2018-2019版数学新导学笔记人教A全国通用版选修2-3讲义：第三章 统计案例3.2

§3.1　数系的扩充和复数的概念3．1.1　数系的扩充和复数的概念学习目标　1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．知识点一　复数的概念及代数表示思考　为解决方程x2＝2在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？答案　设想引入新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x2＋1＝0有解，同时得到一些新数．梳理　(1)复数①定义：把集合C＝{a＋b i|a，b∈R}中的数，即形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位．a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．(2)复数集①定义：全体复数所成的集合叫做复数集．②表示：通常用大写字母C表示．知识点二　两个复数相等的充要条件在复数集C＝{a＋b i|a，b∈R}中任取两个数a＋b i，c＋d i (a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋b i与c＋d i相等的充要条件是a＝c且b＝d.知识点三　复数的分类(1)复数(a＋b i，a，b∈R)Error!(2)集合表示：1．若a，b为实数，则z＝a＋b i为虚数．(　×　)2．复数z＝b i是纯虚数．(　×　)3．若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．(　√　)类型一　复数的概念例1　(1)给出下列几个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1虚部是2i；③2i的实部是0；④若实数a与a i对应，则实数集与纯虚数集一一对应；⑤实数集的补集是虚数集．其中真命题的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3(2)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是________．考点　复数的概念题点　复数的概念及分类2答案　(1)C　(2)±，5解析　(1)令z＝i∈C，则i2＝－1<0，故①不正确．②中2i－1的虚部应是2，故②不正确．④当a＝0时，a i＝0为实数，故④不正确，∴只有③，⑤正确．(2)由题意知Error!∴a ＝±，b ＝5.2反思与感悟　(1)复数的代数形式：若z ＝a ＋b i ，只有当a ，b ∈R 时，a 才是z 的实部，b 才是z 的虚部，且注意虚部不是b i ，而是b .(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．跟踪训练1　下列命题：①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；②若(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±2；③实数集是复数集的真子集．其中正确说法的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3考点　复数的概念题点　复数的概念及分类答案　B解析　对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时，为纯虚数．对于①，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，故①错误．对于②，若x ＝－2，则x 2－4＝0，x 2＋3x ＋2＝0，此时(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i ＝0，不是纯虚数，故②错误．显然，③正确．故选B.类型二　复数的分类例2　求当实数m 为何值时，z ＝＋(m 2＋5m ＋6)i 分别是(1)虚数；(2)纯虚数．m 2－m －6m ＋3考点　复数的概念题点　由复数的分类求未知数解　(1)复数z 是虚数的充要条件是Error!⇔m ≠－3且m ≠－2.∴当m ≠－3且m ≠－2时，复数z 是虚数．(2)复数z 是纯虚数的充要条件是Error!⇔Error!⇔m ＝3.∴当m ＝3时，复数z 是纯虚数．引申探究1．若本例条件不变，m 为何值时，z 为实数．解　由已知得，复数z 的实部为，m 2－m －6m ＋3虚部为m 2＋5m ＋6.复数z 是实数的充要条件是Error!⇔Error!⇔m ＝－2.∴当m ＝－2时，复数z 是实数．2．已知i 是虚数单位，m ∈R ，复数z ＝＋(m 2－2m －15)i ，则当m ＝________时，m 2－m －6m ＋3z 为纯虚数．答案　3或－2解析　由题意知Error!解得m ＝3或－2.反思与感悟　利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．跟踪训练2　当实数m 为何值时，复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是(1)纯虚数；(2)实数．考点　复数的分类题点　由复数的分类求未知数解　(1)复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是纯虚数，则Error!解得m ＝4.(2)复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是实数，则Error!解得m ＝－2或m ＝－3.类型三　复数相等例3　(1)已知x 0是关于x 的方程x 2－(2i －1)x ＋3m －i ＝0(m ∈R )的实根，则m 的值是________．考点　复数相等题点　由复数相等求参数答案　112解析　由题意，得x －(2i －1)x 0＋3m －i ＝0，20即(x ＋x 0＋3m )＋(－2x 0－1)i ＝0，20由此得Error!⇒m ＝.112(2)已知A ＝{1,2，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1,3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值．考点　复数相等题点　由复数相等求参数解　由题意知，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i ＝3(a ∈R )，所以Error!即Error!所以a＝－1.反思与感悟　(1)在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不成立．(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解．跟踪训练3　复数z1＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z2＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z1＝z2，则m＝________.考点　复数相等题点　由复数相等求参数答案　5解析　因为m∈R，z1＝z2，所以(2m＋7)＋(m2－2)i＝(m2－8)＋(4m＋3)i.由复数相等的充要条件得Error!解得m＝5.1．若x i－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋y i等于( )A．－2＋i B．2＋iC．1－2i D．1＋2i考点　复数相等题点　由复数相等求参数答案　B解析　由i2＝－1，得x i－i2＝1＋x i，则由题意得1＋x i＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋y i＝2＋i.2．若复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，则实数m的值为( )A．－1 B．2C．1 D．－1或2考点　复数的分类题点　由复数的分类求未知数答案　D解析　因为复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，所以m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.3．下列几个命题：①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；③1－a i(a∈R)是一个复数；④虚数的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一个，即为－i；⑥i是方程x4－1＝0的一个根；2⑦i是一个无理数．其中真命题的个数为( )A．3 B．4 C．5 D．6考点　复数的概念题点　复数的概念及分类答案　B解析　命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误．4．已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是________________．考点　复数的概念题点　复数的概念及分类答案　(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析　由已知可得a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，解得a>3或a<－1，因此，实数a的取值范围是{a|a>3或a<－1}．5．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的值是________．考点　复数的概念题点　由复数的分类求未知数答案　－2解析　由题意知Error!得x＝－2.1．对于复数z＝a＋b i(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况．2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断.一、选择题1．设a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点　复数的概念题点　复数的概念及分类答案　B解析　因为a ，b ∈R ，当“a ＝0”时“复数a ＋b i 不一定是纯虚数，也可能b ＝0，即a ＋b i ＝0∈R ”．而当“复数a ＋b i 是纯虚数”，则“a ＝0”一定成立．所以a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要不充分条件．2．以－＋2i 的虚部为实部，以i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( )55A ．2－2iB ．－＋i 55C ．2＋iD.＋i55考点　复数的概念题点　求复数的实部和虚部答案　A解析　设所求新复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由题意知复数－＋2i 的虚部为2，复数i ＋2i 2＝i ＋2×(－1)＝－2＋i 的实部为－2，5555则所求的z ＝2－2i.故选A.3．若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的值为( )A. B ．2 C ．0 D ．112考点　复数相等题点　由复数相等求参数答案　D解析　由复数相等的充要条件知，Error!解得Error!∴x ＋y ＝0.∴2x ＋y ＝20＝1.4．下列命题中：①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1；②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；③若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3.正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3考点　复数的概念题点　复数的概念及分类答案　A解析　①取x ＝i ，y ＝－i ，则x ＋y i ＝1＋i ，但不满足x ＝y ＝1，故①错；②③错，故选A.5．若sin 2θ－1＋i(cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( )2A ．2k π－(k ∈Z ) B ．2k π＋(k ∈Z )π4π4C ．2k π±(k ∈Z ) D.π＋(k ∈Z )π4k 2π4考点　复数的概念题点　由复数的分类求未知数答案　B解析　由题意，得Error!解得Error!(k ∈Z )，∴θ＝2k π＋，k ∈Z .π46．若复数z ＝＋i 是纯虚数(i 为虚数单位)，则tan 的值为()(cos θ－45)(sin θ－35)(θ－π4)A ．7 B ．－17C ．－7D ．－7或－17考点　复数的概念题点　由复数的分类求未知数答案　C解析　∵复数z ＝＋i 是纯虚数，(cos θ－45)(sin θ－35)∴cos θ－＝0，sin θ－≠0，4535∴sin θ＝－，∴tan θ＝－，3534则tan ＝＝＝－7.(θ－π4)tan θ－11＋tan θ－34－11－347．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R )有实数根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于( )A ．3＋iB ．3－iC ．－3－iD ．－3＋i 考点　复数相等题点　由复数相等求参数答案　B解析　由题意知n 2＋(m ＋2i)n ＋2＋2i ＝0，即Error!解得Error!∴z ＝3－i ，故选B.二、填空题8．设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________.考点　复数的概念题点　由复数的分类求未知数答案　－2解析　由Error!即m ＝－2.9．已知z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i.则m ＝1是z 1＝z 2的______条件．考点　复数相等题点　由复数相等求参数答案　充分不必要解析　当z 1＝z 2时，必有m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，解得m ＝－2或m ＝1，显然m ＝1是z 1＝z 2的充分不必要条件．10．已知复数z ＝m 2(1＋i)－m (m ＋i)(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为________．考点　复数的概念题点　由复数的分类求未知数答案　0或1解析　z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ，所以m 2－m ＝0，所以m ＝0或1.11．复数z ＝(a 2－2a －3)＋(|a －2|－1)i 不是纯虚数，则实数a 的取值范围是________________．考点　复数的概念题点　由复数的分类求未知数答案　(－∞，－1)∪(－1，＋∞)解析　若复数z ＝(a 2－2a －3)＋(|a －2|－1)i 是纯虚数，则a 2－2a －3＝0，|a －2|－1≠0，解得a ＝－1，∴当a ≠－1时，复数z ＝(a 2－2a －3)＋(|a －2|－1)i 不是纯虚数．12．已知log (m ＋n )－(m 2－3m )i ≥－1，且n ∈N *，则m ＋n ＝________.12考点　复数的概念题点　由复数的分类求未知数答案　1或2解析　由题意得Error!由②，得m ＝0或m ＝3.当m ＝0时，由(m ＋n )≥－1，得0<n ≤2，12log ∴n ＝1或n ＝2.当m ＝3时，由(m ＋n )≥－1，得0<n ＋3≤2，12log ∴－3<n ≤－1，即n 无自然数解．∴m ，n 的值分别为m ＝0，n ＝1或m ＝0，n ＝2.故m ＋n 的值为1或2.三、解答题13．实数m 为何值时，复数z ＝＋(m 2＋2m －3)i 分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚m (m ＋2)m －1数．考点　复数的概念题点　由复数的分类求未知数解　(1)要使z 是实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且有意义，即m －1≠0，解得m (m ＋2)m －1m ＝－3.(2)要使z 是虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且有意义，即m －1≠0，解得m ≠1m (m ＋2)m －1且m ≠－3.(3)要使z 是纯虚数，m 需满足＝0，m －1≠0，m (m ＋2)m －1且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.四、探究与拓展14．定义运算＝ad －bc ，如果(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝，求实数x ，y 的值．|a b c d ||3x ＋2y i－y 1|考点　复数相等题点　由复数相等求参数解　由定义运算＝ad －bc ，|a bc d |得＝3x ＋2y ＋y i ，|3x ＋2y i－y 1|故有(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝3x ＋2y ＋y i.因为x ，y 为实数，所以Error!得Error!得x ＝－1，y ＝2.15．已知集合M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i,8}，集合N ＝{3i ，(a 2－1)＋(b ＋2)i}满足M ∩N ⊆M ，且M ∩N ≠∅，求整数a ，b 的值．考点　复数相等题点　由复数相等求参数解　由题意，得(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i ，①或8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i ，②或(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝(a 2－1)＋(b ＋2)i.③由①，得a ＝－3，b ＝±2，由②，得a ＝±3，b ＝－2，③中，a ，b 无整数解，不符合题意．综上，a ＝－3，b ＝2或a ＝－3，b ＝－2或a ＝3，b ＝－2.。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．通过对K2的统计量的研究得到了若干个临界值，当K2≤2.706时，我们认为()A．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为X与Y有关系B．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为X与Y有关系C．没有充分理由认为X与Y有关系D．不能确定【解析】∵K2≤2.706，∴没有充分理由认为X与Y有关系．【答案】 C2．下列关于等高条形图的叙述正确的是()A．从等高条形图中可以精确地判断两个分类变量是否有关系B．从等高条形图中可以看出两个变量频数的相对大小C．从等高条形图中可以粗略地看出两个分类变量是否有关系D．以上说法都不对【解析】在等高条形图中仅能粗略判断两个分类变量的关系，故A错．在等高条形图中仅能够找出频率，无法找出频数，故B错．【答案】 C3．分类变量X和Y的列联表如下：y1y2总计x1 a b a＋bx2 c d c＋d总计a＋c b＋d a＋b＋c＋dA．ad－bc越小，说明X与Y关系越弱B．ad－bc越大，说明X与Y关系越弱C．(ad－bc)2越大，说明X与Y关系越强D．(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y关系越强【解析】对于同一样本，|ad－bc|越小，说明X与Y之间关系越弱；|ad－bc|越大，说明X与Y之间的关系越强．【答案】 C4．利用独立性检验对两个分类变量是否有关系进行研究时，若有99.5%的把握认为事件A和B有关系，则具体计算出的数据应该是()A．k≥6.635B．k<6.635C．k≥7.879 D．k<7.879【解析】有99.5%的把握认为事件A和B有关系，即犯错误的概率为0.5%，对应的k0的值为7.879，由独立性检验的思想可知应为k≥7.879.【答案】 C5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下表的列联表：由K2＝n(ad(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)算得，k＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.附表：A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”【解析】由k≈7.8及P(K2≥6.635)＝0.010可知，在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“爱好该项运动与性别有关”，也就是有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．【答案】 C二、填空题6．在对某小学的学生进行吃零食的调查中，得到如下表数据：【导学号：97270063】【解析】由公式可计算得k＝102×(27×29－34×12)239×63×61×41≈2.334.【答案】 2.3347．为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠，在照射14天内的结果如表所示：【解析】根据独立性检验的基本思想，可知类似于反证法，即要确认“两个分量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立．对于本题，进行统计分析时的统计假设应为“小白鼠的死亡与电离辐射的剂量无关”．【答案】小白鼠的死亡与电离辐射的剂量无关8．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法：①若K2的观测值k>6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；③从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误．其中说法正确的是________．(填序号)【解析】K2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故说法①不正确；说法②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错误；说法③正确．【答案】③三、解答题9．用两种检验方法对某食品做沙门氏菌检验，结果如下表．阳性阴性总计荧光抗体法1605165常规培养法264874总计18653239附：P(K2≥k0)0.0100.0050.001k0 6.6357.87910.828(1)(2)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为采用荧光抗体法与检验结果呈阳性有关系？【解】(1)作出等高条形图如图所示，由图知采用荧光抗体法与检验结果呈阳性有关系．(2)通过计算可知K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)≈113.184 6.而查表可知，因为P(K2≥10.828)≈0.001，而113.184 6远大于10.828，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为采用荧光抗体法与检验结果呈阳性有关系．10．有人发现一个有趣的现象，中国人的邮箱里含有数字比较多，而外国人邮箱名称里含有数字比较少，为了研究国籍和邮箱名称里含有数字的关系，他收集了124个邮箱名称，其中中国人的64个，外国人的60个，中国人的邮箱中有43个含数字，外国人的邮箱中有27个含数字．(1)根据以上数据建立2×2列联表；(2)他发现在这组数据中，外国人邮箱里含数字的也不少，他不能断定国籍和邮箱名称里含有数字是否有关，你能帮他判断一下吗？【解】(1)2×2的列联表：(2)假设“由表中数据得k＝124×(43×33－27×21)270×54×64×60≈6.201.因为k>5.024，所以有理由认为假设“国籍和邮箱名称里与是否含有数字无关”是不合理的，即在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“国籍和邮箱名称里与是否含有数字有关”．[能力提升]1．对两个分类变量A，B，下列说法中正确的个数为()①A与B无关，即A与B互不影响；②A与B关系越密切，则K2的值就越大；③K2的大小是判定A与B是否相关的唯一依据．A．1B．2C．3D．0【解析】①正确，A与B无关即A与B相互独立；②不正确，K2的值的大小只是用来检验A与B是否相互独立；③不正确，也可借助等高条形图等．故选A.【答案】 A2．(2016·晋江市季延中学期中)某研究所为了检验某血清预防感冒的作用，把500名使用了该血清的志愿者与另外500名未使用该血清的志愿者一年中的感冒记录作比较，提出假设H：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K2≈3.918，经查临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.则下列叙述中正确的是()A．有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”B．若有人未使用该血清，那么他一年中有95%的可能性得感冒C．这种血清预防感冒的有效率为95%D．这种血清预防感冒的有效率为5%【解析】K2≈3.918>3.841，因此有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”，故选A.【答案】 A3．为研究某新药的疗效，给100名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数据：设H k≈________(小数点后保留一位有效数字)，从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性为________．【解析】由公式计算得K2的观测值k≈4.9.∵k>3.841，∴我们有95%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关，从而有5%的可能性出错．【答案】 4.95%4．(2016·潍坊高二检测)为了研究玉米品种对产量的影响，某农科院对一块试验田种植的一批玉米共10 000株的生长情况进行研究，现采用分层抽样方法抽取50株作为样本，统计结果如下：(1)6株玉米，再从这6株玉米中随机选出2株，求这2株之中既有高茎玉米又有矮茎玉米的概率；(2)根据对玉米生长情况作出的统计，是否有95%的把握认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关？【解】(1)依题意，取出的6株圆粒玉米中含高茎2株，记为a，b；矮茎4株，记为A，B，C，D，从中随机选取2株的情况有如下15种：aA，aB，aC，aD，bA，bB，bC，bD，ab，AB，AC，AD，BC，BD，CD.其中满足题意的共有aA，aB，aC，aD，bA，bB，bC，bD，共8种，则所求概率为P＝8 15.(2)根据已知列联表，得k＝50×(11×7－13×19)230×20×24×26≈3.860>3.841，即有95%的把握认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关．。

§3.1数系的扩充和复数的概念3．1.1数系的扩充和复数的概念学习目标1.了解引进虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．知识点一复数的概念及代数表示思考为解决方程x 2＝2在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x 2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？答案设想引入新数i ，使i 是方程x 2＋1＝0的根，即i·i ＝－1，方程x 2＋1＝0有解，同时得到一些新数． 梳理(1)复数①定义：把集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位．a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部．②表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，这一表示形式叫做复数的代数形式．(2)复数集①定义：全体复数所成的集合叫做复数集．②表示：通常用大写字母C 表示．知识点二两个复数相等的充要条件在复数集C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d .知识点三复数的分类(1)复数(a ＋b i ，a ，b ∈R )⎩⎨⎧ 实数(b ＝0)虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧ 纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0)(2)集合表示：1．若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．(×)2．复数z ＝b i 是纯虚数．(×)3．若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．(√)类型一复数的概念例1(1)给出下列几个命题：①若z ∈C ，则z 2≥0；②2i －1虚部是2i ；③2i 的实部是0；④若实数a 与a i 对应，则实数集与纯虚数集一一对应；⑤实数集的补集是虚数集．其中真命题的个数为()A ．0B ．1C ．2D ．3(2)已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是________．考点复数的概念题点复数的概念及分类答案(1)C(2)±2，5解析(1)令z ＝i ∈C ，则i 2＝－1<0，故①不正确．②中2i －1的虚部应是2，故②不正确．④当a ＝0时，a i ＝0为实数，故④不正确，∴只有③，⑤正确．(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a2＝2，b －2＝3，∴a ＝±2，b ＝5. 反思与感悟(1)复数的代数形式：若z ＝a ＋b i ，只有当a ，b ∈R 时，a 才是z 的实部，b 才是z 的虚部，且注意虚部不是b i ，而是b .(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．跟踪训练1下列命题：①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；②若(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±2；③实数集是复数集的真子集．其中正确说法的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．3考点复数的概念题点复数的概念及分类答案B解析对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时，为纯虚数．对于①，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，故①错误．对于②，若x ＝－2，则x 2－4＝0，x 2＋3x ＋2＝0，此时(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i ＝0，不是纯虚数，故②错误．显然，③正确．故选B.类型二复数的分类例2求当实数m 为何值时，z ＝m2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i 分别是(1)虚数；(2)纯虚数． 考点复数的概念题点由复数的分类求未知数解(1)复数z 是虚数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧m2＋5m ＋6≠0，m ＋3≠0⇔m ≠－3且m ≠－2. ∴当m ≠－3且m ≠－2时，复数z 是虚数．(2)复数z 是纯虚数的充要条件是 ⎩⎪⎨⎪⎧ m2－m －6m ＋3＝0，m2＋5m ＋6≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝3，m ≠－3且m ≠－2⇔m ＝3. ∴当m ＝3时，复数z 是纯虚数．引申探究1．若本例条件不变，m 为何值时，z 为实数．解由已知得，复数z 的实部为m2－m －6m ＋3， 虚部为m 2＋5m ＋6.复数z 是实数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m2＋5m ＋6＝0，m ＋3≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝－3，m ≠－3⇔m ＝－2. ∴当m ＝－2时，复数z 是实数．2．已知i 是虚数单位，m ∈R ，复数z ＝m2－m －6m ＋3＋(m 2－2m －15)i ，则当m ＝________时，z 为纯虚数． 答案3或－2 解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ m2－m －6m ＋3＝0，m2－2m －15≠0，解得m ＝3或－2.反思与感悟利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数． 跟踪训练2当实数m 为何值时，复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是(1)纯虚数；(2)实数．考点复数的分类题点由复数的分类求未知数解(1)复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是纯虚数，则⎩⎨⎧lg (m 2－2m －7)＝0，m 2＋5m ＋6≠0，解得m ＝4. (2)复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是实数， 则⎩⎪⎨⎪⎧m2－2m －7>0，m2＋5m ＋6＝0，解得m ＝－2或m ＝－3. 类型三复数相等例3(1)已知x 0是关于x 的方程x 2－(2i －1)x ＋3m －i ＝0(m ∈R )的实根，则m 的值是________．考点复数相等题点由复数相等求参数答案112解析由题意，得x 20－(2i －1)x 0＋3m －i ＝0，即(x 20＋x 0＋3m )＋(－2x 0－1)i ＝0， 由此得⎩⎪⎨⎪⎧x20＋x0＋3m ＝0，－2x0－1＝0⇒m ＝112. (2)已知A ＝{1,2，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1,3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值．考点复数相等题点由复数相等求参数解由题意知，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i ＝3(a ∈R )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a2－3a －1＝3，a2－5a －6＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ＝6或a ＝－1，所以a ＝－1. 反思与感悟(1)在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a ，b ，c ，d ∈R ，即当a ，b ，c ，d ∈R 时，a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .若忽略前提条件，则结论不成立．(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解．跟踪训练3复数z 1＝(2m ＋7)＋(m 2－2)i ，z 2＝(m 2－8)＋(4m ＋3)i ，m ∈R ，若z 1＝z 2，则m ＝________.考点复数相等题点由复数相等求参数答案5解析因为m ∈R ，z 1＝z 2，所以(2m ＋7)＋(m 2－2)i ＝(m 2－8)＋(4m ＋3)i. 由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋7＝m2－8，m2－2＝4m ＋3，解得m ＝5.1．若x i －i 2＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 等于()A ．－2＋iB ．2＋iC ．1－2iD ．1＋2i考点复数相等题点由复数相等求参数答案B解析由i2＝－1，得x i－i2＝1＋x i，则由题意得1＋x i＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋y i＝2＋i.2．若复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，则实数m的值为()A．－1B．2C．1D．－1或2考点复数的分类题点由复数的分类求未知数答案D解析因为复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，所以m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.3．下列几个命题：①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；③1－a i(a∈R)是一个复数；④虚数的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一个，即为－i；⑥i是方程x4－1＝0的一个根；⑦2i是一个无理数．其中真命题的个数为()A．3B．4C．5D．6考点复数的概念题点复数的概念及分类答案B解析命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误．4．已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是________________．考点复数的概念题点复数的概念及分类答案(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析由已知可得a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，解得a>3或a<－1，因此，实数a的取值范围是{a|a>3或a<－1}．5．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的值是________．考点复数的概念题点由复数的分类求未知数答案－2解析由题意知⎩⎨⎧log2(x 2－3x －2)>1，log 2(x 2＋2x ＋1)＝0，得x ＝－2.1．对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，可以限制a ，b 的值得到复数z 的不同情况．2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断.一、选择题1．设a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点复数的概念题点复数的概念及分类答案B解析因为a ，b ∈R ，当“a ＝0”时“复数a ＋b i 不一定是纯虚数，也可能b ＝0，即a ＋b i ＝0∈R ”． 而当“复数a ＋b i 是纯虚数”，则“a ＝0”一定成立．所以a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要不充分条件．2．以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是() A ．2－2iB ．－5＋5i C ．2＋iD.5＋5i 考点复数的概念题点求复数的实部和虚部答案A解析设所求新复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 由题意知复数－5＋2i 的虚部为2，复数5i ＋2i 2＝5i ＋2×(－1)＝－2＋5i 的实部为－2，则所求的z ＝2－2i.故选A.3．若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的值为()A.12B ．2C ．0D ．1 考点复数相等题点由复数相等求参数答案D解析由复数相等的充要条件知，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0，x －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1， ∴x ＋y ＝0.∴2x ＋y ＝20＝1. 4．下列命题中：①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1；②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；③若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3.正确命题的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．3考点复数的概念题点复数的概念及分类答案A解析①取x ＝i ，y ＝－i ，则x ＋y i ＝1＋i ，但不满足x ＝y ＝1，故①错；②③错，故选A.5．若sin2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为()A ．2k π－π4(k ∈Z )B ．2k π＋π4(k ∈Z ) C ．2k π±π4(k ∈Z ) D.k 2π＋π4(k ∈Z ) 考点复数的概念题点由复数的分类求未知数答案B解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧sin2θ－1＝0，2cos θ＋1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ θ＝k π＋π4，θ≠2k π±3π4(k ∈Z )，∴θ＝2k π＋π4，k ∈Z . 6．若复数z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－35i 是纯虚数(i 为虚数单位)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4的值为() A ．7B ．－17C ．－7D ．－7或－17考点复数的概念题点由复数的分类求未知数答案C解析∵复数z ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos θ－45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－35i 是纯虚数， ∴cos θ－45＝0，sin θ－35≠0， ∴sin θ＝－35，∴tan θ＝－34， 则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝－34－11－34＝－7. 7．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R )有实数根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于()A ．3＋iB ．3－iC ．－3－iD ．－3＋i考点复数相等题点由复数相等求参数答案B解析由题意知n 2＋(m ＋2i)n ＋2＋2i ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ n2＋mn ＋2＝0，2n ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝－1. ∴z ＝3－i ，故选B.二、填空题8．设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________.考点复数的概念题点由复数的分类求未知数答案－2 解析由⎩⎪⎨⎪⎧ m2＋m －2＝0，m2－1≠0即m ＝－2. 9．已知z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i.则m ＝1是z 1＝z 2的______条件．考点复数相等题点由复数相等求参数答案充分不必要解析当z 1＝z 2时，必有m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，解得m ＝－2或m ＝1，显然m ＝1是z 1＝z 2的充分不必要条件．10．已知复数z ＝m 2(1＋i)－m (m ＋i)(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为________．考点复数的概念题点由复数的分类求未知数答案0或1解析z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ，所以m 2－m ＝0，所以m ＝0或1.11．复数z ＝(a 2－2a －3)＋(|a －2|－1)i 不是纯虚数，则实数a 的取值范围是________________．考点复数的概念题点由复数的分类求未知数答案(－∞，－1)∪(－1，＋∞)解析若复数z ＝(a 2－2a －3)＋(|a －2|－1)i 是纯虚数，则a 2－2a －3＝0，|a －2|－1≠0，解得a ＝－1，∴当a ≠－1时，复数z ＝(a 2－2a －3)＋(|a －2|－1)i 不是纯虚数．12．已知log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i ≥－1，且n ∈N *，则m ＋n ＝________.考点复数的概念题点由复数的分类求未知数答案1或2解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ log 12(m ＋n )≥－1，①－(m 2－3m )＝0.②由②，得m ＝0或m ＝3. 当m ＝0时，由12log (m ＋n )≥－1，得0<n ≤2，∴n ＝1或n ＝2. 当m ＝3时，由12log (m ＋n )≥－1，得0<n ＋3≤2，∴－3<n ≤－1，即n 无自然数解．∴m ，n 的值分别为m ＝0，n ＝1或m ＝0，n ＝2.故m ＋n 的值为1或2.三、解答题13．实数m 为何值时，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i 分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．考点复数的概念题点由复数的分类求未知数解(1)要使z 是实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且m (m ＋2)m －1有意义，即m －1≠0，解得m ＝－3. (2)要使z 是虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且m (m ＋2)m －1有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3. (3)要使z 是纯虚数，m 需满足m (m ＋2)m －1＝0，m －1≠0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.四、探究与拓展14．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，如果(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2yi －y1，求实数x ，y 的值． 考点复数相等题点由复数相等求参数解由定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2yi －y1＝3x ＋2y ＋y i ，故有(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝3x ＋2y ＋y i.因为x ，y 为实数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3x ＋2y ，x ＋3＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝0，x ＋3＝y ，得x ＝－1，y ＝2.15．已知集合M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i,8}，集合N ＝{3i ，(a 2－1)＋(b ＋2)i}满足M ∩N ⊆M ，且M ∩N ≠∅，求整数a ，b 的值．考点复数相等题点由复数相等求参数解由题意，得(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i ，①或8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i ，②或(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝(a 2－1)＋(b ＋2)i.③由①，得a ＝－3，b ＝±2，由②，得a ＝±3，b ＝－2，③中，a ，b 无整数解，不符合题意．综上，a ＝－3，b ＝2或a ＝－3，b ＝－2或a ＝3，b ＝－2.。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．通过对K2的统计量的研究得到了若干个临界值，当K2≤2.706时，我们认为()A．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为X与Y有关系B．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为X与Y有关系C．没有充分理由认为X与Y有关系D．不能确定【解析】∵K2≤2.706，∴没有充分理由认为X与Y有关系．【答案】 C2．下列关于等高条形图的叙述正确的是()A．从等高条形图中可以精确地判断两个分类变量是否有关系B．从等高条形图中可以看出两个变量频数的相对大小C．从等高条形图中可以粗略地看出两个分类变量是否有关系D．以上说法都不对【解析】在等高条形图中仅能粗略判断两个分类变量的关系，故A错．在等高条形图中仅能够找出频率，无法找出频数，故B错．【答案】 C3．分类变量X和Y的列联表如下：A．ad－bc越小，说明X与Y关系越弱B．ad－bc越大，说明X与Y关系越弱C．(ad－bc)2越大，说明X与Y关系越强D．(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y关系越强【解析】对于同一样本，|ad－bc|越小，说明X与Y之间关系越弱；|ad－bc|越大，说明X与Y之间的关系越强．【答案】 C4．利用独立性检验对两个分类变量是否有关系进行研究时，若有99.5%的把握认为事件A和B有关系，则具体计算出的数据应该是()A．k≥6.635B．k<6.635C．k≥7.879 D．k<7.879【解析】有99.5%的把握认为事件A和B有关系，即犯错误的概率为0.5%，对应的k0的值为7.879，由独立性检验的思想可知应为k≥7.879.【答案】 C5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下表的列联表：由K2＝n(ad(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)算得，k＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.附表：A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”【解析】由k≈7.8及P(K2≥6.635)＝0.010可知，在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“爱好该项运动与性别有关”，也就是有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．【答案】 C二、填空题6．在对某小学的学生进行吃零食的调查中，得到如下表数据：【导学号：97270063】【解析】由公式可计算得k＝102×(27×29－34×12)239×63×61×41≈2.334.【答案】 2.3347．为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠，在照射14天内的结果如表所示：【解析】根据独立性检验的基本思想，可知类似于反证法，即要确认“两个分量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立．对于本题，进行统计分析时的统计假设应为“小白鼠的死亡与电离辐射的剂量无关”．【答案】小白鼠的死亡与电离辐射的剂量无关8．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法：①若K2的观测值k>6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；③从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误．其中说法正确的是________．(填序号)【解析】 K 2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故说法①不正确；说法②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错误；说法③正确．【答案】 ③ 三、解答题9．用两种检验方法对某食品做沙门氏菌检验，结果如下表．附：(1)(2)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为采用荧光抗体法与检验结果呈阳性有关系？【解】 (1)作出等高条形图如图所示，由图知采用荧光抗体法与检验结果呈阳性有关系．(2)通过计算可知K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )≈113.184 6.而查表可知，因为P (K 2≥10.828)≈0.001，而113.184 6远大于10.828，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为采用荧光抗体法与检验结果呈阳性有关系．10．有人发现一个有趣的现象，中国人的邮箱里含有数字比较多，而外国人邮箱名称里含有数字比较少，为了研究国籍和邮箱名称里含有数字的关系，他收集了124个邮箱名称，其中中国人的64个，外国人的60个，中国人的邮箱中有43个含数字，外国人的邮箱中有27个含数字．(1)根据以上数据建立2×2列联表；(2)他发现在这组数据中，外国人邮箱里含数字的也不少，他不能断定国籍和邮箱名称里含有数字是否有关，你能帮他判断一下吗？【解】(1)2×2的列联表：(2)假设“由表中数据得k＝124×(43×33－27×21)270×54×64×60≈6.201.因为k>5.024，所以有理由认为假设“国籍和邮箱名称里与是否含有数字无关”是不合理的，即在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“国籍和邮箱名称里与是否含有数字有关”．[能力提升]1．对两个分类变量A，B，下列说法中正确的个数为()①A与B无关，即A与B互不影响；②A与B关系越密切，则K2的值就越大；③K2的大小是判定A与B是否相关的唯一依据．A．1B．2C．3D．0【解析】①正确，A与B无关即A与B相互独立；②不正确，K2的值的大小只是用来检验A与B是否相互独立；③不正确，也可借助等高条形图等．故选A.【答案】 A2．(2016·晋江市季延中学期中)某研究所为了检验某血清预防感冒的作用，把500名使用了该血清的志愿者与另外500名未使用该血清的志愿者一年中的感冒记录作比较，提出假设H：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K2≈3.918，经查临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.则下列叙述中正确的是()A．有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”B．若有人未使用该血清，那么他一年中有95%的可能性得感冒C．这种血清预防感冒的有效率为95%D．这种血清预防感冒的有效率为5%【解析】K2≈3.918>3.841，因此有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”，故选A.【答案】 A3．为研究某新药的疗效，给100名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数据：设H k≈________(小数点后保留一位有效数字)，从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性为________．【解析】由公式计算得K2的观测值k≈4.9.∵k>3.841，∴我们有95%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关，从而有5%的可能性出错．【答案】 4.95%4．(2016·潍坊高二检测)为了研究玉米品种对产量的影响，某农科院对一块试验田种植的一批玉米共10 000株的生长情况进行研究，现采用分层抽样方法抽取50株作为样本，统计结果如下：(1)6株玉米，再从这6株玉米中随机选出2株，求这2株之中既有高茎玉米又有矮茎玉米的概率；(2)根据对玉米生长情况作出的统计，是否有95%的把握认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关？【解】(1)依题意，取出的6株圆粒玉米中含高茎2株，记为a，b；矮茎4株，记为A，B，C，D，从中随机选取2株的情况有如下15种：aA，aB，aC，aD，bA，bB，bC，bD，ab，AB，AC，AD，BC，BD，CD.其中满足题意的共有aA，aB，aC，aD，bA，bB，bC，bD，共8种，则所求概率为P＝8 15.(2)根据已知列联表，得k＝50×(11×7－13×19)230×20×24×26≈3.860>3.841，即有95%的把握认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关．。