初中八年级数学上册第二章分式与分式方程列分式方程解应用题
教案鲁教版五四制
学习目标：
总结归纳，列分式方程解应用题
入：解分式方程的步骤是化、解、验、写，本节课我们将学习如何列分式方程解应
1=22
数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较输完，
名学生的成绩，
学习目标：1．能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，列出分式方程解决简单的实际问题，并能根据实际问题的意义检验所得的结果是否合理． 2．发展学生分析问题解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养学生应用意识．学习重点：如何结合实际分析问题，列出分式方程． 学习难点：如何结合实际分析问题，列出分式方程． 课前准备：自学课本P116—117 教学过程：问题引入：列方程（组）解应用题的一般步骤是什么？关键是什么？ 例如：京沪铁路是我国东部沿海地区纵贯南北的大动脉，全长1462 km，是我国最繁忙的干线之一．如果货运列车的速度为a km/h，快速列车的速度是货运列车的2倍，那么： （1）货运列车从北京到上海需要______小时； （2）快速列车从北京到上海需要_____小时； （3）已知从北京到上海快速列车比货运列车少用12h，你能列出一个方程吗？ 例1：为迎接市中学生田径运动会，计划由某校八年级（1）班的3个小组制作240面彩旗，后因1个小组另有任务，其余2个小组的每名学生要比原计划多做4面彩旗才能完成任务．如果这3个小组的人数相等，那么每个小组有学生多少名？ 例2：甲、乙两公司为“见义勇为基金会”各捐款30000元．已知乙公司比甲公司人均多捐20元，且甲公司的人数比乙公司的人数多20%．问甲、乙两公司各有多少人？ 例3：小明用12元买软面笔记本，小丽用21元买硬面笔记本，已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵1.2元，小明和小丽能买到相同数量的笔记本吗？
课堂小结：用分式方程解实际问题的一般步骤： （1）审题；（2）设未知数；（3）根据题意列方程；（4）解方程；（5）检验并写出答案． 课堂检测： 姓名： 1.甲、乙两人加工某种机器零件，甲在m 天内可以加工a 个零件，乙在n 天内可以加工b 个零件，若两人同时加工p 个零件，则需要的天数是________。 2.某人生产一种零件，计划在30天内完成，若每天多生产6个，则25天完成且还多生产10个，问原计划每天生产多少个零件?设原计划每天生产x 个，列方程式是 ( ) A.3010256x x -=+ B.3010256x x +=+ C.3025106x x =++ D.301025106x x +=-+ 3一个分数的分母比它的分子大5，如果将这个分数的分子加上14，分母减去1，那么所得分数是原来的倒数．求原分数． 4．甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测10个，甲检测300个与乙检测200个所用的时间相等．甲、乙两个机器人每小时各检测零件多少个？ 5.某市从今年1月1日起调整居民的用水价格，每立方米水费上涨31 。小丽家去年12月份的水费是15元，而今年7月份的水费则是30元，已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5m 3，求该市今年居民用水的价格。 6.为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树960棵。由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵树是原计划的43 倍，结果提前4天完成任务。原计划每天种树多少棵？ 7.某市为了构建城市立体道路网络，决定修建一条轻轨铁路，为使工程提前半年完成，需将工作效率提高25%，原计划完成这项工程需要多少个月？
初中数学《分式》单元教学设计以及思维导图
分式 适用年级八年级 所需时间课内八课时 主题单元学习概述 1.本章是继整式之后对代数式的进一步的研究。 2.分式是对分数的进一步抽象------字母的意义 3.分数的讨论框架的继承------小学时分数都研究哪些性质？ 4.从实际意义或者问题解决上，分式也是分数的实际意义的抽象------列方程解应用题 5.需要了解学生对于小学分数的了解情况，特别是是否还记得分数的性质框架 6.分式的基础是分数、整式的四则运算、多项式的因式分解、一元一次方程等知识。同时它是今后进一步学习函数、一元二次方程的基础。主题单元规划思维导图
主题单元学习目标 知识与技能： 1.了解分式的概念，明确分式和整式的区别； 2.掌握分式的基本性质和分式的约分； 3.分式的乘除运算法则； 4.经历探索分式加减运算法则，理解其算理； 5.异分母分式加减法的法则及分式的通分； 6.通过对实际问题的分析，感受分式方程是刻画现实世界的有效模型，归纳分式方程的概念； 7.经历探索分式方程解法的过程，会解可化为一元一次方程的分式方程,会检验根的合理性； 8.用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题. 过程与方法： 1.体会分式的意义，进一步发展符号感,掌握分式的符号法则; 2.会进行简单的分式的乘除法运算; 3.会进行简单分式的加减运算，具有一定的代数化归能力； 4.经历异分母分式的加减运算和通分的过程，训练学生的分式运算能力，培养学习学习中转化未知问题为已知问题的能力; 5.经历“求解－解释解的合理性”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识; 6.用分式方程来解决现实情境中的问题.
第十六章分式 教材分析 本章的主要内容包括：分式的概念，分式的基本性质，分式的约分与通分，分式的加、减、乘、除运算，整数指数幂的概念及运算性质，分式方程的概念及可化为一元一次方程的分式方程的解法。 全章共包括三节： 16．1 分式 16．2 分式的运算 16．3 分式方程其中，16．1 节引进分式的概念，讨论分式的基本性质及约分、通分等分式变形，是全章的理论基础部分。11．2节讨论分式的四则运算法则，这是全章的一个重点内容，分式的四则混合运算也是本章教学中的一个难点，克服这一难点的关键是通过必要的练习掌握分式的各种运算法则及运算顺序。在这一节中对指数概念的限制从正整数扩大到全体整数，这给运算带来便利。11．3节讨论分式方程的概念，主要涉及可以化为一元一次方程的分式方程。解方程中要应用分式的基本性质，并且出现了必须检验（验根）的环节，这是不同于解以前学习的方程的新问题。根据实际问题列出分式方程，是本章教学中的另一个难点，克服它的关键是提高分析问题中数量关系的能力。 分式是不同于整式的另一类有理式，是代数式中重要的基本概念；相应地，分式方程是一类有理方程，解分式方程的过程比解整式方程更复杂些。然而，分式或分式方程更适合作为某些类型的问题的数学模型，它们具有整式或整式方程不可替代的特殊作用。 （二）本章知识结构框图 （三）课程学习目标 本章教科书的设计与编写以下列目标为出发点： 1．以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式。 2．类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则。 3．类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算，掌握这些法则。 4．结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系。 5．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想。 （四）课时安排 本章教学时间约需13课时，具体分配如下： 16．1 分式2课时16．2 分式的运算6课时 16．3 分式方程3课时数学活动小结3课时
分式方程应用题专题 1、我国“八纵八横”铁路骨干网的第八纵通道——温（州）福（州） 铁路全长298千米．将于2009年6月通车，通车后，预计从福州直达温州的火车行驶时间比目前高速公路上汽车的行驶时间 缩短2小时．已知福州至温州的高速公路长331千米，火车的设计时速是现行高速公路上汽车行驶时速的2倍．求通车后火车从福州直达温州所用的时间（结果精确到0.01小时）． 2、某商店在“端午节”到来之际，以2400元购进一批盒装粽子，节 日期间每盒按进价增加20%作为售价，售出了50盒；节日过后每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的粽子，整个买卖过程共盈利350元，求每盒粽子的进价． 3、南宁市2006年的污水处理量为10万吨/天，2007年的污水处理 量为34万吨/天，2007年平均每天的污水排放量是2006年平均每天污水排放量的1.05倍，若2007年每天的污水处理率比2006年每天的污水处理率提高40%（污水处理率 污水处理量 ）． 污水排放量 （1）求南宁市2006年、2007年平均每天的污水排放量分别是多少万吨？（结果保留整数） （2）预计我市2010年平均每天的污水排放量比2007年平均每天污水排放量增加20%，按照国家要求“2010年省会城市的污水处理 率不低于 ．．．70%”，那么我市2010年每天污水处理量在2007年每天 污水处理量的基础上至少 ．．还需要增加多少万吨，才能符合国家规定的要求？
4、甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作．甲队单独 工作2天完成总量的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了1天，总量全部完成．那么乙队单独完成总量需要（ ） Ａ．6天 Ｂ．4天 Ｃ．3天 Ｄ．2天 5、炎炎夏日，甲安装队为A 小区安装66台空调，乙安装队为B 小区 安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x 台，根据题意，下面所列方程中正确的是（ ） A ．66602x x =- B ．66602x x =- C ．66602x x =+ D ．66602x x =+ 6、张明与李强共同清点一批图书，已知张明清点完200本图书所用 的时间与李强清点完300本图书所用的时间相同，且李强平均每分钟比张明多清点10本，求张明平均每分钟清点图书的数量． 7、有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900kg 和1500kg ，已知 第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300kg ，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克．设一块试验田每亩收获蔬菜x kg ，根据题意，可得方程（ ） A ．9001500300x x =+ B ．9001500300x x =- C ．9001500300x x =+ D ．9001500300x x =-
第十六章 分式 16．1分式 16.1.1从分数到分式 一、 教学目标 1． 了解分式、有理式的概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、课堂引入 1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：7 10，a s ，33 200，s v . 2．学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为v +20100小时，逆流航行60千米所用时间v -2060小时， 所以v +20100=v -2060. 3. 以上的式子v +20100，v -2060，a s ，s v ，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不 同点？ 五、例题讲解 P5例1. 当x 为何值时，分式有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解 出字母x 的取值范围. [提问]如果题目为：当x 为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) [分析] 分式的值为0时，必须同时．． 满足两个条件：○1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. [答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1 六、随堂练习 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 238y y -，91-x 2. 当x 取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3） 1-m m 3 2 +-m m 11 2+-m m 45 22--x x x x 235 -+2 3 +x
列分式方程解应用题学案 教学目标 1.使学生能分析题目中的等量关系，掌握列分式方程解应用题的方法和步骤，提高学生分析问题和解决问题的能力；2.通过列分式方程解应用题，渗透方程的思想方法。 教学重点和难点 重点：列分式方程解应用题 难点：根据题意，找出等量关系，正确列出方程. 教学过程设计 一 复习 1 解方程：x 45=3 30 x 2列方程解应用题的步骤: 二、新课 例1 一队学生去校外参观，他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍.若骑车的速度是队伍进行速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间? 分析：请同学根据题意，找出题目中的等量关系. 骑车的速度=步行速度的___倍； 骑车所用的时间=________________小时. 请同学依据上述等量关系列出方程.并求解 注意：在例1中我们运用了两个关系式，即时间=距离速度，速度=距离/时间.如果设速度为未知量，那么按时间找等量关系列方程；如果设时间为未知量，那么按速度找等量关系列方程，所列出的方程都是分式方程. 例2 某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日期三天完成.现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多少天? 分析；这是一个工程问题，在工程问题中有三个量，工作量设为s ，工作所用时间设为t ，工作效率设为m ，三个量之间的关系是 :s=mt,或t=sm ，或m=st.请同学根据题中的等量关系列出方程.并求解。 三、课堂练习 1. 甲加工180个零件所用的时间，乙可以加工240个零件，已知甲每小时比乙少加工5个零件，求两人每小时各加工的零件个数.
15 ． 1分式 第 1 课时从分数到分式 教学目标 1．了解分式的概念，知道分式与整式的区别和联系． 2．了解分式有意义的含义，会根据具体的分式求出分式有意义时字母所满足的条件． 3．理解分式的值为零、为正、为负时，分子分母应具备的条件． 教学重点 分式的意义． 教学难点 准确理解分式的意义，明确分母不得为零． 教学设计一师一优课一课一名师( 设计者：) 教学过程设计 一、创设情景，明确目标 一艘轮船在静水中的最大航速是20 km/h，它沿江以最大船速顺流航行100 km所用时间， 与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等．江水的流速是多少？ 提示：顺流速度＝水速＋静水中的速度；逆流速度＝静水中的速度－水速． ● 自主学习指向目标 1．自学教材第 127 至 128 页． 2．学习至此：请完成《学生用书》相应部分． 三、合作探究，达成目标 探究点一分式的概念 S V10060 活动一：阅读教材思考问题：式子a ，S以及式 子20＋ v 和 20－ v 有什么共同特点？它们与 分数有什么相同点和不同点？ 展示点评：如果 A，B 表示两个 ________( 整式 ) ，并且 B 中含有 ________( 字母 ) ，那么式A 子B叫做分式．
小组讨论：如何判断一个式子是否为分式？分式与整式有什么区别？
反思小结： 判断一个式子是否为分式，可根据：①具有分数的形式；②分子、分母都是整式；③分母中含有字母，分式与整式的区别在于：分式的分母中含有字母，而整式的分母中不含字母． 针对训练： 见《学生用书》相应部分 探究点二 分式有意义的条件 活动二： (1) 当 x ≠0时，分式 2 有意义； 3x (2) 当 x ≠1时，分式 x 有意义；x － 1 5 1 (3) 当 b ≠3时，分式 5－ 3b 有意义； x ＋ y (4)x ， y 满足 __x ≠y __时，分式 x － y 有意义． 展示点评： 教师示范解答的一般步骤，强调分母不为零． 小组讨论： 归纳分式有意义的条件． 反思小结： 对于任何分式，分母均不能为零，即当分母不为零时，分式有意义；反之，分母为零时，分式无意义． 针对训练： 见《学生用书》相应部分 四、总结梳理，内化目标 1．知识小结—— (1) 学习了分式， 知道了分式与分数的区别． (2) 知道了分式有意义和值 为零的条件． 2．思想方法小结——类比、转化等数学思想． 五、达标检测，反思目标 2 x ＋ y 1 x 1．下列各式① x ，② 5 ，③ 2－ a ，④ π－ 1中，是分式的有 ( C ) A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．①②③④ 2．当 x 为任意实数时，下列分式中，一定有意义的是( C ) x － 1 x ＋ 1 x － 1 x － 1 A. x 2 B. x 2－ 1 C. x 2＋1 D. x ＋ 2 3．某食堂有煤 m t ，原计划每天烧煤 a t ，现每天节约用煤 b(b 《分式方程应用题—行程问题》教案 教学目标： 1.通过日常生活中的情境创设，经历探索分式方程在行程领域应用的过程，会 根据题意解设未知数，合理的列出分式方程. 2．经历“实际问题情境——建立分式方程模型”的过程，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，增强学生学数学、用数学的意识. 3. 通过创设贴近学生生活实际的现实情境，增强学生的应用意识，培养学生对生活的热爱． 教学重点： 根据实际问题情境，抽离出数学分式方程的模型，从而列出分式方程. 教学难点： 根据实际问题情境，抽离出数学分式方程的模型，从而列出分式方程. 学情分析： 1.学生在学习了分式方程计算之后，学生能熟练掌握分式方程的计算能力，但 是在分式方程实际应用中还是很难抽离出原有的数学模型，从而找出等量关系. 2.学生在原有一元一次方程解决实际问题中，掌握了一些由实际问题向数学模 型的转化的能力，从而为学习分式方程解决实际问题打下了一定的基础. 回顾旧知 问题1 （1）在行程问题中，三个基本量是：路程、速度、时间。它们的关系是： 路程=__________ ____；速度=___ _____；时间=__ __ _. （2）列方程解决实际问题的一般步骤是什么？ 老师适时启发提问：审，设，检，这几个步骤的关键是什么？ 学生要做的：勾画关键词 学生要思考的：（1）已知什么？求什么？ （2）等量关系是有哪些？ （3）用哪一个等量关系设未知数. （4）用哪一个等量关系列方程. 设计意图：回顾列方程解应用题的一般步骤，为后面解决实际问题做好步骤准备. 导入新课 一、学生参与解决实际问题，教师板书，注意书写规范，检验。 问题2 实验学校8年级5班李明家住距学校2.5千米的解放碑，张来家住距学校5千米的学田湾，如果他们同时从家出发到学校，李明步行所用的时间与张来坐公交车所用的时间相同，已知公交车每小时比步行快7.5千米，求李明步行的速度与公交车的速度？ 学生独立思考，讨论，然后自己讲解。 教师点评（1）行程问题的三个基本量之间的关系。（2）审题时要注意找关键词，等量关系。（3）注意检验是否是原方程的解，是否是实际问题的解。（4）正确的书写。 设计意图：让学生体会列分式方程解行程问题的一般过程. 二、学生自己独立完成立分式方程解应用题的过程 问题3 实验学校8年5班李明从相距学校20千米的家中出发乘公交车到学校上学，当他走出40分钟后，发现数学家庭作业没带，于是马上给家长打电话，让他爸爸送来，于是他爸爸打车给李明送到学校，结果李明到学校时，他爸爸也刚到学校，已知他爸爸的速度是他的3倍。求公交车与出租车的速度各是多少？ 变式结果李明爸爸比他早到学校10分钟，求公交车与出租车的速度各是多少？ 《分式》的教案 班级：初二2班 科目：数学 任课教师：*** 教学时数：1节 上课日期：2011年10月17日 第七周 第一节 教学目的： 1、引导学生熟练掌握分式的概念及分式的性质等知识； 2、经历通过观察、归纳、类比、猜想，获得分式的基本性质，发展学生思维能力、分析问题、解决问题能力、实际操作能力、 语言表达能力、自学能力、合情推理能力与代数恒等能力等； 3、引导学生学习劳动人民的优良品德；尊重客观、尊重事实的良好品德；刻苦顽强品德等； 4、激发学生热爱劳动人民的情感；热爱科学、热爱生活的情感； 5、通过学习，能获得学习代数知识的常用方面，能感受代数学习的价值。 教学重点： 1、分式的概念 2、分式的性质 教学难点： 1、分式的有意义的条件 2、分子、分母是多项式的分式约分 教学方法：讲授法、谈话法、讨论法、练习法、读书指导法 教具：多媒体课件 ppt 教学过程： 一、复习旧课（时间5~10分钟） 同学们，我们一起来复习一下上一节课学习的内容： 提问 1：我们上节课学习的什么知识啊？ 生（一起回答）：学习了完全平方公式。 提问2：那什么叫做完全平方公式? 生（一起回答）：两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方，这样的式子就叫做完全平方公式. 提问3：那有没有同学愿意上来，在黑板上默写完全平方公式的公式？ 好，第四组举手的那位同学上来默写一下公式。 生：()()b a b a b a _22+=- ()2 222b a b ab a +=++ ()2 222b a b ab a -=+- 二、学习新课（时间20~25分钟）（重点） 分式方程应用题专题 专题一、营销类应用性问题 1、 某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料每千克少3元，比乙种原料每千克多1元，问混合后的单价每千克是多少元？ 2、A 、B 两位采购员同去一家饲料公司购买同一种饲料两次，两次饲料的价格有变化，但两位采购员的购货方式不同．其中，采购员A 每次购买1000千克，采购员B 每次用去800元，而不管购买饲料多少，问选用谁的购货方式合算？ 3、某商场销售某种商品，一月份销售了若干件，共获得利润30000元;二月份把这种商品的单价降低了 0.4元，但是销售量比一月份增加了5000件，从而获得利润比一月份多2000元，调价前每件商品的利润为多少元？ 专题二、工程类应用性问题（难点） 1、甲乙两个工程队合作一项工程，两队合作2天后，由乙队单独做1天就完成了全部工程。已知乙队单独做所需天数是甲队单独做所需天数的 倍，问甲乙单独做各需多少天？ 2、甲、乙两个学生分别向计算机输入1500个汉字，乙的速度是甲的3倍，因此比甲少用20分钟完成任务，他们平均每分钟输入汉字多少个？ 11 2 3、 某农场原计划在若干天内收割小麦960公顷，但实际每天多收割40公顷，结果提前4天完成任务，试求原计划一天的工作量及原计划的天数。 4、 某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的 3 2，厂家需付甲、丙两队共5500元． ⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？ ⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由． 5、 某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日期三天完成．现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多少天？ 6、 甲乙两人做某种机器零件。已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个 所用的时间相等。求甲、乙每小时各做多少个？ 专题三、行程中的应用性问题（难点） 1、 甲、乙两个车站相距96千米，快车和慢车同时从甲站开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车比慢车早40分钟到达乙站，快车和慢车的速度各是多少？ 初中数学新课程标准教材 数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 ) 学校： 年级： 任课教师： 数学教案 / 初中数学 / 八年级数学教案 编订：XX文讯教育机构 分式的基本性质(教案) 教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于初中八年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。 第一课时 （一）教学过程 【复习提问】 1．分式的定义？ 2．分数的基本性质？有什么用途？ 【新课】 1．类比分数的基本性质，由学生小结出： 分式的分子与分母乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，即： ， （其中是不等于零的整式．） 2．加深对分式基本性质的理解： 例1 下列等式的右边是怎样从左边得到的？ （1）； 由学生口述分析，并反问：为什么？ 解：∵ ∴． （2）； 学生口答，教师设疑：为什么题目未给的条件？（引导学生学会分析题目中的隐含条件．）解：∵ ∴． （3） 学生口答． 解：∵， ∴． 例2 填空： （1）； （2）； （3）； （4）． 把学生分为四人一组开展竞赛，看哪个组做得又快又准确，并能小结出填空的依据．例3 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1）； 分析学生讨论：①怎样才能不改变公式的值？②怎样把分子分母中各项系数都化为整数？ 解：． （2）． 解：． 例4 判断取何值时，等式成立？ 学生分组讨论后得出结果： ∴． （二）随堂练习 1．当为何值时，与的值相等（） A．B．C．D． 2．若分式有意义，则，满足条件为（） 分式方程应用题专项练习 1、老城街道改建工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书.从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的32；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天可以完成.；求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ 2.某工厂为了完成供货合同,决定在一定天数内生产原种零件400个,由于对原有设备进行了技术改进,提高了生产效率,每天比原计划增产25%,结果提前10天完成了任务.原计划每天生产多少个零件? 3、某项工程如果甲单独做，刚好在规定的日期内宛成，如果乙单独做，则要超出规定日期3天，现在先由甲、乙两人合做两天后，剩下的任务由乙完成，也刚好能按做时完式，问规定的日期是几天？ 4、 某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需会甲、乙两队共8700元；乙、丙两队合做10天完 成，厂家需付乙、丙队共9500元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的3 2，厂家需付甲、丙两队共5500元。 （1） 求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？ （2） 若工期要求不超过15天完成全部工程，问：可由哪个单独承包此项工程花钱最少？请说明理由。 5.一个水池有甲乙两个进水管，甲管注满水池比乙管快4小时，如果单独放甲管5小时，再单独开放乙管6小时，就可以注满水池的一半，求单独开放一个水管，注满水池各需多长时间？ 6、 轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所需要的时间相同，已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。 7.一列客车长200米一列货车长280米,在平行轨道上相向而行,从车头相遇到车尾相离一共经过8秒钟.已知客车与货车的速度之比为5∶3.求两车的速度. 8、如图，小明家、王老师家、学校在同一条路上，小明家到王老师家的 路程为3km ，王老师家到学校的路程为0.5km ，由于小明的父母战斗在抗“非 典”第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学．已知 王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20min ， 问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少? 9、一小船由A 港到B 顺流航行需6小时，由B 港到A 港逆流航行需8小时，小船从早晨6时由A 港到B 港时，发现一救生圈在途中掉落水中，立即返航，2小时后找到救生圈。 15．1 分 式 第1课时 从分数到分式 教学目标 1．了解分式的概念，知道分式与整式的区别和联系． 2．了解分式有意义的含义，会根据具体的分式求出分式有意义时字母所满足的条件． 3．理解分式的值为零、为正、为负时，分子分母应具备的条件． 教学重点 分式的意义． 教学难点 准确理解分式的意义，明确分母不得为零． 教学设计一师一优课 一课一名师 (设计者： ) 教学过程设计 一、创设情景，明确目标 一艘轮船在静水中的最大航速是20 km/h ，它沿江以最大船速顺流航行100 km 所用时间，与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等．江水的流速是多少？ 提示：顺流速度＝水速＋静水中的速度；逆流速度＝静水中的速度－水速． ●自主学习 指向目标 1．自学教材第127至128页． 2．学习至此：请完成《学生用书》相应部分． 三、合作探究，达成目标 探究点一 分式的概念 活动一：阅读教材思考问题：式子S a ，V S 以及式子10020＋v 和6020－v 有什么共同特点？它们与分数有什么相同点和不同点？ 展示点评：如果A ，B 表示两个________(整式)，并且B 中含有________(字母)，那么式子A B 叫做分式． 小组讨论：如何判断一个式子是否为分式？分式与整式有什么区别？ 反思小结：判断一个式子是否为分式，可根据：①具有分数的形式；②分子、分母都是整式；③分母中含有字母，分式与整式的区别在于：分式的分母中含有字母，而整式的分母中不含字母． 针对训练：见《学生用书》相应部分 探究点二 分式有意义的条件 活动二：(1)当x ≠0时，分式23x 有意义； (2)当x ≠1时，分式x x －1 有意义； (3)当b ≠53时，分式15－3b 有意义； (4)x ，y 满足__x≠y __时，分式x ＋y x －y 有意义． 展示点评：教师示范解答的一般步骤，强调分母不为零． 小组讨论：归纳分式有意义的条件． 反思小结：对于任何分式，分母均不能为零，即当分母不为零时，分式有意义；反之，分母为零时，分式无意义． 针对训练：见《学生用书》相应部分 四、总结梳理，内化目标 1．知识小结——(1)学习了分式，知道了分式与分数的区别．(2)知道了分式有意义和值为零的条件． 2．思想方法小结——类比、转化等数学思想． 五、达标检测，反思目标 1．下列各式①2x ，②x ＋y 5，③12－a ，④x π－1 中，是分式的有( C ) A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．①②③④ 2．当x 为任意实数时，下列分式中，一定有意义的是( C ) A.x －1x 2 B.x ＋1x 2－1 C.x －1x 2＋1 D.x －1x ＋2 3．某食堂有煤m t ，原计划每天烧煤a t ，现每天节约用煤b(b 《15.3.2分式方程的应用》教学设计 一、教学目标： （一）知识与技能：能将实际问题中的相等关系用分式方程表示，并进行方法总结； （二）过程与方法：通过日常生活中的情境创设，经历探索分式方程应用的过程，提高学生运用方程思想解决问题的能力和思维水平； （三）情感态度、价值观：在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，引导学生努力寻找解决问题的方法，体会数学的应用价值； 二、教学重点：实际生活中分式方程应用题数量关系的分析； 三、教学难点：将复杂实际问题中的等量关系用分式方程表示, 并进行归纳总结； 四、教学活动设计 （1）活动一：试一试 例1：自从上次龟兔赛跑乌龟大胜兔子以后,它就成了动物界的体育明星,又是广告,又是演讲,活动不断.可偏偏有一只蚂蚁不服气,于是它给乌龟下了一封挑战书. 乌龟先生： 我与你进行比赛，兔子先生做裁判，从小柳树下跑到大柳树下，比赛枪声 响后，先到者是冠军。 蚂蚁 乌龟接到挑战书后,十分重视,为了再次赢得比赛,乌龟开始加大训练量,经过一段时间的训练后,乌龟平均提速V米/分,用相同的时间,乌龟提速前可走S米,提速后比提速前多走5米,问:乌龟提速前的平均速度为多少？ （2）活动二：想一想 例2：经过这次比赛，乌龟和蚂蚁成了好朋友。它们共同承包了一项筑路工程，乌龟施工1个月完成总工程的，这时增加了蚂蚁，乌龟与蚂蚁又共同工作了半个月，总工程全部完成，问：乌龟和蚂蚁谁施工的速度快？ 设计意图：通过实际问题培养大家积极思考问题的好习惯，在课堂上也能充分调动大家的学习热情，让学生体验从实际问题情境中抽象出数学模型的过程，能主动从数学角度运用所学知识寻求解决问题的策略，并巩固解分式方程. （3）活动三：做一做 1、后来，乌龟和蚂蚁进了同一家工厂打工，工作是加工同一种零件，已知乌龟每小时比蚂蚁多做6个，乌龟做90个所用的时间与蚂蚁做60个所用的时间相等，求乌龟与蚂蚁每小时各做零件多少个？ 第十五章 分式 15.1分式 15.1.1从分数到分式 一、教学目标 1．了解分式、有理式的概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、课堂引入 1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：7 10，a s ，33 200，s v . 2．学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为v +20100小时，逆流航行60千米所用时间v -2060小时， 所以v +20100=v -2060. 3. 以上的式子v +20100，v -2060，a s ，s v ，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同 点？ 五、例题讲解 P5例1. 当x 为何值时，分式有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解 出字母x 的取值范围. [提问]如果题目为：当x 为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) [分析] 分式的值为0时，必须同时．． 满足两个条件：○1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. [答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1 六、随堂练习 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 238y y -，91-x 2. 当x 取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3） 3. 当x 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) 1-m m 3 2 +-m m 11 2+-m m 45 22--x x x x 235 -+2 3 +x x x 57+x x 3217-x x x --221 初中数学分式的教案 初中数学分式的教案一一、教学目标 1.使学生理解并掌握分式的概念，了解有理式的概念; 2.使学生能够求出分式有意义的条件; 3.通过类比分数研究分式的教学，培养学生运用类比转化的思想方法解决问题的能力; 4.通过类比方法的教学，培养学生对事物之间是普遍联系又是变化发展的辨证观点的再认识. 二、重点、难点、疑点及解决办法 1.教学重点和难点明确分式的分母不为零. 2.疑点及解决办法通过类比分数的意义，加强对分式意义的理解. 三、教学过程 【新课引入】 前面所研究的因式分解问题是把整式分解成若干个因式的积的问题，但若有如下问题：某同学 分钟做了60个仰卧起坐，每分钟做多少个?可表示为，问，这是不是整式?请一位同学给它试命名，并说一说怎样想到的?(学生有过分数的经验，可猜想到分式) 【新课】 1.分式的定义 (1)由学生分组讨论分式的定义，对于“两个整式相除叫做分式”等错误，由学生举反例一一加以纠正，得到结论： (2)由学生举几个分式的例子. (3)学生小结分式的概念中应注意的问题. ①分母中含有字母. ②如同分数一样，分式的分母不能为零. (4)问：何时分式的值为零?[以(2)中学生举出的分式为例进行讨论] 2.有理式的分类 请学生类比有理数的分类为有理式分类： (五)随堂练习 八、布置作业 教材p56中a组3、4;b组(1)、(2)、(3). 九、板书设计 课题例1 1.定义例2 2.有理式分类 初中数学分式的教案二中考数学分式复习 课型复习课教法讲练结合 教学目标(知识、能力、教育) 1. 了解分式、分式方程的概念，进一步发展符号感. 2.熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，发展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力. 3.能解决一些与分式有关的实际问题，具有一定的分析问题、 八年级数学上册《分式的概念》教案 （第1课时） 教学目标 1 了解分式的概念。 2 通过具体情境感受分数的基本性质并类比得出分式的基本性质。 3理解分式有意义的条件。 教学重点、难点： 重点：分式的概念和性质 难点：理解分式的性质。 教学过程 一创设情境，导入新课 探究： 1把三个一样的苹果分给4位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？你怎么分给他们？ （交流讨论） （1）每位小朋友分 34 （2）分法： ① 每个苹果切成四个相等的小块，共12块，每人分3块，这3块占一个苹果的34 ② 为了每个小朋友吃起来方便，每个苹果切成8块，共24块，每人分6块，这六块占一个苹果的68 。 想想这两种分法分得的是否一样多？（ 36=48，即：3326==4428??）由此表明了什么？ 分数的分子和分母都乘以或除以一个不等于零的数，分数的值不变。 分数的分子与分母约去共因数，分数的值不变。 这就是分数的基本性质。 2 (1)把上面问题变为：把3个一样的苹果分给n(m>0)位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？ 用除法表示：3n ÷，用分数表示为： 3n ，33n n ÷、相等吗？（33=n n ÷）这里的n 可以是实数吗？（n 不能为0） (2) 3 34n 与有什么区别？（后者分母含有字母）我们把前者叫分数，后者叫分式，什么叫分式呢？分式有没有和分数一样的性质？ 这节课我们来学习-----分式的基本性质。（板书课题） 二合作交流，探究新知 1 分式的概念填空： （1 ）如果小王用a元人民币买了b袋相同的瓜子，那么每袋瓜子的价格是______元。（2）一个梯形木板的面积是6 2 m，如果梯形上底是am，下底是bm，那么这个梯形的高是________m. (3) 两块面积分别为a亩，b亩的稻田m kg，n kg，这两块稻田平均每亩产稻谷________kg. 观察多项式： 12 a m n b a b a b + ++ 、、这些代数式有什么共同点特点？（分子分母都是整式，分母 含有字母） 一般地，如果f、g分别表示两个整式，并且g中含有字母，那么代数式f g 叫分式。 说明：分式的分子分母一般是多项式，单项式可以看成是只有一项的多项式。分母一定含有字母。 2 分式的基本性质 思考：33a 44a 与分式相等吗？ 2 2 a b a ab b 分式与分式相等吗？ 如果a≠0, 那么33a = 44a ,只要 2 2 a b a ab b 与都意义，那么 2 2 = a b a ab b 。 你认为分式和分数具有相同的性质吗？ 分式的分子和分母都乘以或除以一个不等非零多项式，分式值不变。分式的分子与分母约去共因式，分式的值不变。 用式子表示为：设h≠0,则f f h g g h ?= ? 3 分式的值为零的条件和分式有意义的条件 例1 求分式 5 6 x x - + 的值，（1）x=3, (2)x= 2 5 - 思考：（1）要是分式 5 6 x x - + 的值为零，x应等于多少？要使分式 (5) (6)(-5) x x x - + 的值为零，x 应等于多少？ 分式值为零的条件是什么？（分子为零，分母不等于零） 分式方程应用题(精典 题) 分式方程应用题 1、温（州）--福（州）铁路全长298千米．将于2009年6月通车，通车后，预 计从福州直达温州的火车行驶时间比目前高速公路上汽车的行驶时间缩短2小时．已知福州至温州的高速公路长331千米，火车的设计时速是现行高速公路上汽车行驶时速的2倍．求通车后火车从福州直达温州所用的时间（结果精确到0.01小时）． 2、某商店在“端午节”到来之际，以2400元购进一批盒装粽子，节日期间每盒按 进价增加20%作为售价，售出了50盒；节日过后每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的粽子，整个买卖过程共盈利350元，求每盒粽子的进价． 4、甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作．甲队单独工作2天完 成总量的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了1天，总量全部完成．那么乙队单独完成总量需要（ ） Ａ．6天 Ｂ．4天 Ｃ．3天 Ｄ．2天 5、炎炎夏日，甲安装队为A 小区安装66台空调，乙安装队为B 小区安装60台 空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x 台，根据题意，下面所列方程中正确的是（ ） A ．66602x x =- B ．66602x x =- C ．66602x x =+ D ．66602x x =+ 6、张明与李强共同清点一批图书，已知张明清点完200本图书所用的时间与李 强清点完300本图书所用的时间相同，且李强平均每分钟比张明多清点10本，求张明平均每分钟清点图书的数量． 7、有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900kg 和1500kg ，已知第一块试验 田每亩收获蔬菜比第二块少300kg ，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克．设一块试验田每亩收获蔬菜x kg ，根据题意，可得方程（ ） A ．9001500300x x =+ B ．9001500300 x x =- C ．9001500300x x =+ D ．9001500300x x =- 8、进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色 完成了任务．这是记者与驻军工程指挥官的一段对话: 通过这段对话,请你求出该地驻军原来每天加固的数学人教版八年级上册《分式方程应用题—行程问题》教案
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