函数的单调性·典型例题精析

又∵f(x)在 R 上递减， ∴x2－x+3x＜3,∴x2+2x－3＜0∴－3＜x＜1.
∴原不等式的解集为{x|－3＜x＜1 }．
变式：定义在 R 上的函数 y＝f(x)，f(0)≠0，当 x>0 时，f(x)>1， 且对任意的 a，b∈R，有 f(a＋b)＝f(a)·f(b)．
(1)证明：f(0)＝1； (2)证明：对任意的 x∈R，恒有 f(x)>0； (3)证明：f(x)是 R 上的增函数； (4)若 f(x)·f(2x－x2)>1，求 x 的取值范围．
设奇函数 f(x)的定义域为[－5,5]．若当 x∈[0，5]时，f(x) 的图象如图 2－2－5 所示，则不等式 f(x)＜0 的解集是 ________．
图 2－2－5
解：注意到奇函数的图象关于原点成中心对称，用对称的思 想方法画全函数 f(x)在[－5，5]上的图象(如图)，数形结 合，得 f(x)＜0 的解集为{x|－2＜x＜0 或 2＜x≤5}．
变式：已知 f(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当 x ＞0 时，f(x)＝x3＋x＋1，求 f(x)的解析式．
解：①当 x＜0 时，－x＞0，
∴f(－x)＝(－x)3－x＋1＝－x3－x＋1．
又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
∴f(x)＝－x3－x＋1.
∴f(x)＝x－3＋x3x－＋x1＋，1，
已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为 0 的函数，且对于任意的 x， y∈R，有 f(x·y)＝xf(y)＋yf(x)． (1)求 f(0)，f(1)的值； (2)判断函数 f(x)的奇偶性，并证明你的结论．
解：(1)在 f(xy)＝xf(y)＋yf(x)中， 令 x＝y＝0，得 f(0)＝0＋0＝0，即 f(0)＝0. 令 x＝y＝1，得 f(1)＝1·f(1)＋1·f(1)， ∴f(1)＝0；

第二讲：函数的单调性一、定义：1.设函数)(x f y =的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有),()(21x f x f <那么就说)(x f 在区间D 上是增函数.区间D 叫)(x f y =的单调增区间. 注意：增函数的等价式子：0)()(0)]()()[(21212121>--⇔>--x x x f x f x f x f x x ;难点突破：（1）所有函数都具有单调性吗？（2）函数单调性的定义中有三个核心①21x x <②)()(21x f x f <③ 函数)(x f 为增函数,那么①②③中任意两个作为条件，能不能推出第三个？2. 设函数)(x f y =的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有),()(21x f x f >那么就说)(x f 在区间D 上是减函数.区间D 叫)(x f y =的单调减区间.注意：(1)减函数的等价式子：0)()(0)]()()[(21212121<--⇔<--x x x f x f x f x f x x ；(2)若函数)(x f 为增函数，且)()(,2121x f x f x x <<则. 题型一：函数单调性的判断与证明例 1.已知函数)(x f 的定义域为R ，如果对于属于定义域内某个区间I 上的任意两个不同的自变量21,x x 都有.0)()(2121>--x x x f x f 则（ ）A.)(x f 在这个区间上为增函数B.)(x f 在这个区间上为减函数C.)(x f 在这个区间上的增减性不变D.)(x f 在这个区间上为常函数变式训练：定义在R 上的函数)(x f 对任意120x x <<都有1)()(2121<--x x x f x f ，且函数)(x f y =的图象关于原点对称，若,2)2(=f 则不等式0)(>-x x f 的解集为___.例3.证明：函数x x x f +=3)(在R 上是增函数.变式训练：讨论)0()(>+=a xax x f 的单调性.并作出当1=a 时函数的图象.变式训练：已知上的单调性，在判断函数)1,0()()(,2)1(2xx f x g x x x f =-=+并用定义证明.题型二：函数的单调区间难点突破：（1）函数在某个区间上是单调函数，那么它在整个定义域上也是单调函数吗？ （2）函数x x f 1)(=的单调减区间是),0()0,(+∞-∞ 上吗？例1.（图像法）求下列函数的单调区间（1）|2||1|)(-++=x x x f . (2)3||2)(2++-=x x x f .（3）|54|)(2+--=x x x f .例2.（直接法）求函数xxx f +-=11)(的单调区间.例3.（复合函数）（2017全国二）函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是( )A.)2,(--∞B. )1,(--∞C.),1(+∞D. ),4(+∞变式训练：求下列函数的单调区间.（1）312+-=x x y （2）652+-=x x y（3）22311xx y ---=题型三：抽象函数的单调性问题例1.设函数)(x f 是实数集R 上的增函数，令)2()()(x f x f x F --=. (1) 证明：)(x F 是R 上的增函数； (2) 若,0)()(21>+x F x F 求证：221>+x x .例2定义在),0(+∞上的函数)(x f 满足下面三个条件： ①对任意正数b a ,，都有)()()(ab f b f a f =+； ②当1>x 时，0)(<x f ； ③1)2(-=f . （1）求)1(f 的值；（2）使用单调性的定义证明：函数)(x f 在),0(+∞上是减函数； （3）求满足2)13(>+x f 的x 的取值集合.题型四：函数单调性的应用（1）利用函数的单调性比较大小在解决比较函数值大小的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上. ①正向应用：②逆向应用：例1.()x f 在()+∞,0上单调递减，那么()12+-a a f 与⎪⎭⎫⎝⎛43f 的大小关系是__________.变式训练：已知函数),1()1()(x f x f x f -=+满足且对任意的)(1,2121x x x x ≠>，有.0)()(2121>--x x x f x f 设),3(),2(),21(f c f b f a ==-=则c b a ,,的大小关系_________.（2）利用函数的单调性解不等式例2.设)(x f 是定义在]1,1[-上的增函数，且)1()2(x f x f -<-成立，求x 的取值范围.变式训练.①设)(x f 是定义在]3,3[-上的偶函数，当30≤≤x 时，)(x f 单调递减，若)()21(m f m f <-成立，求m 的取值范围.②（2015全国二）设函数)12()(,11)1ln()(2->+-+=x f x f x x x f 则使得成立的x 的取值范围是（ ）A. )1,31(B. ),1()31,(+∞-∞C. )31,31(-D. ),31()31,(+∞--∞③（2018全国一）设函数()201 0x x f x x -⎧=⎨>⎩，≤，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围 是（ ） A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，（3）根据函数的单调性求参数的取值范围例1.如果函数1)1(42)(2+--=x a x x f 在区间),3[+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A.（1,2）B.（0，2）C.（0，1）D.[)+∞-,2变式训练：如果函数2)1(2)(2+--=x a x x f 在区间)4,[-∞上是减函数，求实数a 的取值范围.例2.若函数⎩⎨⎧≤-+->-+-=0,)2(,0,1)12()(2x x b x x b x b x f 在R 上为增函数，则实数b 的取值范围是__________.例3.若函数||a x y -=在区间]4,(-∞上是减函数，求实数a 的取值范围.第三节：函数的奇偶性一、知识梳理1.函数的奇偶性 例1（2014全国二）偶函数)(x f y =的图象关于直线2=x 对称，3)3(=f ，则=-)1(f ___________．例2（2017全国二） 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时， 32()2f x x x =+，则(2)f =__________.例3（2012全国二）设函数1sin )1()(22+++=x xx x f 的最大值为M ，最小值为m ，则M +m =______.2. 函数的图象(1)平移变换：“上加下减，左加右减”例4（2010全国二）设偶函数)(x f 满足)0(42)(≥-=x x f x ，则=>-}0)2(|{x f x （ ）A.}42|{>-<x x x 或B.}40|{><x x x 或C.}22|{>-<x x x 或D.}42|{>-<x x x 或 (2)对称变换①)()(x f y x f y x -=−−−−→−=轴对称关于； ②)()(x f y x f y y -=−−−−→−=轴对称关于； ③)()(x f y x f y --=−−−−→−=关于原点对称； ④)10(log )10(≠>=−−−−→−≠>==a a x y a a a y a x y x 且且对称关于;⑤奇函数的图象关于坐标原点对称；偶函数的额图象关于y 轴对称. (3)翻折变换★★①|)(|)(x f y x f y x x =−−−−−−−−−−−→−=轴下方图象翻折上去轴上方图象，将保留. 例5（2010全国二）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧+-≤<=621100|,lg |)(x x x x f , 若c b a ,,均不相等，且),()()(c f b f a f ==则c b a ⋅⋅的取值范围是( )A.)10,1(B.)6,5( C )12,10( D.)24,20(例6（2011全国二）已知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时2()f x x =，那 么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有（ ） A ．10个 B ．9个 C ．8个D ．1个★★★②)||()()(x f y x f y y x f y y =−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→−=轴左侧的图象）在轴对称的图象（去掉原于轴右边图象，并作其关保留. 例7（2011全国二）下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是（ ） A. 3y x =B ．||1y x =+C ．21y x =-+D ．||2x y -=例8（2010大纲）直线1=y 与曲线a x x y +-=||2有四个交点，则a 的取值范围是____________.(4)函数图象的几种对称关系★①R x x f ∈),(满足)()()(x f y x a f x a f =⇔-=+图象关于直线a x =为轴对称； 例9（2018全国二）已知)(x f 是定义域为),(+∞-∞的奇函数，满足)1()1(x f x f +=-，若)1(f =2，则=++++)50(...)3()2()1(f f f f （ ）A ．﹣50B ．0C ．2D ．50②)()()(x f x b f x a f ⇔-=+图象关于2ba x +=为轴对称； ③函数)(x a f y +=与函数)(x b f y -=的图象关于直线2ab x -=对称.如：)(x f y =和)1(x f y -=的图象，关于直线21=x 为轴对称.例10（2015全国二）已知函数），的图像过点（4,1-2)(3x ax x f -=则a =________.二、真题演练1.（2014全国一）设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）A. )()(x g x f 是偶函数B. )(|)(|x g x f 是奇函数C. |)(|)(x g x f 是奇函数D. |)()(|x g x f 是奇函数2.（2015全国一）已知函数⎩⎨⎧>+-≤-=-1),1(log 1,22)(21x x x x f x 错误！未找到引用源。

第3讲函数的单调性典型例题【例1】求函数()f x x=的值域.【答案】99⎡-⎢⎣⎦. 【解析】()()f x xf x ==--,()f x 是奇函数.t =,则01t ,即10t -.()222f x x =()()()()()22112111t t t t t =-+=+-+()()()1122t t t =++-()()()3112264327t t t ⎡⎤++++-=⎢⎥⎣⎦, 当且仅当31t =,即3x =±时,上式取等号. 因为()00f =,所以()()01y f x x=的值大于或等于0,其值域为0,9⎡⎢⎣⎦.由奇函数的性质可得原函数的值域为99⎡-⎢⎣⎦. 【例2】求函数()4321x y x =+的值域.【答案】40,27⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】令tan ,,22x ππθθ⎛⎫=∈-⎪⎝⎭, 则()44232tan sin cos 1tan y θθθθ==+2221sin sin 2cos 2θθθ=⋅32221sin sin 2cos 42327θθθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭, 当且仅当2tan2θ=时等号成立,所以函数()4321x y x =+的值域为40,27⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【例3】已知函数()22,11,1ax x x f x ax x ⎧+=⎨-+>⎩≤在R 上为增函数，则实数a 的取值范围为。

【答案】11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】函数()22,1,1,1ax x x f x ax x ⎧+=⎨-+>⎩在R 上为增函数,则有11,0,21,a a a a ⎧-⎪⎪<⎨⎪+-+⎪⎩解得112a --.故答案为11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【例4】已知函数()2f x x x m m =-+.（1）若函数()f x 在[]1,2上单调递增，求实数m 的取值范围；（2）若函数()f x 在[]1,2上的最小值为7，求实数m 的值.【答案】(1)][()(),14,;22m ∞∞-⋃+=-或1【解析】(1)()2222,,,.x mx m x m f x x mx m x m ⎧-+=⎨-++<⎩ (i)当0m =且0x 时,()2f x x =,此时()f x 在[]1,2上单调递增,可取0m =.(ii)当0m <时,][)1,2,m ∞⎡⊆+⎣,且当x m 时,()22f x x mx m =-+.二次函数22y x mx m =-+的图象开口向上,对称轴为直线02mx =<,如图()1,f x 在[]1,2上单调递增,可取0m <.(iii)当0m >时,如图2,若()f x 在[]1,2上单调递增,则22m或1m ,得01m <或4m .综上所述,实数m 的取值范围是(],1∞-[)4,∞⋃+.图1 图2(2)(i)当1m 时,()f x 在[]1,2上单调递增,()2min ()117f x f m m ==-+=,即260m m --=,解得3m =(舍去)或2m =-.(ii)同(2)(i),当4m 时,()f x 在[]1,2上单调递增,可解得m =均舍去)； 当34m <时,可解得12m -±=(均舍去); 当23m <<时,可解得1m =;当12m <时,可解得m =均舍去).综上,2m =-或1.【例5】已知函数()([]11,2,42f x x x x=-∈，求函数()f x 的值域.【答案】11,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】解法1：()(112f x x x =-+1112x ⎛=-+ ⎝1112x ⎡⎢=-+⎢⎣. 令1m x =,则11,42m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 构造函数()1g m m =-+()1m =-=,则()g m 是11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的增函数,从而()11,22g m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,因此()11,44f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 解法()112:12f x x ⎡⎢=-⎢⎣.令1311tan ,,42x θθ⎡⎤-=∈--⎢⎥⎣⎦为第四象限角,则sin 12cos y θθ+=,可看作图中单位圆上一点P 与点()0,1A -连线斜率的一半的改变范围,如图,将1x =2和4x =代人可得所求函数的值域为11,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【例6】设函数()f x m =，若存在实数,()a b a b <，使()f x 在[],a b 上的值域为1⎤++⎥⎣⎦，则正实数m 的取值范围是_______.21m << 【解析】因为()f x m m ==+933m +>,所以3a b <<.由函数的性质知()f x 在[)3,∞+上是增函数,所以()()1,21,f a a f b ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即1,21,m a m ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩所以1m -=-=即方程12m x -=[)3,∞+上有两个不等的实数根,a b . 设()2g x x =则()2g x '=3x -=6x x -=当()3,6x ∈时,()()0,g x g x '>单调递增;当()6,x ∞∈+时,()()0,g x g x '<单调递减.又()()33,60g g ==, 由于()2g x x =()231322x x x ⎛⎫--=-+ ⎪⎪⎝⎭,所以()lim x g x ∞∞→+=-,从而3102m -<-<, 故212m -<<. 【例7】（多选题）已知函数()231,11,1x x f x x x +⎧=⎨->⎩若n m >，且()()f n f m =，设t n m =-，则（）A.t 没有最小值B.t 1C.t 没有最大值D.t 的最大值为1712【答案】BD【解析】如图,作出函数()f x 的图象.因为()()f n f m =且n m >,则1,1m n >,所以2311m n +=-,即223n m -=.由21,014,n n >⎧⎨<-⎩解得15n <,又()22213233n n m n n n --=-=---213173212n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,故当n =,min ()1n m -,当32n =时,max 17()12n m -=. 故选BD.【例8】对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x 满意()()00f x f x -=-，则称函数()f x 为“倒戈函数”.设()()31,0x f x m m R m =+-∈≠是定义在[]1,1-上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是（）A.2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B.21,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C.2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.(),0-∞【答案】A【解析】若()31xf x m =+-是定义在[]1,1-上的“倒戈函数”,则存在[]01,1x ∈-满意()()00f x f x -=-,即003131x x m m -+-=--+,得002332x x m -=--+.构造函数[]000332,1,1x x y x -=--+∈-,令013,,33x t t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦, 则1122y t t tt ⎛⎫=--+=-+ ⎪⎝⎭在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在(]1,3上单调递减,当1t =时取得最大值0,当13t =或3t =时取得最小值44,,033y ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦.又0m ≠,所以实数m 的取值范围是2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. 故选A.【例10】已知221x y +=，则22x y x y +--+的最大值_______.2.【解析】解法()221:1222x y y x y x y +--=+⋅-+--()1121112y xy =+⋅---,2y x-的几何意义为单位圆上的点(),x y 与定点()0,2连线的斜率,如图.设过点()0,2的切线为2y kx =+,1=,解得k =结合图象,得23y x--或23y x-,则211121212112x y xx y y +-=+⋅+⋅-+--2=, 所以22x y x y +--+2.解法2：令,x y m x y n -=+=,则22222,22x y n m n x y m +--+==-++,同上,转化为圆上的点(),m n 与点()2,2-连线的斜率,易得223232n m ---++,则22x y x y +--+2.解法3：圆221x y +=上的点(),P x y 到直线x 20y +-=的距离为1d =,又点(),P x y 在直线20x y +-=的下方,=同理,圆221x y +=上的点(),P x y 到直线x -20y +=的距离为2d =,则22x y x y +--+12d d =-如图,设12,,PQ d PS d PAQ ∠α===,则tan α12d d =.结合图形可知,当直线AP 与圆221x y +=相切时,α取最小值,30OAP ∠=,则min?4530α=-=15,从而tan tan152α=所以22x y x y +--+2.解法4：设22x y t x y +-=-+,整理得()1t x --()()1210t y t +++=,由题意,圆221x y +=与直线()()()11210t x t y t --+++=有交点,则圆心到直线的距离小于等于半径,即1,解得2323t --+所以22x y x y+--+2.:【例11】已知实数0a >，函数()23f x x x a =+--在区间[]1,1-上的最大值是2，则a =_______.【答案】54或3【解析】解法1;因为函数()23f x x x a =+--在区间[]1,1-上的最大值是2, 取0x =,可得()02f ,又0a >,得32a -,解得15a ,即有()23,11f x x x a x =-+--,故()f x 的最大值在顶点或端点处取得.由()12f -=,即12a -=,解得3a =或a =1-(舍去)；由()12f =,即32a -=,解得5a =或1a =; 由122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,即1324a -=,解得54a =或a =214(舍去).当1a =时,()22f x x x =--,因为12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭924>,故不符合题意,舍去;当5a =时,()22f x x x =-+,因为()1f -=42>,故不符合题意,舍去;当3a =时,()2f x x x =-,明显当1x =-时,()f x 取得最大值2,符合题意; 当54a =时,()()277,144f x x x f =--=,()111,242f f ⎛⎫-== ⎪⎝⎭,符合题意. 所以54a =或3a =.解法()2:f x 在[]1,1-上的最大值为2,等价于()232f x x x a =+--在[]1,1-上恒成立,且等号可取到, 即2232x x a -+--在[]1,1-上恒成立,且至少一处等号可取到,即2215x x a x ---在[]1,1-上恒成立,且至少一处等号可取到.在同一个坐标系里画出函数21,y x y =-=2,5x a y x -=-的图象,如图.肯定值函数的图象过25y x =-图象上的点()1,4-,或者与21y x =-的图象相切,得14a +=或210x x a -+-=.对于后者,由Δ0=得54a =,所以3a =或54a =.【例12】对于定义域为D 的函数()y f x =，假如存在区间[,]m n D ⊆, 同时满意：①()f x 在[],m n 上是单调函数，②[],m n 上()f x 的值域也是[],m n ，则称[],m n 是该函数的“美丽区间”.已知函数()()()221,0a a x y h x a R a a x +-==∈≠有“美丽区间”[],m n ，当a 改变时，求n m -的最大值_______.【解析】设[],m n 是已知函数定义域的子集. 由于0x ≠,则[](),,0m n ∞⊆-或[],m n ⊆()0,∞+. 而函数()222111a a x a y a x a a x+-+==-在[],m n 上单调递增,若[],m n 是已知函数的“美丽区间”,则()(),,h m m h n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以,m n 是方程211a x a a x+-=即22a x -()210a a x ++=的两个同号且不等的实数根. 因为210mn a =>,所以,m n 同号, 只要()()()2222Δ4310a a a a a a =+-=+->,解得3a <-或1a >.n m -===当3a =时,n m -【例13】已知在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，若AB 边上的高为14AB ，则当sin sin sin sin A B B A+取得最大值时，sin C =_______.【答案】5 【解析】设AB 边上的高为c h ,即14c h c =, 由面积公式得11sin 22c ch ab C =,即24sin c ab C =. 22sin sin sin sin A B a b a b B A b a ab++=+=, 由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-,则22cos 4sin 2cos c ab C ab C ab C ab ab++=()4sin 2cos C C C ϕ=+=+, 其中1tan 2ϕ=. 当2C πϕ+=时,上式取到最大值此时2C πϕ=-,故sin sin cos 2C πϕϕ⎛⎫=-===⎪⎝⎭【例14】在平面直角坐标系xOy 中，设定点(),,A a a P 是函数1(0)y x x=>图象上的一个动点，若,P A之间的最短距离为，则满意条件的实数a 的值为______.【答案】1-【解析】1设1,(0)P x x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭, 则2222211||()AP x a a x x x ⎛⎫=-+-=+- ⎪⎝⎭2222a ax a x -+. 令[)12,t x x∞=+∈+,则222||222AP t at a =-+-. 记()()222222g t t at a t =-+-,其图象的对称轴为t a =,最小值为28=,所以()2min?2,()22428,a g t g a a <⎧⎨==-+=⎩或()2min?2,()28,a g t g a a ⎧⎨==-=⎩解得1a =-或a =.【解析】2由题意可知,若0a <,则1a =-满意题意.若0a >,则圆22()()8x a y a -+-=与曲线1(0)y x x=>相切,联立方程组, 消去y 得22221228a x ax a a x x-++-+=, 即()221122100?*x a x a x x ⎛⎫⎛⎫+-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由()22Δ(2)42100a a =--=,得a =, 此时方程()*的解为2x =,满意题意. 综上,1a =-或a =.【例15】已知函数()21,1,{ln ,1,x x f x x x x-<=>若关于x 的方程()()212202f x tf x t ++-=有5个不同的实数根，则实数t 的取值范围是 A.111,22e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ B.111,22e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.113,22e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ D.113,22e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】设ln x y x =,则21ln x y x-='. 当()0,e x ∈时,0y '>,函数单调递增;当()e,x ∞∈+时,0y '<,函数单调递减.所以当e x =时,函数取得极大值, 1ey =极大值.方程()()212202f x tf x t ++-=可化为()()12102f x t f x ⎡⎤⎡⎤+-+=⎣⎦⎢⎥⎣⎦,解得()12f x t =-+或()12f x =-.画出函数()f x 的大致图象,如图.要使得关于x 的方程()()21222f x tf x t ++-0=有5个不同的实数根, 应满意1102e t <-+<,解得1112e 2t -<<,即实数t 的取值范围是111,2e 2⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选A.。

5.3.1 函数的单调性(精讲)考点一导数与单调性图像问题【例1】(2021·全国高二课时练习)()'f x是函数y＝f(x)的导函数，若y＝()'f x的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由导函数的图象可知，当x＜0时，()'f x＞0，即函数f(x)为增函数；当0＜x＜2时，()'f x＜0，即f(x)为减函数；当x＞2时，()'f x＞0，即函数f(x)为增函数.观察选项易知D正确.故选：D【一隅三反】1(2021·全国高二课时练习)函数y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】∵函数f (x )在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数， ∴当x ＞0时，f ′(x )＜0，当x ＜0时，f ′(x )＜0.故选：D2．(2021·全国高二课时练习)如果函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么导函数y ＝()'f x 的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，只有选项A 满足．故选：A ． 3．(2021·西藏日喀则区南木林高级中学)如图所示是函数()f x 的导函数()'f x 的图象，则下列判断中正确的是( )A ．函数()f x 在区间(3,0)-上是减函数B ．函数()f x 在区间(3,2)-上是减函数C ．函数()f x 在区间(0,2)上是减函数D ．函数()f x 在区间(3,2)-上是单调函数 【答案】A【解析】由函数()y f x =的导函数()'f x 的图像知，A ：(30)x ∈-，时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，故A 正确； B ：(32)x ∈-，时，()0f x '<或()0f x '>， 所以函数()f x 先单调递减，再单调递增，故B 错误；C ：(02)x ∈，时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，故C 错误； D ：(32)x ∈-，时，()0f x '<或()0f x '>， 所以函数()f x 先单调递减，再单调递增，不是单调函数，故D 错误.故选：A考点二 无参单调性区间【例2】(2021·全国高二课时练习)求下列函数的单调区间.(1)f (x )＝x 3－3x ＋1；(2)y ＝x ＋2x.(3)32223y x x =-+3；(4)y ＝ln(2x ＋3)＋x 2.【答案】(1)增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，减区间是(－1，1)；(2)增区间为(－∞，)和)，减区间为(，0)和(0(3)单调递增区间为(－ ∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0，2)； (4)单调递增区间为3(,1)2--，1(,)2-+∞，单调递减区间为1(1,)2--.【解析】(1)()'f x ＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)， 令()'f x >0，得x >1，或x <－1.令()'f x <0，得－1<x <1.∴f (x )的增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，减区间是(－1，1).(2)y '＝1－22x由y '>0，解得x <x 由y '<0<x (x ≠0).∴函数的增区间为(和)，减区间为(，0)和(0(3)函数的定义域为R.y ′＝2x 2－4x ＝2x (x －2)．令y ′＞0，则2x (x －2)＞0，解得x ＜0或x ＞2.所以函数的单调递增区间为(－ ∞，0)，(2，＋∞)．令y ′＜0，则2x (x －2)＜0，解得0＜x ＜2.所以函数的单调递减区间为(0，2)．(4) 函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2的定义域为3(,)2-+∞.y ′＝223x +＋2x ＝246223x x x +++＝2(21)(1)23x x x +++.令y ′＞0，解得－32＜x ＜－1或x ＞－12.所以函数的单调递增区间为3(,1)2--，1(,)2-+∞.令y ′＜0，解得－1＜x ＜－12，所以函数的单调递减区间为1(1,)2--.【一隅三反】1(2021·全国高二单元测试)设a 为实数，函数32()(3)f x x ax a x =++-，且f x 是偶函数，则()f x 的单调递增区间为( ) A ．(0,)+∞ B ．(,1)-∞-，(1,)+∞ C ．(1,1)- D ．(3,)+∞【答案】B【解析】因为32()(3)f x x ax a x =++-，所以()2323f x x ax a '=++-，因为f x 是偶函数，所以()()f x f x ''-=对x ∈R 恒成立，即223()2()3323x a x a x ax a -+-+-=++-，即40ax =，所以0a =，所以()233f x x ='-，令0fx，解得1x >或1x <-，所以()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-，(1,)+∞． 故选：B ．2．(2021·全国高二课时练习)函数f (x )＝cos x －x 在(0，π)上的单调性是( ) A ．先增后减 B ．先减后增 C ．单调递增 D ．单调递减【答案】D【解析】f ′(x )＝－sin x －1，x ∈(0，π)，∴f ′(x )<0，则f (x )＝cos x －x 在(0，π)上单调递减.选：D3．(2021·绥德中学高二月考(理))若曲线()21x e f x ax -=+在点()()1,1f 处的切线过点()1,0-，则函数()f x 的单调递减区间为( ) A ．(),0-∞ B ．()0,∞+C ．()(),11,0-∞--D ．(),1-∞-，()1,0-【答案】D【解析】由题意得22(1)()(1)x ax a e f x ax -+-'=+，所以12(1)(1)e k f a -='=+，且()111ef a -=+．故函数()f x 在(1,()1f )处的切线为：211(1)(1)(1)y x e a e a -=-++，将点(1,0)-代入得1a =． 则22()(1)x xe f x x -'=+，由()0f x '<得0x <且1x ≠-．故()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-，(1,0)-． 故选：D ．4．(2021·全国)求下列函数的单调区间(1)f (x )＝211+-x x ；(2)y ＝12x 2－ln x ．(3)f (x )＝2x 3＋3x 2－36x ＋1；(4)f (x )＝sin x －x (0<x <π)．(5)()()22e xf x x x -=+；(6)()sin 2cos x f x x=+．【答案】(1)单调递增区间是(－∞，1和(1＋∞)；单调递减区间是(1，1)和(1，1) ；(2)单调递增区间为(1，＋∞)；单调递减区间为(0，1) ． (3)增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；减区间是(－3，2) ； (4)单调递减区间为(0，π) ．(5)函数的单调递减区间为(,-∞，)+∞，单调递增区间为(；(6)单调递增区间为222,233ππk πk π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(k ∈Z )，单调递减区间242,233k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭(k ∈Z ).【解析】(1)f (x )的定义域为{x |x ∈R 且x ≠1}，f ′(x )＝222(1)(1)(1)x x x x --+-＝2221(1)x x x ---＝2(1(1(1)x x x ⎡⎤⎡⎤--⎣⎦⎣⎦-．令f ′(x )>0，解得x >1或x <1f ′(x )<0，解得1<x <1或1<x <1．所以f (x )的单调递增区间是(－∞，1和(1＋∞)；单调递减区间是(11)和(1，1． (2)函数y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，又y ′＝(1)(1)x x x+-． 若y ′>0，即(1)(1)0,0,x x x +->⎧⎨>⎩解得x >1；若y ′<0，即(1)(1)0,0,x x x +-<⎧⎨>⎩解得0<x <1．故函数y ＝12x 2－ln x 的单调递增区间为(1，＋∞)；单调递减区间为(0，1)． (3)()'f x ＝6x 2＋6x －36．由()'f x >0得6x 2＋6x －36>0，解得x <－3或x >2；由()'f x <0解得 －3<x <2．故f (x )的增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；减区间是(－3，2)．(4)()'f x ＝cos x －1．因为0<x <π，所以cos x －1<0恒成立，故函数f (x )的单调递减区间为(0，π)，无增区间．(5)由题得函数的定义域为R .()()2()222x x f x x e x x e --'=+-+()22xx e -=--，令()0f x '>，即()220xe x --->，解得x <<令()0f x '<，即()220xe x ---<，解得x <x >故所求函数的单调递减区间为(,-∞，)+∞，单调递增区间为(．(6)由题得函数的定义域为R .()()()()()222cos cos sin sin 2cos 12cos 2cos x x x x x x f x x +--+==+'+令()0f x '>，得1cos 2x >-，即222233k x k ππππ-<<+(k ∈Z )，令()0f x '<，得1cos 2x <-，即242233k x k ππππ+<<+(k ∈Z )，故()f x 的单调递增区间为222,233ππk πk π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(k ∈Z )，单调递减区间242,233k k ππππ⎛⎫++⎪⎝⎭(k ∈Z )． 考点三 已知单调性求参数【例3-1】(2021·河南高二期末)若函数()222ln f x x a x x=++在[]2,1上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．[)0,+∞ B ．(],0-∞C ．7,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．5,8ln 2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】由()222ln f x x a x x =++，得()2222a f x x x x'=-++， 由()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，得()22220a f x x x x '=-++≤在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即21a x x ≤-在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立.令()21g x x x =-，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上()2120g x x x '=--<，∴()g x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，即()()min 10g x g ==，∴0a ≤，故a 的取值范围(],0-∞.故选：B .【例3-2】(2021·全国高二单元测试)已知函数21()2ln 2f x ax ax x =-+，则()f x 在(2,4)上不单调的一个充分不必要条件是( )A ．1,8a ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭B ．[1,)a ∈+∞C ．(,0]a ∈-∞D ．(,1)a ∈-∞-【答案】D【解析】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()21212ax ax f x ax a x x-+'=-+=，令2()21g x ax ax =-+，若()f x 在(2,4)上不单调，则函数2()21g x ax ax =-+与x 轴在(2,4)上有交点， 又(0)(2)1g g ==，则(2)(4)0g g <，解得18a <-，故()f x 在(2,4)上不单调的一个充分不必要条件是(,1)a ∈-∞-．故选：D ． 【一隅三反】1．(2021·重庆市广益中学校高二月考)若函数()2cos f x x a x =+在()0,π上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．[]22-,B ．(2,2)-C ．(),2-∞D ．(],2-∞【答案】D【解析】由()'2cos ()2sin f x x a x f x a x =+⇒=-，函数()2cos f x x a x =+在()0,π上单调递增，所以'()2sin 0f x a x =-≥在()0,π上恒成立，即2sin a x≤在()0,π上恒成立， 因为()0,x π∈，所以sin (0,1]x ∈，因此22sin x ≥，要想2sin a x≤在()0,π上恒成立，只需2a ≤，故选：D 2．(2021·山西运城·高二期中(理))已知函数()ln 3f x ax x =++在区间()1,2上不单调，则实数a 的取值范围为( ) A ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．21,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由()11ax f x a x x+'=+=，①当0a ≥时函数()f x 单调递增，不合题意；②当0a <时，函数()f x 的极值点为1x a =-，若函数()f x 在区间()1,2不单调，必有112a <-<，解得112a -<<-.故选：C.3．(2021·宁夏大学附属中学高二月考)已知函数32()1f x x ax x =-+--在(,)-∞+∞上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(,-∞B ．⎡⎣C ．)+∞D ．(【答案】B【解析】由32()1f x x ax x =-+--，得'2()321f x x ax =-+-， 因为函数32()1f x x ax x =-+--在(,)-∞+∞上是单调函数， 所以'()0f x ≥或'()0f x ≤恒成立，因为'2()321f x x ax =-+-的图像开口向下，所以'()0f x ≥恒成立不可能， 所以'()0f x ≤恒成立，所以2244(3)(1)4120a a ∆=-⨯-⨯-=-≤，解得a ≤ 故选：B4．(2021·江苏金湖·高二月考)函数21()9ln 2f x x x =-在区间(,1)m m +上单调递减，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．[0,2]C ．[0,1)D ．(0,2)【答案】B【解析】函数定义域是(0,)+∞，由题意9(3)(3)()x x f x x x x +-'=-=，03x <<时()0f x '<，3x >时，()0f x '>， 所以()f x 的减区间是(0,3)，又(,1)(0,3)m m +⊆，所以013m m ≥⎧⎨+≤⎩，解得02m ≤≤．故选：B ．5．(2021·全国高二课时练习)若函数()312f x x x =-在区间()1,1k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．(][][),31,13,-∞-⋃-⋃+∞B ．()()3,11,3--⋃C ．()2,2-D ．不存在这样的实数k【答案】B【解析】由题意得，()23120x x f '=-=在区间()1,1k k -+上至少有一个实数根， 而()23120x x f '=-=的根为2x =±，区间()1,1k k -+的长度为2，故区间()1,1k k -+内必含有2或2-．∴121k k -<<+或121k k -<-<+， ∴13k <<或31k -<<-，故选：B ．考点四 利用单调性比较大小【例4】(1)(2021·全国高二单元测试)已知奇函数f (x )的导函数为()'f x ，当x ≠0时，x ()'f x +f (x )＞0，若a ＝1e f 1e ⎛⎫⎪⎝⎭，b ＝﹣e f (﹣e)，c ＝f (1)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．a ＜c ＜bD ．c ＜a ＜b(2)(2021·全国高二单元测试)函数()ln xf x x=，当01x <<时，下列式子大小关系正确的是( ) A ．()()()22f x f x f x <<B ．()()()22f x f x f x <<C ．()()()22f x f x f x <<D ．()()()22f x f x f x <<【答案】(1)C(2)C【解析】(1)令g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )+xf ′(x )＞0，所以g (x )为递增函数， 因为e ＞1＞1e ，∴g (e)＞g (1)＞g (1e )，∴e f (e)＞f (1)＞1e f (1e)，又f (x )为奇函数，所以﹣e f (﹣e)＝e f (e)，∴b ＞c ＞a ，故选：C.(2)()2210x x x x x x -=-<⇒<，()()'2ln 10ln x f x x -=<，()f x 在()0,1上递减，所以()()2f x f x >.()()()()()22222222ln 20ln ln 2ln x x x x f x f x x x x --=-=<，所以()()22f x f x <，所以()()()22f x f x f x <<.故选：C 【一隅三反】1．(2021·全国高二课时练习)设函数()2sin f x x x =+，则( ) A ．()()12f f > B ．()()12f f < C ．()()12f f = D ．以上都不正确【答案】B【解析】由题可知()2sin ()f x x x x R =+∈，()2cos f x x '∴=+， 又当x ∈R ，则1cos 1x -≤≤，()2cos 0f x x '∴=+>， 故()f x 是R 上的增函数，故()()12f f <.故选：B.2．(2021·全国高二课时练习)(多选题)已知函数f (x )的导函数为()'f x ，且()()f x f x '<，对任意的x ∈R 恒成立，则( )A ．f (ln2)<2f (0)B ．f (2)<e 2f (0)C ．f (ln2)>2f (0)D ．f (2)>e 2f (0) 【答案】AB 【解析】依题意，令()()e x f xg x =，则()()()0e x f x f x g x '-=<，于是得()g x 在R 上单调递减， 而ln2>0，2>0，则(ln 2)(0)g g <，(2)(0)g g <，即ln 20(ln 2)(0)(0)e e f f f <=，20(2)(0)(0)e ef f f <=， 所以f (ln2)<2f (0)，f (2)<e 2f (0).故选：AB 3．(2021·全国高二课时练习)(多选题)已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数y ＝f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A ．f (b )>f (a )B ．f (d )>f (e )C ．f (a )>f (d )D ．f (c )>f (e )【答案】ABD 【解析】由题图可得，当x ∈(－∞，c )∪(e ，＋∞)时，f ′(x )>0，当x ∈(c ，e )时，f ′(x )<0，故f (x )在(－∞，c )，(e ，＋∞)上是增函数，在(c ，e )上是减函数， 且a b c d e <<<<， 所以f (b )>f (a )，f (d )>f (e )，f (c )>f (e ).故选：ABD4．(2021·全国高二课时练习)(多选题)已知定义在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上的函数f (x )的导函数为()f x '，且()00f =，()()cos sin 0f x x f x x '+<，则下列判断中正确的是( )A ．64f f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．ln 03f π⎛⎫> ⎪⎝⎭C ．63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．43f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】CD 【解析】令()()cos f x g x x =，[0,)2x π∈，因为()cos ()sin 0f x x f x x '+<，则2()cos ()sin ()0f x x f x x g x cos x '+'=<在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立， 故()g x 在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减， 因为(0)0f =，则()(0)00cos 0f g ==，所以()()0cos f x g x x =≤在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立， 结合选项可知，由于64ππ<，所以()()64g g ππ>，()()f f ππ>，即()()64f f ππ>，故A 选项错误； 因为13π>，则03ln π>，结合()g x 在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，且()0g x ≤， 可知03g ln π⎛⎫< ⎪⎝⎭，从而有()30cos 3f ln ln ππ<， 由于0132ln ππ<<<，则cos 03ln π>，可得03f ln π⎛⎫< ⎪⎝⎭，故B 选项错误； 又因为63ππ<，所以()()63g g ππ>()()312f f ππ>，即()()63f ππ，故C 选项正确； 又因为43ππ<，所以()()43g g ππ>()()312f f ππ>，即()()43f ππ>，故D 选项正确． 故选：CD ．考点五 利用单调性解不等式【例5】(2021·全国高二课时练习)已知()f x 的定义域为()0,∞+，()f x '为()f x 的导函数，且满足()()f x xf x <-'，则不等式()()()2111f x x f x +>--的解集是( )A ．()0,1B ．()2,+∞C ．()1,2D ．()1,+∞【答案】B【解析】构造函数()y xf x =，()0,x ∈+∞，则()()0y f x xf x +''=<，所以函数()y xf x =的图象在()0,∞+上单调递减．又因为()()()2111f x x f x +>--， 所以()()()()221111x f x x f x ++>--， 所以211x x +<-，解得2x >或1x <-(舍)．所以不等式()()()2111f x x f x +>--的解集是()2,+∞． 故选：B【一隅三反】1．(2021·全国高二单元测试)定义域为R 的函数()2(0x f x x a a =+>且1)a ≠，且()f x 的导函数()2f x '>，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．(1,)+∞C ．(2,)+∞D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由()2f x '>可知()20f x '->，设()()2F x f x x =-， ()0F x '∴>，()F x ∴是R 上的单调递增函数．由()2(0x f x x a a =+>且1)a ≠，可知()()2(0x F x f x x a a =-=>且1)a ≠，1a ∴>.故选：B ．2．(2021·全国高二单元测试)已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()0f x f x '->，2022(2022)e 0f -=，则不等式1ln 4f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭( ) A ．()6063e ,+∞ B ．()20220,e C ．()8088e ,+∞ D ．()80880,e【答案】D 【解析】由题可设()()e xf x F x =，因为()()0f x f x '->， 则2()e ()e ()()()0e e x x x xf x f x f x f x F x ''--'==>， 所以函数()F x 在R 上单调递增，又2022(2022)(2022)1e f F ==，不等式1ln 4f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭1ln 41ln 41e x f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭<， ∴1ln 1(2022)4F x F ⎛⎫<= ⎪⎝⎭， 所以1ln 20224x <，解得80880e x <<，所以不等式1ln 4f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭()80880,e ． 故选：D.3．(2021·广西蒙山中学高二月考(理))已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2)=20，且f (x )的导函数()'f x 满足2()62f x x '>+，则不等式f (x )>2x 3+2x 的解集为( )A ．{x |x >-2}B ．{x |x >2}C ．{x |x <2}D ．{x |x <-2或x >2}【答案】B【解析】 令3()()22g x f x x x =--，因2()62f x x '>+，则2()()620g x f x x ''=-->，即()g x 在R 上单调递增， 因3(2)(2)22220g f =-⋅-⋅=，则不等式f (x )>2x 3+2x 等价于()(2)g x g >，于是得x >2，所以原不等式的解集为{x |x >2}.故选：B4．(2021·山东任城·)已知函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x >'+，()03f =，则不等式()21x f x e >+的解集为( )A ．(),0-∞B ．()0,∞+C ．(),1-∞D ．()1,+∞ 【答案】A【解析】设()g x ＝()1x f x e -，则()g x '＝()()1xf x f x e '---， ∵()()1f x f x >'+，∴()()10f x f x '-->，∴()0g x '<，∴y ＝g (x )在定义域上单调递减，∵()21x f x e >+∴()g x ＝()12xf x e ->， 又()0g ＝0(0)12f e -=，∴()()0g x g >， ∴0x <，∴()21x f x e >+的解集为(),0-∞．故选：A ．5(2021·全国高二课时练习)已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()()f x f x '<对任意的x ∈R 恒成立，则( )A ．()()1e 0f f <，()()20202020e 0f f >B ．()()1e 0f f >，()()20202020e 0f f >C ．()()1e 0f f >，()()20202020e 0f f <D ．()()1e 0f f <，()()20202020e 0f f <【答案】D【解析】令()()x f x g x =e ，则()()()()()()()2e e 0e e e x x x x x f x f x f x f x f x g x '''-'-⎡⎤'===<⎢⎥⎣⎦， 所以函数()()x f x g x =e 在R 上单调递减，所以()()10g g <，()()20200<g g ， 即()()110e 1f f <，()()202020200e 1f f <，故()()1e 0f f <，()()20202020e 0f f <． 故选：D.。