5.4 分式方程 第3课时 教案

第五章分式5.4 分式方程第3课时分式方程的应用学习目标：1. 理解数量关系，并正确列出分式方程；2. 在不同的实际问题中能审明题意设出未知数，列分式方程解决实际问题.一、复习导入应用整式方程解实际问题的步骤：教师提问：那么如何运用分式方程解决实际问题呢？一、要点探究知识点一：列分式方程解决利润问题做一做：某单位将沿街的一部分房屋出租，每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元.(1)你能找出这一情境中的等量关系吗？(2)你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗？【要点归纳】【典例精析】例1 某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每吨水费上涨三分之一，小丽家去年12月的水费是15 元，今年7 月的水费是30 元.已知今年7月的用水量比去年12 月的用水量多5 m3，求该市今年居民用水的价格.知识点二：列分式方程解决工程问题【典例精析】例2 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工 1 个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？知识点三：列分式方程解决行程问题【典例精析】例3 某次列车平均提速v km/h．用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少？1. 几名同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180 元，出发前，又增加两名同学，结果每个同学比原来少分摊 3 元车费，若设原来参加旅游的学生有x人，则所列方程为()2. 一轮船往返于A、B两地之间，顺水比逆水快1 小时到达. 已知A、B两地相距80 km，水流速度是2 km/h，求轮船在静水中的速度.3. 农机厂到距工厂15 km 的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了40 分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的 3 倍，求两车的速度.参考答案自主探究做一做：某单位将沿街的一部分房屋出租，每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元.(1)你能找出这一情境中的等量关系吗？(2)你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗？例1某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每吨水费上涨三分之一，小丽家去年12月的水费是15 元，今年7 月的水费是30 元.已知今年7月的用水量比去年12 月的用水量多5 m3，求该市今年居民用水的价格.知识点二：列分式方程解决工程问题例2 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工 1 个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？方法一：设乙单独完成这项工程需要x月.借助列表分析，确定题目中的数量关系.方法二：设乙单独完成这项工程需要x月.列表分析：知识点三：列分式方程解决行程问题例3某次列车平均提速v km/h．用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少？当堂检测1. A.2.3.。

北师大版八年级下册数学《5.4 第3课时分式方程的应用》教案一. 教材分析北师大版八年级下册数学《5.4 第3课时分式方程的应用》这一节主要让学生掌握分式方程的应用，通过解决实际问题，培养学生运用分式方程解决实际问题的能力。

教材通过引入具体问题，让学生理解分式方程在实际问题中的应用，从而提高学生的学习兴趣和积极性。

二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经掌握了分式方程的基本知识，能够解简单的一元一次方程和一元二次方程。

但学生在解决实际问题时，可能会对将实际问题转化为分式方程有一定的困难，因此，在教学过程中，需要引导学生正确地将实际问题转化为分式方程，并熟练掌握解分式方程的方法。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握分式方程的应用，能够将实际问题转化为分式方程，并熟练解分式方程。

2.过程与方法目标：通过解决实际问题，培养学生运用分式方程解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极解决实际问题的态度。

四. 教学重难点1.教学重点：让学生掌握分式方程的应用，能够将实际问题转化为分式方程，并熟练解分式方程。

2.教学难点：如何引导学生将实际问题转化为分式方程，以及解分式方程时的运算技巧。

五. 教学方法采用问题驱动法，通过引入具体问题，引导学生运用已学的分式方程知识解决实际问题。

同时，采用案例分析法，让学生分析实际问题，找出关键信息，从而转化为分式方程。

在解分式方程的过程中，采用引导学生自主探索、合作交流的方式，让学生在解决问题的过程中掌握解题方法。

六. 教学准备1.准备相关实际问题，用于引导学生运用分式方程解决实际问题。

2.准备分式方程的解题方法相关资料，以便在学生遇到困难时给予指导。

七. 教学过程导入（5分钟）教师通过引入一个具体的问题，如“甲、乙两地相距100公里，甲地有一辆汽车以每小时60公里的速度前往乙地，同时，乙地有一辆汽车以每小时80公里的速度前往甲地，问两辆汽车几小时后相遇？”让学生思考如何解决这个问题。

《分式方程》第1课时教学目标（一）教学知识点1．通过对实际问题的分析，感受分式方程刻画现实世界的有效模型的意义．2．通过观察，归纳分式方程的概念．（二）能力训练要求体会到分式方程作为实际问题的模型，能够根据实际问题建立分式方程的数学模型，并能归纳出分式方程的描述性定义．（三）情感与价值观要求在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气，并从中获得成就感，提高解决问题的能力．教学重难点教学重点：能根据实际问题的数量关系列出分式方程，归纳出分式方程的定义． 教学难点：能根据实际问题中的等量关系列出分式方程．教学过程Ⅰ．创设情境，引入新课［师］在这一章的第一节《分式》中，我们曾研究过一个“固沙造林，绿化家园”的问题．当时，我们设原计划每月固沙造林x 公顷，那么原计划完成一期工程需要x 2400个月，实际完成一期工程用了302400+x 个月．根据题意，可得方程x 2400－302400+x =4．（1） 我们说x 2400，302400+x 分母中含有字母，我们现在知道它们是不同于整式的代数式——分式．可是，我们也是第一次遇到这样的方程，它和我们学过的一元一次方程一样能刻画现实世界，是一种反映现实世界的数学模型．接下来，我们再来看几个这样的例子．Ⅱ．讲授新课列出刻画现实世界的数学模型——方程．［小麦实验田问题］有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000kg 和15000kg ．已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg ，分别求这两块试验田每公顷的产量．你能找出这一问题中所有的等量关系吗？如果设第一块试验田每公顷的产量为xkg ，那么，第二块试验田每公顷的产量是____________kg ．根据题意，可得方程____________．［师］在这个问题中涉及到了哪几个基本量？它们的关系如何？［生］涉及到三个基本量：总产量，每公顷试验田的产量，试验田的面积．其中总产量=每公顷试验田的产量×试验田的面积．［师］你能找出这一问题的所有等量关系吗？［生］第一块试验田的面积=第二块试验田的面积．（a ）［生］还有一个等量关系是：第一块试验田每公顷的产量+3000kg =第二块试验田每公顷的产量（b ）［师］我们接着回答下面的问题：如果设第一块试验田每公顷的产量为xkg ，那么第二块试验田每公倾的产量是多少kg 呢？［生］根据等量关系（b ），可知第二块试验田每公顷的产量是（x +3000）kg ．［生］根据题意，利用等量关系（a ），可得方程：x 9000=300015000+x ．（2） ［师］x 9000，300015000+x 的实际意义是什么呢？ ［生］它们分别表示第一块试验田和第二块试验田的面积．［师］有没有别的方法列出方程呢？同学们可以以小组为单位讨论，交流，我们看哪一个组思维最敏捷．［生］根据等量关系（a ），我们可以设两块试验田的面积都为x 公顷，那么x 9000表示第一块试验田每公顷的产量，x15000表示第二块试验田每公顷的产量，根据等量关系（b ）可列出方程： x 9000+3000=x15000（3） ［师］接下来，我们再来看一个问题［电脑网络培训问题］王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元．后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠，一共只需要480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元．原定的人数是多少？这一问题中有哪些等量关系？如果设原定是x 人，那么每人平均分摊____________元；人数增加到原定人数的2倍后，每人平均分摊____________元．根据题意，可得方程____________．［师］我们先来审题，找到题中的等量关系．［生］由题意，可知：实际参加活动的人数=原定人数×2倍．（c ）［生］还有一个等量关系为：原计划每个同学平均分摊的费用=实际每个同学平均分摊的费用+4元．（d ）［师］同学们已经过审题，找到了题中的等量关系，接下来该干什么呢？［生］设出未知数，列出方程，将具体实际的问题转化为数学模型．［师］你很棒！下面同学们就分组来完成刚才这位同学所说的，你有几种列方程的方法呢？ 讨论后，各小组可选代表回答上面的问题．［生］我代表第一小组回答．我们设未知数的方法采用中方法：设原定是x 人，那么每人平均分摊x 300元；人数增加到原来人数的2倍后，每人平均分摊x2480元，根据题意，利用等量关系（d ），得方程：x 300－4=x 2480（4） ［生］我们组没有按照投影片上的设法，而是设原定每人平摊y 元，那么原定人数为y300人；实际参加活动的每个同学平摊（y －4）元，那么实际参加活动的人数为4480-y 人，根据题意，利用等量关系（c ），得方程：2×y 300=4480-y ．（5） ［师］上面两个组的回答都很精彩，祝贺他们．（鼓掌）从同学们的表现不难看出，用方程这样的数学模型刻画现实世界的情境，同学们掌握得很好．下面我们再来用方程来解决一个几何问题，刻画一个几何模型．如上图，在等腰三角形ABC 中，底边BC =2a ，高AD =h ，求内接正方形PQRS 的边长．［师生共析］由于SPQR 是正方形，SR ∥BC ，AE ⊥SR ，所以AE 是△ASR 的高且ED =SR =正方形SPQR 的边长，△ASR 的高AE 可表示为AD 与正方形边长的差．由SR ∥BC ，可得△ASR ∽△ABC ，于是有：BC SR =ADAE （相似三角形对应高的比等于相似比）．所以可设正方形的边长为x ，由BC SR = AD AE 得：a x 2=h x h -．（其中a 、h 为常数）（6） ［师］你还能找出图中的相似三角形吗？你还能用它的性质列出方程吗？同学们可以在小组内讨论、交流．［生］从上图中可知SPQR 是正方形，所以RQ ⊥BC ，又因为AD ⊥BC ，所以AD ∥RQ ，△ADC ∽△RQC ．可得RQ AD =CQCD ． 即RQ AD =RQ CD BC 2121-． 所以，设内接正方形的边长为2x ，根据题意，得x h 2=x a a -．（a 、h 为常数）．（7） ［师］你们表现得真棒！ 观察方程：x 2400－302400+x =4 （1） x 9000=300015000+x （2） x 9000+3000=x15000 （3） x 300－4=x2480 （4） 2×y 300=4480-y （5）a x 2=hx h -．（其中a 、h 为常数） （6） x h 2=xa a -（其中a 、h 是常数） （7） 上面所得到的方程有什么共同特点？［生］不难发现方程中的未知数都含在分母中，不是一元一次方程．［师］是的．这就是我们今天要认识的一种新的方程——分式方程即分母中含有未知数的方程．方程（6）是什么方程？［生］方程（6）中，分母不含未知数，它是一元一次方程．Ⅲ．随堂练习1．已知鱼塘中有x 千克鱼，每千克鱼的捕捞费用是x +102000元．现从鱼塘中捕捞101千克鱼花了捕捞费用200元，求x 满足的方程．分析：题中的等量关系是：101千克鱼×每千克鱼的捕捞费用=200元．解：x 满足的方程是：101×x +102000=200． 2．补充练习某商场有管理人员40人，销售人员80人，为了提高服务水平和销售量，商场决定从管理人员中抽调一部分人充实销售部分，使管理人员与销售人员的人数比为1∶4，那么应抽调的管理人员数x 满足怎样的方程？解：抽调管理人员x 人后，管理人员有（40－x ）人，销售人员有（80+x ）人，则 x x +-8040=41． Ⅳ．课时小结这节课我们从现实情境问题中建立方程这一重要的数学模型，认识了一种新的方程——分式方程．第2课时教学目标（一）教学知识点1．解分式方程的一般步骤．2．了解解分式方程验根的必要性．（二）能力训练要求1．通过具体例子，让学生独立探索方程的解法，经历和体会解分式方程的必要步骤．2．使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想，认识到能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的途径．（三）情感与价值观要求1．培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯，培养严谨的治学态度．2．运用“转化”的思想，将分式方程转化为整式方程，从而获得一种成就感和学习数学的自信．教学重难点教学重点：1．解分式方程的一般步骤，熟练掌握分式方程的解决．2．明确解分式方程验根的必要性．教学难点：明确解分式方程验根的必要性．教学过程Ⅰ．提出问题，引入新课［师］在上节课的几个问题，我们根据题意将具体实际的情境，转化成了数学模型——分式方程．但要使问题得到真正的解决，则必须设法解出所列的分式方程．这节课，我们就来学习分式方程的解法．我们不妨先来回忆一下我们曾学过的一元一次方程的解法，也许你会从中得到启示，寻找到解分式方程的方法． 解方程213-x +325+x =2－624-x ［师生共解］（1）去分母，方程两边同乘以分母的最小公倍数6，得3（3x －1）+2（5x +2）=6×2－（4x －2）．（2）去括号，得9x －3+10x +4=12－4x +2，（3）移项，得9x +10x +4x =12+2+3－4，（4）合并同类项，得23x =13，（5）使x 的系数化为1，两边同除以23，x =2313． Ⅱ．讲解新课，探索分式方程的解法［师］刚才我们一同回忆了一元一次方程的解法步骤．下面我们来看一个分式方程．［例1］解方程：21-x =x3． （1） ［生］解这个方程，能不能也像解含有分母的一元一次方程一样去分母呢？［师］同学们说他的想法可取吗？［生］可取．［师］同学们可以接着讨论，方程两边同乘以什么样的整式（或数），可以去掉分母呢？ ［生］乘以分式方程中所有分母的公分母．［生］解一元一次方程，去分母时，方程两边同乘以分母的最小公倍数，比较简单．解分式方程时，我认为方程两边同乘以分母的最简公分母，去分母也比较简单．［师］我觉得这两位同学的想法都非常好．那么这个分式方程的最简公分母是什么呢？ ［生］x （x －2）．［师生共析］方程两边同乘以x （x －2），得x （x －2）×21-x =x （x －2）·x3， 化简，得x =3（x －2）． （2）我们可以发现，采用去分母的方法把分式方程转化为整式方程，而且是我们曾学过的一元一次方程．［生］再往下解，我们就可以像解一元一次方程一样，解出x ．即x =3x －6（去括号） 2x =6（移项，合并同类项）． x =3（x 的系数化为1）．［师］x =3是方程（2）的解吗？是方程（1）的解吗？为什么？同学们可以在小组内讨论． （教师可参与到学生的讨论中，倾听学生的说法）［生］x =3是由一元一次方程x =3（x －2） （2）解出来的，x =3一定是方程（2）的解．但是不是原分式方程（1）的解，需要检验．把x =3代入方程（1）的左边=231-=1，右边=33=1，左边=右边，所以x =3是方程（1）的解．［师］同学们表现得都很棒！相信同学们也能用同样的方法完成例2的解答．［例2］解方程：x 300－x2480=4 （由学生在练习本上试着完成，然后再共同解答）解：方程两边同乘以2x ，得600－480=8x解这个方程，得x =15检验：将x =15代入原方程，得左边=4，右边=4，左边=右边，所以x =15是原方程的根．［师］很好！同学们现在不仅解出了分式方程的解，还有了检验结果的好习惯． 我这里还有一个题，我们再来一起解决一下（先隐藏小亮的解法）议一议 解方程32--x x =x-31－2． （可让学生在练习本上完成，发现有和小亮同样解法的同学，可用实物投影仪显示他的解法，并一块分析） ［师］我们来看小亮同学的解法：32--x x =x-31－2 解：方程两边同乘以x －3，得2－x =－1－2（x －3）解这个方程，得x =3．［生］小亮解完没检验x =3是不是原方程的解．［师］检验的结果如何呢？［生］把x =3代入原方程中，使方程的分母x －3和3－x 都为零，即x =3时，方程中的分式无意义，因此x =3不是原方程的根．［师］它是去分母后得到的整式方程的根吗？［生］x =3是去分母后的整式方程的根．［师］为什么x =3是整式方程的根，它使得最简公分母为零，而不是原分式方程的根呢？同学们可在小组内讨论．（教师可参与到学生的讨论中，倾听同学们的想法）［生］在解分式方程时，我们在分式方程两边都乘以最简公分母才得到整式方程．如果整式方程的根使得最简公分母的值为零，那么它就相当于分式方程两边都乘以零，不符合等式变形时的两个基本性质，得到的整式方程的解必将使分式方程中有的分式分母为零，也就不适合原方程了．［师］很好！分析得很透彻，我们把这样的不适合原方程的整式方程的根，叫原方程的增根． 在把分式方程转化为整式方程的过程中会产生增根．那么，是不是就不要这样解？或采用什么方法补救？［生］还是要把分式方程转化成整式方程来解．解出整式方程的解后可用检验的方法看是不是原方程的解．［师］怎样检验较简单呢？还需要将整式方程的根分别代入原方程的左、右两边吗？［生］不用，产生增根的原因是这个根使去分母时的最简公分母为零造成的．因此最简单的检验方法是：把整式方程的根代入最简公分母．若使最简公分母为零，则是原方程的增根；若使最简公分母不为零，则是原方程的根．是增根，必舍去．［师］在解一元一次方程时每一步的变形都符合等式的性质，解出的根都应是原方程的根．但在解分式方程时，解出的整式方程的根一定要代入最简公分母检验．小亮就犯了没有检验的错误．Ⅲ．应用，升华1．解方程：（1）13-x =x 4；（2）1210-x +x215-=2． 2．回顾，总结想一想解分式方程一般需要经过哪几个步骤？［师］同学们可根据例题和练习题的步骤，讨论总结．［生］解分式方程分三大步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化分式方程为整式方程；（2）解这个整式方程；（3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，应舍去．使最简公分母不为零的根才是原方程的根．3．补充练习解分式方程：（1）x 9000=300015000+x ； （2）x h 2=x a a -（a ，h 常数） Ⅳ．课时小结［师］同学们这节课的表现很活跃，一定收获不小．［生］我们学会了解分式方程，明白了解分式方程的三个步骤缺一不可．［生］我明白了分式方程转化为整式方程为什么会产生增根．［生］我又一次体验到了“转化”在学习数学中的重要作用，但又进一步认识到每一步转化并不一定都那么“完美”，必须经过检验，反思“转化”过程．Ⅴ．活动与探究若关于x 的方程31--x x =932-x m 有增根，则m 的值是____________． 第3课时教学目标（一）教学知识点1．用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题．2．用分式方程来解决现实情境中的问题．（二）能力训练要求1．经历运用分式方程解决实际问题的过程，发展抽象概括、分析问题和解决问题的能力．2．认识运用方程解决实际问题的关键是审清题意，寻找等量关系，建立数学模型．（三）情感与价值观要求1．经历建立分式方程模型解决实际问题的过程，体会数学模型的应用价值，从而提高学习数学的兴趣．2．培养学生的创新精神，从中获得成功的体验．教学重难点教学重点：1．审明题意，寻找等量关系，将实际问题转化成分式方程的数学模型．2．根据实际意义检验解的合理性．教学难点：寻求实际问题中的等量关系，寻求不同的解决问题的方法．教学过程Ⅰ．提出问题，引入新课［师］前两节课，我们认识了分式方程这样的数学模型，并且学会了解分式方程． 接下来，我们就用分式方程解决生活中实际问题．Ⅱ．讲授新课做一做某单位将沿街的一部分房屋出租．每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9．6万元，第二年为10．2万元．（1）你能找出这一情境的等量关系吗？（2）根据这一情境，你能提出哪些问题？［师］现在我们一块来寻求这一情境中的等量关系．［生］第二年每间房屋的租金=第一年每间房屋的租金+500元．（1） ［生］还有一个等量关系：第一年租出的房屋间数=第二年租出的房屋的间数．［师］根据“做一做”的情境，你能提出哪些问题呢？在我们的数学学习中，提出问题比解决问题更重要．同学们尽管提出符合情境的问题．［生］问题可以是：每年各有多少间房屋出租？ ［生］问题也可以是：这两年每年房屋的租金各是多少？［师］下面我们就来先解决第一个问题：每年各有多少间房屋出租？ ［师生共析］解：设每年各有x 间房屋出租，那么第一年每间房屋的租金为x96000元，第二年每间房屋的租金为x 102000元，根据题意，得x 102000=x96000+500 解这个方程，得x =12经检验x =12是原方程的解，也符合题意． 所以每年各有12间房屋出租．［师］我们接着再来解决第二个问题：这两年每间房屋的租金各是多少？ ［生］根据第一问的答案可计算，得：第一年每间房屋的租金为1296000=8000（元）， 第二年每间房屋的租金为12102000=8500（元）．［师］如果没有第一问，该如何解答第二问？［生］解：设第一年每间房屋的租金为x 元，第二年每间房屋的租金为（x +500）元．第一年租出的房间为x 96000间，第二年租出的房间为500102000+x 间，根据题意，得 x 96000= 500102000+x 解，得x =8000x +500=8500（元）经检验：x =8000是原分式方程的解，也符合题意． 所以这两年每间房屋的租金分别为8000元，8500元．［师］我们利用分式方程解决了实际问题．现在我们再来看一个例题，我们可以从中感受到节约用水是每个公民应该关心的事情．［例3］某自来水公司水费计算办法如下：若每户每月用水不超过5m 3，则每立方米收费1.5元；若每户每月用水超过5m 3，则超出部分每立方米收取较高的定额费用．1月份，张家用水量是李家用水量的32，张家当月水费是17.5元，李家当月水费是27.5元．超出5 m 3的部分每立方米收费多少元？［师］解决实际情境问题，最关键的是什么呢？ ［生］审清题意，找出题中的等量关系．［师］很好．某自来水公司水费计算办法可用表格表示出来（如下表）你们找到题中的等量关系了吗？［生］此题主要的等量关系是：1月份张家用水量是李家用水量的32． ［师］怎样表示出张家1月份的用水量和李家1月份的用水量呢？［生］根据自来水公司水费计算的办法，用水量可以用水费除以单价得出，但计算时要将水费分成两部分：5m 3的水费与超出5m 3部分的水费． ［师］下面我们就来用等量关系列出方程．［师生共析］设超出5m 3部分的水，每立方米收费设为x 元，则1月份， 张家超出5m 3的部分水费为（17．5－1．5×5）元，超出5m 3的用水量为x55.15.17⨯-m 3，总用水量为5+x55.15.17⨯-；李家超出5m 3部分的水费为（27.5－1.5×5）元，超出5m 3的用水量为x55.15.27⨯-m 3，总用水量为（5+x55.15.27⨯-）m 3根据等量关系，得x 55.15.17⨯-+5=（x55.15.27⨯-+5）×32解这个方程，得x =2． 经检验x =2是所列方程的根．所以超出5m 3部分的水，每立方米收费2元． Ⅲ．随堂练习小芳带了15元钱去商店买笔记本．如果买一种软皮本，正好需付15元钱．但售货员建议她买一种质量好的硬皮本，这种本子的价格比软皮本高出一半，因此她只能少买一本笔记本．这种软皮本和硬皮本的价格各是多少？ ［师］我们先来找到题中的等量关系． ［生］题中的等量关系有两个：15元钱买的软皮本的本数=15元钱买的硬皮本的本数+1本． 硬皮本的价格=软皮本的价格×（1+21） ［师］我们找到了等量关系，接下来请同学们在练习本上完成第1题．［生］解：设软皮本的价格为x 元，则硬皮本的价格为（1+21）x 元，那么15元钱可买软皮本x 15本，硬皮本x )211(15+本．根据题意，得，x 15=x)211(15++1解，得x =5经检验x =5是原方程的根，也符合题意，所以（1+21）x =23×5=7.5（元） 故这种软皮本和硬皮本的价格各为5元、7.5元． Ⅳ．课时小结列方程解决实际情境中的具体问题，是数学实用性最直接的体现，而解决这一问题是如何将实际问题建立方程这样的数学模型，关键则在于审清题意，找出题中的等量关系，找到它就为列方程指明了方向． Ⅴ．活动与探究如图，小明家、王老师家、学校在同一条路上．小明家到王老师家路程为3km ，王老师家到学校的路程为0.5km ，由于小明父母战斗在抗“非典”第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？第五章 分式与分式方程5.2 分式的乘除法1．计算a aa a ÷⨯÷1的结果为（ ）A ．1B ．aC ．a 1D ．21a2．2322n m m n m n ÷÷-的结果为（ ）A ．22nm B ．32nm - C ．4mn -D ．n -3．填空22-= ；2(2)-= ；0(2)-= ；02= ；32-= ；3(2)--= ；21()2= ；21()2-= ；2()a b = ；2()ab-= ；322()x y -= ；()3222x y x y --⋅= ；()32222(3)x y x y --÷= ；()=---2322b a ； ()=-3323b a ； ()=--2525b a .4.计算：（1）ax y b byx a 692222-⋅- （2）)8(5122y x a xy -÷ （3）aa b a bb a a -÷-222 （4）222244164168x x x x x x ++-÷-+-（5）3196222-+⋅-+-x xx x x x （6）．()22224244y x y x y xy x -÷+++（7）344964222-++÷+--x x x x x x （8）()141441222--⋅+÷++-x x x x x x（9）3191961222++⋅--÷+--a a a a a a a （10）()()3233222---⋅b a b a（11）34223x y z ⎛⎫- ⎪⎝⎭（12）2332232a ay xy x ⎛⎫⎛⎫÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（13）2334232263ab a c c d b b ⎛⎫-⎛⎫÷⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭()312a b - （14）()32222a b a b ---。

八年级数学下册5.４.3 分式方程教案（新版）北师大版编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级数学下册5.４.3 分式方程教案(新版）北师大版)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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课题：５。

4．3分式方程教学目标：1.能运用列表法将实际问题中的等量关系用分式方程表示,体会分式方程的模型作用.2.经历“实际问题－分式方程模型-解分式方程-检验合理性”的过程,发展学生分析问题、解决问题的能力,培养学生的应用意识．教学重点与难点：重点：１．审明题意，寻找等量关系,将实际问题转化成分式方程的数学模型.2.根据实际意义检验解的合理性.难点:寻求实际问题中的等量关系,寻求不同的解决问题的方法.课前准备:多媒体课件．教学过程:一、温故知新,引入新课（投影问题)1．解分式方程的步骤？２.解下列分式方程:214111x x x +-=--. 3.列一元一次方程解应用题的一般步骤有哪些?处理方式：教师利用多媒体展示,学生独立思考、交流，学生小组间竞争抢答.找两名学生口述第１题和第3题过程，再找两名学生板演第2题，其他学生在下面做题,教师巡视,然后由学生纠错，并强调注意事项；教师多媒体展示结果。

1.(1）能化简的先化简;(2)方程两边同乘以最简公分母，化分式方程为整式方程；(3）解整式方程;(4)验根.2．省略。

３.(1）审；（２)设；(３）列;（４）解；(5)答．你能用所学过的知识和方法为下列应用题列出方程吗?做一做:(投影)某单位将沿街的一部分房屋出租。

每间房屋的租金第二年比第一年多５00元,所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10．2万元.(１)你能找出这一情境的等量关系吗?（2）根据这一情境，你能提出哪些问题?（3)这两年每间房屋的租金各是多少?处理方式：学生先独立阅读解答,然后互相交流。

第五章分式与分式方程5.4.3 分式方程【教学内容】列出分式方程解决简单的应用题【教学目标】知识与技能经历将实际问题中的等量关系用分式方程表示的过程；掌握列分式方程解应用题的一般步骤；会列出分式方程解决简单的应用题，提高学生的分析问题、解决问题的能力和应用意识；过程与方法提高学生的分析问题、解决问题的能力和应用意识；对所求出的分式方程的根进行检验的思想的重视情感、态度与价值观让学生经历操作、实验、发现、确认等数学活动，体会数学观点，培养学生的数学意识。

【教学重难点】重点：列出分式方程解决简单的应用题难点：对所求出的分式方程的根进行检验的思想的重视【导学过程】【知识回顾】列方程解应用题的一般步骤【情景导入】1、列分式方程解应用题的一般步骤：（1）：审清题意；（2）：设未知数；（3）：找出等量关系；（4）：列出分式方程；（5）：解这个分式方程；（6）：检验，既要验证根是否是所列分式方程的根，又要检验根是否符合题意；（7）：写出答案。

2、列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题的区别：列分式方程解应用题时要注意，既要验证求出的未知数的值是否是所列分式方程的根，又要检验根是否。

【新知探究】探究一、甲、乙两人加工同一种玩具，甲加工90个玩具所用的时间与乙加工120个玩具所用的时间相等，已知甲、乙两人每天共加工35个玩具，求甲乙两人每天各加工多少个玩具？解题方案：解：设甲每天加工x个玩具，则乙每天加工（）个玩具，①甲加工90个玩具所用的时间为_______，乙加工120个玩具所用的时间为_______；②根据题意,列出相应方程__________________；③解这个方程得___________；④检验： ____________；⑤答：甲每天加工________个玩具，乙每天加工_________个玩具。

探究二、例3 某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨31.小丽家去年12月的水费是15元，而今年7月的水费则是30元。

北师大版数学八年级下册5.4《分式方程的应用》（第3课时）教学设计一. 教材分析北师大版数学八年级下册5.4《分式方程的应用》是学生在掌握了分式方程的基本知识后，进一步学习如何运用分式方程解决实际问题的章节。

本节课通过具体的实例，让学生了解分式方程在实际生活中的应用，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了分式方程的基本知识，能够解简单的分式方程。

但学生在解决实际问题时，可能会对将实际问题转化为分式方程有一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生正确地将实际问题转化为分式方程，并运用已知的知识解决实际问题。

三. 教学目标1.理解分式方程在实际生活中的应用。

2.能够将实际问题转化为分式方程，并运用分式方程解决实际问题。

3.提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：理解分式方程在实际生活中的应用，能够将实际问题转化为分式方程，并运用分式方程解决实际问题。

2.教学难点：将实际问题转化为分式方程，并运用分式方程解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，引导学生通过自主学习、合作学习、探究学习的方式，解决实际问题。

教师在教学过程中，起到引导、启发、解答疑问的作用。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生运用分式方程解决实际问题。

2.准备PPT，用于展示相关的实例和讲解。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提出一个实际问题，引导学生思考如何将实际问题转化为分式方程。

例如：某班有男生和女生共50人，男生是女生的3倍，求男生和女生各有多少人？2.呈现（10分钟）教师通过PPT呈现相关的实例，让学生了解分式方程在实际生活中的应用。

例如：某商品的原价是100元，打8折后的价格是多少？3.操练（10分钟）教师提出一些实际问题，让学生独立解决，并将答案与同学进行交流。

例如：某数的平方加上这个数等于12，求这个数是多少？4.巩固（10分钟）教师引导学生总结解题的步骤和注意事项，巩固所学知识。

5.4.2 分式方程
教学目标：
1．经历探索分式方程解法的过程，会解可化为一元一次方程的分式方程,会检验根的合理性;
2.经历“求解－解释解的合理性”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识。

3.在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值。

教学重点：
1.解分式方程的一般步骤，熟练掌握分式方程的解决.
2.明确解分式方程验根的必要性.
教学难点：明确分式方程验根的必要性.
教学过程：
教学补充 一、复习引入：
同学们你认识下面的方程吗? 会对它们求解吗?
3x －2y = 6
2x + y = 8
6
22213--=-x x
二、讲授新课
解方程6
22213--=-x x 解：方程两边都乘以6，得 6*)622(6*213--=-x x
3（3x-1）=12-(x-2)
解这个方程，得x=
1017 仿上例完成 例1.解方程：452600480=-x
x 解：方程两边都乘以2x ，得x x x
x 2*452)2600480(=- 960－600=90 x
解这个方程，得x = 4
检验：将x=4代入原方程，得 左边=45=右边
所以，x=4是原方程的根。

解分式的关键：把分式方程化为整式方程。

()x x -=-11432{
3129+=x x。

平行四边形的性质第1课时平行四边形边和角的性质【学习目标】:1．掌握平行四边形的有关概念及性质（对边平行且相等,对角相等）【回顾与思考】:活动一:准备两个全等的三角形,将它们相等的一组边重合,得到一个四边形.(1)你得到了怎样的四边形?与同伴交流一下(2)观察拼出的这样一个四边形,这个四边形的对边有怎样的位置关系?为什么?(3)平行四边形的定义: 的四边形叫做平行四边形.平行四边形连成的线段叫做对角线如图,四边形ABCD 是平行四边形,记作” ”活动二:(1)观察你所拼的平行四边形中,有哪些相等的线段.相等的角?为什么?(2)平行四边形的性质:平行四边形的对边平行四边形的对角几何语言:∵四边形ABCD 是平行四边形（已知） ∴AB= ,BC= （ ）∠A = ,∠B = （ ）【知识应用】:1． □ABCD 中,AB=3,BC=5,则AD= CD= 。

2． □ABCD 中,∠B=60°,则∠A= ,∠C= ,∠D= 。

3. 如图:四边形ABCD 是平行四边形。

B（1）边AB.BC的长度（2）求∠D.∠C度数。

【当堂反馈(小测)】:1.已知□ABCD中,∠B=70°,则∠A=______,∠C=______,∠D=______.2.在□ABCD中,∠A +∠C =270°,则∠B=______,∠C=______.；3.在□ABCD中,AB=3,BC=4,则□ABCD的周长等于_______.4.平行四边形的周长等于56 cm,两邻边长的比为3∶1,那么这个平行四边形较长的边长为_______.5.已知,如图,□ABCD中,∠A=70°,AD=5 cm,求∠B,∠C,∠D的度数及BC的长度。

6.已知,如图,□ABCD中,∠CAD=20°,∠D=50°,求∠B,∠BCD的度数【巩固提升】:1.已知□ABCD中,∠B=70°,则∠A =______,∠D =______。

《分式方程》（第3课时）教案doc初中数学[教学目标]1. 明白分式方程的意义, 会解可化为一元一次方程的分式方程.2, 了解分式方程产生增根的缘故, 会判定所求得的根是否是分式方程的增根.3. 会列出方程解决简单的实际咨询题, 并能依照实际咨询题的意义检验所得结果是否合理.此外, 通过经历〝实际咨询题一建立数学模型(方程)一讲明、应用与拓展〞的过程, 体验解决咨询题的差不多策略, 进展应用意识和解决咨询题的技能．[教学过程(第三课时)]1. 情境创设课本以3个实际咨询题, 引导学生学习用分式方程解决实际咨询题的差不多方法, 进一步感受〝实际咨询题一建立方程一求解并讲明〞的过程.有时, 所列出的分式方程尽管有解, 但解却不符合实际情形, 这时原实际咨询题无解, 例3的设置正是为了表达这一点．2. 探究活动采纳〝个人摸索一小组交流一汇报方案’’的方式, 尝试从不同角度寻求解决咨询题的方法, 并能用文字、图表等手段清晰地表达解决咨询题的过程, 并会讲明结果的合理性. 例如:关于例4, 有以下两种解决方案可供选择:假设每小组有x名学生, 可得分式方程: , 解得x=10, 即每小组有10名学生；假设原先每人平均做c面彩旗, 可得分式方程：, 解得x=8, 从而确定每个小组有 10名学生.例5能够仿惯例4设计解决方案, 但由于例5中的数量关系较例4略为复杂, 因此可用表格的方式进行分析, 找出数量之间的相等关系, 从而得到方程．如：依照〝乙公司比甲公司人均多捐20元〞, 得方程:通过例6的探究和求解, 让学生感受在解决实际咨询题时, 存在如此的现象: 所列方程以及求得的根尽管正确, 但不符合咨询题的实际意义, 因此原实际咨询题仍旧无解.解分式方程(组)的检验是不可缺少的步骤．只是要注意检验的目的有两个方面：一方面是看所得数值是不是原方程的增根, 另一个方面, 关于应用题来讲, 还要检查所得的解是否合乎实际意义。

北师大版数学八年级下册第五章分式与分式方程4．分式方程（3）总体说明本节是本章的第4小节，共三课时，这是第三课时.本节课主要让学生经历“实际问题——建立分式方程模型——求解——检验”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识．教学中设置丰富的实例，关注学生从现实生活中发现并提出数学问题的能力，关注学生能否尝试用不同方法寻求问题中的数量关系，并用分式方程表示，能否表达自己解决问题的过程．一、学情分析应用题的解答对学生来说始终是一个难点.这些问题，要么背景鲜活，学生缺少对问题的最基本的感性认识，解答时比较茫然；要么文字繁多，学生阅读理解起来很费劲，容易造成视觉上的疲劳；要么数量关系复杂，隐蔽性较强，学生不知从哪里下手.初中生解决应用题困难的原因主要表现在以下三方面：第一，生活经验匮乏；第二，阅读和理解文字的能力欠缺；第三，分析问题的方法和技巧欠缺.学生的知识技能基础：前两节课，学生认识了分式方程这样的数学模型，并且学会解分式方程，为本节课用分式方程解决生活中的实际问题打下了基础.学生活动经验基础：在本节第一课时学生经历了用分式方程来刻画现实世界问题的过程，也经历了探索解分式方程的过程，获得了一些数学活动经验和体验，同时在以前学习了列一元一次方程、二元一次方程组解应用题，为本节分式方程的应用打下了基础.二、教学任务分析学生在学习了分式方程以及分式方程的解法并能熟练地解方程之后，如何将这些技能应用于现实生活当中，也就是将生活中某些问题模型化，本节课安排了《分式方程》的第三课时，旨在培养学生的应用意识和解决实际问题的能力.教学目标：知识与技能1.用分式方程的数学模型反映现实情况中的实际问题；2.用分式方程来解决现实情境中的问题；3.会检验解的合理性.过程与方法1.经历“实际问题情境——建立分式方程模型——求解——检验”的过程，发展抽象概括、分析问题和解决问题的能力，增强学生学数学、用数学的意识．2.认识运用方程解决实际问题的关键是审清题意，寻找等量关系，建立数学模型. 情感、态度与价值观1.通过创设贴近学生生活实际的现实情境，增强学生的应用意识，培养学生对生活的热爱．2.培养学生的创新精神，从中获得成功的体验.教学重点1.审明题意，寻找等量关系，将实际问题转化为分式方程的数学模型.2.根据实际意义检验解的合理性.教学难点多角度分析问题，确立等量关系，列出正确的分式方程.教学策略着力引导---主动参与---有效建构.三、教学过程分析第一环节 复习回顾活动内容：1.解分式方程的一般步骤有哪些？2.解方程 214111x x x +-=--. 3.列一元一次方程解应用题的一般步骤有哪些？活动目的：回顾上节课知识，检查学生掌握情况，复习列一元一次方程解应用题的一般步骤，引出新问题.注意事项：注意学生解分式方程书写的规范性，引导学生回忆列一元一次方程解应用题的一般步骤.第二环节 探究新知活动内容：某单位将沿街的一部分房屋出租.每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元.（1）你能找出这一情境中的等量关系吗？（2）根据这一情境，你能提出哪些问题？（3）你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗？活动目的：引导学生通过独立思考和小组讨论的形式，用所学过的列方程解应用题的一般方法去解决问题，鼓励学生大胆尝试，形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神．注意事项：引导学生按“审---写（设---列---解---验---答）”的步骤解决问题. 第三环节 小试牛刀活动内容：例 某市从今年1月1日起调整居民用水价格， 每立方米水费上涨13．小丽家去年12月份的水费是 15 元，而今7月份的水费则是30 元．已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多53m ，求该市今年居民用水的价格．活动目的：引导学生从不同角度寻求等量关系，发展学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识注意事项：引导学生按“审---写（设---列---解---验---答）”的步骤解决问题.强调验根的必要性.第四环节 感悟升华活动内容：列分式方程解应用题的一般步骤是什么？活动目的：使学生明确列分式方程解应用题的一般步骤，及每一步应注意的问题. 注意事项：让学生类比列一元一次方程解应用题的一般步骤总结出列分式方程解应用题的一般步骤.强调两次验根的重要性.第五环节 巩固练习活动内容：1.甲、乙两班学生参加植树造林，已知甲班每天比乙班多植5棵树，甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数想等，若设甲班每天植树x 棵，则根据题意列出的方程是（ ） 8070A 5.x x =-8070B 5.x x =+8070C 5.x x =+8070D 5.x x =-2.小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书．科普书的价格比文学书高出一半，他们所买的科普书比所买的文学书少1 本．这种科普书和这种文学书的价格各是多少？活动目的：使学生体会丰富的实例，巩固用分式方程解决实际问题的技巧．注意事项：要求学生按“审---写（设---列---解---验---答）”的步骤解决问题.强调验根的必要性.第六环节 自我小结活动内容：1．内容小结今天这节课大家有什么收获？你学到了哪些知识？2．方法归纳本节课的学习过程中，你有什么感想？活动目的：通过学生的回顾与反思，强化学生对利用列分式方程解应用题的理解，发展学生的观察能力和逆向思维能力．注意事项：引导学生回顾自己的学习过程，畅所欲言，只要有道理教师就应给予肯定，同时提高学生语言组织能力和反思概括能力.课后作业：必做题：习题5.9 第 1、2题；选做题：习题5.9 第3题.拓展思考题：已知，关于x 的方程432212-=++-x x k x 无解，求k 的值. 板书设计：5.4 分式方程（3）列分式方程解应用题的一般步骤： 例题解析引例分析 学生演练 四、教学设计反思本节课循序渐进，合理设计教学问题系列，有效组织教学活动，既发挥教师的主导作用，又体现学生的主体地位，较好地完成了教学目标．教学中应结合具体的数学内容采用“问题情境-建立模型-解释、应用与拓展”的模式展开，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义，掌握必要的基础知识与基本技能，发展应用数学知识的意识与能力，增强学好数学的愿望和信心．在教学形式上采用学生口述、互评等多种方法，激活学生的思维，营造良好的课堂氛围．。

5.4《分式方程》教学设计第3课时一、教学目标1.经历“实际问题情境——建立分式方程模型——求解——解释解的合理性”的过程，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，增强学生学数学、用数学的意识．2.会用分式方程解决简单的实际问题．二、教学重点及难点重点：分式方程的应用．难点：将实际问题中的等量关系用分式方程表示并且求得结果．三、教学用具多媒体课件四、教学过程【问题导入】教师提出问题：列方程的步骤是什么？引导学生归纳列方程的基本步骤：一审：审清题意，弄清已知量与未知量之间的数量关系和相等关系．二设：设未知数．三列：列代数式，列方程．【探究新知】某单位将沿街的一部分房屋出租．每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元．（1）你能找出这一情境中的等量关系吗?（2）根据这一情境你能提出哪些问题?（3）你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗?答案：（1）等量关系包括：第二年每间房屋的租金=第一年每间房屋的租金+500；第一年出租房屋的间数=第二年出租房屋的间数；出租房屋的间数=所有出租房屋的租金．每间房屋的租金（2）求出租房屋的总间数；分别求出两年每间房屋的租金．（3）解：设第一年每间房屋的租金为x元，则第二年每间房屋的租金为(x＋500)元．由题意得96000102000500 x x=+．方程两边乘x (x ＋500)，得96(x ＋500)＝102x ．解这个方程，得x =8000．经检验x =8000是原方程的根，所以x ＋500=8500．因此第一年每间房屋的租金为8000元，则第二年每间房屋的租金为8500元．设计意图：引导学生从不同角度寻求等量关系，发展学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识．【典例精讲】某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨31，小丽家去年12月份的水费是15元，而今年7月份的水费则是30元．已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5立方米，求该市今年居民用水的价格．分析：此题的主要等量关系是：小丽家今年7月的用水量－小丽家去年12月的用水量=5 m 3．所以，首先要表示出小丽家这两个月的用水量，而用水量可以用水费除以水的单价得出．解：设该市去年居民用水的价格为x 元/m 3．则今年的水价为11+3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭元/m 3，根据题意，得 30155113x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 解这个方程，得32x =． 经检验32x =是所列方程的根． 311223⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭（元/m 3）． 所以该市今年居民用水的价格为2元/m 3．首先，老师询问学生家中的每月用水情况，要求学生能关心家庭生活，又得到了节约用水的教育．学生根据一个月的总水费等于每一吨水费乘以一个月的用水的总吨数，再根据“小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5立方米”这一条件，列出等量关系式，从而列出分式方程，有了前面的基础，学生能很快和老师一起完成上述过程．设计意图：引导学生一起完成“设未知数——分析等量关系——列代数式——列出方程——解方程——验证解的合理性”这一完整过程，并规范书写．【课堂练习】小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书．科普书的价格比文学书高出一半，困此他们所买的科普书比所买的文学书少1本，这种科普书和这种文学书的价格各是多少？解：设这种文学书的价格为x 元/本．则科普书的价格为1.5x 元/本，根据题意，得151511.5x x=+． 解这个方程，得x =5．经检验x =5是所列方程的根，且符合题意．所以1.5x=1.5×5=7.5（元/本）．答：这种文学书的价格为5元/本．则科普书的价格为7.5元/本．【课堂小结】列分式方程解应用题的步骤：（1）审：审清题意，了解已知量与所求量各是什么，找出等量关系；（2）设：设未知数（要有单位）；（3）列：依据等量关系，列出相应的分式方程；（4）解：解方程；（5）验：看方程的解是否满足方程和符合题意；（6）答：写出答案（要有单位）．【板书设计】解：设该市去年居民用水的价格为x 元/m 3．则今年的水价为11+3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭元/m 3，根据题意，得 30155113x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 解这个方程，得32x =． 经检验32x =是所列方程的根． 311223⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭（元/m 3）．所以该市今年居民用水的价格为2元/m3．列分式方程解应用题的步骤：（1）审（2）设（3）列（4）解（5）验（6）答。

5.4分式方程课题八年级下册5.4分式方程（第3课时）学习目标1、能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用．2、经历“实际问题——分式方程模型——求解——解释解的合理性”的过程．学习重点1、审清题意，寻找等量关系，将实际问题转化为分式方程的数学模型。

2、根据实际意义检验解的合理性。

学习难点将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用．教学流程学校年级组二备教师课前备自主学习尝试解决1.列一元一次方程解应用题的一般步骤有哪些？2.列一元一次方程解下列应用题:某工人原计划13小时生产一批零件，后因每小时多生产10件，用12小时不但完成了任务，而且还比原计划多生产了60件，问原计划生产多少零件?3.解方程：xx1803120=+交一、阅读课本129页，回答以下问题：2、列分式方程解实际问题的关键是什么？零件，求甲、乙每小时各做多少个？工作总量工作效率工作时间甲乙根据题意列方程得：______________________答：__________________________________________例5:某校师生到距学校20千米的公路旁植树，甲班师生骑自行车先走，45分钟后，乙班师生乘汽车出发，结果两班师生同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，求两种车的速度各是多少?(参考上例列表格分析)课堂达标训练1某化肥厂计划在x天内生产化肥120吨，由于采用了新技术，每天多生产化肥3吨，实际生产180吨与原计划成本生产120吨的时间相等，那么适合x的方程是（）A．xx1803120=+B.xx1803120=-C.3180120+=xxD.3180120-=xx2．全民健身活动中，组委会组织了长跑队和自行车进行宣传，全程共10千米，自行车队速度是长跑队的速度的2.5倍，自行车队出发半小时后，长跑队才出发，结果长跑队比自行车车队晚到了2小时候，如果设长跑队跑步的速度为x千米/时，那么根据题意可列方程为（）A215.210210+=+xxB.5.02105.210-=-xxC5.025.21010-=-xxD.5.025.21010+=-xx3.甲、乙两名学生练习计算机打字，甲打一篇1000字的文章与乙打一篇900字的文章所用时间相同.已知甲每分钟比乙每分钟多打5个字.问：甲、乙每分钟各打多少字？4.小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书．科普书的价格比文学书高出一半，困此他们所买的科普书比所买的文学书少1本，这种科普书和这种文学书的价格各是多少？学习小结1、本节课你有哪些收获？2、预习时的疑难解决了吗？你还有哪些疑惑？3、你认为老师上课过程中还有哪些须要注意或改进的地方2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．若一次函数(3)y a x a =--的图象经过第二、三、四象限，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≠3B ．a ＞0C ．a ＜3D ．0＜a ＜32．如果关于x 的分式方程131k x x=+有增根，则增根的值为（ ） A ．0B ．-1C ．0或-1D ．不存在3．随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只有0.0000007（毫米2），数据0.0000007用科学记数法表示为（ ） A ．6710-⨯B ．60.710-⨯C ．7710-⨯D ．87010-⨯4．如图，在▱ABCD 中，AB=6，AD=9，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE ，垂足为G ，若BG=42，则△CEF 的面积是（ ）A ．2B 2C ．32D ．25．已知2416x mx ++是完全平方式，则m 的值为（ ） A ．2B ．4C ．2±D ．4±6．若(x-9)(2x-n)=2x 2+mx-18，则m 、n 的值分别是( ) A ．m=-16，n=-2 B ．m=16，n=-2C ．m=-16，n=2D ．m=16，n=27．在函数23y x =-中x 的取值范围是（ ） A ．3x >B ．3x >-C ．3x ≠D ．3x ≠-8．在平面直角坐标系中，下列各点位于第四象限的是（ ） A ．()2019,2020- B ．()2019,2020C ．()2019,2020--D ．()2019,2020-9．正比例函数y= -2x 的图象经过（ ）A ．第三、一象限B ．第二、四象限C ．第二、一象限D ．第三、四象限10．下列矩形都是由大小不等的正方形按照一定规律组成，其中，第①个矩形的周长为6，第②个矩形的周长为10，第③个矩形的周长为16，…则第⑥个矩形的周长为（ ）① ② ③④A．42 B．46 C．68 D．72二、填空题11．如图，已知∠EAD=30°，△ADE绕点A旋转50°后能与△ABC重合，则∠BAE=_________°.12．一次跳远中，成绩在4.05米以上的人有8人，频率为0.4，则参加比赛的运动员共有____人.13．计算：23⨯=______．14．分解因式：34x x-=______．15．如图，ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为．16．若代数式132x-的值大于﹣1且小于等于2，则x的取值范围是_____．17．若二次根式4x-有意义，则实数x的取值范围是__________.三、解答题18．如图，在ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E在BC上，且AB AE=，连接EO并延长交AD于点F．过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．（1）求证：DF BE=；（2）若45ACB∠=︒．①求证：BAG BGA∠=∠；②探索DF与CG的数量关系，并说明理由．19．（6分）某校学生会调查了八年级部分学生对“垃圾分类”的了解程度（1）在确定调查方式时，学生会设计了以下三种方案，其中最具有代表性的方案是________；方案一：调查八年级部分男生； 方案二：调查八年级部分女生；方案三：到八年级每个班去随机调查一定数量的学生．（2）学生会采用最具有代表性的方案进行调查后，将收集到的数据绘制成如下两幅不完整的统计图，如图①、图②.请你根据图中信息，回答下列问题： ①本次调查学生人数共有_______名；②补全图①中的条形统计图，图②中了解一点的圆心角度数为_______；③根据本次调查，估计该校八年级500名学生中，比较了解“垃圾分类”的学生大约有_______名.20．（6分）为保护环境，我市公交公司计划购买A 型和B 型两种环保节能公交车共10辆．若购买A 型公交车1辆，B 型公交车2辆，共需400万元；若购买A 型公交车2辆，B 型公交车1辆，共需350万元．（1）求购买A 型和B 型公交车每辆各需多少万元？（2）预计在某线路上A 型和B 型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A 型和B 型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？（3）在（2）的条件下，哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少万元？21．（6分）先化简，再求值：（1﹣11a -）÷2244a a a a-+-．其中a 从0，1，2，﹣1中选取．22．（8分）已知1y -与23x +成正比例， （1）y 是关于x 的一次函数吗？请说明理由；（2）如果当53x =-时，0y =，求y 关于x 的表达式.23．（8分）解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来 （1）1123+->x x（2）3(3)55 3115x xxx-<-⎧⎪+⎨≥-⎪⎩24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b=+图像经过点A(-2,6)，且与x轴相交于点B，与正比例函数3y x=的图像相交于点C，点C的横坐标为1.（1）求,k b的值；（2）请直接写出不等式30kx b x+->的解集.25．（10分）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？参考答案一、选择题（每题只有一个答案正确）1．D【解析】【分析】由一次函数图象经过第二、三、四象限，利用一次函数图象与系数的关系，即可得出关于a 的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【详解】解：∵一次函数(3)y a x a=--的图象经过第二、三、四象限，∴300a a -<⎧⎨-<⎩，解得：0＜a ＜1． 故选：D ． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k ＜0，b ＜0⇔y=kx+b 的图象在二、三、四象限”是解题的关键． 2．A 【解析】 【分析】先把分式方程化成整式方程，再解整式方程求出x 的值，根据方程有增根得出3113kk=--或3013kk=-，解出k 的值即可得出答案. 【详解】131k x x=+ ()31x k x =+33x kx k -=()133k x k -=313kx k=- 又方程有增根 ∴3113k k =--或3013kk=- 无解或k=0 ∴k=0∴增根的值为0 故答案选择A. 【点睛】本题考查的是分式方程的增根问题，属于基础题型，解题关键是根据增根得出整式方程有解，而分式方程无解，即整式方程求出的解使得分式方程的分母等于0. 3．C 【解析】【分析】科学记数法就是将一个数字表示成（a×10的n 次幂的形式），其中1≤|a|＜10，n 表示整数．即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n 次幂．本题0.000 000 1＜1时，n 为负数． 【详解】0.000 000 1=1×10-1． 故选C ． 【点睛】此题考查的是电子原件的面积，可以用科学记数法表示，一般形式为a×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 4．A 【解析】 【分析】 【详解】解：∵AE 平分∠BAD ， ∴∠DAE=∠BAE ；又∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，∴∠BEA=∠DAE=∠BAE ， ∴AB=BE=6，∵BG ⊥AE ，垂足为G ， ∴AE=2AG ．在Rt △ABG 中，∵∠AGB=90°，AB=6，BG=∴=2， ∴AE=2AG=4；∴S △ABE =12AE•BG=142⨯⨯= ∵BE=6，BC=AD=9， ∴CE=BC ﹣BE=9﹣6=3， ∴BE ：CE=6：3=2：1， ∵AB ∥FC ， ∴△ABE ∽△FCE ，∴S△ABE：S△CEF=（BE：CE）2=4：1，则S△CEF=14S△ABE=22．故选A．【点睛】本题考查1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质，综合性较强，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．5．C【解析】【分析】根据完全平方公式的形式，可得答案．【详解】解：已知2416x mx++=x²+4mx+4²是完全平方式，∴4m=±8m=2或m=-2，故选：C．【点睛】本题考查了完全平方公式，注意符合条件的答案有两个，以防漏掉．6．A【解析】【分析】先利用整式的乘法法则进行计算，再根据等式的性质即可求解.【详解】∵(x-9)(2x-n)=2x2-nx-18x+9n=2x2-(n+18)x+9n=2x2+mx-18，∴-(n+18)=m, 9n=-18∴n=-2，m=-16故选A.【点睛】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知整式乘法的运算法则.7．C 【解析】 【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解. 【详解】根据题意得,30x -≠, 解得3x ≠. 故选C. 【点睛】本题考查了函数自变量的范围,一般从三个方面考虑: (1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数; (2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0; (3)当函数表达式是二次根式时,被开方数非负. 8．D 【解析】 【分析】根据第四象限点的坐标特点，横坐标为正，纵坐标为负即可得出答案． 【详解】第四象限点的坐标特点为横坐标为正，纵坐标为负， 只有选项D ()2019,2020-符合条件， 故选D ． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，用到的知识点为：点在第四象限内，那么横坐标大于1，纵坐标小于1． 9．B 【解析】 【分析】根据正比例函数的图象和性质，k>0，图象过第一，三象限，k<0，图象过第二，四象限，即可判断． 【详解】∵正比例函数y= -2x ，k<0，所以图象过第二，四象限，故选:B．【点睛】考查了正比例函数的图象和性质，理解和掌握正比例函数的图象和性质是解题关键，注意系数的正负号决定了图象过的象限．10．C【解析】试题分析：观察图形：第①个矩形的周长为6，第②个矩形的周长为10，第③个矩形的周长为16，通过计算第④矩形的周长为26，前4个矩形的周长有这样的一个规律，第③个的矩形的周长=第①个矩形的周长+第②个矩形的周长，即16=6+10；第④个的矩形的周长=第③个矩形的周长+第②个矩形的周长，即26=10+16；第⑤个的矩形的周长=第③个矩形的周长+第④个矩形的周长，即=26+16=42；第⑥个的矩形的周长=第④个矩形的周长+第⑤个矩形的周长，即=26+42=48考点：矩形的周长点评：本题考查矩形的周长，通过前四个2的周长找出规律是本题的关键，考查学生的归纳能力二、填空题11．20【解析】【分析】利用旋转的性质得出∠DAB=50°，进而得出∠BAE的度数.【详解】解：∵∠EAD=30°，△ADE绕着点A旋转50°后能与△ABC重合，∴∠DAB=50°，则∠BAE=∠DAB-∠DAE=50°-30°=20°.故答案为：20.【点睛】此题主要考查了旋转的性质，得出旋转角∠DAB的度数是解题关键.12．20【解析】【分析】根据频率的计算公式即可得到答案.【详解】÷=解：80.420所以可得参加比赛的人数为20人.故答案为20.【点睛】本题主要考查频率的计算公式，这是数据统计的重点知识，必须掌握.13．6． 【解析】 解：23⨯=6；故答案为：6．点睛：此题考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的运算法则：乘法法则a b ab ⋅=是本题的关键．14．x （x +2）（x ﹣2）．【解析】试题分析：34x x -=2(4)x x -=x （x+2）（x ﹣2）．故答案为x （x+2）（x ﹣2）．考点：提公因式法与公式法的综合运用；因式分解．15．1．【解析】 ∵ABCD 的周长为33，∴2（BC+CD ）=33，则BC+CD=2．∵四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC ，BD 相交于点O ，BD=12，∴OD=OB=BD=3． 又∵点E 是CD 的中点，∴OE 是△BCD 的中位线，DE=CD ．∴OE=BC ．∴△DOE 的周长="OD+OE+DE=" OD +12（BC+CD ）=3+9=1，即△DOE 的周长为1． 16．﹣1≤x ＜1．【解析】【分析】先根据题意得出关于x 的不等式组，求出x 的取值范围即可．【详解】解：根据题意，得：13121322x x -⎧>-⎪⎪⎨-⎪⎪⎩①② 解不等式①，得：x ＜1，解不等式②，得：x≥-1，所以-1≤x ＜1，故答案为：-1≤x ＜1．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．17．4x ≥【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件可得x-4≥0，再解即可．【详解】由题意得：x−4⩾0，解得：x ⩾4，故答案为：x ⩾4【点睛】此题考查二次根式有意义的条件，解题关键在于二次根式有意义的条件得到x-4≥0三、解答题18．（1）见解析；（2）①见解析，②DF =，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到∠OAF=∠OCE ，证明△OAF ≌△OCE ，根据全等三角形的对应边相等证明结论；（2）①过A 作AM ⊥BC 于M ，交BG 于K ，过G 作GN ⊥BC 于N ，根据三角形的外角性质得到∠BAG=∠BGA ；②证明△AME ≌△BNG ，根据全等三角形的性质得到ME=NG ，根据等腰直角三角形的性质得到，根据（1）中结论证明即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AD BC ，AD BC =，∴OAF OCE ∠=∠，在OAF ∆和OCE ∆中，OAF OCE OA OCAOF COE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()OAF OCE ASA ∆≅∆∴AF CE =，∵AD BC =，∴DF BE =；（2）①过A 作AM BC ⊥于M ，交BG 于K ，过G 作GN BC ⊥于N ，则90AMB AME BNG ∠=∠=∠=︒，∵45ACB ∠=︒，∴45MAC NGC ∠=∠=︒，∵AB AE =， ∴12BM EM BE ==，BAM EAM ∠=∠， ∵AE BG ⊥，∴90AHK BMK ∠=︒=∠，又AKH BKM ∠=∠，∴MAE NBG ∠=∠，设BAM MAE NBG α∠=∠=∠=，则45BAG α∠=︒+，45BGA GCN GBC α∠=∠+∠=︒+，∴BAG BGA ∠=∠； ②2DF CG =，理由如下：∵BAG BGA ∠=∠，∴AB BG =，∴AE BG =，在AME ∆和BNG ∆中，AME BNG MAE NBG AE BG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AME BNG AAS ∆≅∆，∴ME NG =，在等腰Rt CNG ∆中，NG NC =， ∴2222GC NG ME BE ===， ∴2BE GC =，∵DF BE =，∴2DF CG =.【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及等腰直角三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论．19．（1）方案三；（2）①120；②216；③150.【解析】【分析】（1）由于学生总数比较多，采用抽样调查方式，方案一、方案二只涉及到男生和女生一个方面，过于片面，所以应选方案三；（2）①由不了解的人数和所占的比例可得出调查总人数；②先求出了解一点的人数和所占比例，再用360°乘以这个比例可得圆心角度数；③用八年级学生人数乘以比较了解“垃圾分类”的学生比例可得答案。

5.4 分式方程第3课时分式方程的应用学习目标：1、用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题.2、用分式方程来解决现实情境中的问题.3、经历建立分式方程模型解决实际问题的过程，体会数学模型的应用价值，从而提高学习数学的兴趣.学习重点：1.审明题意，寻找等量关系，将实际问题转化成分式方程的数学模型.2.根据实际意义检验解的合理性.学习难点寻求实际问题中的等量关系，寻求不同的解决问题的方法.学习过程：Ⅰ.提出问题，引入新课前两节课，我们认识了分式方程这样的数学模型，并且学会了解分式方程.接下来，我们就用分式方程解决生活中实际问题.间房屋的租金为__________元，根据题意得方程，解法二：设第一年每间房屋的租金为x元，第二年每间房屋的租金为_______元.第一年租出的房间为__________间，第二年租出的房间为__________间，根据题意得方程，_________本，硬皮本___________本.根据题意得方程，图3－4活动与探究：1、如图，小明家、王老师家、学校在同一条路上.小明家到王老师家路程为3 km，王老师家到学校的路程为0.5 km,由于小明父母战斗在抗“非典”第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学.已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？2、从甲地到乙地有两条公路：一条全长600千米的普通公路，另一条是全长480千米的高速公路。

某客车在高速公路上行驶的速度比在普通公路上快45千米/时，由高速公路从甲地到乙地所需时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半。

求客车在高速公路上行驶的速度。

3、轮船顺水航行40千米所用的时间与逆水航行30千米所用的时间相同，若水流的速度为3千米/时求轮船在静水中的速度？积累与总结：1、列方程解决实际情境中的具体问题，是数学实用性最直接的体现，而解决这一问题是如何将实际问题建立方程这样的数学模型，关键则在于审清题意，找出题中的等量关系，找到它就为列方程指明了方向.2、列分式方程解应用题的一般步骤：（1）审清题意，找出等量关系；（2）设出 __________；（3）列出_________；（4）解分式方程；（5）检验，既要验证是否是原方程的的根，又要验证是否符合题意；（6）写出答案。

北师大版数学八年级下册5.4《分式方程的应用》（第3课时）教案一. 教材分析北师大版数学八年级下册5.4《分式方程的应用》是学生在掌握了分式方程的基本知识后，进一步探讨分式方程在实际问题中的应用。

本节课通过具体的例子引导学生学会如何将实际问题转化为分式方程，并运用已学的分式方程知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了分式方程的基本知识，能够解简单的分式方程。

但是对于将实际问题转化为分式方程并解决实际问题的能力还有一定的欠缺。

因此，在教学过程中，教师需要通过具体的例子引导学生学会如何转化实际问题，并运用分式方程解决实际问题。

三. 教学目标1.理解分式方程在实际问题中的应用。

2.学会如何将实际问题转化为分式方程，并运用分式方程解决实际问题。

3.培养学生的数学应用能力。

四. 教学重难点1.教学重点：理解分式方程在实际问题中的应用，学会如何将实际问题转化为分式方程，并运用分式方程解决实际问题。

2.教学难点：如何引导学生将实际问题转化为分式方程，并运用分式方程解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法，通过具体的例子引导学生学会如何将实际问题转化为分式方程，并运用分式方程解决实际问题。

同时，运用讨论法，让学生在小组内交流讨论，共同解决问题。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生转化为分式方程。

2.准备PPT，用于展示和解题过程。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题，例如：“某工厂生产A、B两种产品，A 产品每件利润为200元，B产品每件利润为300元。

工厂要求每天A、B两种产品的利润之和为1500元，已知A产品每天生产件数是B产品的2倍，问A、B两种产品每天各生产多少件？”让学生思考如何解决这个问题。

2.呈现（15分钟）引导学生将实际问题转化为分式方程，并运用已学的分式方程知识解决实际问题。

例如，可以将问题转化为方程：2x * 200 + x * 300 = 1500其中，x表示B产品每天生产的件数，2x表示A产品每天生产的件数。