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复变函数2-1解析函数

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2.可导与连续的关系:
函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连 续, 但函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处 可导.
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例题
f ( z ) z 在z平面上处处连续但却处处不可导
解 (1) f(z)=z的连续性显然
2 z 0
2
lim ( 2 z z ) 2 z .
f ( z ) z 在z平面上处处可导 .
2
¢ (z ) = 2z
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例2 解
讨论 f ( z ) Im z的可导性 .
f ( z z ) f ( z ) Im( z z ) Im z f z z z Im z Im z Im z Im z z z
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• 若记 z = x +iy ，则习惯记
z0 =x0 +iy0
Dz =Dx +iDy
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例1 求f ( z ) z 2的导数 . 解 z C
f ( z z ) f ( z ) lim z 0 z
( z z ) z lim z 0 z
1.导数的定义:
设函数 w f ( z ) 定义于区域 D, z0为D中的一 点, z0 z D
f (z0 z) f (z0 ) 如果极限 lim 存在且有限 z0 z 那末就称 f ( z ) 在z0可导 .这个极限值称为 f ( z ) 在 z0
的导数 ,
记作 f ( z0 ) dw f ( z0 z ) f ( z0 ) lim . dz z z 0 z 0
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函数在区域内解析与在区域内可导是等价的. 函数在一点处解析与在一点处可导不等价
即函数在z0点解析
函数在z0点可导
函数闭区域上解析与在闭区域上可导不等价 即函数在闭 区域上解析
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函数在闭区 域上可导
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2. 奇点的定义 定义 如果函数 f ( z ) 在 z0 不解析, 但在z0的任一邻域都
如果函数 f ( z) 在 z0 及 z0 的邻域内处处可导, 那么 称 f ( z) 在 z0 解析. Analysis
定义
如果函数 f ( z )在区域 D内每一点可微(解析), 则称 f ( z )在区域 D内解析. 或称 f ( z )是区域 D 内 的一个解析函数(全纯函数或正则函数).
即：z0 z z0
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在定义中应注意:
z0 z z0 (即z 0)的方式是任意的 .
即z0 z在区域 D内以任意方式趋于 z0时, f ( z0 z ) f ( z0 ) 比值 都趋于同一个数 . z
如果函数 f ( z ) 在区域 D 内处处可导 , 我们 就称 f ( z ) 在区域内 D 可导 .
h( z0 z ) h( z0 ) lim 0. z 0 z
令 z0 z 沿直线 y y0 k ( x x0 ) 趋于 z0 , y 1 i 1 ik z x i y x z x iy 1 i y 1 ik x
第二章 解析函数
§1 解析函数的概念 §2 函数解析的充要条件 §3 初等函数
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§1 解析函数的概念
一、复变函数的导数与微分
1.导数的定义 2.可导与连续的关系 3.求导法则 4.微分的概念
二、解析函数及其简单性质
1、解析函数的定义 2、奇点的定义
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一、 复变函数的导数与微分
设z z沿着平行于 y 轴的直线趋向于 z，
2yi x 2yi lim 2, lim y 0 yi z 0 x yi
所以 f ( z ) x 2 yi的导数 不存在 .
x 0 y
z
o
y 0
x
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3.求导法则: (1) ( c ) 0, 其中c为复常数 . ( 2) ( z n ) nz n1 , 其中n为正整数 . ( 3) f ( z ) g ( z ) f ( z ) g( z ). (4) f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ) f ( z ) g( z ). f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ) f ( z ) ( 5) . ( g ( z ) 0) 2 g (z) g( z ) (6) f [ g ( z )] f ( w ) g( z ). 其中 w g ( z ) 1 , 其中 w f ( z )与 z ( w )是 ( 7 ) f ( z ) ( w ) 两个互为反函数的单值 函数 , 且 ( w ) 0 11
y
x 2yi lim z 0 x yi ( z z z )
即：y 0
z
o
y 0
x
设z z沿着平行于 x 轴的直线趋向于 z，
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x 2yi x lim 1, lim z 0 x yi x 0 x
有f ( z )的解析点,那末称z0为 f ( z ) 的奇点.
例如:
w
1 z
以z=0为奇点:
2 2
例3 研究函数 f ( z ) z , g( z ) x 2 yi 和h( z ) z 的解析性. 答 案：
f ( z ) z 2 在复平面内是解析的 ; g ( z ) x 2 yi 处处不解析 ;
当点沿平行于虚轴的方 向( x 0)而使 z 0时,
1 y f ( z z ) f ( z ) f lim , lim lim y 0 x i y z 0 z z 0 i z x 0
当点沿不同的方向使 z 0时, 极限值不同 , 故f ( z ) Im z在复平面上处处不可导 .
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z [Re( z z ) Re( z )] Re( z z ) z
令 z x i y ,
x f ( z z ) f ( z ) z x x , x i y z f ( z z ) f ( z ) 因为 lim x, x 0 z y 0
所以有
dw 即 f ( z 0 ) dz z z0
函数 w f ( z )在 z0 可导与在 z0 可微是等价的.
如果函数 f ( z )在 区域 D 内处处可微 , 则称 f ( z )在 区域 D 内可微 .
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二、解析函数及其简单性质
1. 解析函数的定义
定义
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定理 (1) 在区域 D 内解析的两个函数 f ( z ) 与 g ( z ) 的
和、差、积、商 (除去分母为零的点 )在 D 内解析 .
( 2 ) 设函数 h g ( z ) 在 z 平面上的区域 D 内解析 ,
函数 w f ( h ) 在 h 平面上的区域 G 内解析 . 如果 对 D 内的每一个点 z , 函数 g ( z ) 的对应值 h 都属 于 G , 那末复合函数 w f [ g ( z )] 在 D 内解析 .
f 1( x 0, y 0) z
f 1( x 0, y 0) z
f ( z ) z 在z平面上处处不可导
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4.微分的概念: 复变函数微分的概念在形式上与一元实变 函数的微分概念完全一致.
f ( z0 ) z 称为函数 w f ( z )在点 z0 的微分 ,
记作
dw f ( z0 ) z .
如果函数在 z0 的微分存在 , 则称函数 f ( z ) 在 z0 可微 .
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特别地,
当 f ( z ) z 时, dw dz f ( z0 ) z z ,
d w f ( z 0 ) z f ( z 0 ) d z ,
f ( z z ) f ( z ) (2) z x 1 x 0, y 0 z z z z z x i y x = = z z i y 1 x 0, y 0 i y
y Im( x iy ) , x i y x i y
当点沿平行于实轴的方 向( y 0)而使 z 0时,
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y f ( z z ) f ( z ) f lim 0, lim lim x 0 x i y z 0 z z 0 z y 0
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复变函数第一章 1-2

复变函数第一章 1-2


复变函数论的全面发展是在十九世纪， 复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直 接扩展统治了十八世纪的数学那样， 接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的 分支统治了十九世纪的数学。 分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函 数论是最丰饶的数学分支， 数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享 也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。 受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。 为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、 为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达 朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分， 朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分， 他们都是创建这门学科的先驱。 他们都是创建这门学科的先驱。 后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是 柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初， 柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初， 复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生， 复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生， 瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作 瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、 了大量的研究工作， 了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领 为这门学科的发展做出了贡献。 域，为这门学科的发展做出了贡献。
共轭复数的运算性质：
z = x + iy, 称 x − iy 为复数 z 的共轭复数，记为 z
(1)
z=z
z1 ± z 2 = z1 ± z 2
z1 = z ( z 2 ≠ 0) 2
z+z z−z (5) Re z = , Im z = 2 2i
(6) zz = [Re z ] 2 + [Im z ] 2 (7)
当 z = 0 时, | z | = 0, 而幅角不确定. arg z可由下列关系确定:
复变函数解析函数例子

复变函数解析函数例子

复变函数解析函数例子1. 什么是复变函数复变函数，即复数域上的函数，它将一个复数映射到另一个复数。

复变函数是数学中重要的概念，它在物理、工程等领域都有广泛的应用。

复变函数的解析函数是其中一个重要的概念，在本文中将详细介绍解析函数的例子及其应用。

2. 解析函数的定义解析函数，也称为全纯函数或可导函数，是指在某个区域内可导的复变函数。

具体而言，如果一个复变函数在某个区域内处处可导，则称该函数在该区域内是解析的。

解析函数具有一些重要的性质，主要包括：连续性、解析性、无奇点、全局可导等。

这些性质使得解析函数在许多领域都有广泛的应用。

3. 解析函数的例子3.1. 多项式函数多项式函数是最简单的解析函数之一。

对于一个具有形如f(z)=a n z n+a n−1z n−1+...+a1z+a0的多项式函数，它在整个复平面上都是解析的。

多项式函数的导数可以通过逐项求导得到，因此它是解析函数。

多项式函数的例子包括：f(z)=z2+2z+1、f(z)=z3−3iz2+z−i等。

这些函数在整个复平面上都是连续且解析的。

3.2. 指数函数指数函数是另一个常见的解析函数。

对于形如f(z)=e z的指数函数，它在整个复平面上都是解析的。

指数函数具有许多重要的性质，比如e z1+z2=e z1e z2和e iθ= cos(θ)+isin(θ)。

指数函数在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用，比如在电路分析、量子力学等方面。

它可以表示增长速度、周期性等问题。

3.3. 三角函数三角函数也是常见的解析函数。

对于形如f(z)=sin(z)和f(z)=cos(z)的三角函数，它们在整个复平面上都是解析的。

三角函数具有许多重要的性质，比如sin(z)=12i (e iz−e−iz)和cos(z)=1 2(e iz+e−iz)。

它们在数学、物理、工程等领域中广泛应用，比如在波动、振动等问题中。

4. 解析函数的应用解析函数的应用非常广泛，下面列举其中一些常见的应用：4.1. 数学领域在数学领域中，解析函数被广泛应用于复分析、调和分析等方面。

复变函数表达式

复变函数表达式

复变函数表达式复变函数是数学分析中的重要概念，是指由复数集合到复数集合的映射。

它具有形式为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的表达式，其中z=x+iy是复数变量，u(x,y)和v(x,y)是实数函数。

复变函数的研究是复分析的核心内容之一，它在物理学、工程学以及计算机科学等领域中都有广泛的应用。

复变函数的研究主要涉及到函数的解析性、积分、级数、留数等概念。

解析函数是指在其定义域内处处可导的复变函数。

对于解析函数，我们可以利用柯西-黎曼方程推导出它的柯西-黎曼条件，即u 和v满足一阶偏导数关系式。

这一条件是解析函数的充要条件，也是复变函数理论中的重要定理之一。

复变函数的积分也是其研究的重要内容。

在复平面上，我们可以定义沿一条曲线的积分，称为复积分。

复积分具有路径无关性，这是由于复变函数解析的性质所决定的。

通过计算复积分，我们可以得到很多重要的结果，比如柯西积分定理和留数定理等。

复级数也是复变函数理论中的重要概念之一。

对于复数列{an}，我们可以将其求和得到复级数。

复级数的收敛性与实数级数类似，但是复级数的性质更加丰富。

通过研究复级数的收敛性和性质，我们可以得到一些重要的结论，如柯西收敛准则和绝对收敛性等。

留数是复变函数理论中的重要概念之一。

对于解析函数f(z)，在其奇点z0处可以定义留数Res(f,z0)。

留数的计算可以通过留数定理来进行，这个定理是复分析中的核心定理之一。

留数定理为计算复积分提供了重要的工具，也为计算一些特殊函数的积分提供了便利。

复变函数理论在物理学中有广泛的应用。

量子力学中的波函数、电磁学中的电势函数等都可以使用复变函数来描述。

复变函数的解析性和路径无关性使得它在物理学中具有重要的意义。

复变函数理论还在工程学和计算机科学中有广泛的应用。

在信号处理中，复变函数可以用来分析信号的频谱特性；在图像处理中，复变函数可以用来进行图像的滤波和增强等。

复变函数的理论为这些应用提供了基础和工具。

复变函数第二章 解析函数

复变函数第二章 解析函数


第 一 节 解 析 函 数 的 概 念
( 5)
f ( z ) ′ g ( z ) f ′ ( z ) − f ( z ) g ′ ( z ) , g (z) ≠ 0 = 2 g ( z) g ( z)
( 6)
{
f g ( z )
}
′
= f ′ ( w ) g ′ ( z ) , 其中w = g ( z )
dw 可见：可导 ⇔ 可微， f ′ ( z0 ) = 且 dz
z = z0
如果f ( z ) 在区域D内每一点可微，
则称f ( z ) 在D内可微.
记作 dw = f ′ ( z ) dz
第 一 节 解 析 函 数 的 概 念
二、解析函数 定义 1o 如果f ( z ) 在z0 及z0的某邻域内处处可导，
设w = f ( z ) 定义于区域D, z0 ∈ D , z0 + ∆ z ∈ D
f ( z0 + ∆ z ) − f ( z0 ) 如果 lim 存在 ∆ z →0 ∆z 则 称 f ( z ) 在 z0点 可 导 ， 而 极 限 值 为 f ( z ) 在 z0点 dw 的导数，记作 f ′ ( z0 ) 或 dz z = z0
∴ ∆ u = a ∆ x − b ∆ y + o1 ∆ v = b∆ x + a ∆ y + o2
反之，不成立。
( 2)
( 3)
f ( z ) 在区域D内解析
⇔ f ( z ) 在 区 域 D内 可 导 。
f ( z ) 在 z0 解析 ⇔
f ( z ) 在 z0的某邻域 N δ ( z0 )内解析。
第 一 节 解 析 函 数 的 概 念