ABC的主要性质是：∠C=90（用几何语言表示）（1）两锐角之间的关系：（2）若∠B=30，则∠B的对边和斜边的关系是：二、自主学习1、阅读课本22页到24页。

2、（1）、一个直角三角形两直角边分别为3cm和4cm的，斜边长为5cm。

（2）一个直角三角形两直角边分别为5cm和12cm 的直角△ABC，斜边长为13cm、问题:你是否发现+与，+和的关系，即+ ，+ ，任意的直角三角形也有这个性质。

即勾股定理文字表述：几何表述：三、合作探究：阅读证明勾股定理的方法看哪个组给同学讲的清楚明白方法1、已知：在△ABC中，∠C=90，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证：证明：4S△+S小正=S大正=根据的等量关系：由此我们得出方法2、已知：在△ABC中，∠C=90，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证：a2＋b2=c2。

分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。

左边S=______________右边S=_______________左边和右边面积相等，即化简可得：四、课后反思：我今天学会了五、达标测试：1、课本24页练习第1题★2、同步学习xxxx学年度八年级数学科导学案主备人：邓冰复备人：审批人：编号班别姓名课题17、1勾股定理(三)课型：预习+展示课学习目标：会用勾股定理解决简单的实际问题。

学习重点：勾股定理的应用。

学习难点：实际问题向数学问题的转化。

导学过程：一、知识链接填空: 在Rt△ABC，∠C=90，⑴如果a=7，c=25，则b= 。

⑵如果∠A=30，a=4，则b= 。

⑶如果∠A=45，a=3，则c= 。

⑷如果c=10，a-b=2，则b= 。

八年级（下）数学导学案17．1 勾股定理（一）导学目标：1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2．让学生经历用面积法探索勾股定理的过程，体会数形结合的思想，渗透观察、归纳、猜想、验证的数学方法，体验从特殊到一般的逻辑推理过程。

3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。

导学重点、难点：1．重点：勾股定理的内容及证明。

2．难点：勾股定理的证明。

导学过程:一．创设情境，引入新知2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”．这就是本届大会的会徽的图案．(书P21页)（1） 你见过这个图案吗？（2） 你听说过“勾股定理”吗？(课件展示)二．自主学习，探究新知探究活动1 毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家．相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的某种特性．（1）现在请你观察一下图1，你能发现什么数量关系吗？（2）如图2中三个正方形A,B,C 的面积有什么关系？等腰直角三角形的三边之间有什么关系？结论： 。

图1 图2 探究活动2 请每个小组内各画一个一般的直角三角形，测量出该直角三角形的三条边长度，并求出三条边长间的关系，然后展示结果各组交流（引出结论）探究活动3 是不是所有的直角三角形都有这样的特点呢？这就需要我们对一个一般的直角三角形进行证明．到目前为止，对这个命题的证明方法已有几百种之多．下面，我们就来看一看P23页我国数学家赵爽是怎样证明这个命题的?(1) 以直角三角形ABC 的两条直角边a 、b 为边作两个正方形．你能通过剪、拼把它拼成弦图的样子吗？(2)面积分别怎样表示？它们有什么关系呢？a bc ACB展示结果，教师予以点评。

探究活动4鼓励学生，用其他面积方法证明该结论，并点评。

由上述四个活动得到勾股定理内容；勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为b a ,，斜边长为c ,那么222c b a =+。

17.1勾股定理〔一〕二、答疑解惑我最棒〔约8分钟〕 甲： 乙：丙：丁：同伴互助答疑解惑 三、合作学习探索新知〔约15分钟〕 1、小组合作分析问题2、小组合作答疑解惑3、师生合作解决问题◆关于直角三角形,你知道哪些方面的知识?〔1〕直角三角形叫Rt △〔2〕两锐角互余∠A+∠B=90°〔3〕三角形的面积s=21ab=21hc〔4〕30°所对的直角边等于斜边的一半〔5〕证明两个直角三角形全等有“HL 〞◆毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家，相传2500•年前,一次,毕达哥拉斯去朋友家作客.在宴席上,其他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论,只有毕达哥拉斯学习活动 设计意图却看着朋友家的方砖地而发起呆来．原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方．主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他．谁知毕达哥拉斯突破恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了．同学们，你想知道大哲学家发现了什么吗？〔见课件〕问题：大正方形的面积与两个小正方形的面积有什么关系？学习活动设计意图◆在约公元前1100年，我国古算书?周髀bì算经?记载，人们已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦是五.在我国古代，人们将直角三角形中的短的直角边叫做勾长的直角边叫做股斜边叫做弦．四、归纳总结稳固新知〔约15分钟〕1、知识点的归纳总结：〔1〕经过证明被确认正确的命题叫做定理〔2〕勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么即 直角三角形两直角边 的平方和等于斜边的平方。

2、运用新知解决问题：〔重点例习题的强化训练〕◆， Rt △ABC 中，a ，b 为的两条直角边，c 为斜边，求：⑴： a ＝3， b ＝4，求c⑵： c ＝10，a ＝6，求b◆课本P24页练习◆课本P28页习题17.1第1题学习活动 设计意图五、课堂小测〔约5分钟〕 1．Rt ∆ABC 的两条直角边a=3, b=4，那么斜边c= .2．：如图在△ABC 中，∠ACB=90°，以△ABC 的各边为在△ABC 外作三个正方形分别表示这三个正方形的面积， 那么的边长为〔 〕A.6B.36C.64D.83 ．假设直角三角形两直角边分别为12，16，那么此直角三角形的周长为〔 〕A.28B.36C.32D.484 ．直角三角形的三边长分别为3，4，x ，那么x 2等于〔 〕A.5B.25C.7D.25或7六、独立作业我能行 1、预习课本P25-26页，思考预习提纲222a b c +=。

第十七章勾股定理课题：17.1勾股定理（1）学习目标：1 •了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理2 •培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

3.介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习学习重点：勾股定理的内容及证明。

学习难点：勾股定理的证明学习过程：、自主学习画一个直角边为3cm和4cm的直角△ ABC用刻度尺量出AB的长。

（勾3,股4,弦5）以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。

”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3,长的直角边（股）的长是4,那么斜边（弦）的长是5。

再画一个两直角边为5和12的直角△ ABC用刻度尺量AB的长。

你是否发现3 +4与5的关系，5 +12和13的关系，即3 +4 ___________ 5，5 +12 ____ 13，那么就有______ 2+ ____ 2= ___ 。

（用勾、股、弦填空）对于任意的直角三角形也有这个性质吗？勾股定理内容文字表述:几何表述:二、交流展示例1、已知：在厶ABC中, Z C=90°，/ A、/ B、/ C的对边为a 、b、c。

求证：a2+ b2=c2。

分析：⑴准备多个三角形模型，利用面积相等进行证明。

⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S"S小正=S大正即4X 1X +〔〕2= c2,化简可证2⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。

⑷勾股定理的证明方法，达300余种。

这个古老而精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。

激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。

例2已知：在厶ABC 中，/ C=90°，/ A 、/ B 、/ C 的对边为a 、b 、c 。

求证：a 2 + b 2=c 2。

分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。

1 / 4新人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理（二）》导学案备课时间 主备教师参与教师审核人学习目标：1．会用勾股定理进行简单的计算。

2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。

学习重点：勾股定理的简单计算。

学习难点：勾股定理的灵活运用。

学习过程： 例1分析：（1）注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是直角。

（2）图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪条最长？ （3）指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？ （4）转化为勾股定理的计算，采用多种方法。

在Rt △ABC 中，根据勾股定理 AC 2= 2+ 2因为 AC=5≈2.236因此 AC 木板宽，所以木板 从门框内通过课堂练习1、在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边， 花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m 。

2．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 米。

2．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B 、C 两点，在江对岸取一点A ，使AC 垂直江岸，测得BC=50米，∠B=60°，则江面的宽度为 。

3．有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为 米。

4．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P 、Q 两点，PQ=16厘米，且RP ⊥PQ ，则RQ= 厘米。

当堂检测1．一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动2．山坡上两株树木之间的坡面距离是 4 米，则这两株树之间的垂直距离是 米，水平距离是 米。

A CB RP Q30ABC CAB第4题第3题2 / 42题图 3题图 5题图3、如图12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 。

4、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度5、如图，原计划从A 地经C 地到B 地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A 地到B 地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？6、如图，在海上观察所A,我边防海警发现正北6km 的B 处有一可疑船只正在向东方向8km 的C 处行驶.我边防海警即刻派船前往C 处拦截.若可疑船只的行驶速度为40km/h ，则我边防海警船的速度为多少时，才能恰好在C 处将可疑船只截住？课后作业1、△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为2、如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．3、如图，已知一根长8m 的竹杆在离地3m 处断裂，竹杆顶部抵着地面， 此时，顶部距底部有 m ；4、有一只小鸟在一棵高4m 的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高20m 的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s 的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？“路”4m 3m8kmCAB 6km第2题 第3题 第4题3 / 45、已知：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥DC ，AB ⊥AC ，∠B=60°，CD=1cm ，求BC 的长。

第十七章勾股定理一、要点探究探究点1：勾股定理的认识及验证想一想 1.2500年前，毕达哥拉斯去老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面，联想到了正方形A ，B 和C 面积之间的关系，你能想到是什么关系吗？2.右图中正方形A 、B 、C 所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？3.在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A 、B 、C是否也有类似的面积关系？(每个小正方形的面积为单位1) 4.正方形A 、B 、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？思考 你发现了直角三角形三条边之间的什么规律？你能结合字母表示出来吗？猜测：如果直角三角形的两条直角边长分别为a ,b ，斜边长为c ,那么________.活动2 接下来让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明活动1的猜想. 证法 利用我国汉代数学家赵爽的“赵爽弦图”要点归纳： 勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ,b ,斜边长为c ,那么a 2+b 2=c 2.公式变形： a b c探究点2：利用勾股定理进行计算 例1如图，在Rt △ABC 中， ∠C =90°. （1）若a =b =5,求c ; （2）若a =1,c =2,求b .ABC C （1）若a =15，b =8，则c =_______. （2）若c =13，b =12，则a =_______.4.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长的平方为_________.5.求斜边长17cm 、一条直角边长15cm 的直角三角形的面积.6.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，∠B =45°，∠C =30°，AD =1，求△ABC 的周长．能力提升：7.如图，以Rt △ABC 的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3，求△ABE 及阴影部分的面积.第十七章勾股定理2.如图，学校教学楼前有一块长方形长为4米，宽为3米的草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“径路”，却踩伤了花草. （1）求这条“径路”的长；（2）他们仅仅少走了几步(假设2步为1米)？探究点2：利用勾股定理求两点距离及验证“HL ”思考:在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？证明:如图,在Rt △ABC 和Rt △A ’ B ’ C ’中,∠C =∠C ’=90°, AB =A ’ B ’,AC =A ’ C ’．求证：△ABC ≌△A ’ B ’ C ’ ．证明：在Rt △ABC 和Rt △A ’ B ’ C ’中，∠C=∠C ’=90°，根据勾股定理得BC =_______________,B ’ C ’=_________________. ∵AB=A ’ B ’，AC=A ’ C ’，∴_______=________. ∴____________≌____________ (________)．例2 如图，在平面直角坐标系中有两点A (-3,5),B (1,2)求A ,B 两点间的距离.探究点3：利用勾股定理求最短距离想一想:1.在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下一点食物在B 处，恰好一只在A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A 处爬向B 处，蚂蚁怎么走最近(在以下四条路线中选择一条)？2.若已知圆柱体高为12 c m ，底面半径为3 c m ，π取3，请求出最短路线的长度.要点归纳:立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.例3 有一个圆柱形油罐，要以A 点环绕油罐建梯子，正好建在A 点的正上方点B 处，问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是2 m ，高AB 是5 m ，π取3）?变式题 小明拿出牛奶盒，把小蚂蚁放在了点A 处，并在点B 处放上了点儿火腿肠粒，你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程么？例4 如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？杆底部B 的距离是（ ） A .24m B .12m C m2.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm ，内壁高12cm ，则这只铅笔的长度可能是（）A.9cmB.12cmC.15cmD.18cm 3.已知点(2,5),(-4,-3),则这两点的距离为_______.4.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵2米，两棵对相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行多少？5. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于55cm ，10cm 和6cm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物.这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少？能力提升6.为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图.已知圆筒的高为108cm ，其横截面周长为36cm ，如果在表面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？第十七章勾股定理...你能在数以下是在数轴上表示出13的点的作图过程，请你把它补充完整.(1)在数轴上找到点A,使OA=______;(2)作直线l____OA,在l上取一点B，使AB=_____;(3)以原点O为圆心，以______为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示______的点.要点归纳：利用勾股定理表示无理数的方法: （1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.为线段,形成如图所示的数学海螺.例1如图，数轴上点A所表示的数为a ，求a 的值.1.如图，点A 表示的实数是 （ ）2.A 为圆心，对角线AC 的长为半径作弧交数轴于点M ，则点M 表示的数为（ ）3.你能在数轴上画出表示17的点吗？探究点2：勾股定理与网格综合求线段长例2 在如图所示的6×8的网格中，每个小正方形的边长都为1，写出格点△ABC 各顶点的坐标，并求出此三角形的周长．方法总结:勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度.再用面积法求高.的正方形构成的田字格，只用没有刻度的直尺在这个田字格中最多变式题如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，求AM的长.求四边形ABCD的面积．1.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（）A.5B.6C.7D.252.小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴上的2个单位长度的位置找一个点D，然后点D做一条垂直于数轴的线段CD，CD为3个单位长度，以原点为圆心，以到点C的距离为半径作弧，交数轴于一点，则该点位置大致在数轴上（）A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间3.如图，网格中的小正方形边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则AB边上的高为_ ______.4.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8cm，∠A=60°，∠ADC=150°，已知四边形ABCD的周长为32cm，求△BCD的面积．分△AFC的面积.图①图②______=_______,∴∠C____∠C′_____90°，即△ABC是__________三角形.要点归纳：勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.特别说明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形，最长边所对应的角为直角.例1(教材P32例1变式题)若△ABC的三边a,b,c满足a:b: c=3:4:5，是判断△ABC的形状.方法总结:已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形.例2(1)若△ABC的三边a,b,c，且a+b=4,ab=1,c=14，试说明△ABC是直角三角形.(2)若△ABC的三边a,b,c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断△ABC的形状.例3如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝14CB，试判断AF 与EF的位置关系，并说明理由.1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．3，4，6C．5，12，13 D．4，6，72.一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则该三角形最长边上的高是( ）A．4 B．3 C．2.5 D．2.43.若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是_______________________.探究点2：勾股数要点归纳：勾股数：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数.常见的勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.勾股数拓展性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k(k 为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.例4 下列各组数是勾股数的是 ( ) A.6，8，10 B.7，8，9C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132方法总结:根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可. 探究点3：互逆命题与互逆定理想一想 1.前面我们学习了两个命题，分别为：命题1，如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a 2+b 2=c 2；命题2，如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2,那么这个三角形是直角三角形.两个命题的条件和结论分别是什么？2.两个命题的条件和结论有何联系？要点归纳：原命题、逆命题与互逆命题：题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.；标注有用信息,明确已反偷渡巡逻101号艇在A 处发现其正西方向的C 处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知在PQ 上B 处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？分析：根据勾股定理的逆定可得△ABC 是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面积公式可求PD ，然后再利用勾股定理便可求CD.例2一个零件的形状如图①所示,按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图②所示,这个零件符合要求吗？1.A、B 、C 三地的两两距离如图所示，A 地在B 地的正东方向，C 在B 地的什么方向？2.如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB ＝DC＝8m ，AD＝BC ＝6m ，AC ＝9m ，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？探究点2：勾股定理及其逆定理的综合应用例3 如图，四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝12，AD ＝13,求四边形ABCD 的面积.分析：连接AC ，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△ACD 是直角三角形.方法总结:四边形问题对角线是常用的辅助线，它把四边形问题转化成两个三角形的问题.在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理是“黄金搭挡”，经常配套使用. 变式题1 如图，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，已知AD=3cm ，AB=4cm ，CD=12cm ，BC=13cm ，求四边形ABCD 的面积.变式题2如图，在四边形ABCD 中，AC ⊥DC ，△ADC 的面积为30 cm 2，DC ＝12 cm ，AB ＝3cm ，BC ＝4cm ，求△ABC 的面积.东25°的方向，且到医院的距离为300m,公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m,则公园在医院的北偏东______的方向.2.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是（）A B C D3.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，同时，B组也由驻地O 出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2h后同时停下来，这时A，B两组相距30km．此时，A，B两组行进的方向成直角吗？请说明理由.4. 如图，在△ABC 中，AB=17，BC=16，BC 边上的中线AD=15，试说明：AB=AC.5. 在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A 、B ．于是，一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O （如图）沿北偏东40°的方向向目标A 的前进，同时，另一艘搜救艇也从港口O 出发，以12海里/时的速度向着目标B 出发，1.5小时后，他们同时分别到达目标A 、B ．此时，他们相距30海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？6. 如图，在△ABC 中，AB ：BC ：CA=3：4：5且周长为36cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向 点以每秒2cm 的速度移动，点Q 从点C 沿CB 边向点B 以每秒1cm 的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，求PQ 的长．。

《勾股定理》一、学习目标1.掌握直角三角形的边、角之间所存在的关系，熟练应用直角三角形的勾股定理和逆定理来解决实际问题．2.经历反思本单元知识结构的过程，理解和领会勾股定理和逆定理．二、学习重难点1．重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。

灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

2．难点：勾股定理的逆定理的证明。

灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

三、课前预习1．在R tΔABC中，∠C=90 ，AB=c，BC=a，AC=b⑴若a=3,b=4,则c=______________；⑵若a=8,c=17,则b=_____________；⑶若a：b=3:4,c=15则a=_________ b=________。

2．如图,求图中字母M所代表的正方形的面积.3、分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有4.将直角三角形的三边长同时扩大2倍，得到的三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定5.“如果两个实数是正数，它们的积是正数。

”的逆命题是___________________________________这个逆命题_______________（填成立或不成立）四、课内探究考点一、已知两边求第三边1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为______．2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．3．在数轴上作出表示10的点．考点二、利用列方程求线段的长1．如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，C B=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？考点三、判别一个三角形是否是直角三角形1.分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5；（2）5、12、13；（3）8、15、17；（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有2..如图1，在△ABC 中，AD 是高，且CD BD AD 2⋅=，求证：△ABC 为直角三角形。

探索勾股定理-（1）（第1课时）学生姓名：学习目标：会探索勾股定理，会初步利用勾股定理解决实际问题。

重难点：会用勾股定理求直角三角形的边长学习过程：一、课前预习：1、三角形按角的大小可分为：、、。

2、三角形的三边关系：三角形的任意两边之和；任意两边之差。

3、直角三角形的两个锐角；直角三角形中最长边是。

4、在RtΔABC中，两条直角边长分别为a、b，则这个直角三角形的面积可以表示为：。

二、自主探究：探究一：探索直角三角形三边的特殊关系：（1）画一直角三角形，使其两边满足下面的条件，测量第三边的长度，完成下表；（2）猜想：直角三角形的三边关系为。

探究二：如果下图中小方格的边长是1，观察图形，完成下表，并与同学交流：你是怎样得到的？思考：每个图中正方形的面积与三角形的边长有何关系？归纳得出勾股定理。

勾股定理：直角三角形 等于；几何语言表述：如图1.1-1，在Rt ΔABC 中， C ＝ 90°， 则： ； 若BC=a ，AC=b ，AB=c ，则上面的定理可以表示为： 。

三、课堂练习：1、求下图中字母所代表的正方形的面积12米处。

旗4、如图，点C 是以AB 为直径的半圆上一点，∠ACB=90°， AC=3,BC=4,则图中阴影部分的面积是多少？四、课后反思第4题BC A探索勾股定理-（2）（第2课时）学生姓名：学习目标：掌握勾股定理，理解利用拼图验证勾股定理的方法。

能运用勾股定理解决一些实际问题。

重难点：勾股定理的应用。

学习过程： 一、知识回顾：1、直角三角形的勾股定理：2、求下列直角三角形的未知边的长二、自主探究：利用拼图验证勾股定理活动一：用四个全等的直角三角形拼出图1，并思考： 1．拼成的图1中有_______个正方形，___个直角三角形。

2．图中大正方形的边长为_______，小正方形的边长为_______。

3．你能请用两种不同方法表示图1中大正方形的面积，列出一个等式，验证勾股定理吗？分析：大正方形的面积＝ 边长的平方 ＝小正方形的面积＋ 个直角三角形的面积得： ( ＋ )2＝ 2＋ ×12ab . 化简可得：活动二：用四个全等的直角三角形拼出图2验证勾股定理。

八年级数学下册 17.1 勾股定理导学案（新版）新人教版1、了解多种方法验证勾股定理，感受解决同一个问题方法的多样性。

2、通过实例进一步了解勾股定理，应用勾股定理进行简单的计算。

学习过程：活动一动手做一做1、画出Rt△A B C令∠C =90，直角边A C =3cm，B C=4cm，（1）用刻度尺量出斜边A B = ________（2）计算：2、探究：之间的关系：_______________________活动二毕达哥拉斯的发现1、图中两个小正方形分别为A、B，大正方形为C，则三个正方形面积之间的关系：-____________________________2、设三个正方形围成的等腰直角三角形的直角边为a，斜边为c，则图中等腰直角三角形三边长度之间的关系：_____________________活动三探索与猜想观察下面两幅图：(每个小正方形的面积为单位1)A的面积B的面积C的面积左图右图（1（1）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流一下。

（2）猜想命题：如果直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么_______________活动四认识赵爽弦图活动五证明猜想已知：如图，在边长为c的正方形中，有四个两直角边分别为a、b，斜边为c全等的直角三角形，求证：证明：根据同一个图形的面积相等得：所以 ______________ + ________________________ =____________ ______________ + ________________________ = _____________________ + ________ = __________勾股定理：直角三角形两条_______的平方和等于_____的平方如果直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，那么_________________活动六证法积累利用下图，模仿上述推导，能否得到相同的结果？（美国第20任总统茄菲尔德的证法）已知，如图，Rt△A D E和Rt△B C E是两个全等的直角三角形，其直角边长分别为a、b，斜边为c，这两个直角三角形围成了直角边为c的Rt△A B E，求证：证明：135y活动七活学活用x861、如右图，在直角三角形中，X＝______，y＝______2、在Rt△A B C中，∠C =90，（1）若a =2，b =3，则c = _________（2）若c =5，b =4 ，则a =3、在Rt△A B C中，∠A =90，a =7，b =5，则 c =___________4、在一个直角三角形中, 两边长分别为3、4，则第三边的长为______________________活动八学习反馈说说你的收获！。

17.1 勾股定理（1）学习目标1.了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

经历用面积法探索勾股定理的过程。

2. 体会数形结合的思想，渗透观察、归纳、猜想、验证的数学方法，体验从特殊到一般的逻辑推理过程。

3. 培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

学习重点、难点1.重点：探索和验证勾股定理。

2.难点：勾股定理的证明。

一、预习内容1.复习旧知（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B= (填度数)。

（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=10，则AC= ，理由是：。

（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4，则AC= ，理由是：。

（4）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则△ABC面积S= 。

（5）用腰长为1的四个等腰直角三角形拼成如图所示的正方形，则正方形的面积为，正方形的边长为。

2.课前预习阅读课本P64-P66探究之前的内容。

根据你对课文的理解，完成下列问题：（1）在如图所示边长为1的正方形网格中有如图所示的三个正方形A ，B ，C 则A S =，B S =C S =（2） 由上可知，正方形A 和正方形B 的面积之和等于 （3） 我们发现在等腰直角三角形中，斜边的平方等于 （4） 若网格中每一个小方格面积为1个单位面积，那么正方形A 、B 、C 的面积分别为（5）(填=或>或<)（6） 如果设正方形A ，B ，C 的边长分别为a ，b ，c ，则由上面可知：。

用文字叙述为：二、数学概念勾股定理： 三、例题讲解(1) 求出下列直角三角形中未知边的长度。

(2) 在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=10，BC=26。

求(1) △AB C 周长。

(2) △ABC 的面积。

四、总结反思说说你的收获;你还有什么问题？五、反馈练习在△ABC中，∠C=90°。

新人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理》导教学设计一、基础知识点： １．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：若是直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么 a 2b 2c 2勾股定理的由来： 勾股定理也叫商高定理， 在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦． 早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了 “勾三，股四， 弦五 ”形式的勾股定理，此后代们进一步发现并证了然直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２ .勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常有的是拼图的方法用拼图的方法考据勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②依照同一种图形的面积不相同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常有方法以下：方法一： 4SS 正方形 EFGH S 正方形 ABCD ， 4 1 ab (b a)2 c 2 ，化简可证．2方法二：DCHEG F b aAcBb aacbccbcaab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三AaD4 1ab角形的面积与小正方形面积的和为S c 22ab c 2大正方形面b2c22a 2 a b2b所 以 a 2b 2 2cEa积 为 S ( a b)c 方 法 三 ：111BbCS 梯形( a b) (a b) ，S 梯形 2S ADE S ABE2 ab c 2 ，化简得证22 2３ .勾股定理的适用范围勾股定理揭穿了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形， 关于锐角三角形和钝角三角形的三边就不拥有这一特色， 所以在应用勾股定理时， 必定了然所察看的对象是直角三角形４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在 ABC 中， C 90 ，则ca 2b 2 ， bc 2 a 2 ， ac 2 b 2 ②知道直角三角形一边，可得别的两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实责问题５ .勾股定理的逆定理若是三角形三边长 a ， b ， c 满足 a 2 b 2c 2 ，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它经过“数转化为形 ”来确定三角形的可能形状，在运用这必然理时，可用两小边的平方和 a 2 b 2 与较长边的平方 c 2 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若a 2b2c2，时，以 a ，b， c 为三边的三角形是钝角三角形；若a2b2c2，时，以 a ，b，c为三边的三角形是锐角三角形；②定理中 a ，b， c 及 a2b2c2可是一种表现形式，不能认为是唯一的，如若三角形三边长 a ，b， c 满足 a2c2 b 2，那么以 a ，b， c 为三边的三角形是直角三角形，但是 b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能够说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６ .勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 a 2b2c2中， a ，b，c 为正整数时，称 a ，b， c 为一组勾股数②记住常有的勾股数能够提高解题速度，如3,4,5； 6,8,10 ； 5,12,13； 7,24,25 等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：n21,2n,n 2 1 （ n2,n 为正整数）；2n1,2n22n,2 n22n1n为正整数）m2n2 ,2mn, m2n2（ m n,m，n为正整数）（７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必定掌握直角三角形的前提条件，认识直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应想法增加辅助线（平时作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们经过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在详细计算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不能不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而获得错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实责问题或详细的几何问题中，是密不能分的一个整体．平时既要经过逆定理判断一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常CA B D见图形：C CC30°A B A D B B D A10、互抗命题的看法若是一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互抗命题。

第17章勾股定理一、知识梳理1。

勾股定理：直角三角形中的平方和等于的平方．即：如果直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边为c，那么．2。

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长为a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形．3。

如果一个命题的题设和结论与另一个命题的题设正好相反，那么把这样的两个命题叫做 ,如果把其中叫做原命题,另一个叫做它的_________.4。

一般的，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个__________,我们称这两个定理为 .5、应用勾股定理和它的逆定理来解决实际问题,在应用定理时,应注意：（1）没有图的要按题意画好图并标上字母；(2)不要用错定理（3）求有关线段长问题,通常要引入未知数,根据有关的定理建立方程，从而解决问题;(4）空间问题要通过它的展开图转化为平面图形来解决二、题型、技巧归纳考点一勾股定理及逆定理例1、下列说法正确的是（）A。

若 a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2B.若 a、b、c是Rt△ABC的三边,则a2＋b2＝c2C。

若 a、b、c是Rt△ABC的三边，∠A=90°，则a2＋b2＝c2D。

若 a、b、c是Rt△ABC的三边,∠C=90° ，则a2＋b2＝c2例2、(1）已知三角形的三边长为 9 ,12 ,15 ,则这个三角形的最大角是＿＿度；(2)△ABC的三边长为 9 ,40 ,41 ,则△ABC的面积为＿＿＿＿.考点二互逆命题【例3】下列命题的逆命题是真命题的是（）A．若a＝b，则|a｜＝|b｜ B．全等三角形的周长相等C．若a＝0，则ab＝0 D．有两边相等的三角形是等腰三角形考点三勾股定理的应用【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，P为BC上任意一点,请用学过的知识说明:AB2－AP2=PB·PC。

三、随堂检测1．已知一个Rt△的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是（）A、25B、14C、7D、7或252．下列各组数中，以a,b，c为边的三角形不是Rt△的是（）A、a=1。

一、第十七章: 《勾股定理》复习学案勾股定理:如果直角三角形的两直角边长分别为, 斜边为, 那么。

直角三角形 b c a2+b2=c2 (数)（形） aa1、变形为: a= ；b= 。

设直角三角形的斜边为c, 两直角边为a和b, 求:（1）已知a=6, b=8, 则c= ;(2) 已知a=3, c=8, 则b= ;(3)已知b=4, c=8, 则a= ;二、勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a, b, c满足 , 那么这个三角形是 . 2（1）已知三条线段长分别是8, 15, 17, 那么这三条线段能围成一个（）A.直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、无法确定（2）下列各组数不是股数的是（）A.5.12.13B.3.4.5C.8、6.17D.15.20、25三、勾股定理与正方形面积3.已知图中所有四边形都是正方形, 且A与C.B与D所成的角都是直角, 其最大正方形的边长为5, 则A, B, C, D四个小正方形的面积之和为4、是一株美丽勾股树, 其四边形正方形, ．若正方形A, B, C, D边长分别是3, 5, 2, 3, 则最大正方形E面积是5.在直线l上依次摆放着七个正方形(如上图所示). 已知斜放置的三个正方形的面积分别是1.2.3, 正放置的四个正方形的面积依次是S1.S2.S3.S4, 则S1＋S2＋S3＋S4＝_______.四、木板能否通过门框6, 如图, 长4m, 宽3m薄木板（能或不能）从门内通过.7、门高2米, 宽1米, 现有为3米, 宽为2.2米薄木板能否从门框内通过？为什么？五、梯子移动问题8、一个5米长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上, 这时OB=3米, 如果底端B沿直线OB向右滑动1米到点D, 同时顶端A沿直线向下滑动到点C（如图所示）. 求AC.9、如图, 一个2.5米长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上, 这时梯子顶端A距离墙角O的高度为2米.①求底端B距墙角O多少米？②如果顶端A沿角下滑0.5米至C, 底端也滑动0.5米吗？六、折断问题10、如图, 一棵大树在离地面3m处折断, 树顶端离树底部4m, 则这棵树折断之前的高度是.11.如图, 一木杆在离地某处断裂, 木杆顶部落在离木杆底部8米处, 已知木杆原长16米, 求木杆断裂处离地面多少米？七、飞鸟问题12.如图, 有两棵树, 一棵高10m, 另一棵高4m, 两树相距8m. 一只小鸟从一棵树的树尖飞到另一棵树的树尖, 那么这只小鸟至少要飞行m13.有两棵树, 如图, 一颗高13米, 另一颗高8米, 两树相距12米, 一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一颗树的树梢, 至少飞了米。