“完全平方公式”易错点点击

平方差公式与完全平方公式应用中易犯错误分析在初中数学中，学生易犯的错误很多，下面我就平方差公式与完全平方公式的计算来分析一下学生出现错误的原因，并且进一步总结反思。

许多学生由于对两个公式结构特点理解不清楚，计算时往往出现这样那样的错误。

一、我们将这些常出现的错误总结出来，进行分析。

1、平方差与完全平方公式混淆1)( x – 3y)2 = x2 - 9y22)( 2x + 3y)2 = 4x2 + 9y2错因：这两个式子都是完全平方公式，应等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

正确解法：1、22222(x-3y)23(3)69x x y y x xy y=-+=-+2、22222(23)(2)223(3)4129x y x x y y x xy y+=++=-+2、平方差公式结构特点模糊( m + 3n ) ( -m - 3n ) = m2 - 9n2错因：平方差公式左边必须是两式中一项相同，一项互为相反数。

m+ 3n 与-m - 3n两项都互为相反数，此题不能用平方差公式。

应用完全平方公式。

正确解法：2 2222( m + 3n ) ( -m - 3n ) =(m+3n)[-(m+3n)]=-(m+3n) [23(3)]69m m n n m mn n=-++=---3、公式计算中项的概念不够明确，漏掉系数( 2x + y ) ( 2x – y ) = 2x2 - y2错因：式子在计算中都没有明确“项”的概念，包括字母前面的系数，因此在平方时漏掉了系数。

应是2x与y这两项的平方差。

正确解法：2222x y x y-=-( 2x + y ) ( 2x - y ) =(2)44、公式中的符号错误1)( -a + b )2 = a2 + 2ab + b22)( -a – b )2 = a2 - 2ab - b2错因：公式中各项的符号特点及公式右边各项与公式左边两项的的关系理解模糊，出现了符号错误。

初中数学完全平方公式知识点归纳完全平方公式是指二元二次方程的解可以通过将方程化为完全平方形式来求解的方法。

下面是初中数学中关于完全平方公式的归纳知识点：1.完全平方公式的形式：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果其中a ≠ 0，那么它的解可以通过将方程化为完全平方形式来求解。

完全平方形式是指将二次项和一次项的系数合并为一个完全平方的形式。

2.完全平方公式的表达式：设一元二次方程为ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0，则它的解可以表示为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)3.完全平方公式的推导：在推导完全平方公式时，首先将方程右侧移到左侧，得到一个平方的形式，然后通过配方完成平方形式的提取。

4.完全平方公式的用途：完全平方公式可以用于求解一元二次方程的根，特别对于不能直观看出解的二次方程来说，可以通过完全平方公式直接求解。

5.完全平方公式的例题：例如，对于方程2x^2+5x-3=0，可以应用完全平方公式计算出其解为：x=(-5±√(5^2-4(2)(-3)))/(2(2))6.完全平方公式的注意事项：在应用完全平方公式时，需要注意判别式的值。

判别式为b^2 - 4ac，当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根；当判别式等于0时，方程有两个相等的实数根；当判别式小于0时，方程没有实数根。

7.完全平方公式与图像的关系：完全平方公式也可以用来解释二次函数的图像特征。

例如，当b=0时，方程的解为x=±√(-c/a)，可以看出二次函数的图像与x轴交于两点；当判别式大于0时，二次函数的图像与x轴有两个不相等的交点；当判别式等于0时，二次函数的图像与x轴有一个重复的交点；当判别式小于0时，二次函数的图像与x轴没有交点。

8.完全平方公式的应用：完全平方公式不仅可以用于求解一元二次方程的根，还可以应用于其他数学问题中。

例如，可以用完全平方公式证明两条直线之间的距离公式、证明两个平面之间的夹角余弦公式等。

乘法公式知识点分解 李锦扬整理一、 知识点1：直接套用公式-----注：（－a －b ）2=（a ＋b ）2 ，（－a ＋b ）2=（a －b ）2 1、（1）（a －b ）2；（2）（2x －3y ）2（3） ()252ba --（4）（2a ＋3b ）2（5）[x +（-y ）] 2 （6） ()22y x +-2．(1)(2a 1)(2a 1)-+=____________．(2) ()()=+-⋅--y x y x 464622______________． (3)21(b)2a -=____________．(4)2(2)x y -+=__________．(5)21()x x+=__________．二、 知识点2：重复套用公式（1）()()()22y x y x y x -+- （2）22)2()2(y x y x -+（3）24(2)(2)(4)(16)x x x x -+++（4）．某同学在计算)14)(14(32++时，把3写成4-1后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算： 255116)14)(14()14)(14)(14()14)(14(322222=-=+-=++-=++．三、 知识点3：三项1．若(1)(1)3x y x y -+--=，则y x -= ．2. 2()a b c +-3. 2(23)x y z --4.（a +2b ﹣3）（a ﹣2b +3）；5. (3)(3)a b c a b c +---四、知识点4：完全四公式1．已知实数a 、b 满足ab=1，a +b=3．（1）求代数式a 2+b 2的值； （2）求a ﹣b 的值．（3）求代数式a 2-b 2的值； （4）求a 4﹣b 4的值．（5）求a 4+b 4的值． （6）|x ﹣y |2.已知()(),4,722=-=+b a b a 求22b a +和ab 的值3．已知a +b=4，a ﹣b=3，则a 2﹣b 2=（ ）A ．4 B ．3 C ．12 D ．14．若A y x y x +-=+22)2()2(成立，则A =5．已知2()13x y +=，2()1x y -=，求xy ，22x y +和44x y +的值。

完全平方公式知识点例题变式完全平方公式知识点、例题、变式。

一、完全平方公式知识点。

1. 公式内容。

- (a + b)^2=a^2 + 2ab+b^2- (a - b)^2=a^2-2ab + b^22. 公式结构特点。

- 左边是一个二项式的完全平方，右边是一个三项式。

- 右边第一项是左边第一项的平方，右边第三项是左边第二项的平方，右边第二项是左边两项乘积的2倍（对于(a + b)^2是正的2ab，对于(a - b)^2是负的2ab）。

二、例题。

1. 计算(3x + 2y)^2。

- 解析：根据完全平方公式(a + b)^2=a^2 + 2ab+b^2，这里a = 3x，b=2y。

- 计算过程：- (3x+2y)^2=(3x)^2+2×(3x)×(2y)+(2y)^2- = 9x^2+12xy + 4y^2。

2. 计算(2m - 5n)^2。

- 解析：根据完全平方公式(a - b)^2=a^2-2ab + b^2，这里a = 2m，b = 5n。

- 计算过程：- (2m - 5n)^2=(2m)^2-2×(2m)×(5n)+(5n)^2- =4m^2-20mn + 25n^2。

三、变式。

1. 已知(x + 3)^2=x^2+ax + 9，求a的值。

- 解析：根据完全平方公式(x + 3)^2=x^2+2× x×3+9=x^2 + 6x+9，因为(x + 3)^2=x^2+ax + 9，所以a = 6。

2. 若(m - n)^2=16，m^2 + n^2=20，求mn的值。

- 解析：- 由完全平方公式(m - n)^2=m^2-2mn + n^2，已知(m - n)^2 = 16，即m^2-2mn + n^2=16。

- 又已知m^2 + n^2=20，将其代入m^2-2mn + n^2=16中，得到20-2mn = 16。

- 移项可得-2mn=16 - 20=-4，解得mn = 2。

完全平方公式讲义一．知识点拨1.完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2.此公式等号的左边是两项和或差的平方，等号右边是前一项的平方，加上或减去两项乘积的2倍，再加上后一项的平方，学习中，往往易出现（a+b）2=a2+b2，（a-b）2=a2-b2的错误，为了避免这种错误，记准记牢这个公式，可以将公式编成如下顺口溜：a平方，b平方，2倍ab夹中央，中间符号看前方。

2.公式的变形：①a2+b2=（a+b）2-2ab，a2+b2=(a-b)2+2ab例如，已知a+b=3、ab=-12求下式的值：a2+b2②（a+b）2-（a-b）2=4ab，（a+b）2+（a-b）2=2(a2+b2)例如：已知（a+b）2=7 （a-b）2=4，求ab，a2+b2的值3.二项式乘法公式：（x+a）(x+b)=x²+（a+b）x+ab例如：计算①（x+7）(x-9) ②（-2y-3）(-2y+6)二．完全平方公式的应用类型：1：直接运用公式(-x+3y)22.灵活变形运用公式已知：a+b=3，ab=-12,求a2+b2和(a-b)2的值。

3整体思想运用已知(a+b)2=7,(a-b)2=13,求a2+b2,ab的值4.非负性的运用已知：a 2+b 2+4a-2b+5=0,求a 、b 的值。

5．与几何有关的运用（科内交叉）已知：三角形a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac=0，试判断三角形的形状6.与倒数有关的变形应用①已知： x+x 1=3,求x 2+21x的值。

②已知：x 2-5x+1=0,求x 2+21x的值。

7. 运用公式使计算简便，计算：22219991998.19991997199919992+-三．课堂训练1、判断，如有错误，请改正。

（1）（a-b ）2=a 2-b 2 （ ）（2）（-a-b ）2=（a+b ）2=a 2+2ab+b 2 （ ）（3）（a-b ）2=（b-a ）2=b 2-2ab+a 2 （ ）（4）（x+21）2=x 2+21x+41 ( ) 2、计算： (1)(51x+101y)2 (2)(-cd+21)23.选择（1）代数式2xy-x 2-y 2=( )A 、（x-y ）2B 、（-x-y ）2C 、（y-x ）2D 、-（x-y ）2（2）（2y x +）2-（2y x -）2等于 （ ） A 、xy B 、2xy C 、2xy D 、04、计算（1）（a-2b ）2（a+2b ）2 （2）（a-2b+c ）（a+2b+c ）（3） （x-6）(x+8) （4） (2x-5)(2x+7)5.解答。

完全平⽅公式（完整知识点）完全平⽅公式完全平⽅公式即(a±b)2=a2±2ab+b2该公式是进⾏代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常⽤到的公式。

该知识点重点是对完全平⽅公式的熟记及应⽤。

难点是对公式特征的理解(如对公式中积的⼀次项系数的理解）。

必须注意的：①漏下了⼀次项②混淆公式（与平⽅差公式）③运算结果中符号错误④变式应⽤难于掌握。

学会⽤⽂字概述公式的含义:两数和（或差）的平⽅，等于它们的平⽅和，加上（或减去）它们的积的2倍。

叫做完全平⽅公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平⽅公式，后者叫做两数差的完全平⽅公式。

这两个公式的结构特征：1、左边是两个相同的⼆项式相乘，右边是三项式，是左边⼆项式中两项的平⽅和，加上或减去这两项乘积的2倍；2、左边两项符号相同时，右边各项全⽤“+”号连接；左边两项符号相反时，右边平⽅项⽤“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这⾥说项时未包括其符号在内）.完全平⽅公式⼝诀前平⽅，后平⽅，⼆倍乘积在中央。

同号加、异号减，符号添在异号前。

（可以背下来）即 (a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2（注意：后⾯⼀定是加号）公式变形（习题）变形的⽅法（⼀）、变符号：例1：运⽤完全平⽅公式计算：（1）(-4x+3y)2（2）(-a-b)2分析：本例改变了公式中a、b的符号，以第⼆⼩题为例，处理该问题最简单的⽅法是将这个式⼦中的(-a)看成原来公式中的a，将(-b)看成原来公式中的b，即可直接套⽤公式计算。

解答：(1)原式=16x2-24xy+9y2(2)原式=a2+2ab+b2（⼆）、变项数：例2：计算：(3a+2b+c)2分析：完全平⽅公式的左边是两个相同的⼆项式相乘，⽽本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运⽤整体思想看成⼀项，从⽽化解⽭盾。

所以在运⽤公式时，(3a+2b+c)2可先变形为[(3a+2b)+c]2，直接套⽤公式计算。

乘法公式易错点例析平方差公式与完全平方公式是初中代数中的两个重要的计算公式，而许多学生由于对两个公式结构特点理解不清楚，计算时往往出现这样那样的错误，现将这些常出现的错误总结出来，供同学们共勉。

一、平方差与完全平方公式混淆1、( x – 3y)2 = x 2 - 9y 22、( 2x + 3y)2 = 4x 2 + 9y 2错因：这两个式子都是完全平方公式，应等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

正确解法：1、22222(x-3y)23(3)69x x y y x xy y =-+=-+2、22222(23)(2)223(3)4129x y x x y y x xy y +=++=-+二、平方差公式结构特点模糊( m + 3n ) ( -m - 3n ) = m 2 - 9n 2错因：平方差公式左边必须是两式中一项相同，一项互为相反数。

m+ 3n 与-m - 3n 两项都互为相反数，此题不能用平方差公式。

应用完全平方公式。

正确解法：22222( m + 3n ) ( -m - 3n ) =(m+3n)[-(m+3n)]=-(m+3n)[23(3)]69m m n n m mn n =-++=---三、公式计算中项的概念不够明确，漏掉系数( 2x + y ) ( 2x – y ) = 2x 2 - y 2错因：式子在计算中都没有明确“项”的概念，包括字母前面的系数，因此在平方时漏掉了系数。

应是2x 与y 这两项的平方差。

正确解法：2222( 2x + y ) ( 2x - y ) =(2)4x y x y -=-四、公式中的符号错误1、( -a + b )2 = a 2 + 2ab + b 22、( -a – b )2 = a 2 - 2ab - b 2错因：公式中各项的符号特点及公式右边各项与公式左边两项的的关系理解模糊，出现了符号错误。

正确解法：1、22222( -a + b ) = (-a) + 2(-a)b + b 2b a ab =-+2、22222( -a - b ) = (-a) - 2(-a)b + b 2b a ab =++或22222( -a - b ) = (-a) + 2(-a)(b) +(- b)2b a ab -=++。

（1）()()c a b a -+ （（2）()()x y y x +-+（3）()()ab x x ab ---33 （（4）()()n m n m +--2.2.判断：判断：判断：（1）()()22422b a a b b a -=-+ （ ）） （2）1211211212-=÷øöçèæ-÷øöçèæ+x x x （ ）） 平方差与完全平方式一、平方差公式：（a+b ）(a-b)=a 2-b 2两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。

1、即：（、即：（a+b a+b a+b））(a-b) = (a-b) = 相同符号项的平方相同符号项的平方相同符号项的平方 - - - 相反符号项的平方相反符号项的平方相反符号项的平方2、平方差公式可以逆用，即：a 2-b 2=（a+b ）(a-b)。

3 3、能否运用平方差公式的判定、能否运用平方差公式的判定、能否运用平方差公式的判定①有两数和与两数差的积①有两数和与两数差的积①有两数和与两数差的积 即：（即：（即：（a+b a+b a+b））(a-b)(a-b)或（或（或（a+b a+b a+b））(b-a) ②有两数和的②有两数和的②有两数和的相反数相反数与两数差的积与两数差的积 即：（即：（即：（-a-b -a-b -a-b））(a-b)(a-b)或（或（或（a+b a+b a+b））(b-a)③有两数的平方差③有两数的平方差③有两数的平方差 即：即：即：a a 22-b 2 2 或-b 22+a 22二、完全平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

倍。

1 1、、完全平方公式也可以逆用，即a 2+2ab+b 2=(a+b)2 a 2-2ab+b 2=(a-b)2 2、能否运用完全平方式的判定、能否运用完全平方式的判定①有两数和（或差）的平方①有两数和（或差）的平方①有两数和（或差）的平方即：即：(a+b)2或 (a-b)2或 (-a-b)2或 (-a+b)2②有两数平方，加上（或减去）它们的积的2倍，且两数平方的符号相同。

2021年初二数学完全平方公式知识点知识点总结
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____年初二数学完全平方公式知识点
完全平方公式
(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和 (a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到： a2+2ab+b2 =(a+b)2
a2-2ab+b2 =(a-b)2
这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。

把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。

上面两个公式叫完全平方公式。

(2)完全平方式的形式和特点
①项数：三项
②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。

③有一项是这两个数的积的两倍。

(3)当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。

(4)完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。

这里只要将多项式看成一个整体就可以了。

(5)分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。

《完全平方公式》知识清单一、完全平方公式的定义完全平方公式是进行代数运算与变形的重要知识工具，有两个：1、两数和的平方，即\（（a ＋ b)＾2 ＝ a^2 ＋ 2ab ＋ b^2\）2、两数差的平方，即\（（a b)＾2 ＝ a^2 2ab ＋ b^2\）这两个公式可以通过多项式乘法法则推导得出。

二、完全平方公式的推导我们以\（（a ＋ b)＾2\）为例来推导：＼＼begin{align}（a ＋ b)＾2&＝（a ＋ b)（a ＋ b)＼＼＆＝a(a ＋ b) ＋ b(a ＋ b)＼＼＆＝a^2 ＋ ab ＋ ab ＋ b^2\＼＆＝a^2 ＋ 2ab ＋ b^2＼end{align}＼同理，对于\（（a b)＾2\）：＼＼begin{align}（a b)＾2&＝（a b)（a b)＼＼＆＝a(a b) b(a b)＼＼＆＝a^2 ab ab ＋ b^2\＼＆＝a^2 2ab ＋ b^2＼end{align}＼三、完全平方公式的特点1、左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式。

2、右边二次三项式的首项和末项分别是左边二项式的两项的平方，中间一项是左边二项式两项乘积的 2 倍。

3、公式中的字母\（a\）、＼（b\）可以表示数、单项式或多项式。

四、完全平方公式的常见变形1、＼（a^2 ＋ b^2 ＝（a ＋ b)＾2 2ab ＝（a b)＾2 ＋ 2ab\）2、＼（2ab ＝（a ＋ b)＾2 （a^2 ＋ b^2) ＝（a^2 ＋ b^2) （a b)＾2\）3、＼（（a ＋ b)＾2 ＋（a b)＾2 ＝ 2(a^2 ＋ b^2)＼）五、完全平方公式的应用1、计算直接运用公式计算，如\（（3x ＋ 2y)＾2\），将\（a ＝ 3x\），＼（b ＝ 2y\）代入\（（a ＋ b)＾2 ＝ a^2 ＋ 2ab ＋ b^2\），可得：＼＼begin{align}＆（3x ＋ 2y)＾2\＼＝＆（3x)＾2 ＋ 2\times 3x\times 2y ＋（2y)＾2\＼＝＆9x^2 ＋ 12xy ＋ 4y^2＼end{align}＼先变形再运用公式计算，如\（（x ＋ 3y)＾2\），可变形为\（（3y x)＾2\），然后计算：＼＼begin{align}＆（3y x)＾2\＼＝＆（3y)＾2 2\times 3y\times x ＋ x^2\＼＝＆9y^2 6xy ＋ x^2＼end{align}＼2、化简求值先化简再求值，如已知\（x ＝ 2\），＼（y ＝－1\），求\（（x ＋2y)＾2 （x 2y)＾2\）的值。

完全平方公式 易错题综合提高练习例1：直接运用：口诀:首平方，尾平方，乘积2倍放中央（注意做三检查） 1.（1）21(3)2a b -= （2）= 2填空题：（注意分析，找出a 、b ）22(1)(n 1)_____m --=；232(2)(23)_____x y -=22222222(3)()()_______(4)()()____(5)()()_______(6)()()____a b a b a b a b a b a b a b a b -=+-+=-+++-=+--=例2：互为相反数的形式（1）()()x y y x -- （2）2332()()a b b a --+例3：简便运算 （1）0.982 （2） 1012例4：完全平方公式和平方差公式的综合运用（1）(23)(23)a b c a b c +--- (2)()()z y x z y x 3232+--+(3)22(2)(2)(4)a b a b a b +--； (4)22(3)(3)a b a b +-；例5：完全平方公式的逆用 1.(1)（2x －______）2＝____－4xy ＋y 2． (2)（3m 2＋_______）2＝______＋12m 2n ＋________．(3)x 2－xy ＋________＝（x －______）2 (4)49a 2－______＋81b 2＝（______＋9b ）2222222222.2015403020132013_____3.(x y)2()()_____4.(2015)(2013)20142015)(2013)x y x y a a a a -?=+--+-=--=-+-若，则（的值为______ 例6：连续两边平方1：已知16x x -=，求221x x +，441x x +的值。

2.若13x x+=，求（1）221x x +（2）441x x + ()[]2c b a -+3..已知a 2－3a ＋1＝0．求a a 1+、221a a +和21⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 的值；例7：配方法 ： 即凑成“0+0=0”型 2222x a ()a x a ++=+注意：x 1、已知m 2+n 2-6m+10n+34=0，求m+n 的值∵m2+n2-6m+10n+34=0，∴m2-6m+9+n2+10n+25=0，∴（m-3）2+（n+5）2=0，即m-3=0，n+5=0； m=3，n=-5，∴m+n=3+（-5）=-2．2.已知0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数，求y x 的值。

初一人教版七年级下册数学完全平方公式知识点归纳总结一、完全平方公式的概念完全平方公式是数学中一种重要的恒等式，它描述了一个二次多项式如何表示为一个平方的形式。

具体地说，完全平方公式是形如a²±2ab+b²=(a±b)²的等式。

其中，a和b 是任意实数或代数式，它们可以是数字、字母、单项式或多项式。

二、完全平方公式的定义完全平方公式可以定义为：一个二次多项式，如果它可以表示为(a±b)²的形式，则称该二次多项式为完全平方公式。

其中，a和b可以是任意实数或代数式。

三、完全平方公式的性质唯一性：对于给定的a和b，完全平方公式(a±b)²是唯一的。

这意味着没有其他形式的二次多项式可以表示为完全平方。

展开性：完全平方公式可以展开为a²±2ab+b²的形式。

这是完全平方公式的一个重要性质，它允许我们将一个看似复杂的二次多项式简化为一个更简单的形式。

对称性：完全平方公式具有对称性，即(a+b)²=(b+a)²和(a-b)²=(b-a)²。

这意味着在完全平方公式中，a和b的位置可以互换而不影响公式的值。

四、完全平方公式的特点平方项：完全平方公式的第一项和最后一项都是平方项，即a²和b²。

这两项代表了公式中的主要部分，它们决定了公式的整体形状。

乘积项：完全平方公式的中间项是a和b的乘积的两倍，即±2ab。

这项是公式中的关键部分，它连接了平方项并使整个公式成为一个整体。

正负号：完全平方公式中的正负号取决于中间项是正是负。

如果中间项是正数，则公式为(a+b)²；如果中间项是负数，则公式为(a-b)²。

五、完全平方公式的规律二次项和一次项的关系：在完全平方公式中，二次项（a ²）和一次项（±2ab）之间存在密切的关系。