函数的单调性与极值经典例题复习+训练

函数的单调性与最值练习题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（每小题4分）1．函数2()log f x x =在区间[1,2]上的最小值是( )A ．1-B ．0C ．1D ．2 2．已知212()log (2)f x x x =-的单调递增区间是（ ）A.(1,)+∞B.(2,)+∞C.(,0)-∞D.(,1)-∞ 3．定义在R 上的函数()f x 对任意两个不相等实数,a b ，总有()()0f a f b a b->-成立，则必有（ ）A.()f x 在R 上是增函数B.()f x 在R 上是减函数C.函数()f x 是先增加后减少D.函数()f x 是先减少后增加4．若在区间(-∞，1]上递减，则a 的取值范围为( )A. [1，2)B. [1，2]C. [1,+∞)D. [2，+∞)5．函数y=x 2﹣2x ﹣1在闭区间[0，3]上的最大值与最小值的和是（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．26．定义在),0(+∞上的函数()f x 满足对任意的))(,0(,2121x x x x ≠+∞∈，有2121()(()())0x x f x f x -->.则满足(21)f x -＜x 取值范围是( )A. B. C.7．已知(x)=⎩⎨⎧≥<+-)1(log )1(4)13(x xx ax a a 是（-∞,+∞）上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）A.（0，1）B.（0，31） C.［71，31） D.［71，1）8．函数22log (23)y x x =+-的单调递减区间为（ ）A ．（－∞，－3）B ．（－∞，－1）C ．(1，+∞)D ．(－3，－1) 9．已知函数()f x 是定义在[0,)+∞的增函数，则满足(21)f x -＜的x 取值范围是（ ）（A ）（∞- （B ） （C ）∞+） （D ） 10．下列函数中，在定义域内是单调递增函数的是（ ） A ．2xy = B ．1y x= C ．2y x = D ．tan y x = 11．已知函数(a 为常数)．若在区间[-1,+∞)上是增函数,则a 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．12．如果函数()f x 对任意的实数x ，都有()()1f x f x =-，且当12x ≥时， ()()2log 31f x x =-，那么函数()f x 在[]2,0-的最大值与最小值之差为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1 二、填空题（每小题4分）13．已知y=f(x)是定义在（-2，2）上的增函数，若f(m-1)＜f(1-2m)，则m 的取值范围是14．设函数()f x =⎩⎨⎧≤，＞，，，1x x log -11x 22x -1则满足()2f x ≤的x 的取值范围是 ．15．2()24f x x x =-+的单调减区间是 . 16．已知函数)(x f 满足),()(x f x f =-当,(,0]a b ∈-∞时总有，若)2()1(m f m f >+，则实数m 的取值范围是_______________．17．函数2()(1)2f x x =--的递增区间是___________________ . 18．已知函数()[]5,1,4∈+=x xx x f ，则函数()x f 的值域为 ． 19．函数2(),,.f x x ax b a b R =-+∈若()f x 在区间(,1)-∞上单调递减，则a 的取值范围 ．20．已知函数2()48f x x kx =--在区间[]5,10上具有单调性，则实数k 的取值范围是 . 21．已知函数()()23log 5f x x ax a =+++，()f x 在区间(),1-∞上是递减函数，则实数a 的取值范围为_________．22．已知y=f(x)是定义在（－2，2）上的增函数，若f(m-1)<f(1-2m)，则实数m 的取值范围为 .23．若函R 上的增函数，则实数a 的取值范围是 ．24．已知函数f(x)＝e x －1，g(x)＝－x 2＋4x －3，若有f(a)＝g(b)，则b 的取值范围为________． 25．已知函数f(x)(a≠1)．若f(x)在区间(0，1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．参考答案1．B 【解析】试题分析：画出2()log f x x =在定义域}{0>x x 内的图像，如下图所示，由图像可知2()log f x x =在区间[1,2]上为增函数，所以当1=x 时2()log f x x =取得最小值，即最小值为2(1)log 10f ==。

函数的单调性与最值专题训练一、选择题1.若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 的值为( ) A.－2B.2C.－6D.62. 下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是( ) A.y ＝11－xB.y ＝cos xC.y ＝ln(x ＋1)D.y ＝2－x3.定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a 2；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，在区间[－2，2]上的最大值等于( ) A.－1B.1C.6D.124.已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝ f⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c <b <a B.b <a <c C.b <c <aD.a <b <c5.f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( ) A.(8，＋∞) B.(8，9] C.[8，9]D.(0，8)二、填空题6. 设函数f (x )＝⎩⎨⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________.7. 函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________.8.设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________.三、解答题9.已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0). (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值.10.已知函数f (x )＝2x －ax 的定义域为(0，1](a 为实数). (1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的值域；(2)求函数y ＝f (x )在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数f (x )取得最值时x 的值.11. 若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝( ) A.4B.2C.12D.1412. 已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若存在f (a )＝g (b )，则实数b 的取值范围为( )A.[0，3]B.(1，3)C.[2－2，2＋2]D.(2－2，2＋2) 解析 由题可知f (x )＝e x －1>－1，g (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1≤1，若f (a )＝g (b )，则g (b )∈(－1，1]， 即－b 2＋4b －3>－1，即b 2－4b ＋2<0， 解得2－2<b <2＋ 2.所以实数b 的取值范围为(2－2，2＋2). 答案 D13. 对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________.14.已知函数f (x )＝lg(x ＋ax －2)，其中a 是大于0的常数. (1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1，4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围.函数的单调性与最值专题训练答案一、选择题1.若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 的值为( ) A.－2B.2C.－6D.6解析 由图象易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是[－a 2，＋∞)，令－a2＝3，∴a ＝－6. 答案 C3. 下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是( ) A.y ＝11－xB.y ＝cos xC.y ＝ln(x ＋1)D.y ＝2－x解析 ∵y ＝11－x与y ＝ln(x ＋1)在(－1，1)上为增函数，且y ＝cos x 在(－1，1)上不具备单调性.∴A ，B ，C 不满足题意.只有y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－1，1)上是减函数. 答案 D3.定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a 2；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，在区间[－2，2]上的最大值等于( ) A.－1B.1C.6D.12解析 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数. ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6. 答案 C4.已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝ f⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c <b <a B.b <a <c C.b <c <aD.a <b <c解析 ∵函数图象关于x ＝1对称，∴a ＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫52，又y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (3)，即b <a <c .答案 B5.f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( ) A.(8，＋∞) B.(8，9] C.[8，9]D.(0，8)解析 2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎨⎧x >0，x －8>0，x （x －8）≤9，解得8<x ≤9.答案 B 二、填空题6. 设函数f (x )＝⎩⎨⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________.解析由题意知g (x )＝⎩⎨⎧x 2 （x >1），0 （x ＝1），－x 2 （x <1），函数的图象如图所示的实线部分，根据图象，g (x )的减区间是[0，1). 答案 [0，1)7.(2017·石家庄调研)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________.解析 由于y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上递增，所以f (x )在[－1，1]上单调递减，故f (x )在[－1，1]上的最大值为f (－1)＝3. 答案 38. 设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________.解析 作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.答案 (－∞，1]∪[4，＋∞) 三、解答题9.已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0). (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值. (1)证明 设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0， ∵f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数.(2)解 ∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，又由(1)得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是单调增函数，∴f⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2，易知a ＝25. 10.已知函数f (x )＝2x －ax 的定义域为(0，1](a 为实数). (1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的值域；(2)求函数y ＝f (x )在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数f (x )取得最值时x 的值.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝2x －1x ，任取1≥x 1＞x 2＞0， 则f (x 1)－f (x 2)＝2(x 1－x 2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1x 1x 2.∵1≥x 1＞x 2＞0，∴x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0.∴f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(0，1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值1，所以f (x )的值域为(－∞，1].(2)当a ≥0时，y ＝f (x )在(0，1]上单调递增，无最小值， 当x ＝1时取得最大值2－a ； 当a ＜0时，f (x )＝2x ＋－ax ， 当－a2≥1，即a ∈(－∞，－2]时，y ＝f (x )在(0，1]上单调递减，无最大值，当x ＝1时取得最小值2－a ； 当－a 2＜1，即a ∈(－2，0)时，y ＝f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，－a 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，1上单调递增，无最大值，当x ＝－a2时取得最小值2－2a . 14. 若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝( ) A.4B.2C.12D.14解析 当a >1，则y ＝a x 为增函数，有a 2＝4，a －1＝m ，此时a ＝2，m ＝12，此时g (x )＝－x 在[0，＋∞)上为减函数，不合题意. 当0<a <1，则y ＝a x 为减函数， 有a －1＝4，a 2＝m ，此时a ＝14，m ＝116.此时g (x )＝34x 在[0，＋∞)上是增函数.故a ＝14. 答案 D15. 已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若存在f (a )＝g (b )，则实数b 的取值范围为( ) A.[0，3]B.(1，3)C.[2－2，2＋2]D.(2－2，2＋2)解析 由题可知f (x )＝e x －1>－1，g (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1≤1， 若f (a )＝g (b )，则g (b )∈(－1，1]，即－b 2＋4b －3>－1，即b 2－4b ＋2<0， 解得2－2<b <2＋ 2.所以实数b 的取值范围为(2－2，2＋2). 答案 D13.对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________. 解析 依题意，h (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，0<x ≤2，－x ＋3，x >2.当0<x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数， 当x >2时，h (x )＝3－x 是减函数， ∴h (x )在x ＝2时，取得最大值h (2)＝1. 答案 114.已知函数f (x )＝lg(x ＋ax －2)，其中a 是大于0的常数. (1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1，4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围. 解 (1)由x ＋ax －2＞0，得x 2－2x ＋a x＞0，当a ＞1时，x 2－2x ＋a ＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)， 当a ＝1时，定义域为{x |x ＞0且x ≠1}，当0＜a ＜1时，定义域为{x |0＜x ＜1－1－a 或x ＞1＋1－a }. (2)设g (x )＝x ＋ax －2，当a ∈(1，4)，x ∈[2，＋∞)时，∴g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax2>0.因此g (x )在[2，＋∞)上是增函数， ∴f (x )在[2，＋∞)上是增函数. 则f (x )min ＝f (2)＝ln a2.(3)对任意x ∈[2，＋∞)，恒有f (x )>0.即x ＋ax －2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立. ∴a >3x －x 2.令h (x )＝3x －x 2，x ∈[2，＋∞).由于h (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数，∴h (x )max ＝h (2)＝2. 故a >2时，恒有f (x )>0.因此实数a 的取值范围为(2，＋∞).。

函数的单调性与最值训练题一、题点全面练1．下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( ) A ．y ＝11－xB ．y ＝cos xC ．y ＝ln(x ＋1)D ．y ＝2－x解析：选D 函数y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－1,1)上为减函数．2．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：选D 由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2.因此，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y ＝x 2－2x －8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)．3．若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m 的值为( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1D ．1解析：选B 因为f (x )＝(x －1)2＋m －1在[3，＋∞)上为增函数，且f (x )在[3，＋∞)上的最小值为1，所以f (3)＝1，即22＋m －1＝1，m ＝－2.故选B. 4．函数f (x )＝x1－x的单调递增区间是( ) A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)，(1，＋∞)D ．(－∞，－1)，(1，＋∞)解析：选C 因为f (x )＝－－x ＋11－x ＝－1＋11－x，所以f (x )的图象是由y ＝－1x的图象沿x 轴向右平移1个单位，然后沿y 轴向下平移一个单位得到，而y ＝－1x的单调递增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)；所以f (x )的单调递增区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．故选C. 5．(2019·赣州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，0]B ．[0,1)C ．[1，＋∞)D ．[－1,0]解析：选B 由题知，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x ＜1，可得函数g (x )的单调递减区间为[0,1)．6．若函数f (x )＝x 2＋a |x |＋2，x ∈R 在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－113，－3B ．[－6，－4] C.[]－3，－22D.[]－4，－3解析：选B 由于f (x )为R 上的偶函数，因此只需考虑函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性即可．由题意知函数f (x )在[3，＋∞)上为增函数，在[1,2]上为减函数，故－a2∈[2,3]，即a ∈[－6，－4]．7．函数y ＝2－xx ＋1，x ∈(m ，n ]的最小值为0，则m 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(－1,2)C ．[1,2)D ．[－1,2)解析：选D 函数y ＝2－x x ＋1＝3－x －1x ＋1＝3x ＋1－1，且在x ∈(－1，＋∞)时单调递减，在x ＝2时，y ＝0； 根据题意x ∈(m ，n ]时y 的最小值为0， 所以－1≤m ＜2.8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f xx在区间(1，＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数解析：选D 由题意知a ＜1，又函数g (x )＝x ＋a x－2a 在[|a |，＋∞)上为增函数，故选D.9．(2019·湖南四校联考)若函数f (x )＝x 2＋a |x －2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝x 2＋a |x －2|，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －2a ，x ≥2，x 2－ax ＋2a ，x ＜2.又∵f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a2≤2，a 2≤0，∴－4≤a ≤0，∴实数a 的取值范围是[－4,0]． 答案：[－4,0]10．已知函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，49，则函数g (x )＝f (x )＋1－2f x的值域为________．解析：∵38≤f (x )≤49，∴13≤1－2f x ≤12.令t ＝1－2f x ， 则f (x )＝12(1－t 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤t ≤12，令y ＝g (x )，则y ＝12(1－t 2)＋t ，即y ＝－12(t －1)2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤t ≤12.∴当t ＝13时，y 有最小值79；当t ＝12时，y 有最大值78.∴g (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤79，78.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤79，78 二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．函数y ＝log 13(－x 2＋2x ＋3)的单调递增区间是( )A ．(－1,1]B ．(－∞，1)C ．[1,3)D ．(1，＋∞)解析：选C 令t ＝－x 2＋2x ＋3，由－x 2＋2x ＋3>0，得－1＜x ＜3. 函数t ＝－x 2＋2x ＋3的对称轴方程为x ＝1，则函数t ＝－x 2＋2x ＋3在[1,3)上为减函数， 而函数y ＝log 13t 为定义域内的减函数，所以函数y ＝log 13(－x 2＋2x ＋3)的单调递增区间是[1,3)．2．(2019·西安模拟)已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1,2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选C 要使y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则a >0且a －1≥0，∴a ≥1.故选C.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 解析：选B 由对数函数的定义可得a >0，且a ≠1.又函数f (x )在R 上单调，则二次函数y ＝ax 2－x －14的图象开口向上，所以函数f (x )在R 上单调递减，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜a ＜1，12a≥1，a ×12－1－14≥log a1－1，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，0＜a ≤12，a ≥14.所以a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12.4．已知函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________．解析：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >0，a ＋3>0，a 2－a >a ＋3，解得－3＜a ＜－1或a >3，所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．答案：(－3，－1)∪(3，＋∞) (二)技法专练——活用快得分5．[构造法]已知减函数f (x )的定义域是实数集R ，m ，n 都是实数．如果不等式f (m )－f (n )>f (－m )－f (－n )成立，那么下列不等式成立的是( )A ．m －n ＜0B ．m －n >0C ．m ＋n ＜0D ．m ＋n >0解析：选A 设F (x )＝f (x )－f (－x )， 由于f (x )是R 上的减函数，∴f (－x )是R 上的增函数，－f (－x )是R 上的减函数， ∴F (x )是R 上的减函数， ∴当m ＜n 时，有F (m )>F (n )， 即f (m )－f (－m )>f (n )－f (－n )成立．因此，当f (m )－f (n )>f (－m )－f (－n )成立时，不等式m －n ＜0一定成立，故选A. 6．[三角换元法]函数y ＝x ＋－x 2＋10x －23的最小值为________． 解析：原函数可化为：y ＝x ＋2－x －2.由2－(x －5)2≥0⇒|x －5|≤2， 令x －5＝2cos α，那么|2cos α|≤2⇒|cos α|≤1⇒0≤α≤π， 于是y ＝2cos α＋5＋2sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋5. 因为α＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，所以函数的最小值为5－ 2. 答案：5－ 27．[数形结合法]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1的图象过点(1,1)，函数g (x )是二次函数，若函数f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则函数g (x )的值域是________．解析：因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1的图象过点(1,1)，所以m ＋1＝1，解得m＝0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1.画出函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，观察图象可知，当纵坐标在[0，＋∞)上时，横坐标在(－∞，－1]∪[0，＋∞)上变化． 而f (x )的值域为[－1，＋∞)，f (g (x ))的值域为[0，＋∞)，因为g (x )是二次函数， 所以g (x )的值域是[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞)(三)素养专练——学会更学通8．[数学抽象]已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)( )A ．(－1,2)B ．(1,4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)解析：选D 由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f (x ＋1)＜1即为f (0)＜f (x ＋1)＜f (3)，所以0＜x ＋1＜3，所以－1＜x ＜2，故不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．9．[数学运算]已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值． 解：(1)证明：设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0，因为f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，所以f (x 2)>f (x 1)，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，又由(1)得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是单调增函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2，解得a ＝25.10．[数学运算]已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋ax－2，其中a 是大于0的常数．(1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．解：(1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋ax>0，当a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)； 当a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}；当0＜a ＜1时，定义域为{x |0＜x ＜1－1－a 或x >1＋1－a }．(2)设g (x )＝x ＋a x －2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时，g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax2>0恒成立，所以g (x )＝x ＋a x－2在[2，＋∞)上是增函数．所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋ax －2在[2，＋∞)上是增函数．所以f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋ax －2在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a2.(3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0， 即x ＋a x－2>1对任意x ∈[2，＋∞)恒成立． 所以a >3x －x 2，令h (x )＝3x －x 2，而h (x )＝3x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数，所以h (x )max ＝h (2)＝2，所以a >2.即a 的取值范围为(2，＋∞)．。

函数的单调性与最值[基础训练]1．函数y ＝(2m －1)x ＋b 在R 上是减函数，则( ) A ．m >12 B ．m <12 C ．m >－12D ．m <－12答案：B 解析：由2m －1<0⇒m <12. 2．已知函数y ＝1x －1，那么( )A ．函数的单调递减区间为(－∞，1)，(1，＋∞)B ．函数的单调递减区间为(－∞，1)∪(1，＋∞)C ．函数的单调递增区间为(－∞，1)，(1，＋∞)D ．函数的单调递增区间为(－∞，1)∪(1，＋∞)答案：A 解析：在每个区间内都单调递减，但不可用“并集”形式．3．已知函数f (x )是定义在[0，＋∞)上的增函数，则满足f (2x－1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 答案：D 解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，2x －1<13， 解得12≤x <23.4．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)答案：D 解析：由x 2－4>0，得x <－2或x >2.又y ＝log 12u为减函数，故f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)．5．“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：C 解析：充分性：x >0，当a <0时，则f (x )＝|(ax －1)x |＝－ax 2＋x 为开口向上的二次函数，且对称轴为x ＝12a <0，故f (x )为增函数；当a ＝0时，f (x )＝x 为增函数．必要性：当a ≠0时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝0，f (0)＝0，f (x )在(0，＋∞)上为增函数，则1a <0，即a <0；f (x )＝x 时，为增函数，此时a ＝0，故a ≤0.综上，a ≤0为f (x )在(0，＋∞)上为增函数的充分必要条件． 6．[2019湖北华大新联盟考试]若函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]答案：B 解析：易知函数f (x )＝2|x －a |＋3的增区间在为[a ，＋∞)，减区间为(－∞，a ]．因为函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a >1. 故选B.7．[2019山东潍坊四县联考]已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23 B ．(0，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 D ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞答案：C 解析：∵f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1，1－a >2a －1， 解得0<a <23.故选C.8．[2016天津卷]已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32解析：由题意知，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．因为f (2|a －1|)>f (－2)，f (－2)＝f (2)，所以f (2|a －1|)>f (2)，所以2|a －1|<212，解得12<a <32.9．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________．答案：14 解析：令t ＝x ，则t ≥0，y ＝t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，当t ＝12，即x ＝14时，y max ＝14.10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．答案：[0,1) 解析：易知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.画出g (x )的图象如图所示，其递减区间是[0,1)．11．已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)． (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值．(1)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 2>x 1， 则x 2－x 1>0，x 1x 2>0.f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)解：∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2. 易得a ＝25.[强化训练]1．[2019河南安阳一模]已知函数f (x )满足：①对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0；②对定义域内的任意x ，都有f (x )＝f (－x )．则符合上述条件的函数是( )A ．f (x )＝x 2＋|x |＋1 B ．f (x )＝1x －x C ．f (x )＝ln|x ＋1| D ．f (x )＝cos x答案：A 解析：由题意，得f (x )是偶函数，在(0，＋∞)上递增．对于A ，f (－x )＝f (x )，是偶函数，且x >0时，f (x )＝x 2＋x ＋1，f ′(x )＝2x ＋1>0，故f (x )在(0，＋∞)上递增，符合题意；对于B ，函数f (x )是奇函数，不符合题意；对于C ，由x ＋1≠0，解得x ≠－1，定义域不关于原点对称，故函数f (x )不是偶函数，不符合题意；对于D ，函数f (x )在(0，＋∞)上不单调递增，不符合题意．故选A.2.[2019河北石家庄一模]已知奇函数f (x )在x >0时单调递增，且f (1)＝0，若f (x －1)>0，则x 的取值范围为 ( )A ．{x |0<x <1或x >2}B ．{x |x <0或x >2}C ．{x |x <0或x >3}D ．{x |x <－1或x >1}答案：A 解析：∵奇函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，∴函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，且f (－1)＝0，则－1<x <0或x >1时，f (x )>0；x <－1或0<x <1时，f (x )<0.∴不等式f (x －1)>0，即－1<x －1<0或x －1>1， 解得0<x <1或x >2.故选A.3．[2019山东济宁二模]已知y ＝f (x )是R 上的偶函数，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0.设a ＝ln 1π，b ＝(ln π)2，c ＝ln π，则( )A ．f (a )>f (b )>f (c )B ．f (b )>f (a )>f (c )C ．f (c )>f (a )>f (b )D ．f (c )>f (b )>f (a )答案：C 解析：由题意易知f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 又∵|a |＝ln π>1，b ＝(ln π)2>|a |,0<c ＝ln π2<|a |， ∴f (c )>f (|a |)>f (b )． 又由题意知f (a )＝f (|a |)， ∴f (c )>f (a )>f (b )． 故选C.4．[2019甘肃天水月考]定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)答案：A 解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－2)＝f (2)． 又∵任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f(x2)－f(x1)x2－x1<0，∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数．又∵1<2<3，∴f(1)>f(2)＝f(－2)>f(3)，故选A.5．[2019河南郑州一模]已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x ＋2e)＝－f(x)(其中e＝2,718 2…)，且在区间[e,2e]上是减函数，令a＝ln 22，b＝ln 33，c＝ln 55，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系(用不等号连接)为()A．f(b)>f(a)>f(c) B．f(b)>f(c)>f(a)C．f(a)>f(b)>f(c) D．f(a)>f(c)>f(b)答案：A解析：∵f(x)是R上的奇函数，满足f(x＋2e)＝－f(x)，∴f(x＋2e)＝f(－x)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝e对称，∵f(x)在区间[e,2e]上为减函数∴f(x)在区间[0，e]上为增函数，又易知0<c<a<b<e，∴f(c)<f(a)<f(b)，故选A.6．[2019安徽蚌埠二模]已知单调函数f(x)，对任意的x∈R 都有f[f(x)－2x]＝6，则f(2)＝( )A．2 B．4 C．6 D．8答案：C解析：设t＝f(x)－2x，则f(t)＝6，且f(x)＝2x＋t，令x＝t，则f(t)＝2t＋t＝6，∵f(x)是单调函数，f(2)＝22＋2＝6，∴t＝2，即f(x)＝2x＋2，则f(2)＝4＋2＝6，故选C.7．[2019河北邯郸月考]已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f (a )≤f (2)，则实数a 的取值范围是________．答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞) 解析：∵函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，∴y ＝f (x )的图象关于y 轴对称． 又∵y ＝f (x )在(－∞，0]上是增函数，则y ＝f (x )在(0，＋∞)上是减函数，f (a )≤f (2)， ∴|a |≥2，∴a ≤－2或a ≥2. 8．[2019广东深圳模拟]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x <0，(a －3)x ＋4a ，x ≥0满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14解析：由任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，知f (x )在R 上为减函数，则需⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a －3<0，a 0≥(a －3)·0＋4a ，解得0<a ≤14.9．[2019甘肃兰州一模]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x－2，x ≤0，2ax －1，x >0(a是常数且a >0)．对于下列命题：①函数f (x )的最小值是－1； ②函数f (x )在R 上是单调函数； ③若f (x )>0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，则a 的取值范围是a >1；④对任意x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2. 其中正确命题的序号是________．答案：①③④ 解析：根据题意可得函数图象如图所示．①由图象易得在点x ＝0处函数f (x )有最小值－1，故正确； ②由图象易得函数f (x )在R 上不是单调函数，故错误； ③因为f (x )>0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，且f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以当x ＝12时，函数取得最小值，求得a 的取值范围是a >1，故正确；④因为函数在(－∞，0)上的图象是下凹的，所以任取两点连线应在图象的上方，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2，故正确． 故正确的命题为①③④.10．[2019河北石家庄模拟]已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1.若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时，有f (a )＋f (b )a ＋b >0成立．(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明； (2)解不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1；(3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2， 则－x 2∈[－1,1]， 因为f (x )为奇函数，所以f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2) ＝f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)·(x 1－x 2)，由已知得f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)>0，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )在[－1,1]上单调递增． (2)因为f (x )在[－1,1]上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12<1x －1，－1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1≤1，解得－32≤x <－1.(3)因为f (1)＝1，f (x )在[－1,1]上单调递增， 所以在区间[－1,1]上，f (x )≤1.问题转化为m 2－2am ＋1≥1，即m 2－2am ≥0对a ∈[－1,1]恒成立．下面来求m 的取值范围． 设g (a )＝－2m ·a ＋m 2≥0. ①若m ＝0，则g (a )＝0≥0， 对a ∈[－1,1]恒成立．②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1,1]恒成立，必须g(－1)≥0，且g(1)≥0，所以m≤－2或m≥2.所以m的取值范围是{m|m＝0或m≥2或m≤－2}．。

1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)如果函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在x0∈A，使得条件对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0) 结论f(x0)为最大值f(x0)为最小值判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个值x1，x2”改为“存在两个值x1，x 2”．( × )(2)对于函数f (x )，x ∈D ，若x 1，x 2∈D 且(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在D 上是增函数．( √ )(3)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( × ) (4)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )(5)所有的单调函数都有最值．( × )(6)对于函数y ＝f (x )，若f (1)<f (3)，则f (x )为增函数．( × )1．下列函数中，①y ＝1x －x ；②y ＝x 2－x ；③y ＝ln x －x ；④y ＝e x －x ，在区间(0，＋∞)内单调递减的是__________． 答案 ①解析 对于①，y 1＝1x 在(0，＋∞)内是减函数，y 2＝x 在(0，＋∞)内是增函数，则y ＝1x －x 在(0，＋∞)内是减函数；②，③，④函数在(0，＋∞)上均不单调．2．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 的值为________． 答案 －6解析 由图象易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是[－a 2，＋∞)，令－a2＝3，∴a ＝－6.3．设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，若函数的最小值为g (a )，则g (a )＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2≤a <1，－1，a ≥1解析 ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1， ∴对称轴为直线x ＝1.当－2≤a <1时，函数在[－2，a ]上单调递减， 则当x ＝a 时，y min ＝a 2－2a ；当a ≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增， 则当x ＝1时，y min ＝－1.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2≤a <1，－1，a ≥1.4．(教材改编)已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2,6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________． 答案 2 25解析 可判断函数f (x )＝2x －1在[2,6]上为减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25.5．(教材改编)已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________________________________________________________________________． 答案 (－∞，1]∪[2，＋∞)解析 函数f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示．由图象可知函数在(－∞，a ]和[a ，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f (x )在区间[1,2]上具有单调性，只需a ≤1或a ≥2，从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．题型一 确定函数的单调性(区间)命题点1 给出具体解析式的函数的单调性例1 (1)下列函数中，①y ＝ln(x ＋2)；②y ＝－x ＋1；③y ＝(12)x ；④y ＝x ＋1x ，在区间(0，＋∞)上为增函数的是________．(2)函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是____________．(3)函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间为_________________________． 答案 (1)① (2)(－∞，－2) (3)(－∞，－1]，[0,1] 解析 (1)y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)， ∴在区间(0，＋∞)上为增函数．(2)因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．(3)由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x <0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，二次函数的图象如图．由图象可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数. 命题点2 解析式含参函数的单调性例2 试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．解 设－1<x 1<x 2<1，f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)，由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0， 故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递增．综上，当a >0时，f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f (x )在(－1,1)上单调递增． 引申探究若本题中的函数变为f (x )＝axx 2－1 (a >0)，则f (x )在(－1,1)上的单调性如何？解 设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1 ＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2(x 21－1)(x 22－1)＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)， ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0. 又∵a >0，∴f (x 1)－f (x 2)>0， ∴函数在(－1,1)上为减函数．思维升华 确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连结．已知a >0，函数f (x )＝x ＋ax(x >0)，证明：函数f (x )在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．证明 方法一 任意取x 1>x 2>0，则 f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫a x 1－a x 2＝(x 1－x 2)＋a (x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－a x 1x 2.当a ≥x 1>x 2>0时，x 1－x 2>0,1－ax 1x 2<0，有f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，此时，函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，a ]上为减函数；当x 1>x 2≥a 时，x 1－x 2>0,1－ax 1x 2>0， 有f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，此时，函数f (x )＝x ＋ax(a >0)在[a ，＋∞)上为增函数；综上可知，函数f (x )＝x ＋ax(a >0)在(0，a ]上为减函数，在[a ，＋∞)上为增函数．方法二 f ′(x )＝1－a x 2，令f ′(x )>0，则1－ax2>0，解得x >a 或x <－a (舍)．令f ′(x )<0，则1－ax 2<0，解得－a <x <a .∵x >0，∴0<x <a .故f (x )在(0，a ]上为减函数，在[a ，＋∞)上为增函数．题型二 函数的最值例3 已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)，a ∈(－∞，1]．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2在[1，＋∞)上为增函数，f (x )min ＝f (1)＝72.(2)f (x )＝x ＋ax＋2，x ∈[1，＋∞)．①当a ≤0时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数． 最小值为f (1)＝a ＋3.要使f (x )>0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，只需a ＋3>0，即a >－3，所以－3<a ≤0. ②当0<a ≤1时，f (x )在[1，＋∞)上为增函数，f (x )min ＝f (1)＝a ＋3. 所以a ＋3>0，a >－3，所以0<a ≤1.综上所述，f (x )在[1，＋∞)上恒大于零时，a 的取值范围是(－3,1]． 思维升华 求函数最值的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．(1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．(2)已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)，若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为[12，2]，则a ＝________. 答案 (1)2 (2)25解析 (1)当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2. 故函数f (x )的最大值为2.(2)由反比例函数的性质知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上单调递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (2)＝2，即⎩⎨⎧1a －2＝12，1a －12＝2，解得a ＝25.题型三 函数单调性的应用命题点1 比较大小例4 已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则f (x 1)________0，f (x 2)________0.(判断大小关系) 答案 < >解析 ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0， 当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0， 即f (x 1)<0，f (x 2)>0.命题点2 解不等式例5 已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是______________． 答案 (－1,0)∪(0,1)解析 由f (x )为R 上的减函数且f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪1x >1，x ≠0，即⎩⎨⎧|x |<1，x ≠0.∴－1<x <0或0<x <1.命题点3 求参数范围例6 (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是__________．(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________． 答案 (1)⎣⎡⎦⎤－14，0 (2)[32，2) 解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增； 当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综合上述得－14≤a ≤0.(2)由已知条件得f (x )为增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a >1，(2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a <2，∴a 的取值范围是[32，2)．思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．(1)f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是__________．(2)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是__________．答案 (1)(8,9] (2)(0,1]解析 (1)2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －8>0，x (x －8)≤9，解得8<x ≤9.(2)由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数可得[1,2]⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1. ∵y ＝1x ＋1在(－1，＋∞)上为减函数，∴由g (x )＝ax ＋1在[1,2]上是减函数可得a >0，故0<a ≤1.1．确定抽象函数单调性解函数不等式典例 (14分)函数f (x )对任意的m 、n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x >0时，恒有f (x )>1.(1)求证：f (x )在R 上是增函数； (2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2＋a －5)<2.思维点拨 (1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．应该构造出f (x 2)－f (x 1)并与0比较大小．(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f ”运用单调性“去掉”是本题的切入点．要构造出f (M )<f (N )的形式． 规范解答(1)证明 设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，∴x 2－x 1>0， ∵当x >0时，f (x )>1， ∴f (x 2－x 1)>1.[2分] f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1] ＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1，[4分]∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0⇒f (x 1)<f (x 2)，∴f(x)在R上为增函数．[6分](2)解∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，[8分]f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)<2＝f(1)，[11分]∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5<1⇒－3<a<2，即a∈(－3,2)．[14分]解函数不等式问题的一般步骤：第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；第五步：(反思)反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．温馨提醒本题对函数的单调性的判断是一个关键点．不会运用条件x>0时，f(x)>1，构造不出f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1的形式，便找不到问题的突破口．第二个关键应该是将不等式化为f(M)<f(N)的形式．解决此类问题的易错点：忽视了M、N的取值范围，即忽视了f(x)所在单调区间的约束．[方法与技巧]1．利用定义证明或判断函数单调性的步骤(1)取值；(2)作差；(3)定量；(4)判断．2．确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图象法，也可利用单调函数的和差确定单调性．3．求函数最值的常用求法：单调性法、图象法、换元法．[失误与防范]1．分段函数单调性不仅要考虑各段的单调性，还要注意衔接点．2．函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连结，不要用“∪”．A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．下列函数f (x )中，①f (x )＝1x；②f (x )＝(x －1)2；③f (x )＝e x ；④f (x )＝ln(x ＋1)，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是________．(填序号)答案 ①解析 由题意知f (x )在(0，＋∞)上是减函数．①中，f (x )＝1x满足要求； ②中，f (x )＝(x －1)2在[0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；③中，f (x )＝e x 是增函数；④中，f (x )＝ln(x ＋1)在(0，＋∞)上是增函数．2．已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是__________． 答案 [1，＋∞)解析 要使y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则a >0且a －1≥0，∴a ≥1.3．已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为______________．答案 b <a <c解析 ∵函数图象关于x ＝1对称，∴a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52，又y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递增， ∴f (2)<f ⎝⎛⎭⎫52<f (3)，即b <a <c .4．若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在 [3，＋∞)上的最小值为1，则实数m 的值为________． 答案 －2解析 ∵f (x )＝(x －1)2＋m －1在[3，＋∞)上为单调增函数，且f (x )在[3，＋∞)上的最小值为1，∴f (3)＝1，即22＋m －1＝1，m ＝－2.5．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是__________．答案 [0，34] 解析 当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5，在(－∞，3)上是减函数，当a ≠0时，由⎩⎨⎧ a >0，－4(a －3)4a ≥3，得0<a ≤34， 综上a 的取值范围是0≤a ≤34. 6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12log ，x x ≥1，2x ，x <1的值域为________． 答案 (－∞，2)解析 当x ≥1时，f (x )＝log 12x 是单调递减的，此时，函数的值域为(－∞，0]；当x <1时，f (x )＝2x 是单调递增的，此时，函数的值域为(0,2)．综上，f (x )的值域是(－∞，2)．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋12a －2，x ≤1，a x －a ，x >1，若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．答案 (1,2]解析 由题意，得12＋12a －2≤0，则a ≤2，又y ＝a x －a (x >1)是增函数，故a >1，所以a 的取值范围为1<a ≤2.8．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．答案 3解析 由于y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.9．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．(1)证明 任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增．(2)解 任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). ∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1.综上所述，a 的取值范围是(0,1]．10．设函数y ＝f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x ，y ，都有f (xy )＝f (x )＋f (y )；②当x >1时，f (x )<0；③f (3)＝－1.(1)求f (1)，f (19)的值； (2)如果不等式f (x )＋f (2－x )<2成立，求x 的取值范围．解 (1)令x ＝y ＝1易得f (1)＝0.而f (9)＝f (3)＋f (3)＝－1－1＝－2，且f (9)＋f ⎝⎛⎭⎫19＝f (1)＝0，故f ⎝⎛⎭⎫19＝2. (2)设0<x 1<x 2，则x 2x 1>1，f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1<0， 由f (xy )＝f (x )＋f (y )得f (x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫x 1·x 2x 1＝f (x 1)＋f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1<f (x 1)， 所以f (x )是减函数．由条件①及(1)的结果得：f [x (2－x )]<f ⎝⎛⎭⎫19，其中0<x <2，由函数f (x )在R 上单调递减，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x (2－x )>19，0<x <2，由此解得x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1－223，1＋223. B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．答案 1解析 依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，0<x <2，－x ＋3，x ≥2.当0<x <2时，h (x )＝log 2x 是增函数；当x ≥2时，h (x )＝3－x 是减函数，∴h (x )在x ＝2时，取得最大值h (2)＝1.12．定义新运算：当a ≥b 时，ab ＝a ；当a <b 时，a b ＝b 2，则函数f (x )＝(1x )x －(2x )，x ∈[－2,2]的最大值等于________．答案 6解析 由已知，得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.13．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为_________．答案 (－3，－1)∪(3，＋∞)解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a >0，a ＋3>0，a 2－a >a ＋3，解得－3<a <－1或a >3.所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．14．已知函数f (x )＝lg(x ＋a x－2)，其中a 是大于0的常数． (1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．解 (1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋a x>0， 当a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)， 当a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}，当0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }．(2)设g (x )＝x ＋a x－2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时， g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－a x 2>0恒成立， 所以g (x )＝x ＋a x－2在[2，＋∞)上是增函数． 所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上是增函数． 所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a 2. (3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，即x ＋a x－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立． 所以a >3x －x 2，令h (x )＝3x －x 2，而h (x )＝3x －x 2＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋94在x ∈[2，＋∞)上是减函数， 所以h (x )max ＝h (2)＝2，所以a >2.。

考点1 导数与函数的单调性考点2 导数与函数的极(最)值目 录综合基础练综合拔高练1综合拔高练22024高考数学习题　导数与函数的单调性、极值和最值训练册考点1　导数与函数的单调性1.(2014课标Ⅱ文,11,5分,易)若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)单调递增,则k的取值范围D是 ( )A.(-∞,-2]B.(-∞,-1]C.[2,+∞)D.[1,+∞)2.(2023新课标Ⅱ,6,5分,中)已知函数f(x)=a e x-ln x在区间(1,2)单调递增,则a的最小值为C ( )A.e2B.eC.e-1D.e-23.(2023新课标Ⅰ,19,12分,中)已知函数f (x )=a (e x +a )-x .(1)讨论f (x )的单调性;(2)证明:当a >0时, f (x )>2ln a + .32解析 (1)由已知得函数f (x )的定义域为R,f '(x )=a e x -1.①当a ≤0时, f '(x )<0, f (x )在R 上单调递减;②当a >0时,令f '(x )=0,则x =ln ,当x <ln 时, f '(x )<0, f (x )单调递减;1a 1a当x >ln 时, f '(x )>0, f (x )单调递增.综上所述,当a ≤0时, f (x )在R 上单调递减;当a >0时, f (x )在 上单调递减,在 上单调递增.1a 1,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)证明:由(1)知,当a >0时, f (x )在 上单调递减,在 上单调递增,则f (x )min =f =a -ln =1+a 2+ln a .要证明f (x )>2ln a + ,只需证明1+a 2+ln a >2ln a + ,即证a 2-ln a - >0.1,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1ln a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭1a 323212令g (x )=x 2-ln x - (x >0),则g '(x )=2x - = .当0<x < 时,g '(x )<0,g (x )单调递减;当x > 时,g '(x )>0,g (x )单调递增,121x 221x x -2222∴g (x )min =g = -ln - =-ln =ln >0,∴g (x )>0在(0,+∞)上恒成立,即a 2-ln a - >0,∴f (x )>2ln a + .22⎛⎫ ⎪⎝⎭12221222212324.(2023全国甲文,20,12分,中)已知函数f (x )=ax - ,x ∈ .(1)当a =1时,讨论f (x )的单调性;(2)若f (x )+sin x <0,求a 的取值范围.2sin cos x x 0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭解析 (1)当a =1时, f (x )=x - ,x ∈ ,f '(x )=1- = = <0,所以函数f (x )在 上单调递减.(2)令g (x )= -sin x = = = ,则g '(x )= = ,2sin cos x x 0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭324cos 2sin cos cos x x x x +3223cos cos 2sin cos x x x x --323cos cos 2cos x x x+-0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭2sin cos x x 22sin sin cos cos x x x x -22sin sin (1sin )cos x x x x --32sin cos x x 32443cos sin 2sin cos cos x x x x x +22433cos sin 2sin cos x x x x +因为x ∈ ,所以3cos 2x sin 2x +2sin 4x >0,cos 3x >0,则g '(x )>0,所以函数g (x )在 上单调递增,g (0)=0,当x → 时,g (x )→+∞,因为f (x )+sin x <0恒成立,所以 -sin x >ax 在 上恒成立,即直线y =ax 在0<x < 时恒在g (x )的图象下方,如图所示,0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2π⎛⎫⎪⎝⎭2π2sin cos x x 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭2π由图及g '(0)=0可得a ≤0,即a 的取值范围为(-∞,0].5.(2015课标Ⅱ文,21,12分,中)已知函数f (x )=ln x +a (1-x ).(1)讨论f (x )的单调性;(2)当f (x )有最大值,且最大值大于2a -2时,求a 的取值范围.解析 (1)f (x )的定义域为(0,+∞), f '(x )= -a .若a ≤0,则f '(x )>0,所以f (x )在(0,+∞)上单调递增.若a >0,则当x ∈ 时, f '(x )>0;当x ∈ 时,f '(x )<0.所以f (x )在 上单调递增,在 上单调递减.(2)由(1)知,当a ≤0时, f (x )在(0,+∞)上无最大值;当a >0时, f (x )在x = 处取得最大值,最大1x10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1a值为f =ln +a =-ln a +a -1.因此f >2a -2等价于ln a +a -1<0.1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1a 11a ⎛⎫- ⎪⎝⎭1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭令g (a )=ln a +a -1,a >0,则g (a )在(0,+∞)上单调递增,g (1)=0.于是,当0<a <1时,g (a )<0;当a >1时,g (a )>0.因此,a 的取值范围是(0,1).考点2　导数与函数的极(最)值1.(多选)(2023新课标Ⅱ,11,5分,中)若函数f (x )=a ln x + + (a ≠0)既有极大值也有极小值,则 ( )A.bc >0B.ab >0C.b 2+8ac >0D.ac <0b x 2c x BCDAC2.(多选)(2022新高考Ⅰ,10,5分,中)已知函数f(x)=x3-x+1,则 ( )A. f(x)有两个极值点B. f(x)有三个零点C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线3.(2021新高考Ⅰ,15,5分,中)函数f(x)=|2x-1|-2ln x的最小值为 .答案 14.(2022全国乙理,16,5分,难)已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2a x-e x2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点.若x1<x2,则a的取值范围是 .答案 1,1e⎛⎫⎪⎝⎭5.(2021北京,19,15分,中)已知函数f (x )= .(1)若a =0,求曲线y =f (x )在点(1, f (1))处的切线方程;(2)若f (x )在x =-1处取得极值,求f (x )的单调区间,并求其最大值与最小值.232x x a-+解析 (1)当a =0时, f (x )= ,∴f (1)=1,f '(x )= ,故f '(1)=-4,故曲线y =f (x )在点(1, f (1))处的切线方程为y =-4(x -1)+1,即4x +y -5=0.(2)由题意得f '(x )= ,且f '(-1)=0,故8-2a =0,解得a =4,故f (x )= ,x ∈R,则f '(x )= = ,令f '(x )>0,得x >4或x <-1;令f '(x )<0,得-1<x <4,232x x -326x x -222262()x x a x a --+2324x x -+222268(4)x x x --+222(1)(4)(4)x x x +-+故函数f (x )的单调增区间为(-∞,-1)和(4,+∞),单调减区间为(-1,4).所以f (x )的极大值为f (-1)=1, f (x )的极小值为f (4)=- .又当x ∈(-∞,-1)时,3-2x >0,故f (x )>0;当x ∈(4,+∞)时,3-2x <0,故f (x )<0,∴f (x )max =f (-1)=1, f (x )min =f (4)=- .14146.(2019课标Ⅲ文,20,12分,中)已知函数f (x )=2x 3-ax 2+2.(1)讨论f (x )的单调性;(2)当0<a <3时,记f (x )在区间[0,1]的最大值为M ,最小值为m ,求M -m 的取值范围.解析 (1)第一步:求函数的定义域和导函数,并因式分解求出导函数的零点.由题意知x ∈R, f '(x )=6x 2-2ax =2x (3x -a ).令f '(x )=0,得x =0或x = .第二步:讨论a 的取值,比较根的大小关系,写出单调区间.①若a >0,则当x ∈(-∞,0)∪ 时, f '(x )>0;当x ∈ 时, f ‘(x )<0.3a ,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭故f (x )在(-∞,0), 单调递增,在 单调递减;②若a =0, f (x )在(-∞,+∞)单调递增;,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭③若a <0,则当x ∈ ∪(0,+∞)时, f '(x )>0;当x ∈ 时, f '(x )<0.故f (x )在 ,(0,+∞)单调递增,在 单调递减.(2)当0<a <3时,由(1)知, f (x )在 单调递减,在 单调递增,所以f (x )在[0,1]的最小值为f =- +2,最大值为f (0)=2或f (1)=4-a .,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,13a ⎛⎫ ⎪⎝⎭3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭327a当0<a <2时, f (1)>f (0),最大值为f (1)=4-a .所以M -m =2-a + ,0<a <2,327a 对于函数y = -a +2,y '= -1,当0<a <2时,y '<0,从而y = -a +2单调递减,此时 < -a +2<2,即M -m 的取值范围是 .(构造函数,利用函数单调性求值域)当2≤a <3时, f (1)<f (0),最大值为f (0)=2,所以M -m = ,而函数y = 单调递增,所以M -m 的取值范围是 .综上,M -m 的取值范围是 .327a 29a 327a 827327a 8,227⎛⎫ ⎪⎝⎭327a 327a 8,127⎡⎫⎪⎢⎣⎭8,227⎡⎫⎪⎢⎣⎭易错警示　解题时,易犯以下两个错误:①对参数a 未讨论或对a 分类讨论不全面,尤其易忽略a =0的情形而导致失分;②当a >0时, f (x )在(-∞,0), 单调递增,将这两个区间合并表示为f (x )在(-∞,0)∪ 单调递增导致错误,从而失分.,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭7.(2023新课标Ⅱ,22,12分,难)(1)证明:当0<x<1时,x-x2<sin x<x;(2)已知函数f(x)=cos ax-ln(1-x2),若x=0是f(x)的极大值点,求a的取值范围.解析 (1)证明:令g(x)=x-x2-sin x,0<x<1,则g'(x)=1-2x-cos x,令G(x)=g'(x),得G'(x)=-2+sin x <0在区间(0,1)上恒成立,所以g'(x)在区间(0,1)上单调递减,因为g'(0)=0,所以g'(x)<0在区间(0,1)上恒成立,所以g(x)在区间(0,1)上单调递减,所以g(x)<g(0)=0,即当0<x<1时,x-x2< sin x.令h(x)=sin x-x,0<x<1,则h'(x)=cos x-1<0在区间(0,1)上恒成立,所以h(x)在区间(0,1)上单调递减,所以h(x)<h(0)=0,即当0<x<1时,sin x<x.综上,当0<x<1时,x-x2<sin x<x.(2)函数f(x)的定义域为(-1,1).当a=0时, f(x)=1-ln(1-x2), f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,x=0不是f(x)的极大值点,所以a ≠0.当a >0时, f '(x )=-a sin ax + ,x ∈(-1,1).(i)当0<a ≤ 时,取m =min ,x ∈(0,m ),则ax ∈(0,1),由(1)可得f '(x )=-a sin ax + >-a 2x + = ,因为a 2x 2>0,2-a 2≥0,1-x 2>0,所以f '(x )>0,所以f (x )在(0,m )上单调递增,不合题意.(ii)当a > 时,取x ∈ ⊆(0,1),则ax ∈(0,1),由(1)可得f '(x )=-a sin ax + <-a (ax -a 2x 2)+ 221x x-21,1a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭221x x -221x x-2222(2)1x a x a x +--210,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭221x x -221x x-= (-a 3x 3+a 2x 2+a 3x +2-a 2),设h (x )=-a 3x 3+a 2x 2+a 3x +2-a 2,x ∈ ,则h '(x )=-3a 3x 2+2a 2x +a 3,因为h '(0)=a 3>0,h ' =a 3-a >0,且h '(x )的图象是开口向下的抛物线,所以∀x ∈ ,均有h '(x )>0,所以h (x )在 上单调递增.因为h (0)=2-a 2<0,h =2>0,所以h (x )在 内存在唯一的零点n .当x ∈(0,n )时,h (x )<0,又因为x >0,1-x 2>0.21x x -10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭则f '(x )< (-a 3x 3+a 2x 2+a 3x +2-a 2)<0.即当x ∈(0,n )⊆(0,1)时, f '(x )<0,则f (x )在(0,n )上单调递减.又因为f (x )是偶函数,所以f (x )在(-n ,0)上单调递增,所以x =0是f (x )的极大值点.综合(i)(ii)知a > .当a <0时,由于将f (x )中的a 换为-a 所得解析式不变,所以a <- 符合要求.故a 的取值范围为(-∞,- )∪( ,+∞).21x x22221.(2023山东烟台开学考,3)函数f (x )=-2ln x -x - 的单调递增区间是( )A.(0,+∞) B.(-3,1) C.(1,+∞) D.(0,1)3x D2.(2023吉林长春六中月考,9)函数f (x )=cos x +(x +1)sin x +1在区间[0,2π]上的最小值、最大值分别为 ( )A.- , B.- , C.- , +2D.- , +22π2π32π2π2π2π32π2πD3.(2024届江苏无锡期中,5)当x=2时,函数f(x)=x3+bx2-12x取得极值,则f(x)在区间[-4,4]上的最大值为 ( )CA.8B.12C.16D.324.(2024届湖南师大附中第4次月考,6)已知x =0是函数f (x )= x 2e x -2x e x +2e x- x 3的一个极值点,则a 的取值集合为 ( )A.{a |a ≥-1}B.{0}C.{1}D.R3a C5.(2024届河北石家庄二中月考,5)已知函数f(x)=x3-3mx2+9mx+1在(1,+∞)上为单调递增D函数,则实数m的取值范围为 ( )A.(-∞,-1)B.[-1,1]C.[1,3]D.[-1,3]6.(2024届重庆长寿中学期中,7)已知函数f (x )=2x - -a ln x ,则“a >5”是“函数f (x )在(1,2)上单调递减”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2xAABD7.(多选)(2024届福建福州联考,10)设函数f(x)=x3-12x+b,则下列结论错误的是 ( )A.函数f(x)在(-∞,-1)上单调递增B.函数f(x)在(-∞,-1)上单调递减C.若b=-6,则函数f(x)的图象在点(-2, f(-2))处的切线方程为y=10D.若b=0,则函数f(x)的图象与直线y=10只有一个公共点8.(2024届江苏苏州中学模拟,14)已知函数g (x )=2x +ln x - 在区间[1,2]上不单调,则实数a 的取值范围是 .a x答案 (-10,-3)9.(2024届河南省实验中学月考,15)若函数f(x)=x3-12x在区间(a,a+4)上存在最大值,则实数a的取值范围是 .答案 (-6,-2)10.(2024届湖北武汉二中测试,15)已知函数f (x )=ax 4-4ax 3+b ,x ∈[1,4], f (x )的最大值为3,最小值为-6,则a +b 的值是 .答案 或- 10319311.(2023重庆八中入学考,18)已知函数f (x )=ax +b +cos x (a ,b ∈R),若曲线f (x )在点(0, f (0))处的切线方程为y = x +2.(1)求f (x )的解析式;(2)求函数f (x )在[0,2π]上的值域.12解析 (1)因为f (x )=ax +b +cos x (a ,b ∈R),所以f '(x )=a -sin x ,由题意得 即 所以a = ,b =1,则f (x )= x +1+cos x .(2)由(1)得f (x )= x +1+cos x , f '(x )= -sin x ,由f '(x )≥0且x ∈[0,2π]可得0≤x ≤ 或 ≤x ≤2π,函数f (x )在区间 和 上单调递增,由f '(x )<0且x ∈[0,2π]可得 <x < ,函数f (x )在区间 上单调递减.(0)cos02,1 '(0)sin 0,2f b f a =+=⎧⎪⎨=-=⎪⎩12,1,2b a +=⎧⎪⎨=⎪⎩121212126π56π0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6π56π5,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭因此当x = 时,函数取得极大值f = × +1+cos =1+ + ,当x = 时,函数取得极小值f = × +1+cos =1+ - ,又f (0)=2, f (2π)= ×2π+1+cos 2π=1+π+1=2+π,1+ - <2<1+ + <2+π,所以函数f (x )在[0,2π]上的最大值为2+π,最小值为1+ - ,所以f (x )在[0,2π]上的值域为 .6π6π⎛⎫ ⎪⎝⎭126π6π12π3256π56π⎛⎫ ⎪⎝⎭1256π56π512π3212512π3212π32512π32531,2122ππ⎡⎤+-+⎢⎥⎣⎦1.(2024届湖南长沙长郡中学月考,4)若0<x 1<x 2<1,则 ( )A. - >ln x 2-ln x 1B. - <ln x 2-ln x 1C.x 2 >x 1 D.x 2 <x 1 2e x 1e x 2e x 1e x 1e x 2e x 1e x 2e x C2.(多选)(2024届广东东莞月考,11)已知函数f (x )=ax 2-2x +ln x 存在极值点,则实数a 的值可以是 ( )A.0B.-eC. D. 121e ABD3.(2024届山东泰安月考,15)设a∈R,若函数y=e x+ax,x∈R有大于零的极值点,则a的取值范围是 .答案 (-∞,-1)4.(2024届辽宁辽东教学共同体期中,19)已知函数f (x )=e x ,g (x )= .(1)直接写出曲线y =f (x )与曲线y =g (x )的公共点坐标,并求曲线y =f (x )在公共点处的切线方程;(2)已知直线y =a 分别交曲线y =f (x )和y =g (x )于点A ,B ,当a ∈(0,e)时,设△OAB 的面积为S (a ),其中O 是坐标原点,求S (a )的最大值.e x解析 (1)易得曲线y =f (x )与曲线y =g (x )的公共点坐标为(1,e).因为f '(x )=e x ,所以f '(1)=e,所以曲线y =f (x )在公共点处的切线方程为y -e=e(x -1),即y =e x .(2)因为直线y =a 分别交曲线y =f (x )和y =g (x )于点A ,B ,所以A (ln a ,a ),B .S (a )= a ·|AB |= a ,a ∈(0,e).因为a ∈(0,e)时, >1,ln a <1,所以 >ln a ,所以S (a )= - a ln a ,a ∈(0,e),求导得S '(a )=- (1+ln a ),e ,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1212e ln a a -e a e a e 21212令S '(a )=0,得a = ,所以S '(a ),S (a )的变化情况如表:1ea S'(a)+0-S(a)↗极大值↘10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1e 1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭因此,S (a )的极大值也是最大值,为S = + .1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭e 212e5.(2024届湖南长沙南雅中学开学考,21)已知函数f (x )=ax - -(a +1)ln x (a ≠0).(1)讨论函数f (x )的单调性;(2)若f (x )既有极大值又有极小值,且极大值和极小值的和为g (a ),解不等式g (a )<2a -2.1x解析 (1)函数f (x )的定义域为(0,+∞),对f (x )求导得f '(x )=a + - = = ,令f '(x )=0,则x 1=1,x 2= .当a <0时,ax -1<0,令f '(x )>0,解得0<x <1,令f '(x )<0,解得x >1,所以f (x )在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减;21x 1a x +22(1)1ax a x x -++2(1)(1)ax x x --1a当a >0时,①当 =1,即a =1时,f '(x )≥0恒成立,1a 所以f (x )在(0,+∞)上单调递增;②当 >1,即0<a <1时,令f '(x )>0,解得0<x <1或x > ,令f '(x )<0,解得1<x < ,所以f (x )在(0,1)上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增;③当 <1,即a >1时,令f '(x )>0,解得0<x < 或x >1,令f '(x )<0,解得 <x <1,1a 1a 1a11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1a 1a 1a所以f (x )在 上单调递增,在 上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭综上所述:当a <0时, f (x )在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减;当0<a <1时, f (x )在(0,1)上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增;当a =1时, f (x )在(0,+∞)上单调递增;当a >1时, f (x )在 上单调递增,在 上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.(2)由(1)知:a >0且a ≠1,且g (a )=f +f (1)=1-a +(a +1)ln a +a -1=(a +1)ln a .g (a )<2a -2等价于(a +1)ln a <2a -2(a >0且a ≠1),11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭等价于解不等式ln a - <0,2(1)1a a -+令m (a )=ln a - (a >0),(构造函数m (a ),结合函数的单调性以及特殊值m (1)=0,从而解得不等式的解集)m '(a )= - = >0,所以m (a )在(0,+∞)上单调递增,且m (1)=0,所以m (a )<0=m (1),即不等式的解集为{a |0<a <1}.2(1)1a a -+1a 24(1)a +22(1)(1)a a a -+。

函数的单调性与最值一.函数单调性和单调区间的定义：①如果函数()x f 对区间D 内的任意21,x x ，当21x x <时都有()()21x f x f <，则()x f 在D 内是增函数；当21x x <时都有()()21x f x f >，则()x f 在D 内时减函数。

②设函数()y f x =在某区间D 内可导，若()0f x '>，则()y f x =为x D ∈的增函数；若()0f x '<，则()y f x =为x D ∈的减函数.3.单调性的定义①的等价形式： 设[]b a x x ,,21∈，那么()()()x f x x x f x f ⇔>--02121在[],a b 是增函数；()()()x f x x x f x f ⇔<--02121在[],a b 是减函数； ()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦()f x ⇔在[],a b 是减函数。

4.函数单调性的应用.利用定义都是充要性命题.即若()f x 在区间D 上递增（递减）且1212()()f x f x x x <⇔<(1x 2,x D ∈)；若()f x 在区间D 上递递减且1212()()f x f x x x <⇔>.(1x 2,x D ∈). 5.在公共定义域内，利用函数的运算性质：若()f x 、)(x g 同为增函数，则 ③ ()()f x g x +为增函数；②()1()0()f x f x >为减函数；()()0f x ≥为增函数；④()f x -为减函数.〖针对性练习〗1.函数1y x=-的单调区间是（ ）A ．（-∞，+∞） B.（-∞，0） （1，∞，） C.（-∞，1） 、（1，∞） D. （-∞，1）（1，∞）2. 下列函数中,在区间（0,2）上为增函数的是( ).A ．32y x =-+B ．3y x= C ．245y x x =-+ D ．23810y x x =+-3．函数y =的增区间是（ ）。

高中数学函数的单调性与最值练习题1.函数f(x) = (1-x)/(1-x^2)，其定义域为{x|x≠1}。

根据函数y=-1/x的单调性及有关性质，可知f(x)在(-∞，1)和(1，+∞)上是增函数。

因此，选项C正确。

2.已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f(x) < f(1)，所以|x| < 1.因此，选项C正确。

3.函数f(x) = 8x^2 - 2kx - 7在[1，5]上为单调函数，说明函数的对称轴为x = k/8.因为函数在[1,5]上单调，所以k/8≤1或k/8≥5，解得k≤8或k≥40.因此，实数k的取值范围是(-∞，8]∪[40，+∞)，选项C正确。

4.定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a<b时，a⊕b＝b^2.函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[-2，2]。

当-2≤x≤1时，f(x)＝x－2；当1<x≤2时，f(x)＝x^3－2.因为f(x)＝x－2在[-2，1]上是增函数，f(x)＝x^3－2在(1，2]上是增函数，所以f(x)的最大值为f(2)＝6.因此，选项C正确。

5.函数f(x)＝log2(x+1)，x∈(1，+∞)。

因为log2(x+1)是单调递增函数，所以f(x)在(1，2)和(2，+∞)上是单调递增函数。

因此，f(x1) 0，所以x2+x1<1.因此，选项1-x正确。

2证明f(x)在(0，＋∞)上是增函数。

2) 当x＝2时，f(x)＝－a2所以a20，1)，解得a∈(1，＋∞)或a∈(－∞，0)．又因为a>0，所以a∈(1，＋∞)．答案：(1)增函数；(2)a∈(1，＋∞)．7．函数f(x)＝|x－1|＋x2的值域为[4，＋∞)．解析：因为f(x)＝|x－1|＋x2，所以f(x)在x≥1时，f(x)＝(x－1)+x2＝x2+x－1；在x<1时，f(x)＝1－(1－x)+x2＝x2+x，所以f(x)在[1，＋∞)上为增函数，又因为f(x)在[1，＋∞)上的最小值为4，所以f(x)的值域为[4，＋∞)．改写：函数f(x)＝|x－1|＋x2在[1，＋∞)上为增函数，且在[1，＋∞)上的最小值为4，因此函数f(x)的值域为[4，＋∞)．2.已知函数$f(x)=\frac{a}{x^2}-\frac{1}{x}$，其中$a$为常数，且$f(x)$在$(0,+\infty)$上是增函数。

函数的单调性与极值经典例题复习+训练(共5页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-函数的单调性与极值练习一、选择题1．函数3()3f x x x =-（||1x <） （ ）。

Ａ．有最大值，但无最小值 Ｂ．有最大值，也有最小值 Ｃ．无最大值，也无最小值 Ｄ．无最大值，但有最小值2．函数3() f x x a x b =++在区间（－1，1）上为减函数，在（1，＋∞）上为增函数，则（ ）。

Ａ．1a =，1b =Ｂ．1a =，R b ∈Ｃ．3a =-，3b =Ｄ．3a =-，R b ∈3．函数21ln 2y x x =-的单调减区间为 （ ）。

Ａ．（0，1）Ｂ．（0，1）∪（－∞，－1）Ｃ．（0，1）∪（1，＋∞）Ｄ．（0，＋∞）4．函数232xy x x =-+的单调增区间为 （ ）。

） Ｂ．（－2，1）∪（1，2），1）∪（1），1），（1）5．设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '= 的图象如右图所示，则()y f x =的图象有 可能的是 （ ）。

Ａ Ｂ Ｃ Ｄ二、填空题6．已知0a >，函数3() f x x a x =-+在[1，＋∞)上是单调减函数，则a 的最大值为＿＿＿。

7．设()(1)(2)(3)f x x x x =---，则方程()0f x '=的实数根的个数是＿＿＿。

三、解答题 8．求函数1()f x x x=+的极值。

)函数的单调性与极值类型一导数与函数的单调性一、选择题1．函数3y x x =-的单调增区间是＿＿＿。

2．若三次函数3 y a x x =-在区间（－∞，＋∞）内是减函数，则a 的取值范围＿＿＿。

3．函数ln y x x =在区间（0，1）上的增减性是＿＿＿。

二、填空题4．若函数32()f x x bx cx d =+++的单调递减区间为[－1，2]，则b =＿＿，c =＿＿。

5．若函数3() f x a x x =+恰有三个单调区间，则a 的取值范围是＿＿＿。

函数的单调性与最值一、知识梳理1．增函数、减函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ，如果对于任意x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2，则 有：(1)f (x )在区间D 上是增函数⇔f (x 1)<f (x 2)； (2)f (x )在区间D 上是减函数⇔f (x 1)>f (x 2)． 2．单调区间的定义若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格 的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 3．函数的最值注意：1．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间 只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集 符号“∪”联结，也不能用“或”联结．2．两函数f (x )，g (x )在x ∈(a ，b )上都是增(减)函数，则f (x )＋g (x )也为增(减)函数，但 f (x )·g (x )，()1f x 等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比． [试一试]1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．y ＝x ＋1x解析：选A 选项A 的函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．函数f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为______；f (x )max ＝________. 解析：函数f (x )的对称轴x ＝1，单调增区间为[1,4]，f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8. 答案：[1,4] 8二、方法归纳1．判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数； (3)图像法：如果f (x )是以图像形式给出的，或者f (x )的图像易作出，可由图像的直观性 判断函数单调性．(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性． 2．求函数最值的五个常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． (4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不 等式求出最值．(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． 提醒：在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域． [练一练]1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝e －x C ．y ＝－x 2＋1 D. y ＝lg|x |答案：C2．函数f (x )＝1x 2＋1在区间[2,3]上的最大值是________，最小值是________．答案：15 110三、考点精练考点一 求函数的单调区间1、函数()()5log 21f x x =+的单调增区间是________． 解析：要使()5log 21y x =+有意义，则210x +>，即12x >-，而5log y u =为()0,+∞ 上的增函数，当12x >-时，u ＝2x ＋1也为R 上的增函数，故原函数的单调增区间是 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.答案：1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭2．函数y ＝x －|1－x |的单调增区间为________．解析：y ＝x －|1－x |＝1,121,1x x x ≥⎧⎨-<⎩作出该函数的图像如图所示．由图像可知，该函数的单调增区间是(－∞，1]． 答案：(－∞，1]3．设函数y ＝f (x )在(),-∞+∞内有定义．对于给定的正数k ，定义函数()()()(),,k f x f x k f x k f x k⎧≤⎪=⎨>⎪⎩取函数()2xf x -=，当k ＝12时，函数()k f x 的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)解析：选C 由f (x )>12，得－1<x <1.由f (x )≤12，得x ≤－1或x ≥1.所以()122,11,1122,1x x x f x x x -⎧≥⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≤-⎩，故()12f x 的单调递增区间为(－∞，－1)．[解题通法]求函数单调区间的方法与判断函数单调性的方法相同即： (1)定义法；(2)复合法；(3)图像法；(4)导数法．考点二 函数单调性的判断 [典例] 试讨论函数()()0kf x x k x=+>的单调性． [解] 法一：由解析式可知，函数的定义域是()(),00,-∞⋃+∞．在(0，＋∞)内任取1x ，2x ，令12x x <，那么()()()()122121212121211211x x k k k f x f x x x x x k x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-+=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为120x x <<，所以210x x ->，120x x >.故当)12,x x ∈+∞时，()()12f x f x <，即函数在)+∞上单调递增．当(12,x x ∈时，()()12f x f x >，即函数在(上单调递减． 考虑到函数()()0kf x x k x=+>是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(,-∞单调递增，在()上单调递减． 综上，函数f (x )在(,-∞和)+∞上单调递增，在()和(上单调递减． [解题通法]1．利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后要注意差式的分解变形彻底． 2．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确． [针对训练]判断函数g (x )＝－2xx －1在 (1，＋∞)上的单调性．解：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2， 则()()()()()12121212122221111x x x x g x g x x x x x ----=-=----， 由于1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0， 因此g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)． 故g (x )在(1，＋∞)上是增函数． 考点三 函数单调性的应用 角度一 求函数的值域或最值1．已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0， f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值． 解：(1)证明：∵函数f (x )对于任意x ，y ∈R ， 总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，∴令x ＝y ＝0，得f (0)＝0. 再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )． 在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0， f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)． 又∵当x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． 因此f (x )在R 上是减函数．(2)∵f (x )在R 上是减函数，∴f (x )在[－3,3]上也是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)． 而f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2. ∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2. 角度二 比较两个函数值或两个自变量的大小2．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选B ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0，当x 2∈(2，＋∞) 时，f (x 2)>f (2)＝0，即f (x 1)<0，f (x 2)>0. 角度三 解函数不等式3．已知函数()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨--+>⎪⎩则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为( )A ．(2,6)B ．(－1,4)C ．(1,4)D ．(－3,5)解析：选B 作出函数f (x )的图像，如图所示，则函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a 2－4)>f (3a )，可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a <4，所以不等式的解集为(－1,4)．角度四 求参数的取值范围或值4．已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩满足对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B.13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(－∞，2]D.13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析：选B 函数f (x )是R 上的减函数，于是有()22012212a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-⨯≤- ⎪⎪⎝⎭⎩，由此解得a ≤138， 即实数a 的取值范围是13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. [解题通法]1．含“f ”不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内．2．比较函数值大小的思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图像法求解．巩固练习一、选择题1．“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A 解析：f (x )对称轴x ＝a ，当a ≤1时f (x )在[1，＋∞)上单调递增．∴“a ＝1”为 f (x )在[1，＋∞)上递增的充分不必要条件．2．已知函数()224,04,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案：C 解析：由题知f (x )在R 上是增函数，由题得2－a 2>a ，解得－2<a <1. 3．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为 ( ) A ．4B ．5C ．6D ．7答案：C解析：由题意知函数f (x )是三个函数y 1＝2x ，y 2＝x ＋2，y 3＝10－x 中的较小者，作出三个函数在同一坐标系之下的图象(如图中实线部分为f (x )的图象)可知A (4,6)为函数f (x )图 象的最高点．4．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－1,0)∪(0,1] C ．(0,1)D ．(0,1]答案：D 解析:f (x )在[a ，＋∞)上是减函数，对于g (x )，只有当a >0时，它有两个减区 间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f (x )和g (x )的减区间的子集即可，则a 的取值范围是0<a ≤1.5．已知定义在R 上的增函数f (x )，满足f (－x )＋f (x )＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值 ( ) A ．一定大于0 B ．一定小于0 C ．等于0D ．正负都有可能答案：A 解析：∵f (－x )＋f (x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )．又∵x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，∴x 1>－x 2，x 2>－x 3，x 3>－x 1. 又∵f (x 1)>f (－x 2)＝－f (x 2)，f (x 2)>f (－x 3)＝－f (x 3)，f (x 3)>f (－x 1)＝－f (x 1)， ∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>－f (x 2)－f (x 3)－f (x 1)． ∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0.] 二、填空题6．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．7．设f (x )是增函数，则下列结论一定正确的是________(填序号)． ①y ＝[f (x )]2是增函数；②y ＝1f (x )是减函数；③y ＝－f (x )是减函数；④y ＝|f (x )|是增函数． 答案：[0，32]解析：()()()()3030x x x y x x x ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩画图象如图所示：可知递增区间为[0，32]．8．设0<x <1，则函数y ＝1x ＋11－x 的最小值是________．答案：4解析 y ＝1x ＋11－x ＝1x (1－x )，当0<x <1时，x (1－x )＝－(x －12)2＋14≤14，∴y ≥4.三、解答题9．已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围． (1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x ，设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0.f (x 1)－f (x 2)＝(a －1x 1)－(a －1x 2)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2<0.∴f (x 1)<f (x 2)，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)解：由题意a －1x <2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h (x )＝2x ＋1x ，则a <h (x )在(1，＋∞)上恒成立．∵h ′(x )＝2－1x 2，x ∈(1，＋∞)，∴2－1x 2>0，∴h (x )在(1，＋∞)上单调递增．故a ≤h (1)，即a ≤3. ∴a 的取值范围为(－∞，3]．10．已知f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围． 解：设f (x )的最小值为g (a )，则只需g (a )≥0，由题意知，f (x )的对称轴为－a2.(1)当－a 2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，得a ≤73.又a >4，故此时的a 不存在．(2)当－a 2∈[－2,2]，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f (－a 2)＝3－a －a 24≥0得－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2.(3)当－a2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0得a ≥－7.又a <－4，故－7≤a <－4.综上得所求a 的取值范围是－7≤a ≤2.11．已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时， 有()()0f a f b a b+>+成立．(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明它； (2)解不等式：f (x ＋12)<f (1x －1)；(3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2， 则－x 2∈[－1,1]，∵f (x )为奇函数， ∴()()()()()()()()1212121212f x f x f x f x f x f x x x x x +--=+-=-+-由已知得()()()12120f x f x x x +->+-，x 1－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在[－1,1]上单调递增． (2)∵f (x )在[－1,1]上单调递增，∴112111121111x x x x ⎧+<⎪-⎪⎪-≤+≤⎨⎪⎪-≤<⎪-⎩∴－32≤x <－1.(3)∵f (1)＝1，f (x )在[－1,1]上单调递增． ∴在[－1,1]上，f (x )≤1.问题转化为m2－2am＋1≥1，即m2－2am≥0，对a∈[－1,1]成立．下面来求m的取值范围．设g(a)＝－2m·a＋m2≥0.①若m＝0，则g(a)＝0≥0，自然对a∈[－1,1]恒成立．②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1,1]恒成立，必须g(－1)≥0，且g(1)≥0，∴m≤－2，或m≥2.∴m的取值范围是m＝0或|m|≥2.。

高考数学函数的单调性与最值复习试题（带答案）考试是检测学生学习效果的重要手段和方法，考前需要做好各方面的知识储备。

下面是店铺为大家整理的高考数学函数的单调性与最值复习试题，希望对大家有所帮助!高考数学函数的单调性与最值复习试题及答案解析一、选择题1.(2013•宣城月考)下列四个函数中，在区间(0，1)上是减函数的是( )A.y=log2xB.y=xC.y=-12xD.y=1xD [y=log2x在(0，+∞)上为增函数;y=x 在(0，+∞)上是增函数;y=12x在(0，+∞)上是减函数，y=-12x在(0，+∞)上是增函数;y=1x在(0，+∞)上是减函数，故y=1x在(0，1)上是减函数.故选D.]2.若函数f(x)=4x2-mx+5在[-2，+∞)上递增，在(-∞，-2]上递减，则f(1)=( )A.-7B.1C.17D.25D [依题意，知函数图象的对称轴为x=--m8=m8=-2，即m=-16，从而f(x)=4x2+16x+5，f(1)=4+16+5=25.]3.(2014•佛山月考)若函数y=ax与y=-bx在(0，+∞)上都是减函数，则y=ax2+bx在(0，+∞)上是( )A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增B [∵y=ax与y=-bx在(0，+∞)上都是减函数，∴a<0，b<0，∴y=ax2+bx的对称轴方程x=-b2a<0，∴y=ax2+bx在(0，+∞)上为减函数.]4.“函数f(x)在[a，b]上为单调函数”是“函数f(x)在[a，b]上有最大值和最小值”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A [若函数f(x)在[a，b]上为单调递增(减)函数，则在[a，b]上一定存在最小(大)值f(a)，最大(小)值f(b).所以充分性满足;反之，不一定成立，如二次函数f(x)=x2-2x+3在[0，2]存在最大值和最小值，但该函数在[0，2]不具有单调性，所以必要性不满足，即“函数f(x)在[a，b]上单调”是“函数f(x)在[a，b]上有最大值和最小值”的充分不必要条件.]5.设函数f(x)定义在实数集上，f(2-x)=f(x)，且当x≥1时，f(x)=ln x，则有( )A.f(13)<f(2)<f(12)B.f(12)<f(2)<f(13)C.f(12)<f(13)<f(2)D.f(2)<f(12)<f(13)C [由f(2-x)=f(x)可知f(x)的图象关于直线x=1对称，当x≥1时，f(x)=ln x，可知当x≥1时f(x)为增函数，所以当x<1时f(x)为减函数，因为|12-1|<|13-1|<|2-1|，所以f(12)<f(13)<f(2).故选C.]6.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，当x<0时，f(x)>0，则函数f(x)在[a，b]上有( )A.最小值f(a)B.最大值f(b)C.最小值f(b)D.最大值fa+b2C [∵f(x)是定义在R上的函数，且f(x+y)=f(x)+f(y)，∴f(0)=0，令y=-x，则有f(x)+f(-x)=f(0)=0.∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是R上的奇函数.设x1<x2，则x1-x2<0，∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)>0.∴f(x)在R上是减函数.∴f(x)在[a，b]有最小值f(b).]7.设函数f(x)定义在实数集上，f(2-x)=f(x)，且当x≥1时，f(x)=ln x，则有( )A.f13<f(2)<f12B.f12<f(2)<f13C.f12<f13<f(2)D.f(2)<f12<f13C [由f(2-x)=f(x)可知，f(x)的图象关于直线x=1对称，当x≥1时，f(x)=ln x，可知当x≥1时f(x)为增函数，所以当x<1时f(x)为减函数，因为12-1<13-1<|2-1|，所以f12<f13<f(2).]8.(2014•黄冈模拟)已知函数y=1-x+x+3的最大值为M，最小值为m，则mM的值为( )A.14B.12C.22D.32C[显然函数的定义域是[-3，1]且y≥0，故y2=4+2(1-x)(x+3)=4+2-x2-2x+3=4+2-(x+1)2+4，根据根式内的二次函数，可得4≤y2≤8，故2≤y≤22，即m=2，M=22，所以mM=22.]二、填空题9.函数y=-(x-3)|x|的递增区间是________.解析y=-(x-3)|x|=-x2+3x，x>0，x2-3x，x≤0.作出该函数的图象，观察图象知递增区间为0，32.答案0，3210.若f(x)=ax+1x+2在区间(-2，+∞)上是增函数，则a的取值范围是________.解析设x1>x2>-2，则f(x1)>f(x2)，而f(x1)-f(x2)=ax1+1x1+2-ax2+1x2+2=2ax1+x2-2ax2-x1(x1+2)(x2+2)=(x1-x2)(2a-1)(x1+2)(x2+2)>0，则2a-1>0.得a>12.答案12，+∞三、解答题11.已知f(x)=xx-a(x≠a).(1)若a=-2，试证f(x)在(-∞，-2)内单调递增;(2)若a>0且f(x)在(1，+∞)内单调递减，求a的取值范围.解析(1)证明：设x1<x2<-2，则f(x1)-f(x2)=x1x1+2-x2x2+2=2(x1-x2)(x1+2)(x2+2).∵(x1+2)(x2+2)>0，x1-x2<0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(-∞，-2)内单调递增.(2)设1<x1<x2，则f(x1)-f(x2)=x1x1-a-x2x2-a=a(x2-x1)(x1-a)(x2-a).∵a>0，x2-x1>0，∴要使f(x1)-f(x2)>0，只需(x1-a)(x2-a)>0恒成立，∴a≤1.综上所述，a的取值范围为(0，1].12.已知f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，且f(1)=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，有f(a)+f(b)a+b>0成立.(1)判断f(x)在[-1，1]上的单调性，并证明;(2)解不等式：f(x+12)(3)若f(x)≤m2-2am+1对所有的a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围.解析(1)任取x1，x2∈[-1，1]，且x1则-x2∈[-1，1]，∵f(x)为奇函数，∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1)+f(-x2)x1+(-x2)•(x1-x2)，由已知得f(x1)+f(-x2)x1+(-x2)>0，x1-x2<0，∴f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在[-1，1]上单调递增.(2)∵f(x)在[-1，1]上单调递增，∴x+12<1x-1，-1≤x+12≤1，-1≤1x-1≤1.解得-32≤x<-1.(3)∵f(1)=1，f(x)在[-1，1]上单调递增.∴在[-1，1]上，f(x)≤1.问题转化为m2-2am+1≥1，即m2-2am≥0，对a∈[-1，1]成立.设g(a)=-2m•a+m2≥0.①若m=0，则g(a)=0≥0，对a∈[-1，1]恒成立.②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[-1，1]恒成立，必须g(-1)≥0且g(1)≥0，∴m≤-2，或m≥2.∴m的取值范围是m=0或m≥2或m≤-2.。

函数的极值与单调性练习题一、选择题1、函数\（f(x) ＝ x^3 3x\）的单调递减区间是（）A ＼（（－1,1)＼）B ＼（（＼infty, －1)＼）C ＼（（1, ＋＼infty)＼）D ＼（（＼infty, －1)＼cup （1, ＋＼infty)＼）2、函数\（f(x) ＝＼frac{1}｛2}x^2 ＼ln x\）的极值点为（）A ＼（x ＝ 1\）B ＼（x ＝－1\）C ＼（x ＝ 2\）D ＼（x ＝－2\）3、已知函数\（f(x) ＝ x^3 ＋ ax^2 ＋ bx ＋ c\），当\（x ＝－1\）时，取得极大值 7；当\（x ＝ 3\）时，取得极小值。

则（）A ＼（a ＝－3\），＼（b ＝－9\）B ＼（a ＝ 3\），＼（b ＝ 9\）C ＼（a ＝－3\），＼（b ＝ 9\）D ＼（a ＝ 3\），＼（b ＝－9\）4、函数\（f(x) ＝ x ＋＼frac{1}｛x}＼）的单调递增区间是（）A ＼（（＼infty, －1)＼）和\（（1, ＋＼infty)＼）B ＼（（－1, 0)＼）和\（（0, 1)＼）C ＼（（＼infty, －1)＼）D ＼（（1, ＋＼infty)＼）5、函数\（f(x) ＝ x^4 2x^2 ＋ 5\）在区间\（－2, 2\）上的最大值与最小值分别是（）A ＼（13\），＼（4\）B ＼（13\），＼（5\）C ＼（8\），＼（4\） D ＼（8\），＼（5\）二、填空题1、函数\（f(x) ＝ x^3 12x\）的极大值为_____，极小值为_____。

2、函数\（f(x) ＝ x ＼ln x\）的单调递增区间是_____，单调递减区间是_____。

3、若函数\（f(x) ＝ 2x^3 6x^2 ＋ m\）在\（－2, 2\）上有最大值 3，则\（m ＝＼）＿____。

4、函数\（f(x) ＝ x^3 3x^2 ＋ 7\）的极值点为_____。

高考总复习函数的单调性与最值习题及详解一、选择题1．已知f〔x〕＝－x－x3，x∈[a，b]，且f〔a〕·f〔b〕<0，则f〔x〕＝0在[a，b]内〔〕A．至少有一实数根B．至多有一实数根C．没有实数根D．有唯一实数根[答案] D[解析] ∵函数f〔x〕在[a，b]上是单调减函数，又f〔a〕，f〔b〕异号．∴f〔x〕在[a，b]内有且仅有一个零点，故选D.2．〔2010·北京文〕给定函数①y＝x，②y＝log〔x＋1〕，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1，其中在区间〔0 ,1〕上单调递减的函数的序号是〔〕A．①②B．②③C．③④D．①④[答案] B[解析]易知y＝x在〔0,1〕递增，故排除A、D选项；又y＝log〔x＋1〕的图象是由y＝logx的图象向左平移一个单位得到的，其单调性与y＝logx相同为递减的，所以②符合题意，故选B.3．〔2010·济南市模拟〕设y1＝0.4，y2＝0.5，y3＝0.5，则〔〕A．y3<y2<y1 B．y1<y2<y3C．y2<y3<y1 D．y1<y3<y2[答案] B[解析]∵y＝0.5x为减函数，∴0.5<0.5，∵y＝x在第一象限内是增函数，∴0.4<0.5，∴y1<y2<y3，故选B.4．〔2010·广州市〕已知函数，若f〔x〕在〔－∞，＋∞〕上单调递增，则实数a的取值范围为〔〕A．〔1,2〕B．〔2,3〕C．〔2,3] D．〔2，＋∞〕[答案] C[解析] ∵f〔x〕在R上单调增，∴，∴2<a≤3，故选C.5．〔文〕〔2010·山东济宁〕若函数f〔x〕＝x2＋2x＋alnx在〔0,1〕上单调递减，则实数a的取值范围是〔〕A．a≥0 B．a≤0C．a≥－4 D．a≤－4[答案] D[解析]∵函数f〔x〕＝x2＋2x＋alnx在〔0,1〕上单调递减，∴当x∈〔0,1〕时，f ′〔x〕＝2x＋2＋＝≤0，∴g〔x 〕＝2x2＋2x＋a≤0在x∈〔0,1〕时恒成立，∴g〔0〕≤0，g〔1〕≤0，即a≤－4.〔理〕已知函数y＝tanωx在内是减函数，则ω的取值范围是〔〕A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0C．ω≥1 D．ω≤－1[答案] B[解析]∵tanωx在上是减函数，∴ω<0.当－<x<时，有－≤<ωx<－≤，∴，∴－1≤ω<0.6．〔2010·天津文〕设a＝log54，b＝〔log53〕2，c＝log45，则〔〕A．a＜c＜b B．b＜c＜aC．a＜b＜c D．b＜a＜c[答案] D[解析] ∵1>log54>log53>0，∴log53>〔log53〕2>0，而log45>1，∴c>a>b.7．若f〔x〕＝x3－6ax的单调递减区间是〔－2,2〕，则a的取值范围是〔〕A．〔－∞，0] B．[－2,2]C．{2} D．[2，＋∞〕[答案] C[解析] f ′〔x〕＝3x2－6a，若a≤0，则f ′〔x〕≥0，∴f〔x〕单调增，排除A；若a>0，则由f ′〔x〕＝0得x＝±，当x<－和x>时，f ′〔x〕>0，f〔x〕单调增，当－<x<时，f〔x〕单调减，∴f〔x〕的单调减区间为〔－，〕，从而＝2，∴a＝2.[点评]f〔x〕的单调递减区间是〔－2,2〕和f〔x〕在〔－2，2〕上单调递减是不同的，应加以区分．8．〔文〕定义在R上的偶函数f〔x〕在[0，＋∞〕上是增函数，若f〔〕＝0，则适合不等式f〔logx〕> 0的x的取值范围是〔〕A．〔3，＋∞〕B．〔0，〕C．〔0，＋∞〕D．〔0，〕∪〔3，＋∞〕[答案] D[解析]∵定义在R上的偶函数f〔x〕在[0，＋∞〕上是增函数，且f〔〕＝0，则由f〔logx〕>0，得|logx|>，即logx>或logx<－.选D.〔理〕〔2010·南充市〕已知函数f 〔x 〕图象的两条对称轴x ＝0和x ＝1，且在x ∈[－1,0]上f 〔x 〕单调递增，设a ＝f 〔3〕，b ＝f 〔〕，c ＝f 〔2〕，则a 、b 、c 的大小关系是〔 〕A ．a>b>cB ．a>c>bC ．b>c>aD ．c>b>a [答案] D[解析] ∵f 〔x 〕在[－1,0]上单调增，f 〔x 〕的图象关于直线x ＝0对称，∴f〔x 〕在[0,1]上单调减；又f 〔x 〕的图象关于直线x ＝1对称，∴f〔x 〕在[1,2]上单调增，在[2,3]上单调减．由对称性f 〔3〕＝f 〔－1〕＝f 〔1〕<f 〔〕<f 〔2〕，即a<b<c.9．〔2009·天津高考〕已知函数f 〔x 〕＝若f 〔2－a2〕＞f 〔a 〕，则实数a 的取值范围是〔 〕A ．〔－∞，－1〕∪〔2，＋∞〕B ．〔－1,2〕C ．〔－2,1〕D ．〔－∞，－2〕∪〔1，＋∞〕[答案] C[解析]∵x≥0时，f 〔x 〕＝x2＋4x ＝〔x ＋2〕2－4单调递增，且f 〔x 〕≥0；当x<0时，f 〔x 〕＝4x －x2＝－〔x －2〕2＋4单调递增，且f 〔x 〕<0，∴f 〔x 〕在R 上单调递增，由f 〔2－a2〕>f 〔a 〕得2－a2>a ，∴－2<a<1.10．〔2010·泉州模拟〕定义在R 上的函数f 〔x 〕满足f 〔x ＋y 〕＝f 〔x 〕＋f 〔y 〕，当x<0时，f 〔x 〕>0，则函数f 〔x 〕在[a ，b]上有〔 〕A ．最小值f 〔a 〕B ．最大值f 〔b 〕C ．最小值f 〔b 〕D ．最大值f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 [答案] C[解析] 令x ＝y ＝0得，f 〔0〕＝0，令y ＝－x 得，f 〔0〕＝f 〔x 〕＋f 〔－x 〕，∴f〔－x 〕＝－f 〔x 〕．对任意x1，x2∈R 且x1<x2，，f 〔x1〕－f 〔x2〕＝f 〔x1〕＋f 〔－x2〕＝f 〔x1－x2〕>0，∴f 〔x1〕>f 〔x2〕，∴f〔x 〕在R 上是减函数，∴f〔x 〕在[a ，b]上最小值为f 〔b 〕．二、填空题11．〔2010·重庆中学〕已知函数f 〔x 〕＝ax ＋－4〔a ，b 为常数〕，f 〔lg2〕＝0，则f 〔lg 〕＝________.[答案] －8[解析] 令φ〔x 〕＝ax ＋，则φ〔x 〕为奇函数，f 〔x 〕＝φ〔x 〕－4，∵f〔lg2〕＝φ〔lg2〕－4＝0，∴φ〔lg2〕＝4，∴f〔lg 〕＝f 〔－lg2〕＝φ〔－lg2〕－4＝－φ〔lg2〕－4＝－8.12．偶函数f 〔x 〕在〔－∞，0]上单调递减，且f 〔x 〕在[－2，k]上的最大值点与最小值点横坐标之差为3，则k ＝________.[答案] 3[解析] ∵偶函数f 〔x 〕在〔－∞，0]上单调递减，∴f 〔x 〕在[0，＋∞〕上单调递增．因此，若k≤0，则k －〔－2〕＝k ＋2<3，若k>0，∵f 〔x 〕在[－2,0]上单调减在[0，－k]上单调增，∴最小值为f 〔0〕，又在[－2，k]上最大值点与最小值点横坐标之差为3，∴k －0＝3，即k ＝3.13．函数f 〔x 〕＝在〔－∞，－3〕上是减函数，则a 的取值范围是________．[答案] ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13 [解析] ∵f 〔x 〕＝a －在〔－∞，－3〕上是减函数，∴3a ＋1<0，∴a<－.14．〔2010·江苏无锡市调研〕设a 〔0<a<1〕是给定的常数，f 〔x 〕是R 上的奇函数，且在〔0，＋∞〕上是增函数，若f ＝0，f 〔logat 〕>0，则t 的取值范围是______．[答案] 〔1，〕∪〔0，〕[解析] f 〔logat 〕>0，即f 〔logat 〕>f ，∵f〔x 〕在〔0，＋∞〕上为增函数，∴logat>，∵0<a<1，∴0<t<.又f 〔x 〕为奇函数，∴f ＝－f ＝0，∴f〔logat 〕>0又可化为f 〔logat 〕>f ，∵奇函数f 〔x 〕在〔0，＋∞〕上是增函数，∴f〔x 〕在〔－∞，0〕上为增函数，∴0>logat>－，∵0<a<1，∴1<t<，综上知，0<t<或1<t<.三、解答题15．〔2010·北京市东城区〕已知函数f 〔x 〕＝loga 〔x ＋1〕－loga 〔1－x 〕，a>0且a≠1.〔1〕求f 〔x 〕的定义域；〔2〕判断f 〔x 〕的奇偶性并予以证明；〔3〕当a>1时，求使f 〔x 〕>0的x 的取值集合．[解析] 〔1〕要使f 〔x 〕＝loga 〔x ＋1〕－loga 〔1－x 〕有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>01－x>0，解得－1<x<1.故所求定义域为{x|－1<x<1}．〔2〕由〔1〕知f 〔x 〕的定义域为{x|－1<x<1}，且f 〔－x 〕＝loga 〔－x ＋1〕－loga 〔1＋x 〕＝－[loga 〔x ＋1〕－loga 〔1－x 〕]＝－f 〔x 〕，故f 〔x 〕为奇函数．〔3〕因为当a>1时，f 〔x 〕在定义域{x|－1<x<1}内是增函数，所以f 〔x 〕>0⇔>1.解得0<x<1.所以使f 〔x 〕>0的x 的取值集合是{x|0<x<1}．16．〔2010·北京东城区〕已知函数f 〔x 〕＝loga 是奇函数〔a>0，a≠1〕．〔1〕求m 的值；〔2〕求函数f 〔x 〕的单调区间；〔3〕若当x ∈〔1，a －2〕时，f 〔x 〕的值域为〔1，＋∞〕，求实数a 的值．[解析] 〔1〕依题意，f 〔－x 〕＝－f 〔x 〕，即f 〔x 〕＋f 〔－x 〕＝0，即loga ＋loga ＝0， ∴·＝1，∴〔1－m2〕x2＝0恒成立，∴1－m2＝0，∴m＝－1或m ＝1〔不合题意，舍去〕当m ＝－1时，由>0得，x ∈〔－∞，－1〕∪〔1，＋∞〕，此即函数f 〔x 〕的定义域，又有f 〔－x 〕＝－f 〔x 〕，∴m ＝－1是符合题意的解．〔2〕∵f 〔x 〕＝loga ，∴f ′〔x 〕＝′logae＝·logae ＝2logae 1－x2①若a>1，则logae>0当x ∈〔1，＋∞〕时，1－x2<0，∴f ′〔x 〕<0，f 〔x 〕在〔1，＋∞〕上单调递减，即〔1，＋∞〕是f 〔x 〕的单调递减区间；由奇函数的性质知，〔－∞，－1〕是f 〔x 〕的单调递减区间．②若0<a<1，则logae<0当x ∈〔1，＋∞〕时，1－x2<0，∴f ′〔x 〕>0，∴〔1，＋∞〕是f 〔x 〕的单调递增区间；由奇函数的性质知，〔－∞，－1〕是f 〔x 〕的单调递增区间．〔3〕令t ＝＝1＋，则t 为x 的减函数∵x∈〔1，a －2〕，∴t∈且a>3，要使f 〔x 〕的值域为〔1，＋∞〕，需loga ＝1，解得a ＝2＋.17．〔2010·山东文〕已知函数f 〔x 〕＝lnx －ax ＋－1〔a ∈R 〕．〔1〕当a＝－1时，求曲线y＝f〔x〕在点〔2，f〔2〕〕处的切线方程；〔2〕当a≤时，讨论f〔x〕的单调性．[解析] 〔1〕a＝－1时，f〔x〕＝lnx＋x＋－1，x∈〔0，＋∞〕．f ′〔x〕＝，x∈〔0，＋∞〕，因此f ′〔2〕＝1，即曲线y＝f〔x〕在点〔2，f〔2〕〕处的切线斜率为1.又f〔2〕＝ln2＋2，所以y＝f〔x〕在〔2，f〔2〕〕处的切线方程为y－〔ln2＋2〕＝x－2，即x－y＋ln2＝0.〔2〕因为f〔x〕＝lnx－ax＋－1，所以f ′〔x〕＝－a＋＝－x∈〔0，＋∞〕．令g〔x〕＝ax2－x＋1－a，①当a＝0时，g〔x〕＝1－x，x∈〔0，＋∞〕，当x∈〔0,1〕时，g〔x〕>0，f ′〔x〕<0，f〔x〕单调递减；当x∈〔1，＋∞〕时，g〔x〕<0，此时f ′〔x〕>0，f〔x〕单调递增；②当a≠0时，f ′〔x〕＝a〔x－1〕[x－〔－1〕]，〔ⅰ〕当a＝时，g〔x〕≥0恒成立，f ′〔x〕≤0，f〔x〕在〔0，＋∞〕上单调递减；〔ⅱ〕当0<a<时，－1>1>0，x∈〔0,1〕时，g〔x〕>0，此时f ′〔x〕<0，f〔x〕单调递减；x∈〔1，－1〕时，g〔x〕<0，此时f ′〔x〕>0，f〔x〕单调递增；x∈〔－1，＋∞〕时，g〔x〕>0，此时f ′〔x〕<0，f〔x〕单调递减；③当a<0时，－1<0，x∈〔0,1〕时，g〔x〕>0，有f ′〔x〕<0，f〔x〕单调递减x∈〔1，＋∞〕时，g〔x〕<0，有f ′〔x〕>0，f〔x〕单调递增．综上所述：当a≤0时，函数f〔x〕在〔0,1〕上单调递减，〔1，＋∞〕上单调递增；当a＝时，f〔x〕在〔0，＋∞〕上单调递减；当0<a<时，f〔x〕在〔0,1〕上单调递减，在〔1，－1〕上单调递增，在〔－1，＋∞〕上单调递减．注：分类讨论时要做到不重不漏，层次清楚．。

课题：函数的单调性与最值考纲要求：① 理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义； ② 会运用函数图像理解和研究函数的单调性、最值教材复习1.函数单调性和单调区间的定义：2. 利用定义法证明单调性的一般步骤：① ；② ；③ ；④3.函数的最值4. 常见初等函数的单调区间①幂函数②指数函数③对数函数④三角函数⑤多项式函数基本知识方法1.函数单调性的定义：①如果函数()x f 对区间D 内的任意21,x x ，当21x x <时都有()()21x f x f <，则()x f 在D 内是增函数；当21x x <时都有()()21x f x f >，则()x f 在D 内时减函数。

②设函数()y f x =在某区间D 内可导，若()0f x '>，则()y f x =为x D ∈的增函数；若()0f x '<，则()y f x =为x D ∈的减函数.2.单调性的定义①的等价形式：设[]b a x x ,,21∈，那么()()()x f x x x f x f ⇔>--02121在[],a b 是增函数； ()()()x f x x x f x f ⇔<--02121在[],a b 是减函数； ()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦()f x ⇔在[],a b 是减函数。

3.复合函数单调性的判断：4.函数单调性的应用.利用定义都是充要性命题.即若()f x 在区间D 上递增（递减）且1212()()f x f x x x <⇔<(1x 2,x D ∈)；若()f x 在区间D 上递递减且1212()()f x f x x x <⇔>.(1x 2,x D ∈). ①比较函数值的大小②可用来解不等式.③求函数的值域或最值等5.讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；6.判断函数的单调性的方法有：()1用定义；()2用已知函数的单调性；()3利用函数的导数；()4如果()f x 的递增（减）区间是D ，那么()f x 在D 的任一非空子区间上也是增（减）函数；()5图象法；()6复合函数的单调性结论：“同增异减”； ()7奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性；()8 互为反函数的两个函数具有相同的单调性；(9)在公共定义域内，利用函数的运算性质：若()f x 、)(x g 同为增函数，则①()()f x g x +为增函数；②()()f x g x 为增函数；③()1()0()f x f x >为减函数；()()0f x ≥为增函数；⑤()f x -为减函数.()10“对勾函数”：)0,0(>>+=b a x b ax y 在,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭或上单调递增；在0⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝或上是单调递减. 7.证明．．函数单调性的方法：()1利用单调性定义①；()2利用单调性定义②. 8.函数的单调区间必须是定义域的子集. 9.两条结论()1闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到；()2开区间上的“单峰”函数一定存在最大（小）值.典例分析：题型一：求函数的单调区间问题1．()1（07辽宁文）函数212log (56)y x x =-+的单调增区间为()2求下列函数的单调区间：①()243f x x x =-+ ②213log (43)y x x =-+ ③y =题型二：判断或证明函数的单调性问题2．①试讨论函数()1axf x x =-()0a ≠在()1,1-上的单调性.②（2000全国,节选()2）设函数()f x ax =，其中0a >.()1略；()2求证：当a ≥1时，函数()f x 在区间0,+∞上是单调函数题型三：利用函数的单调性求字母的取值范围问题3．()1（06北京文)已知(3)4,1()log ,1a a x a x f x x x --⎧=⎨≥⎩＜，是R 上的增函数，那么a 的取值范围是 .A ()1,+∞.B (),3-∞ .C ⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,53.D ()1,3()2已知函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间]3,(-∞上是减函数，求实数a 的取值范围题型四：函数的单调性的应用问题4．()1（07福建）已知()f x 为R 上的减函数，则满足1(1)f f x ⎛⎫>⎪⎝⎭的实数x 的取值范围是.A (1)-∞，.B (1)+∞， .C (0)(01)-∞，， .D (0)(1)-∞+∞，， ()2若()xxx x f +-++=11lg21,则不等式⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-21x x f ＜21的解集为题型五：单调性与最值问题5．①函数()21()log 23xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间[]1,1-上的最大值是②（20136-≤a ≤3）的最大值为.A 9.B 92.C 3.D 2 题型六：抽象函数的单调性问题6．（05山东模拟）设()f x 是定义在R 上的函数，且对任意实数x 、y 都有()()()f x y f x f y +=+.求证：()1()f x 是奇函数；()2若当0x >时，有()0f x >，则()f x 在R 上是增函数.课后作业：1.利用函数单调性定义证明：()f x ＝1+-x 在(],1-∞上是减函数2.函数212log (23)y x mx =-+在(,1)-∞上为增函数，则实数m 的取值范围3.已知函数1()1ax f x x -=+在区间(,1)-∞-上是减函数，试求a 的取值范围 4.已知)2(log ax y a -=在]1,0[上是x 的减函数，则a 的取值范围是5.下列函数中，在区间(),0-∞上是增函数的是6.)(x f 为),(+∞-∞上的减函数，R a ∈，则7.（1991全国）如果奇函数()f x 在区间[]3,7上是增函数，且最小值为5，那么()f x在区间[]7,3--上是 .A 增函数且最小值为5-.B 增函数且最大值为5-.C 减函数且最小值为5- .D 减函数且最大值为5-8.已知()y f x =是偶函数，且在[)0,+∞上是减函数，则2(1)f x -是增函数的区间是9.（04湖南文）若2()2f x x ax =-+与1()a x g x +=在区间[]1,2上都是减函数，则a的取值范围是 .A ()()1,00,1-.B ()(]1,00,1- .C ()0,1 .D (]0,110.（04上海）若函数()2f x a x b =-+在[)0,+∞上为增函数,则实数a 、b 的范围是11.已知偶函数)(x f 在]20[，内单调递减，若)1(-=f a ，)41(log 21f b =，)5.0(lg f c =，则a 、b 、c 之间的大小关系是_____________12.（2012兰州模拟）已知函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎩≤ 是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是 .A (1)+∞， .B [)4,8.C (48)，.D (18)， 13.已知奇函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数，若0)12()1(>-+-m f m f ，求实数m 的取值范围.14.已知函数xxx x f -+-=11log 1)(2，求函数)(x f 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性. 15.设0a >，()x x e af x a e=+是R 上的偶函数．()1求a 的值；()2证明()f x 在(0,)+∞上为增函数．★★ 16.(05北京东城模拟)函数()f x 对任意的,a b R ∈，都有 ()()()1f a b f a f b +=+-，并且当0x >时()1f x >.()1求证：()f x 是R 上的增函数；()2若(4)5f =，解不等式2(32)3f m m --< ★★17.已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x 都有 1212()()()f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时()0,(2)1f x f >=， ()1求证：()f x 是偶函数；()2 ()f x 在(0,)+∞上是增函数；()3解不等式2(21)2f x -<．走向高考：1.（07天津）在R 上定义的函数()x f 是偶函数，且()()x f x f -=2，若()x f 在区间[]2,1是减函数，则函数()x f.A 在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是增函数 .B 在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是减函数 .C 在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是增函数 .D 在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是减函数2.(09陕西文) 定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的12,[0,)x x ∈+∞12()x x ≠，有2121()()0f x f x x x -<-.则.A (3)(2)(1)f f f <-< .B (1)(2)(3)f f f <-<.C (2)(1)(3)f f f -<< .D (3)(1)(2)f f f <<- 3.(07福建)已知函数()x f 为R 上的减函数，则满足()11f x f <⎪⎪⎭⎫⎝⎛的实数x 的范围是 .A ()1,1-.B ()1,0 .C ()()1,00,1 - .D ()()+∞-∞-,11,4.（2011江苏）()5()log 21f x x =+的单调递增区间是5.（07重庆）已知定义域为R 的函数()f x 在(8)+∞，上为减函数，且函数(8)y f x =+ 为偶函数，则.A (6)(7)f f >.B (6)(9)f f >.C (7)(9)f f > .D (7)(10)f f >6.（05山东）下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是7.（2013全国大纲）若函数21()f x x ax x =++在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数，则a 的取值范围是 .A []1,0- .B [1,)-+∞ .C []0,3 .D [3,)+∞8.（05重庆)若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且(2)0f =，则使得()0f x <的x 的取值范围是 .A (),2-∞； .B ()2,+∞；.C ()(),22,-∞-+∞； .D ()2,2- 9.(2012安徽)若函数()2f x x a =+的递增区间是[)3,+∞，则a = 10.(89全国)已知2()82,f x x x =+-若2()(2)g x f x =-，那么()g x .A 在()1,0-上是减函数； .B 在()0,1上是减函数； .C 在()2,0-上是增函数； .D 在()0,2上是增函数；。

高考数学真题演练—利用导数研究函数的单调性、极值与最值一、单项选择题1.(2021·浙江丽水联考)若函数f(x)=(x-a)3-3x+b的极大值是M,极小值是m,则M-m的值()A.与a有关,且与b有关B.与a有关,且与b无关C.与a无关,且与b无关D.与a无关,且与b有关2.(2021·山东青岛期末)若函数f(x)=x2-ax+ln x在区间(1,e)上单调递增,则实数a的取值范围是()A.[3,+∞)B.(-∞,3]C.[3,e2+1]D.[-e2+1,3]3.(2021·陕西西安月考)已知函数f(x)=3xe x,则下列关于函数f(x)的说法正确的是()A.在区间(-∞,+∞)上单调递增B.在区间(-∞,1)上单调递减C.有极大值3e,无极小值D.有极小值3e,无极大值4.(2021·湖南岳阳期中)已知直线y=kx(k>0)和曲线f(x)=x-a ln x(a≠0)相切,则实数a的取值范围是()A.(-∞,0)∪(0,e)B.(0,e)C.(0,1)∪(1,e)D.(-∞,0)∪(1,e)5.(2021·湖北十堰二模)已知函数f(x)=2x3+3mx2+2nx+m2在x=1处有极小值,且极小值为6,则m=() A.5 B.3C.-2D.-2或56.(2021·四川成都二模)已知P是曲线y=-sin x(x∈[0,π])上的动点,点Q在直线x-2y-6=0上运动,则当|PQ|取最小值时,点P的横坐标为()A.π4B.π2C.2π3D.5π67.(2021·湖北荆门期末)已知曲线y=sinxe x+1(x≥0)的一条切线的斜率为1,则该切线的方程为() A.y=x-1 B.y=xC.y=x+1D.y=x+2二、多项选择题8.(2021·广东湛江一模)已知函数f(x)=x3-3ln x-1,则()A.f (x )的极大值为0B.曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线为x 轴C.f (x )的最小值为0D.f (x )在定义域内单调9.(2021·山东淄博二模)已知e 是自然对数的底数,则下列不等关系中错误的是( ) A.ln 2>2e B.ln 3<3e C.ln π>πeD.ln3ln π<3π10.(2021·辽宁沈阳二模)已知函数f (x )={2x +2,-2≤x ≤1,lnx -1,1<x ≤e ,若关于x 的方程f (x )=m 恰有两个不同的根x 1,x 2(x 1<x 2),则(x 2-x 1)f (x 2)的取值可能是( ) A.-3B.-1C.0D.2三、填空题11.(2021·福建三明二模)已知曲线y=ln x+ax 与直线y=2x-1相切,则a= . 12.(2021·江苏无锡月考)试写出实数a 的一个取值范围 ,使函数f (x )=sinx -ae x有极值.13.(2021·四川成都月考)设函数f (x )=e x -2x ,直线y=ax+b 是曲线y=f (x )的切线,则2a+b 的最大值是 .四、解答题14.(2021·山东潍坊二模)已知函数f (x )=ax 2+bx+c e x 的单调递增区间是[0,1],极大值是3e. (1)求曲线y=f (x )在点(-1,f (-1))处的切线方程;(2)若存在非零实数x 0,使得f (x 0)=1,求f (x )在区间(-∞,m ](m>0)上的最小值.15.(2021·河北唐山期末)已知函数f (x )=a e x -x-1(a ∈R ),g (x )=x 2. (1)讨论函数f (x )的单调性;(2)当a>0时,若曲线C 1:y 1=f (x )+x+1与曲线C 2:y 2=g (x )存在唯一的公切线,求实数a 的值.16.(2021·浙江嘉兴月考)已知f (x )=a 2ln x-12ax 2-(a 2-a )x (a ≠0). (1)当a=1时,求f (x )的单调区间;(2)若函数f (x )在x=1处取得极大值,求实数a 的取值范围.答案与解析1.C 解析 因为f (x )=(x-a )3-3x+b ,所以f'(x )=3(x-a )2-3,令f'(x )=3(x-a )2-3=0,得x=a-1或x=a+1,判断可得函数的极大值M=f (a-1)=-1-3(a-1)+b=2-3a+b ,极小值m=f (a+1)=1-3(a+1)+b=-2-3a+b ,因此M-m=4.故选C .2.B 解析 依题意f'(x )=2x-a+1x ≥0在区间(1,e)上恒成立,即a ≤2x+1x 在区间(1,e)上恒成立,令g (x )=2x+1x (1<x<e),则g'(x )=2-1x 2=2x 2-1x 2=(√2x+1)(√2x -1)x 2>0,所以g (x )在区间(1,e)上单调递增,而g (1)=3,所以a ≤3,即实数a 的取值范围是(-∞,3].故选B .3.C 解析 由题意得函数f (x )的定义域为R ,f'(x )=3(1-x )e x .令f'(x )=0,得x=1,当x<1时,f'(x )>0,f (x )单调递增;当x>1时,f'(x )<0,f (x )单调递减,故f (1)是函数f (x )的极大值,也是最大值,且f (1)=3e ,函数f (x )无极小值.故选C .4.A 解析 设直线y=kx (k>0)与曲线f (x )=x-a ln x (a ≠0)相切于点P (x 0,x 0-a ln x 0)(x 0>0).由题意得,f'(x )=1-ax ,则以P 为切点的切线方程为y-x 0+a ln x 0=1-ax 0(x-x 0),因为该切线过原点,所以-x 0+a ln x 0=1-ax 0(-x 0),因此ln x 0=1,即x 0=e,所以k=1-ae >0,得a<e,又a ≠0,故实数a 的取值范围是(-∞,0)∪(0,e).故选A .5.A 解析 f'(x )=6x 2+6mx+2n.因为f (x )在x=1处有极小值,且极小值为6,所以{f '(1)=0,f (1)=6,即{6+6m +2n =0,2+3m +2n +m 2=6,解得{m =5,n =-18或{m =-2,n =3.当m=5,n=-18时,f'(x )=6x 2+30x-36=6(x+6)(x-1),则f (x )在区间(-∞,-6)上单调递增,在区间(-6,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,所以f (x )在x=1处取得极小值,且极小值为f (1)=6.当m=-2,n=3时,f'(x )=6x 2-12x+6=6(x-1)2≥0,则f (x )在R 上单调递增,f (x )无极值. 综上可得,m=5,n=-18. 6.C 解析 如图所示,要使|PQ|取得最小值,则曲线y=-sin x (x ∈[0,π])在点P 处的切线与直线x-2y-6=0平行,对函数y=-sin x 求导得y'=-cos x ,令y'=12,可得cos x=-12,由于0≤x ≤π,所以x=2π3.故选C . 7.C 解析 由题得y'=cosx ·e x -sinx ·e x(e x )2=cosx -sinxe x. 设切点为(x 0,y 0)(x 0≥0),则y'|x=x 0=cos x 0-sin x 0e x 0,由y'|x=x 0=1,得e x 0=cos x 0-sin x 0.令f (x )=e x -cos x+sin x (x ≥0),则f'(x )=e x +sin x+cos x=e x +√2sin x+π4,当0≤x<1时,f'(x )>0,当x ≥1时,e x ≥e,√2sin (x +π4)≥-√2,f'(x )>0,所以∀x ≥0,f'(x )>0,所以f (x )在区间[0,+∞)上单调递增,则f (x )≥f (0)=0,所以方程e x 0=cos x 0-sin x 0只有一个实根x 0=0,所以y 0=sin0e 0+1=1,故切点为(0,1),切线斜率为1,所以切线方程为y=x+1. 8.BC 解析 函数f (x )=x 3-3ln x-1的定义域为(0,+∞),f'(x )=3x 2-3x =3x (x 3-1).令f'(x )=3x (x 3-1)=0,得x=1,列表得:所以f (x )的极小值,也是最小值为f (1)=0,无极大值,在定义域内不单调,故C 正确,A,D 错误;对于B,由f (1)=0及f'(1)=0,所以曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y-0=0(x-1),即y=0,故B 正确,故选BC .9.ACD 解析 令f (x )=ln x-xe ,x>0,则f'(x )=1x −1e ,令f'(x )=0,得x=e,当0<x<e 时,f'(x )>0,当x>e 时,f'(x )<0,所以f (x )在区间(0,e)上单调递增,在区间(e,+∞)上单调递减,故f (x )max =f (e)=ln e -ee =0,则f (2)=ln 2-2e <0得ln 2<2e ,故A 错误;f (3)=ln 3-3e <0得ln 3<3e ,故B 正确;f (π)=ln π-πe <0得ln π<πe ,故C 错误;对于D 项,令g (x )=lnxx ,x>0,则g'(x )=1-lnxx 2,当0<x<e 时,g'(x )>0,当x>e 时,g'(x )<0,所以g (x )在区间(0,e)上单调递增,在区间(e,+∞)上单调递减,则g (3)>g (π),得ln33>ln ππ,即ln3ln π>3π,故D 错误.故选ACD . 10.BC 解析 画出函数f (x )的图象,如图,因为f (x )=m 的两根为x 1,x 2(x 1<x 2),所以x 1=m -22,x 2=e m+1,m ∈(-1,0],从而(x 2-x 1)·f (x 2)=em+1-m -22m=m em+1-m 22+m.令g (x )=x e x+1-12x 2+x ,x ∈(-1,0],则g'(x )=(x+1)e x+1-x+1. 因为x ∈(-1,0],所以x+1>0,e x+1>e 0=1,-x+1>0, 所以g'(x )>0,从而g (x )在区间(-1,0]上单调递增.又g (0)=0,g (-1)=-52,所以g (x )∈-52,0,即(x 2-x 1)·f (x 2)的取值范围是-52,0,故选BC . 11.1 解析 由题意得函数y=ln x+ax 的定义域为x>0,y'=1x +a.设曲线y=ln x+ax 与直线y=2x-1相切于点P (x 0,y 0),可得1x 0+a=2,即ax 0=2x 0-1①,y 0=ln x 0+ax 0,y 0=2x 0-1,所以ln x 0+ax 0=2x 0-1②,联立①②,可得x 0=1,a=1. 12.(-√2,√2)(答案不唯一) 解析 f (x )=sinx -ae x 的定义域为R ,f'(x )=cosx -sinx+ae x,由于函数f (x )=sinx -ae x 有极值,所以f'(x )=cosx -sinx+ae x有变号零点,因此由cos x-sin x+a=0,即a=sin x-cos x=√2sin x-π4,可得a ∈(-√2,√2),答案只要为(-√2,√2)的子集都可以. 13.e 2-4 解析 f'(x )=e x -2.设切点为(t ,f (t )),则f (t )=e t -2t ,f'(t )=e t -2,所以切线方程为y-(e t -2t )=(e t -2)(x-t ),即y=(e t -2)x+e t (1-t ),所以a=e t -2,b=e t (1-t ),则2a+b=-4+3e t -t e t .令g (t )=-4+3e t -t e t ,则g'(t )=(2-t )e t .当t>2时,g'(t )<0,g (t )在区间(2,+∞)上单调递减; 当t<2时,g'(t )>0,g (t )在区间(-∞,2)上单调递增,所以当t=2时,g (t )取最大值g (2)=-4+3e 2-2e 2=-4+e 2,即2a+b 的最大值为e 2-4. 14.解 (1)因为f (x )=ax 2+bx+ce x,所以f'(x )=-ax 2+(2a -b )x+b -ce x.因为e x >0,所以f'(x )≥0的解集与-ax 2+(2a-b )x+b-c ≥0的解集相同,且同为[0,1]. 所以有{ a >0,2a -ba =1,b -c-a =0,解得a=b=c.所以f(x)=a(x2+x+1)e x(a>0),f'(x)=-ax2+axe x(a>0).因为a>0,所以当x<0或x>1时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,当0≤x≤1时,f'(x)≥0,函数f(x)单调递增,且f'(1)=0,所以f(x)在x=1处取得极大值,又由题知,极大值为3 e ,所以f(1)=3ae=3e,解得a=1,所以a=b=c=1.所以f(x)=x2+x+1e x,f'(x)=-x2+xe x.所以f(-1)=1e-1=e,f'(-1)=-2e-1=-2e.所以曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线方程为y-e=-2e(x+1),即y=-2e x-e.(2)由(1)知函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,1)上单调递增,且f(0)=1e0=1, 所以满足f(x0)=1(x0≠0)的x0∈(1,+∞).所以当0<m≤x0时,由函数f(x)的单调性易知,f(x)在区间(-∞,m]上的最小值为f(0)=1;当m>x0时,f(m)<f(x0)=f(0)=1,f(x)在区间(-∞,m]上的最小值为f(m)=m 2+m+1 e m.综上所述,f(x)在区间(-∞,m]上的最小值为{1,0<m≤x0,m2+m+1e m,m>x0.15.解(1)f'(x)=a e x-1.当a≤0时,f'(x)<0恒成立,f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递减.当a>0时,由f'(x)=0,得x=-ln a.当x<-ln a时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>-ln a时,f'(x)>0,f(x)单调递增.综上,当a≤0时,f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递减;当a>0时,f(x)在区间(-∞,-ln a)上单调递减,在区间(-ln a,+∞)上单调递增.(2)因为曲线C1:y1=a e x与曲线C2:y2=x2存在唯一的公切线,设该公切线与曲线C1,C2分别切于点(x1,a e x1),(x2,x22),显然x1≠x2.由于y1'=a e x,y2'=2x,所以a e x1=2x2=ae x1-x22 x1-x2,因此2x2x1-2x22=a e x1−x22=2x2-x22,所以2x1x2-x22=2x2,即x2=2x1-2.由于a>0,故x2>0,从而x2=2x1-2>0,因此x1>1.此时a=2x2e x1=4(x1-1)e x1(x1>1).设F(x)=4(x-1)e x(x>1),则问题等价于当x>1时,直线y=a与曲线y=F(x)有且只有一个公共点.又F'(x)=4(2-x)e x,令F'(x)=0,解得x=2,所以F(x)在区间(1,2)上单调递增,在区间(2,+∞)上单调递减.而F(2)=4e2,F(1)=0,当x→+∞时,F(x)→0,所以F(x)的值域为0,4e2,故a=4e2.16.解(1)由题意得,当a=1时,函数f(x)=ln x-12x2,其定义域为(0,+∞),因此f'(x)=1x-x=1-x2x.令f'(x)>0,即1-x2>0,得0<x<1,所以f(x)在区间(0,1)上单调递增; 令f'(x)<0,即1-x2<0,得x>1,所以f(x)在区间(1,+∞)上单调递减.故函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).(2)由题意,函数f(x)=a2ln x-12ax2-(a2-a)x(a≠0)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=a2x-ax-(a2-a)=-a(x+a)(x-1)x.当a<0时,-a>0,①若-1<a<0,令f'(x)>0,即(x+a)(x-1)>0,得x>1或0<x<-a;令f'(x)<0,即(x+a)(x-1)<0,得-a<x<1,所以函数f(x)在区间(1,+∞),(0,-a)上单调递增,在区间(-a,1)上单调递减.所以当x=1时,函数f(x)取得极小值,不符合题意.②若a=-1,可得f'(x)=(x-1)2x≥0,此时函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,函数f(x)无极值,不符合题意.③若a<-1,令f'(x)>0,即(x+a)(x-1)>0,得x>-a或0<x<1,令f'(x)<0,即(x+a)(x-1)<0,得1<x<-a,所以函数f(x)在区间(1,-a)上单调递减,在区间(0,1),(-a,+∞)上单调递增,所以当x=1时,函数f(x)取得极大值,符合题意.当a>0时,-a<0.令f'(x)>0,即(x+a)(x-1)<0,得0<x<1;令f'(x)<0,即(x+a)(x-1)>0,得x>1,所以f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,所以当x=1时,函数f(x)取得极大值,符合题意.综上可得,实数a的取值范围是(-∞,-1)∪(0,+∞).。