高中数学课时作业：二项分布与正态分布

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解：(1)设“打分结束后，方案一恰好领先方案二 1 分”为事件 A，由题可得方案一 5
项功能获胜 3 项，所以 P(A)＝C53233132＝28403.
(2)由题意可知 X～B5，23，P(X＝0)＝135＝2143；P(X＝1)＝C51×23×134＝21403；P(X＝
2)＝C25×232×133＝24403；P(X＝3)＝C53×233×132＝28403；P(X＝4)＝C45×234×13＝28403；P(X
解析：X 服从超几何分布，P(X＝k)＝C7kCC1118500－k，故 k＝4.
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4．(教材改编题)设随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,1)，若 P(ξ>1)＝p，则 P(－1<ξ≤0) ＝___12_－__p____.
解析：ξ 服从正态分布 N(0,1)，P(－1<ξ≤0)＝P(0≤ξ<1)＝12－P(ξ>1)＝12－p.
＝1M5，因此 D 正确；对于 C，假若 C 正确可得 E(X)<E(Y)，则 D 错误，矛盾！故 C 错误．故 选 ABD．
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第二 部 分
关键能力 提升
课堂探究·考点精讲
考点1 二项分布
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命题角度 1 n 重伯努利试验 【例 1】 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．甲先投且先投中者获胜，约定有 人获胜或每人都已投球 2 次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中 的概率为12，且各次投篮互不影响． (1)求甲获胜的概率； (2)求投篮结束时，乙只投了 1 个球的概率．
A．随机变量 X 服从二项分布 B．随机变量 Y 服从超几何分布 C．P(X＝k)<P(Y＝k) D．E(X)＝E(Y)

课时规范练61二项分布与正态分布基础巩固组1.(2019湖北钟祥一模,6)某班有50名学生,一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N(105,102),已知P(95≤ξ≤105)=0.32,估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为( )A.10B.9C.8D.72.(2019四川成都一诊,6)如果{an}不是等差数列,但若∃k∈N*,使得ak+ak+2=2ak+1,那么称{an}为“局部等差”数列.已知数列{xn}的项数为4,记事件A:集合{x1,x2,x3,x4}⊆{1,2,3,4,5},事件B:{xn}为“局部等差”数列,则条件概率P(B|A)=( )A.415B.730C.15D.163.(2019四川广安模仿,7)设随机变量X服从二项分布X~B,则函数f(x)=x2+4x+X存在零点的概率是( )A.56B.45C.3132D.124.2018年武邑中学髙三第四次模拟考试竣事后,对全校的数学结果举行统计,发现数学成绩的频率分布直方图形状与正态分布N(95,82)的密度曲线非常拟合.据此统计,在全校随机抽取的4名高三同砚中,恰有2名同学的数学成绩超过95分的概率是( )A.16B.12C.13D.385.(2019江西上饶模仿,6)甲、乙、丙三人到场一次测验,他们及格的概率分别为,那么三人中恰有两人合格的概率是( )A.25B.715C.1130D.166.在4次独立重复试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不小于其恰好发生2次的概率,则事件A在一次试验中发生的概率p 的范围是( )A.(0,0.6]B.[0.6,1)C.[0.4,1)D.(0,0.4]7.(2019山东淄博模仿,14)在某项丈量中,测得变量ξ~N(1,σ2)(σ>0).若ξ在(0,2)内取值的概率为0.8,则ξ在(1,2)内取值的概率为( )A.0.2B.0.1C.0.8D.0.48.质检部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别随机抽取100桶检测某项质量指标,由检测结果得到如图的频率分布直方图:甲乙(1)写出频率分布直方图(甲)中a的值;记甲、乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差分别为,试比较的大小(只要求写出答案);(2)估计在甲、乙两种食用油中各随机抽取1桶,恰有一桶的质量指标大于20,且另一桶的质量指标不大于20的概率;(3)由频率漫衍直方图能够以为,乙种食用油的质量指标值Z服从正态分布N(μ,δ2).其中μ类似为样本平均数,δ2类似为样本方差,设X表示从乙种食用油中随机抽取10桶,其质量指标值位于(14.55,38.45)的桶数,求X的数学盼望.注:①同一组数据用该区间的中点值作代表,计算得s2=≈11.95;②若Z~N(μ,δ2),则P(μ-δ<Z<μ+δ)=0.682 7,P(μ-2δ<Z<μ+2δ)=0.954 5.综合提升组9.(2019湖北武汉调研,7)为了提拔全民身体素质,学校十分器重学生体育锻炼.某校篮球运动员投篮训练,若他第1球投进则后一球投进的概率为.若他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第1球投进的概率为,则他第2球投进的概率为( )A.34B.58C.716D.91610.设事件A在每次试验中产生的概率雷同,且在三次独立重复试验中,若事件A至少产生一次的概率为,则事件A恰好发生一次的概率为( )A.14B.34C.964D.276411.若随机变量X~N(2,32),且P(X≤1)=P(X≥a),则(x+a)2ax-1√5展开式中x3项的系数是.12.(2019河北唐山一诊,19)《山东省高考改革试点方案》规定:从2017年秋季高中入学的复活开始,不分文理科;2020年开始,高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目组成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8个等级.参照正态分布原则,确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.选考科目成绩计入考生总成绩时,将A至E等级内的考生原始结果,依照等比例转换规则,分别转换到[91,100]、[81,90]、[71,80]、[61,70]、[51,60]、[41,50]、[31,40]、[21,30]八个分数区间,得到考生的品级结果.某校高一年级共2 000人,为给高一学生公道选科提供依据,对六个选考科目举行测试,其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N(60,169).(1)求物理原始成绩在区间(47,86)的人数;(2)按高考改革方案,若从全省考生中随机抽取3人,记X表示这3人中等级成绩在区间[61,80]的人数,求X的漫衍列和数学盼望.(附:若随机变量ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=0.682,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.954,P(μ-3σ<ξ<μ+3σ)=0.997)创新应用组13.某人有4把钥匙,其中2把能打开门.现随机地取1把钥匙试着开门,不克不及开门的就抛弃,问第二次才能打开门的概率是.如果试过的钥匙不抛弃,这个概率又是.14.(2019全国2,理18)11分制乒乓球角逐,每赢一球得1分.当某局打成10∶10平后,每球互换发球权,先多得2分的一方得胜,该局角逐竣事.甲、乙两位同砚举行单打角逐,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的效果相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了X个球该局角逐竣事.(1)求P(X=2);(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.15.为了引导住民公道用电,国家决定实验公道的门路电价,居民用电原则上以住宅为单位(一套住宅为一户).某市随机抽取10户同一个月的用电环境,得到统计表如下:(1)若规定第一阶梯电价每度0.5元,第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元,第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元,试计算A居民用电户用电410度时应交电费多少元?(2)现要在这10户家庭中任意选取3户,求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望;(3)以表中抽到的10户作为样本预计全市的住民用电,现从全市中依次抽取10户,若抽到k户用电量为第一门路的可能性最大,求k的值.参考答案课时规范练61二项分布与正态分布1.B∵考试的成绩ξ服从正态分布N(105,102).∴考试的成绩ξ关于ξ=105对称.∵P(95≤ξ≤105)=0.32,∴P(ξ≥115)=1(1-0.64)=0.18,∴该班数学成绩在115分以上的人数为0.18×50=9,故选B.2.C 由题意知,事件A共有=120个根本变乱,事件B:“局部等差”数列共有以下24个根本变乱,(1)其中含1,2,3的局部等差的分别为1,2,3,5和5,1,2,3和4,1,2,3共3个,含3,2,1的局部等差数列的同理也有3个,共6个.含3,4,5的和含5,4,3的与上述(1)相同,也有6个.含2,3,4的有5,2,3,4和2,3,4,1共2个,含4,3,2的同理也有2个.含1,3,5的有1,3,5,2和2,1,3,5和4,1,3,5和1,3,5,4共4个,含5,3,1的也有上述4个,共24个,所以P(B|A)=24120=15.故选C.3.C∵函数f(x)=x2+4x+X存在零点,∴Δ=16-4X≥0,∴X≤4,∵随机变量X服从二项分布X~B(5,12),∴P(X≤4)=1-P(X=5)=1-125=3132.故选C.4.D 由题意,数学成绩超过95分的概率是,在全校随机抽取的4名高三同砚中,恰有2名同学的数学成绩超过95分的概率是2×2=5.B 由题意知本题是一个相互独立变乱同时产生的概率,三个人中恰有2个合格,包罗三种环境,这三种环境是互斥的,所以三人中恰有两人及格的概率,故选B.6.D事件A在一次试验中发生的概率为p,∵随机事件A 恰好发生1次的概率不小于其恰好发生2次的概率,∴C 41p (1-p )3≥C 42p 2(1-p )2,解得p ≤0.4.7.0.4 因为ξ符合正态分布N (1,σ2),所以曲线的对称轴是x=1,因为ξ在(0,2)内取值的概率为0.8,所以ξ在(1,2)内取值的概率为0.4.8.解 (1)由频率分布直方图的性质得(0.010+a+0.020+0.025+0.030)×10=1,解得a=0.015.记甲、乙两种食用油100桶的质量指标的方差分别为,由甲、乙两种食用油检测结果得到的频率分布直方图得到s 12>s 22. (2)设事件A :在甲种食用油中随机抽取1桶,其质量指标不大于20, 事件B :在乙种食用油中随机抽取1桶,其质量指标不大于20,事件C :在甲、乙两种食用油中随机抽取1桶,恰有一桶的质量指标大于20,且另一桶不大于20,则P (A )=0.20+0.10=0.3, P (B )=0.10+0.20=0.3,所以P (C )=P (A )P (B )+P (A )P (B )=0.42.(3)x =(5×0.01+15×0.02+25×0.03+35×0.025+45×0.015)×10=26.5, ∵s 2≈11.95,∴由条件得Z~N (26.5,142.75),从而P (26.5-11.95<Z<26.5+11.95)=0.682 7,∴从乙种食用油中随机抽取10桶,其质量指标值位于(14.55,38.45)的概率是0.682 7,依题意得X~B (10,0.682 7),∴E (X )=10×0.682 7=6.82 7.9.B 某校篮球运动员举行投篮训练,记“他前一球投进”为事件A ,“第2球投进”为事件B , 若他前一球投进则后一球投进的概率为P (B|A )=34, 所以P (B|A )=34=P (B ·A )P (A ),所以34P (A )=P (B·A ).若他前一球投不进则后一球投进的概率为P (B|A )=14. 所以P (B|A )=14=P (B ·A )P (A ), 所以14P (A )=P (B ·A ).他第1球投进的概率为P (A )=34,“他第2球投进”可记为事件:B=A·B+·B ,其中事件A·B 与·B 互斥,其概率为P=P (A·B+·B )=34×34+(1-34)×14=58.故选B .10.C 假设事件A 在每次试验中产生阐明试验乐成,设每次试验成功的概率为p,由题意得事件A 发生的次数X~B(3,p),则有1-(1-p)3=,得p=,故事件A 恰好发生一次的概率为1-2=11.1 620 ∵随机变量X~N (2,32),均值是2,且P (X ≤1)=P (X ≥a ),∴a=3,∴(x+a )2ax-√x 5=(x+3)2·3x-√x5=(x 2+6x+9)3x-√x 5.又3x-√x 5展开式的通项公式为T r+1=C 5r ·(3x )5-r·-√x r =(-1)r ·35-r ·C 5r ·x5-3r 2,令5-3r 2=1,解得r=83,不合题意,舍去;令5-3r 2=2,解得r=2,对应x 2的系数为(-1)2·33·C 52=270;令5-3r2=3,解得r=43,不合题意,舍去.∴展开式中x 3项的系数是6×270=1 620. 12.解 (1)因为物理原始成绩ξ~N (60,132),所以P (47<ξ<86)=P (47<ξ<60)+P (60≤ξ<86)=12P (60-13<ξ<60+13)+12P (60-2×13≤ξ<60+2×13)=0.6822+0.9542=0.818. 所以物理原始成绩在(47,86)的人数为2 000×0.818=1 636(人). (2)由题意得,随机抽取1人,其成绩在区间[61,80]内的概率为25.以是随机抽取三人,则X 的所有可能取值为0,1,2,3,且X~B,所以P (X=0)=(35)3=27125, P (X=1)=C 31·25·(35)2=54125, P (X=2)=C 32·(25)2·35=36125,P (X=3)=(25)3=8125.所以X 的分布列为所以数学期望E (X )=3×25=65.13 第二次打开门,说明第一次没有打开门,故第二次打开门的概率为如果试过的钥匙不抛弃,这个概率为14.解 (1)X=2就是10∶10平后,两人又打了两个球该局角逐竣事,则这两个球均由甲得分,大概均由乙得分.因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.(2)X=4且甲获胜,就是10∶10平后,两人又打了4个球该局角逐竣事,且这4个球的得分情况为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.因此所求概率为[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.15.解 (1)210×0.5+(400-210)×0.6+(410-400)×0.8=227(元).(2)设取到第二阶梯电量的用户数为ξ,可知第二阶梯电量的用户有3户,则ξ可取0,1,2,3,P (ξ=0)=C 73C 103=724, P (ξ=1)=C 72C 31C 103=2140, P (ξ=2)=C 71C 32C 103=740,P (ξ=3)=C 33C 103=1120.故ξ的分布列是所以E (ξ)=0×7+1×21+2×7+3×1=9.(3)可知从全市中抽取10户的用电量为第一门路,满足X~B10,,可知P (X=k )=C 10k35k 2510-k(k=0,1,2,3,…,10) 由{ C 10k (35) k (25) 10-k ≥C 10k+1(35) k+1(25) 10-(k+1),C 10k (35) k (25) 10-k ≥C 10k -1(35) k -1(25)10-(k -1), 解得285≤k ≤335,k ∈N *,所以当k=6时,概率最大,所以k=6.。

课时作业69 二项分布与正态分布一、选择题1．打靶时甲每打10次，可中靶8次；乙每打10次，可中靶7次．若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是( D )A.35B.34C.1225D.1425解析：由题意知甲中靶的概率为45，乙中靶的概率为710，两人打靶相互独立，同时中靶的概率P ＝45×710＝1425.2．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( B )A.12B.512C.14D.16解析：恰有一个一等品即一个是一等品，另一个不是一等品，则情形为两种，所以P ＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×34＝512.3．(2019·广东珠海一模)夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鲟洄游到长江，历经三千多公里的溯流搏击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海．一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鲟鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为( C )A ．0.05B ．0.007 5 C.13D.16解析：设事件A 为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件B 为雌性个体成功溯流产卵繁殖，由题意可知P (A )＝0.15，P (AB )＝0.05，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.050.15＝13.故选C.4．甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N (μ1，σ21)，N (μ2，σ22)，其正态分布密度曲线如图所示，则下列说法错误的是( D )A ．甲类水果的平均质量为0.4 kgB ．甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右C ．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D ．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99解析：由图象可知甲的正态曲线关于直线x ＝0.4对称，乙的正态曲线关于直线x ＝0.8对称，所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，故A 正确，C 正确．由图可知甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右，故B 正确．因为乙的正态曲线的最大值为1.99，即12πσ2＝1.99，所以σ2≠1.99，故D 错误，于是选D.5．若同时抛掷两枚骰子，当至少有5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在3次试验中至少有1次成功的概率是( C )A.125729B.80243C.665729D.100243解析：一次试验中，至少有5点或6点出现的概率为1－⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝1－49＝59，设X 为3次试验中成功的次数，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，59，故所求概率P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫590×⎝ ⎛⎭⎪⎫493＝665729，故选C.6．为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是( D )A.12B.13C.14D.16解析：记第i 名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件A i 、B i 、C i ，i ＝1、2、3.由题意知，事件A i 、B i 、C i (i ＝1、2、3)相互独立，则P (A i )＝3060＝12，P (B i )＝2060＝13，P (C i )＝1060＝16(i ＝1、2、3)，故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是P ＝A 33P (A i B i C i )＝6×12×13×16＝16.故选D.二、填空题7．(2019·江西南昌模拟)口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为35.解析：口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，设事件A 表示“第一次取得红球”，事件B 表示“第二次取得白球”，则P (A )＝26＝13，P (AB )＝26×35＝15，∴第一次取得红球后，第二次取得白球的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1513＝35.8．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是516.解析：因为质点移动五次后位于点(2,3)，所以质点P 必须向右移动2次，向上移动3次．故其概率为C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫123·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝516.9．已知某公司生产的一种产品的质量X (单位：克)服从正态分布N (100,4)．现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其中质量在[98,104]内的产品估计有8_186件．附：若X 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X <μ＋σ)≈0.682 7，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)≈0.954 5.解析：由题意知μ＝100，σ＝2，则P (98<X <104)＝12[P (μ－σ<X <μ＋σ)＋P (μ－2σ<X <μ＋2σ)]≈0.818 6，所以质量在[98,104]内的产品估计有10 000×0.818 6＝8 186件．10．在四次独立重复试验中，事件A 在每次试验中出现的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为6581，则事件A 恰好发生一次的概率为3281.解析：设事件A 在每次试验中发生的概率为p ，则事件A 在4次独立重复试验中，恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝C k 4p k (1－p )4－k(k ＝0,1,2,3,4)，∴P (X ＝0)＝C 04p 0(1－p )4＝(1－p )4，由条件知1－P (X ＝0)＝6581，∴(1－p )4＝1681，∴1－p ＝23，∴p ＝13.∴P (X ＝1)＝C 14p ·(1－p )3＝4×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281.三、解答题11．甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛．现已比赛了4场且甲篮球队胜3场，已知甲球队第5,6场获胜的概率均为35，但由于体力原因，第7场获胜的概率为25.(1)求甲队以43获胜的概率；(2)设X 表示决出冠军时比赛的场数，求X 的分布列和数学期望． 解：(1)设甲队以43获胜的事件为B ，∵甲队第5,6场获胜的概率均为35，第7场获胜的概率为25， ∴甲队以43获胜的概率 P (B )＝⎝⎛⎭⎪⎫1－352·25＝8125，∴甲队以43获胜的概率为8125.(2)随机变量X 的可能取值为5,6,7，P (X ＝5)＝35，P (X ＝6)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35·35＝625，P (X ＝7)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－352·25＋1－352·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＝425，∴随机变量X 的分布列为E (X )＝5×35＋6×625＋7×425＝13925.12．(2019·河北石家庄新华模拟)“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕，A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标值，所得频率分布直方图如下：(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，利用该正态分布，求Z 落在(14.55,38.45)内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为σ＝142.75≈11.95；②若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<Z ≤μ＋2σ)＝0.954 4.解：(1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的平均数x ＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5.(2)①∵Z 服从正态分布N (μ，σ2)，且μ＝26.5，σ≈11.95， ∴P (14.55<Z <38.45)＝P (26.5－11.95<Z <26.5＋11.95)＝0.682 6， ∴Z 落在(14.55,38.45)内的概率是0.682 6. ②根据题意得X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫4，12，P (X ＝0)＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116； P (X ＝1)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝14；P (X ＝2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝38；P (X ＝3)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝14； P (X ＝4)＝C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116. ∴X 的分布列为∴E (X )＝4×2＝2.13．(2019·唐山市摸底考试)某篮球队在某赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如图．(1)根据这8场比赛，估计甲每场比赛中得分的均值μ和标准差σ； (2)假设甲在每场比赛的得分服从正态分布N (μ，σ2)，且各场比赛间相互没有影响，依此估计甲在82场比赛中得分在26分以上的平均场数．参考数据：32≈5.66，32.25≈5.68，32.5≈5.70.正态总体N (μ，σ2)在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率约为0.954. 解：(1)μ＝18(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，σ2＝18[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.所以σ≈5.68.所以估计甲每场比赛中得分的均值μ为15，标准差σ为5.68. (2)由(1)得甲在每场比赛中得分在26分以上的概率P (X ≥26)≈12[1－P (μ－2σ<X <μ＋2σ)]≈12(1－0.954)＝0.023，设在82场比赛中，甲得分在26分以上的次数为Y ，则Y ～B (82,0.023)．Y 的均值E (Y )＝82×0.023＝1.886.由此估计甲在82场比赛中得分在26分以上的平均场数为1.886. 尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用 14．(2019·惠州市调研考试)某学校为了丰富学生的课余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取一首，背诵正确加10分，背诵错误减10分，且背诵结果只有“正确”和“错误”两种．其中某班级学生背诵正确的概率p ＝23，记该班级完成n 首背诵后的总得分为S n .(1)求S 6＝20且S i ≥0(i ＝1,2,3)的概率； (2)记ξ＝|S 5|，求ξ的分布列及数学期望．解：(1)当S 6＝20时，即背诵6首后，正确的有4首，错误的有2首．由S i ≥0(i ＝1,2,3)可知，若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵正确2首；若第一首背诵正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵正确2首．则所求的概率P ＝(23)2×C 24(23)2×(13)2＋23×13×23×C 23(23)2×13＝1681. (2)由题意知ξ＝|S 5|的所有可能的取值为10,30,50，又p ＝23， ∴P (ξ＝10)＝C 35(23)3×(13)2＋C 25(23)2×(13)3＝4081，P (ξ＝30)＝C 45(23)4×(13)1＋C 15(23)1×(13)4＝3081，P (ξ＝50)＝C 55(23)5×(13)0＋C 05(23)0×(13)5＝1181，∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝10×4081＋30×3081＋50×1181＝1 85081.。

课时规范练54二项分布、超几何分布、正态分布基础巩固组1.袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是()A.25B.35C.18125D.541252.已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，若P(X≤0)=0.2，则P(X≤2)=()A.0.2B.0.4C.0.6D.0.83.(2021河南驻马店模拟)已知X~B(20，p)，且EX=6，则DX=()A.1.8B.6C.2.1D.4.24.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P(ξ≤1)=()A.15B.25C.35D.455.(2021重庆三模)已知随机变量X服从正态分布N(6，σ2)(σ>0)，若P(X>3)=0.8，则P(3<X≤9)=()A.0.2B.0.4C.0.6D.0.86.一袋中装有5个红球和3个黑球(除颜色外无区别)，任取3球，记其中黑球数为X，则EX=()A.98B.78C.12D.62567.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高X(单位:cm)服从正态分布，其密度曲线函数为f(x)=10√2π-(x-100)2200，x∈(-∞，+∞)，则下列说法正确的是()A.该地水稻的平均株高为100 cmB.该地水稻株高的方差为10C.随机测量一株水稻，其株高在120 cm以上的概率比株高在70 cm以下的概率小D.随机测量一株水稻，其株高在(80，90]和在(100，110](单位:cm)的概率一样大8.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠，若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯是等可能的，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则EX= .9.(2021山东烟台一模)某企业加工了一批新零件，其综合质量指标值X服从正态分布N(80，σ2)，且P(X≤60)=0.2，现从中随机抽取该零件500个，估计综合质量指标值位于(60，100]的零件个数为.10.(2021广东普宁二中月考)某种水果按照果径大小可分为四类:标准果、优质果、精品果、礼品果，某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下:(1)若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取3个，求恰好有2个水果是礼品果的概率;(结果用分数表示)(2)用分层随机抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取2个，若X表示抽到的精品果的数量，求X的分布列和期望.综合提升组11.某射手每次射击击中目标的概率固定，他准备进行n (n ∈N *)次射击，设击中目标的次数记为X ，已知P (X=1)=P (X=n-1)，且EX=4，则DX=( ) A.14B.12C.1D.212.掷一个质地不均匀的硬币6次，每次掷出正面的概率均为23，恰好出现k 次正面的概率记为P k ，则下列说法正确的是( ) A.P 1=P 5 B.P 1>P 5C.∑k=16P k =1D.P 0，P 1，P 2，…，P 6中最大值为P 413.(2021河北衡水第一中学高三月考)在某次大型联考中，所有学生的数学成绩X~N (100，225).若成绩不高于m+10的同学人数和不低于2m-20的同学人数相同，则整数m 的值为 . 14.(2021天津河北一模)袋子中有5个大小质地完全相同的小球，其中有3个红球，2个黄球，从袋中一次性随机取出3个小球后，再将小球放回.则“取出的3个小球中有2个红球，1个黄球”的概率为 ，记“取出的3个小球中有2个红球，1个黄球”发生的次数为X ，若重复5次这样的实验，则X 的数学期望为 .15.(2021湖北恩施模拟)目前某市居民使用天然气实行阶梯价格制度，从该市随机抽取10户调查同一年的天然气使用情况，得到统计表如下:(1)现要在这10户家庭中任意抽取3户，求抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数的分布列与数学期望;(2)若以表中抽到的10户作为样本估计全市居民的年用气情况，现从全市居民中抽取10户，其中恰有k户年用气量不超过228立方米的概率为P(k)，求使P(k)取到最大值时，k的值.创新应用组16.《山东省高考改革试点方案》规定:从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科;2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91，100]、[81，90]、[71，80]、[61，70]、[51，60]、[41，50]、[31，40]、[21，30]八个分数区间，得到考生的等级成绩.某校高一年级共2 000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N(60，169).(1)估计物理原始成绩在区间(47，86]的人数;(2)按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间[61，80]的人数，求X的分布列和数学期望.(附:若随机变量ξ~N(μ，σ2)，则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.682 6，P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.954 4，P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.997 4)课时规范练54 二项分布、超几何分布、正态分布1.D 解析: ∵每次取到黄球的概率为35，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率为C 32(35)2(1−35)=54125.2.D 解析: 因为P (X ≤0)=0.2，所以P (X ≤2)=1-P (X ≤0)=1-0.2=0.8.故选D .3.D 解析: 因为X 服从二项分布X~B (20，p )，所以EX=20p=6，得p=0.3，故DX=np (1-p )=20×0.3×0.7=4.2.故选D .4.D 解析: P (ξ≤1)=1-P (ξ=2)=1-C 41C 22C 63=45.5.C 解析: 因为X 服从正态分布N (6，σ2)(σ>0)，P (X>3)=0.8， 所以P (X>9)=P (X ≤3)=1-P (X>3)=0.2， 所以P (3<X ≤9)=1-P (X ≤3)-P (X>9)=0.6. 故选C .6.A 解析: 由题意可知，随机变量X 的可能取值有0，1，2，3， 则P (X=0)=C 53C 83=1056，P (X=1)=C 52C 31C 83=3056，P (X=2)=C 51C 32C 83=1556，P (X=3)=C 33C 83=156.故随机变量X 的数学期望为EX=0×1056+1×3056+2×1556+3×156=98. 故选A .7.A 解析: f (x )=10√2π-(x -100)2200，故μ=100，σ2=100，故A 正确，B 错误;P (X>120)=P (X ≤80)>P (X≤70)，故C 错误;根据正态分布的对称性知P (100<X ≤110)=P (90<X ≤100)>P (80<X ≤90)，故D 错误.故选A .8.53 解析: 由题意可知X~B (5,13)，故EX=5×13=53.9.300 解析: 由题意，这种产品的综合质量指标值X 服从正态分布N (80，σ2)，则正态分布的对称轴为x=80，根据正态分布的对称性，得P (60<X ≤100)=2(P (X ≤80)-P (X ≤60))=2×(0.5-0.2)=0.6.所以从中随机抽取该零件500个，估计综合质量指标值位于(60，100]的零件个数为500×0.6=300. 10.解(1)设从这100个水果中随机抽取1个是礼品果为事件A ，则P (A )=20100=15，现有放回地随机抽取3个，设抽到礼品果的个数为X ，则X~B (3,15)，故恰好有2个水果是礼品果的概率为P (X=2)=C 32(15)2×45=12125.(2)用分层随机抽样的方法从这100个水果中抽取10个，其中精品果有4个，非精品果有6个，再从中随机抽取2个，则精品果的数量X 服从超几何分布， 所有可能的取值为0，1，2，则P (X=0)=C 62C 102=13，P (X=1)=C 61C 41C 102=815，P (X=2)=C 42C 102=215. 故X 的分布列为所以EX=1×815+2×215=45.11.D 解析: 设某射手每次射击击中目标的概率为p (0<p<1)， 由题意可得击中目标的次数记为X~B (n ，p )， 因为P (X=1)=P (X=n-1)，所以C n 1p (1-p )n-1=C n n -1p n-1(1-p )，整理可得(1-p )n-2=p n-2， 即1-p=p ，解得p=12.因为EX=np=12n=4，解得n=8， 所以DX=np (1-p )=8×12×(1−12)=2. 故选D .12.D 解析: P 1=C 6123×(1−23)5=4243，P 5=C 65235×(1−23)1=64243，P 1<P 5，故A ，B 错误;∑k=06P k =1，故C 错误;由二项分布概率公式可得P 0=1729，P 1=4243，P 2=20243，P 3=160729，P 4=80243，P 5=64243，P 6=64729，最大值为P 4，D 正确.故选D .13.70 解析: 由题意P (X ≤m+10)=P (X ≥2m-20). 又X~N (100，225)，所以m+10+2m-20=200， 所以m=70.14.35 3 解析: 设事件A 为“取出3个球中有2个红球，1个黄球”，则P (A )=C 32C 21C 53=35.由题意可得，重复5次这样的实验，事件A 发生的次数X 服从二项分布，即X~B (5,35)， 则EX=5×35=3.15.解(1)由题知，10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户， 设抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数为ξ，则ξ服从超几何分布，且ξ的可能取值为0，1，2，3，则P (ξ=0)=C 73C 103=724，P (ξ=1)=C 72C 31C 103=2140，P (ξ=2)=C 71C 32C 103=740，P (ξ=3)=C 33C 103=1120，故随机变量ξ的分布列为所以E ξ=0×724+1×2140+2×740+3×1120=910.(2)由题意知，设从全市住户抽到的年用气量不超过228立方米的用户数为η，则η服从二项分布η~B (10,35)，且P (η=k )=C 10k(35)k (25)10−k(k=0，1，2，3，…，10)，由{C 10k (35)k (25)10−k≥C 10k+1(35)k+1(25)9−k,C 10k (35)k (25)10−k ≥C 10k -1(35)k -1(25)11−k ,解得285≤k ≤335，k ∈N *，所以k=6.故当P (k )取到最大值时，k=6. 16.解(1)因为物理原始成绩ξ~N (60，132)，所以P (47<ξ≤86)=P (47<ξ≤60)+P (60<ξ≤86)=12P (60-13<ξ≤60+13)+12P (60-2×13<ξ≤60+2×13)≈0.68262+0.95442=0.8185.所以物理原始成绩在(47，86]的人数约为2000×0.8185=1637(人).(2)由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[61，80]内的概率为25.所以随机抽取三人，则X 的所有可能取值为0，1，2，3，且X~B (3,25)，所以P (X=0)=(35)3=27125，P (X=1)=C 31×25×(35)2=54125， P (X=2)=C 32×(25)2×35=36125，P (X=3)=(25)3=8125.所以X 的分布列为所以数学期望EX=3×25=65.。

课时作业69 二项分布与正态分布一、选择题1．打靶时甲每打10次，可中靶8次；乙每打10次，可中靶7次．若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是( D )A.35B.34C.1225D.1425解析：由题意知甲中靶的概率为45，乙中靶的概率为710，两人打靶相互独立，同时中靶的概率P ＝45×710＝1425.2．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( B )A.12B.512C.14D.16解析：恰有一个一等品即一个是一等品，另一个不是一等品，则情形为两种，所以P ＝23×⎝⎛⎭⎪⎫1－34＋⎝⎛⎭⎪⎫1－23×34＝512.3．(2019·广东珠海一模)夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鲟洄游到长江，历经三千多公里的溯流搏击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海．一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鲟鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为( C )A ．0.05B ．0.007 5 C.13D.16解析：设事件A 为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件B 为雌性个体成功溯流产卵繁殖，由题意可知P (A )＝0.15，P (AB )＝0.05，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.050.15＝13.故选C.4．甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N (μ1，σ21)，N (μ2，σ22)，其正态分布密度曲线如图所示，则下列说法错误的是( D )A ．甲类水果的平均质量为0.4 kgB ．甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右C ．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D ．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99解析：由图象可知甲的正态曲线关于直线x ＝0.4对称，乙的正态曲线关于直线x ＝0.8对称，所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，故A 正确，C 正确．由图可知甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右，故B 正确．因为乙的正态曲线的最大值为1.99，即12πσ2＝1.99，所以σ2≠1.99，故D 错误，于是选D.5．若同时抛掷两枚骰子，当至少有5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在3次试验中至少有1次成功的概率是( C )A.125729B.80243C.665729D.100243解析：一次试验中，至少有5点或6点出现的概率为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－13＝1－49＝59，设X 为3次试验中成功的次数，则X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，59，故所求概率P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫590×⎝ ⎛⎭⎪⎫493＝665729，故选C.6．为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是( D )A.12B.13C.14D.16解析：记第i 名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件A i 、B i 、C i ，i ＝1、2、3.由题意知，事件A i 、B i 、C i (i ＝1、2、3)相互独立，则P (A i )＝3060＝12，P (B i )＝2060＝13，P (C i )＝1060＝16(i ＝1、2、3)，故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是P ＝A 33P (A i B i C i )＝6×12×13×16＝16.故选D.二、填空题7．(2019·江西南昌模拟)口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为35.解析：口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，设事件A 表示“第一次取得红球”，事件B 表示“第二次取得白球”，则P (A )＝26＝13，P (AB )＝26×35＝15，∴第一次取得红球后，第二次取得白球的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1513＝35.8．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是516.解析：因为质点移动五次后位于点(2,3)，所以质点P 必须向右移动2次，向上移动3次．故其概率为C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫123·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝516.9．已知某公司生产的一种产品的质量X (单位：克)服从正态分布N (100,4)．现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其中质量在[98,104]内的产品估计有8_186件．附：若X 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X <μ＋σ)≈0.682 7，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)≈0.954 5.解析：由题意知μ＝100，σ＝2，则P (98<X <104)＝12[P (μ－σ<X <μ＋σ)＋P (μ－2σ<X <μ＋2σ)]≈0.818 6，所以质量在[98,104]内的产品估计有10 000×0.818 6＝8 186件．10．在四次独立重复试验中，事件A 在每次试验中出现的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为6581，则事件A 恰好发生一次的概率为3281.解析：设事件A 在每次试验中发生的概率为p ，则事件A 在4次独立重复试验中，恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝C k 4p k (1－p )4－k(k ＝0,1,2,3,4)，∴P (X ＝0)＝C 04p 0(1－p )4＝(1－p )4，由条件知1－P (X ＝0)＝6581，∴(1－p )4＝1681，∴1－p ＝23，∴p ＝13.∴P (X ＝1)＝C 14p ·(1－p )3＝4×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281. 三、解答题11．甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛．现已比赛了4场且甲篮球队胜3场，已知甲球队第5,6场获胜的概率均为35，但由于体力原因，第7场获胜的概率为25.(1)求甲队以43获胜的概率；(2)设X 表示决出冠军时比赛的场数，求X 的分布列和数学期望． 解：(1)设甲队以43获胜的事件为B ，∵甲队第5,6场获胜的概率均为35，第7场获胜的概率为25， ∴甲队以43获胜的概率 P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－352·25＝8125， ∴甲队以43获胜的概率为8125.(2)随机变量X 的可能取值为5,6,7，P (X ＝5)＝35，P (X ＝6)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35·35＝625，P (X ＝7)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－352·25＋1－352·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＝425，∴随机变量X的分布列为E (X )＝5×35＋6×625＋7×425＝13925.12．(2019·河北石家庄新华模拟)“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕，A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标值，所得频率分布直方图如下：(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，利用该正态分布，求Z 落在(14.55,38.45)内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为σ＝142.75≈11.95；②若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<Z ≤μ＋2σ)＝0.954 4.解：(1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的平均数x ＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5.(2)①∵Z 服从正态分布N (μ，σ2)，且μ＝26.5，σ≈11.95，∴P (14.55<Z <38.45)＝P (26.5－11.95<Z <26.5＋11.95)＝0.682 6， ∴Z 落在(14.55,38.45)内的概率是0.682 6. ②根据题意得X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12， P (X ＝0)＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116；P (X ＝1)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝14； P (X ＝2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝38；P (X ＝3)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝14； P (X ＝4)＝C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116. ∴X 的分布列为∴E (X )＝4×12＝2.13．(2019·唐山市摸底考试)某篮球队在某赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如图．(1)根据这8场比赛，估计甲每场比赛中得分的均值μ和标准差σ； (2)假设甲在每场比赛的得分服从正态分布N (μ，σ2)，且各场比赛间相互没有影响，依此估计甲在82场比赛中得分在26分以上的平均场数．参考数据：32≈5.66，32.25≈5.68，32.5≈5.70.正态总体N (μ，σ2)在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率约为0.954. 解：(1)μ＝18(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，σ2＝18[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.所以σ≈5.68.所以估计甲每场比赛中得分的均值μ为15，标准差σ为5.68. (2)由(1)得甲在每场比赛中得分在26分以上的概率P (X ≥26)≈12[1－P (μ－2σ<X <μ＋2σ)]≈12(1－0.954)＝0.023，设在82场比赛中，甲得分在26分以上的次数为Y ，则Y ～B (82,0.023)．Y 的均值E (Y )＝82×0.023＝1.886.由此估计甲在82场比赛中得分在26分以上的平均场数为1.886. 尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用 14．(2019·惠州市调研考试)某学校为了丰富学生的课余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取一首，背诵正确加10分，背诵错误减10分，且背诵结果只有“正确”和“错误”两种．其中某班级学生背诵正确的概率p ＝23，记该班级完成n 首背诵后的总得分为S n .(1)求S 6＝20且S i ≥0(i ＝1,2,3)的概率； (2)记ξ＝|S 5|，求ξ的分布列及数学期望．解：(1)当S 6＝20时，即背诵6首后，正确的有4首，错误的有2首．由S i ≥0(i ＝1,2,3)可知，若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵正确2首；若第一首背诵正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵正确2首．则所求的概率P ＝(23)2×C 24(23)2×(13)2＋23×13×23×C 23(23)2×13＝1681. (2)由题意知ξ＝|S 5|的所有可能的取值为10,30,50，又p ＝23， ∴P (ξ＝10)＝C 35(23)3×(13)2＋C 25(23)2×(13)3＝4081，P (ξ＝30)＝C 45(23)4×(13)1＋C 15(23)1×(13)4＝3081，P (ξ＝50)＝C 55(23)5×(13)0＋C 05(23)0×(13)5＝1181，∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝10×4081＋30×3081＋50×1181＝1 85081.。

课时作业梯级练七十二 二项分布、正态分布及其应用一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2020·日照模拟)已知P (AB )＝310，P (A )＝35，则P (B |A )等于( )A ．950B ．12C ．910D ．14【解析】选B.因为P (AB )＝310，P (A )＝35， 则P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝31035＝12. 2．(2021·某某模拟)已知随机变量Z ～N (0，1)，且P (Z ＜2)＝a ，则P (－2＜Z ＜2)＝( ) A ．2a B ．2a －1 C ．1－2a D ．2(1－a )【解析】选B.因为随机变量Z ～N (0，1)， 且P (Z ＜2)＝a ，所以P (Z ≥2或Z ≤－2)＝2－2a ， 所以P (－2＜Z ＜2)＝1－(2－2a )＝2a －1.3．已知一个箱子里装有2个黑球和3个白球，随机从箱子中摸出1个球再放回，如果摸出黑球记2分，摸出白球记－1分，则10次摸球所得总分数ξ的期望为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【解析】选A.10次摸球摸出黑球的次数为X ，则X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫10，25，E (X )＝10×25＝4，所得总分数ξ＝2X ＋(10－X )×(－1)＝3X －10， 所以E (ξ)＝3E (X )－10＝2.4．如图，展现给我们的是唐代著名诗人杜牧写的《清明》，这首诗不仅意境极好，而且还准确地描述出了清明时节的天气状况，那就是“雨纷纷”，即天气多阴雨．某地区气象监测资料表明，清明节当天下雨的概率是0.9，连续两天下雨的概率是0.63，若该地某年清明节当天下雨，则随后一天也下雨的概率是( )A.0.63 B ．0.7 C ．0.9 D ．0.567【解析】选B.设“清明节当天下雨”为事件A ，“第二天下雨”为事件B ，P (A )＝0.9，P (AB )＝0.63， 则P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝0.630.9＝0.7.【加练备选·拔高】(2020·某某模拟)法国有个名人叫做布莱尔·帕斯卡,他认识两个赌徒,这两个赌徒向他提出一个问题:他们相约赌博,约定先赢4局者可获得全部赌金600法郎,赌了半天,甲赢了3局,乙赢了2局,时间很晚了,他们都不想再赌下去了.假设每局甲赢的概率为12,每局输赢相互独立,那么这600法郎比较合理的分配是() A.甲300法郎,乙300法郎 B.甲480法郎,乙120法郎C.甲450法郎,乙150法郎 D ．甲400法郎，乙200法郎【解析】选C.根据题意，在甲赢了3局，乙赢了2局后，甲获得全部赌金600法郎的概率P 1＝12＋12×12＝34，乙获得全部赌金600法郎的概率P 2＝12×12＝14，则这600法郎应该分配给甲600×34＝450法郎，分配给乙600×14＝150法郎．5．(2021·某某模拟)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成．其中有一种起卦方法称为“金钱起卦法”，其做法为：取三枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下使钱币翻滚摩擦，再随意抛撒钱币到桌面或平盘等硬物上，如此重复六次，得到六爻．若三枚钱币全部正面向上或全部反面向上，就称为变爻．若每一枚钱币正面向上的概率为12，则一卦中恰有三个变爻的概率为( ) A ．516B ．1564C ．1351 024D ．1 2154 096【解析】选C.1个爻为变爻的概率为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝14，不是变爻的概率为1－14＝34，则一卦中恰有三个变爻的概率为C 36·⎝ ⎛⎭⎪⎫143·⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝1351 024. 【加练备选·拔高】如图电子元件设备,当甲能正常工作,且乙和丙至少有一个正常工作时,设备正常工作,其中甲、乙、丙能正常工作的概率都为p(0<p<1),且互不影响,电子元件设备能正常工作的概率是()A.2p 2-p 3B.p 3C.1-p 2D.p 2-p 3【解析】选A.当甲能正常工作,且乙和丙至少有一个正常工作时,设备正常工作,设事件A 表示“甲正常工作”,事件B 表示“乙正常工作”,事件C 表示“丙正常工作”, 则P (A )＝P (B )＝P (C )＝p (0＜p ＜1)， 所以电子元件设备能正常工作的概率为：P ＝p [1－(1－p )(1－p )]＝2p 2－p 3.二、填空题(每小题5分，共15分)6．从图中的E ，F ，G ，H 四点中随机选出两点，记ξ为选出的两点纵坐标y 的值大于0的点的个数，则P (ξ＝1)等于________．【解析】从题干图中的E ，F ，G ，H 四点中随机选出两点，基本事件总数n ＝C 24＝6， 记ξ为选出的两点纵坐标y 的值大于0的点的个数，ξ＝1包含的基本事件个数m ＝C 12C 12＝4，则P (ξ＝1)＝m n ＝46＝23.答案：237．设随机变量ξ～B (2，p )，η～B (4，p )，若E (ξ)＝23，则P (η≥3)＝________．【解析】因为E (ξ)＝2p ＝23，所以p ＝13，所以η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，所以P (η≥3)＝P (η＝3)＋P (η＝4)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫231＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝881＋181＝19. 答案：198．(2021·某某模拟)2020年2月，受新冠肺炎的影响，医卫市场上出现了“一罩难求”的现象．在政府部门的牵头下，部分工厂转业生产口罩，已知某工厂生产口罩的质量指标ξ～N (15，0.002 5)，单位为g ，该厂每天生产的质量在(14.9 g ，15.05 g)的口罩数量为818 600件，则可以估计该厂每天生产的质量在15.15 g 以上的口罩数量为________．参考数据：若ξ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P (μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P (μ－3σ＜ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3.【解析】由题意知，ξ～N (15，0.002 5)， 即μ＝15，σ2＝0.002 5，即σ＝0.05；所以P (14.9＜ξ＜15.05)＝P (μ－2σ＜ξ＜μ＋σ)≈0.682 7＋0.954 52＝0.818 6，所以该厂每天生产的口罩总量为818 600÷0.818 6＝1 000 000(件)， 又P (ξ＞15.15)＝P (ξ＞μ＋3σ)＝1－0.997 32，所以估计该厂每天生产的质量在15.15 g 以上的口罩数量为 1 000 000×1－0.997 32＝1 350(件).答案：1 350三、解答题(每小题10分，共20分)9．某高校设计了一个实验学科的考核方案：考生从8道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过．已知8道备选题中考生甲有6道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是34，且每题正确完成与否互不影响．(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的分布列，并计算均值；(2)试从两位考生正确完成题数的均值及至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力．【解析】(1)设考生甲、乙正确完成实验操作的题数为ξ，η，则ξ的所有可能取值为1，2，3；η的所有可能取值为0，1，2，3.P (ξ＝1)＝C 16C 22C 38＝328，P (ξ＝2)＝C 26C 12C 38＝1528，P (ξ＝3)＝C 36C 02C 38＝514.所以考生甲正确完成题数的分布列为E (ξ)＝1×328＋2×1528＋3×514＝94.因为P (η＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫1－343＝164， 同理，P (η＝1)＝964，P (η＝2)＝2764，P (η＝3)＝2764.所以考生乙正确完成题数的分布列为E (η)＝3×34＝94.(2)因为P (ξ≥2)＝1528＋514＝2528，P (η≥2)＝2764＋2764＝5464，所以P (ξ≥2)＞P (η≥2).故从正确完成题数的均值发现，两人水平相当；从至少正确完成2题的概率发现，甲通过的可能性大．因此可以判断甲的实验操作能力较强．10．(2020·呼和浩特模拟)为了更好地贯彻党的“五育并举”的教育方针，某市要对全市中小学生体能达标情况进行了解，决定通过随机抽样选择几个样本校对学生进行体能达标测试，并规定测试成绩低于60分为不合格，否则为合格，若样本校学生不合格人数不超过其总人数的5%，则该样本校体能达标为合格．已知某样本校共有1 000名学生，现从中随机抽取40名学生参加体能达标测试，首先将这40名学生随机分为甲、乙两组，其中甲、乙两组学生人数的比为3∶2，测试后，两组各自的成绩统计如下：甲组的平均成绩为70，方差为16，乙组的平均成绩为80，方差为36.(1)估计该样本校学生体能测试的平均成绩； (2)求该样本校40名学生测试成绩的标准差s ；(3)假设该样本校体能达标测试成绩X 服从正态分布N (μ，σ2)，用样本平均数x 作为μ的估计值μ，用样本标准差s 作为σ的估计值σ，利用估计值估计该样本校学生体能达标测试是否合格？(注：①本题所有数据的最后结果都精确到整数；②若随机变量X服从正态分布，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 3).【解析】(1)由题知，甲、乙两组学生数分别为24和16，则这40名学生测试成绩的平均分x＝70×24＋80×1640＝74.故可估计该样本校学生体能测试的平均成绩为74.(2)由s2＝1n ∑i＝1n(x i－x)2变形得s2＝1n∑i＝1n(x2i－n x2)，设甲组学生的测试成绩分别为x1，x2，x3，…，x24，乙组学生的测试成绩分别为x25，x26，x27，…，x40，则甲组的方差为s2甲＝124[(x21＋x22＋…＋x224)－24×702]＝42，解得：x21＋x22＋…＋x224＝24×(16＋702).乙组的方差为s2乙＝116[(x225＋x226＋…＋x240)－16×802]＝62，解得x225＋x226＋…＋x240＝16×(36＋802).这40名学生的方差为s2＝140[(x21＋x22＋…＋x224＋x225＋x226＋…＋x240)－40x2]＝140[24×(16＋702)＋16×(36＋802)－40×742]＝48，所以s＝48＝43≈7.综上，标准差s＝7.(3)由x＝74，s≈7，得μ的估计值μ＝74，σ的估计值σ＝7，故P(74－2×7＜X≤74＋2×7)≈0.954 5，即P(60＜X≤88)＝0.954 5，所以P (X ＜60)＝P (X ≥88)＝12[1－P (60＜X ≤88)]＝12(1－0.954 5)＝0.022 75.从而，在全校1 000名学生中，不合格的有1 000×0.022 75＝22.75≈23(人). 而231 000＜5%，故可估计该样本校学生体能达标测试合格．1．（5分）(2021·某某模拟)若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P (μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，设ξ～N (1，σ2)，且P (ξ≥3)＝0.158 65，在平面直角坐标系xOy 中，若圆x 2＋y 2＝σ2上恰有两个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值X 围为( )A ．(－26，－13)∪(13，26)B ．(－26，26)C ．(－39，－13)∪(13，39)D ．(－39，39)【解析】选C.由题意知：P (ξ≥3)＝P (ξ≤－1)＝12[1－P (－1＜ξ＜3)]，所以P (－1＜ξ＜3)＝0.682 7， 所以1－σ＝－1，1＋σ＝3.所以σ＝2.故圆的方程为x 2＋y 2＝4，圆心为(0，0)，半径为2.如图，L 1，L 2表示与12x －5y ＋c ＝0平行的直线，OA ，OB ，OC 共线且垂直于L 1，L 2.当BC ＝AC ＝1时，圆上分别恰有1个，3个点到直线的距离等于1，此时圆心到直线的距离分别为3，1.当直线介于L 1，L 2之间时，符合题意． 故1＜|c |122＋（－5）2＜3，所以13＜|c |＜39，所以－39＜c ＜－13或13＜c ＜39.2．（5分）著名的斐波那契数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n .人们通过研究发现其有许多优美的性质，如：记黄金分割比5－12＝k ≈0.618，若a n a n ＋1＞k ，则a n ＋1a n ＋2＜k ；反之亦然．现记b n ＝a na n ＋1，若从数列{b n }的前7项中随机抽取2项，则这2项都大于k 的概率为( )A ．47B ．17C ．57D ．27【解析】选D.因为a 1＝1，a 2＝1，a 3＝2，…，所以b 1＝a 1a 2＝1＞k ≈0.618，b 2＝a 2a 3＝12＜k ≈0.618，….因为若a n a n ＋1＞k ，则a n ＋1a n ＋2＜k ，所以数列{b n }的前7项中b 1，b 3，b 5，b 7共4项都大于k ，所以从数列{b n }的前7项中随机抽取2项，则这2项都大于k 的概率为C 24C 27＝27.3．（5分）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号).①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立；④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中哪一个发生有关．【解析】P (B )＝P (BA 1)＋P (BA 2)＋P (BA 3)＝5×510×11＋2×410×11＋3×410×11＝922，故①⑤错误；②P (B |A 1)＝5×510×1112＝511，正确；③事件B 与A 1的发生有关系，故错误；④A 1，A 2，A 3不可能同时发生，是互斥事件，正确． 答案：②④4．（10分）(2020·某某模拟)某项数学竞赛考试共四道题，考查内容分别为代数、几何、数论、组合，已知前两题每题满分40分，后两题每题满分60分，题目难度随题号依次递增，已知学生甲答题时，若该题会做则必得满分，若该题不会做则不作答得0分，通过对学生甲以往测试情况的统计，得到他在同类模拟考试中各题的得分率，如表所示：假设学生甲每次考试各题的得分相互独立．(1)若此项竞赛考试四道题的顺序依次为代数、几何、数论、组合，试预测学生甲考试得160分的概率；(2)学生甲研究该项竞赛近五年的试题发现第1题都是代数题，于是他在赛前针对代数版块进行了强化训练，并取得了很大进步，现在，只要代数题是在试卷第1、2题的位置，他就一定能答对，若今年该项数学竞赛考试四道题的顺序依次为代数、数论、组合、几何，试求学生甲此次考试得分X的分布列．【解析】(1)学生甲得160分，即第1，2题做对一道，第3，4题都做对，所以P＝(0.6×0.3＋0.4×0.7)×0.5×0.2＝0.046.(2)由题知学生甲第1题必得40分，只需考虑另三道题的得分情况，故X的所有可能取值为40，80，100，140，160，200，P(X＝40)＝0.3×0.7×0.7＝0.147，P(X＝80)＝0.7×0.7×0.7＝0.343，P(X＝100)＝0.3×C12×0.3×0.7＝0.126，P(X＝140)＝0.7×C12×0.3×0.7＝0.294，P(X＝160)＝0.3×0.3×0.3＝0.027，P(X＝200)＝0.7×0.3×0.3＝0.063.所以X的分布列为：5．（10分）为了严格监控某种零件的一条生产线的生产过程，某企业每天从该生产线上随机抽取10 000个零件，并测量其内径(单位：cm).根据长期生产经验，认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径X服从正态分布N(μ，σ2).如果加工的零件内径小于μ－3σ或大于μ＋3σ均为不合格品，其余为合格品．(1)假设生产状态正常，请估计一天内抽取的10 000个零件中不合格品的个数为多少；(2)若生产的某件产品为合格品则该件产品盈利；若生产的某件产品为不合格品则该件产品亏损．已知每件产品的利润L(单位：元)与零件的内径X有如下关系：L＝⎩⎪⎨⎪⎧－5，X＜μ－3σ，4，μ－3σ≤X＜μ－σ，6，μ－σ≤X≤μ＋3σ，－5，X＞μ＋3σ.求该企业一天从生产线上随机抽取10 000个零件的平均利润．附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，有P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 3.【解析】(1)抽取一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率约为0.997 3，从而抽取一个零件为不合格品的概率约为0.002 7.因此一天内抽取的10 000个零件中不合格品的个数约为10 000×0.002 7＝27；(2)由题意，P(X＜μ－3σ)＝0.001 35.P(μ－3σ≤X＜μ－σ)＝12(0.997 3－0.682 7)＝0.157 3；P(μ－σ≤X≤μ＋3σ)＝0.997 3－0.157 3＝0.840 0；P(X＞μ＋3σ)＝0.001 35.故随机抽取10 000个零件的平均利润为10 000L＝10 000(－5×0.001 35＋4×0.157 3＋6×0.840 0－5×0.001 35)＝56 557元．1．设两个独立事件A和B同时不发生的概率是p，A发生B不发生与A不发生B发生的概率相同，则事件A发生的概率为( )A．2p B．p2C．1－p D．1－2p【解析】选C.根据题意，设事件A 发生的概率为a ，事件B 发生的概率为b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧（1－a ）（1－b ）＝p ，①a （1－b ）＝（1－a ）b .②由②知a ＝b ，代入①即得a ＝1－p .2．搪瓷是在金属坯体表面涂搪瓷釉而得到的制品．曾经是人们不可或缺的生活必备品，厨房用具中的锅碗瓢盆；喝茶用到的杯子；洗脸用到的脸盆；婚嫁礼品等，它浓缩了上世纪整整一个时代的记忆．某搪瓷设计公司新开发了一种新型复古搪瓷水杯，将其细分成6个等级，等级系数X 依次为3，4，5，6，7，8，该公司交给生产水平不同的A 和B 两个厂生产，已知A 厂生产的该种搪瓷水杯的等级系数X 服从正态分布N (μ，0.25)，且P (X ＜6)＝12.在电商平台上A 厂生产的搪瓷水杯的零售价为36元/件，B 厂生产的搪瓷水杯的零售价为30元/件． (1)(i)求A 厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值；(ii)若A 厂生产了10 000件这种搪瓷水杯，记X 表示这10 000件搪瓷水杯等级系数位于区间(5.5，6.5)的产品件数，求E (X )；(2)从B 厂生产的搪瓷水杯中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如图：设L ＝产品等级系数的平均值产品零售价，若以L 的值越大，产品越具可购买性为判断标准．根据以上数据，哪个工厂生产的搪瓷水杯更具可购买性？说明理由．注：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)≈0.682 7，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)≈0.997 3.【解析】(1)(i)根据题意，P (X ＜6)＝12，得μ＝6；(ii)因为σ2＝0.25，所以σ＝0.5，则μ＋σ＝6.5，μ－σ＝5.5，由(i)知，一件搪瓷水杯等级系数X 位于区间(5.5，6.5)的概率为0.682 7， 依题意知X ～B (10 000，0.682 7)， 所以E (X )＝10 000×0.682 7＝6 827；(2)A 厂生产的搪瓷水杯更具可购买性，理由如下：将频率视为概率，可得B 厂生产的搪瓷水杯的等级系数X B 的概率分布列如表：所以E (X B )＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8，即B 厂生产的搪瓷水杯的等级系数的期望等于4.8.因为A 厂生产搪瓷水杯的等级系数的数学期望等于6，价格为36元/件，所以L A ＝636＝16，因为B 厂生产的搪瓷水杯的等级系数的期望等于4.8，价格为30元/件，L B ＝4.830＝0.16，16＞0.16，故A 厂生产的搪瓷水杯更具可购买性．。

第7节 二项分布与正态分布课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现正面”为事件B ，则P (B |A )＝( )(A)12 (B)14 (C)16(D)18A 解析：事件A 的概率为P (A )＝12，事件AB 发生的概率为P (AB )＝14，由公式可得P (B |A )＝P ABP A ＝1412＝12，选A. 2．已知ξ～N (3，σ2)，若P (ξ≤2)＝0.2，则P (ξ≤4)等于( ) (A)0.2 (B)0.3 (C)0.7(D)0.8D 解析：由ξ～N (3，σ2)，得μ＝3，则正态曲线的对称轴是x ＝3，所以P (ξ≤4)＝1－P (ξ≤2)＝0.8.故选D.3．若某人每次射击击中目标的概率均为35，此人连续射击三次，至少有两次击中目标的概率为( )(A)81125 (B)54125 (C)36125(D)27125A 解析：本题考查概率的知识．至少有两次击中目标包含仅有两次击中，其概率为C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35；若三次都击中，其概率为C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫353，根据互斥事件的概率公式可得，所求概率为P ＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＋C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝81125，故选A. 4．(2019江西鹰潭一中模拟)端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙、丙回老家过节的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为( )(A)5960 (B)35 (C)12(D)160B 解析：“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件A ，B ，C ，则P (A )＝13，P (B )＝14，P (C )＝15，所以P (A )＝23，P (B )＝34，P (C →)＝45.由题知A ，B ，C 为相互独立事件，所以三人都不回老家过节的概率P (A B C )＝P (A →)P (B )P (C →)＝23×34×45＝25，所以至少有一人回老家过节的概率P ＝1－25＝35.5．把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为( )(A)1 (B)12 (C)13(D)14B 解析：设事件A ：第一次抛出的是偶数点，B ：第二次抛出的是偶数点，则P (B |A )＝P ABP A ＝12×1212＝12.故选B. 6．将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面的概率等于出现k ＋1次正面的概率，那么k 的值为( )(A)0 (B)1 (C)2(D)3C 解析：根据题意，本题为独立重复试验，由概率公式得： C k 512k×125－k ＝C k ＋1512k ＋1×124－k ， 解得k ＝2.故选C.7．(创新题)某电脑配件公司的技术员对某种配件的某项功能进行检测，已知衡量该功能的随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)且P (X ≤4)＝0.9，该变量X ∈(0,4)时为合格产品，则该产品是合格产品的概率为( )(A)0.1 (B)0.2 (C)0.9(D)0.8D 解析：∵P (X ≤4)＝0.9，∴P (X ＞4)＝1－0.9＝0.1，又此正态曲线关于直线x ＝2对称，故P (X ≤0)＝P (X ≥4)＝0.1，∴P (0＜X ＜4)＝1－P (X ≤0)－P (X ≥4)＝0.8，故该产品合格的概率为0.8，故选D. 8．(2019济宁一中)已知随机变量X ～N (2,2)，若P (X ＞t )＝0.2，则P (X ＞4－t )＝( ) (A)0.1 (B)0.2 (C)0.7(D)0.8D 解析：P (X ＞4－t )＝1－P (X ＜4－t )＝1－P (X ＞t )＝1－0.2＝0.8.故选D. 9．我国的植树节定于每年的3月12日，是我国为激发人们爱林、造林的热情，促进国土绿化，保护人类赖以生存的生态环境，通过立法确定的节日．为宣传此活动，某团体向市民免费发放某种花卉种子．假设这种种子每粒发芽的概率都为0.99，若发放了10 000粒，种植后，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为________．解析：根据题意显然有X 2－B (10 000,0.01)，所以E (X2)＝10 000×0.01＝100，故E (X )＝200.答案：20010．某高三毕业班的8次数学周练中，甲、乙两名同学在连续统计解答题失分的茎叶图如图所示．(1)比较这两名同学8次周练解答题失分的平均数和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些；(2)以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的2次周练中，甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X 的分布列和均值．解析：(1)x 甲＝18(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，x 乙＝18(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，s 2甲＝18[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，s 2乙＝18[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的方差大．所以乙同学做解答题相对稳定些．(2)根据统计结果，在一次周练中，甲和乙失分超过15分的概率分别为P 1＝38，P 2＝12，两人失分均超过15分的概率为P 1P 2＝316，X 的所有可能取值为0,1,2 .依题意，X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫2，316，P (X ＝k )＝C k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫316k ⎝ ⎛⎭⎪⎫13162－k，k ＝0,1,2， 则X 的分布列为：X 的均值E (X )＝2×316＝38.能力提升练(时间：15分钟)11．已知ξ～Bn ，12，η～Bn ，13，且E (ξ)＝15，则E (η)等于( )(A)5 (B)10 (C)15(D)20B 解析：因为ξ～Bn ，12，所以E (ξ)＝n2，又E (ξ)＝15，则n ＝30. 所以η～B 30，13，故E (η)＝30×13＝10.故选B.12．已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是( )(A)1127 (B)1124 (C)827(D)924C 解析：设“从1号箱取到红球”为事件A ，“从2号箱取到红球”为事件B . 由题意，P (A )＝42＋4＝23，P (B |A )＝3＋18＋1＝49， 所以P (AB )＝P (B |A |)·P (A )＝49×23＝827，所以两次都取到红球的概率为827，故选C.13．设随机变量X －N (3，σ2)，若P (X ＞m )＝0.3，则P (X ＞6－m )＝________. 解析：∵随机变量X ～N (3，σ2)，∴P (X ＞3)＝P (X ＜3)＝0.5， ∵P (X ＞m )＝0.3，∴P (X ＞6－m )＝P (X ＜m )＝1－P (X ＞m )＝1－0.3＝0.7. 答案：0.714．(2019林州一中质检)某个部件由3个型号相同的电子元件并联而成，3个电子元件中有一个正常工作，该部件正常工作，已知这种电子元件的使用年限ξ(单位：年)服从正态分布，且使用年限少于3年的概率和多于9年的概率都是0.2，那么该部件能正常工作的时间超过9年的概率为________．解析：由P (0＜ξ＜3)＝P (ξ＞9)＝0.2，可得在9年内每个电子元件能正常工作的概率为0.2，因此在9年内这个部件不能正常工作的概率为0.83＝0.512，故该部件能正常工作的概率为1－0.512＝0.488.答案：0.48815．(2019南昌模拟)某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X 服从正态分布N (80，σ2)(满分为100分)，已知P (X ＜75)＝0.3，P (X ≥95)＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取3位同学．(1)求抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[80,85)，[85,95)，[95,100]内各有1位同学的概率；(2)记抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[75,85]内的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E (ξ)．解：(1)由题知，P (80≤X ＜85)＝12－P (X ＜75)＝0.2，P (85≤X ＜95)＝0.3－0.1＝0.2，所以所求概率P ＝A 33×0.2×0.2×0.1＝0.024. (2)P (75≤X ≤85)＝1－2P (X ＜75)＝0.4， 所以ξ服从二项分布B (3,0.4)，P (ξ＝0)＝0.63＝0.216，P (ξ＝1)＝3×0.4×0.62＝0.432， P (ξ＝2)＝3×0.42×0.6＝0.288，P (ξ＝3)＝0.43＝0.064，所以随机变量ξ的分布列是ξ 0 1 2 3 P0.2160.4320.2880.064E (ξ)＝3×0.4＝1.2.16．某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕的成本为50元，然后以每个100元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的蛋糕作垃圾处理．现需决策此蛋糕店每天应该制作多少个生日蛋糕，为此搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量(单位：个)的数据，得到如图所示的柱状图，以100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率．(1)若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕，(ⅰ)求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：个，n ∈N *)的函数解析式； (ⅱ)在当天的利润不低于750元的条件下，求当天需求量不低于18个的概率． (2)若蛋糕店计划一天制作16个或17个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的期望值为决策依据，判断应该制作16个还是17个？解：(1)(ⅰ)当n ≥17时y ＝17×(100－50)＝850； 当n ≤16时，y ＝50n －50(17－n )＝100n －850.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧100n －850n ≤16，n ∈N *，850n ≥17，n ∈N *.(ⅱ)设当天的利润不低于750元为事件A ，当天需求量不低于18个为事件B ， 由(ⅰ)得，日利润不低于750元等价于日需求量不低于16个，则P (A )＝710，P (B |A )＝P AB P A ＝0.15＋0.13＋0.10.7＝1935.(2)蛋糕店一天应制作17个生日蛋糕，理由如下：若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕，X 表示当天的利润(单位：元)，X 的分布列为X 550 650 750 850 P0.10.20.160.54E (X )＝550×0.1＋650×0.2＋750×0.16＋850×0.54＝764.若蛋糕店一天制作16个生日蛋糕，Y 表示当天的利润(单位：元)，Y 的分布列为：Y 600 700 800 P0.10.20.7E (Y )＝600×0.1＋700×0.2＋800×0.7＝760.由以上的计算结果可以看出，E (X )＞E (Y )，即一天制作17个生日蛋糕的利润大于一天制作16个生日蛋糕的利润，所以蛋糕店一天应该制作17个生日蛋糕．。

专题11.7二项分布、正态分布练基础1．（2015·全国高考真题（理））投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A．0.648B．0.432C．0.36D．0.3122.（2020·湖北十堰·期末）设某地胡柚（把胡柚近似看成球体）的直径（单位：)mm 服从正态分布(75,16)N ，则在随机抽取的1000个胡柚中，直径在(79，83]内的个数约为()附：若2~(,)X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<+=，(22)0.9545P X μσμσ-<+= ．A．134B．136C．817D．8193.（2020·青铜峡市高级中学高二期末（理））有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X 表示取得次品的次数，则(2)P X ≤=（）A ．38B ．1314C ．45D ．784．（2021·全国·高二课时练习）抛掷骰子2次，每次结果用()12,x x 表示，其中1x ，2x 分别表示第一次､第二次骰子朝上的点数.若设(){}1212,10A x x x x =+=，(){}1212,B x x x x =>，则()P B A =______.5．（2021·全国·高二课时练习）若随机变量()2,X N μσ ，则Y aX b =+服从的正态分布为______（填序号）.①()2,N a μσ；②()0,1N ；③2,N a b μσ⎛⎫ ⎪⎝⎭；④()22,N a b a μσ+.6．（2021·全国·高二课时练习）一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取1只，每一次取后不放回．若已知第1只是好的，则第2只也是好的的概率是______．7．（2021·全国·高二课时练习）设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，则下列结论正确的是______.（填序号）①()()()()0P a P a P a a ξξξ<=<+>->；②()()()210P a P a a ξξ<=<->；③()()()120P a P a a ξξ<=-<>；④()()()10P a P a a ξξ<=->>.8．（2021·全国·高二课时练习）设随机变量ξ服从标准正态分布()0,1N ，已知()1.960.025Φ-=，求()1.96P ξ<．9.（2019·河北高二期末（理））互联网正在改变着人们的生活方式，在日常消费中手机支付正逐渐取代现金支付成为人们首选的支付方式.某学生在暑期社会活动中针对人们生活中的支付方式进行了调查研究.采用调查问卷的方式对100名18岁以上的成年人进行了研究，发现共有60人以手机支付作为自己的首选支付方式，在这60人中，45岁以下的占23，在仍以现金作为首选支付方式的人中，45岁及以上的有30人.（1）从以现金作为首选支付方式的40人中，任意选取3人，求这3人至少有1人的年龄低于45岁的概率；（2）某商家为了鼓励人们使用手机支付，做出以下促销活动：凡是用手机支付的消费者，商品一律打八折.已知某商品原价50元，以上述调查的支付方式的频率作为消费者购买该商品的支付方式的概率，设销售每件商品的消费者的支付方式都是相互独立的，求销售10件该商品的销售额的数学期望.10．（2021·全国·高二课时练习）某校从高三年级中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定回答1道相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛．每个班级4名选手，现从每个班级4名选手中随机抽取2人回答这个问题．已知这4人中，甲班级有3人可以正确回答这道题目，而乙班级4人中能正确回答这道题目的概率均为34，甲、乙两班级每个人对问题的回答都是相互独立、互不影响的．（1）求甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率．（2）设甲、乙两个班级被抽取的选手中能正确回答题目的人数分别为X ，Y ，求随机变量X ，Y 的期望()E X ，()E Y 和方差()D X ，()D Y ，并由此分析由哪个班级代表学校参加大赛更好．练提升1．（2021·四川·成都七中高三期中（理））已知某品牌电子元件的使用寿命X （单位：天）服从正态分布() 9864N ,.（1）一个该品牌电子元件的使用寿命超过100天的概率为_______________________；（2）由三个该品牌的电子元件组成的一条电路（如图所示）在100天后仍能正常工作（要求K 能正常工作，A ，B 中至少有一个能正常工作，且每个电子元件能否正常工作相互独立）的概率为__________________．（参考公式：若()2,X N μσ ，则()0.250.250.2P X μσμσ-<≤+=）2．（2021·全国·高二课时练习）设随机变量(),1N ξμ ，函数()22f x x x ξ=+-没有零点的概率是0.5，则()01P ξ<<≈（）附：若()2,N ξμσ ，则()0.6827P X μσμσ-<<+≈，()220.9545P X μσμσ-<<+≈.A ．0.1587B ．0.1359C ．0.2718D ．0.34133．（2021·全国·高二课时练习）已知()0P B >，12A A φ=，则下列式子成立的是（）①()10P A B >；②()()()()1212P A A B P A B P A B ⋃=+；③()120P A A B ≠；④()121P A A B =.A ．①②③④B ．②C ．②③D ．②④4．（2021·全国·高二课时练习）某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动.界定日行步数不足4千步的人为“不健康生活方式者”，不少于10千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般生活方式者”.某日，学校工会随机抽取了该校400名教职工，统计他们的日行步数，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示.（1）求400名教职工日行步数（千步）的样本平均数（结果四舍五入保留整数）.（2）由频率分布直方图可以认为该校教职工的日行步数ξ（千步）服从正态分布()2,N μσ，其中μ为样本平均数，标准差σ的近似值为2.5，求该校被抽取的400名教职工中日行步数（千步）()2,4.5ξ∈的人数（结果四舍五入保留整数）.（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该校教职工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人0元；“一般生活方式者”奖励金额每人100元；“超健康生活方式者”奖励金额每人200元.求工会慰问奖励金额X 的分布列和数学期望.附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+≈，()220.9545P μσξμσ-<<+≈.5．（2021·全国·高三月考（理））2020年是比较特殊的一年，延期一个月进行的高考在万众瞩目下顺利举行并安全结束.在备考期间，某教育考试研究机构举办了多次的跨地域性的联考，在最后一次大型联考结束后，经统计分析发现，学生的模拟测试成绩X 服从正态分布()2550,N σ（满分为750分）.已知(450)0.1P X <=，(600)0.3P X >=.现在从参加联考的学生名单库中，随机抽取4名学生.（1）求抽到的4名学生中，恰好有2名学生的成绩落在区间[500,600]内，2名学生的成绩落在区间[650,750]内的概率；（2）用ξ表示抽取的4名同学的成绩落在区间[500,600]内的人数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ.6．（2021·全国·高二课时练习）现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：（1）第1次抽到舞蹈节目的概率；（2）第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；（3）在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.7．（2021·全国·高二课时练习）某市在实施垃圾分类的过程中，从本市人口数量在两万人左右的A 类社区（全市共320个）中随机抽取了50个进行调查，统计这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨），得到如下频数分布表，并将这一天垃圾数量超过8吨的社区定为“超标”社区.垃圾量[)12.5,15.5[)15.5,18.5[)18.5,21.5[)21.5,24.5[)24.5,27.5[)27.5,30.5[)30.5,33.5频数56912867（1）估计该市A 类社区这一天垃圾量的平均值x .（2）若该市A 类社区这一天的垃圾量大致服从正态分布(),27.04N μ，其中μ近似为50个样本社区的平均值x （精确到0.1吨，估计该市A 类社区中“超标”社区的个数.（3）根据原始样本数据，在抽取的50个社区中，这一天共有8个“超标”社区，市政府决定从这8个“超标”社区中任选5个跟踪调查其垃圾来源.设这一天垃圾量不小于30.5吨的社区个数为X ，求X 的分布列和数学期望附：若X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，()220.9545P X μσμσ-<≤+≈，()330.9973P X μσμσ-<≤+≈.8．（2021·全国·高二课时练习）影响青少年近视形成的因素有遗传因素和环境因素，主要原因是环境因素.学生长时期近距离的用眼状态，加上不注意用眼卫生、不合理的作息时间很容易引起近视除了学习，学生平时爱看电视、上网玩电子游戏、不喜欢参加户外体育活动，都是造成近视情况日益严重的原因.为了解情况，现从某地区随机抽取16名学生，调查人员用对数视力表检查得到这16名学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)，如图.（1）写出这组数据的众数和中位数.（2）若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”.①从这16名学生中随机选取3名，求至少有2名学生是“好视力”的概率；②以这16名学生中是“好视力”的频率代替该地区学生中是“好视力”的概率.若从该地区学生(人数较多)中任选3名，记X 表示抽到“好视力”学生的人数，求X 的分布列.9．（2021·安徽省怀宁中学高三月考（理））为了调查90后上班族每个月的休假天数，研究人员随机抽取了1000名90后上班族作出调查，所得数据统计如下图所示．（1）求a 的值以及这1000名90后上班族每个月休假天数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）以频率估计概率，若从所有90后上班族中随机抽取4人，求至少2人休假天数在6天以上（含6天）的概率；（3）为研究90后上班族休假天数与月薪的关系，从上述1000名被调查者中抽取300人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为休假天数与月薪有关．月休假不超过6天月休假超过6天合计月薪超过500090月薪不超过5000140合计30010．（2021·吉林·长春外国语学校高三期中（理））很多新手拿到驾驶证后开车上路，如果不遵守交通规则，将会面临扣分的处罚，为让广大新手了解驾驶证扣分新规定，某市交警部门结合机动车驾驶人有违法行为一次记12分､6分､3分､2分的新规定设置了一份试卷（满分100分），发放给新手解答，从中随机抽取了12名新手的成绩，成绩以茎叶图表示如图所示，并规定成绩低于95分的为不合格，需要加强学习，成绩不低于95分的为合格.（1）求这12名新手的平均成绩与方差；（2）将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，若从该市新手中任选4名参加座谈会，用X 表示成绩合格的人数，求X 的分布列与数学期望.练真题1．（2021·全国·高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布()210,N σ，下列结论中不正确的是（）A ．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B ．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C ．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D ．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等2.（2021·天津·高考真题）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为56和15，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．3．（2020·天津高考真题）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．4.（2019·全国高考真题（理））甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．5．（2015·全国高考真题（理））某公司为了解用户对其产品的满意度，从A、B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62738192958574645376 78869566977888827689B地区：73836251914653736482 93489581745654766579（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度的平均值及分散程度（不要求算出具体值，给出结论即可）：（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率。

第八节二项分布与正态分布[考纲传真] 1.了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念.2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单问题.3.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．1．条件概率(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．(2)性质：①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)．②如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也相互独立．3．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，其中A i(i＝1,2，…，n)是第i次试验结果，则P(A1A2A3…A n)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(A n)．(2)二项分布在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p，则P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．4．正态分布(1)正态曲线的特点：①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π； ④曲线与x 轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．(2)正态分布的三个常用数据 ①P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682_6； ②P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954_4； ③P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.997_4.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若事件A ，B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )．( )(2)P (AB )表示事件A ，B 同时发生的概率，一定有P (AB )＝P (A )·P (B )．( )(3)在正态分布函数φμ，σ(x )＝12πσe －(x －μ)22σ2中，μ是正态分布的期望值，σ是正态分布的标准差．( )(4)二项分布是一个用公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n 表示的概率分布列，它表示了n 次独立重复试验中事件A 发生的次数的概率分布．( )[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√2．(教材改编)小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是( )A.49 B.29 C.427D.227A [所求概率P ＝C 13·⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133－1＝49.]3．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同．甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为()A.310 B.13C.38 D.29B[设“第一次拿到白球”为事件A，“第二次拿到红球”为事件B，依题意P(A)＝210＝15，P(AB)＝2×310×9＝115.故P(B|A)＝P(AB)P(A)＝13.]4．(2015·全国卷Ⅰ)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A．0.648 B.0.432C.0.36D.0.312A[3次投篮投中2次的概率为P(k＝2)＝C23×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P(k＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P(k＝2)＋P(k＝3)＝C23×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A.]5．(2017·郑州调研)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜4)＝________.0．6[由P(ξ＜4)＝0.8，得P(ξ≥4)＝0.2.又正态曲线关于x＝2对称．则P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.2，∴P (0＜ξ＜4)＝1－P (ξ≤0)－P (ξ≥4)＝0.6.](1)从2个数之和为偶数”，事件B ：“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )【导学号：01772416】A.18 B.14 C.25D.12(2)如图10-8-1，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则P (B |A )＝________.图10-8-1(1)B (2)14 [(1)法一：事件A 包括的基本事件：(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)，即n (A )＝4，事件AB 发生的结果只有(2,4)一种情形，即n (AB )＝1. 故由古典概型概率P (B |A )＝n (AB )n (A )＝14.法二：P (A )＝C 23＋C 22C 25＝410，P (AB )＝C 22C 25＝110.由条件概率计算公式，得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝110410＝14.(2)由题意可得，事件A 发生的概率 P (A )＝S 正方形EFGH S 圆O＝2×2π×12＝2π.事件AB 表示“豆子落在△EOH 内”， 则P (AB )＝S △EOH S 圆O ＝12×12π×12＝12π.故P (B |A )＝P AB P A ＝12π2π＝14.][规律方法] 条件概率的求法(1)定义法：先求P (A )和P (AB )，再由P (B |A )＝P (AB )P (A )求P (B |A )． (2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件AB 所包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝n (AB )n (A ). [变式训练1] 1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是( )A.1127B.1124C.827D.924C [设从1号箱取到红球为事件A ，从2号箱取到红球为事件B . 由题意，P (A )＝42＋4＝23，P (B |A )＝3＋18＋1＝49，所以P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝23×49＝827， 所以两次都取到红球的概率为827.]功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列.【导学号：01772417】[解] 记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}．由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立.2分(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H －＝E －F －，于是P (H －)＝P (E －)P (F －)＝13×25＝215.故所求的概率为P (H )＝1－P (H －)＝1－215＝1315.5分(2)设企业可获利润为X 万元，则X 的可能取值为0,100,120,220.因为P (X ＝0)＝P (E －F －)＝13×25＝215，P (X ＝100)＝P (E －F )＝13×35＝15， P (X ＝120)＝P (E F －)＝23×25＝415， P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝25.8分 故所求X 的分布列为12分[规律方法] 1.求解该类问题关键是正确分析所求事件的构成，将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算．2．求相互独立事件同时发生的概率的主要方法． (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．(2)正面计算较繁(如求用“至少”表达的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算．[变式训练2] 在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手，各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“X ≥2”的事件概率．[解] (1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P (A )＝C 12C 23＝23，P (B )＝C 24C 35＝35.2分∵事件A 与B 相互独立，A 与B －相互独立，则A B －表示事件“甲选中3号歌手，且乙没选中3号歌手”．∴P (A B －)＝P (A )·P (B －)＝P (A )·[1－P (B )]＝23×25＝415.5分 (2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”， 则P (C )＝C 24C 35＝35.7分依题意，A ，B ，C 相互独立，A －，B －，C －相互独立， 且AB C －，A B －C ，A －BC ，ABC 彼此互斥．又P (X ＝2)＝P (AB C －)＋P (A B －C )＋P (A －BC )＝23×35×25＋23×25×35＋13×35×35＝3375，10分P (X ＝3)＝P (ABC )＝23×35×35＝1875.∴P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3375＋1875＝1725.12分乙两名球员在前10场比赛中投篮命中情况统计如下表(注：表中分数nN ，N 表示投篮次数，n 表示命中次数)，假设各场比赛相互独立.(1)从上述比赛中等可能随机选择一场，求甲球员在该场比赛中投篮命中率大于0.5的概率；(2)试估计甲、乙两名运动员在下一场比赛中恰有一人命中率超过0.5的概率；(3)在接下来的3场比赛中，用X 表示这3场比赛中乙球员命中率超过0.5的场次，试写出X 的分布列，并求X 的数学期望.【导学号：01772418】[解] (1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，甲球员投篮命中率超过0.5的场次有5场，分别是4,5,6,7,10，所以在随机选择的一场比赛中，甲球员的投篮命中率超过0.5的概率是12.4分(2)在10场比赛中，乙球员投篮命中率超过0.5的场次有4场，分别是3,6,8,10，所以在随机选择的一场比赛中，乙球员的投篮命中率超过0.5的概率是25.6分设在一场比赛中，甲、乙两名运动员恰有一人命中率超过0.5为事件A ，甲队员命中率超过0.5且乙队员命中率不超过0.5为事件B 1，乙队员命中率超过0.5且甲队员命中率不超过0.5为事件B 2，则P (A )＝P (B 1)＋P (B 2)＝12×35＋12×25＝12.8分 (3)X 的可能取值为0,1,2,3，依题意X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25. P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫250⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝27125；P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫251⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝54125； P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫252⎝ ⎛⎭⎪⎫351＝36125；P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫253＝8125，10分 X 的分布列如下表：E (X )＝np ＝3×25＝65.12分[规律方法] 1.求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件，还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解．2．(1)注意辨别独立重复试验的基本特征：①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；②在每次试验中，事件发生的概率相同．(2)牢记公式P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n ，并深刻理解其含义． [变式训练3] 某架飞机载有5位空降兵依次空降到A ，B ，C 三个地点，每位空降兵都要空降到A ，B ，C 中的任意一个地点，且空降到每一个地点的概率都是13，用ξ表示地点C 空降人数，求：(1)地点A 空降1人，地点B ，C 各空降2人的概率； (2)随机变量ξ的分布列与数学期望．[解] (1)设“地点A 空降1人，地点B ，C 各空降2人”为事件M ，易知基本事件的总数n ＝35＝243个，事件M 发生包含的基本事件M ＝C 15C 24＝30个．故所求事件M 的概率P (M )＝m n ＝30243＝1081.5分(2)依题意，5位空降兵空降到地点C 相当于5次独立重复试验． ∴ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，且ξ的取值可能为0,1,2,3,4,5.则P (ξ＝k )＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－135－k .∴P (ξ＝0)＝C 05⎝ ⎛⎭⎪⎫130⎝⎛⎭⎪⎫1－135＝32243，P (ξ＝1)＝C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－134＝80243，P (ξ＝2)＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝80243，P (ξ＝3)＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝40243，P (ξ＝4)＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫134⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝10243，P (ξ＝5)＝C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫135＝1243.10分 ∴随机变量ξ的分布列为：根据二项分布得数学期望E (ξ)＝5×13＝53.12分(2015·山东高考)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%，P (μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ＝99.74%.)A ．4.56% B.13.59% C ．27.18%D.31.74%B [由正态分布的概率公式知P (－3＜ξ＜3)＝0.682 6，P (－6＜ξ＜6)＝0.954 4，故P (3＜ξ＜6)＝P (－6＜ξ＜6)－P (－3＜ξ＜3)2＝0.954 4－0.682 62＝0.135 9＝13.59%，故选B.][规律方法] 1.利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．2．利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x ＝μ对称，及曲线与x 轴之间的面积为1.注意下面两个结论的活用：(1)P (X ＜a )＝1－P (X ≥a )；(2)P (X ＜μ－σ)＝P (X ≥μ＋σ)．[变式训练4] (2017·河南名校联考)在如图10-8-2所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (－1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()(参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.997 4.)图10-8-2A．1 193 B.1 359C．2 718 D.3 413B[对于正态分布N(－1,1)，μ＝－1，σ＝1，正态曲线关于x＝－1对称，故题图中阴影部分的面积为12×[P(－3＜X＜1)－P(－2＜X＜0)]＝12×[P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)－P(μ－σ＜X＜μ＋σ)]＝12×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9，所以点落入题图中阴影部分的概率P＝0.135 91＝0.135 9，投入10 000个点，落入阴影部分的个数约为10 000×0.135 9＝1 359.][思想与方法]1．古典概型中，A发生的条件下B发生的条件概率公式为P(B|A)＝P(AB) P(A)＝n(AB) n(A)，其中，在实际应用中P(B|A)＝n(AB)n(A)是一种重要的求条件概率的方法．2．相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算公式为P(AB)＝P(A)P(B)．互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．3．n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次可看作是C k n个互斥事件的和，其中每一个事件发生的概率都是p k(1－p)n－k.因此n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为C k n p k(1－p)n－k.4．若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间的面积为1.[易错与防范]1．易混淆“相互独立”和“事件互斥”两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥．2．易混淆P (B |A )与P (A |B )前者是在A 发生的条件下B 发生的概率，后者是在B 发生的条件下A 发生的概率．3．易混淆二项分布与两点分布由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即n ＝1时的二项分布．课时分层训练(七) 二次函数与幂函数A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )【导学号：01772040】A.12 B.1 C.32D.2C [由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.]2．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－∞，－2]时，f (x )是减函数，则f (1)的值为( )A ．－3B.13C.7D.5B [函数f (x )＝2x 2－mx ＋3图象的对称轴为直线x ＝m4，由函数f (x )的增减区间可知m4＝－2，∴m ＝－8，即f (x )＝2x 2＋8x ＋3，∴f (1)＝2＋8＋3＝13.]3．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( )A ．－1≤m ≤2 B.m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2D.m ＝1B [由幂函数性质可知m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝2或m ＝1.又幂函数图象不过原点，∴m 2－m －2≤0，即－1≤m ≤2，∴m ＝2或m ＝1.]4．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )【导学号：01772041】A B C DD [由a ＋b ＋c ＝0，a ＞b ＞c 知a ＞0，c ＜0，则ca ＜0，排除B ，C.又f (0)＝c ＜0，所以也排除A.]5．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( ) A ．－1 B.1 C.2D.－2B [∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线， ∴函数的最大值在区间的端点取得． ∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎨⎧ －a ≥4－3a ，－a ＝1，或⎩⎨⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1.] 二、填空题6．(2017·上海八校联合测试改编)已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a ＞0)．若f (x )在[2,3]上的最大值为4，最小值为1，则a ＝________，b ＝________.1 0 [因为函数f (x )的对称轴为x ＝1，又a ＞0， 所以f (x )在[2,3]上单调递增，所以⎩⎨⎧f (2)＝1，f (3)＝4，即⎩⎨⎧a ·22－2a ·2＋1＋b ＝1，a ·32－2a ·3＋1＋b ＝4，解方程得a ＝1，b ＝0.] 7．已知P ＝2，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253，R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是________.【导学号：01772042】P ＞R ＞Q [P ＝2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫223，根据函数y ＝x 3是R 上的增函数且22＞12＞25，得⎝ ⎛⎭⎪⎫223＞⎝ ⎛⎭⎪⎫123＞⎝ ⎛⎭⎪⎫253，即P ＞R ＞Q .] 8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，则实数a 的取值范围是________．[2,3] [f (x )＝(x －a )2＋5－a 2，根据f (x )在区间(－∞，2]上是减函数知，a ≥2，则f (1)≥f (a ＋1)，从而|f (x 1)－f (x 2)|max ＝f (1)－f (a )＝a 2－2a ＋1， 由a 2－2a ＋1≤4，解得－1≤a ≤3， 又a ≥2，所以2≤a ≤3.] 三、解答题9．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围．[解] 幂函数f (x )经过点(2，2)， ∴2＝2(m 2＋m )－1，即2＝2(m 2＋m )－1，∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2.4分 又∵m ∈N *，∴m ＝1.∴f (x )＝x ，则函数的定义域为[0，＋∞)， 并且在定义域上为增函数．由f (2－a )＞f (a －1)，得⎩⎨⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a ＞a －1，10分解得1≤a ＜32.∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.12分10．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3，(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值． [解] (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]， 对称轴x ＝－32∈[－2,3]，2分∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15， ∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15.5分(2)对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意；8分 ②当－2a －12＞1，即a ＜－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意． 综上可知a ＝－13或－1. 12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·江西九江一中期中)函数f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，若a ，b ∈R ，且a＋b ＞0，ab ＜0，则f (a )＋f (b )的值( )【导学号：01772043】A ．恒大于0 B.恒小于0 C ．等于0D.无法判断A [∵f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，指数4×29－25－1＝2 015＞0，满足题意．当m ＝－1时，指数4×(－1)9－(－1)5－1＝－4＜0，不满足题意， ∴f (x )＝x 2 015.∴幂函数f (x )＝x 2 015是定义域R 上的奇函数，且是增函数． 又∵a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，∴a ＞－b ， 又ab ＜0，不妨设b ＜0，则a ＞－b ＞0，∴f (a )＞f (－b )＞0， 又f (－b )＝－f (b )，∴f (a )＞－f (b )，∴f (a )＋f (b )＞0.故选A.]2．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2 [由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，－2，故当m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．]3．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的范围． [解] (1)由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝－1，f (－1)＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2.2分所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，由f (x )＝(x ＋1)2知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1].6分(2)由题意知，x 2＋2x ＋1＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k ＜x 2＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立，8分令g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，由g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34知g (x )在区间[－3，－1]上是减函数，则g (x )min ＝g (－1)＝1，所以k ＜1，即k 的取值范围是(－∞，1).12分第三节 基本不等式[考纲传真] 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号且不为零)； (3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4.( )(3)x >0，y >0是x y ＋yx ≥2的充要条件．( ) (4)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a .( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b ≥2D [∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误；对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，∵ab >0，∴b a ＋ab ≥2b a ·a b ＝2.]3．(2016·安徽合肥二模)若a ，b 都是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为( )A ．7 B.8 C ．9D.10C [∵a ，b 都是正数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4ab ＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号，故选C.]4．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )【导学号：01772209】A ．1＋ 2 B.1＋ 3 C ．3D.4C [当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，选C.]5．(教材改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m 2.25 [设矩形的一边为x m ，矩形场地的面积为y ， 则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ， 则y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(10－x )22＝25， 当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.](1)(2015·湖南高考)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A.2B.2 C ．2 2D.4(2)(2017·郑州二次质量预测)已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是__________．(1)C (2)3 [(1)由1a ＋2b ＝ab 知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab ，即ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.(2)由x 2＋2xy －3＝0得y ＝3－x 22x ＝32x －12x ，则2x ＋y ＝2x ＋32x －12x ＝3x 2＋32x≥23x 2·32x ＝3，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以2x ＋y 的最小值为3.] [规律方法] 1.利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．2．在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式．[变式训练1] (1)(2016·湖北七市4月联考)已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝1，若不等式2a ＋1b ≥m 恒成立，则m 的最大值等于( )A ．10 B.9 C ．8D.7(2)(2016·湖南雅礼中学一模)已知实数m ，n 满足m ·n >0，m ＋n ＝－1，则1m ＋1n 的最大值为__________．(1)B (2)－4 [(1)∵2a ＋1b ＝2(2a ＋b )a ＋2a ＋b b ＝4＋2b a ＋2a b ＋1＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋2×2b a ×a b ＝9，当且仅当a ＝b ＝13时取等号．又2a ＋1b ≥m ，∴m ≤9，即m的最大值等于9，故选B.(2)∵m ·n >0，m ＋n ＝－1，∴m <0，n <0， ∴1m ＋1n ＝－(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≤－2－2n m ·mn ＝－4，当且仅当m ＝n ＝－12时，1m ＋1n 取得最大值－4.]已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab ≥8； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. [证明] (1)1a ＋1b ＋1ab ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ，∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋ba ≥2＋2＝4，3分 ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立).5分 (2)法一：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a ，同理1＋1b ＝2＋ab ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9，10分∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立).12分 法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ，由(1)知，1a ＋1b ＋1ab ≥8，10分故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ≥9.12分 [规律方法] 1.“1”的代换是解决问题的关键，代换变形后能使用基本不等式是代换的前提，不能盲目变形．2．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到．[变式训练2] 设a ，b 均为正实数，求证：1a 2＋1b 2＋ab ≥2 2.【导学号：01772210】[证明] 由于a ，b 均为正实数， 所以1a 2＋1b 2≥21a 2·1b 2＝2ab ，3分当且仅当1a 2＝1b 2，即a ＝b 时等号成立， 又因为2ab ＋ab ≥22ab ·ab ＝22， 当且仅当2ab ＝ab 时等号成立， 所以1a 2＋1b 2＋ab ≥2ab ＋ab ≥22，8分 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝1b 2，2ab ＝ab ，即a ＝b ＝42时取等号.12分运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． [解] (1)设所用时间为t ＝130x (h)，y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50,100].2分所以这次行车总费用y 关于x 的表达式是 y ＝130×18x＋2×130360x ，x ∈[]50，100. (或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[]50，100).5分 (2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥26 10， 当且仅当130×18x＝2×130360x ， 即x ＝1810，等号成立.8分故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元.12分[规律方法] 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． 2．根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．3．在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．[变式训练3] 某化工企业2016年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用为y (单位：万元)．(1)用x 表示y ；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．[解](1)由题意得，y＝100＋0.5x＋(2＋4＋6＋ (2x)x，即y＝x＋100x＋1.5(x∈N*).5分(2)由基本不等式得：y＝x＋100x＋1.5≥2x·100x＋1.5＝21.5，8分当且仅当x＝100x，即x＝10时取等号．故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备.12分[思想与方法]1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．2．基本不等式的两个变形：(1)a2＋b22≥⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22≥ab(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)．(2)a2＋b22≥a＋b2≥ab≥21a＋1b(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号)．[易错与防范]1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．2．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽视它往往会导致解题错误．3．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．课时分层训练(七) 二次函数与幂函数A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )【导学号：01772040】A.12 B.1 C.32D.2C [由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.]2．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－∞，－2]时，f (x )是减函数，则f (1)的值为( )A ．－3 B.13 C.7D.5B [函数f (x )＝2x 2－mx ＋3图象的对称轴为直线x ＝m4，由函数f (x )的增减区间可知m4＝－2，∴m ＝－8，即f (x )＝2x 2＋8x ＋3，∴f (1)＝2＋8＋3＝13.]3．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( )A ．－1≤m ≤2 B.m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2D.m ＝1B [由幂函数性质可知m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝2或m ＝1.又幂函数图象不过原点，∴m 2－m －2≤0，即－1≤m ≤2，∴m ＝2或m ＝1.]4．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )【导学号：01772041】A B C DD [由a ＋b ＋c ＝0，a ＞b ＞c 知a ＞0，c ＜0，则ca ＜0，排除B ，C.又f (0)＝c ＜0，所以也排除A.]5．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( ) A ．－1 B.1 C.2D.－2B [∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线， ∴函数的最大值在区间的端点取得． ∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎨⎧ －a ≥4－3a ，－a ＝1，或⎩⎨⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1.] 二、填空题6．(2017·上海八校联合测试改编)已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a ＞0)．若f (x )在[2,3]上的最大值为4，最小值为1，则a ＝________，b ＝________.1 0 [因为函数f (x )的对称轴为x ＝1，又a ＞0， 所以f (x )在[2,3]上单调递增，所以⎩⎨⎧f (2)＝1，f (3)＝4，即⎩⎨⎧a ·22－2a ·2＋1＋b ＝1，a ·32－2a ·3＋1＋b ＝4，解方程得a ＝1，b ＝0.]7．已知P ＝2，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253，R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是________.【导学号：01772042】P ＞R ＞Q [P ＝2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫223，根据函数y ＝x 3是R 上的增函数且22＞12＞25，得⎝ ⎛⎭⎪⎫223＞⎝ ⎛⎭⎪⎫123＞⎝ ⎛⎭⎪⎫253，即P ＞R ＞Q .] 8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，则实数a 的取值范围是________．[2,3] [f (x )＝(x －a )2＋5－a 2，根据f (x )在区间(－∞，2]上是减函数知，a ≥2，则f (1)≥f (a ＋1)，从而|f (x 1)－f (x 2)|max ＝f (1)－f (a )＝a 2－2a ＋1， 由a 2－2a ＋1≤4，解得－1≤a ≤3， 又a ≥2，所以2≤a ≤3.] 三、解答题9．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围．[解] 幂函数f (x )经过点(2，2)， ∴2＝2(m 2＋m )－1，即2＝2(m 2＋m )－1， ∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2.4分 又∵m ∈N *，∴m ＝1.∴f (x )＝x ，则函数的定义域为[0，＋∞)， 并且在定义域上为增函数．由f (2－a )＞f (a －1)，得⎩⎨⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a ＞a －1，10分解得1≤a ＜32.∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.12分10．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3，(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值． [解] (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]， 对称轴x ＝－32∈[－2,3]，2分 ∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15，∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15.5分(2)对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意；8分 ②当－2a －12＞1，即a ＜－12时， f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意． 综上可知a ＝－13或－1. 12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·江西九江一中期中)函数f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，若a ，b ∈R ，且a＋b ＞0，ab ＜0，则f (a )＋f (b )的值( )【导学号：01772043】A ．恒大于0 B.恒小于0 C ．等于0D.无法判断A [∵f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，指数4×29－25－1＝2 015＞0，满足题意．当m ＝－1时，指数4×(－1)9－(－1)5－1＝－4＜0，不满足题意， ∴f (x )＝x 2 015.∴幂函数f (x )＝x 2 015是定义域R 上的奇函数，且是增函数． 又∵a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，∴a ＞－b ， 又ab ＜0，不妨设b ＜0，则a ＞－b ＞0，∴f (a )＞f (－b )＞0， 又f (－b )＝－f (b )，∴f (a )＞－f (b )，∴f (a )＋f (b )＞0.故选A.]2．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2 [由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，－2，故当m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．]3．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的范围． [解] (1)由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝－1，f (－1)＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2.2分所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，由f (x )＝(x ＋1)2知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1].6分(2)由题意知，x 2＋2x ＋1＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k ＜x 2＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立，8分令g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，由g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34知g (x )在区间[－3，－1]上是减函数，则g (x )min ＝g (－1)＝1，所以k ＜1，即k 的取值范围是(－∞，1).12分。

二项分布与正态分布1.条件概率在已知B发生的条件下，事件A发生的概率叫作B发生时A发生的条件概率，用符号P(A|B)来表示，其公式为P(A|B)＝P(AB)P(B)(P(B)>0).2.相互独立事件(1)一般地，对两个事件A，B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称A，B相互独立.(2)如果A，B相互独立，则A与B，A与B，A与B也相互独立.(3)如果A1，A2，…，A n相互独立，则有P(A1A2…A n)＝P(A1)P(A2)…P(A n).3.二项分布进行n次试验，如果满足以下条件：(1)每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”；(2)每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为1－p；(3)各次试验是相互独立的.用X表示这n次试验中成功的次数，则P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n，p的二项分布，简记为X～B(n，p).4.二项分布的均值、方差若X～B(n，p)，则EX＝np，DX＝np(1－p).5.正态分布(1)X～N(μ，σ2)，表示X服从参数为μ和σ2的正态分布.(2)正态分布密度函数的性质：①函数图像关于直线x＝μ对称；②σ(σ>0)的大小决定函数图像的“胖”“瘦”；③P(μ－σ<X<μ＋σ)＝68.3%；P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝95.4%；P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝99.7%.概念方法微思考1.条件概率中P(B|A)与P(A|B)是一回事吗？提示 不一样，P (B |A )是在A 发生的条件下B 发生的概率，P (A |B )是在B 发生的条件下A 发生的概率.2.“事件相互独立”与“事件互斥”有何不同？提示 两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)条件概率一定不等于它的非条件概率.( × )(2)对于任意两个事件，公式P (AB )＝P (A )P (B )都成立.( × )(3)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a ＋b )n 二项展开式的通项公式，其中a ＝p ，b ＝1－p .( × )(4)P (B |A )表示在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，P (AB )表示事件A ，B 同时发生的概率.( √ )(5)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差.( √ )(6)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布.( √ ) 题组二 教材改编2.天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为( ) A.0.2 B.0.3 C.0.38 D.0.56 答案 C解析 设甲地降雨为事件A ，乙地降雨为事件B ，则两地恰有一地降雨为A B ＋A B ， ∴P (A B ＋A B )＝P (A B )＋P (A B ) ＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝0.2×0.7＋0.8×0.3 ＝0.38.3.已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( ) A.310 B.13 C.38 D.29 答案 B解析 设A ＝{甲第一次拿到白球}，B ＝{甲第二次拿到红球}， 则P (AB )＝C 12C 110×C 13C 19＝115，P (A )＝C 12C 110＝15，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝13.4.已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (X >2c －1)＝P (X <c ＋3)，则c ＝________. 答案 43解析 ∵X ～N (3,1)，∴正态曲线关于x ＝3对称， 且P (X >2c －1)＝P (X <c ＋3)， ∴2c －1＋c ＋3＝3×2，∴c ＝43.题组三 易错自纠5.两个实习生每人加工一个零件，加工成一等品的概率分别为23和34，两个零件中能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为( ) A.12 B.512 C.14 D.16 答案 B解析 因为两人加工成一等品的概率分别为23和34，且相互独立，所以两个零件中恰好有一个一等品的概率P ＝23×14＋13×34＝512.6.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于( ) A.18 B.14 C.25 D.12 答案 B解析 P (A )＝C 23＋C 22C 25＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110， P (B |A )＝P (AB )P (A )＝14.7.设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是12，则μ等于( )A.1B.2C.4D.不能确定 答案 C解析 当函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点时，Δ＝16－4ξ<0，即ξ>4，根据正态曲线的对称性，当函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是12时，μ＝4.题型一 条件概率例1 (1)在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为________. 答案499解析 方法一 (应用条件概率公式求解)设事件A 为“第一次取到不合格品”，事件B 为“第二次取到不合格品”，则所求的概率为P (B |A )， 因为P (AB )＝C 25C 2100＝1495，P (A )＝C 15C 1100＝120，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1495120＝499.方法二 (缩小样本空间求解)第一次取到不合格品后，也就是在第二次取之前，还有99件产品，其中有4件不合格品，因此第二次取到不合格品的概率为499.(2)一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中).设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A ，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B ，求P (AB )，P (A |B ). 解 如图，n (Ω)＝9，n (A )＝3，n (B )＝4，∴n (AB )＝1，∴P (AB )＝19，P (A |B )＝n (AB )n (B )＝14.思维升华 (1)利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝P (AB )P (A )，这是通用的求条件概率的方法.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数，即n (AB )，得P (B |A )＝n (AB )n (A ).跟踪训练1 已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只且不放回，则在他第1次取到的是螺口灯泡的条件下，第2次取到的是卡口灯泡的概率为( )A.310B.29C.78D.79 答案 D解析 方法一 设事件A 为“第1次取到的是螺口灯泡”，事件B 为“第2次取到的是卡口灯泡”，则P (A )＝310，P (AB )＝310×79＝730，则所求概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝730310＝79.方法二 第1次取到螺口灯泡后还剩余9只灯泡，其中有7只卡口灯泡，故第2次取到卡口灯泡的概率为C 17C 19＝79.题型二 独立重复试验与二项分布命题点1 独立事件的概率例2 某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是34，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是112，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是14.若各家庭回答是否正确互不影响.(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.解 (1)记“甲回答正确这道题”“乙回答正确这道题”“丙回答正确这道题”分别为事件A ，B ，C ，则P (A )＝34，且有⎩⎨⎧P (A )·P (C )＝112，P (B )·P (C )＝14，即⎩⎨⎧[1－P (A )]·[1－P (C )]＝112，P (B )·P (C )＝14，所以P (B )＝38，P (C )＝23.(2)有0个家庭回答正确的概率为P 0＝P (A B C )＝P (A )·P (B )·P (C ) ＝14×58×13＝596， 有1个家庭回答正确的概率为 P 1＝P (A B C ＋A B C ＋A B C ) ＝34×58×13＋14×38×13＋14×58×23＝724， 所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为 P ＝1－P 0－P 1＝1－596－724＝2132.命题点2 独立重复试验例3 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分).设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ 解 (1)X 可能的取值为10,20,100，－200. 根据题意，有P (X ＝10)＝C 13×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫1－122＝38， P (X ＝20)＝C 23×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫1－121＝38， P (X ＝100)＝C 33×⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫1－120＝18， P (X ＝－200)＝C 03×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫1－123＝18. 所以X 的分布列为(2)设“第i 盘游戏没有出现音乐”为事件A i (i ＝1,2,3)， 则P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝⎛⎭⎫183＝1－1512＝511512. 因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是511512.命题点3 二项分布例4 某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后第2位)： (1)5次预报中恰有2次准确的概率； (2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率. 解 令X 表示5次预报中预报准确的次数， 则X ～B ()5，0.8.(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率为P (X ＝2)＝C 25×0.82×()1－0.83＝10×0.64×0.008≈0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率为P (X ≥2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)＝1－C 05×0.80× ()1－0.85－C 15×0.8×()1－0.84＝1－0.000 32－0.006 4≈0.99.(3)“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的概率为C 14×0.8×()1－0.8 3×0.8≈0.02.思维升华 (1)求相互独立事件同时发生的概率的方法 ①首先判断几个事件的发生是否相互独立. ②求相互独立事件同时发生的概率的方法 (ⅰ)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；(ⅱ)正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算. (2)独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略①在求n 次独立重复试验中事件恰好发生k 次的概率时，首先要确定好n 和k 的值，再准确利用公式求概率.②在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n 和变量的概率，求得概率.跟踪训练2 为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100 km/h 的有40人，不超过100 km/h 的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100 km/h 的有20人，不超过100 km/h 的有25人.(1)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100 km/h 的人中随机抽取2人，求这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；(2)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100 km/h 且为男性驾驶员的车辆为X ，求X 的分布列.解 (1)平均车速不超过100 km/h 的驾驶员有40人，从中随机抽取2人的方法总数为C 240，记“这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件A ，则事件A 所包含的基本事件数为C 115C 125，所以所求的概率P (A )＝C 115C 125C 240＝15×2520×39＝2552.(2)根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车，平均车速超过100 km/h 且为男性驾驶员的概率为40100＝25，故X ～B ⎝⎛⎭⎫3，25.X 的可能取值为0,1,2,3， 则P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫250⎝⎛⎭⎫353＝27125， P (X ＝1)＝C 13·25·⎝⎛⎭⎫352＝54125， P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫252·35＝36125，P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫253⎝⎛⎭⎫350＝8125. 所以X 的分布列为题型三 正态分布例5 (2017·全国Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2).(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ]之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的均值；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ]之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查. (ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性； (ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得x －＝116∑i ＝116x i ＝9.97，s ＝116∑i ＝116 (x i －x －)2＝116(∑i ＝116x 2i －16x －2)≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)用样本平均数x －作为μ的估计值μ^ ，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<Z ≤μ＋3σ)＝0.997 4,0.997 416≈0.959 2，0.008≈0.09.解 (1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ]之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ]之外的概率为0.002 6，故X ～B (16,0.002 6). 因此P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8. E (X )＝16×0.002 6＝0.041 6.(2)(ⅰ)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ]之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ]之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ⅱ)由x ＝9.97，s ≈0.212，得μ的估计值为μ^＝9.97，σ的估计值为σ^＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外，因此需对当天的生产过程进行检查. 剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115×(16×9.97－9.22)＝10.02.因此μ的估计值为10.02.i ＝116x 2i ＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134. 剔除(μ^ －3σ^ ，μ^ ＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为115×(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估计值为0.008≈0.09.思维升华 解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x ＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x ＝0.跟踪训练3 “过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2019年春节前夕，A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标值，所得频率分布直方图如下：(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，利用该正态分布，求Z 落在[14.55,38.45)内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X ，求X 的分布列和均值.附：计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标值的标准差为σ＝142.75≈11.95； 若ξ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.3%，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.4%.解 (1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的平均数x ＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5.(2)①∵Z 服从正态分布N (μ，σ2)，且μ＝26.5，σ≈11.95，∴P (14.55<Z <38.45)＝P (26.5－11.95<Z <26.5＋11.95)＝68.3%，∴Z 落在[14.55,38.45)内的概率是0.683.②根据题意得X ～B ⎝⎛⎭⎫4，12，P (X ＝0)＝C 04⎝⎛⎭⎫124＝116； P (X ＝1)＝C 14⎝⎛⎭⎫124＝14；P (X ＝2)＝C 24⎝⎛⎭⎫124＝38； P (X ＝3)＝C 34⎝⎛⎭⎫124＝14；P (X ＝4)＝C 44⎝⎛⎭⎫124＝116. ∴X 的分布列为∴EX ＝4×12＝2.1.甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为23和34，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( ) A.34 B.23 C.57 D.512 答案 D解析 根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获奖乙没获奖或甲没获奖乙获奖，则所求概率是23×⎝⎛⎭⎫1－34＋34×⎝⎛⎭⎫1－23＝512，故选D. 2.袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( ) A.25 B.35 C.18125 D.54125答案 D解析 袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率P 1＝35，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率P ＝C 23⎝⎛⎭⎫352⎝⎛⎭⎫1－35＝54125. 3.甲、乙等4人参加4×100米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是( ) A.29 B.49 C.23 D.79答案 D解析 甲不跑第一棒共有A 13·A 33＝18(种)情况，甲不跑第一棒且乙不跑第二棒共有两类：(1)乙跑第一棒，共有A 33＝6(种)情况；(2)乙不跑第一棒，共有A 12·A 12·A 22＝8(种)情况，∴甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率为6＋818＝79，故选D.4.设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X ，且X ～N (800,502)，则一天中从甲地去乙地的旅客人数少于900的概率为( )(参考数据：若X ～N (μ，σ2)，有P (μ－σ<X <μ＋σ)＝68.3%，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝95.4%，P (μ－3σ<X <μ＋3σ)＝99.7%) A.97.7% B.68.3% C.99.7% D.95.4%答案 A解析 ∵X ～N (800,502)， ∴P (700<X <900)＝95.4%， ∴P (X ≥900)＝1－95.4%2＝2.3%，∴P (X <900)＝1－2.3%＝97.7%，故选A.5.某班有50名学生，一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N (100,102)，已知P (90<ξ<100)＝0.3，估计该班学生数学成绩不小于110分的人数为________. 答案 10解析 由题意知，P (ξ≥110)＝1－2P (90<ξ<100)2＝0.2，∴该班学生数学成绩不小于110分的人数为0.2×50＝10.6.在某次射击中，甲命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命中目标的概率是14.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为________. 答案 34解析 设“甲命中目标”为事件A ，“乙命中目标”为事件B ，“丙命中目标”为事件C ，则击中目标表示事件A ，B ，C 中至少有一个发生.又P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝[1－P (A )]·[1－P (B )]·[1－P (C )]＝⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＝14. 故目标被击中的概率P ＝1－P (A B C )＝34.7.一盒中放有大小相同的10个小球，其中8个黑球、2个红球，现甲、乙二人先后各自从盒子中无放回地任意取2个小球，已知甲取到了2个黑球，则乙也取到2个黑球的概率是________. 答案1528解析 记事件“甲取到2个黑球”为A ，“乙取到2个黑球”为B ，则有P (B |A )＝P (AB )P (A )＝C 26C 28＝1528，即所求事件的概率是1528. 8.某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________.答案 38解析 设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A ，B ，C ，显然P (A )＝P (B )＝P (C )＝12，∴该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为(A B ＋A B ＋AB )C ， ∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率 P ＝⎝⎛⎭⎫12×12＋12×12＋12×12×12＝38.9.位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是______.答案516解析 由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P 必须向右移动两次，向上移动三次，故其概率为C 35⎝⎛⎭⎫123·⎝⎛⎭⎫122＝C 35⎝⎛⎭⎫125＝516. 10.若随机变量X ～N (μ，σ2)，且P (X >5)＝P (X <－1)＝0.2，则P (2<X <5)＝________. 答案 0.3解析 ∵P (X >5)＝P (X <－1)，∴μ＝5－12＝2.∴P (2<X <5)＝12P (－1<X <5)＝12×(1－0.2－0.2)＝0.3. 11.某篮球队在某赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如图所示.(1)根据这8场比赛，估计甲每场比赛中得分的均值μ和标准差σ；(2)假设甲在每场比赛的得分服从正态分布N (μ，σ2)，且各场比赛间相互没有影响，依此估计甲在82场比赛中得分在26分以上的平均场数(结果保留整数). 参考数据：32≈5.66，32.25≈5.68，32.5≈5.70.正态总体N (μ，σ2)在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率约为0.954. 解 (1)由题图可得μ＝18(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，σ2＝18[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25，所以σ≈5.68.所以估计甲每场比赛中得分的均值μ为15，标准差σ为5.68.(2)设甲每场比赛中的得分为随机变量X ，由(1)得甲在每场比赛中得分在26分以上的概率 P (X ≥26)≈12[1－P (μ－2σ<X <μ＋2σ)]≈12(1－0.954)＝0.023，设在82场比赛中，甲得分在26分以上的次数为Y ， 则Y ～B (82,0.023).Y 的均值E (Y )＝82×0.023≈2.由此估计甲在82场比赛中得分在26分以上的平均场数为2.12.(2018·陕西省部分学校检测)一个盒子中装有大量形状、大小一样但质量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的质量(单位：克)，质量分组区间为[5,15)，[15,25)，[25,35)，[35,45)，由此得到样本的质量频率分布直方图如图所示.(1)求a 的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球质量的众数与平均数；(2)从盒子中随机抽取3个小球，其中质量在[5,15)内的小球个数为X ，求X 的分布列和均值.(以直方图中的频率作为概率)解 (1)由题意，得(0.02＋0.032＋a ＋0.018)×10＝1，解得a ＝0.03.由频率分布直方图可估计盒子中小球质量的众数为20克，而50个样本中小球质量的平均数为 x ＝0.2×10＋0.32×20＋0.3×30＋0.18×40 ＝24.6(克).故由样本估计总体，可估计盒子中小球质量的平均数为24.6克. (2)由题意知，该盒子中小球质量在[5,15)内的概率为15，则X ～B ⎝⎛⎭⎫3，15. X 的可能取值为0,1,2,3， 则P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫150×⎝⎛⎭⎫453＝64125， P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫151×⎝⎛⎭⎫452＝48125，P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫152×⎝⎛⎭⎫451＝12125， P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫153×⎝⎛⎭⎫450＝1125. ∴X 的分布列为∴EX ＝0×64125＋1×48125＋2×12125＋3×1125＝35.(或者EX ＝3×15＝35)13.夏秋雨季，生活在长江口外浅海域的中华鱼回游到长江，历经三千多公里的溯流博击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海.一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为( ) A.0.05 B.0.007 5 C.13 D.16答案 C解析 设事件A 为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件B 为该雌性个体成功溯流产卵繁殖，由题意可知P (A )＝0.15，P (AB )＝0.05，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.050.15＝13.故选C.14.设X ～N (1,1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10 000个点，试估计落入阴影部分的点的个数.(注：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X <μ＋σ)＝68.3%，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝95.4%)解 ∵X ～N (1,1)，∴μ＝1，σ＝1. ∵P (μ－σ<X <μ＋σ)＝68.3%，∴P (0<X <2)＝68.3%，则P (1<X <2)＝34.15%，∴阴影部分的面积为1－0.341 5＝0.658 5， ∴向正方形ABCD 中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是 10 000×0.658 5＝6 585.15.已知随机变量X ～B (2，p )，Y ～N (2，σ2)，若P (X ≥1)＝0.64，P (0<Y <2)＝p ，求P (Y >4)的值.解 因为随机变量X ～B (2，p )，Y ～N (2，σ2)，P (X ≥1)＝0.64，所以P (X ≥1)＝P (X ＝1)＋P (X＝2)＝C 12p (1－p )＋C 22p 2＝0.64，解得p ＝0.4或p ＝1.6(舍去)，所以P (0<Y <2)＝p ＝0.4，P (Y >4)＝12(1－0.4×2)＝0.1. 16.某高校设计了一个实验学科的考核方案：考生从8道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作.规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过.已知8道备选题中考生甲有6道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是34，且每题正确完成与否互不影响.(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的分布列，并计算均值；(2)试从两位考生正确完成题数的均值及至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力.解 (1)设考生甲、乙正确完成实验操作的题数为ξ，η，则ξ的所有可能取值为1,2,3；η的所有可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝1)＝C 16C 22C 38＝328，P (ξ＝2)＝C 26C 12C 38＝1528，P (ξ＝3)＝C 36C 02C 38＝514.所以考生甲正确完成题数的分布列为Eξ＝1×328＋2×1528＋3×514＝94.因为P (η＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫1－343＝164，同理，P (η＝1)＝964， P (η＝2)＝2764，P (η＝3)＝2764.所以考生乙正确完成题数的分布列为Eη＝3×34＝94.(2)因为P (ξ≥2)＝1528＋514＝2528，P (η≥2)＝2764＋2764＝5464，所以P (ξ≥2)>P (η≥2).故从正确完成题数的均值考察，两人水平相当；从至少正确完成2题的概率考察，甲通过的可能性大.因此可以判断甲的实验操作能力较强.。

解析：设事件A为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件B为该雌性个体成功溯流产卵繁殖，由题意可知P(A)＝0.15，P(AB)＝0.05，所以P(B|A)＝P(AB)P(A)＝0.050.15＝13，故选C.12．设X～N(1,1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是()(注：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝95.44%)A．7 539 B．6 038C．7 028 D．6 587答案：D解析：∵X～N(1,1)，∴μ＝1，σ＝1.∵P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝68.26%，∴P(0<X≤2)＝68.26%，则P(1<X≤2)＝34.13%，∴阴影部分的面积为1－0.341 3＝0.658 7，∴向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是10 000×0.658 7＝6 587，故选D.13．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的最小值为________．答案：0.4解析：由题设知C14p(1－p)3≤C24p2(1－p)2，解得p≥0.4，因为0≤p≤1，所以0.4≤p≤1.所以概率p的最小值为0.4.14．某工厂对A，B两种型号的产品进行质量检测，从检测[优生必刷题]15．[2020·山东省实验中学、淄博实验中学、烟台一中、莱芜一中四校联考]设随机变量X 服从正态分布X ～N(2,1)，且P(1≤X ≤2)＝0.3413，则函数f(t)＝12t 2－6t ＋X 不存在零点的概率是( )A ．0.5B ．0.3413C ．0.1587D ．0.3174答案：C解析：函数f(t)＝12t 2－6t ＋X 不存在零点，则Δ＝(－6)2－4×12×X<0，即X>3.∵随机变量X 服从正态分布X ～N(2,1)，∴正态曲线的对称轴是X ＝2，∵P(1≤X ≤2)＝P(2≤X ≤3)＝0.341 3，∴P(X>3)＝0.5－0.341 3＝0.158 7，故选C .16．近年来“双十一”已成为中国电子商务行业的年度盛事，并且逐渐影响到国际电子商务行业．某商家为了准备今年“双十一”的广告策略，随机调查了1 000名客户在去年“双十一”前后10天内网购所花时间T(单位：时)，并将调查结果绘制成如图所示的频率分布直方图．由频率分布直方图可以认为，这10天网购所花的时间T 近似服从N(μ，σ2)，其中μ用样本平均值代替，σ2＝0.24.(1)计算μ，并利用该正态分布求P(1.51<T<2.49)．(2)利用由样本统计获得的正态分布估计整体，将这10天网购所花时间在(2,2.98)小时内的人定义为目标客户，对目标客户发送广告提醒．现若随机抽取10 000名客户，记X 为这10 000人中目标客户的人数．①求E(X)；。

二项分布与正态分布二项分布正态分布的性质与应用二项分布与正态分布概述：统计学中，二项分布和正态分布都是重要的概率分布。

它们在不同领域有着广泛的应用。

本文将介绍二项分布和正态分布的性质以及它们在实际问题中的应用。

一、二项分布的性质与应用1. 二项分布的定义：二项分布是一种离散概率分布，用于描述在重复进行相同试验的情况下，成功的次数的概率分布。

它的概率密度函数为：P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，其中n为试验次数，k为成功次数，p为每次试验成功的概率。

2. 二项分布的性质：（1）期望和方差：对于二项分布，其期望值μ=np，方差σ^2=np(1-p)。

这意味着在大量重复试验中，预期的成功次数接近于np，方差的开方近似于标准差。

（2）对称性：当p=0.5时，二项分布是对称的。

（3）独立性：在独立重复试验中，每次试验的结果不会影响其他试验的结果。

3. 二项分布的应用：（1）品质控制：二项分布可用于质量检验中，判断产品合格与否的概率。

（2）医学研究：例如，某种药物的治疗成功率可以用二项分布进行建模和分析。

（3）市场调研：根据市场调查的结果，可以利用二项分布对样本群体的属性进行推断。

二、正态分布的性质与应用1. 正态分布的定义：正态分布是一种连续概率分布，是自然界中许多随机现象的近似分布。

正态分布的概率密度函数为：f(x)=1/(σsqrt(2π)) * exp(-(x-μ)^2/(2σ^2))，其中μ为均值，σ为标准差。

2. 正态分布的性质：（1）均值与标准差：正态分布完全由均值μ和标准差σ确定。

均值决定了分布的位置，标准差决定了分布的宽度。

（2）对称性：正态分布是关于均值对称的，曲线在均值处达到峰值。

（3）中心极限定理：大量独立随机变量的和趋近于正态分布。

3. 正态分布的应用：（1）统计推断：正态分布在统计学中起到重要的作用，例如，利用正态分布进行参数估计和假设检验。

（2）风险管理：正态分布在金融领域常用于模拟资产回报率和风险价值的计算。

二项分布与正态分布在概率统计学中，二项分布和正态分布是两个非常重要的概率分布。

二项分布是描述离散型随机变量的分布，而正态分布则是描述连续型随机变量的分布。

本文将对二项分布和正态分布进行详细介绍和比较。

一、二项分布二项分布是由进行多次独立的二元实验而引起的概率分布。

在每次实验中，结果只有两种可能，成功或失败，成功的概率为p，失败的概率为1-p。

进行n次实验后，成功的次数就构成了一个二项分布。

二项分布的概率质量函数可以用公式表示为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，C(n,k)表示从n个实验中取出k个成功的组合数，p表示成功的概率，(1-p)表示失败的概率。

二、正态分布正态分布又称为高斯分布，是自然界中非常常见的一种连续型概率分布。

正态分布的概率密度函数在数学上表达为：f(x) = (1/σ√(2π)) * e^-(x-μ)^2/(2σ^2)其中，μ表示分布的均值，σ表示标准差，e表示自然对数的底。

正态分布的形状是一个钟形曲线，呈现对称性，并且均值、中位数、众数都位于曲线中心。

三、二项分布与正态分布的关系当二项分布中的实验次数n足够大，并且成功的概率p足够接近于0.5时，二项分布可以近似地用正态分布来描述。

这是由于中心极限定理的作用，即大量相互独立的随机变量的和近似服从正态分布。

具体来说，当n比较大时，二项分布的均值μ=n*p和方差σ^2=n*p*(1-p)的值也比较大。

而正态分布的均值和方差可以通过对二项分布的均值和方差进行适当的变换得到。

当n趋近于无穷大时，二项分布与正态分布的差别越来越小，因此可以用正态分布来近似描述二项分布。

四、应用场景二项分布常用于描述二元实验的结果，比如投掷硬币的结果、产品的合格率等。

通过对二项分布进行分析，可以计算出实验成功的概率、失败的概率以及在一定实验次数下成功的期望次数。

而正态分布则广泛应用于自然和社会科学的各个领域。

由于其对称性和中心极限定理的作用，正态分布可以用于描述和分析连续型随机变量的分布情况。

解析：设Ai表示事件：第i局甲获胜，i＝3,4,5，
Bj表示事件：第j局乙获胜，j＝3,4.
(1)记A表示事件：再赛2局结束比赛，则
A＝A3·A4＋B3·B4.
由于各局比A4＋B3·B4)＝P(A3·A4)＋P(B3·B4)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52.
又A，B，C相互独立，
故P(A·B·C)＝P(A)·P(B)·P(C)＝ × × ＝ .
答案：D
5．(2017·河北名校模拟)从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1个球，摸出红球、白球和黄球的概率分别为 ， ， ，从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回，接连摸3次，则记下的颜色中有红有白但没有黄的概率为()
所以X的分布列为
X
10
20
100
－200
P
(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝ .
所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为
1－P(A1A2A3)＝1－ 3
＝1－ ＝ .
因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是 .
(1)求P(A)，P(B)，P(AB)；
(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率．
解析：(1)P(A)＝ ＝ .
∵两颗骰子的点数之和共有36个等可能的结果，点数之和大于8的结果共有10个．
∴P(B)＝ ＝ .
当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的结果有5个，故P(AB)＝ .
P(μ～2σ<X<μ＋2σ)＝0.954 4.
A．1 193B．1 359

高考数学一轮复习配餐作业71二项分布正态分布及其应用含解析理(时间：40分钟)一、选择题1．周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估做对第一道题的概率为0.80，做对两道题的概率为0.60，则预估做对第二道题的概率为( )A．0.80 B．0.75C．0.60 D．0.48解析记做对第一道题为事件A，做对第二道题为事件B，则P(A)＝0.80，P(AB)＝0.60，因为做对第一道、第二道题这两个事件是相互独立的，所以P(AB)＝P(A)P(B)，即P(B)＝＝＝0.75，故选B。

答案B2．一位家长送孩子去幼儿园的路上要经过4个有红绿灯的路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2 min。

则这位家长送孩子上学到第三个路口时首次遇到红灯的概率为( )A.B.227C.D.527解析设“这位家长送孩子上学到第三个路口时首次遇到红灯”为事件A，因为事件A等于事件“这位家长送孩子在第一个路口和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为P(A)＝××＝。

故选C。

答案C3．(2016·河北名校模拟)从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1个小球，摸到红球、白球和黄球的概率分别为，，，从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回，接连摸3次，则记下的颜色中有红有白但没有黄的概率为( )A.B.13C.D.12解析所求问题的情况有两种：2红1白，1红2白，则所求概率P＝C××2＋C×2×＝。

故选C。

答案C4．(2016·长春质检二)已知变量X服从正态分布N(2,4)，下列概率与P(X≤0)相等的是( )A．P(X≥2) B．P(X≥4)C．P(0≤X≤4) D．1－P(X≥4)解析由变量X服从正态分布N(2,4)可知，x＝2为该正态密度曲线的对称轴，因此P(X≤0)＝P(X≥4)。

正态分布和二项分布
一、正态分布
1、什么是正态分布
正态分布是一种均匀分布的概率分布，也叫高斯分布或正态分布。

它的特征是平均值与标准差具有相同的值，大多数值都聚集在均值附近，而变异程度较小。

2、正态分布的特点
正态分布有以下特点：
（1）正态分布又称高斯分布，是概率论中常见的概率分布，非常重要。

（2）正态分布形状为一个像山峰一样的曲线，大多数数据集中在中心，两侧逐渐递减，呈现出双峰状。

（3）正态分布满足一定数学公式，其概率密度函数为：
y=1/sigma*sqrt(2*pi)*exp(-1/2*(x-μ)2/sigma2)（4）正态分布具有均值、方差、峰值、中位数、四分位数等特性。

二、二项分布
1、什么是二项分布
二项分布是概率论中最常用的概率分布之一，用于表示一系列独立事件发生次数的分布情况，它是随机变量x的分布，其取值范围是0、1、2、3....或m次，m为给定的次数。

2、二项分布的特点
二项分布有以下特点：
（1）二项分布是概率论中常用的分布，也是非常重要的概率分布。

（2）二项分布独立表示一个随机事件发生的次数，一般指满足特定条件的时候发生的次数。

（3）二项分布只有两种取值，0或1，二项分布的概率分布函数为：
P(x)=Cnx*p^x*q^(n-x)
其中，Cnx是组合数，p是发生事件的概率，q是不发生事件的概率。