专题二十 抛物线的平移

二次函数的平移与变形抛物线的移动之谜二次函数是高中数学学习中的重要内容之一，它描述了一条抛物线的形状。

除了基本的抛物线方程y=ax²+bx+c外，平移与变形是二次函数的常见操作。

本文将探讨二次函数的平移与变形对抛物线的移动产生的影响。

一、平移操作平移是指将函数图像在平面上沿着x轴或y轴方向上移动固定的距离的操作。

对于二次函数y=ax²+bx+c来说，平移操作分别对应了c、b 和a的改变。

1. 沿x轴平移当函数图像沿x轴正方向平移h个单位长度时，抛物线向左平移h 个单位长度；而当函数图像沿x轴负方向平移h个单位长度时，抛物线向右平移h个单位长度。

平移操作的数学表达式如下：y=a(x-h)²+bx+c其中(h, k)为平移后抛物线的顶点坐标。

2. 沿y轴平移当函数图像沿y轴正方向平移k个单位长度时，抛物线向上平移k 个单位长度；而当函数图像沿y轴负方向平移k个单位长度时，抛物线向下平移k个单位长度。

平移操作的数学表达式如下：y=a(x-α)²+b(x-α)+c其中α为平移后抛物线的顶点的x坐标。

二、变形操作变形是指改变二次函数方程中的参数，从而改变抛物线的形状。

常见的变形操作包括改变a、b和c的值。

1. 改变a的值当a的值发生变化时，抛物线的开口方向和形状都会发生变化。

当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。

同时，a的绝对值越大，抛物线越窄；而a的绝对值越小，抛物线越宽。

变形操作的数学表达式如下：y=ax²+bx+c2. 改变b的值当b的值发生变化时，抛物线的对称轴位置和形状都会发生变化。

当b>0时，抛物线的对称轴向右移动；当b<0时，抛物线的对称轴向左移动。

同时，b的绝对值越大，抛物线越陡；而b的绝对值越小，抛物线越平缓。

变形操作的数学表达式如下：y=ax²+bx+c3. 改变c的值当c的值发生变化时，抛物线的顶点位置和整体位置都会发生变化。

根据抛物线的平移规律解题山东 于秀坤有关抛物线平移的题型一般有两种情况：（1）已知抛物线关系式及要平移的单位和方向，求平移后所得的抛物线关系式；（2）已知原抛物线和经过平移后所得的抛物线，说明平移的方向和单位．解决这两类问题的关键是正确找出抛物线平移的规律．抛物线平移规律可由其顶点式2()y a x h k =-+中顶点坐标()h k ，来判断．当h 增大时．图象向右平移；当h 减小时，图象向左平移．当k 增大时，图象向上平移；当k 减小时，图象向下平移．反之，也成立．下面举例说明．一、已知抛物线的关系式求平移后所得抛物线的关系式 例1 将抛物线22y x =先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线的关系式为________．析解：抛物线22y x =的顶点坐标为(00)，， 向右平移3个单位，再向下平移2个单位所得抛物线的顶点坐标为(32)-，，所以所得抛物线的关系式为22(3)2y x =--． 例2 将抛物线23(1)3y x =---先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线关系式为_______．析解： 因为抛物线23(1)3y x =---的顶点坐标为(13)-，， 所以向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度后所得抛物线的顶点坐标是(1235)--+，，即(12)-，，所以所得抛物线的关系式为23(1)2y x =-++．二、已知平移后的抛物线的关系式求原抛物线的关系式例3 将抛物线2()y a x h k =-+先向左平移5个单位，再向下平移4个单位后得抛物线为21(2)32y x =-+-，则原抛物线的关系式为_______． 析解：因为原抛物线的顶点坐标为()h k ，， 向左平移5个单位，再向下平移4个单位后所得抛物线的顶点坐标为(23)--，，由5243h k -=--=-，，得31h k ==，，所以原抛物线的顶点坐标为(31)，．所以原抛物线为21(3)12y x =--+． 三、已知平移前后抛物线的关系式，求平移的方式 例4 将抛物线22(2)5y x =---经过怎样的平移，可得抛物线22(4)3y x =-++？ 析解：因为抛物线22(2)5y x =---的顶点坐标为(25)-，，抛物线22(4)3y x =-++的顶点坐标为(43)-，，又因为426358-=-=-+，，所以将抛物线22(2)5y x =---向左平移6个单位长度，再向上平移8个单位长度，可得抛物线22(4)3y x =-++．例5 已知抛物线223y x x =+-，如何平移此抛物线使其图象与抛物线247y x x =-+的图象完全重合．析解：首先通过配方，得2223(1)4y x x x =+-=+-，2247(2)3y x x x =-+=-+．所以平移前抛物线的顶点坐标为(14)--，，平移后抛物线的顶点坐标为(23)，．因为213=-+，347=-+，所以，只要将抛物线223y x x =+-向右平移3个单位长度，再向上平移7个单位长度，就可与抛物线247y x x =-+的图象完全重合．四、已知平移前的抛物线，求如何平移使其符合某些条件例 6 把抛物线22(1)y x =--向上平移k 个单位使其所得的抛物线经过点(210)--，．求k 的值．析解：设平移后的抛物线为22(1)y x k =--+，即2242y x x k =-++-．因为此抛物线经过点(210)--，，所以将210x y =-=-，代入关系式，得2102(2)4(2)2k -=-⨯-+⨯-+-，解得8k =．。

2012（主要内容）抛物线的平移、轴对称、旋转变换1、抛物线()223y x =+-可以由抛物线2y x =平移得到,则下列叙述正确的是( )A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位 2、抛物线223x y =向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线的解析式 。

3、抛物线5)2(212+--=x y 可以由抛物线1)1(212+--=x y 先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到的。

4、（ 2011庆江津）将抛物线y=x 2－2x 向上平移3个单位,再向右平移4个单位得到的抛物线是____ ___5、函数2x y =的图像与函数2x y -=的图像关于 对称。

6、已知抛物线742+-=x x y(1)写出与它关于y 轴对称的抛物线的解析式 。

(2)写出与它关于x 轴对称的抛物线的解析式 。

(3)写出与它关于原点中心对称的抛物线的解析式 。

(4)写出它绕着顶点旋转180°后得到的抛物线的解析式 。

(5)向右平移 个单位，图像经过点(5,4)。

(6)向下平移 个单位，图像也经过点(5,4)。

7、(2009年鄂州)把抛物线y ＝ax 2+bx+c 的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y ＝x 2－3x+5，则求a+b+c 的.8、（2009宁波市）如图，抛物线254y ax ax a =-+与x 轴相交于点A 、B ，且过点(54)C ，． （1）求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标；（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．9、（2009年衢州）如图，已知点A (-4，8)和点B (2，n )在抛物线2y ax =上．(1) 求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q ，使得AQ +QB 最短，求出点Q 的坐标；(2) 平移抛物线2y ax =，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，点C (-2，0)和点D (-4，0)是x 轴上的两个定点．① 当抛物线向左平移到某个位置时，A ′C +CB ′ 最短，求此时抛物线的函数解析式； ② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A ′B ′CD 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．A BPxyOC （5,4）4 x2 2A8 -2 O-2 -4 y 6 B C D -44。

抛物线平移后阴影面积解析抛物线平移后阴影面积解析，这个听起来就像数学课上的冷冰冰的知识点，哎呀，别这么想！让我们轻松一点，想象一下抛物线就像是一位优雅的舞者，在舞台上翩翩起舞。

咱们来聊聊这抛物线，想象它是一条弯弯的河流，水面在阳光下闪烁着金光。

这个弯弯的河流不是普通的河流，它有着自己的特点。

咱们常见的抛物线方程y = ax² + bx+ c，它就像是抛物线的身份证，告诉你它的形状和位置。

可是，今天我们不只要认识它，还要看它搬家后的新样子。

想象一下，你的朋友从一个城市搬到另一个城市，那可真是个大事情。

他的家从东边搬到了西边，整个环境都变了，对吧？抛物线也一样，它可以平移。

假如你把这条优雅的舞者往右边推一推，或者向上提一提，嘿，那它就换了个地方。

这种平移的过程其实挺简单的，咱们只要调整一下方程式，就能让抛物线在坐标系上找到新家。

可是，搬家之后，咱们的舞者还是需要关注她的周围环境。

这不，平移后她的阴影面积也会跟着变动。

这个阴影面积就像是阳光洒在她身上形成的影子，哎呀，想象一下夏天的阳光，多么炙热！抛物线的阴影面积跟着她的移动而变化，这可不是小事儿。

我们要算出这个阴影面积，得让我们的小脑瓜儿活动起来。

说到这里，不得不提的是，抛物线的形状和大小直接影响了阴影面积。

小小的变化，阴影面积就会翻天覆地。

有时候我们在计算的时候，像是面对一道超级难的数学题，心里一紧，想：“这可真难！”但别害怕，只要咱们逐步来，慢慢搞定。

比如，若是我们把抛物线往上推，阴影面积也会增加；若是往下拉，嘿嘿，可能就小了，真是变化多端。

举个例子，假如这条抛物线是一个正方形的影子，移动之后影子的形状可能会变成个长方形。

唉，生活中也总是这样，事情总是在变化，关键在于咱们如何适应这些变化。

想象一下，阳光透过树叶，形成了斑驳的光影，抛物线的阴影就像这些光影一样，时而宽大，时而细窄。

我们还可以用一些简单的数学工具来帮助我们，比如微积分，嘿，这就像是咱们的秘密武器。

抛物线的知识点高二抛物线的知识点抛物线是一种经典的曲线形状，它在数学、物理和工程等领域都有广泛的应用。

本文将介绍抛物线的基本定义、性质和公式，以及一些与抛物线相关的重要知识点。

一、抛物线的定义抛物线是由一个定点（焦点）和一个定直线（准线）确定的曲线。

定义中的焦点和准线的位置关系决定了抛物线的形状。

当焦点位于准线之上时，抛物线开口朝上；当焦点位于准线之下时，抛物线开口朝下。

二、抛物线的性质1. 对称性：抛物线具有轴对称性，即关于准线对称。

2. 焦点和准线的距离相等性：抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的垂直距离。

3. 点的坐标：设焦点为F，准线为x轴，抛物线上任意一点P的坐标为（x，y），则有y² = 2px，其中p是焦距。

4. 切线与焦准关系：抛物线上任意一点P处的切线与焦准线之间的夹角等于切线和准线之间的夹角。

三、抛物线的公式1. 基本形式：对于抛物线的基本形式y²= 2px，焦点在原点处，准线为x轴。

2. 平移形式：对于平移后的抛物线，坐标平移量为(a, b)，则公式变为（y - b）² = 2p（x - a）。

3. 顶点形式：对于抛物线的顶点形式，坐标顶点为(h, k)，则公式变为（y - k）² = 2p（x - h）。

4. 标准方程与顶点形式的关系：标准方程y² = 2px可通过平移得到顶点形式（y - k）² = 2p（x - h）。

五、与抛物线相关的重要知识点1. 抛物线的焦距：焦距p是决定抛物线形状的重要参数，它决定了抛物线的开口大小。

2. 抛物线的参数方程：抛物线的参数方程是用参数t表示抛物线上的点坐标，参数方程为x = 2at，y = at²。

3. 抛物线的平移与旋转：抛物线可以通过平移和旋转的方式进行变换，改变其位置和方向。

4. 抛物线的应用：抛物线在物理学中有广泛应用，例如在抛物运动、射击问题和天体运动等方面。

专题30 函数图象的平移与变换知识对接考点一、函数图象的变换一 、平移变换函数图象的平移变换，表现在函数图象的形状不变，只是函数图象的相对位置在变化，其平移方式可分为以下两种：①沿水平方向左右平行移动②沿竖直方向上下平行移动1．利用描点法作函数的图象的基本步骤：①确定函数的定义域②简化函数的解析式③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、最值等)④画出函数的图象2．图象的平移变换①)0)((>-=a a x f y 的图象可由)(x f y =的图象沿x 轴向右平移a 个单位得到；)0)((>+=a a x f y 的图象可由)(x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到②)0()(>±=h h x f y 的图象可由)(x f y =的图象沿y 轴向上或向下平移h 个单位得到注意：（1）可以将平移变换化简成口诀：左加右减，上加下减（2）谁向谁变换是)(x f y =→)(a x f y -=还是)(a x f y -=→)(x f y =二、对称变换图象的对称性是函数在对称区间上值域具有不同特点的直观反应，函数图象的对称性反应在两个方面，一是两个函数图象间的对称情况，二是一个函数图象本身的对称情况。

两个函数图象间的对称情况有两种形式：一是两图关于某条直线对称，二是两图象关于某点呈中心对称。

①)(x f y =与)(x y -=)的图象关于y 轴对称②)(x f y =与)(x y -=的图象关于x 轴对称③)(x f y =与)(x y -=的图象关于原点对称 ④)(x f y =的图象是保留)(x f y =的图象中位于上半平面内的部分，及与x 轴的交点，将)(x f y =的)图象中位于下半平面内的部分以x 轴为对称翻折到上半面中去而得到。

⑤()x f y =图象是保留中位于右半面内的部分及与y 轴的交点，去掉左半平面内的部分，而利用偶函数的性质，将右半平面内的部分以y 轴为对称轴翻转到左半平面中去而得到。

1xyO-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5-11234567＝2(x＋3)22y＝2(x－3)2第5课时抛物线的平移主编：李巨荣审核：九年级数学组课型：新授课班级：姓名：小组：【使用说明与学法指导】1．课前独自完成“前知回顾”，尝试完成“提出问题”的内容，用红笔做好疑难标记．2．课前尝试完成“解决问题”中的“1”，在探究过程中如有困难，用红笔进行勾画，先通过“小组探究”解决，再准备在课上质疑．3．课内独自完成例题，限时完成研学稿“巩固训练”，A层同学完成所有题目，B层同学完成“达标练习”和“链接考试”，C层同学完成“达标练习”A组题和“链接考试”，BC层同学尝试挑战其他练习．【学习目标】掌握通过平移抛物线2()y a x h k=-+(a≠0)得到另外一条抛物线的方法．【重点难点】学习重点：抛物线平移的方法．学习难点：利用数形结合推导出抛物线平移的方法及抛物线的左右平移．【学习导航】一、前知回顾1．请确定下列二次函数a、h、k的值：（1）y＝－(x＋1)2；a＝，h＝，k＝；（2）y＝x2＋2；a＝，h＝，k＝．二、提出问题1．由于相同，所以抛物线y＝3x2与抛物线y＝3(x－1)2＋2的形状相同，只是位置不同，也就是说，可以通过平移抛物线y＝3x2，得到抛物线y＝3(x－1)2＋2，那么如何平移？三、解决问题1．寻找抛物线平移的方法（1）观察下面的三个函数y＝2x2，y＝2(x－3)2，y＝2(x＋3)2，总结规律：从图象可观察到，三条抛物线的形状、大小是一样的，因此通过图形的平移可以得出另一图象：①把抛物线y＝2x2，向平移个单位，可得到抛物线y＝2(x－3)2．顶点的变化：（0，0）→．2②把抛物线y ＝2(x －3)2，向平移个单位，可得到抛物线y ＝2(x ＋3)2．顶点的变化：（ ）→ ．由此可知，抛物线的左、右平移，只与系数 有关．（2）观察下面的三个函数y ＝2x 2，y ＝2x 2＋1，y ＝2x 2－1，总结规律：从图象可观察到，三条抛物线的形状、大小是一样的，因此通过图形的平移可以得出另一图象： ①把抛物线y ＝2x 2，向 平移 个单位，可得到抛物线y ＝2x 2＋1．顶点的变化：（0，0）→ ．②把抛物线y ＝2x 2＋1，向 平移 个单位，可得到抛物线y ＝2x 2－1．由此可知，抛物线的上、下平移，只与系数 有关．顶点的变化：（ ）→ ．综上所述，抛物线的平移关键是看：顶点的变化．平移得到抛物线2()y a x h k =-+(a ≠0)的方法是：“h 的后面：左加右减，k 的后面：上加下减” ①左、右平移：(h 的后面：左加右减)22()()m y a x h k y a x h m k =-+−−−−−−−→=-++向左平移个单位22()()m y a x h k y a x h m k =-+−−−−−−−→=--+向右平移个单位反之，通过比较h 的变化情况，可以确定左右平移的情况．②上、下平移：(k 的后面：上加下减)22()()m y a x h k y a x h k m =-+−−−−−−−→=-++向上平移个单位22()()m y a x h k y a x h k m =-+−−−−−−−→=-+-向下平移个单位反之，通过比较k 的变化情况，可以确定左右平移的情况．xy O-3 -2 -1 1 2 3 -112 3 4 5 6 7 8 9 y ＝2xy ＝2x 2－1y ＝2x 2＋132．典型例题例1：求把抛物线y ＝－2x 2+1向左平移2个单位，向上平移3个单位后，新抛物线的解析式．解：新抛物线的解析式为：22( 2) 1 3y x =-+ ．例2：如何平移抛物线y ＝－2x 2+1，可得到抛物线y ＝－2x 2＋8x －9？ 【巩固训练】一、达标练习 A 组1．抛物线y ＝3x 2向左平移1个单位，再向下平移3•个单位，平移后得到新抛物线的顶点为 ． 2．函数y ＝5(x －3)2－2的图象可由函数y ＝5x 2的图象沿x 轴向 平移 个单位，再沿y 轴向 平移 个单位得到．3．从抛物线y ＝－2x 2的图象得到y ＝－2x 2－1的图象，则抛物线y ＝－2x 2必须 （ ）A 、向上平移1个单位B 、向下平移1个单位C 、向左平移1个单位D 、向右平移1个单位4．将抛物线y ＝－3x 2向右平移1个单位，再向下平移两个单位后，所得抛物线解析式为（ ）A 、y ＝－3(x －1)2－2B 、y ＝－3(x －1)2+2C 、y ＝－3(x +1)2－2D 、y ＝－3(x +1)2+25．函数213y x =与2123y x =+的图象的不同之处是（ ） A 、对称轴B 、开口方向C 、顶点D 、形状B 组1．把二次函数y ＝2x 2－8x ＋4化成y ＝a(x －h )2+k 的形式为 ．2．函数y ＝2x 2的图象，沿x 轴向 平移 个单位，再沿y 轴向 平移 个单位得到函数y ＝2x 2－8x ＋4的图像．3．将抛物线y ＝a x 2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，可得函数，移动后的抛4物线经过点（3，－1），那么移动后的抛物线的关系式为________．4．若把函数y ＝5(x －2)2－2的图象分别向下、向左移动2个单位，则得到的函数解析式为 ． 5．对于抛物线2(2)3y x =-+与24(2)1y x =-+下列叙述错误的是（ ）A 、开口方向相同B 、对称轴相同C 、平移后互相重合D 、图象都在x 轴上方二、链接考试1．（2012年广州）将二次函数2y x =的图像向下平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为（ ）A 、21y x =-B 、21y x =+C 、2(1)y x =-D 、2(1)y x =+2．（2012年番禺区）抛物线26y x =-可以看作是由抛物线265y x =-+按下列何种变换得到（ ）A 、向上平移5个单位B 、向下平移5个单位C 、向左平移5个单位D 、向右平移5个单位3．（2012河南）在平面直角坐标系中，将抛物线24y x =-先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为（ ）A 、2(2)2y x =++B 、2(2)2y x =--C 、2(2)2y x =-+D 、2(2)2y x =+- 三、拓展训练 1．把二次函数215322y x x =++的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得的函数关系式是 ，图象顶点是 ．2．将抛物线y ＝2(x ＋1)2－3沿x 轴翻折，得到新的抛物线的解析式是 ．【收获与不足】1．知识方面：．2．数学思想方法：．。

第十讲 抛物线的对称平移问题明确目标﹒定位考点在二次函数一章中抛物线的对称性和平移问题是一个重点内容，也是中考常考的知识点。

掌握其对称和平移的规律能为我们解题带来很多方便，也能为我们从中节省很多时间。

热点聚焦﹒考点突破考点1 抛物线关于x 轴、y 轴、原点、顶点对称的抛物线的解析式。

二次函数图象的对称一般有四种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+注： 对于以上四种对称要在结合开个方向、对称轴的位置以及与y 轴的交点三个方面结合图像理解记忆。

而对于抛物线关于定点对称问题我们一般都是化成顶点式再变换.【例1】二次函数432--=x x y 关于Y 轴的对称图象的解析式为 ，关于X 轴的对称图象的解析式为 ，关于原点的对称图象的解析式为 ，关于顶点旋转180度的图象的解析式为 。

【例2】将抛物线221216y x x =-+绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ ）．A ．221216y x x =--+B ．221216y x x =-+-C ．221219y x x =-+- D ．221220y x x =-+-【变式训练1】1.在平面直角坐标系中，先将抛物线关于轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）A ．B ．C ．D ．【规律方法】掌握抛物线的四种对称方式，理解公式的推导过程。

数学高三抛物线知识点高中数学的抛物线是一种非常重要的曲线，它在生活中的应用广泛。

在数学高考中，抛物线相关的知识点也是必考内容之一。

本文将详细介绍高三数学中与抛物线相关的重要知识点，帮助高三学生系统地掌握这一部分内容。

一、抛物线的定义及性质抛物线是平面上一点到定直线（称为准线）和定点的距离之比（称为离心率）为常数的轨迹。

它的定义可以用数学方程表示为：y=ax^2+bx+c（a≠0），其中a、b、c为常数，a决定了抛物线的开口方向，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

1. 对称性：抛物线关于准线和对称轴对称。

2. 焦点与准线之间的关系：离心率e=焦距f/准线与焦点之间的距离。

3. 切线和法线：抛物线上任意一点的切线与过该点的准线垂直，且过该点的法线经过焦点。

二、抛物线的方程和图像1. 标准方程：当抛物线的顶点为原点时，抛物线的标准方程为y^2=4ax。

2. 顶点坐标：对于标准方程y^2=4ax，抛物线的顶点为(0,0)。

3. 对称轴和焦点坐标：对于标准方程y^2=4ax，抛物线的对称轴为x轴，焦点坐标为(F,0)，其中焦距F=a/2。

三、抛物线的平移和旋转1. 平移：抛物线的平移是指将抛物线上所有点的坐标同时增加或减少一个固定的数值。

设抛物线的标准方程为y^2=4ax，平移后的抛物线的方程为(y-k)^2=4a(x-h)，其中(h,k)为平移的距离。

2. 旋转：抛物线的旋转是指将抛物线绕原点或其他点旋转一定角度。

抛物线的旋转方程相对复杂，这里不再展开。

四、抛物线的焦点与准线问题1. 已知抛物线方程求焦点和准线：根据抛物线的标准方程或一般方程，可以求得焦点和准线的坐标。

2. 已知焦点和准线求抛物线方程：通过已知的焦点和准线的坐标，可以推导出抛物线的方程。

五、抛物线的应用抛物线在生活中有着广泛的应用，以下举几个例子：1. 投射问题：抛物线可以用来描述抛体的运动轨迹，比如抛物线的顶点表示抛体的最高点，焦点表示抛体的着地点。

九年级数学抛物线题知识点抛物线是数学中一种常见的曲线形式，它具有很多重要的性质和应用，因此在九年级的数学学习中，学生们需要掌握一些关于抛物线的知识点。

一、抛物线的定义与基本性质抛物线可以用二次函数的形式表示，即y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是实数且a≠0。

它是一个U形的曲线，称为拋物线。

1. 对称性抛物线的图象关于y轴对称。

这意味着，如果点(x, y)在抛物线上，那么点(-x, y)也在抛物线上。

2. 顶点抛物线的顶点是拋物线的最低点或最高点。

对于一般形式的抛物线y = ax^2 + bx + c，顶点的横坐标为x = -b/2a，纵坐标为y = -(b^2-4ac)/4a。

二、抛物线的图象与平移抛物线的图象可以通过平移原点或上下平移而得到。

1. 平移原点对于一般形式的抛物线y = ax^2 + bx + c，可以通过平移原点得到新的抛物线y = a(x-h)^2 + k。

其中，(h, k)为新抛物线的顶点坐标。

2. 上下平移抛物线的图象可以通过上下平移得到。

对于一般形式的抛物线y = ax^2 + bx + c，上下平移h个单位可以得到新的抛物线y = ax^2 + bx + c + h。

三、抛物线的焦点与准线抛物线还有焦点与准线两个重要的定义。

1. 焦点焦点是由平面上的点P(x, y)构成的集合F，其中P到抛物线上的每一点的距离等于P到直线L上的距离。

对于一般形式的抛物线y = ax^2 + bx + c，焦点的横坐标为x = -b/2a，纵坐标为y = (4ac-b^2)/4a。

2. 准线准线是与抛物线平行且与抛物线不相交的一条直线。

对于一般形式的抛物线y = ax^2 + bx + c，准线方程为y = -(b^2-1)/4a。

四、抛物线的应用抛物线在现实生活中有着广泛的应用。

1. 物理学在物理学中，抛物线用于描述抛体的运动轨迹。

例如，抛出的物体在重力作用下，它的运动轨迹形状就是一个抛物线。

二次函数图像平移专题训练（含解析）一、单选题1．将直线向上平移2个单位，相当于（）A．向左平移2个单位B．向左平移1个单位C．向右平移2个单位D．向右平移1个单位2．抛物线y＝（x+2）2+1可由抛物线y＝x2平移得到，下列平移正确的是（）A．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位B．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位C．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位D．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位3．抛物线经过平移得到，平移方法是（）A．向左平移1个单位，再向下平移5个单位B．向左平移1个单位，再向上平移5个单位C．向右平移1个单位，再向下平移5个单位D．向右平移1个单位，再向上平移5个单位4．若抛物线平移得到，则必须（）A．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位B．先向右平移4个单位，再向上平移1个单位C．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位D．先向右平移1个单位，再向下平移4个单位二、填空题5．在平面直角坐标系中，将点M（2，3）向左平移3个单位，再向下平移2个单位，则平移后的点的坐标是．6．抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，平移后的抛物线的顶点坐标是．7．平移抛物线y=2x2，使其顶点为（2，3），平移后的抛物线是8．将抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位，则平移后的抛物线为．9．把抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为．10．如果将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么所得的新抛物线的解析式为．11．把抛物线y＝先向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，则平移后抛物线的解析式是．12．将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的解析式是.答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：将直线向上平移2个单位，可得函数解析式为：直线向左平移2个单位，可得故A不符合题意；直线向左平移1个单位，可得故B符合题意；直线向右平移2个单位，可得故C不符合题意；直线向右平移1个单位，可得故D不符合题意.故答案为：B.【分析】一次函数y=kx+b向左平移m（m>0）个单位长度，得到的新一次函数的解析式为y=k(x+m)+b；一次函数y=kx+b向右平移m（m>0）个单位长度，得到的新一次函数的解析式为y=k(x-m)+b；一次函数y=kx+b向上平移m（m>0）个单位长度，得到的新一次函数的解析式为y=kx+b+m；一次函数y=kx+b向下平移m（m>0）个单位长度，得到的新一次函数的解析式为y=kx+b-m，据此一一判断得出答案.2．【答案】C【解析】【解答】解：根据题意将y＝x2向左平移2个单位再向上平移1个单位即可得y＝（x+2）2+1，故答案为：C【分析】根据抛物线平移的性质：左加右减，上加下减的原则求解即可。

专题提优3 抛物线与几何变换———专题讲解———一、抛物线的平移 （1）具体步骤：先利用配方法将二次函数化成y =a （x －h ）2＋k 的形式，确定其顶点（h ，k ），然后作出二次函数y =ax 2的图象，将抛物线y =ax 2平移，使其顶点平移到（h ，k ）．具体平移方法如图所示：（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”． 二、抛物线的对称二次函数图象的对称一般有五种情况： ①关于x 轴对称：y =ax 2＋bx ＋c 关于x 轴对称后，得到的解析式是y =－ax 2－bx －c ；y =a （x －h ）2＋k 关于x 轴对称后，得到的解析式是y =－a （x －h ）2－k ． ②关于y 轴对称：y =ax 2＋bx ＋c 关于y 轴对称后，得到的解析式是y =ax 2－bx ＋c ；y =a （x －h ）2＋k 关于y 轴对称后，得到的解析式是y =a （x ＋h ）2＋k ． ③关于原点对称：y =ax 2＋bx ＋c 关于原点对称后，得到的解析式是y =－ax 2＋bx －c ；y =a （x －h ）2＋k 关于原点对称后，得到的解析式是y =－a （x ＋h ）2－k ． ④关于顶点对称：y =ax 2＋bx ＋c 关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；y =a （x －h ）2＋k 关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． ⑤关于点（m ，n ）对称：()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．———典型例题———【例1】（2014•陕西）已知抛物线C ：cbx x y ++-=2点记为M ，它的对称轴于x 轴的交点记为N ． （1）求抛物线C 的表达式； （2）求点M 的坐标；（3将抛物线C 平移到C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴于x 轴的交点记为N′．如果以点M 、N 、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C 怎样平移？为什么？【提示】根据平行四边形的定义，可知有四种情形符合条件，需要分类讨论．【感悟】1、二次项系数的不变性．抛物线平移中，二次函数中二次项系数是不变的；2、以点带线．顶点的平移方向和平移距离就是抛物线平移的方向和距离，反之，亦然；3、顶点式的应用，是解答抛物线平移的常用公式．既做到由顶点坐标求解析式，又做到能由解析式求出顶点坐标．【例2】（2013•河北省）如图，一段抛物线：y =－x （x －3）（0≤x ≤3），记为C 1，它与x 轴交于点O ，A 1；将C 1绕点A 1旋转180°得C 2，交x 轴于点A 2；将C 2绕点A 2旋转180°得C 3，交x 轴于点A 3；…如此进行下去，直至得C 13．若P （37，m ）在第13段抛物线C 13上，则m = ．【提示】根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后解析式，进而求出m 的值．【方法总结】旋转前后的图形大小与形状都没发生变化．———小试身手———1．（☆☆ 2014•浙江宁波）已知点A （a －2b ，2－4ab ）在抛物线y =x 2＋4x ＋10上，则点A 关于抛物线对称轴的对称点坐标为（ ）A ．（－3，7）B ．（－1，7）C ．（－4，10）D ．（0，10）2．（☆☆ 2012•陕西省）在平面直角坐标系中，将抛物线y =x 2－x －6向上（下）或向左（右）平移m 个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|m |的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．63．（☆☆☆2014•山东临沂）在平面直角坐标系中，函数22(y x x x =-≥0)的图象为1C ，1C 关于原点对称的图象为2C ，则直线y a =（a 为常数）与1C ，2C 的交点共有（ ）A ．1个B ．1个或2个C ．1个或2个或3个D ．1个或2个或3个或4个 4．（☆☆☆）如图，抛物线m ：y =ax 2＋b （a ＜0，b ＞0）与x 轴于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．将抛物线m 绕点B 旋转180°，得到新的抛物线n ，它的顶点为C 1，与x 轴的另一个交点为A 1．若四边形AC 1A 1C 为矩形，则a ，b 应满足的关系式为（ ）A ．ab =－2B ．ab =－3C ．ab =－4D ．ab =－5（第4题图） （第5题图）西湖区一模）如图，将二次函数y x 轴下方的部分沿x 轴翻折，2010•关系桂林）将抛物线y =2x 2－＜0）位于x 轴上方的图象记为F 1，它与x 轴交于P 1、O 两点，图象F 2与F 1关于原点O 对称，F 2与x 轴的另一个交点为P 2，将F 1与F 2同时沿x 轴向右平移P 1P 2的长度即可得到F 3与F 4；再将F 3与F 4同时沿x 轴向右平移P 1P 2的长度即可得到F 5与F 6；…；按这样的方式一直平移下去即可得到一系列图象F 1，F 2，…，F n ．我们把这组图象称为“波浪抛物线”．（1）当a =－1时，①求图象F 1的顶点坐标；②点H （2014，－3） （填“在”或“不在”）该“波浪抛物线”上；若图象F n 的顶点T n 的横坐标为201，则图象F n 对应的解析式为 ，其自变量x 的取值范围为 ．（2）设图象F n 、F n ＋1的顶点分别为T n 、T n ＋1（m 为正整数），x 轴上一点Q 的坐标为（12，0）．试探究：当a 为何值时，以O 、T n 、T n ＋1、Q 四点为顶点的四边形为矩形？并直接写出此时m 的值．11．（☆☆☆2014•江苏镇江）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点M 为抛物线y =－x 2＋2nx －n 2＋2n 的顶点，过点（0，4）作x 轴的平行线，交抛物线于点P 、Q （点P 在Q 的左侧），PQ =4．（1）求抛物线的函数关系式，并写出点P 的坐标； （2）小丽发现：将抛物线y =－x 2＋2nx －n 2＋2n 绕着点P 旋转180°，所得新抛物线的顶点恰为坐标原点O ，你认为正确吗？请说明理由；12．（☆☆☆☆2014•湖南怀化）如图1，在平面直角坐标系中，AB =OB =8，∠ABO =90°，∠yOC =45°，射线OC 以每秒2个单位长度的速度向右平行移动，当射线OC 经过点B 时停止运动，设平行移动x 秒后，射线OC 扫过Rt △ABO 的面积为y ．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x =3秒时，射线OC 平行移动到O′C′，与OA 相交于G ，如图2，求经过G ，O ，B 三点的抛物线的解析式；（3）现有一动点P 在（2）中的抛物线上，试问点P 在运动过程中，是否存在三角形POB 的面积S =8的情况？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．13．（☆☆☆☆☆2014•辽宁盘锦）如图，抛物线y =ax 2＋bx ＋c 经过原点，与x 轴相交于点E （8，0 ），抛物线的顶点A 在第四象限，点A 到x 轴的距离AB =4，点P （m ，0）是线段OE 上一动点，连结PA ，将线段PA 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PC ，过点C 作y 轴的平行线交x 轴于点G ，交抛物线于点D ，连结BC 和AD ． （1）求抛物线的解析式；（2）求点C 的坐标（用含m 的代数式表示）； （3）当以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形时，求点P 的坐标．———参考答案———例1．【解析】（1）∵抛物线y=－x2＋bx＋c经过A（－3，0）和B（0，3）两点，∴930,3,b cc--+=⎧⎨=⎩解得2,3.bc=-⎧⎨=⎩故此抛物线的解析式为y=－x2－2x＋3；（2）∵由（1）知抛物线的解析式为y=－x2－2x＋3，∴当x=－22(1)-⨯-=－1时，y=4，∴M（－1，4）．（3）由题意，以点M、N、M′、N′为顶点的平行四边形的边MN的对边只能是M′N′，∴MN∥M′N′且MN=M′N′，∴MN•NN′=16，∴NN′=4．i）当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是▱MNN′M′时，将抛物线C向左或向右平移4个单位可得符合条件的抛物线C′；ii）当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是▱MNM′N′时，将抛物线C先向左或向右平移4个单位，再向下平移8个单位，可得符合条件的抛物线C′．∴上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线C′．例2．【答案】2【解析】∵一段抛物线：y=－x（x－3）（0≤x≤3），∴图象与x轴交点坐标为：（0，0），（3，0），∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C13．∴C13的解析式与x轴的交点坐标为（36，0），（39，0），且图象在x轴上方，∴C13的解析式为y13=－（x－36）（x－39），当x=37时，y=－（37－36）×（37－39）=2．1．【答案】D【解析】∵点A（a－2b，2－4ab）在抛物线y=x2＋4x＋10上，∴（a－2b）2＋4×（a－2b）＋10=2－4ab，a2－4ab＋4b2＋4a－8b＋10=2－4ab，（a＋2）2＋4（b－1）2=0，∴a＋2=0，b－1=0，解得a=－2，b=1，∴a－2b=－2－2×1=－4，2－4ab=2－4×（－2）×1=10，∴点A的坐标为（－4，10）．∵对称轴为直线x=－421⨯=－2，∴点A关于对称轴的对称点的坐标为（0，10）．2．【答案】B【解析】当x=0时，y=－6，故函数图象与y轴交于点C（0，－6），当y=0时，x2－x－6=0，即（x＋2）（x－3）=0，解得x=－2或x=3，即A（－2，0），B（3，0）；由图可知，函数图象至少向右平移2个单位恰好过原点，故|m|的最小值为2．【解析】C函数y=x2－2x（x≥0）的图象为C1关于原点对称的图象为C2的解析式是y =－x2－2x（x≤0），观察图象：当a>1或a<－1时，直线y=a与图象C1、C2只有1个交点；当a=1或a=－1时，直线y=a与图象C1、C2有2个交点；当－1<a<1时，直线y=a与图象C1、C2有3个交点．【解析】y=2x2－12x＋16=2（x2－6x＋8）=2（x－3）2－2，将原抛物线绕顶点旋转180°后，得y=－2（x－3）2－2=－2x2＋12x－20．8．【答案】y=－2x2＋1，－b＜9．【解析】（1）将A （0，－6），B （－2，0）代入y =12x 2＋bx ＋c ，得6,022,c b c -=⎧⎨=-+⎩解得2,6.b c =-⎧⎨=-⎩∴y =12x 2－2x －6，∴顶点坐标为（2，－8）；（2）将（1）中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m （m ＞0）个单位长度得到新抛物线y 1=12（x －2＋1）2－8＋m ，∴P （1，－8＋m ）． 在抛物线y =12x 2－2x －6中易得C （6，0），∴直线AC 的解析式为y 2=x －6，当x =1时，y 2=－5，∴－5＜－8＋m ＜0， 解得3＜m ＜8；（3）∵A （0，－6），B （－2，0），∴线段AB 的中点坐标为（－1，－3），直线AB 的解析式为y =－3x －6， ∴过AB 的中点且与AB 垂直的直线的解析式为y =13x －83， ∴直线y =13x －83与x =1的交点坐标为（1，－73），∴此时的点P 的坐标为（1，－73），∴此时向上平移了8－73=173个单位， ∴①当3＜m ＜173时，存在两个Q 点，可作出两个等腰三角形； ②当m =173时，存在一个点Q ，可作出一个等腰三角形； ③当173＜m ＜8时，Q 点不存在，不能作出等腰三角形． 10．【解析】（1）当a =－1时，①y =ax 2＋2ax =－x 2－2x =－（x ＋1）2＋1，∴图象F 1的顶点坐标为（－1，1）； ②∵该“波浪抛物线”顶点坐标纵坐标分别为1和－1，∴点H （2014，－3），不在该“波浪抛物线”上． ∵图象F n 的顶点T n 的横坐标为201，201÷4=50…1，故其图象与F 2，F 4，…形状相同， 则图象F n 对应的解析式为y =（x －201）2－1，其自变量x 的取值范围为200≤x ≤202． 故答案为：不在，y =（x －201）2－1，200≤x ≤202．（2）设OQ 中点为O′，则线段T n T n ＋1经过O′，由题意可知OO′=O′Q ，O′T n =O′T n ＋1， ∴当T n T n ＋1=OQ =12时，四边形OT n T n ＋1Q 为矩形，∴O′T n ＋1=6． ∵F 1对应的解析式为y =a （x ＋1）2－a ，∴F 1的顶点坐标为（－1，－a ）， ∴由平移的性质可知，点T n ＋1的纵坐标为－a ，∴由勾股定理得（－a）2＋12=62，∴a∵a＜0，∴a=m的值为4．11．【解析】（1）∵抛物线y=－x2＋2nx－n2＋2n过点P，P点的纵坐标为4，∴4=－x2＋2n x－n2＋2n，解得x1=nx2=n．∵PQ=x1－x2=4，∴，解得n=4，∴抛物线的函数关系式为y=－x2＋8x－8，∴4=－x2＋8x－8，解得x=2或x=6，∴P（2，4）．（2）正确；∵P（2，4），PQ=4，∴Q绕着点P旋转180°后的对称点为Q′（－2，4），∴P与Q′正好关于y轴对称，∴所得新抛物线的对称轴是y轴．∵抛物线y=－x2＋8x－8=－（x－4）2＋8，∴抛物线的顶点M（4，8），∴顶点M到直线PQ的距离为4，∴所得新抛物线顶点到直线PQ的距离为4，∴所得新抛物线顶点应为坐标原点．12．【解析】（1）∵AB=OB，∠ABO=90°，∴△ABO是等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，∵∠yOC=45°，∴∠AOC=（90°－45°）＋45°=90°，∴AO⊥CO．∵C′O′是CO平移得到，∴AO⊥C′O′，∴△OO′G是等腰直角三角形．∵射线OC的速度是每秒2个单位长度，∴OO′=2x，∴其以OO′为底边的高为x，∴y=12×（2x）•x=x2；（2）当x=3秒时，OO′=2×3=6，∵12×6=3，∴点G的坐标为（3，3）．设抛物线解析式为y=ax2＋bx，则933,6480,a ba b+=⎧⎨+=⎩解得1,58.5ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴抛物线的解析式为y=－15x2＋85x；（3）设点P到x轴的距离为h，则S△POB=12×8h=8，解得h=2．当点P在x轴上方时，－15x2＋85x=2，整理得x2－8x＋10=0，解得x1=4－x2=4当点P在x轴下方时，－15x2＋85x=－2，整理得x2－8x－10=0，解得x1=4－x2=4此时，点P的坐标为（42）或（42）．综上所述，点P的坐标为（42）或（42）或（42）或（42）时，△POB的面积S=8．13．【解析】（1）由题意可知A（4，－4），∵抛物线y=ax2＋bx＋c经过原点、点E（8，0 ）和A（4，－4），则0,6480,1644,ca b ca b c=⎧⎪++=⎨⎪++=-⎩解得1,42,0.abc⎧=⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩∴抛物线的解析式为y=14x2－2x．（2）∵∠APC=90°，∴∠APB＋∠CPG=90°．∵AB⊥PE，∴∠APB＋∠PAB=90°，∴∠CPG=∠PAB．∵∠ABP=∠PGC=90°，PC=PA，∴△ABP≌△PGC，PB=CG，AB=PG=4．∵P（m，0），OP=m，且点P是线段OE上的动点，∴PB=CG=|4－m|，OG=|m＋4|．①如图1，当点P在点B左边时，点C在x轴上方，m＜4，4－m＞0，PB=CG=4－m，∴C（m＋4，4－m）；②如图2，当点P在点B右边时，点C在x轴下方，m＞4，4－m＜0，∴PB=|4－m|=－（4－m）=m－4，∴CG=m－4，∴C（m＋4，4－m）．综上所述，点C坐标是C（m＋4，4－m）．∵点D 在抛物线上，横坐标是m ＋4，将x =m ＋4代入y =41x 2－2x 得y ＝41(m ＋4)2−2(m ＋4) ，化简得y ＝41m 2−4，∴D （m ＋4，41m 2−4），CD =4－m －（41m 2−4）=−41m 2−m ＋8．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD =4， ∴−41m 2−m ＋8=4，解得m 1＝−2＋25，m 2＝−2−25．∵点P 在线段OE 上，∴m 2＝−2−25不符合题意，舍去，∴P （−2＋25，0）； 如图2，当点P 在线段BE 上时，∵C （m ＋4，4－m ）， ∵点D 在抛物线上，横坐标是m ＋4，将x =m ＋4代入y =41x 2－2x 得y ＝41(m ＋4)2−2(m ＋4)，化简得y ＝41m 2−4，∴D （m ＋4，41m 2−4），∴CD =41m 2−4−(4−m )＝41m 2＋m ＋8．∵四边形ABDC 是平行四边形，∴AB =CD =4， ∴41m 2＋m −8＝4，解得m 1＝−2＋213，m 2＝−2−213，∵点P 在线段OE 上，∴m 2＝−2−213不符合题意，舍去，∴P （−2＋213，0）． 综上所述，当以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形时，点P 的坐标为P （−2＋25，0）或P （−2＋213，0）．。