江西省各地市2013年高考数学 最新联考试题分类汇编(11)排列组合

排列组合二项式定理概率统计（附高考预测）一、本章知识结构：二、重点知识回顾 1.排列与组合⑪ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关.⑫ 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题.⑬ 排列与组合的主要公式 ①排列数公式：)1()1()!(!+-⋅⋅⋅-=-=m n n n m n n A m n (m ≤n) A n n =n! =n(n ―1)(n ―2) ·…·2·1. ②组合数公式：12)1()1()1()!(!!⨯⨯⋅⋅⋅⨯-⨯+-⋅⋅⋅-=-=m m m n n n m n m n C m n (m ≤n).③组合数性质：①m n n m n C C -=(m ≤n). ②n n n n n n C C C C 2210=+⋅⋅⋅+++③1314202-=⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅++n n n n n n C C C C C2.二项式定理 ⑪ 二项式定理(a +b)n =C 0n a n +C 1n a n －1b+…+C r n a n －r b r +…＋C n n b n ，其中各项系数就是组合数C r n ，展开式共有n+1项，第r+1项是T r+1 =C r n a n －r b r .⑫ 二项展开式的通项公式二项展开式的第r+1项T r+1=C r n a n －r b r (r=0,1,…n)叫做二项展开式的通项公式。

⑬ 二项式系数的性质①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C r n = C rn n - (r=0,1,2,…,n).②若n 是偶数，则中间项(第12+n 项)的二项公式系数最大，其值为C 2n n；若n 是奇数，则中间两项(第21+n 项和第23+n 项)的二项式系数相等，并且最大，其值为C21-n n= C21+n n.③所有二项式系数和等于2n ，即C 0n +C 1n ＋C 2n +…+C nn =2n .④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即C 0n +C 2n +…=C 1n +C 3n+…=2n ―1. 3.概率（1）事件与基本事件：:S S S ⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩随机事件在条件下,可能发生也可能不发生的事件事件不可能事件:在条件下,一定不会发生的事件确定事件必然事件:在条件下,一定会发生的事件基本事件：试验中不能再分的最简单的“单位”随机事件；一次试验等可能的产生一个基本事件；任意两个基本事件都是互斥的；试验中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式来表示．（2）频率与概率：随机事件的频率是指此事件发生的次数与试验总次数的比值．频率往往在概率附近摆动，且随着试验次数的不断增加而变化，摆动幅度会越来越小．随机事件的概率是一个常数，不随具体的实验次数的变化而变化． （3）互斥事件与对立事件：（4）古典概型与几何概型：古典概型：具有“等可能发生的有限个基本事件”的概率模型． 几何概型：每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度（面积或体积）成比例．两种概型中每个基本事件出现的可能性都是相等的，但古典概型问题中所有可能出现的基本事件只有有限个，而几何概型问题中所有可能出现的基本事件有无限个．（5）古典概型与几何概型的概率计算公式： 古典概型的概率计算公式：()A P A =包含的基本事件的个数基本事件的总数．几何概型的概率计算公式：()A P A =构成事件的区域长度(面积或体积)试验全部结果构成的区域长度(面积或体积)．两种概型概率的求法都是“求比例”，但具体公式中的分子、分母不同．（6）概率基本性质与公式①事件A 的概率()P A 的范围为：0()1P A ≤≤．②互斥事件A 与B 的概率加法公式：()()()P A B P A P B =+ ． ③对立事件A 与B 的概率加法公式：()()1P A P B +=．（7） 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率是p n (k) = C k np k (1―p)n ―k . 实际上，它就是二项式[(1―p)+p]n 的展开式的第k+1项. （8）独立重复试验与二项分布①．一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验．注意这里强调了三点：（1）相同条件；（2）多次重复；（3）各次之间相互独立；②．二项分布的概念：一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()(1)(012)k kn k n P X k C p p k n -==-= ，，，，，．此时称随机变量X服从二项分布，记作~()X B n p ，，并称p 为成功概率．4、统计（1）三种抽样方法 ①简单随机抽样简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法．抽样中选取个体的方法有两种：放回和不放回．我们在抽样调查中用的是不放回抽取．简单随机抽样的特点：被抽取样本的总体个数有限．从总体中逐个进行抽取，使抽样便于在实践中操作．它是不放回抽取，这使其具有广泛应用性．每一次抽样时，每个个体等可能的被抽到，保证了抽样方法的公平性．实施抽样的方法：抽签法：方法简单，易于理解．随机数表法：要理解好随机数表，即表中每个位置上等可能出现0，1，2，…，9这十个数字的数表．随机数表中各个位置上出现各个数字的等可能性，决定了利用随机数表进行抽样时抽取到总体中各个个体序号的等可能性． ②系统抽样系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况．系统抽样与简单随机抽样之间存在着密切联系，即在将总体中的个体均分后的每一段中进行抽样时，采用的是简单随机抽样． 系统抽样的操作步骤：第一步，利用随机的方式将总体中的个体编号；第二步，将总体的编号分段，要确定分段间隔k ，当N n（Ｎ为总体中的个体数，n 为样本容量）是整数时，N k n=；当N n不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体个数Ｎ能被n 整除，这时N k n'=；第三步，在第一段用简单随机抽样确定起始个体编号l ，再按事先确定的规则抽取样本．通常是将l 加上间隔k 得到第2个编号()l k +，将()l k +加上k ，得到第3个编号(2)l k +，这样继续下去，直到获取整个样本． ③分层抽样当总体由明显差别的几部分组成时，为了使抽样更好地反映总体情况，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的部分，每一部分叫层；在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样． 分层抽样的过程可分为四步：第一步，确定样本容量与总体个数的比；第二步，计算出各层需抽取的个体数；第三步，采用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取个体；第四步，将各层中抽取的个体合在一起，就是所要抽取的样本． （2）用样本估计总体样本分布反映了样本在各个范围内取值的概率，我们常常使用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，有时也利用茎叶图来描述其分布，然后用样本的频率分布去估计总体分布，总体一定时，样本容量越大，这种估计也就越精确．①用样本频率分布估计总体频率分布时，通常要对给定一组数据进行列表、作图处理．作频率分布表与频率分布直方图时要注意方法步骤．画样本频率分布直方图的步骤：求全距→决定组距与组数→分组→列频率分布表→画频率分布直方图．②茎叶图刻画数据有两个优点：一是所有的信息都可以从图中得到；二是茎叶图便于记录和表示，但数据位数较多时不够方便．③平均数反映了样本数据的平均水平，而标准差反映了样本数据相对平均数的波动程度，其计算公式为s=．有时也用标准差的平方———方差来代替标准差，两者实质上是一样的．（3）两个变量之间的关系变量与变量之间的关系，除了确定性的函数关系外，还存在大量因变量的取值带有一定随机性的相关关系．在本章中，我们学习了一元线性相关关系，通过建立回归直线方程就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间的整体关系的了解．分析两个变量的相关关系时,我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，还可利用最小二乘估计求出回归直线方程．通常我们使用散点图，首先把样本数据表示的点在直角坐标系中作出，形成散点图．然后从散点图上，我们可以分析出两个变量是否存在相关关系：如果这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，那么就说这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，其对应的方程叫做回归直线方程．在本节要经常与数据打交道，计算量大，因此同学们要学会应用科学计算器．（4）求回归直线方程的步骤：第一步：先把数据制成表，从表中计算出211nni i i i i x y x y x ==∑∑，，，；第二步：计算回归系数的a ，b ，公式为1112211()()()n n ni i i i i i i n ni i i i n x y x y b n x x a y bx =====⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑∑，；第三步：写出回归直线方程 y bx a =+．（4）独立性检验①22⨯列联表：列出的两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为12{,}x x 和12{,}y y 的样本频数表称为22⨯列联表1构造随机变量22()()()())n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）得到2K 的观察值k 常与以下几个临界值加以比较：如果 2.706k >，就有0090的把握因为两分类变量X 和Y 是有关系；如果 3.841k>就有0095的把握因为两分类变量X和Y是有关系；如果 6.635k>就有0099的把握因为两分类变量X和Y是有关系；如果低于 2.706k≤，就认为没有充分的证据说明变量X和Y是有关系．②三维柱形图：如果列联表1的三维柱形图如下图由各小柱形表示的频数可见，对角线上的频数的积的差的绝对值-较大，说明两分类变量X和Y是有关的，否则的话是无关的．||ad bc图重点：一方面考察对角线频数之差，更重要的一方面是提供了构造随机变量进行独立性检验的思路方法。

2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（江西卷）第Ⅰ卷一、选择题1．已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝( ) A ．－2i B ．2i C ．－4i D ．4i答案 C解析 由M ∩N ＝{4}得z i ＝4，z ＝4i ＝－4i.2．函数y ＝x ln(1－x )的定义域为 ( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1]D ．[0,1]答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0x ≥0得，函数定义域为[0,1)．3．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0C ．12D ．24答案 A解析 由x,3x ＋3,6x ＋6成等比数列得，(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)． 解得x 1＝－3或x 2＝－1(不合题意，舍去)． 故数列的第四项为－24.4．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )答案 D解析 从第1行第5列、第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为：08,02,14,07,01，所以第5个个体编号为01. 5．⎝⎛⎭⎫x 2－2x 35展开式中的常数项为( ) A ．80 B ．－80C ．40D ．－40答案 C解析 T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r ⎝⎛⎭⎫－2x 3r ＝C r 5(－2)r x 10－5r ， 令10－5r ＝0得r ＝2.∴常数项为T 3＝C 25(－2)2＝40.6．若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3 B ．S 2<S 1<S 3 C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1答案 B解析 利用定积分的几何意义知B 正确．7．阅读如下程序框图，如果输出i ＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为( )A ．S ＝2] B.S ＝2]D.S ＝2]答案 C解析 逐项验证，可排除A 、B 、D.8．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，正方体的六个面所在的平面与直线CE ，EF 相交的平面个数分别记为m ，n ，那么m ＋n ＝( )A ．8B ．9C ．10D ．11答案 A解析 由已知得m ＝4，n ＝4，∴m ＋n ＝8.选A.9．过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( ) A.33B ．－33C ．±33D ．－ 3答案 B解析 ∵S △AOB ＝12|OA ||OB |sin ∠AOB＝12sin ∠AOB ≤12当∠AOB ＝π2时，S △AOB 面积最大．此时O 到AB 的距离d ＝22. 设AB 方程为y ＝k (x －2)(k <0)， 即kx －y －2k ＝0. 由d ＝|2k |k 2＋1＝22得k ＝－33. (也可k ＝－tan ∠OPH ＝－33)． 10．如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l ∥l 1，l 与半圆相交于F 、G 两点，与三角形ABC 两边相交于E 、D 两点．设弧FG 的长为x (0<x <π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y ＝f (x )的图像大致是( )答案 D解析 由题意得BC ＝23 3.当x ＝0时，y ＝233，否B.当x ＝23π时，y ＝433，∴x ＝π2时，y <433.所以选D.第Ⅱ卷二、填空题11．函数y ＝sin 2x ＋23sin 2x 的最小正周期T 为________． 答案 π解析 y ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3， ∴T ＝π.12．设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b 方向上的射影为________． 答案 52解析 a 在b 方向上的射影为|a |cos 〈a ，b 〉＝a ·b|b |.∵a ·b ＝(e 1＋3e 2)·2e 1＝2e 21＋6e 1·e 2＝5.|b |＝|2e 1|＝2. ∴a ·b |b |＝52. 13．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 答案 2解析 设e x ＝t ，则x ＝ln t (t >0)， ∴f (t )＝ln t ＋t ∴f ′(t )＝1t ＋1，∴f ′(1)＝2.14．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A 、B 两点，若△ABF为等边三角形，则p ＝________. 答案 6解析 由题意知B ⎝⎛⎭⎫p 3，－p 2，代入方程x 23－y 23＝1得p ＝6. 三、选做题15．(1)(坐标系与参数方程选做题)设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标 系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．答案 sin θ＝ρcos 2θ解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t y ＝t 2得曲线C 的普通方程为y ＝x 2， ①在极坐标系中，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ρsin θx ＝ρcos θ，②将②代入①得曲线C 的极坐标方程为sin θ＝ρcos 2θ.(2)(不等式选做题)在实数范围内，不等式||x －2|－1|≤1的解集为________． 答案 [0,4]解析 由||x －2|－1|≤1得－1≤|x －2|－1≤1，解⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|≥0|x －2|≤2得0≤x ≤4. ∴不等式的解集为[0,4]． 四、解答题16．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．解 (1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0 即有sin A sin B －3sin A cos B ＝0 因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0， 即3cos B ＝sin B . 因为0<B <π， 所以sin B >0， 所以cos B >0， 所以tan B ＝3， 即B ＝π3.(2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，所以b 2＝(a ＋c )2－3ac ≥(a ＋c )2－3⎝⎛⎭⎫a ＋c 22＝14(a ＋c )2＝14， ∴b ≥12.又a ＋c >b ，∴b <1，∴12≤b <1.17．正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：对于任意的n ∈N *，都有T n <564. (1)解 由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0， 由于{a n }是正项数列，所以S n ＋1>0. 所以S n ＝n 2＋n .n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ， n ＝1时，a 1＝S 1＝2适合上式． ∴a n ＝2n .(2)证明 由a n ＝2n 得b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n ＝n ＋14n 2(n ＋2)2 ＝116⎣⎡⎦⎤1n 2－1(n ＋2)2 T n ＝116⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－132＋⎝⎛⎭⎫122－142＋⎝⎛⎭⎫132－152＋…⎦⎤＋⎝⎛⎭⎫1(n －1)2－1(n ＋1)2＋⎝⎛⎭⎫1n 2－1(n ＋2)2＝116⎣⎡⎦⎤1＋122－1(n ＋1)2－1(n ＋2)2<116⎝⎛⎭⎫1＋122＝564. 18.小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1、A 2、A 3、A 4、A 5、A 6、A 7、A 8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列和数学期望．解 (1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C 28＝28种． X ＝0时，两向量夹角为直角共有8种情形， 所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝828＝27.(2)X 的所有可能值为－2，－1,0,1.X ＝－2时，有2种情形；X ＝－1时有10种情形； X ＝1时，有8种情形；X ＝0时有8种情形； 所以X 的分布列为：∴E (X )＝(－2)×114＋(－1)×514＋0×27＋1×27＝－314.19．如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，E 为BD 的中点，G 为PD 的中点，△DAB ≌△DCB ，EA ＝EB ＝AB ＝1，P A ＝32，连接CE 并延长交AD 于F .(1)求证：AD ⊥平面CFG ；(2)求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值． (1)证明 在△ABD 中，因为E 为BD 中点， 所以EA ＝EB ＝ED ＝AB ＝1，故∠BAD ＝π2，∠ABE ＝∠AEB ＝π3.因为△DAB ≌△DCB ，所以△EAB ≌△ECB ， 从而有∠FED ＝∠BEC ＝∠AEB ＝π3，所以∠FED ＝∠FEA .故EF ⊥AD ，AF ＝FD ，∴EF ∥AB ，GF ∥P A . 又∵P A ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ， ∴GF ⊥AD ，EF ⊥AD ， 故AD ⊥平面CFG .(2)解 以A 为坐标原点建立如图所示的坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C ⎝⎛⎭⎫32，32，0，D (0，3，0)，P ⎝⎛⎭⎫0，0，32， 故BC →＝⎝⎛⎭⎫12，32，0，CP →＝⎝⎛⎭⎫－32，－32，32，CD →＝⎝⎛⎭⎫－32，32，0.设平面BCP 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·CP →＝0n 1·BC →＝0即⎩⎨⎧－32x 1－32y 1＋32z 1＝012x 1＋32y 1＝0令y 1＝－3，则x 1＝3，z 1＝2，n 1＝(3，－3，2)． 同理求得面DCP 的法向量n 2＝(1，3，2)， 从而平面BCP 与平面DCP 的夹角θ的余弦值为 cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝44×22＝24. 20．如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，离心率e ＝12，直线l 的方程为x ＝4.(1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记P A 、PB 、PM 的斜率分别为k 1、k 2、k 3.问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．解 (1)由P ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1上，得， 1a 2＋94b 2＝1，①又e ＝c a ＝12，得a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，②②代入①得，c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3. 故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)x 24＋y 23＝1得， (4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝k (x 1－1)－32x 1－1＋k (x 2－1)－32x 2－1＝2k －32⎝⎛⎭⎫1x 1－1＋1x 2－1＝2k －32·x 1＋x 2－2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝2k －32·8k 24k 2＋3－24k 2－124k 2＋3－8k 24k 2＋3＋1＝2k －1.又将x ＝4代入y ＝k (x －1)得M (4,3k )， ∴k 3＝3k －323＝k －12，∴k 1＋k 2＝2k 3.故存在常数λ＝2符合题意．21．已知函数f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫1－2⎪⎪⎪⎪x －12，a 为常数且a >0. (1)证明：函数f (x )的图像关于直线x ＝12对称；(2)若x 0满足f (f (x 0))＝x 0，但f (x 0)≠x 0，则称x 0为函数f (x )的二阶周期点．如果f (x )有两个二阶周期点x 1、x 2，试确定a 的取值范围．(3)对于(2)中的x 1、x 2和a ，设x 3为函数f (f (x ))的最大值点，A (x 1，f (f (x 1)))，B (x 2，f (f (x 2)))，C (x 3,0)．记△ABC 的面积为S (a )，讨论S (a )的单调性． (1)证明 因为f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝a (1－2|x |) f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝a (1－2|x |)， 所以f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x因此f (x )的图像关于直线x ＝12对称．(2)解 ①当0<a <12时，f (f (x ))＝⎩⎨⎧4a 2x ⎝⎛⎭⎫x ≤124a 2(1－x ) ⎝⎛⎭⎫x >12，所以f (f (x ))＝x 只有一个解x ＝0， 又f (0)＝0，故0不是二阶周期点．②当a ＝12时，f (f (x ))＝⎩⎨⎧x ⎝⎛⎭⎫x ≤12，1－x ⎝⎛⎭⎫x >12.所以f (f (x ))＝x 有解集⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤12.又当x ≤12时f (x )＝x ，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤12中所有点都不是二阶周期点．③当a >12时，f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧4a 2x ， x ≤14a，2a －4a 2x ， 14a <x ≤12，2a (1－2a )＋4a 2x ， 12<x ≤4a －14a，4a 2－4a 2x ， x >4a －14a.所以f (f (x ))＝x 有四个解0，2a 1＋4a 2，2a 1＋2a ，4a 21＋4a 2.又f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫2a 1＋2a ＝2a1＋2a ，f ⎝⎛⎭⎫2a 1＋4a 2≠2a 1＋4a 2，f ⎝⎛⎭⎫4a 21＋4a 2≠4a 21＋4a 2，故只有2a 1＋4a 2，4a 21＋4a 2是f (x )的二阶周期点． 综上所述，所求a 的取值范围为a >12. (3)解 由(2)得x 1＝2a 1＋4a 2，x 2＝4a 21＋4a 2. 因为x 3为f (f (x ))的最大值点，所以x 3＝14a ，或x 3＝4a －14a. 当x 3＝14a 时，S (a )＝2a －14(1＋4a 2)， 求导得S ′(a )＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1－22(1＋4a 2)2， 所以a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋22时，S (a )单调递增， a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22，＋∞时，S (a )单调递减； 当x 3＝4a －14a 时，S (a )＝8a 2－6a ＋14(1＋4a 2)， 求导得S ′(a )＝12a 2＋4a －32(1＋4a 2)2. 因为a >12，从而有S ′(a )>0， 所以a >12时，S (a )单调递增．。

【步步高】（某某版）2013届高三数学 名校强化模拟测试卷11 理 （教师版）第I 卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.【原创改编题】集合{}1,M z z z =≤∈C ，1,2N z z bi b ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭R ，则M N =∅ ，则实数a 的取值X 围是 （ ）A.33(,)(,)22-∞-+∞B. 33(,][,)22-∞-+∞ C.33(,)22-D. 33[,]22- 【答案】A 【解析】MN =∅，即22112b ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，解得32b <-或者32b >。

2. 【市东城区2011-2012学年度第二学期高三综合练习（二）】下列命题中，真命题是( )（A ）x ∀∈R ,210x --<（B ）0x ∃∈R ,2001x x +=-（C ）21,04x x x ∀∈-+>R （D ）2000,220x x x ∃∈++<R 3.【某某省枣庄市2013届高三测试试题】定义在R 上的函数()x f 满足()()()()2log 1,0,12,>0,x x f x f x f x x -≤⎧⎪=⎨---⎪⎩ 则()8f 的值为A.-1B.0C.1D.2【答案】A【解析】由题意可得，x>0时，()()()12f x f x f x =---，()()()123f x f x f x -=---，∴()()3f x f x =--，()28(2)(1)(0)(1)(0)(1)log 21f f f f f f f ==-==--=-=-.4.【某某省某某二中2013届高三数学模拟题二】若函数()sin cos (0)f x ax ax a =+>的最小正周期为1，则它的图像的一个对称中心为（ ） A ．(,0)8π-B ．(,0)8πC ．（0，0）D ．(,0)4π-5. 【某某省示X 高中2012届高三第二次联考】 实数0.2220.2,log0.2,2a b c ===的大小关系正确的是（ ） A: a c b << B: a b c << C: b a c << D: b c a <<【答案】C【解析】根据指数函数和对数函数的性质，20.22log0.200.21(2)b a c =<<=<<=。

2531055()522()()r r r r r r rx x C x －－－－＝－，令1050r -=41040⨯=，故选C .25()52(r r x－－322111k k -=+246t t -+-，2ω=，∴【提示】函数解析式第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期2【解析】1e 、2e 为单位向量，且1e 和2e 的夹角1211e e ∴=⨯⨯.123a e e =+，12b e =，2121112(3)(2)26235a b e e e e e e ∴=+=+=+=.a ∴在b 上的射影为52||a b b =，故答案为2.【提示】根据题意求得12e e 的值，从而求得a b 的值，再根据a 在b 上的射影为||a bb ，运算求得结果sin 0A ≠（2）1a c +=cos ac B ，即222a c ac +-，01a <<14b ≤<，则）已知等式第一项利用诱导公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，整理后根据为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出正项数列2211416n ⎡+=⎢⎣2111n n ++-+(-)(+)21⎤⎛< ⎥2211416n ⎡+=⎢⎣）在DAB △≌△EDA ∴∠=又PAD △中，PA ⊥平面，AD ⊂平面又EF 、FG （2）以点A x 轴、y 轴、1,2BC ⎛∴= ，32CP ⎛=- ，32CD ⎛=- 的法向量1(1,,m y =1232m BC m CP ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩2，可得21,,33m ⎛⎫- ⎪ ⎪=⎭， 的法向量22(1,,n y z =3232n CD n CP ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，可得(1,3,2)n =11,||||411349m n m n m n ⨯+<>=++的夹角的余弦值等于2,4m n <>=.ππ为原点，AB 、AD 、P A 分别为的坐标，从而得到BC 、CP 、CD 的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出1,m ⎛=- 和(1,3,2)n =m 、n 夹角的余弦，即可得到平面20.【答案】（1）1212132(x x x x x +-+④代入⑤得k k ＋）证明：12f x ⎛+ ⎝12x a ⎫-=⎪⎭2x为函数当31 4xa =12a>，从而有∴当a⎛∈ ⎝。