高中数学第一章集合与函数概念1.3.1第1课时函数的单调性课后习题新人教A版必修1(含解析)
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1.3.1 第1课时 函数的单调性
一、A组
1.(2016·黑龙江绥化九中高一月考)函数f(x)=|x|与g(x)=x(2-x)的单调递增区间分别为( )
A.(-∞,0],[1,+∞) B.(-∞,0],(-∞,1]
C.[0,+∞),[1,+∞) D.[0,+∞),(-∞,1]
解析:由函数图象(图略)可知选D.
答案:D
2.若函数f(x)=x2+3ax+5在区间(-∞,5)上为减函数,则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析:由于函数f(x)=x2+3ax+5的单调递减区间为,所以(-∞,5)⊆,
所以a≤-.
答案:A
3.(2016·湖北枣阳白水高中高一月考)若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a,b,总有>0成立,则必有( )
A.f(x)在R上是增函数 B.f(x)在R上是减函数
C.函数f(x)是先增后减 D.函数f(x)是先减后增
解析:由>0知f(a)-f(b)与a-b同号,即当a
答案:A
4.(2016·河北唐山一中高一月考)若函数y=ax与y=-在区间(0,+∞)上都是减函数,则函数y=ax2+bx在区间(0,+∞)上是( ) A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.先减后增
解析:由于函数y=ax与y=-在区间(0,+∞)上都是减函数,所以a<0,-b>0,即a<0,b<0.因为抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=-<0,且抛物线开口向下,所以y=ax2+bx在区间(0,+∞)上是减函数.
答案:B
5.已知函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,若a∈R,则 ( )
A.f(a)>f(2a) B.f(a2) C.f(a2+a) 解析:选项D中,因为a2+1>a,f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,所以f(a2+1) 答案:D 6.如图是定义在区间[-4,7]上的函数y=f(x)的图象,则函数f(x)的单调递增区间是 ,单调递减区间是 . 解析:由题图可知,函数y=f(x)的图象在[-4,-1.5)及[3,5),[6,7]上具有下降趋势,在[-1.5,3)及[5,6)上具有上升趋势,故函数f(x)的单调递增区间是[-1.5,3)及[5,6);单调递减区间是[-4,-1.5),[3,5)及[6,7]. 答案:[-1.5,3),[5,6) [-4,-1.5),[3,5),[6,7] 7.已知函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[-2,+∞)时,f(x)是增函数,当x∈(-∞,-2)时,f(x)是减函数,则f(1)= . 解析:∵函数f(x)在(-∞,-2)上是减函数,在[-2,+∞)上是增函数,∴x=-=-2, ∴m=-8,即f(x)=2x2+8x+3.∴f(1)=13. 答案:13 8.已知函数f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,则f(2) f(x2-4x+6).(填“≥”“≤”或“=”) 解析:∵x2-4x+6=(x-2)2+2≥2,且f(x)在区间[2,+∞)上是增函数, ∴f(2)≤f(x2-4x+6). 答案:≤ 9.证明函数f(x)=-在定义域上为减函数. 证明:函数f(x)=-的定义域为[0,+∞). 设x1,x2是[0,+∞)上的任意两个实数,且0≤x1 f(x2)-f(x1)=(-)-(-)= = =. ∵x1-x2<0,>0, ∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2) ∴函数f(x)=-在定义域[0,+∞)上为减函数. 10.函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,对任意的x,y∈(0,+∞),都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且f(4)=5. (1)求f(2)的值; (2)解不等式f(m-2)≤3. 解:(1)∵f(4)=f(2+2)=2f(2)-1=5, ∴f(2)=3. (2)由f(m-2)≤3,得f(m-2)≤f(2). ∵f(x)是(0,+∞)上的减函数, ∴解得m≥4. 故不等式的解集为{m|m≥4}. 二、B组 1.函数y=|x+2|在区间[-3,0]上是( ) A.递减 B.递增 C.先减后增 D.先增后减 解析:y=|x+2|= 作出y=|x+2|的图象如图所示. 由图易知函数在[-3,-2]上为减函数,在(-2,0]上为增函数. 答案:C 2.若定义在R上的二次函数f(x)=ax2-4ax+b在区间[0,2]上是增函数,且f(m)≥f(0),则实数m的取值范围是( ) A.0≤m≤4 B.0≤m≤2 C.m≤0 D.m≤0或m≥4 解析:由f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(2)>f(0),解得a<0. 又因为f(x)图象的对称轴为x=-=2, 所以f(x)在区间[0,2]上的值域与在区间[2,4]上的值域相同. 所以满足f(m)≥f(0)的m的取值范围是0≤m≤4. 答案:A 3.若f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是( ) A.(-1,0)∪(0,1) B.(-1,0)∪(0,1] C.(0,1) D.(0,1] 解析:f(x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a2, ∵f(x)在区间[1,2]上为减函数,∴a≤1. ∵g(x)=在区间[1,2]上为减函数, ∴a>0,∴0 答案:D 4.函数y=-x2+2|x|+3的单调递减区间为 . 解析:当x≥0时,y=-x2+2x+3; 当x<0时,y=-x2-2x+3. 画出该函数的图象如图所示,由图象知,该函数的单调递减区间是[-1,0),[1,+∞). 答案:[-1,0),[1,+∞) 5.已知f(x)是定义在R上的增函数,且f(x-2) 解析:∵f(x)是定义在R上的增函数, 又f(x-2) ∴x-2<1-x,解得x<. 故x的取值范围是. 答案: 6.已知函数f(x)=-2x2+mx+1在区间[1,4]上是单调函数,则实数m的取值范围是 . 解析:二次函数f(x)的图象的对称轴是直线x=. 因为二次函数在对称轴的两侧的单调性相反,即∉(1,4),所以≤1或≥4,即m≤4或m≥16. 答案:(-∞,4]∪[16,+∞) 7.讨论函数f(x)=在区间(-2,+∞)上的单调性. 解:f(x)==a+, 设任意的x1,x2∈(-2,+∞),且x1 则f(x1)-f(x2)= =(1-2a). ∵-2 ∴x2-x1>0, (x2+2)(x1+2)>0.
