刚体+刚体定轴转动的描述

M
o
r
F

M r F
m
力矩是矢量，M 的方向垂直于r和 F所决定的平面，其指向 用右手螺旋法则确定。
力矩的方向
2）力矩的单位、
牛· 米(N· m)
3）力矩的计算：
M 的大小、方向均与参考点的选择有关
M
m
M Fr sin
r
F

※在直角坐标系中，其表示式为 M r F ( xi yj zk ) ( Fx i Fy j Fz k )
例2 设质量为m，半径为R的细圆环和均匀圆盘分别绕通过各 自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和圆盘的转动惯量.
解 (1)求质量为m，半径为R的圆环对中心轴的转动惯量.如图 (a)所示，在环上任取一质元，其质量为dm，该质元到转轴的距 离为R，则该质元对转轴的转动惯量为
dI R 2 dm
考虑到所有质元到转轴的距离均为R， 所以细圆环对中心轴的转动惯量为
dI x dm x dx
2 2
整个棒对中心轴的转 x dx ml 2 12
2
(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的转动惯量为
1 2 I x dx ml 0 3
l 2
由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯量不同.
刚体也是一个各质点之间无相对位置变化且质 量连续分布的质点系。
3.1 刚体定轴转动的描述
刚体的基本运动可以分为平动和转动，刚体 的各种复杂运动都可以看成是这两种运动的合成。
1.刚体的平动和定轴转动
平动
刚体的平动是指刚体在运动过 程中其中任意两点的连线始终保 持原来的方向（或者说，在运动 的各个时刻始终保持彼此平行）。 特点：其中各点在任意相同的时间内具有相同的位移和运动 轨迹，也具有相同的速度和加速度。因而刚体上任一点的运 动都可代表整个刚体的运动。 平动的刚体可看作质点。 刚体的转动比较复杂，我们只研究定轴转动。

y
i = 3+2+1= 6
1
对于刚体而言，当刚体受到某些限制 ——自由度减少.
2. 刚体绕定轴的转动 刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动 转轴固定不动 — 定轴转动
_____
刚体转动
2
刚体定轴转动时虽然刚体中任意一点的到转轴的距离不同，但 在相同时间内转过的角度相同。 描述刚体绕定轴转动的角量：
Fi r i fi r i ( mi ri )
2
内力矩之和为0
转动惯量J
M J
——刚体的转动定律（刚体绕定轴转动微分方程）
15
转动定律：
M J
刚体所受的对于某一固定转动轴的合外力矩等于刚体对 此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的 角加速度的乘积。
讨论：
一、刚体运动的描述
1.刚体： 在力作用下，大小和形状都保持不变的物体称为刚体. 特殊的质点系， 形状和体积不变化 —— 理想化模型。 在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变。 2. 自由度：确定物体的位置所需要的独立坐标数 z (x,y,z) O i=3 y x O z
s O
x i=1 i=2
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二、转动定律 刚体上任一质元Δm i 受力 切线方向
Fi f i mi ai
ri
fi
Fi
Fi f i mi ai
在上式两边同乘以到 Fi ri f i ri mi ai ri mi ri ri 转轴的垂直距离 ri 对所有质元求和
(1)M 外 Fi ri ( Fi )ri 即求力矩之和,而非求力之和的矩.
(2)与牛顿第二定律比较： M J 、 F ma

Ek

1 2 1 2
1 2
1 1 2 2 2 2 2 2 m1 r1 m 2 r2 m n rn 2 2 ( m1 r1 m 2 r2 m n rn )
(
2 2 2 2
m r
i 1
n
i i )
2
2
牛顿第二定律与转动定律的对应关系 物理量：质点 刚体 规 律：质点 刚体
dv a dt
m J
F
a
M

F ma
牛顿第二定律 转动定律
M J
, 大小成正比。 , 大小成正比。
a 与 F 的方向一致

d dt
与 M 的方向一致
问：力矩 M 大，是否 大？
s r v r
2
y
v
r
△

△s
x
a t r a n r v r v 方向垂直 于 和 r 组成的平面
0

d dt

d dt

d
2
d t
2
刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比
质点匀变速直线运动
v at


f it ri

m i ri
2
( a it ri )
刚体所受的合外力矩： M 外
内力矩和： f i t ri 0
2 i i
F
it i
r
（内力不改变角动量）
)
J
M外 (
m r

i
m i ri

M J
其中 M 为刚体所受的合外力矩

⑶ t =6 ·0 s 时转过的角度为
6s
0
6s
d t 0
0(1et)dt
0 [te t]6 0 s 9 [6 ( 2 0 0) 5 (0 2 )]369rad
则 t =6 ·0 s
时电动机转过的圈数
N 587圈 2
5.2 5.4 刚体的转动定律及应用
5.2.1力对转轴的力矩
转轴
§5.1 刚体的运动的描述 §5.2 刚体定轴转动 §5.3 转动惯量的计算 §5.4 转动定律应用 §5.5 角动量守恒 §5.6 定轴转动中的功和能
5.1 刚体的运动的描述
•刚体（rigid body）
任何情况下形状和体积都不改变的物体(理想化模型)。 刚体是特殊的质点系。 刚体可以看作是由许多质点组成,每一个质点叫做 刚体的一个质元,刚体这个质点系的特点是,在外 力作用下各质元之间的相对位置保持不变。
2、刚体定轴转动的转动定律
M d(J )dL J
dt dt
刚体绕定轴转动时，它的角加速度与作用于刚体上的 合外力矩成正比，与刚体对转轴的转动惯量成反比。
刚体定轴转动的转动定律
M＝J 与 F ma地位相当 m反映质点的平动惯性，J 反映刚体的转动惯性
力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。力
ri
即 F itfitΔ m iri
则刚体转动定律为
变形有 F ir tifir tiΔm iri2
M J
对所有质元求和:
F ir ti fir ti (m ir i2 ) 上式表明:
这里 FitriM i M外
刚体绕定轴转动时,刚
fitri 0 定义 JΔmiri2 叫转动惯量
体的角加速度与它所 受的合外力矩成正比.