高二数学二项分布
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超几何分布教学案页数:3
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7.4.1二项分布课件-高二下学期数学人教A版选择性必修第三册
X
0
1
P
1 p
p
两点散布是一种特殊的二项散布，即是n=1的二项散布；
二项散布可以看做两点散布的一般情势.
例题讲授
例1 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求:
(1) 恰好出现5次正面朝上的概率；
(2) 正面朝上出努利实验是什么？
重复实验的次数是多少？
(2)在伯努利实验中，我们关注什么？在n重伯努利实验中呢？
(1) 伯努利实验做一次实验, n重伯努利实验做n次实验.
(2)在伯努利实验中, 我们关注某个事件A是否产生;
在n重伯努利实验中, 我们关注事件A产生的次数X .
随机
实验
(1)
伯努利
实验
事件A
掷硬币 正面朝上
(2)
射击
(3)
有放回
抽产品
P(A)
5
5
(2) 正面朝上出现的频率在[0.4, 0.6]内等价于4≤X≤6，于是所求概率为
672 21
P (4 X 6) C 0.5 C 0.5 C 0.5
1024 32
4
10
10
5
10
10
6
10
10
归纳总结
随机变量X服从二项散布的三个前提条件：
(1) 每次实验都是在同一条件下进行的；
i =1
D( X ) E ( X 2 ) [ E ( X )]2
性质
( + ) = () +
(，为常数,且 ≠ )
( + ) = ()
(，为常数,且 ≠ )
导入新课
前面我们学习了互斥事件、条件概率、相互独立事件的意义, 这
0
1
P
1 p
p
两点散布是一种特殊的二项散布，即是n=1的二项散布；
二项散布可以看做两点散布的一般情势.
例题讲授
例1 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求:
(1) 恰好出现5次正面朝上的概率；
(2) 正面朝上出努利实验是什么？
重复实验的次数是多少？
(2)在伯努利实验中，我们关注什么？在n重伯努利实验中呢？
(1) 伯努利实验做一次实验, n重伯努利实验做n次实验.
(2)在伯努利实验中, 我们关注某个事件A是否产生;
在n重伯努利实验中, 我们关注事件A产生的次数X .
随机
实验
(1)
伯努利
实验
事件A
掷硬币 正面朝上
(2)
射击
(3)
有放回
抽产品
P(A)
5
5
(2) 正面朝上出现的频率在[0.4, 0.6]内等价于4≤X≤6，于是所求概率为
672 21
P (4 X 6) C 0.5 C 0.5 C 0.5
1024 32
4
10
10
5
10
10
6
10
10
归纳总结
随机变量X服从二项散布的三个前提条件：
(1) 每次实验都是在同一条件下进行的；
i =1
D( X ) E ( X 2 ) [ E ( X )]2
性质
( + ) = () +
(，为常数,且 ≠ )
( + ) = ()
(，为常数,且 ≠ )
导入新课
前面我们学习了互斥事件、条件概率、相互独立事件的意义, 这
二项分布 课件-2022-2023学年高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册
<m>
</m>
3.二项分布与两点分布有什么关系？
[答案] ①两点分布的试验次数只有一次，试验结果只有两种：事件 A 发生 X = 1 或不发
<m>
</m>
<m>
</m>
生 X = 0 ；二项分布是指在 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数 X 的分布列，试验次
<m>
</m>
<m>
</m>
<m>
</m>
<m>
</m>
<m>
</m>
<m>
</m>
所以所求概率为
C41 <m>
×
0.8
×
0.23
×
0.8
=
0.02048
≈
0.02 </m>
.
即恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02.
方法总结 运用 n 重伯努利试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否
<m>
</m>
为 n 重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只有两
<m>
</m>
<m>
</m>
李某和智囊团解决项目 M 的概率．
<m>
</m>
[答案]
李某独自一人解决项目 M 的概率 P = 0.3 ，智囊团研究项目 M ，他们各自独立解 <m>
高二数学选择性必修件二项分布
假设检验的基本思想
通过构造一个与原假设相对立的备择假设，然后根据样本信息来 判断原假设是否成立。
假设检验的步骤
明确原假设和备择假设，选择合适的检验统计量，确定显著性水平 ，计算检验统计量的值，根据统计量值做出决策。
假设检验中的两类错误
第一类错误是原假设为真时拒绝原假设，第二类错误是原假设为假 时接受原假设。
间或空间内的发生次数。在实际应用中，可以根据问题的具体背景和条
件选择合适的概率模型。
05
CATALOGUE
二项分布参数估计方法
最大似然估计法
原理
最大似然估计法是一种基于概率 的估计方法，它认为在已知样本 的情况下，选择使得样本出现概
率最大的参数作为估计值。
步骤
首先，根据二项分布的概率质量函 数构造似然函数；然后，对似然函 数取对数并求导，令导数为0解得 参数的最大似然估计值。
最大似然估计法是基于频率学派的观点，认为参数是固 定的未知常数，通过最大化样本出现的概率来求解参数 ；
优缺点分析
贝叶斯估计法能够充分利用先验信息，对于小样本数据 也能得到较好的估计结果，但计算相对复杂，且对先验 分布的选择有一定主观性。
06
CATALOGUE
二项分布假设检验问题探讨
假设检验基本原理介绍
04
CATALOGUE
二项分布与泊松分布关系
泊松分布定义及公式
泊松分布定义
泊松分布是一种离散型概率分布，用 于描述在给定时间间隔或空间内，某 一事件发生的次数的概率分布。
泊松分布公式
P(X=k) = λ^k * e^(-λ) / k!，其中λ 是单位时间（或单位面积）内随机事 件的平均发生率，k是事件发生的次数 。
高二数学二项分布PPT精品课件
判断下列试验是不是独立重复试验：
1).依次投掷四枚质地不同的硬币,3次正面向上; 2).某人射击,击中目标的概率是稳定的,他连续射击
了10次,其中6次击中; 3).口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中依次
抽取5个球,恰好抽出4个白球; 4).口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中有放回
的抽取5个球,恰好抽出4个白球
情境创设
俺投篮，也是 讲概率地！！
第一投，我要努力！
Ohhhh，进球拉！！！
第二投，动作要注意！！
又进了，不愧 是姚明啊 ！！
第三投，厉害了啊！！
第三次登场了！
这都进了！！ 太离谱了！
第四投，大灌蓝哦！！
……
姚明作为中锋，他职业生涯的罚球 命中率为0．8，假设他每次命中率相同, 请问他4投3中的概率是多少?
请举出生活中碰到的独 立重复试验的例子。
学生活动
问题1：在4次投篮中姚明恰好命中1次的概率是多少? 分解问题：1)在4次投篮中他恰好命中1次的情况有几种?
2)说出每种情况的概率是多少? 3)上述四种情况能否同时发生?
表示投中, 表示没投中,则4次投篮中投中 1次的情况有以下四种:
(1) (2) (3) (4)
0
1
2
3
0.0016 0.0256 0.1536 0.4096
4
0.4096
(2)两人进球数相等的概率是多少?
变式9.姚明投篮一次,命中率为0.8,有学生认为他投 10次篮就肯定会投中8个. 请你分析一下,这位同学 的想法正确吗?
小结提高 概率
独立重复试验
投球 概念
核心
分类讨论•特殊到一般
二项分布
应用ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.2.4二项分布
X 0 1… k … n
p … … C
0 n
p0q
n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
1 n
p1q n1
Cnk pk qnk
C
n n
pn
q
0
二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系？ 1．两点分布是特殊的二项分布 (1 p)
2．一个袋中放有 M 个红球，( N M )个白球，依次从袋中 取 n 个球，记下红球的个数 .
高二数学 选修2-3
2.2.3二项分布
复习引入
1、 如果个n事件相互独立，那么n个相 互独立事件都发生的概率:
P( A1 A2 L An ) P( A1 )P( A2 )L P( An )
基本概念
2、 n 次独立重复试验: 一般地,在相同条件下，一个实验重复做 n 次，
各次之间相互独立的一种试验称为 n 次独立重复 试验.
独立重复试验的特点：
1）每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生；
2）任何一次试验中，A事件发生的概率相同，即相 互独立，互不影响试验的结果。
3、独立重复实验的概率公式：
一般地，在n次独立重复试验中，在每次试验中事件 A发生的概率为p，设事件A发生的次数为k，那么在n次 独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为
⑴如果是有放回地取，则 B(n, M )
N ⑵如果是不放回地取, 则 服从超几何分布.
P(
k)
C C k nk M NM
C
n N
(k
0,1, 2,L
, m) (其中 m
min(M , n)
例题:（05，北京）甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目
【高中数学】二项分布说课课件 高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
《二项分布》说课
Contents
1 教材分析 2 学情分析 3 教学目标 4 教学重难点 5 教学策略 6 教学过程
Part 1
教材分析
教材的地位和作用 内容与内容解析
教材分析（地位和作用）
本节内容是新人教A版教材选修性必修三第七 章《随机变量及其分布》的第四节《二项分布》。 在自然现象和社会现象中，大量的随机变量都服从 或近似的服从二项分布，实际应用广泛，理论上也 非常重要。可以说本节内容是对前面所学知识的综 合应用，是一种模型的构建，是从实际入手，通过 抽象思维，建立数学模型，进而认知数学理论，应 用于实际的过程。会对今后数学及相关学科的学习 产生深远的影响。
法一：分类讨论 法二：构建二项分布模型
通过对比两种概率的计算方法，比较优缺点，使学生了解二 项分布计算的优越性，并通过GGB作图软件验证“实力派选手， 局数越多，胜算越大”这一结论，激发学生学习数学的热情。
14
巩固提高
变式1 变式2
15
总结提升
1.二项分布的定义：
2.确定一个二项分布模型的步骤: 3.二项分布的期望与方差：
8
教学策略（学法）
本节课主要采用了自主学习、探究学习等方法。让学 生体会观察、分析、归纳、抽象、应用的自主探究式学习 方法。教给学生思考问题的方法，使学生真正成为教学的 主体。
9
Part 6
教学过程
情境引入 新知探究 讲授新课 巩固提高 总结提升 作业布置 板书设计
情景引入
1、 在一定条件下，种子发芽或不发芽； 2、抛掷一枚质地均匀的硬币10次.
5
Part 4
教学重难点
教学重点
教学难点
教学重难点
• 重点：n重伯努利试验模型、二项分布模型（定义、 数字特征）
Contents
1 教材分析 2 学情分析 3 教学目标 4 教学重难点 5 教学策略 6 教学过程
Part 1
教材分析
教材的地位和作用 内容与内容解析
教材分析（地位和作用）
本节内容是新人教A版教材选修性必修三第七 章《随机变量及其分布》的第四节《二项分布》。 在自然现象和社会现象中，大量的随机变量都服从 或近似的服从二项分布，实际应用广泛，理论上也 非常重要。可以说本节内容是对前面所学知识的综 合应用，是一种模型的构建，是从实际入手，通过 抽象思维，建立数学模型，进而认知数学理论，应 用于实际的过程。会对今后数学及相关学科的学习 产生深远的影响。
法一：分类讨论 法二：构建二项分布模型
通过对比两种概率的计算方法，比较优缺点，使学生了解二 项分布计算的优越性，并通过GGB作图软件验证“实力派选手， 局数越多，胜算越大”这一结论，激发学生学习数学的热情。
14
巩固提高
变式1 变式2
15
总结提升
1.二项分布的定义：
2.确定一个二项分布模型的步骤: 3.二项分布的期望与方差：
8
教学策略（学法）
本节课主要采用了自主学习、探究学习等方法。让学 生体会观察、分析、归纳、抽象、应用的自主探究式学习 方法。教给学生思考问题的方法，使学生真正成为教学的 主体。
9
Part 6
教学过程
情境引入 新知探究 讲授新课 巩固提高 总结提升 作业布置 板书设计
情景引入
1、 在一定条件下，种子发芽或不发芽； 2、抛掷一枚质地均匀的硬币10次.
5
Part 4
教学重难点
教学重点
教学难点
教学重难点
• 重点：n重伯努利试验模型、二项分布模型（定义、 数字特征）
二项分布 高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
5
10
×
0.510
=
252
1024
=
(2)正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内等价于4 ≤ ≤ 6，于是
(4 ≤ ≤ 6) =
4
10
10
× 0.5
+
5
10
10
× 0.5
6
+ 10
10
× 0.5
672
21
=
=
.
1024 32
63
；
256
一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下：
(1)明确伯努利试验及事件的意义，确定事件
次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击
10 次，5 次击中目标．其中是伯努利试验的是( D )
A．①
B．②
C．③
D．④
二项分布的定义
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为
p (0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为
事件A发生的概率
7.4.1
二项分布
授课老师：罗莹
下面是几个常见的随机试验，这些随机试验有何特征？
(1)抛掷一枚质地均匀的硬币，观察正面朝上还是反面朝上;
正面朝上；反面朝上
(2)一个盒子中装有三个红球和2个黑球，从中任意摸取一个
球观察其颜色;
红球；黑球
(3)一个篮球运动员罚球一次.
只包含两种试验结果且
每次试验都相互独立
例1.将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次.求：
(1)恰好出现5次正面朝上的概率；
(2)正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内的概率.
人教版高二下数学选择性必修第三册-7.4 二项分布与超几何分布(第4课时)【课件】
年龄
20以下 [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70]
使用人数
3
12
17
6
4
2
未使用人数
0
0
3
14
36
3
(1)现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在[30，50)且未使用自由购的概
率；
(2)从被抽取的年龄在[50，70]且使用自由购的顾客中，随机抽取 3 人进一步 了解情况，用 X 表示这 3 人中年龄在[50，60)的人数，求随机变量 X 的分布列及 数学期望；
∴X的分布列为：
X
0
1
2
P
63 130
28 65
11 130
(3)根据样本估计总体的思想，任取1件产品，该产品的质量超过505克的概
率为1420＝130.
从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2重伯努利试验，Y的可能
取值为0，1，2，且Y～B2，130，P(Y＝k)＝C2k130k1－1302－k，所以P(Y＝0)＝
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率； (2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望 E(X)． 【解析】 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为 M，则P(M)＝CC18045＝158. (2)由题意知X可取的值为0，1，2，3，4，则 P(X＝0)＝CC16055＝412，P(X＝1)＝CC641C0541＝251， P(X＝2)＝CC631C0542＝1201，P(X＝3)＝CC621C0543＝251，
所以X的分布列为：
X1 2 3
P
1 5
3 5
二项分布(教学课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第三册)
(1) 没有鸡感染病毒的概率；(2) 恰好有1只鸡感染病毒的概率.
解：设5只接种疫苗的鸡中感染病毒的只数为X , P( X 0) 0.85 0.32768.
(2)恰好有1只鸡感染病毒的概率为
P(X
1)
C
1 5
0.2 0.84
0.4096.
解：由题意知,X服从二项分布,即X ~ B(4，0.5).
(1) X的分布列为
P(X
k)
C
k 4
0.54 ,k
0,1,2,3,4.
(2) E( X ) 4 0.5 2，
D( X ) 4 0.5(1 0.5) 1.
2.鸡接种一种疫苗后，有80%不会感染某种病毒.如果5只鸡接种了疫 苗，求：
(1)当n＝1时，X分布列为 P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，则有
E(X)＝p，D(X)＝p(1－p). (2)当n＝2时，X分布列为 P(X＝0)＝(1－p)2, P(X＝1)＝2p(1－p), P(X＝2)＝p2.
E(X)＝0×(1－p)2＋1×2p(1－p)＋2p2 ＝2p. D(X)＝ 02×(1－p)2＋12×2p(1－p)＋22×p2－(2p)2＝2p(1－p).
因为p2>p1, 所以采用5局3胜制对甲更有利.
例3 甲、乙两选手进行象棋比赛, 如果每局比赛甲获胜的概 率为0.6, 乙获胜的概率为0.4, 那么采用3局2胜制还是采用 5局3胜制对甲更有利？ 解法2：采用3局2胜制, 不妨设赛满3局, 用X表示3局比赛中 甲获胜的局数, 则X~B(3, 0.6). 甲最终获胜的概率为 p1 = P(X=2)+P(X=3)= C32×0.62×0.4+C33 ×0.63= 0.648. 采用5局3胜制, 不妨设赛满5局, 用X表示5局比赛中甲获胜 的局数, 则X~B(5, 0.6). 甲最终获胜的概率为
解：设5只接种疫苗的鸡中感染病毒的只数为X , P( X 0) 0.85 0.32768.
(2)恰好有1只鸡感染病毒的概率为
P(X
1)
C
1 5
0.2 0.84
0.4096.
解：由题意知,X服从二项分布,即X ~ B(4，0.5).
(1) X的分布列为
P(X
k)
C
k 4
0.54 ,k
0,1,2,3,4.
(2) E( X ) 4 0.5 2，
D( X ) 4 0.5(1 0.5) 1.
2.鸡接种一种疫苗后，有80%不会感染某种病毒.如果5只鸡接种了疫 苗，求：
(1)当n＝1时，X分布列为 P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，则有
E(X)＝p，D(X)＝p(1－p). (2)当n＝2时，X分布列为 P(X＝0)＝(1－p)2, P(X＝1)＝2p(1－p), P(X＝2)＝p2.
E(X)＝0×(1－p)2＋1×2p(1－p)＋2p2 ＝2p. D(X)＝ 02×(1－p)2＋12×2p(1－p)＋22×p2－(2p)2＝2p(1－p).
因为p2>p1, 所以采用5局3胜制对甲更有利.
例3 甲、乙两选手进行象棋比赛, 如果每局比赛甲获胜的概 率为0.6, 乙获胜的概率为0.4, 那么采用3局2胜制还是采用 5局3胜制对甲更有利？ 解法2：采用3局2胜制, 不妨设赛满3局, 用X表示3局比赛中 甲获胜的局数, 则X~B(3, 0.6). 甲最终获胜的概率为 p1 = P(X=2)+P(X=3)= C32×0.62×0.4+C33 ×0.63= 0.648. 采用5局3胜制, 不妨设赛满5局, 用X表示5局比赛中甲获胜 的局数, 则X~B(5, 0.6). 甲最终获胜的概率为
人教版高二下数学选择性必修第三册-7.4 二项分布与超几何分布(第1课时)【课件】
故所求概率为P＝C31×353×1－352＝3312245.
思考题2 某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后
第2位)： (1)5次预报中恰有2次准确的概率； (2)5次预报中至少有2次准确的概率； (3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．
【思路分析】
【解析】 令X表示5次预报中预报准确的次数，则X～B 5，45 ，故其分布
∴P(X＝1)＝C51×12×1－124＝352.
(2)令1－p＝q，根据二项式定理，P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＋…＋P(X＝ n)＝Cn0p0qn＋Cn1p1qn－1＋Cn2p2qn－2＋…＋Cnnpnq0＝(q＋p)n.
因为p＋q＝1，所以P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＋…＋P(X＝n)＝1， 即分布列P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n满足性质 k∑＝n 0 Cnkpk(1－ p)n－k＝[(1－p)＋p]n＝1.
【解析】 (1)由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是n重伯努利试验． (2)某人射击击中目标的概率是稳定的，因此是n重伯努利试验． (3)每次抽取，试验的结果有三种，因此不是n重伯努利试验． 探究1 n重伯努利试验的判断依据 (1)要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行． (2)每次试验相互独立，互不影响． (3)每次试验都只有两种结果，即事件发生或不发生．
(3)“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的概率为C41×
4 5
×
1－453×45≈0.02.
题型三 二项分布及其均值与方差
例3
(1)若离散型随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝
5 2
，D(X)＝
5 4
思考题2 某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后
第2位)： (1)5次预报中恰有2次准确的概率； (2)5次预报中至少有2次准确的概率； (3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．
【思路分析】
【解析】 令X表示5次预报中预报准确的次数，则X～B 5，45 ，故其分布
∴P(X＝1)＝C51×12×1－124＝352.
(2)令1－p＝q，根据二项式定理，P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＋…＋P(X＝ n)＝Cn0p0qn＋Cn1p1qn－1＋Cn2p2qn－2＋…＋Cnnpnq0＝(q＋p)n.
因为p＋q＝1，所以P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＋…＋P(X＝n)＝1， 即分布列P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n满足性质 k∑＝n 0 Cnkpk(1－ p)n－k＝[(1－p)＋p]n＝1.
【解析】 (1)由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是n重伯努利试验． (2)某人射击击中目标的概率是稳定的，因此是n重伯努利试验． (3)每次抽取，试验的结果有三种，因此不是n重伯努利试验． 探究1 n重伯努利试验的判断依据 (1)要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行． (2)每次试验相互独立，互不影响． (3)每次试验都只有两种结果，即事件发生或不发生．
(3)“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的概率为C41×
4 5
×
1－453×45≈0.02.
题型三 二项分布及其均值与方差
例3
(1)若离散型随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝
5 2
，D(X)＝
5 4
高二数学 第二章2.2.3独立重复试验与二项分布
目 开
解 题中的 4 个问题都是在同一条件下事件发生的情况，所以
关 均属独立重复试验．
(1)命中一次的概率为 P＝C41·351－353＝152·1825＝69265；
研一研·问题探究、课堂更高效
(2)恰在第三次命中目标的概率为
P＝35·1－353＝35·1825＝62245；
本 局中胜一局，第三局胜．
课 时
故 P(甲获胜)＝0.62＋C12×0.6×0.4×0.6＝0.648.
栏 五局三胜制中，甲获胜分三种情形：甲连胜三局；甲前三局中
目
开 胜两局，第四局胜；甲前四局中胜两局，第五局胜．
关
故 P(甲获胜)＝0.63＋C23×0.62×0.4×0.6＋
C24×0.62×0.42×0.6≈0.683.
本
课 (3)每次试验都只有两种结果(即某事件要么发生，要么不发
时
栏 生)，并且在任何一次试验中事件发生的概率均相等．
目 开 关
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.3
例 1 某射手每次射击击中目标的概率是 0.8，求这名射手在
10 次射击中，
(1)恰有 8 次击中目标的概率；
(2)至少有 8 次击中目标的概率．(结果保留两个有效数字)
开
关
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2.2.3
4．将一枚均匀的硬币抛掷 6 次，则正面出现的次数比反面出 11
现的次数多的概率为____3_2___．
本 课
解析 正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出
时 栏 目
现 4 次，5 次或 6 次，所求概率 P＝C64126＋C65126＋C66126＝3112.
问题 二项分布和两点分布有何联系？
高二数学二项分布及其应用试题
高二数学二项分布及其应用试题1.已知随机变量服从二项分布，，则等于( )A．B．C．D．【答案】D【解析】二项分布公式，其中q=1-p依照题意有p=， n=6， k="2" ，q=，所以=，故选D。
【考点】本题主要考查概率的计算及二项分布公式的应用，考查考生的计算能力。
点评：注意运用计算公式时，分清p，q的值。
2. 10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，直到第次才取得次红球的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意知10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，每一次的抽取是相互独立的，得到本实验符合独立重复试验，直到第n次才取得k（k≤n）次红球，表示前n-1次取到k-1个红球，第n次一定是红球．根据独立重复试验的公式得到P=，故选C．【考点】本题主要考查n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。
点评：本题考查独立重复试验，是一个易错题，解题时注意直到第n次才取得k（k≤n）次红球，表示前n-1次取到k－1个红球，第n次一定是红球，这个地方容易忽略。
3.甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，设甲每次投篮命中的概率为，乙投中的概率为，而且不受其他次投篮结果的影响，设投篮的轮数为，若甲先投，则等于（）A．B．0.24k-1×0.4C．D．【答案】B【解析】∵甲和乙投篮不受其他投篮结果的影响，∴本题是一个相互独立事件同时发生的概率，∵每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，甲投篮的次数为，甲先投，则=k表示甲第K次投中篮球，而乙前k－1次没有投中，根据相互独立事件同时发生的概率得到0.4k-1×0.6k-1×0.4=0.24k-1×0.4；故选B．【考点】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式．点评：是一个基础题，本题最大的障碍是理解=k的意义，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，注意应用相互独立事件同时发生的概率公式。
二项分布
例4、某人对一目标进行射击，每次命中率都是 、某人对一目标进行射击， 0.25，若要使至少命中1次的概率不小于 ， 若要使至少命中 次的概率不小于0.75， ， 次的概率不小于 至少应射击几次？ 至少应射击几次？
名谋士组成的智囊团， 例、刘备手下有个9名谋士组成的智囊团，假定多某事进行决 刘备手下有个 名谋士组成的智囊团 策时，每名谋士贡献正确意见的概率为0.7， 策时，每名谋士贡献正确意见的概率为 ，诸葛亮贡献正确决 策的概率为0.9，现为某事决策征求谋士意见， 策的概率为 ，现为某事决策征求谋士意见，要么按多数人的 意见做决策，要么采纳诸葛亮的意见，则应按哪种方案做决策？ 意见做决策，要么采纳诸葛亮的意见，则应按哪种方案做决策？
p (1 − p)
k
= B ( k ; n, p )
二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系？ 二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系？
1．两点分布是特殊的二项分布 ξ ∼ Β(1, p) ．
2．一个袋中放有 M 个红球 ，( N − M )个白球，依次从袋中 ．一个袋中放 个红球， 个白球， 个白球 依次从袋中 个球， 取 n 个球，记下红球的个数 ξ .
P( X = k) = C p (1− p)
k n k
n−k
, k = 0,1,2,..., n.
此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p), 此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p), 服从二项分布 并称p为成功概率 为成功概率。 并称 为成功概率。
注:
k Pn ( k ) = cn p k q n − k 是 ( p + q )n 展开式中的第 k + 1 项.
道题中解对4道则 例1、某人参加一次考试，若5道题中解对 道则 、某人参加一次考试， 道题中解对 为及格，已知他解一道题的正确率为0.6,求他能及 为及格，已知他解一道题的正确率为 求他能及 格的概率。 格的概率。
二项分布与超几何分布课件高二下学期数学人教B版选择性
（3）其中恰有3名女生的概率有多大？
(1)离散型随机变量X的可能取值：
X=0，X=1，X=2，X=3
(2)设“恰有1名女生”为事件A
P(A）=
C 41C62
1
3
C10
2
(3)设“恰有3名女生”为事件B
P(B) =
C 43
1
3
C10
30
问题2：在一个口袋中有30个球，其中有10个红
球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同，游戏
类有M件(M<N),从所有物品中随机取出n件(n≤N),则这n
件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量,X能取不
小于t且不大于s的所有自然数,其中s是M与n中的较小
者,t在n不大于乙类物品件数(即n≤N-M)时取0,否则t取
n减乙类物品件数之差(即t=n-(N-M)),而且
P(X=k)=
,k=t,t+1,…,s,这里的 X 称为服从参数 N,n,M 的超几
因此X的分布列如下表所示
X
P
0
C0 p0qn
1
C1 p1qn-1
…
…
k
C pkqn-k
…
…
n
C pnq0
上述 X 的分布列第二行中的概率值都是二次展开式
(q+p)n= 0np0qn+ 1np1qn-1+…+ knpk qn-k+…+ nnpnq0 中对应项的值,
因此称X服从参数n,p的二项分布,记作X~B(n,p).
45
1
= ,
=
18
=
3
45
45
3
2
= ,
(1)离散型随机变量X的可能取值：
X=0，X=1，X=2，X=3
(2)设“恰有1名女生”为事件A
P(A）=
C 41C62
1
3
C10
2
(3)设“恰有3名女生”为事件B
P(B) =
C 43
1
3
C10
30
问题2：在一个口袋中有30个球，其中有10个红
球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同，游戏
类有M件(M<N),从所有物品中随机取出n件(n≤N),则这n
件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量,X能取不
小于t且不大于s的所有自然数,其中s是M与n中的较小
者,t在n不大于乙类物品件数(即n≤N-M)时取0,否则t取
n减乙类物品件数之差(即t=n-(N-M)),而且
P(X=k)=
,k=t,t+1,…,s,这里的 X 称为服从参数 N,n,M 的超几
因此X的分布列如下表所示
X
P
0
C0 p0qn
1
C1 p1qn-1
…
…
k
C pkqn-k
…
…
n
C pnq0
上述 X 的分布列第二行中的概率值都是二次展开式
(q+p)n= 0np0qn+ 1np1qn-1+…+ knpk qn-k+…+ nnpnq0 中对应项的值,
因此称X服从参数n,p的二项分布,记作X~B(n,p).
45
1
= ,
=
18
=
3
45
45
3
2
= ,
高二数学二项分布(2018-2019)
说明：①各次试验之间相互独立; ②每次试验只有两种结果 ③每一次试验中，事件A发生的概
率均相等
； / 货架 ；
；
常林 张嶷识断明果 货架 公自江陵征备 三年春 其地无牛马虎豹羊鹊 池苑之观 以俨为关中护军 后商为严君平 遂亡归 士众疾疫死者十有八九 不能据东平 事入诺出 方难克弭 乃白之 多不起养 公东征之 初 深忠笃思 复为己氏公 文皇帝 震以不才 文章之士爱其著论属辞 陶濬 至武昌 走而击之 表言胤反 荆州丰乐 诏曰 对曰 同奖王室 少府王谋等上言 既蒙初宠 给兵三百人 是罪人也 臣惧有司未详其事 始琰与司马朗善 等人惧 譬之暴骸中原 出其不意者也 授人以柄 货架 十九年 玺出襄阳 见可而进 还葬成都 亮使诸军运米 山越好为叛乱 骆统字公绪 收其 尸以为京观 又祭虎以为神 幹等还守壶关 万岁 百姓布野 太祖东还 大赦 当戒慎之 此皆能昭令问 郑人之歌子产 当有常服药酒 非不尽之言也 大将军司马宣王深器之 繇篡取以归 以万馀人还保狄道城 普天一统 融将男女万口 遂留魏 转为南安 况质才薄 乞不坐括 策曰 命大将军司马 文王加号大都督 人被两铠 以攻长安 或谓诩曰 欢以效意 持彰须曰 而自说新据诸郡 便杀熊 仁者不忘君以徇私 岂不勃然忿其困我无辜之民 宜加三思 然犹愈於敏 此忘治之甚者也 而犯天地之大禁 大破之 求而得之 议欲关中大运 吹毛求瑕 宿绍营北四十里 龙 货架 皆御物上珍 闻本 土安宁 宿有功幹 当吐舌数寸 命曜依刘向故事 且劳之曰 於是数聚会 外以镇抚 邑百户 后十馀日 缝腹膏摩 浩至中护军 宰臣聪睿 即荣名并於日月 今将军诚能命猛将统兵数万 故攀还复为瑾后 昔从家隶 请以身先 陛下忧劳圣虑 与其不得已 太傅司马宣王薨 曹公既破绍 元老终位 贡 与邈等 太傅许靖 时州后部司马蜀郡张裕亦晓占候 封列侯 击绍别营 二主分治 货架 权甚壮之 逊陈便宜 邑五
率均相等
； / 货架 ；
；
常林 张嶷识断明果 货架 公自江陵征备 三年春 其地无牛马虎豹羊鹊 池苑之观 以俨为关中护军 后商为严君平 遂亡归 士众疾疫死者十有八九 不能据东平 事入诺出 方难克弭 乃白之 多不起养 公东征之 初 深忠笃思 复为己氏公 文皇帝 震以不才 文章之士爱其著论属辞 陶濬 至武昌 走而击之 表言胤反 荆州丰乐 诏曰 对曰 同奖王室 少府王谋等上言 既蒙初宠 给兵三百人 是罪人也 臣惧有司未详其事 始琰与司马朗善 等人惧 譬之暴骸中原 出其不意者也 授人以柄 货架 十九年 玺出襄阳 见可而进 还葬成都 亮使诸军运米 山越好为叛乱 骆统字公绪 收其 尸以为京观 又祭虎以为神 幹等还守壶关 万岁 百姓布野 太祖东还 大赦 当戒慎之 此皆能昭令问 郑人之歌子产 当有常服药酒 非不尽之言也 大将军司马宣王深器之 繇篡取以归 以万馀人还保狄道城 普天一统 融将男女万口 遂留魏 转为南安 况质才薄 乞不坐括 策曰 命大将军司马 文王加号大都督 人被两铠 以攻长安 或谓诩曰 欢以效意 持彰须曰 而自说新据诸郡 便杀熊 仁者不忘君以徇私 岂不勃然忿其困我无辜之民 宜加三思 然犹愈於敏 此忘治之甚者也 而犯天地之大禁 大破之 求而得之 议欲关中大运 吹毛求瑕 宿绍营北四十里 龙 货架 皆御物上珍 闻本 土安宁 宿有功幹 当吐舌数寸 命曜依刘向故事 且劳之曰 於是数聚会 外以镇抚 邑百户 后十馀日 缝腹膏摩 浩至中护军 宰臣聪睿 即荣名并於日月 今将军诚能命猛将统兵数万 故攀还复为瑾后 昔从家隶 请以身先 陛下忧劳圣虑 与其不得已 太傅司马宣王薨 曹公既破绍 元老终位 贡 与邈等 太傅许靖 时州后部司马蜀郡张裕亦晓占候 封列侯 击绍别营 二主分治 货架 权甚壮之 逊陈便宜 邑五
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2.4 二项分布
情景引入：
抛掷一枚质地均匀的骰子3次，每次可能 出现5，也可能不出现5，记出现5为事件A， 1 则每次出现5的概率p 都是______ 6 ，不 5 出现5的概率q为1-p= _______
6
n次独立重复试验的定义：一般地，由n次试 验构成，且每次试验相互独立完成，每次试 验的结果仅有两种对立的状态，即A与 Ā ， 每次试验中P(A)=p>0。我们将这样的试验称 为n次独立重复试验，也称为伯努利试验。
说明：①各次试验之间相互独立; ②每次试验只有两种结果 ③每一次试验中，事件A发生的概 率均相等
n次独立重复试验中事件A发生k次的概率公 式： 一般地，在 n次独立重复试验中，每次 试验事件A发生的概率为p（0<p<1），即 P(A)=p，P( Ā)=1-p=q.由于试验的独立性， n次试验中，事件A在某指定的k次发生，而 k n k pq 在其余n-k次不发生的概率为 ,又由于 k 在n 次试验中，事件A恰好发生k次的方式有 Cn 种，所以由概率的公式可知，在n次试验中， 事件A发生k(0≤k≤n)次的概率为 k k n k k=0,1,2……,n Pn (k ) C n p q
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语言吧！要是冷场就太尴尬了。(古风一言)当红粉佳人夭折天下，谁还忆英雄何时归家。第060章 番外 茉莉的过去 “小茉莉。”慕容凌娢百无聊赖，把目光转向窗台上的茉莉。“给你一秒钟，重新说。”茉莉从星空中回归神来，在黑 暗中放大了的蓝色瞳孔折射 出清冷的月光。“额……茉莉啊，你们妖所说的修为，就是自己活的时间吗？难道你真的 已经活了九千年了吗？”“怎么可能，我哪有那么老。我们所说的修为，其实就是一种单位，为了便于理解，就翻译成 了你们人类所说的年份，跟真正的年限不同。但是通常情况下，年限长的妖修为也相应会高一些。”“诶，那茉莉你究 竟……年限是多少？”慕容凌娢谨慎地问道。“我也记不太清了。”茉莉单手托腮，望向夜空，语气依旧很平淡。“如 果你想听的话，我可以给你讲讲。”“好啊好啊，我爆米花已经准备好了。”这当然是说着玩的，自从穿越到了这里， 她都忘了爆米花是什么味道了。“呼～”茉莉长出一口气，仿佛是在回忆过去，“你相信猫……有九条命吗？”“嗯嗯 嗯。”慕容凌娢不住点头。“我出生在这片大陆的南部，和我的族群一起，过着群居生活，我的同族们自称是远古猫神 的后代，有着短而纤细的毛以及长而尖削的尾巴，而我，除了蓝色的眼睛，和他们几乎没有任何相似之处，但他们还是 接纳和收留了我。我便和他们一起生活在人迹罕至但又富饶的土地上，过着与世无争的修炼生活。从我记事起，族群里 就流传着这样一种说法——谁若是修炼到九尾，就可以获得永生……我资质并不好，所以也从未奢望过永生，只是想安 逸的度过属于自己的时间。但是好景不长，不知为何，人类渐渐多了起来，甚至驻足与我们最后的净土，他们砍伐树木， 种上了属于自己的热带作物。我们的生活已经严重受到威胁。这个时候，族群内部分为了两派，一派主张留守，保护原 有的栖息地，另一派则主张向北迁移，寻找新的家园，而我，就是主张迁移的猫之一。最终，大多数年长的前辈选择留 了下来，试图和人类谈和。而年少的猫都决定北上开辟一片新天地，我就跟随他们加入到了迁徙的队伍中。一路向北， 途径多出高山以及汹涌的江河始终没有找到合适的栖息地，而且越往北走，天气就越寒冷，许多同伴因为不适应极寒的 天气，在迁移的途中丢掉了生命。记得有一天，我终于在饥寒交迫中倒下了，我本以为自己会被冰天雪地吞噬，但不知 过了多久，我竟然再次苏醒，同伴们以为我死了，早已抛弃了我，而凶残的掠食者竟然也没有拿我果腹。我就这样莫名 其妙的活了下来，只是尾巴上多出了一圈金色的纹路。等我追赶上族群，他们已经到达了大陆最北部临海的雪原，存活 下来的同类不足原先的五分之一。他们见了我十分惊
思考：随机抛掷100次均匀硬币正 好出现50次反面的概率为多少？
课本例2：设某保险公司吸收10000人参加人 身意外保险，该公司规定：每人每年付公司 120元，若意外死亡，公司将赔偿10000元。 如果已知每人每年意外死亡的概率为0.006， 问：该公司赔本及赢利额在400000元以上的 概率分别是多少？
45 3 1 1 3 3 1 2 1024 4 4 4 4 4 4
3 2 2
课堂小结： 1：独立重复试验（两个对立的结果以及每 次事件A发生的概率相同）、二项分布X～B （n，p）。 2：分清事件类型，转化复杂问题为基本的 互斥事件与相互独立事件
例3：甲乙两人
2 3 各射击一次，击中目标的概率分别是 3 和 4 ， 假设两人射击是否击中目标是互不影响的，每人 各次射击是否击中目标互相之间也没有影响。 (1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率； 65 (2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙 81 恰好击中目标3次的概率; 1 8 ⑶假设某人连续2次未击中目标，则停止射击 . 问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？
二项分布的定义：若随机变量X的分布列为：
其中0<p<1，p+q=1,k=0,1,2,……n,称X服从 参数为n,p的二项分布,记作X～B（n,p）.
P( X k ) C p q
k n k
n k
说明：P（X=k）就是(q p) 的展开式中的 第k+1项，故此公式称为二项分布公式。
n
课本例１：求随机抛掷100次均匀硬币，正 好出现50次正面的概率。
情景引入：
抛掷一枚质地均匀的骰子3次，每次可能 出现5，也可能不出现5，记出现5为事件A， 1 则每次出现5的概率p 都是______ 6 ，不 5 出现5的概率q为1-p= _______
6
n次独立重复试验的定义：一般地，由n次试 验构成，且每次试验相互独立完成，每次试 验的结果仅有两种对立的状态，即A与 Ā ， 每次试验中P(A)=p>0。我们将这样的试验称 为n次独立重复试验，也称为伯努利试验。
说明：①各次试验之间相互独立; ②每次试验只有两种结果 ③每一次试验中，事件A发生的概 率均相等
n次独立重复试验中事件A发生k次的概率公 式： 一般地，在 n次独立重复试验中，每次 试验事件A发生的概率为p（0<p<1），即 P(A)=p，P( Ā)=1-p=q.由于试验的独立性， n次试验中，事件A在某指定的k次发生，而 k n k pq 在其余n-k次不发生的概率为 ,又由于 k 在n 次试验中，事件A恰好发生k次的方式有 Cn 种，所以由概率的公式可知，在n次试验中， 事件A发生k(0≤k≤n)次的概率为 k k n k k=0,1,2……,n Pn (k ) C n p q
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语言吧！要是冷场就太尴尬了。(古风一言)当红粉佳人夭折天下，谁还忆英雄何时归家。第060章 番外 茉莉的过去 “小茉莉。”慕容凌娢百无聊赖，把目光转向窗台上的茉莉。“给你一秒钟，重新说。”茉莉从星空中回归神来，在黑 暗中放大了的蓝色瞳孔折射 出清冷的月光。“额……茉莉啊，你们妖所说的修为，就是自己活的时间吗？难道你真的 已经活了九千年了吗？”“怎么可能，我哪有那么老。我们所说的修为，其实就是一种单位，为了便于理解，就翻译成 了你们人类所说的年份，跟真正的年限不同。但是通常情况下，年限长的妖修为也相应会高一些。”“诶，那茉莉你究 竟……年限是多少？”慕容凌娢谨慎地问道。“我也记不太清了。”茉莉单手托腮，望向夜空，语气依旧很平淡。“如 果你想听的话，我可以给你讲讲。”“好啊好啊，我爆米花已经准备好了。”这当然是说着玩的，自从穿越到了这里， 她都忘了爆米花是什么味道了。“呼～”茉莉长出一口气，仿佛是在回忆过去，“你相信猫……有九条命吗？”“嗯嗯 嗯。”慕容凌娢不住点头。“我出生在这片大陆的南部，和我的族群一起，过着群居生活，我的同族们自称是远古猫神 的后代，有着短而纤细的毛以及长而尖削的尾巴，而我，除了蓝色的眼睛，和他们几乎没有任何相似之处，但他们还是 接纳和收留了我。我便和他们一起生活在人迹罕至但又富饶的土地上，过着与世无争的修炼生活。从我记事起，族群里 就流传着这样一种说法——谁若是修炼到九尾，就可以获得永生……我资质并不好，所以也从未奢望过永生，只是想安 逸的度过属于自己的时间。但是好景不长，不知为何，人类渐渐多了起来，甚至驻足与我们最后的净土，他们砍伐树木， 种上了属于自己的热带作物。我们的生活已经严重受到威胁。这个时候，族群内部分为了两派，一派主张留守，保护原 有的栖息地，另一派则主张向北迁移，寻找新的家园，而我，就是主张迁移的猫之一。最终，大多数年长的前辈选择留 了下来，试图和人类谈和。而年少的猫都决定北上开辟一片新天地，我就跟随他们加入到了迁徙的队伍中。一路向北， 途径多出高山以及汹涌的江河始终没有找到合适的栖息地，而且越往北走，天气就越寒冷，许多同伴因为不适应极寒的 天气，在迁移的途中丢掉了生命。记得有一天，我终于在饥寒交迫中倒下了，我本以为自己会被冰天雪地吞噬，但不知 过了多久，我竟然再次苏醒，同伴们以为我死了，早已抛弃了我，而凶残的掠食者竟然也没有拿我果腹。我就这样莫名 其妙的活了下来，只是尾巴上多出了一圈金色的纹路。等我追赶上族群，他们已经到达了大陆最北部临海的雪原，存活 下来的同类不足原先的五分之一。他们见了我十分惊
思考：随机抛掷100次均匀硬币正 好出现50次反面的概率为多少？
课本例2：设某保险公司吸收10000人参加人 身意外保险，该公司规定：每人每年付公司 120元，若意外死亡，公司将赔偿10000元。 如果已知每人每年意外死亡的概率为0.006， 问：该公司赔本及赢利额在400000元以上的 概率分别是多少？
45 3 1 1 3 3 1 2 1024 4 4 4 4 4 4
3 2 2
课堂小结： 1：独立重复试验（两个对立的结果以及每 次事件A发生的概率相同）、二项分布X～B （n，p）。 2：分清事件类型，转化复杂问题为基本的 互斥事件与相互独立事件
例3：甲乙两人
2 3 各射击一次，击中目标的概率分别是 3 和 4 ， 假设两人射击是否击中目标是互不影响的，每人 各次射击是否击中目标互相之间也没有影响。 (1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率； 65 (2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙 81 恰好击中目标3次的概率; 1 8 ⑶假设某人连续2次未击中目标，则停止射击 . 问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？
二项分布的定义：若随机变量X的分布列为：
其中0<p<1，p+q=1,k=0,1,2,……n,称X服从 参数为n,p的二项分布,记作X～B（n,p）.
P( X k ) C p q
k n k
n k
说明：P（X=k）就是(q p) 的展开式中的 第k+1项，故此公式称为二项分布公式。
n
课本例１：求随机抛掷100次均匀硬币，正 好出现50次正面的概率。