必修一函数的单调性专题讲解(经典)
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新教材人教A版必修第一册 3.2.1 第1课时 函数的单调性 课件(48张)
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
7．图象变换对单调性的影响 (1)上下平移不影响单调区间，即 y＝f(x)和 y＝f(x)＋b 的单调区间相同． (2)左右平移影响单调区间．如 y＝x2 的单调递减区间为(－∞，0]；y＝(x ＋1)2 的单调递减区间为(－∞，－1]． (3)y＝k·f(x)，当 k>0 时单调区间与 f(x)相同，当 k<0 时单调区间与 f(x)相 反．
随堂水平达标
课后课时精练
2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知函数 f(x)＝x 的图象如图 1 所示，从左至右图象是上升的还是下降 的：________. (2)已知函数 y＝f(x)的图象如图 2 所示，则该函数的单调递增区间是 ________，单调递减区间是________．
核心概念掌握
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
答案
金版点睛 定义法证明单调性的步骤
判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格 按照单调性的定义操作．
利用定义法判断函数的单调性的步骤为：
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
注意：对单调递增的判断，当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2)，也可以用一个 不等式来替代：
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
3．单调区间 (1)这个区间可以是整个定义域．如 y＝x 在整个定义域(－∞，＋∞)上单 调递增， y＝－x 在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递减； (2)这个区间也可以是定义域的真子集．如 y＝x2 在定义域(－∞，＋∞) 上不具有单调性，但在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． 4．函数在某个区间上单调递增(减)，但是在整个定义域上不一定都是单 调递增(减)．如函数 y＝1x(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减， 但是在整个定义域上不具有单调性．
函数的单调性课件1(苏教版必修1)
反函数的单调性判断
如果原函数在其定义域内单调递增 （或递减），则其反函数在对应的定 义域内单调递减（或递增）。
反函数的应用举例
利用反函数求值
通过反函数，可以将一个变量的值转换为另一个变量的值。例如，利用反三角函数可以求出角度的值。
利用反函数解决实际问题
在很多实际问题中，可以通过建立反函数来求解问题。例如，在物理学、工程学、经济学等领域中，常常需要利 用反函数来解决实际问题。
函数的单调性课件1(苏教版必修1)
contents
目录
• 函数单调性的定义 • 单调函数的性质 • 单调函数的应用 • 反函数与单调性 • 复合函数的单调性
01 函数单调性的定义
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增，则对于该区间内的任意 两个数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) < f(x_2)$；如果函数在某个区间内单调递减，则对 于该区间内的任意两个数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) > f(x_2)$。
复合函数法
利用复合函数的单调性法则来判断 原Байду номын сангаас数的单调性。
单调函数的反例
反例1
函数f(x)=x^2在区间(-∞,0)上是单 调减少的，但在区间(0,+∞)上是单 调增加的，因此f(x)=x^2在整个定 义域上不是单调函数。
反例2
函数f(x)={ x^2 x>0; -x^2 x<0; } 在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都是单调 减少的，但在整个定义域上不是单 调函数。
x_2$），都有$f(x_1) > f(x_2)$，则函数在该区间内单调递减。
如果原函数在其定义域内单调递增 （或递减），则其反函数在对应的定 义域内单调递减（或递增）。
反函数的应用举例
利用反函数求值
通过反函数，可以将一个变量的值转换为另一个变量的值。例如，利用反三角函数可以求出角度的值。
利用反函数解决实际问题
在很多实际问题中，可以通过建立反函数来求解问题。例如，在物理学、工程学、经济学等领域中，常常需要利 用反函数来解决实际问题。
函数的单调性课件1(苏教版必修1)
contents
目录
• 函数单调性的定义 • 单调函数的性质 • 单调函数的应用 • 反函数与单调性 • 复合函数的单调性
01 函数单调性的定义
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增，则对于该区间内的任意 两个数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) < f(x_2)$；如果函数在某个区间内单调递减，则对 于该区间内的任意两个数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) > f(x_2)$。
复合函数法
利用复合函数的单调性法则来判断 原Байду номын сангаас数的单调性。
单调函数的反例
反例1
函数f(x)=x^2在区间(-∞,0)上是单 调减少的，但在区间(0,+∞)上是单 调增加的，因此f(x)=x^2在整个定 义域上不是单调函数。
反例2
函数f(x)={ x^2 x>0; -x^2 x<0; } 在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都是单调 减少的，但在整个定义域上不是单 调函数。
x_2$），都有$f(x_1) > f(x_2)$，则函数在该区间内单调递减。
人教版高中数学必修1《函数的单调性》PPT课件
k(x1 x2 )．
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
k(x1 x2 )． 由 x1 x2，得 x1 x2 0．所以
①当k 0时，k(x1 x2 ) 0．
只要 x1 x2，就有 f (x1) f (x2 )．
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
所有的 x1 x2，有 f (x1) f (x2 )．
你能由例 1、例 2 的证明过程，归纳一下用单调性定义研究或证 明一个函数在区间 D上的单调性的基本步骤吗？
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤：
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数
的单调性证明．
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数 的单调性证明．
思考:“体积V 减小时，压强 p增大”的含义？
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
k(x1 x2 )． 由 x1 x2，得 x1 x2 0．所以
①当k 0时，k(x1 x2 ) 0．
只要 x1 x2，就有 f (x1) f (x2 )．
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
所有的 x1 x2，有 f (x1) f (x2 )．
你能由例 1、例 2 的证明过程，归纳一下用单调性定义研究或证 明一个函数在区间 D上的单调性的基本步骤吗？
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤：
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数
的单调性证明．
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数 的单调性证明．
思考:“体积V 减小时，压强 p增大”的含义？
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
函数的单调性课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
y
y＝f(x)
f(x2)
f(x1)
O
x1
x2
x
x1＜x2
如何用x与f(x)来描述上升的图象？
y
y＝f(x)
f(x2)
f(x1)
O
x1
x2
x
x1＜x2
如何用x与f(x)来描述上升的图象？
y
y＝f(x)
f(x2)
f(x1)
O
x1
x2
x
x1＜x2 f(x1)＜f(x2)
如何用x与f(x)来描述上升的图象？
k
反比例函数 y k 0的单调性：
x
,0 0,
k
y k 0
x
y
k>0
O
减函数
减函数
增函数
增函数
x
y
k<0
O
x
2
y
ax
bx c(a 0)的单调性：
二次函数
b
y ax bx c(a 0) 的对称轴为 x
2a
2
y ax 2 bx c
3.用定义证明单调性的步骤：
(1)取值；（2）作差；（3）变形；（4）定号；（5）下结论.
作业：
1
证明函数 () = + 在区间 (0,1) 上单调递减.
一次函数 y kx bk 0的单调性：
函数f(x)＝kx＋b(k>0)在R上是增函数。
函数f(x)＝kx＋b(k<0)在R上是减函数。
1）图
.）（
那么就称函数f ( x)在区间I上单调递增（如图（1））
.
特别地，函数 f（x）在它的定义域上单调递增时，
y＝f(x)
f(x2)
f(x1)
O
x1
x2
x
x1＜x2
如何用x与f(x)来描述上升的图象？
y
y＝f(x)
f(x2)
f(x1)
O
x1
x2
x
x1＜x2
如何用x与f(x)来描述上升的图象？
y
y＝f(x)
f(x2)
f(x1)
O
x1
x2
x
x1＜x2 f(x1)＜f(x2)
如何用x与f(x)来描述上升的图象？
k
反比例函数 y k 0的单调性：
x
,0 0,
k
y k 0
x
y
k>0
O
减函数
减函数
增函数
增函数
x
y
k<0
O
x
2
y
ax
bx c(a 0)的单调性：
二次函数
b
y ax bx c(a 0) 的对称轴为 x
2a
2
y ax 2 bx c
3.用定义证明单调性的步骤：
(1)取值；（2）作差；（3）变形；（4）定号；（5）下结论.
作业：
1
证明函数 () = + 在区间 (0,1) 上单调递减.
一次函数 y kx bk 0的单调性：
函数f(x)＝kx＋b(k>0)在R上是增函数。
函数f(x)＝kx＋b(k<0)在R上是减函数。
1）图
.）（
那么就称函数f ( x)在区间I上单调递增（如图（1））
.
特别地，函数 f（x）在它的定义域上单调递增时，
高一数学必修一函数的基本性质(单调性)精品PPT课件
图像在定义域内呈上升趋势； 图像经过原点。
观察图像变化规律
图像在对称轴左边呈下降， 在对称轴后边呈下降趋势。
x
y
O
x
y
O
x
y
O
自变量递增，函数递减
x
y
O
x
y
O
x
y
O
自变量递增，函数递增
增函数、减函数的概念：
增函数、减函数的概念：
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 增函数.
2．两种方法：
判断函数单调性的方法 有图象法、定义法． 下一课时我们会重点练习
课堂小结
1．阅读教材P.27 -P.30； 2．教材课后练习：1、2、3.
课后作业
谢谢欣赏
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
增函数、减函数的概念：
函数最大值→图像最高点
一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f（x）≤M （2）存在x0∈I，使得f（x0）=M. 那么我们称M是函数y=f（x）的最大值 .
函数最小值→图像最低点
一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f（x）≥M （2）存在x0∈I，使得f（x0）=M. 那么我们称M是函数y=f（x）的最小值 .
-2
3
2
1
-1
y
-3
-4
4
O
x
2
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3
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观察图像变化规律
图像在对称轴左边呈下降， 在对称轴后边呈下降趋势。
x
y
O
x
y
O
x
y
O
自变量递增，函数递减
x
y
O
x
y
O
x
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O
自变量递增，函数递增
增函数、减函数的概念：
增函数、减函数的概念：
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 增函数.
2．两种方法：
判断函数单调性的方法 有图象法、定义法． 下一课时我们会重点练习
课堂小结
1．阅读教材P.27 -P.30； 2．教材课后练习：1、2、3.
课后作业
谢谢欣赏
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
增函数、减函数的概念：
函数最大值→图像最高点
一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f（x）≤M （2）存在x0∈I，使得f（x0）=M. 那么我们称M是函数y=f（x）的最大值 .
函数最小值→图像最低点
一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f（x）≥M （2）存在x0∈I，使得f（x0）=M. 那么我们称M是函数y=f（x）的最小值 .
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3
2
1
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y
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O
x
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必修一导数的单调性专题讲解(经典)
必修一导数的单调性专题讲解(经典)引言在高中数学中，导数是一个非常重要的概念，掌握导数的基本概念和求法对于我们后续研究数学和工程等学科都有很大的帮助。
其中，本篇文档将着重讲解导数的单调性。
一阶导数的单调性对于一个函数$f(x)$，它的一阶导数为$f'(x)$。
如果$f'(x)>0$，则称函数$f(x)$单调递增；如果$f'(x)<0$，则称函数$f(x)$单调递减。
需要注意的是，函数$f(x)$在某个区间内单调递增或单调递减并不能保证函数在整个定义域内单调递增或单调递减。
此外，当$f'(x)=0$时，函数在该点上的单调性无法确定。
二阶导数的单调性对于一个函数$f(x)$，它的二阶导数为$f''(x)$。
如果$f''(x)>0$，则称函数$f(x)$在该点上取极小值；如果$f''(x)<0$，则称函数$f(x)$在该点上取极大值。
需要注意的是，当$f''(x)=0$时，函数在该点上的极值无法确定。
此外，如果$f''(x)$在某个区间内恒大于（或恒小于）$0$，则$f(x)$在该区间内的单调性与$f'(x)$的单调性相同。
必备技能要想熟练掌握导数的单调性，需要掌握函数的求导方法和二阶导数的求法。
在此基础上，就可以通过对导数符号的分析来确定函数的单调性。
结论导数的单调性是高中数学中比较重要和常出现的考点，掌握好导数的单调性对我们后续研究物理、工程等学科都有着很重要的帮助。
新教材人教版高中数学必修第一册 3-2-1-1 单调性与最大(小)值——函数的单调性 教学课件
第五页，共四十一页。
2．单调性与单调区间 如果函数 y＝f(x)在区间 D 上单调递增或单调递减，那么就说函数 y ＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 y＝f(x)的_单__调__区__间__． [ 思考] 若函数 f(x)是其定义域上的增函数且 f(a)＞f(b)，则 a，b 满足什么关 系，如果函数 f(x)是减函数呢？ 提示：若函数 f(x)是其定义域上的增函数，那么当 f(a)＞f(b)时，a＞ b；若函数 f(x)是其定义域上的减函数，那么当 f(a)＞f(b)时，a＜b.
第二十八页，共四十一页。
(3)由题知－－11<<12－a－a<1<1，1， 1－a>2a－1，
解得 0<a<23，即所求 a 的取值范围是
0，23.
[答案] (1)①(－∞，－4] ②－4
(2)(－4，－2) (3)0，23
第二十九页，共四十一页。
[方法技巧] (1)区间 D 是函数 f(x)的定义域的子集，x1，x2 是区间 D 中的任意两 个自变量，且 x1＜x2， ①f(x)在区间 D 上单调递增，则 x1＜x2⇔f(x1)＜f(x2)． ②f(x)在区间 D 上单调递减，则 x1＜x2⇔f(x1)＞f(x2)．
第十八页，共四十一页。
题型二 求函数的单调区间 [学透用活]
(1)如果函数 f(x)在其定义域内的两个区间 A，B 上都是增(减)函数， 则两个区间用“，”或“和”连接，不能用“∪”连接．
(2)书写单调区间时，若函数在区间的端点处有定义，则写成闭区间、 开区间均可，但若函数在区间的端点处无定义，则必须写成开区间．
C．a＋b＞0
D．a＞0，b＞0
第三十二页，共四十一页。
2．单调性与单调区间 如果函数 y＝f(x)在区间 D 上单调递增或单调递减，那么就说函数 y ＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 y＝f(x)的_单__调__区__间__． [ 思考] 若函数 f(x)是其定义域上的增函数且 f(a)＞f(b)，则 a，b 满足什么关 系，如果函数 f(x)是减函数呢？ 提示：若函数 f(x)是其定义域上的增函数，那么当 f(a)＞f(b)时，a＞ b；若函数 f(x)是其定义域上的减函数，那么当 f(a)＞f(b)时，a＜b.
第二十八页，共四十一页。
(3)由题知－－11<<12－a－a<1<1，1， 1－a>2a－1，
解得 0<a<23，即所求 a 的取值范围是
0，23.
[答案] (1)①(－∞，－4] ②－4
(2)(－4，－2) (3)0，23
第二十九页，共四十一页。
[方法技巧] (1)区间 D 是函数 f(x)的定义域的子集，x1，x2 是区间 D 中的任意两 个自变量，且 x1＜x2， ①f(x)在区间 D 上单调递增，则 x1＜x2⇔f(x1)＜f(x2)． ②f(x)在区间 D 上单调递减，则 x1＜x2⇔f(x1)＞f(x2)．
第十八页，共四十一页。
题型二 求函数的单调区间 [学透用活]
(1)如果函数 f(x)在其定义域内的两个区间 A，B 上都是增(减)函数， 则两个区间用“，”或“和”连接，不能用“∪”连接．
(2)书写单调区间时，若函数在区间的端点处有定义，则写成闭区间、 开区间均可，但若函数在区间的端点处无定义，则必须写成开区间．
C．a＋b＞0
D．a＞0，b＞0
第三十二页，共四十一页。
3.1.2函数的单调性(2课时)高一数学同步精讲课件(人教B版2019必修第一册)
于是当且仅当ymin=3+a>0时,函数f(x)>0恒成立，
故a>-3.
探究提高
要注意函数思想在求函数值域中的运
用,(1)中用函数单调性求函数的最小值;(2)中用函
数的最值解决恒成立问题.在(2)中，还可以使用分
离参数法，要使x2+2x+a>0在[1,+∞)上恒成立,
只要a>-x2-2x=-(x+1)2+1恒成立，由二次函数
判断1：函数 () = 2 在
是单调增函数；(×)
判断2：定义在上的函数()满足(2) > (1) ，则函数() 在R
上是增函数； (×)
判断3：函数 =
在(−∞, )和(0, +∞)上单调递减
1
在定义域(−∞, 0)
∪ (0, +∞)上单调递减. (×)
即时训练:
如下图所示的函数，在[-6，-4]上是增函数，在[-4，-2]上是减函数，
在[-2，1]上是 增 函数，在[1，3]上是 减
函数，在[3，6]
上是 增
函数.单调增区间是 [−6, −4]和[−2,1]和 [3,6] ，单调
[−4, −2]和[1,3].
减区间是
.
在多个区间上单调性相同，
一般用“和”“，”连接
例1 求证：函数() = −2在上是减函数.
取值
【解析】
∴f(x)在区间[1,+∞)上为增函数，
7
∴f(x)在区间[1,+∞)上的最小值为f(1)=• .
2
(2)在区间[1,+∞)上f(x)>0恒成立
x2+2x+a>0恒成立.
故a>-3.
探究提高
要注意函数思想在求函数值域中的运
用,(1)中用函数单调性求函数的最小值;(2)中用函
数的最值解决恒成立问题.在(2)中，还可以使用分
离参数法，要使x2+2x+a>0在[1,+∞)上恒成立,
只要a>-x2-2x=-(x+1)2+1恒成立，由二次函数
判断1：函数 () = 2 在
是单调增函数；(×)
判断2：定义在上的函数()满足(2) > (1) ，则函数() 在R
上是增函数； (×)
判断3：函数 =
在(−∞, )和(0, +∞)上单调递减
1
在定义域(−∞, 0)
∪ (0, +∞)上单调递减. (×)
即时训练:
如下图所示的函数，在[-6，-4]上是增函数，在[-4，-2]上是减函数，
在[-2，1]上是 增 函数，在[1，3]上是 减
函数，在[3，6]
上是 增
函数.单调增区间是 [−6, −4]和[−2,1]和 [3,6] ，单调
[−4, −2]和[1,3].
减区间是
.
在多个区间上单调性相同，
一般用“和”“，”连接
例1 求证：函数() = −2在上是减函数.
取值
【解析】
∴f(x)在区间[1,+∞)上为增函数，
7
∴f(x)在区间[1,+∞)上的最小值为f(1)=• .
2
(2)在区间[1,+∞)上f(x)>0恒成立
x2+2x+a>0恒成立.
必修一函数的单调性讲义
x 1
变式练习 2：判断函数 f(x)＝ x 4 在(0，＋∞)上的单调性。 x
2
注意：定义法证明单调性的等价形式，设 x1、x2∈[ a ， b ]，x1≠x2，则
（1）(x1－x2)×[f(x1)－f(x2)]＞0
f (x1 ) f (x2 ) ＞0 f(x)在[ a ， b ]是增函数； x1 x2
意两个自变量的值 x1、x2 ，当． x．1．＜．x．2． 时．，．都．有．f．(．x．1．)．＞．f．(．x．2．)．，．那么就说 f(x)
在区间 D 上是减函数。
y y f (x)
f (x1 )
图 f (x2 ) 象
上 升
O x1
x2 x
y
图
f (x1)y f (x) f (x2 )
象 下
(2a 1)x 7a 1, x
f(x)＝
a
x
,
x
1
1
在(－∞，＋∞)上单调递减，则实
数 a 的取值范围是____________。
【解析】：
1 4
,
1 2
变式练习 3：函数 f (x) ax 1 在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么 a 的取值范围是（ ） x2
降
O x1
xx 2
如果 y＝f(x)(在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数 y＝f(x)在这一区间具有（严格 的）单调性，这个区间叫做 y＝f(x)的单调区间。
注意：（1）区间 D，必须在定义域 I 内，即 D I，一个函数在不同区间上的单
调性可以不同。 （2）自变量的大小关系与函数的大小关系有直接联系，如：f(x)是增函数，则 x1＜x2 f(x1)＜f(x2)。 （3）函数在其单调区间上的图象特征：f(x)在 D 上是增函数，则图象在 D 上从 左到右呈上升趋势；f(x)在 D 上是减函数，则图象在 D 上从左到右呈下降趋势。 （4）函数单调性受区间限制。如函数 f(x)＝ 1 分别在(－∞,0)，(0,＋∞)上是
变式练习 2：判断函数 f(x)＝ x 4 在(0，＋∞)上的单调性。 x
2
注意：定义法证明单调性的等价形式，设 x1、x2∈[ a ， b ]，x1≠x2，则
（1）(x1－x2)×[f(x1)－f(x2)]＞0
f (x1 ) f (x2 ) ＞0 f(x)在[ a ， b ]是增函数； x1 x2
意两个自变量的值 x1、x2 ，当． x．1．＜．x．2． 时．，．都．有．f．(．x．1．)．＞．f．(．x．2．)．，．那么就说 f(x)
在区间 D 上是减函数。
y y f (x)
f (x1 )
图 f (x2 ) 象
上 升
O x1
x2 x
y
图
f (x1)y f (x) f (x2 )
象 下
(2a 1)x 7a 1, x
f(x)＝
a
x
,
x
1
1
在(－∞，＋∞)上单调递减，则实
数 a 的取值范围是____________。
【解析】：
1 4
,
1 2
变式练习 3：函数 f (x) ax 1 在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么 a 的取值范围是（ ） x2
降
O x1
xx 2
如果 y＝f(x)(在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数 y＝f(x)在这一区间具有（严格 的）单调性，这个区间叫做 y＝f(x)的单调区间。
注意：（1）区间 D，必须在定义域 I 内，即 D I，一个函数在不同区间上的单
调性可以不同。 （2）自变量的大小关系与函数的大小关系有直接联系，如：f(x)是增函数，则 x1＜x2 f(x1)＜f(x2)。 （3）函数在其单调区间上的图象特征：f(x)在 D 上是增函数，则图象在 D 上从 左到右呈上升趋势；f(x)在 D 上是减函数，则图象在 D 上从左到右呈下降趋势。 （4）函数单调性受区间限制。如函数 f(x)＝ 1 分别在(－∞,0)，(0,＋∞)上是
数学人教A版必修一3.2.1函数的单调性课件(共23张ppt)
有(1 ) < (2 )，就称函数 = ()在区间上是增函数.
(× )
(× )
② 函数 = ()在区间上是增函数，如果(1 ) < (2 )，则1 < 2 .
1
③ () = 在定义域内为减函数.
（× ）
④ 若函数 = ()的定义域内区间D上的任意两个变量1 , 2 ，
1
在区间
1, +∞ 上的单调性.
例题演练
例 3-2
根据定义证明函数 = −
1
在区间
0, +∞ 上的单调性.
例题演练
例 4
已知函数 =
1
.
2 −1
（1）求 的定义域；
（2）判断函数 在 1, +∞ 上的单调性，并用定义加以证明.
例题演练
变 4
求证：函数 =
1
2
2
−∞, −
=−
2
概念剖析
（3）反比例函数 =
和 (0， + ∞)上都是减函数；
①k __
> 0 时，在(−∞，0) ____
和 (0， + ∞)上都是增函数．
< 0 时，在(−∞，0) ____
②k __
概念剖析
观察函数图象：
(1 )
= 2
(2 )
你觉得它们反映了函数的哪些方面的性质？
概念剖析
反比例函数 =
1. 列表：
1
=
1
−
3
1
的表示：
1
−
2
2. 函数解析式： =
(× )
(× )
② 函数 = ()在区间上是增函数，如果(1 ) < (2 )，则1 < 2 .
1
③ () = 在定义域内为减函数.
（× ）
④ 若函数 = ()的定义域内区间D上的任意两个变量1 , 2 ，
1
在区间
1, +∞ 上的单调性.
例题演练
例 3-2
根据定义证明函数 = −
1
在区间
0, +∞ 上的单调性.
例题演练
例 4
已知函数 =
1
.
2 −1
（1）求 的定义域；
（2）判断函数 在 1, +∞ 上的单调性，并用定义加以证明.
例题演练
变 4
求证：函数 =
1
2
2
−∞, −
=−
2
概念剖析
（3）反比例函数 =
和 (0， + ∞)上都是减函数；
①k __
> 0 时，在(−∞，0) ____
和 (0， + ∞)上都是增函数．
< 0 时，在(−∞，0) ____
②k __
概念剖析
观察函数图象：
(1 )
= 2
(2 )
你觉得它们反映了函数的哪些方面的性质？
概念剖析
反比例函数 =
1. 列表：
1
=
1
−
3
1
的表示：
1
−
2
2. 函数解析式： =
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(2)第一章函数的基本性质之单调性
一、基本知识
1 .定义：对于函数y f (x)，对于定义域内的自变量的任意两个值x「X2，当捲x2时，都有f(x i) f (X2)(或f (x i) f(X2))，那么就说函数y f (x)在这个区间上是增(或减)函数。
重点2 .证明方法和步骤：
(1) 取值: 设X i,X2是给定区间上任意两个值，且X i X2 ；
(2) 作差: f(xj f(X2)；
(3) 变形: (如因式分解、配方等)；
(4) 宀口
定
号：
即f (x i) f(x2) 0或f (x i) f(x2) 0 ；
(5) 根据定义下结论。
3•常见函数的单调性
⑴ 心) 也+乩k o|时，回在R上是增函数；k<o时，国在R上是减函数
0), (0 , + g)上是增函数,
(k<0时)，匚匚1在(一g, 0), (0, + g)上是减函数，
2
(3)二次函数的单调性：对函数f(x) ax bx c (a 0),
b
当a 0时函数f (x)在对称轴x ——的左侧单调减小，右侧单调增加；
a
K
当a 0时函数f (x)在对称轴x ——的左侧单调增加，右侧单调减小；
a
4 .复合函数的单调性：复合函数y f(g(x))在区间(a,b)具有单调性的规律见下表:
以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减” 在函数f(x)、g(x)公共定义域内，增函数f (x)增函数g(x)是增函数；减函数f(x)减函数g (x)是减函数;
5.函数的单调性的应用：
判断函数y f(x)的单调性；比较大小；解不等式；求最值(值域) 例题分析
T
2
例1 :证明函数f(x)=区_1在(0， + 上是减函数。
例2 :证明F@) = / + 3|在定义域上是增函数。
例3 :证明函数f(x)=x 3的单调性。
例4 :讨论函数y =一； 1 — x2在［—1,1］上的单调性.
3
例5 :讨论函数f(x) =W 的单调性.
例6 :讨论函数f(x) x -(x 0)的单调性
x
例7:求函数"Q d + 4—3的单调区间。
习题：求函数¥ = 斗龙_5的单调区间。
例8 :设f(x)在定义域内是减函数，且 f(x) >0,在其定义域内判断函数y = [f(x)] 2.的单调性
(x —1)2 x >0
例9 :若f(x)= ，则f(x)的单调增区间是________ ,单调减区间是 _________
x + 1 x v 0
例10 :对于任意x>0,不等式x2 +2x-a >0恒成立，求实数a的取值范围。
例ii:若函数F(x)= -皿兀+ 5 -皿|在十°°)上是增函数，在1 _卩一可上是减函数，则实数
m的值为
例12 :若定义在R上的单调减函数f(x)满足i I」 I九 I ,求a的取值范围。
习题：若定义在丘回上的单调减函数f(x)满足『魚+ -3a)|,求a的取值范围。
针对性训练
2
习题：若函数仏)-& 叫十―叫在| - 2, + °°)|上是增函数，则实数m的范围为；
a 的取值范围．
一、 选择题(每小题5分，共20分) 1 •函数y = — x
3 4 5 6 7 8
的单调减区间为( )
A • ( — 8, 0]
B . [0，+m
) C • ( — 8, 0) D • (— m,+m)
2 .若函数y = kx + b 是R 上的减函数，那么( )
A. k<0 B . k>0 C . k 工 0 D •无法确定 3 .下列函数在指定区间上为单调函数的是
( )
2
A . y =—, x € ( —8, op,u*8)
x
8 .定义在(—1,1)上的函数f(x)是减函数，且满足 f(1 — a) v f(a)，求实数a 的取值范围.
9 . (10分)函数f(x) = x 2
— 2ax — 3在区间［1,2］上单调，求
3
B. y =
, x € (1 ,+8)
x — 1
C. y = x 2 , x €R D . y = |x|, x €R
5 .已知函数f(x) = x 2 + bx + c 的图象的对称轴为直线 x = 1，则( )
A . f( — 1)<f(1)<f(2)
B . f(1)<f( — 1)<f(2)
C . f(2)<f( — 1)<f(1)
D . f(1)<f(2)<f( — 1)
二、 填空题(每小题5分，共10分)
6 .若f(x)是R 上的增函数，且f(X 1)>f(X 2)，则X 1与X 2的大小关系是 ______________
7 .设函数f(x)是(—8,+8
)上的减函数，则h 2 + 1)与f(a)的大小是 _________ .
三、 解答题(每小题10分，共20分)
x + 2
8 .求函数f(x)= 的单调区间，并证明 f(x)在其单调区间上的单调性.
x + 1。